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1 2 nde CORRIGE : DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES Exercice 1 : (4 points) 1. Compléter le tableau à double entrée ci-dessous. Elèves vaccinés Elèves non vaccinés Total Elèves ayant eu la grippe * Elèves n'ayant pas eu la grippe Total *10 % de 1470 = 1470 = On choisit au hasard l un des élèves de ce lycée, tous les élèves ayant la même probabilité d être choisi. a) Calculer la probabilité des événements : V : «il a été vacciné» ; = = G : «il a eu la grippe» ; = = =0,1 b) Calculer la probabilité que l élève choisi ait contracté la grippe tout en ayant été vacciné. = = c) Calculer la probabilité de l événement. D après la formule du cours : =+ = = = d) Décrire par une phrase l événement et calculer sa probabilité. correspond à L événement contraire de V,c'est-à-dire : «L élève n a pas été vacciné» D après la formule du cours : =1 =1 = = 3. On choisit au hasard un élève parmi ceux qui ont été vaccinés, quelle est la probabilité qu il ait eu la grippe? La population étudiée est l ensemble des élèves vaccinés qui sont au nombre de 350 et d après l énoncé : 14 d entre eux ont eu la grippe. La probabilité qu il ait eu la grippe parmi les élèves vaccinés est égale à = = 0, On choisit au hasard un élève parmi ceux qui n ont pas été vaccinés, quelle est la probabilité qu il ait eu la grippe. La population étudiée est l ensemble des élèves non vaccinés qui sont aux nombres de 1120 et d après le tableau, on peut lire que 133 élèves sur 1120 ont eu la grippe. La probabilité qu il ait eu la grippe parmi les élèves non vaccinés est égale à = = 0, Expliquer pourquoi le vaccin est efficace. D après les questions 3 et 4, 4% des élèves vaccinés ont eu la grippe contre 12% des élèves non vaccinés, Le vaccin est efficace car la probabilité de contracter la grippe est bien plus faible pour les élèves vaccinés. 2 nd Correction du Devoir commun du 30 mars page 1/5

2 Exercice 2 : (9 points) PARTIE A : LECTURE GRAPHIQUE 1) L'ensemble de définition de la fonction f est [0 ; 6]. 2) L'image de 2 par f est 8. 3) Les solutions de l'équation f (x) = 6 sont les antécédents de 6 par f : S = { 1,25 ; 4,75 }. 4) Les solutions de l'inéquation f (x) < 5 sont les abscisses des points de la courbe d'ordonnée strictement inférieure à 5 : S = [0 ; 1[ U ]5 ; 6]. 5) La valeur du maximum de f semble être 9. 6) A l'aide de la représentation graphique de f, dressons son tableau de variations : x Variations de f 0 0 PARTIE B : ETUDE DE DEUX FONCTIONS 1) On sait à présent que f est définie sur [0; 6] par f (x) = x² + 6x. a) f ( 5 4 ) = = = =,; 5, donc f (x A) y A. Alors A. b) f (3 + 3) = ( ) + 6(3 + 3) = donc f (3 + 3) = 6. 2) On considère la fonction g définie sur [0; 6] par : g(x) = 12 x. a) g(x) s'écrit sous la forme g(x) = ax + b avec a = 1 et b = 12. g est donc une fonction affine de coefficient strictement négatif, elle est donc strictement décroissante sur [0; 6]. b) La représentation graphique d'une fonction affine est une droite ; ici g est définie sur [0; 6]. g(0) = 12 et g(6) = 6 donc Δ est le segment [EF], avec E(0 ; 12) et F(6 ; 6). c) Sur [0; 6], on résout l'équation : g(x) = 5 12 x = 5 x = 7. Or 7 [0; 6] donc 5 n'a pas d'antécédent par g sur [0; 6]. 2 nd Correction du Devoir commun du 30 mars page 2/5

3 PARTIE C : RESOLUTION D'UN PROBLEME 1) a) M [AC], AC = 6 et AM = x donc x [0; 6]. b) Dans le triangle ABC, M [AC], N [BC] et (MN)//(AB) donc, d'après le théorème de Thalès : CN CB = CM CA = MN soit, en particulier : AB 6 x 6 = MN 12 2(6 x) = MN MN = 2(6 x). AM MN x 2(6 x) c) L aire du triangle AMN est égale à : = = x(6 x) = x² + 6x = f (x) ) Résoudre graphiquement le problème posé revient à résoudre graphiquement l'inéquation f (x) < g(x), c'est-à-dire à lire les abscisses des points de situés en dessous de Δ. L aire de AMN est strictement inférieure à celle de MCDE pour x [0; 3[ U ]4; 6]. 3) a) D'une part, f (x) g(x) = x² + 6x (12 x) = x² + 6x 12 + x = x² + 7x 12. D'autre part, (3 x)(x 4) = 3x 12 x² + 4x = x² + 7 x 12. Donc f (x) g(x) = (3 x)(x 4) b) 3 x = 0 x = 3 ; a = 1 donc a < 0 ; x 4 = 0 x = 4 ; a = 1 donc a > 0. D'où le tableau de signes : x x + 0 x (3 x)(x 4) c) f (x) < g(x) f (x) g(x) < 0 (3 x)(x 4) < 0. Donc d'après la question précédente, S = [0 ; 3[ U ]4 ; 6]. d) On valide ainsi le résultat obtenu graphiquement à la question C.2. 2 nd Correction du Devoir commun du 30 mars page 3/5

4 Exercice 3 : (7 points) 1) On considère les points A( 2 ; 5), B(2 ; 1), C(5 ; 1), D ; et I le milieu de [AC]. a) Plaçons les points A, B, C, D et I dans le repère orthonormé. Voir ci-contre. Pour placer I, nous pouvons tracer le segment [AC] puis sa médiatrice. b) Graphiquement les coordonnées du point I semblent être : (1,5 ; 3) Par le calcul : = + /2 = + /2 3/2 3 ; / ; 2) On sait que AB = 2 13 et que BC = 13. Déterminons la nature du triangle ABC. Dans le triangle, on calcule la longueur du segment ²4² (Cette formule s applique dans un repère orthonormé), on en déduit que le côté le plus long est. Calculons d une part : donc = + Calculons d autre part : donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. 3) On considère l algorithme suivant : Variables Entrée Traitement Sortie, et sont des réels Saisir, Affecter à la valeur 3² Si = Alors afficher «oui» Sinon afficher «non» Fin Si a) Si on saisit les coordonnées de A : = 2 et = Résultat : «oui» b) La valeur contenue dans la variable représente la distance entre le point 3/2 ;3 et le point de coordonnées ; que l utilisateur a saisies (dans le repère orthonormé). L algorithme permet de savoir si le point de coordonnées ; est ou n est pas sur le cercle de centre et de diamètre. 4) a) Les coordonnées du vecteur AB sont ( ; ) donc AB 2 2; 15, soit AB 4 ; 6. 2 nd Correction du Devoir commun du 30 mars page 4/5

5 b) ABCE est un parallélogramme = c) ABCE est un parallélogramme d après la question précédente. De plus, d après la question 2) ABC est un triangle rectangle en B. Or un parallélogramme possédant un angle droit est un rectangle. Conclusion : ABCE est un rectangle. donc 1 ;7 Remarque : ABCE ne peut pas être un losange (car AB = 2 13 et BC = 13 par hypothèse donc ), par conséquent ABCE ne peut pas être un carré non plus. 5. Montrer que = DI 7 4 BC. Que peut-on en déduire pour les droites (DI) et (BC)? DI ; ) donc DI ; 3 1 soit DI ; 7 2 ; donc 52;11 soit 3 ;2 Alors 7 4 BC ;7 4 2 soit : 7 4 BC 21 4 ; 7 2 Donc DI BC, les deux vecteurs sont colinéaires par conséquent les droites (DI) et (BC) sont parallèles. 6. Soit G le point de l axe des abscisses tel que les points A, B et G soient alignés. G appartient à l axe des abscisses donc : G( ;0 et ( + 2 ; 0 5), soit ( + 2 ; 5). Les points A, B et G sont alignés les vecteurs (4 ; 6) et ( + 2 ; 5) sont colinéaires il existe un réel k non nul tel que = k Donc G 4 3 ; 0. 2 nd Correction du Devoir commun du 30 mars page 5/5

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