Arrêt optimal pour la maintenance prédictive

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1 B. de Saporta, F. Dufour, H. Zhang C. Elegbede INRIA Bordeaux et Université de Bordeaux EADS Astrium ANR-9-SEGI-4 Fautocoes λ-µ 17, La Rochelle, octobre 21

2 Plan 1 Un problème de maintenance Formulation Modélisation 2 Stratégie de résolution Solution itérative Quantication 3 Résultats numériques 4 Conclusion et perspectives

3 Formulation Corrosion d'une structure métallique Structure de missile balistique stratégique soumis à corrosion

4 Formulation Corrosion d'une structure métallique Structure de missile balistique stratégique soumis à corrosion Prol d'emploi Stockage dans 3 ambiances diérentes 1 atelier 2 sous-marin nucléaire en mission 3 sous-marin en cale sèche Exigence du sûreté très forte Maîtriser l'évolution de l'épaisseur

5 Formulation Corrosion d'une structure métallique Structure de missile balistique stratégique soumis à corrosion Prol d'emploi Stockage dans 3 ambiances diérentes 1 atelier 2 sous-marin nucléaire en mission 3 sous-marin en cale sèche Exigence du sûreté très forte Maîtriser l'évolution de l'épaisseur

6 Formulation Corrosion d'une structure métallique Structure de missile balistique stratégique soumis à corrosion Prol d'emploi Stockage dans 3 ambiances diérentes 1 atelier 2 sous-marin nucléaire en mission 3 sous-marin en cale sèche Exigence du sûreté très forte Maîtriser l'évolution de l'épaisseur

7 Formulation Politique de Maintenance Une seule intervention avant la rupture remise à neuf de la structure Optimisation de la maintenance : équilibre entre une maintenance trop précoce une maintenance trop tardive Optimisation des marges En phase de conception consolider les marges de dimensionnement par rapport aux spécications assurer à 95% qu'aucune maintenance ne sera nécessaire avant la date objective contractuelle

8 Modélisation Dynamique du processus de dégradation Succession déterministe des ambiances : Temps aléatoire passé dans l'ambiance i loi Exp(λ i ) Protection anti-corrosion initiale d'une durée aléatoire suivant une loi de Weibul Equation de la perte d'épaisseur dans l'ambiance i : ) d t = ρ i (t η i + η i exp( t/η i ) ρ i taux de corrosion stable aléatoire suivant une loi uniforme dépendant de l'ambiance i η i durée de transition déterministe dans l'ambiance i. On dispose de valeurs numériques pour tous les paramètres. Structure inutilisable si d t.2mm

9 Modélisation Exemples de trajectoires simulées x 1 5

10 Modélisation Exemples de trajectoires simulées x 1 5

11 Modélisation Modélisation par un PDMP Processus Markovien déterministe par morceaux X t = (m t, d t, γ t, ρ t ) mode m t : ambiance à l'instant t : reste de la protection anti-corrosion à l'instant t γ t Chaîne de Markov sous-jacente (S n, Z n ) S n : temps passé dans la n-ème d'ambiance Z n : valeur du processus juste après le n-ème changement d'ambiance

12 Modélisation Formulation mathématique du problème d'optimisation Problème d'arrêt optimal Calculer la fonction valeur V (x) = sup τ T N E x [g(x τ )] Trouver un temps d'arrêt optimal τ qui atteint V (x) Fonction de performance g

13 Solution itérative Résolution itérative théorique Programmation dynamique v N = g v n = L(v n+1, g) pour n N 1 v (x) = sup τ T N E x [g(x τ )] = V (x) L(w, g)(x) { [ = sup E u t (Z n) E [ w(z n+1) Zn = x ] w(z n+1)1 {Sn+1 <u} + g ( φ(z n, u) ) 1 {Sn+1 u} ]} Zn = x

14 Solution itérative Résolution itérative théorique Programmation dynamique v N = g v n = L(v n+1, g) pour n N 1 v (x) = sup τ T N E x [g(x τ )] = V (x) Notre but : proposer une méthode numérique d'approximation de V

15 Quantication Quantication Méthode de discrétisation de variables aléatoires sur des grilles adaptées à leur loi Exemple loi gaussienne N (, I 2 ) :

16 Quantication Quantication Méthode de discrétisation de variables aléatoires sur des grilles adaptées à leur loi Exemple loi gaussienne N (, I 2 ) :

17 Quantication Quantication Méthode de discrétisation de variables aléatoires sur des grilles adaptées à leur loi Exemple loi gaussienne N (, I 2 ) :

18 Quantication Problème pratique Echelles des diérents paramètres taux de corrosion stable ρ 1 6 temps moyen de séjour dans l'ambiance 2 λ 1 2 = h Loi uniforme sur [, 1] [, 5]

19 Quantication Problème pratique Echelles des diérents paramètres taux de corrosion stable ρ 1 6 temps moyen de séjour dans l'ambiance 2 λ 1 2 = h 5 Loi uniforme sur [, 1] [, 5] algorithme standard

20 Quantication Problème pratique Echelles des diérents paramètres taux de corrosion stable ρ 1 6 temps moyen de séjour dans l'ambiance 2 λ 1 2 = h 5 Loi uniforme sur [, 1] [, 5] algorithme pondéré

21 Quantication Grilles pour le processus de dégradation Dans l'ambiance 2 après le 1er saut x 1 4

22 Quantication Grilles pour le processus de dégradation Dans l'ambiance 3 après le 2ème saut 1 numero de saut = x 1 5

23 Quantication Grilles pour le processus de dégradation Dans l'ambiance 1 après le 15ème saut x 1 4

24 Règle d'arrêt itérative x 1 4

25 Règle d'arrêt itérative x 1 4

26 Règle d'arrêt itérative x 1 5

27 Règle d'arrêt itérative x 1 5

28 Règle d'arrêt itérative x 1 5

29 Règle d'arrêt itérative x 1 5

30 Règle d'arrêt itérative x 1 5

31 Règle d'arrêt itérative x 1 5

32 Règle d'arrêt itérative x 1 5

33 Règle d'arrêt itérative x 1 5

34 Règle d'arrêt itérative x 1 5

35 Règle d'arrêt itérative x 1 5

36 Règle d'arrêt itérative x 1 5

37 Règle d'arrêt itérative x 1 5

38 Optimisation des marges Seuil Probabilité 5 ans.2 1 ans ans ans ans ans ans ans ans.9997

39 Calcul de la fonction valeur Résultats numériques (vraie valeur : 4) Nombre de points dans Fonction valeur Fonction valeur les grilles de quantication approchée par Monte Carlo

40 Conclusion méthode numérique performante calculs lourds o line indépendants de la fonction coût calcul de la règle arrêt en temps réel règle d'arrêt adaptée à chaque trajectoire pas besoin de mesure en continu : seulement aux changements d'ambiance contexte mathématique rigoureux algorithme général pour ce type de processus preuve de convergence avec vitesse EADS-Astrium étude exploratoire en vue d'optimiser et de justier les marges de conception

41 Perspectives Etape suivante : maintenance avec réparations éventuellement partielles contrôle impulsionnel dicultés théoriques et pratiques importantes

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