UNE POLITIQUE DE MAINTENANCE PREVENTIVE ASSOCIEE A UNE DEGRADATION ACCUMULATIVE BIVARIEE OBSERVEE CONTINUMENT

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1 UNE POITIQUE DE AINTENANE PREVENTIVE ASSOIEE A UNE DEGRADATION AUUATIVE BIVARIEE OBSERVEE ONTINUENT A PREVENTIVE AINTENANE POIY ASSOIATED WITH A ONTINUOUSY OBSERVED UUATIVE BIVARIATE DETERIORATION Ha Ha PHA e Sophe ERIER aboraore de ahémaque e de leurs Applcaons Pau (UR NRS 54 Unversé de Pau e des Pays de l Adour Avenue de l'unversé - BP 55 Bâmen IPRA F- 643 PAU cedex France Résumé Nous nous néressons à un sysème don la dégradaon es modélsée par deux ndcaeurs crossans non ndépendans. e sysème ombe en panne dès que l ndcaeur bvaré enre dans une zone crque appelée zone de panne qu peu avor dfférenes formes. Une acon de manenance prévenve es déclenchée dès que le sysème enre dans une zone d alere de zone de manenance. a polque de manenance es évaluée à l ade d une foncon de coû sur un horzon nfn. Nore objecf prncpal es d éuder l nfluence sur la polque de manenance opmale d une par de la dépendance enre les deux ndcaeurs de dégradaon d aure par de la forme des zones de panne e de manenance. Summary We are neresed n a sysem wh deeroraon modelled by wo correlaed ncreasng ndcaors. The sysem fals once he bvarae ndcaor eners a crcal regon called falure regon whch may have dfferen shapes. A prevenve manenance acon s se off as soon as he sysem eners an aler regon called prevenve manenance regon. The manenance polcy s assessed hrough a cos funcon on nfne span. Our man objecve s o sudy he nfluence on he opmal manenance polcy on one hand of he dependence beween boh deeroraon ndcaors and on he oher hand of he shapes of he falure/manenance regons. Inroducon Depus quelques décennes le développemen des capeurs en lgne perme d envsager des modèles sochasques de dégradaon basés sur des mesures effecves de la dégradaon d un sysème. Dans le cas où la dégradaon es de ype cumulave des modèles classques son les processus Gamma [] e de Posson composés généralemen consdérés comme unvarés (un seul ndcaeur. Un seul ndcaeur peu cependan êre nsuffsan pour décrre l éa de dééroraon d un sysème. A re d exemple dans [3] la géomére d une voe de chemn de fer es synhésée par deux ndcaeurs : le nvellemen longudnal e le nvellemen ransversal. es deux ndcaeurs éan soums à des sress communs (comme le passage des rans ls ne son ben évdemmen pas ndépendans. D où la nécessé de modélser leur dépendance en ulsan un processus bvaré. Un el modèle es donc ule lorsque l on s néresse à un sysème don la dééroraon es mesurée par deux ndcaeurs (corrélés. Un el modèle peu auss êre ule lorsque l on s néresse à deux sysèmes dfférens placés dans un même envronnemen sressan la dégradaon de chacun d enre eux éan mesurée par un unque ndcaeur. es deux suaons nous monren l nérê de dsposer e d éuder des modèles de dégradaon bvarée (ou mulvarée qu généralsen les processus Gamma e de Posson composés au cadre mulvaré. A nore connassance peu d éudes on pour le momen éé faes pour ce ype de modèle e les polques de manenance sandards nécessen d êre revsées dans ce nouveau conexe. Afn de ne pas alourdr l éude nous nous plaçons c dans un cadre bvaré. Pour modélser l évoluon d un sysème don la dégradaon es mesurée par deux ndcaeurs crossans non ndépendans nous ulsons un processus Gamma bvaré don les processus margnaux son des processus Gamma unvarés (vor la pare «e modèle» pour plus de déals. e sysème ombe en panne dès qu l aen une zone crque appelée zone de panne. a dégradaon éan crossane une hypohèse naurelle sur le sysème es que une fos que le sysème a aen la zone de panne l ne peu plus la quer s l n es pas réparé. ec nous amène à mere une hypohèse echnque sur l ensemble à savor que es un ensemble clos vers le hau la défnon précse éan donnée plus lon. Dverses formes son envsagées pour ; en parculer nous envsageons le cas où l ndcaeur bvaré correspond à la dééroraon de deux sysèmes (ou composans corrélés la dééroraon de chaque composan éan modélsé par un processus Gamma. S chaque composan a un seul de défallance qu lu es propre cela condu à deux formes parculères d ensembles selon que les composans son en sére ou en parallèle. S les seuls de défallance des deux composans son lés la forme de l ensemble peu en revanche êre auss générale que dans le cas où les deux ndcaeurs de dééroraon mesuren deux aspecs dfférens d un même sysème. En dehors de ces hypohèses sur la forme de l ensemble propres à la dmenson les aures hypohèses de modélsaon que nous ulsons c son semblables à celles ulsées dans [4] dans le cadre unvaré : le sysème es soums à une survellance connue e parfae. Dès que le sysème aen la zone une équpe de manenance es appelée qu me une durée τ pour arrver. a durée de réparaon es néglgeable par rappor au déla d nervenon τ e elle es consdérée comme nsananée. Afn d amélorer la dsponblé du sysème une polque de manenance prévenve es proposée dans le même espr que dans [4] : l équpe de manenance es appelée prévenvemen dès que le sysème aen une zone d alere cee zone éan supposée conenr. ee polque de manenance es évaluée à l ade d une foncon de coû sur un horzon asympoque qu en compe de coûs de réparaon e de coûs d ndsponblé. un des bus de cee éude es de vor s la dépendance enre les deux ndcaeurs ou la forme des ensembles e on une nfluence sur la polque de manenance opmale.

2 a sue de ce arcle es organsée de la manère suvane : la premère pare es consacrée à la modélsaon du problème la pare suvane à l exposé de résulas héorques ; la rosème présene quelques expérences numérques e nous concluons dans la dernère. odélsaon de la dééroraon : processus Gamma bvaré Rappelons ou d abord qu un processus Y ( Y - Y = presque sûremen - les accrossemens de Y son ndépendans e homogènes - pour ou > la varable aléaore e modèle = es un processus Gamma unvaré de paramères ( Y su la lo Gamma de paramères ( a b de densé a b a b > s : a bx a fa b ( x = b e x { }. Γ x> ( a Un processus Gamma es un processus crossan ( < s pour ous s > e correspond ypquemen à une dégradaon accumulave. Par la sue on n envsage que le cas b = ce qu n es pas resrcf pusque s Y = ( Y es un processus Gamma de paramères ( a alors Y/b es un processus Gamma de paramères ( a b vor [] par exemple. En ce qu concerne le modèle bvaré ( ( ( = nous envsageons la même consrucon que celle qu es proposée dans [5] e ( ulsée dans [3] : paran de ros processus Gamma unvarés ndépendans ( Y de paramères respecfs ( α 3 α > = on pose : = Y Y = Y Y. ( ( (3 ( ( (3 Dans ce modèle la varable aléaore ( 3 Y représene une composane commune aux deux ndcaeurs de dégradaon (due par exemple à un sress commun. ee composane commune es la cause de la dépendance enre ( ( ( e es processus margnaux ( e ( son des processus Gamma unvarés de paramères ( a où a = α α3 pour =. e coeffcen de corrélaon lnéare enre ( e ( ne dépend pas de e égal à α 3 ρ =. Un nérê de cee modélsaon es que oue la dépendance enre les deux processus ( e ( es synhésée par le coeffcen ρ (qu n es en général pas suffsan pour caracérser oue la dépendance enre deux processus ou enre deux varables aléaores. a a (. ( ( e processus bvaré don nous venons de rappeler la consrucon es appelé processus Gamma bvaré par la sue. D après ce qu précède l es caracérsé par deux paramérsaons équvalenes : ( α α α 3 ou ( a a ρ. ( ( Oure le fa que la dépendance es synhésée par ρ un aure nérê de cee consrucon es que la lo conjone du couple ( explce. Plus précsémen s f α e F α ( ( 3 la densé conjone du veceur ( es e F α désgnen la densé la foncon de réparon e la foncon de surve de ( Y pour = es alors Sa foncon de réparon e sa foncon de surve son e f ( x x = f ( x x f ( x x f ( x dx (* α 3 α 3 α3 3 3 F ( x x = F ( x x F ( x x f ( x dx α 3 α 3 α3 3 3 F ( x x = F ( x x F ( x x f ( x dx α 3 α 3 α3 3 3 Evoluon du sysème sans manenance prévenve Nous nous néressons manenan à un sysème don la dééroraon es modélsée par un processus Gamma bvaré ( ( ( =. e sysème es supposé êre survellé consammen e parfaemen. Il es consdéré comme éan hors d usage (en panne dès que son nveau de dééroraon aen une zone crque appelée régon de panne de la régon à savor : R. a durée de fonconnemen du sysème es donc le emps d aene { } = nf :. Ans que nous l avons sgnalé dans l nroducon une hypohèse naurelle sur le sysème es que sans réparaon le sysème ne peu quer la zone de panne une fos qu l l a aene. En d aures ermes s on do avor s pour ous s >. omme s (c es-à-dre ( ( e ( ( s cee hypohèse sur le sysème sera vérfée dès que es el que s s x y e x y e ( x x alors ( y y. Nous supposons donc que vérfe cee propréé. En ermes mahémaques on d alors que es un ensemble clos vers le hau.

3 A re llusraf supposons dans un premer emps que le sysème éudé es formé de deux composans dfférens e que pour = le ( processus margnal ( ( ( = mn( : > représene le nveau de dééroraon du - ème composan. Noons > son seul de panne e sa durée de fonconnemen. Deux srucures classques son alors envsagées qu corresponden aux deux premers cas envsagés c-dessous : as e sysème es formé de deux composans en sére. e sysème es en panne dès que l un des deux ndcaeurs dépasse son seul de panne de sore que la durée de fonconnemen du sysème es égal à ( ( = mn( ( ( = mn : > ou > où R \ [ ] [ ] = (Fgure a. = mn ( ( ( ( : ( as e sysème es formé de deux composans en parallèle. Pour que le sysème so en panne l fau que les deux ndcaeurs aen dépassé leurs seuls de panne de sore que la durée de fonconnemen du sysème es égal à ( ( = max où = [ [ [ [ (Fgure b. = mn = mn ( ( ( ( : > e > ( ( ( : ( as 3 es seuls des deux ndcaeurs son lés e le sysème es en panne dès que la somme des deux ndcaeurs dépasse un seul donné noé l l >. On a alors = ( x x R : x x l l > (Fgure c. { } avec ( ( { l} = nf : > (a a premère forme (b a deuxème forme (c a rosème forme Fgure. es exemples de régon de panne Dans chacun de ces ros cas l ensemble es un ensemble clos vers le hau. Dès que le sysème es ombé en panne une opéraon de manenance correcve es déclenchée : l équpe de manenance es appelée ; elle me une durée τ déermnse pour arrver ; la durée de l'opéraon de manenance es néglgeable devan τ e elle es donc consdérée comme nsananée. a réparaon es par alleurs supposée êre parfae de sore que les deux ndcaeurs de dééroraon son rems à zéro. Du fa du déla ms par l équpe de manenance pour aendre le sysème (ou pour réunr les pèces nécessares à sa réparaon le sysème es ndsponble de l'nsan de panne jusqu'à la fn de la réparaon à l'nsan τ so pendan une durée τ. Pour raccourcr cee durée d ndsponblé une polque de manenance prévenve es proposée e décre dans le paragraphe suvan. 3 a polque de manenance prévenve Au leu d aendre l nsan de panne pour appeler l équpe de manenance celle-c es appelée prévenvemen lorsque la dééroraon aen une zone d alere appelée zone de manenance prévenve. ee zone noée es supposée conenr de sore que l alere so effecvemen donnée avan la panne ( es aene avan. a zone es par alleurs supposée close vers le hau pour les mêmes rasons que. ( A l'nsan l'équpe de manenance es appelée ; comme pour une réparaon elle me une durée τ pour arrver e l opéraon de τ ( τ < τ manenance prévenve supposée nsananée e parfae es effecuée à l nsan. S le sysème es ombé en panne avan d êre réparé e le sysème es ndsponble enre e τ τ so pendan une durée de longueur. Au τ conrare s le sysème es réparé avan de omber en panne e la durée d ndsponblé es nulle. Ans dans ous les cas la durée d ndsponblé jusqu'à la remse à neuf du sysème es ( max ( τ = τ.

4 ( Z = Z So le processus décrvan l'éa du sysème soums à manenance prévenve. Après une opéraon de manenance prévenve ou correcve le sysème redémarre de l éa neuf (. Son évoluon uléreure es par alleurs supposée ndépendane de son passé. e Z = ( Z processus apparaî alors comme un processus régénéraf les nsans de régénéraon éan les nsans de manenance la τ longueur d un cycle éan égale à. ec es llusré dans la Fgure où la dégradaon es ndquée de manère unvarée pour plus ( ( de lsblé. Dans le premer cycle les ensembles e son aens smulanémen ( =. ec es possble car comme les processus Gamma unvarés un processus Gamma bvaré es un processus de saus purs qu n évolue que par saus. a alle des saus n es par alleurs pas bornée e un sau qu engendre l aene de la zone peu amener le processus dans la zone smulanémen. e sysème es ensue rems à neuf à l nsan ( ( ( τ. ors du deuxème cycle le sysème es remplacé avan de omber en panne ( > τ. Fgure. a polque de manenance prévenve Noons que dans le cas où = l équpe de manenance es appelée lorsque le sysème ombe en panne. On rerouve donc le modèle nal c es-à-dre le cas sans manenance prévenve. Dans le cas où = R R l équpe de manenance es «appelée» dès qu elle a fn de réparer le sysème. Elle me ensue une durée τ pour revenr réparer (nsananémen le sysème. On oben donc une polque de remplacemen pérodque classque qu apparaî donc comme un cas parculer de la polque de manenance prévenve proposée. a polque de manenance prévenve es évaluée à l ade du coû asympoque unare défn par où ( es le coû accumulé sur l'nervalle [ ]. ( = lm e coû prend en compe : - : le coû de resauraon du sysème (que la manenance so prévenve ou correcve - : le coû unare (par uné de emps d ndsponblé du sysème lorsqu l es en panne. Pour compléer l évaluaon de la polque de manenance prévenve nous ulsons auss un aure crère la dsponblé asympoque défne par : U ( A = lm où U ( es la durée de dsponblé cumulée sur l nervalle [ ]. objecf de ce raval es de : - calculer le coû e la dsponblé asympoques e A - éuder l nfluence du déla τ sur les performances de la polque de manenance - comprendre l nfluence de la dépendance enre les deux ndcaeurs de dégradaon e de la forme des zones de panne e de manenance sur la polque de manenance opmale. es résulas héorques 4 alcul du coû e de la dsponblé asympoques Z = ( Z e processus éan régénéraf la héore du renouvellemen nous perme d écrre que E E( ( T ( U ( T = e A E( T = E ( T où T représene la longueur du premer cycle. Ans que nous l avons sgnalé dans le paragraphe 3 le sysème es renouvelé à l nsan τ de sore que T = τ. De même la durée d ndsponblé sur le premer cycle es ( τ. e coû asympoque unare e la dsponblé asympoque son donc égaux à :

5 e Dans le cas où = (cas sans manenance prévenve = on oben : e dans le cas où = R R (remplacemen pérodque = : PR n [ ] [ ] E [ ] [ ] τ n τ = A = =. E τ E τ E τ ( τ ( τ [ τ ] E E PR E mn( = A = =. τ τ τ Dans le cas général afn d explcer e A sous une forme calculable nous nrodusons dverses noaons. Nous posons ans En remarquan que (vor déals dans [6] on oben e l ne rese plus qu à explcer h( e g (. En ce qu concerne h( on oben faclemen : où G ( = P(. Pour g ( en noan on a : h( = E( g ( = E ( τ. E ( τ = g ( h( τ h( ( ( ( g h = h( τ h( g ( A = h( τ h( G ( d = {( ( } x y x y x y y (vor déals dans [6] où f ( x x es donnée par (*. = pour ou τ g ( = G ( x f ( x x dx dx d x = ( x x Il ne rese plus qu à explcer G ( qu a une expresson dfférene selon la forme (commune de e. Dans le cas (sysème sére on a = R / [ [ [ [ e Dans le cas (sysème parallèle on a = [ [ [ [ e Dans le cas 3 on a {( x x R : x x m} = e G ( = F (. G ( = F (. R \ G ( f ( x x dx dx =. es formules nous permeen de calculer h( e g ( e donc e A. 5 omparasons Nous donnons c quelques résulas de comparasons enre la polque de manenance proposée le cas sans manenance prévenve (cas nal e une polque de manenance puremen pérodque. es démonsraons des résulas peuven êre rouvées dans [6] (arcle soums. orsque le coû de resauraon es grand par rappor au coû d ndsponblé ou plus précsémen lorsque E [ mn( τ ] = ( τ [ ] τ E nous monrons que le coû assocé à la polque de manenance prévenve proposée (P es oujours nféreur à celu assocé à une polque de manenance pérodque quel que so l ensemble chos. Pusque le cas nal es un cas parculer de la polque P le coû nal es donc lu auss oujours nféreur à celu d une manenance pérodque. orsque le rappor enre le coû de resauraon e le coû d ndsponblé es encore plus grand à savor s E E A = ( τ E ( τ

6 E ( on monre alors que le coû nal es nféreur au coû de la manenance P e l es préférable de n appeler l équpe de manenance qu à l nsan de panne. on a donc : Sous la condon E ( ( n PR En conséquence de quo la seule suaon où la polque P peu êre néressane pour dmnuer le coû es le cas où < E ( 6 nfluence du déla sur le coû asympoque Ben que le déla τ so en général fxé par le conexe applcaf (e correspond au emps nécessare à l équpe de manenance pour êre prê à opérer nous consdérons c que τ peu varer afn de meux comprendre son nfluence sur le coû de fonconnemen du sysème. On écr alors ( τ au leu de. à encore les démonsraons des résulas peuven êre rouvés dans [6]. orsque le coû de remplacemen es cher ( ( E < on monre alors que le coû es décrossan par rappor à τ. Dans ce cas l es préférable d appeler l équpe de manenance le plus ard possble. ela sgnfe que d un pon de vue coû de fonconnemen le meux es de ne jamas réparer le sysème. ême s nous rajouons une pare bénéfce dans la foncon de coû (par exemple un bénéfce par uné de emps lorsque le sysème es en marche cec sera oujours vra e en cas de coû de remplacemen rès élevé le sysème fonconnera oujours à pere. S l y a malgré ou un nérê au fonconnemen du sysème (qu peu êre la sasfacon d un clen par exemple l fau alors conrôler un aure ndcaeur du ype dsponblé du sysème. On vérfe faclemen que comme on pouva s y aendre cee dsponblé es une foncon décrossane du déla τ. a valeur opmale de τ peu alors êre obenue en opmsan la foncon de coû sous une conrane de dsponblé. Sous la condon ( E < cee valeur opmale es obenue en prenan le plus grand τ qu vérfe la conrane. Selon le conexe applcaf on pourra auss chosr de maxmser la dsponblé sous une conrane de coû c es-à-dre chosr le plus pe τ qu vérfe la conrane. Dans le cas où ( E deux suaons son possbles : - s ( E P( = le coû es alors crossan par rappor à τ. Dans ce cas le meux es de réparer le sysème le plus rapdemen possble que ce so d un pon de vue coû ou dsponblé. E P( = < E( la foncon de coû ( τ adme un unque mnmum en un unque τ. D un pon de vue du - s ( coû le meux es alors que l équpe de manenance arrve au bou d une durée τ pour réparer le sysème la dsponblé resan quan à elle une foncon décrossane de τ. Quelques expérences numérques 7 Valdaon des formules héorques Afn de valder les formules héorques du paragraphe 4 nous calculons e A sur quelques exemples d une par à l ade de ces formules d aure à l ade de smulaons de one-arlo (avec 4 hsores. Nous prenons ros exemples dfférens correspondan chacun à l une des formes d ensembles e envsagées dans le paragraphe. (es ensembles e son à chaque fos prs de la même forme. as (sysème en sére On prend a = 4 a = 5 ρ =.678 τ =. = 3.4 =.4 = 3.5 =.5 = = 3. es résulas son donnés dans le ableau. Formule analyque Smulaon Inervalle de confance à 95% ( [ ] A [ ] Tableau. omparason avec smulaon as (sysème en sére as (sysème en parallèle On prend a = 7 a = 9 ρ =.75 τ =. =.9 =.3 = 3.5 =.5 = = 3. es résulas son donnés dans le ableau. Formule analyque Smulaon Inervalle de confance à 95% ( [ ] A [ ] Table. omparason avec smulaon as (sysème en parallèle

7 as 3 On prend a = 4 a = 9 ρ =.4 τ =. m =.4 l = 3.5 = 3 =. es résulas son donnés dans le ableau 3. Formule analyque Smulaon Inervalle de confance à 95% ( [ ] A [ ] Table 3. omparason avec smulaon as 3 es résulas analyques apparennen à chaque fos aux nervalles de confance à 95% obenus par smulaon de one-arlo ce qu valde nos résulas. 8 Exemples e paragraphe présene dfférenes expérences numérques. Pour chaque exemple les dfférens paramères ans que la forme (commune de e de son donnés dans le ableau 4. à encore les cas 3 fon référence aux dfférenes formes envsagées au paragraphe. a a ρ τ Forme de e (ou l (ou m Ex as Ex as Ex as as Ex as Table 4. Paramères e forme de e pour les dfférens exemples 8. Exemple Deux valeurs dfférenes de son consdérées : =.98 e =.594. e coû es racé en foncon du déla τ dans la fgure 3 pour ces deux valeurs. Dans le premer cas (Fgure 3a sasfa < E( e le coû asympoque unare adme un unque mnmum op en τ.65. Dans le deuxème cas on a > E( e le coû asympoque unare es décrossan en τ. e coû mnmum es donc obenu pour τ = e du pon de vue du coû le meux es de ne jamas réparer le sysème. Ans que nous l avons d dans le paragraphe 6 nous devons donc conrôler la dsponblé asympoque qu es racée dans la fgure 3c. onformémen aux résulas héorques nous observons que cee dsponblé décroî avec τ. S nous avons une conrane de dsponblé du ype A.9 (pour assurer la sasfacon des clens par exemple la valeur opmale de τ qu mnmse le coû es la plus grande valeur de τ qu sasfa cee conrane à savor τ.75. (a - cas < E( (b - cas > E( (c A Fgure 3. Exemple : e A en foncon de τ 8. Exemple Deux valeurs dfférenes de son consdérées : =.5 e ces deux valeurs. Dans le premer cas (Fgure 4a sasfa le deuxème cas (Fgure 4b on a coû es de ne pas manenr prévenvemen le sysème. =. e coû es racé en foncon de ( dans la fgure 4 pour < E( e le coû adme un mnmum en ( op op (.8.8. Dans > E( e le coû adme un mnmum en ( ce qu sgnfe que le meux d un pon de vue

8 (a < E( (b > E( Fgure 4. Exemple : en foncon de ( 8.3 Exemple 3 Tros valeurs dfférenes de son consdérées : = 4 = = 3 e deux formes dfférenes pour e. e coû es racé par rappor à la dépendance enre les deux processus margnaux (mesurée par ρ dans la fgure 5 dans les deux cas. Pour la premère forme de e (qu correspond au sysème sére on observe que le coû es décrossan par rappor à ρ pour les ros valeurs de. Pour la deuxème forme de e (qu correspond au sysème parallèle la monoone es nversée (Fgure 5b e le coû es crossan par rappor à ρ. 8.4 Exemple 4 (a as la premère forme (b as la deuxème forme Fgure 5. Exemple 3 : en foncon de ρ On s néresse c à la rosème forme de e e le coû es racé par rappor à la dépendance ( ρ pour quare couples ( a dfférens dans la fgure 6 avec ( a {(9(9(43(47 }. Sur ces fgures on consane que la dépendance a une nfluence clare sur les foncons de coû. En revanche on peu observer que selon les cas le coû peu êre crossan décrossan concave ou convexe par rappor à ρ. Il semble donc dffcle de prédre le comporemen de la foncon du coû par rappor à la dépendance e celu-c do êre éudé au cas par cas. (a a = 9 = (b a = 9 =

9 (c a = 4 = 3 (d a = 4 = 7 Fgure 6. Foncon par rappor à ρ cas 3 la rosème forme Exemple 4 oncluson Nous nous sommes néressés à une polque de manenance prévenve pour un sysème soums à une survellance connue e parfae don la dégradaon es mesurée par un couple d ndcaeurs modélsée par un processus Gamma bvaré. a polque de manenance a éé évaluée à l ade d une foncon de coû sur un horzon nfn compléée par la dsponblé asympoque. Nous avons des condons suffsanes sous lesquelles la polque de manenance prévenve proposée es oujours melleure qu une polque de manenance pérodque ans que des condons nécessares pour que la manenance prévenve dmnue le coû d ulsaon du sysème. Nous avons auss éudé l nfluence du déla d nervenon sur la polque opmale. Nous avons en parculer monré que s le coû es le seul crère d nérê le déla d nervenon ne do pas nécessaremen êre le plus cour possble. En ce qu concerne l nfluence de la dépendance enre ndcaeurs sur la foncon de coû nous avons observé numérquemen que cee nfluence es foremen lée à la forme des zones de panne e de manenance prévenve : pour ceranes formes la foncon de coû es crossane par rappor à la dépendance (cas de deux composans en parallèle ; pour d aures elle es décrossane (cas de deux composans en sére ; pour d aures encore elle peu même êre non monoone (forme générale pour. Au vu des résulas obenus nous pouvons dors e déjà conclure que la dépendance enre ndcaeurs e la forme des régons de panne e de manenance prévenve on une fore nfluence sur la foncon de coû e sur la polque opmale. Néglger la dépendance enre ndcaeurs (comme cela es fa fréquemmen pour le momen peu donc condure à des résulas erronés. De plus lorsque l'on n'es pas capable d'esmer la dépendance enre les ndcaeurs de dégradaon (lorsque l'on ne dspose pas de données suffsanes par exemple l'aude la plus conservave dépend foremen de la forme des zones d'nérê. Dans cerans cas l faudra consdérer les ndcaeurs comme ndépendans alors que dans d'aures l faudra les consdérer comme complèemen dépendans. Dans d aures cas encore la foncon de coû maxmale (.e. la «pre» sera obenue pour une corrélaon ben spécfque. ec monre la complexé de l nfluence de la dépendance sur le chox de la polque de manenance à adoper. ela sgnfe auss qu l es nécessare de connuer le raval né c e de revser les polques de manenance classques dans ce nouveau cadre bvaré qu en compe de la dépendance enre ndcaeurs. 9 Remercemen Ha Ha PHA remerce le onsel Régonal d'aquane (France qu prend en charge sa recherche. e raval a égalemen reçu le souen de l'agence Naonale de la Recherche (ANR proje ASI réf. ANR BS-. Références [] Van Noorwjk J. (9. A survey of he applcaon of Gamma processes n manenance. Relab. Eng. Sys. Saf. 94(: -. [] ercer S. eer-hrmer. Roussgnol. ( odélsaon de la géomére d une voe ferrée par un processus Gamma bvaré e applcaon à la manenance Aces du ongrès ambda-u 7 a Rochelle France Oc.. [3] ercer S. eer-hrmer. & Roussgnol. ( Bvarae Gamma wear processes for rack geomery modellng wh applcaon o nervenon schedulng. Sruc. Infrasruc 8(4 : [4] Bérenguer. Grall A. Deulle. & Roussgnol. (3 anenance polcy for a connuously monored deerorang sysem. Probab. Engrg. Inform. Sc. 7(: [5] Bujs F. A. Hall J. W. Van Noorwjk J.. and Sayers P. B. (5. Tme dependen relably analyss of flood defences usng gamma processes n G. Augus G. I. Schüeller and. ampol (eds. Safey and Relably of Engneerng Sysems and Srucures; Proceedngs of he Nnh Inernaonal onference on Srucural Safey and Relably (IOSSAR Rome Ialy 9-3 June 5 (llpress Roerdam pp [6] ercer S. Pham H.H. ( A prevenve manenance polcy for a connuously monored sysem wh correlaed wear ndcaors (n revson for European Journal of Operaonal Research.

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