Mathématiques appliquées à la finance J. Printems Année

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Geoffrey Meunier
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1 École Supérieure des Affaires Master 2 Gestion de Portefeuille Université Paris xii Val de Marne Mathématiques appliquées à la finance J Printems Année Correction de l épreuve du 2 février 2008 Durée : heure 30 Calculatrices et documents de cours seuls autorisés Exercice Cette semaine, Ladbroke, un book-maker londonien, publie les cotes suivantes issues des paris en cours concernant l élection présidentielle américaine : Obama : 8 contre ; McCain : 6 contre 4 ; Clinton : 6 contre (c-à-d pour pariées sur Obama le bénéfice est de 8 en cas de victoire de ce dernier, etc) On suppose que l un de ces trois candidats sera élu Calculer les probabilités risque-neutre (c-à-d telles que l espérance du bénéfice pour un parieur soit nulle) de victoire de chacun des candidats Soit p la probabilité de victoire d Obama Le bénéfice moyen (en livres sterling) d un parieur ayant parié sur Obama est p 8 + ( p ) ( ), puisqu il perd son pari en cas de défaite On cherche une probabilité risque-neutre donc celle pour laquelle le bénéfice moyen est nul On a donc p 8 + ( p ) ( ) = 0, c-à-d p = 9 On calcule de même respectivement pour McCain et Clinton 6 p 2 + ( 4)( p 2 ) = 0, c-à-d p 2 = 2, 6 p 3 + ( )( p 3 ) = 0, c-à-d p 2 = 7

élection présidentielle américaine : Obama : 8 contre ; McCain : 6 contre 4 ; Clinton : 6 contre (c-à-d pour pariées sur Obama le bénéfice est de 8 en cas de victoire de ce dernier, etc) On suppose

2 Exercice 2 Imaginons que vous avez contracté le er janvier 2008 (t = 0) un emprunt gré-à-gré avec votre banquier d un montant de N = e sur 0 ans à un taux nominal r 0 = % On suppose que le remboursement du capital N a lieu in fine Quel est le montant prévu de vos annuités aux er janvier successifs? 2 Six ans plus tard, les taux ont baissé pour se fixer sur r 6 = 3% En faisant abstraction d éventuels frais ou pénalités, vous renégociez vos annuités À quel niveau vous paraît-il juste de les fixer? Le remboursement du capital N = e a lieu in fine ; les annuités du /0/2009 jusqu au /0/207 inclus seront donc composés uniquement des intérêts simples, soit A = 000 e avec un remboursement final au /0/208, soit N +A = e (voir cours) 2 À t = 6, on décide de renégocier les annuités à verser à partir de t = 7 jusqu en t = 0 compte tenu du nouveau taux On choisit de garder la même stratégie de remboursement in fine Il faut d abord actualiser pour t = 6 les sommes restantes avec le nouveau taux r 6, soit N = 000 ( + r 6) } {{ } ( + r 6) 2 } {{ } ( + r 6) 3 } {{ } ( + r 6) 4 } {{ } t = 7 t = 8 t = 9 t = 0 On obtient N = e Puis, on calcule les intérêts simples de cette somme A = N r 6 = e Ls annuités seront donc du /0/20 (t = 7) au /0/207 (t = 9) de A, puis le /0/28 (t = 0) de N + A = e Exercice 3 On considère un portefeuille de rendement R p contenant n valeurs de rendements R i avec des poids égaux /n, soit R p = n (R + + R n ), où les rendements R i sont supposées être des va gaussiennes indépendantes de même moyenne R et de même écart-type σ On souhaite déterminer le nombre minimum n de valeurs qui doivent constituer le portefeuille de sorte que la probabilité P (R p < R mini ) soit petite pour un rendement minimum R mini donné Pour R = 0%, σ = 4% et R mini = 3%, déterminer le nombre n minimum de sorte que P (R p < R mini ) < 00! On pourra utiliser la table 2

2 Six ans plus tard, les taux ont baissé pour se fixer sur r 6 = 3% En faisant abstraction d éventuels frais ou pénalités, vous renégociez vos annuités À quel niveau vous paraît-il juste de les fixer?

3 Comme les rendements R i sont supposés être indépendants et suivre des lois gaussiennes N (R, σ 2 ), R p suit une loi gaussienne de moyenne et de variance n (E(R ) + + E(R n )) = (R + + R)/n = R, n 2 (Var(R ) + + Var(R n )) = (σ σ 2 )/n 2 = σ 2 /n Ainsi R p est de moins en moins aléatoire On pose alors Z = R p R σ 2 /n = n R p R σ La va Z suit donc une loi gaussienne centrée réduite N (0, ) Finalement, ( Rp R P (R p < R mini ) = P σ/ n < R ) ( mini R σ/ = P Z < n 007 ) n On souhaite que cette dernière quantité soit inférieure à 00 Par symétrie de la distribution gaussienne, on a ( P Z < n 007 ) ( = P Z > n 007 ) ( = P Z n 007 ) On cherche donc x dans le tableau de sorte que P (Z x) 099 On trouve x 233 On obtient donc un nombre minimal de portefeuille ( ) n n mini = Exercice 4 On considère les trois exemples suivants de marchés à une période Dans les trois cas, l actif sans risque S 0 est le même (taux r = /9 %) Les marchés et 2 ont chacun un actif risqué, noté S, et le marché 3 possède deux actifs risqués, notés S et S 2 On considère les trois marchés indépendemment les uns des autres 3

Finalement, ( Rp R P (R p < R mini ) = P σ/ n < R ) ( mini R σ/ = P Z < n 007 ) n On souhaite que cette dernière quantité soit inférieure à 00 Par symétrie de la distribution gaussienne, on a ( P Z <

4 Marché Marché 2 Marché 3 60/9 60/9 20/3 20/3 40/3 0 80/9 30/9 80/9 0/9 0/9 0/9 Pour les marchés et 2, trouvez une probabilité risque-neutre, c-à-d celle pour laquelle la valeur actualisée moyenne de l actif risqué vaut S 0 =! On cherche donc p (marché ) tel que p 20/3 + ( p) = (0/9) 2 Existe-t-il une telle probabilité pour le marché 3 (c-à-d pour laquelle la valeur actualisée moyenne des actifs risqués S et S 2 vaut respectivement S 0 = et S2 0 = 0)? Dans le cas contraire, on dit qu il y a opportunité d arbitrage Est-ce le cas pour le marché 3 et si oui, pouvez-vous trouver une opportunité d arbitrage? La probabilité cherchée pour le marché vaut donc d après l indication p = /2 Pour le marché 2, les relations p 20/3 + q + r 30/9 = 0/9 et p + q + r = donnent une undéterminée Il existe une infinité de solutions possibles paramétrées par exemple par r : p = 2 + r 2, q = r, avec r [0, 3 ] 2 Le système est ici 3 3 et s écrit après simplification : 6p + 6q + 4r =, 2p + 8q + 8r = 0, p + q + r = Il possède une solution unique p = /2 = r et q = 0 Il n y a pas d opportunité d arbitrage 4

On cherche donc p (marché ) tel que p 20/3 + ( p) = (0/9) 2 Existe-t-il une telle probabilité pour le marché 3 (c-à-d pour laquelle la valeur actualisée moyenne des actifs risqués S et S 2 vaut

5 Tab Tabulation de N(x) = P (Z x) où Z N (0, ) pour x [0, 3] Première colonne = dixièmes ; première ligne = centièmes Ex : N(073) =

06443 06480 067 04000 064 069 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879 0000 069 0690 0698 0709 0704 07088 0723 077 0790 07224 06000 0727 0729 07324 0737 07389 07422 0744 07486 077 0749 07000

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