Mathématiques appliquées à la finance J. Printems Année

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1 École Supérieure des Affaires Master 2 Gestion de Portefeuille Université Paris xii Val de Marne Mathématiques appliquées à la finance J Printems Année Correction de l épreuve du 2 février 2008 Durée : heure 30 Calculatrices et documents de cours seuls autorisés Exercice Cette semaine, Ladbroke, un book-maker londonien, publie les cotes suivantes issues des paris en cours concernant l élection présidentielle américaine : Obama : 8 contre ; McCain : 6 contre 4 ; Clinton : 6 contre (c-à-d pour pariées sur Obama le bénéfice est de 8 en cas de victoire de ce dernier, etc) On suppose que l un de ces trois candidats sera élu Calculer les probabilités risque-neutre (c-à-d telles que l espérance du bénéfice pour un parieur soit nulle) de victoire de chacun des candidats Soit p la probabilité de victoire d Obama Le bénéfice moyen (en livres sterling) d un parieur ayant parié sur Obama est p 8 + ( p ) ( ), puisqu il perd son pari en cas de défaite On cherche une probabilité risque-neutre donc celle pour laquelle le bénéfice moyen est nul On a donc p 8 + ( p ) ( ) = 0, c-à-d p = 9 On calcule de même respectivement pour McCain et Clinton 6 p 2 + ( 4)( p 2 ) = 0, c-à-d p 2 = 2, 6 p 3 + ( )( p 3 ) = 0, c-à-d p 2 = 7

2 Exercice 2 Imaginons que vous avez contracté le er janvier 2008 (t = 0) un emprunt gré-à-gré avec votre banquier d un montant de N = e sur 0 ans à un taux nominal r 0 = % On suppose que le remboursement du capital N a lieu in fine Quel est le montant prévu de vos annuités aux er janvier successifs? 2 Six ans plus tard, les taux ont baissé pour se fixer sur r 6 = 3% En faisant abstraction d éventuels frais ou pénalités, vous renégociez vos annuités À quel niveau vous paraît-il juste de les fixer? Le remboursement du capital N = e a lieu in fine ; les annuités du /0/2009 jusqu au /0/207 inclus seront donc composés uniquement des intérêts simples, soit A = 000 e avec un remboursement final au /0/208, soit N +A = e (voir cours) 2 À t = 6, on décide de renégocier les annuités à verser à partir de t = 7 jusqu en t = 0 compte tenu du nouveau taux On choisit de garder la même stratégie de remboursement in fine Il faut d abord actualiser pour t = 6 les sommes restantes avec le nouveau taux r 6, soit N = 000 ( + r 6) } {{ } ( + r 6) 2 } {{ } ( + r 6) 3 } {{ } ( + r 6) 4 } {{ } t = 7 t = 8 t = 9 t = 0 On obtient N = e Puis, on calcule les intérêts simples de cette somme A = N r 6 = e Ls annuités seront donc du /0/20 (t = 7) au /0/207 (t = 9) de A, puis le /0/28 (t = 0) de N + A = e Exercice 3 On considère un portefeuille de rendement R p contenant n valeurs de rendements R i avec des poids égaux /n, soit R p = n (R + + R n ), où les rendements R i sont supposées être des va gaussiennes indépendantes de même moyenne R et de même écart-type σ On souhaite déterminer le nombre minimum n de valeurs qui doivent constituer le portefeuille de sorte que la probabilité P (R p < R mini ) soit petite pour un rendement minimum R mini donné Pour R = 0%, σ = 4% et R mini = 3%, déterminer le nombre n minimum de sorte que P (R p < R mini ) < 00! On pourra utiliser la table 2

3 Comme les rendements R i sont supposés être indépendants et suivre des lois gaussiennes N (R, σ 2 ), R p suit une loi gaussienne de moyenne et de variance n (E(R ) + + E(R n )) = (R + + R)/n = R, n 2 (Var(R ) + + Var(R n )) = (σ σ 2 )/n 2 = σ 2 /n Ainsi R p est de moins en moins aléatoire On pose alors Z = R p R σ 2 /n = n R p R σ La va Z suit donc une loi gaussienne centrée réduite N (0, ) Finalement, ( Rp R P (R p < R mini ) = P σ/ n < R ) ( mini R σ/ = P Z < n 007 ) n On souhaite que cette dernière quantité soit inférieure à 00 Par symétrie de la distribution gaussienne, on a ( P Z < n 007 ) ( = P Z > n 007 ) ( = P Z n 007 ) On cherche donc x dans le tableau de sorte que P (Z x) 099 On trouve x 233 On obtient donc un nombre minimal de portefeuille ( ) n n mini = Exercice 4 On considère les trois exemples suivants de marchés à une période Dans les trois cas, l actif sans risque S 0 est le même (taux r = /9 %) Les marchés et 2 ont chacun un actif risqué, noté S, et le marché 3 possède deux actifs risqués, notés S et S 2 On considère les trois marchés indépendemment les uns des autres 3

4 Marché Marché 2 Marché 3 60/9 60/9 20/3 20/3 40/3 0 80/9 30/9 80/9 0/9 0/9 0/9 Pour les marchés et 2, trouvez une probabilité risque-neutre, c-à-d celle pour laquelle la valeur actualisée moyenne de l actif risqué vaut S 0 =! On cherche donc p (marché ) tel que p 20/3 + ( p) = (0/9) 2 Existe-t-il une telle probabilité pour le marché 3 (c-à-d pour laquelle la valeur actualisée moyenne des actifs risqués S et S 2 vaut respectivement S 0 = et S2 0 = 0)? Dans le cas contraire, on dit qu il y a opportunité d arbitrage Est-ce le cas pour le marché 3 et si oui, pouvez-vous trouver une opportunité d arbitrage? La probabilité cherchée pour le marché vaut donc d après l indication p = /2 Pour le marché 2, les relations p 20/3 + q + r 30/9 = 0/9 et p + q + r = donnent une undéterminée Il existe une infinité de solutions possibles paramétrées par exemple par r : p = 2 + r 2, q = r, avec r [0, 3 ] 2 Le système est ici 3 3 et s écrit après simplification : 6p + 6q + 4r =, 2p + 8q + 8r = 0, p + q + r = Il possède une solution unique p = /2 = r et q = 0 Il n y a pas d opportunité d arbitrage 4

5 Tab Tabulation de N(x) = P (Z x) où Z N (0, ) pour x [0, 3] Première colonne = dixièmes ; première ligne = centièmes Ex : N(073) =

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