Pour tout nombre réel x, la valeur absolue de x est égale à la distance de ce nombre à 0. Elle est notée x. x si x 0. x =

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1 3 septembre 4 FONCTIONS ASSOCIÉES re STID I VALEUR ABSOLUE FONCTION VALEUR ABSOLUE VALEUR ABSOLUE D UN NOMBRE Pour tout nombre réel, la valeur absolue de est égale à la distance de ce nombre à. Elle est notée. { si = si EXEMPLES : = ; 3 =3 ; 3 4 = 3 4 ; 4 3 = 4 3 = 3 REMARQUES : = ; = équivaut à =. ÉTUDE DE LA FONCTION VALEUR ABSOLUE La fonction f :, définie surrest une fonction affine par morceau. En effet : sur l intervalle ] ;], f()= ; sur l intervalle [;+ [, f()=. VARIATIONS : La fonction valeur absolue définie pour tout réel par f()= est : strictement décroissante sur l intervalle ] ; ] ; strictement croissante sur l intervalle [; + [. + f()= COURBE REPRÉSENTATIVE : = = A. YALLOUZ (MATH@ES) Page sur 7

2 3 septembre 4 FONCTIONS ASSOCIÉES re STID VALEUR ABSOLUE D UNE FONCTION Soit u une fonction définie sur un intervalle I. La fonction f = u est définie pour tout réel appartenant à I par : f()=u() lorsque u() ; f()= u() lorsque u(). VARIATIONS : Les fonctions f = u et u ont les mêmes variations sur tous les intervalles où u() Les fonctions f = u et u ont des variations contraires sur tous les intervalles où u() EXEMPLE : Soit u la fonction définie surrpar u()= 8. Le tableau de variation de la fonction u est : 4 + u() 9 Le tableau des variations de la fonction f définie surrpar f()= 8 est : 4 + f()= u() 9 COURBE REPRÉSENTATIVE : La courbe représentative C u de la fonction u est confondue avec celle de la fonction u sur tous les intervalles où u() La courbe représentative C u de la fonction u est smétrique de la courbe de la fonction u sur tous les intervalles où u() EXEMPLE : C u 9-9 C u A. YALLOUZ (MATH@ES) Page sur 7

3 3 septembre 4 FONCTIONS ASSOCIÉES re STID II FONCTION f : u()+k VARIATIONS Soit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel fié. f est la fonction définie pour tout réel de l intervalle I par f() = u() + k. Les fonctions u et f ont les mêmes variations sur I Supposons que la fonction u soit strictement croissante sur un intervalle [a; b] de I. Pour tous nombres réels et de l intervalle[a;b], si < alors u( )<u( ), d où u( )+k<u( )+k, soit f ( )< f ( ). La fonction f est strictement croissante sur l intervalle [a; b]. On démontre de la même manière que si u est strictement décroissante sur un intervalle [a;b] de I, alors f est aussi strictement décroissante sur [a; b]. COURBE REPRÉSENTATIVE Soit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel fié. f est la fonction définie pour tout réel de l intervalle I par f() = u() + k. La courbe C f, représentative de la fonction f, est l image de la courbe C u, représentative de la fonction u, par la translation de vecteur k #» j C f N C u k #» j #» j #» i M Soit N(;) un point de la courbe C f alors = f() =u()+k k=u() Donc le point M(; k) appartient à la courbe C u Les coordonnées du vecteur MN #» sont MN(;k) #» d où MN #» = k #» j. Par conséquent, N est l image du point M par la translation de vecteur k #» j. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 3 sur 7

4 3 septembre 4 FONCTIONS ASSOCIÉES re STID III FONCTION f : u(+k) VARIATIONS Soit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel fié. J est l intervalle constitué des réels k, avec dans I. f est la fonction définie sur l intervalle J par f() = u( + k). Pour tout intervalle [a;b] où u est monotone, la fonction f a les mêmes variations sur [a k;b k] que la fonction u sur [a;b] REMARQUE : Si la fonction u est définie sur un intervalle [a; b], on peut calculer u( + k) seulement lorsque + k [a; b] soit pour [a k;b k]. Supposons que la fonction u soit strictement croissante sur un intervalle [a; b]. Pour tous nombres réels et de l intervalle [a k;b k], si < alors +k< +k avec +k et +k dans l intervalle [a;b], d où u( + k)<u( + k), soit f ( )< f ( ). La fonction f est strictement croissante sur l intervalle [a k; b k]. On démontre de la même manière que si u est strictement décroissante sur un intervalle [a; b], alors f est aussi strictement décroissante sur [a k; b k]. COURBE REPRÉSENTATIVE La courbe C f, représentative de la fonction f définie par f() = u(+k), est l image de la courbe C u, représentative de la fonction u, par la translation de vecteur k #» i C f C u N k #» i M #» j #» i +k Soit N(;) un point de la courbe C f alors = f() =u(+k) Donc le point M(+k;) appartient à la courbe C u Les coordonnées du vecteur MN #» sont MN( k;) #» d où MN #» = k #» i. Par conséquent, N est l image du point M par la translation de vecteur k #» i. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 4 sur 7

5 3 septembre 4 FONCTIONS ASSOCIÉES : EXERCICES re STID EXERCICE Soit f la fonction affine telle que f( )=3 et f(3) f( )=.. Quel est le sens de variation de la fonction f?. Donner le tableau de signes de la fonction f. 3. Soit g la fonction définie pour tout réel par g()= f(). a) Donner une epression de g(). b) Tracer la courbe représentative de la fonction g. EXERCICE Soit u la fonction définie surrpar u() = 6. On note C u sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthogonal. La parabole C u est tracée en annee ci-dessous.. Étudier les variations de la fonction u.. Calculer les coordonnées des points d intersection de la parabole C u avec l ae des abscisses. 3. Étudier le signe de u(). 4. Soit f la fonction définie pour tout réel par f() = u(). a) Donner une epression de f(). b) Tracer la courbe représentative de la fonction f dans le même repère que la fonction u A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 5 sur 7

6 3 septembre 4 FONCTIONS ASSOCIÉES : EXERCICES re STID EXERCICE 3 Soit ( u ) la fonction définie sur l intervalle [ 4;4] dont la courbe représentative C u dans un repère orthonormé O; i, j est donnée ci-dessous. j i Tracer les courbes représentatives des fonctions f : u() 3 et g : u( ). EXERCICE 4 Soit u une fonction définie sur ] ; [ ] ;+ [ dont le tableau des variations est le suivant : 3 + variations de u Dresser le tableau des variations des fonctions f : u(+3) et g : u()+. EXERCICE 5 Soit u une fonction définie surrdont le tableau des variations est le suivant : 3 + u() Parmi les trois courbes suivantes, quelle est celle qui représente la fonction f : u( + )? Courbe C Courbe C Courbe C 3 A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 6 sur 7

7 3 septembre 4 FONCTIONS ASSOCIÉES : EXERCICES re STID EXERCICE 6 La courbe ci-dessous est la représentation graphique d une fonction u définie surr a) Dessiner la courbe représentative de la fonction f définie par f() = u( ) b) Dessiner la courbe représentative de la fonction g définie par g() = u(). La fonction u est définie surrpar u()= a) Donner une epression de f(). b) Donner une epression de g(). EXERCICE 7 - La courbe tracée ci-dessous, est la représentation graphique d une fonction f définie surrpar f()= Dessiner la courbe représentative de la fonction f définie par f ()= f() 4. Soit f la fonction définie par f ()= f( ) a) Dessiner la courbe représentative de la fonction f. b) Donner une epression de f (). c) Établir le tableau des variations de la fonction f. 3. Soit f 3 la fonction définie par f 3 ()= f(). a) Donner une epression de f 3 (). b) Établir le tableau des variations de la fonction f A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 7 sur 7