Analyse statistique avec MATLAB pour une modélisation et une estimation de la Value at Risk. Conference MATLAB, 11 Juin 2013 Grand Palais, Paris
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1 Analyse statistique avec MATLAB pour une modélisation et une estimation de la Value at Risk Conference MATLAB, 11 Juin 213 Grand Palais, Paris
2 Table des matières Contexte du Fonds d Epargne Définitions Données Performance du portefeuille Quelques méthodes d estimation Méthode non paramétrique Méthode semi-paramétrique (EVT) 1. VaR historique 2. VaR paramétrique : processus GARCH 3. VaR : prise en compte des dépendances entre titres Calibrage des marginales spécifiques Résultats du calibrage Simulation des rendements Copules simulées Calcul de la VaR Backtest de la VaR Les plus-values MATLAB
3 Contexte du Fonds d Epargne Le Fonds d Epargne, un rôle majeur dans l intérêt général Au sein de la Caisse des Dépôts, la Direction des Fonds d Epargne (DFE) a été mandatée par l Etat pour assurer la gestion des dépôts centralisés (dont le Livret A) collectés par les réseaux distributeurs (dépôts guichet). La DFE utilise ces fonds pour financer des missions d intérêt général : logements sociaux, collectivités locales, infrastructures, PME A fin 212, les prêts représentent plus de la moitié du bilan. La Gestion actif-passif à la Direction des Fonds d Epargne Le département Gestion actif-passif et allocation d actifs de la DFE s organise autour de 4 pôles : Reporting ALM, administration des données Risque de taux, VAN du bilan Allocation d actifs, tarification des prêts, ESG 3 Capital économique
4 Définitions La Value-at-Risk (VaR) s est imposée au fil des années comme un indicateur naturel pour mesurer le risque de marché d un portefeuille d actifs financiers. Pour un horizon temporel donné, la VaR s interprète comme le montant de perte qui ne sera dépassé qu avec une probabilité très faible. Dans nos exemples numériques, = 1% et l horizon est 3 mois. Mathématiquement, > h, = où V désigne la valeur de marché du portefeuille. 4
5 Données Considérons un portefeuille avec les poids fixes suivants : 3% investis en fonds actions de la zone euro 4% en fonds obligations Etat de la zone euro 2% en fonds actions américaines 1% en fonds matières premières 5 Nous faisons l hypothèse que le profil rendement/risque de chaque classe d actifs est correctement modélisé par son benchmark (i.e.: pas de tracking error). Les séries temporelles suivantes sont utilisées : Eurostoxx5 Total Return index, en EUR (ES) Euro MTS Global index, en EUR (EB) S&P 5 Total Return index, en USD (AS/$) DJUBS Commodity Total Return Index (C/$) Si le risque de devise n est pas couvert, les rendements de marché des indices en USD doivent être exprimés en EUR.
6 Performance du portefeuille Avec les notations précédentes, les valeurs de marché du portefeuille aux dates et t + h (sans rebalancement intermédiaire) vérifient : = 1+3% 1 +4% 1 +2% /$ $/ /$ $/ 1 + 1% $/$ $/ $/$ $/ 1 % où $/ désigne la valeur en EUR d 1 USD Problème : les performances arithmétiques &' ()* 1 &' ( des facteurs de risque sont mal adaptées à une modélisation stochastique (car elles sont toujours supérieures à -1). Les performances logarithmiques +, &' ()* &' ( peuvent prendre toutes les valeurs réelles et peuvent être modélisées par des lois à support infini (ex : loi normale). 6
7 Performance du portefeuille L expression de la perte à horizon h se met donc plutôt sous la forme : = -3%./ &' +4%./ &1 +2%./ 2'/$ + $/ + 1%./ 3/$ + $/ 4 où R désigne le rendement logarithmique de la source de risque considérée. Cette relation permet également de reconstituer l évolution du portefeuille sur la période d observation => Transformation du portefeuille en série univariée 7
8 Quelques méthodes d estimation : Méthode non paramétrique Les problématiques de VaR peuvent s assimiler à l estimation statistique d un quantile. Pour une variable aléatoire 5, le quantile à p% est le plus petit niveau en-dessous duquel la variable a une probabilité d au moins p% de se réaliser : 6 7 = 8,9 / R < = / où < = / = 5 / est la fonction de répartition de la loi de 5. Etant donné des observations 5 A,,5 C supposées indépendantes et de même loi, il est commode de ranger l échantillon dans l ordre croissant : 5 A 5 D 5 CFA 5 C Le quantile empirique à p% s en déduit naturellement : 5 C 7 IJ C 7 KI LC KCJKM 6H 7 = 5 C 7 A IJCNC 8 = 8..,8è.
9 Quelques méthodes d estimation : Méthode non paramétrique Une manière plus formelle de procéder est d introduire la fonction de répartition empirique (proportion des observations qui sont inférieures ou égales à x) : C <H C / = 1, OP 5 J / JQA L estimateur naturel du quantile à p% peut alors aussi s écrire 6H 7 = 8,9 / R <H C / Si la dérivée < existe et est > au point 6 7, alors le théorème de Mosteller permet d évaluer la précision de l estimation fournie par le quantile empirique :, 6H loi, n X Y, 1 < 6 7 D 9 Si l on dispose d une estimation de < 6 7, la construction d intervalles de confiance pour 6 7 devient possible.
10 Quelques méthodes d estimation Méthode semi-paramétrique (EVT) La théorie des valeurs extrêmes (EVT) est consacrée au comportement des valeurs anormalement élevées prises par tout phénomène aléatoire. Elle offre des outils statistiques intéressantes pour l estimation des quantiles, car peu d hypothèses sont nécessaires sur la distribution des observations (d où le qualificatif semi-paramétrique). Le théorème de Fisher-Tippett affirme que la fonction de répartition limite (pour un nombre de données n infiniment grand) de la valeur maximale dans un échantillon 5 A,,5 C ne peut, si elle existe, qu être de la forme : 1./ 1+ 1 / Z [ F\ P 1+ 1 / Z [ > où le paramètre s appelle l indice de queue de la loi limite.
11 Quelques méthodes d estimation Méthode semi-paramétrique (EVT) Le théorème de Gnedenko affirme quant à lui que, si le résultat précédent s applique avec ] > ^, alors la fonction de répartition initiale des observations 5 A,,5 C (et non du max) est dite à queue épaisse ; elle peut être approchée, pour les grandes valeurs, par une loi de Pareto de 1 paramètre. L expérience montre que les rendements financiers possèdent cette propriété ; cela se traduit par une apparition de phénomènes extrêmes (forte baisse des marchés par exemple) plus fréquente que ce que suggère la théorie financière usuelle.,9,8,7,6,5,4,3,2,1 Fonction de répartition empirique des rendements quotidiens de l'eurostoxx 5 TR Loi normale de mêmes moyenne et écart-type 11-5,% -3,% -1,% 1,% 3,% 5,%
12 Quelques méthodes d estimation Méthode semi-paramétrique (EVT) Estimateur de Hill de l indice de queue : C FA _`Jaa = 1 b C O ln 5 J JQCFc d A ln5 CFcd A n X où b C est une suite d entiers vérifiant b C et c d n X C. On obtient, par approximation de la loi des observations avec une loi de Pareto (au-delà du seuil 5 CFcd A ), un estimateur pour le quantile à p% (proche de 1%, en tout cas au-dessus du seuil) : 12 6H`Jaa,7 =, 1 b C F A \f ghii 5 CFcd A
13 1. VaR historique Cette méthode est la plus simple des méthodes de calcul de VaR. La VaR historique se calcule comme le quantile à 1% sur le rendement historique du portefeuille. L historique est la série de rendements logarithmiques 3 mois. VaR 3M 99% 12,37% 13
14 2. VaR paramétrique : processus GARCH Observation à priori : Présence d hétéroscédasticité Modules MATLAB utilisés : Statistics Toolbox (Estimations de paramètres de lois, tests d adéquation, qqplot ) Econometrics Toolbox (modélisation de séries temporelles, ARMA, GARCH, tests d indépendance et d hétéroscédasticité ) % Log-rendements mensuels centrés du portefeuille
15 2. VaR paramétrique : processus GARCH Des a prioris confirmés par : Test d Engle : p-value proche de (rejet du test d homoscédasticité) donc les données sont hétéroscédastiques. p-value =,69% Autocorrélogramme : ne révèle pas d autocorrelation sur la série. 15 Sample Autocorrelation Sample Partial Autocorrelations 1.5 Sample Autocorrelation Function : r(t) Lag Sample Partial Autocorrelation Function : r(t) Lag
16 2. VaR paramétrique : processus GARCH Les effets d hétéroscédasticité sont modélisés par un modèle GARCH sur la série des rendements centrés. Rappel du modèle GARCH(p,q) X ( t) = µ + ε ( t) où 2 σ p ( t) = σ ( t) η( t) η( t) iid 2 2 ( t) = K + γ ( k) σ ( t k) + α( k) ε ( t k) ε k = 1 k = 1 q Estimation des paramètres par maximum de vraisemblance. Formule implémentée dans Matlab pour une distribution des Eta Gaussienne ou Student. Nous choisissons une distribution de Student pour les Etas. 16 >> spec = garchset('p',1,'q',1,'distribution','t'); >> [Coeff,Errors,LLF,Innovations,Sigmas,Summary] = garchfit(spec, Datas_Std); La loi de Student permet d estimer une VaR plus prudente (queue de distribution plus épaisse que celle de la loi normale).
17 2. VaR paramétrique : processus GARCH Les graphes d ACF et de PACF sur les résidus et les résidus au carré montrent une hétéroscédasticité non significative, résultats par ailleurs confirmés par des tests statistiques. Résidus : ˆ η( t) = Xˆ σ ( t) ˆ( t) µ 3 2 Résidus Eta(t) p-value du test d Engle = 68%
18 2. VaR paramétrique : processus GARCH L adéquation des résidus à la loi de Student estimée est acceptable (pvalue du test de Kolmogorov-Smirnov égale à 55%) Pour un niveau faible de probabilité donné, les quantiles issus de la loi théorique (courbes rouges) sont plus bas que ceux issus des observations (courbes bleues) La loi théorique étant plus prudente que la distribution empirique des résidus, les simulations d aléas génèreront ainsi une VaR plus conservatrice qu une VaR déterminée uniquement sur la distribution empirique. 3 QQplot - Loi de Student estimée 1 FDR des résidus Eta 2.9 Student estimé Empirique Quantile empirique Quantile théorique
19 2. VaR paramétrique : processus GARCH Simulations et résultats Les log-rendement 3 mois sont calculés comme la somme des logrendements mensuels. Les rendements simulés sont recentrés par la valeur de la moyenne de la série du portefeuille. La VaR 3 mois à 99% est égale à 4,83% Projections du log rdt 3 mois du portefeuille (2 Simulations) VaR annuelle à 99% x 1 4
20 3. VaR : prise en compte des dépendances entre les titres du portefeuille
21 Calibrage des marginales spécifiques Pour chaque titre, une marginale spécifique est calibrée parmi les trois suivantes : 1. Gaussienne Fonction Matlab : normpdf 2. t-location scale Fonction Matlab : pdf( tlocationscale, X) 21
22 Calibrage des marginales spécifiques 3. Lois Extrêmes Généralisées (GEV) Fonction Matlab : gevpdf Il existe trois cas : i/ k= : distribution de Gumbel. Les queues de distribution décroissent exponentiellement, comme la loi normale. i/ k > : distribution de Fréchet. Les queues de distribution décroissent polynomialement, comme la distribution de Student. iii/ k < : distribution de Weibull. Les queues de distribution sont finies, comme la distribution Beta. 22
23 Calibrage des marginales spécifiques La calibration des marginales spécifiques est effectuée grâce au test de Kolmogorov-Smirnov. Fonction Matlab : kstest L hypothèse nulle est que les données x suivent une distribution donnée caractérisée par sa fonction de répartition. Si F(x) est la fonction de répartition empirique et G(x) la fonction de répartition théorique alors la statistique du test est : j/ < / k(/) Fonction Matlab : ecdf (fonction de répartition empirique) 23 Dans notre exemple, le seuil de confiance du test est 5%. Pour chaque titre, la marginale spécifique retenue est celle donnant la p- value maximale. La p-value est la probabilité de rejeter à tort l hypothèse. Si celle-ci est trop élevée, alors l hypothèse nulle est acceptée, donc la marginale spécifique est retenue.
24 Calibrage des marginales spécifiques Ci-dessous, les fonctions de répartition calibrées pour chaque titre Cumulative density function estimated :Eurostoxx 5 GEV Empirical Gaussian t-location scale Cumulative density function estimated :SP 5 GEV Empirical Gaussian t-location scale Cumulative density function estimated :EuroMTS Global GEV Empirical Gaussian t-location scale Cumulative density function estimated :DJUBS Commodity GEV Empirical Gaussian t-location scale
25 Résultats du calibrage Ci-dessous, les densités empiriques et théoriques pour chacun des titres Empirical distribution t-location scale GEV Gaussian Eurostoxx Empirical distribution t-location scale GEV Gaussian SP Density Data Empirical distribution t-location scale GEV Gaussian EuroMTS Global Density Data Empirical distribution t-location scale GEV Gaussian DJUBS Commodity Density 2 Density Data Data
26 Résultats du calibrage Indices Loi p value Moyenne Ecart-type skewness kurtosis Eurostoxx 5 'Skew-t' 45%,7% 5,72% -,6 1,13 Euro MTS Global 'Gaussienne' 52%,37% 1,9% -,14 1,4 S&P 5 GEV' 5%,24% 4,76% -,49,1 DJUBS 'Skew-t' 84%,47% 4,51% -,35,85 Indices empirical quantile,1% theoritical quantile,1% Eurostoxx 5-21% -34% Euro MTS Global -3% -4% S&P 5-14% -19% DJUBS -14% -23% Quel que soit le titre, le quantile empirique est toujours inférieur au quantile théorique à,1 %. Les lois calibrées sont donc toujours plus conservatrices que l historique. 26
27 Résultats du calibrage : copule gaussienne La copule gaussienne apporte un bon compromis entre la parcimonie (faible nombre de paramètres) et la description de la réalité. La copule t-student n apporte pas beaucoup plus de précision. La copule gaussienne constitue la pratique de place pour étudier les relations entre les différents titres d un portefeuille. Elle apporte de l information supplémentaire par rapport la linéarité du coefficient de corrélation. La matrice de corrélation de la copule gaussienne est la suivante : Eurostoxx 5 Euro MTS Global S&P 5 DJUBS Eurostoxx 5 1% -22% 71% 23% Euro MTS Global -22% 1% -24% -2% S&P 5 71% -24% 1% 34% DJUBS 23% -2% 34% 1% NB. L indice obligataire est négativement corrélé aux actions. L indice de matières premières est peu corrélé aux actions. 27
28 Simulation des rendements Etapes de simulations : o n~p,σ o r = s n A,,s n t s est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. o u J = < J FA v J (< J est la marginale spécifique calibrée pour l actif i) Pour chaque titre, le rendement 3 mois wx est agrégé à partir des rendements 1 mois comme suit : w wx = O Ax,J 1 simulations Monte Carlo sont effectuées (la convergence est atteinte). JQA 28
29 Copules simulées EuroMTS Global SP Eurostoxx Eurostoxx 5 DJUBS Commodity Eurostoxx 5 Eurostoxx EuroMTS Global 29
30 Copules simulées SP EuroMTS Global DJUBS Commodity EuroMTS Global.2.15 DJUBS Commodity SP 5 3
31 Calcul de la VaR La VaR est le quantile à 1% calculé pour chaque période sur les 1 rendements 3 mois. Le chemin suivant est obtenu pour la VaR à l horizon 3 mois et pour le seuil de confiance à 99%, c est-à-dire la perte qui est dépassée dans les pires scénarios. 1.6 Trajectoire de la VaR 3 mois 99% projetée sur 1 ans % Date : yyyy-mm
32 Backtest de la VaR Le taux de dépassement de la VaR est 1,83% (2 dépassements sur 19 observations). Un test de Kupiec pourrait être effectué pour valider statistiquement ce taux de dépassement Comparaison VaR predite 99% et rendements realisés VaR predite rendements réalisés 5 Taux, en % Date : yyyy-mm
33 Les plus-values MATLAB MATLAB, un langage simple et performant Bon rapport simplicité développement/puissance de calcul Parcimonie en fonction des besoins (choix de toolbox) Interface homme/machine user-friendly et paramétrable Gain de temps très important (Mise à disposition de fonctions extrêmement techniques et/ou laborieuses d implémentation) Efficacité (Calcul matriciel) Portabilité du code Possibilité de masquer le code sous forme d export DLL Avantage majeur par rapport à des solutions «clés-en-main» Parallel computing / cluster de calculs 33 qui dispose d un environnement humain dynamique Large communauté d utilisateurs (MATLAB Central) Proximité de consultants spécialisés
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