TP : Les tours de Hanoï. 1 Le module Hanoi_utils. Algorithmes et Programmation Impérative 2. Univ. Lille1 - Licence Informatique 2ème année

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1 Univ. Lille1 - Licence Informatique 2ème année Algorithmes et Programmation Impérative 2 TP : Les tours de Hanoï Objectifs : Vous allez programmer la résolution du problème des tours de Hanoï avec l'algorithme décrit en cours. Puis vous allez exprimer en fonction du nombre n de disques initialement sur la tour A le nombre de déplacements de disques pour résoudre ce problème avec cet algorithme. Vous aurez à utiliser un module fourni (cf section 1) pour réaliser un autre module de résolution (cf section 2). 1 Le module Hanoi_utils Le module Hanoi_utils dénit quelques outils facilitant la programmation des tours de Hanoï. L'interface fournit les déclarations 1. du type tours ; 2. de la procédure initialiser chargée d'ouvrir une fenêtre graphique et de dessiner les bases des trois tours ; 3. de la procédure terminer chargée de fermer la fenêtre graphique ; 4. de la procédure initialiser_tours chargée d'initialiser la tour A avec le nombre de disques passé en paramètre, et de vider les deux autres tours. Cette procédure limite le nombre de disques à 10 et déclenche l'exception Hanoi_utils.Initialisation_incorrecte si on enfreint cette limitation ; 5. de la procédure deplacer_disque chargée de déplacer un disque d'une tour à une autre. Cette procédure déclenche l'exception Hanoi_utils.Deplacement_impossible si la tour de départ est vide ou si le disque à déplacer est plus grand que celui sur lequel il doit être posé. La documentation complète de la partie interface de ce module est accessible ici. Compilation du module : Question 1 Récupérez les deux chiers hanoi_utils.mli et hanoi_utils.ml, et compilez les. > ocamlc -c hanoi_utils.mli > ocamlc -c hanoi_utils.ml Vous devez avoir obtenu deux chiers d'extensions.cmi et.cmo. Utilisation du module en mode interprété : Vous allez maintenant vous familiariser avec les diérents éléments déclarés dans le module Hanoi_utils de manière interactive. Question 2 Tout d'abord lancez l'exécution d'un interpréteur en précisant les modules nécessaires. > ocaml unix.cma graphics.cma hanoi_utils.cmo 1

2 Question 3 Une fois l'interpréteur démarré, vous pouvez utiliser toutes les déclarations mentionnées dans l'interface du module Hanoi_utils. Pour éviter de préxer chacun de ces éléments par le nom du module, tapez la directive # open Hanoi_utils ;; Avant toute chose, initialisez le monde des tours. # initialiser () ;; Une fenêtre graphique doit s'ouvrir analogue à celle de la gure 1. Figure 1 Fenêtre graphique ouverte par la procédure initialiser Puis précisez le nombre de disques à placer initialement sur la tour A (par exemple 3) # initialiser_tours 3 ;; Sur la tour A doivent gurer 3 disques (cf gure 2). Il y a trois tours désignées par les constructeurs constants A, B et C dénissant le type tour. # A ;; - : Hanoi_utils.tour = A # B ;; - : Hanoi_utils.tour = B # C ;; - : Hanoi_utils.tour = C Maintenant, vous pouvez déplacer des disques d'une tour à l'autre. 2

3 Figure 2 Les trois disques sur la tour A après l'instruction initialiser_tours 3 # deplacer_disque A C ;; Question 4 Depuis la situation atteinte à la n de la question précédente (cf gure 3), tentez d'exécutez à nouveau l'intruction deplacer_disque A C. Que se passe-t-il? Pourquoi? Question 5 Terminez la résolution pas à pas du problème des tours de Hanoï avec 3 disques an de tous les amener sur la tour C. Question 6 Fermez la fenêtre graphique en utilisant la procédure terminer. Question 7 Rédigez dans un chier nommé hanoi3.ml la séquence des instructions exécutées depuis le début pour résoudre le problème avec 3 disques, c'est-à-dire les initialisations et les déplacements. Avant cette séquence, vous ajouterez la directive open. Puis dans l'interpréteur, chargez ce chier ainsi créé. # #use "hanoi3.ml" ;; Comme vous vous en êtes certainement rendus compte, l'exécution des instructions contenues dans ce chier est si rapide qu'un observateur ne se rend même pas compte qu'initialement les trois disques étaient sur la tour A. Les deux questions qui suivent vont résoudre ce petit inconvénient. Question 8 Il est souhaitable qu'un temps d'arrêt soit marqué après l'initialisation des tours et avant de débuter les déplacements de disques. Pour cela vous utiliserez la procédure read_key du module Graphics qui est de type unit char et qui renvoie le caractère correspondant à la touche du clavier sur laquelle l'utilisateur a appuyé. 3

4 Figure 3 Un disque déplacé sur la tour C après l'instruction deplacer_disque A C Tant que l'utilisateur n'appuie pas sur une touche, la procédure attend. Comme vous allez utiliser cette procédure uniquement pour l'attente qu'elle provoque et pas pour la valeur du caractère qu'elle renvoie, et comme dans une séquence d'instructions les expressions doivent toutes être de type unit (sous peine d'un avertissement de la part de l'interpréteur), vous allez encapsuler l'appel à la procédure read_key dans un appel à la procédure ignore qui, comme son nom l'indique, ignore purement et simplement la valeur de son paramètre et renvoie la valeur (). ignore (Graphics.read_key ()) NB : pour que l'appui d'une touche soit transmis à la fonction read_key, il est nécessaire que le focus soit sur la fenêtre graphique. Insérez donc cette instruction dans la séquence d'instructions du chier hanoi3.ml, puis relancez l'exécution de cette séquence dans l'interpréteur. # #use "hanoi3.ml" ;; Vous devez constater que les tours sont initialisées avec trois disques sur la tour A, et que la commande #use n'est pas terminée (pas de mention du type et de la valeur du résultat). L'interpréteur s'est arrêté sur l'instruction que vous venez d'ajouter, et attend l'appui d'une touche pour poursuivre. (Attention, pour que l'appui sur une touche soit pris en compte, il faut que le focus soit sur la fenêtre graphique.) Une touche appuyée, les déplacements de disque s'eectuent très rapidement... Question 9...trop rapidement pour se convaincre qu'un disque à la fois est déplacé. La procédure fixer_delai de type float unit 4

5 xe le délai d'attente qui doit être posé après chaque déplacement de disque. Par défaut ce délai est de 0 seconde, autrement dit aucune attente. Pour changer cette valeur par défaut, il sut d'exécuter cette procédure avec le temps d'attente souhaité après chaque déplacement, exprimé en secondes. Par exemple, si vous voulez un temps d'attente d'une demi seconde, exécutez l'instruction # fixer_delai 0.5 ;; puis relancez l'exécution des instructions du chier hanoi3.ml. # #use "hanoi3.ml" ;; Vous pouvez bien entendu insérer l'instruction fixer_delai... dans la séquence contenue dans le chier hanoi3.ml. Compilation d'un programme utilisant le module : Question 10 Pour obtenir un exécutable à partir du chier hanoi3.ml, tapez la commande > ocamlc -o hanoi3 unix.cma graphics.cma hanoi_utils.cmo hanoi3.ml >./hanoi3 Éxécutez le programme ainsi obtenu Vous avez certainement constaté qu'une fois les disques parvenus sur la tour C, le programme est terminé et la fenêtre graphique qui a été ouverte par ce programme est automatiquement fermée. Question 11 Quelle instruction pouvez-vous ajouter à la n de la séquence contenue dans le programme source hanoi3.ml an que la fenêtre graphique ne se ferme qu'après l'appui sur une touche du clavier? Ajoutez cette instruction, recompilez le programme et exécutez-le. 2 Programmation du module Resolution_hanoi Dans cette section vous allez réaliser le module Resolution_hanoi dont la partie interface ne déclare qu'un seul élément : la procédure hanoi de type int Hanoi_utils.tour Hanoi_utils.tour unit. L'instruction hanoi n depart arrivee déplace n disques situés sur la tour depart vers la tour arrivee. Cette instruction n'est pas chargée d'initialiser une fenêtre graphique ni même les tours. C'est une contrainte d'utilisation de cette procédure que de s'assurer que les initialisations ont été faites correctement. Comme il est possible de le noter sur le type de hanoi, le module Resolution_hanoi dépend du module Hanoi_utils. Question 12 le modier. Récupérez le chier d'interface du module resolution_hanoi.mli, et compilez-le sans Question 13 Dans un chier nommé resolution_hanoi.ml, réalisez la procédure hanoi conformément à la spécication donnée par l'interface, et à l'algorithme décrit en cours. 5

6 Vous serez certainement amené à dénir une fonction auxiliaire. Comme l'interface ne la prévoit pas, cette fonction ne sera donc utilisable que dans les déclarations qui la suivront dans le chier d'implémentation. Question 14 Une fois l'implémentation réalisée, il faut vérier sa conformité à la spécication. Pour cela 1. compilez les chiers resolution_hanoi.mli et resolution_hanoi.ml. Si la compilation réussit, c'est que la procédure hanoi est bien du type spécié par l'interface. Cela ne signie pas qu'elle eectue bien ce qu'elle doit faire. 2. lancez l'exécution d'un interpréteur chargeant ce module > ocaml unix.cma graphics.cma hanoi_utils.cmo resolution_hanoi.cmo 3. puis tapez les deux directives # open Hanoi_utils ;; # open Resolution_hanoi ;; 4. initialisez les tours avec 3 disques sur la tour A ; 5. lancez la résolution du problème # hanoi 3 A B ;; 6. et vériez que la situation atteinte à la n est correcte. Question 15 Récupérez le programme hanoi.ml. Ce programme est destiné à être compilé et être utilisé en ligne de commande. La compilation s'eectue avec la commande > ocamlc -o hanoi unix.cma graphics.cma hanoi_utils.cmo resolution_hanoi.cmo hanoi.ml et l'exécution du programme est obtenue avec une commande de la forme >./hanoi n d où n est le nombre de disques souhaités et d est le délai d'attente (en secondes) après chaque déplacement de disques. Question 16 Modiez la procédure hanoi du module Resolution_hanoi pour qu'à chaque déplacement de disque, l'impression d'une ligne de la forme dep -> arr soit eectué sur la sortie standard. Pour cela vous pourrez utiliser la procédure Printf.printf suivie d'un appel à la procédure flush appliquée à la sortie standard (stdout). À titre d'exemple, voici l'achage produit dans le terminal à la suite de l'exécution du programme hanoi (recompilé après la modication) >./hanoi A -> B A -> C B -> C 6

7 La première ligne est la commande lançant l'exécution du programme (ici pour deux disques avec un délai d'attente d'un quart de seconde), et les trois lignes qui suivent indiquent les trois déplacements à eectuer pour résoudre le problème des tours de Hanoï à deux disques. Avec un tel achage, on dispose en quelque sorte d'un programme dans lequel tous les déplacements sont écrits en séquence. 3 Combien de déplacements de disques? Il s'agit dans cette section de déterminer le nombre de déplacements de disques dans la résolution du problème des tours de Hanoï avec l'algorithme que vous avez programmé. Ce nombre dépend du nombre n de disques placés initialement sur la tour A, et sera noté h n dans la suite. Question 17 h n = nombre de déplacements de disques pour le problème à n disques. Déterminez h n pour n compris entre 1 et 4, en comptant le nombre de lignes produites sur la sortie standard par l'exécution du programme hanoi de la section précédente. Le nombre de déplacements augmentant très vite avec le nombre de disques, compter à la main les lignes achées lors de l'exécution du programme hanoi s'avère très fastidieux si ce n'est impossible. Il est donc nécessaire d'envisager une autre méthode. La commande wc 1 (abbréviation pour word count) donne le nombre de lignes, de mots et de caractères du chier passé en paramètre. Par exemple, utilisée sur le chier hanoi.ml cette commande donne > wc hanoi.ml hanoi.ml qui nous renseigne que ce chier contient 64 lignes, 256 mots et 1813 caractères. Comme seul le nombre de lignes nous intéresse, en ajoutant l'option -l on obtient uniquement le nombre de lignes. > wc -l hanoi.ml 64 hanoi.ml Bien! Vous voilà armé pour compter automatiquement le nombre de lignes d'un chier. Reste à produire les chiers. Pour cela il sut de rediriger la sortie standard vers un chier. Par exemple, on redirige la sortie standard produite par hanoi avec la commande >./hanoi 2 0 > solution-hanoi-2.txt On obtient ainsi un chier nommé solution-hanoi-2.txt contenant les trois lignes (trois déplacements de disques) produites par le programme hanoi pour deux disques. Ce qui se vérie avec la commande wc. > wc -l solution-hanoi-2.txt 3 solution-hanoi-2.txt 1. la commande wc est une commande disponible sur la plupart des plateformes Unix. Elle n'existe pas sur les machines fonctionnant sous Windows. 7

8 Question 18 Pour chaque entier n compris entre 5 et 10, comptez les nombres de déplacements en utilisant la méthode décrite ci-dessus. Question 19 Induisez des valeurs trouvées pour h n, 1 n 10, une formule exprimant h n en fonction de n, pour tout entier naturel n. Question 20 Démontrez la formule que vous avez trouvée. Question 21 Existe-t-il un autre algorithme de résolution plus rapide, c'estàdire faisant moins de déplacements de disque? 4 Pour s'amuser À la n de la section 2 vous avez modié la procédure hanoi du module Resolution_hanoi an qu'elle imprime les déplacements de disques eectués pour résoudre un problème de Hanoï particulier. Il s'agit ici d'écrire un programme qui va générer un programme complet en Caml de résolution d'un problème de tours de Hanoï. Par exemple, en appelant genere_solution ce programme, la commande >./genere_solution 2 produit l'achage suivant sur la sortie standard open Hanoi_utils let _ = initialiser () ; initialiser_tours 2 ; fixer_delai 0.25 ; ignore (Graphics.read_key ()) ; deplacer_disque A B ; deplacer_disque A C ; deplacer_disque B C ; ignore (Graphics.read_key ()) qui est bien un programme complet de résolution du problème des tours de Hanoï à deux disques. Lors de l'exécution du programme genere_solution, si on redirige la sortie standard vers un chier, on obtient un chier source d'un programme Caml qui peut être compilé, puis exécuté à son tour. Voici les trois commandes pour la production du programme source, la compilation de ce programme, puis son exécution. >./genere_solution 2 > hanoi2.ml > ocamlc -o hanoi2 unix.cma graphics.cma hanoi_utils.cmo hanoi2.ml >./hanoi2 Question 22 Réalisez un tel programme. 8