Devoir maison n 5. MP Lycée Clemenceau. A rendre le 7 janvier Centrale

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1 Devoir maison n 5 MP Lycée Clemenceau A rendre le 7 janvier 214 Centrale - Dans le problème, λ désigne toujours une application continue de IR + dans IR +, croissante et non majorée. - Dans le problème, f désigne toujours une application continue de IR + dans IR. - On note E l ensemble des réels x pour lesquels l application t f(t)e λ(t)x est intégrable sur IR +. - On note E l ensemble des réels x pour lesquels l intégrale + f(t)e λ(t)x dt converge. On se propose ci-après d étudier la transformation f Lf définien en I.A, d en établir quelques propriétés, d examiner certains exemples et d utiliser la transformation L pour l étude d un opérateur. 1 Préliminaires, définition de la transformation L. I.A. Quelle inclusion exsiste-t-il entre les ensembles E et E? Désormais, pour x E, on notera Lf(x) = + f(t)e λ(t)x dt I.B. Montrer que si E n est pas vide, alors E est un intervalle non majoré de IR. I.C. Montrer que si E n est pas vide, alors Lf est continue sur E. 2 Exemples dans le cas de f positive. II.A. Comparer E et E dans le cas où f est positive. II.B. Dans les trois cas suivants, déterminer E. II.B.1) f(t) = λ (t) avec λ supposée de classe C 1. II.B.2) f(t) = e tλ(t). II.B.3) f(t) = e tλ(t). 1+t 2 II.C. Dans cette question, on étudie le cas λ(t) = t 2 et f(t) = 1 pour tout t IR +. 1+t 2 II.C.1) Déterminer E. Que vaut Lf()? II.C.2) Prouver que Lf est dérivable. II.C.3) Montrer l existence d une constante A > telle que pour tout x >, on ait Lf(x) (Lf) (x) = A x 1

2 II.C.4) On note g(x) = e x Lf(x) pour x. Montrer que x, g(x) = π 2 A x II.C.5) En déduire la valeur de l intégrale + e t2 dt. 3 Etude d un premier exemple. e t t dt Dans cette partie, λ(t) = t pour tout t IR + et f(t) = t 1 + t pour tout t e t 1 2 IR+. III.A. Montrer que f se prolonge par continuité en. On note encore f le prolongement obtenu. III.B. Déterminer E. III.C. A l aide d un développement en série, montrer que pour tout x >, on a Lf(x) = 1 2x x + 1 (n + x) 2 III.D. Est-ce que Lf(x) 1 2x x admet une limite finie en +? n=1 4 Généralités dans le cas typique. Dans cette partie, λ(t) = t pour t IR +. IV.A. Montrer que si E n est pas vide et si α est sa borne inférieure (on convient que α = si E = IR) alors Lf est de classe C sur ]α, + [ et exprimer ses dérivées successives à l aide d une intégrale. IV.B. Dans le cas particulier où f(t) = e at t n pour tout t IR +, avec n IN et a IR, expliciter E, E et calculer Lf(x) pour x E. IV.C. Comportement en l infini. On suppose ici que E n est pas vide et que f admet au voisinage de le développement limité d ordre n IN suivant : f(t) = n k= a k k! tk + O(t n+1 ) IV.C.1) Montrer que pour tout β >, on a, lorsque x tend vers +, le développement asymptotique suivant : ( ) β n a k f(t) k! tk e tx dt = O(x n 2 ) k= IV.C.2) En déduire que lorsque x tend vers +, on a le développement asymptotique : Lf(x) = n k= a k x k+1 + O(x n 2 ) IV.D. Comportement en. On suppose ici que f admet une limite finie l en +. IV.D.1) Montrer que E contient IR +. IV.D.2) Montrer que xlf(x) tend vers l en +. 2

3 5 Etude d un deuxième exemple. Dans cette partie, λ(t) = t pour tout t IR + et f(t) = sin(t) pour tout t >, f étant t prolongée par continuité en. V.A. Montrer que E ne contient pas. V.B. Montrer que E =], + [. V.C. Montrer que E contient. V.D. Calculer (Lf) (x) pour x E. V.E. En déduire (Lf)(x) pour x E. V.F. On note pour n IN et x, f n (x) = (n+1)π sin(t) e tx dt. Montrer que (f nπ t n ) n converge uniformément sur [, + [. V.G. Que vaut Lf()? 6 Injectivité dans le cas typique. Dans cette partie, λ(t) = t pour tout t IR +. VI.A. Soit g une application continue de [, 1] dans IR. On suppose que pour tout n IN, on a 1 t n g(t) dt = VI.A.1) Que dire de 1 P (t)g(t) dt pour P IR[X]? VI.A.2) En déduire que g est l application nulle. VI.B. Soient f fixée telle que E soit non vide, x E et a >. On pose h(t) = t e xu f(u) du pour tout t. VI.B.1) Montrer que Lf(x + a) = a + e at h(t) dt. VI.B.2) On suppose que pour tout n IN, on a Lf(x + na) =. Montrer que, pour tout n IN, l intégrale 1 un h ( ln(u) a ) du converge et qu elle est nulle. VI.B.3) Qu en déduit-on pour la fonction h? VI.C. Montrer que l application qui à f associe Lf est injective. 7 Etude en la borne inférieure de E. VII.A. Cas positif. On suppose que f est positive et que E n est ni vide ni égal à IR. On note α sa borne inférieure. VII.A.1) Montrer que si Lf est bornée sur E, alors α E. VII.A.2) Si α / E, que dire de Lf(x) quand x tend vers α +? VII.B. Dans cette question, f(t) = cos(t) et λ(t) = ln(1 + t). VII.B.1) Déterminer E. VII.B.2) Déterminer E. VII.B.3) Montrer que Lf admet une limite en α, borne inférieure de E, et la déterminer. 8 Une utilisation de la transformation L. Dans cette partie, P désigne l ensemble des fonctions polynomiales à coefficients complexes et on utilise la transformation L appliqué à des éléments de P pour l étude d un opérateur U. VIII.A. Soient P, Q deux éléments de P. Montrer que l intégrale + P (t)q(t)e t dt converge. 3

4 VIII.B. Pour tout couple (P, Q) P 2, on note (P, Q) = + P (t)q(t)e t dt Vérifier que (.,.) définit un produit scalaire sur P. VIII.C. On note D l endomorphisme de dérivation et U l endomorphisme de P défini par U(P )(t) = e t D(te t P (t)) Vérifier que U est endomorphisme de P. VIII.D. Montrer que pour tous P, Q de P on a (U(P ), Q) = (P, U(Q)) VIII.E. Montrer que U admet des valeurs propres dans C, qu elles sont réelles et que deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. VIII.F. Soient λ une valeur propre de U et P un vecteur propre associé. VIII.F.1) Montrer que P est solution d une équation différentielle linéaire simple que l on précisera. VIII.F.2) Quel lien y-a-t-il entre λ et le degré de P? VIII.G. Description des éléments propres de U. On considère sur [, + [ l équation différentielle (E n ) : tp + (1 t)p + np = avec n IN et d inconnue P P. VIII.G.1) En appliquant la transformation L avec λ(t) = t à (E n ), montrer que si P est solution de (E n ) sur [, + [, alors son image Q par L est solution d une équation différentielle (E n) d ordre 1 sur ]1, + [. VIII.G.2) Résoudre l équation (E n) sur ]1, + [ et en déduire les valeurs et vecteurs propres de l endomorphisme U. VIII.G.3) Quel est le lien entre ce qui précède et les fonctions polynomiales définies pour n IN par P n (t) = e t D n (e t t n )? 4

5 Second problème CCP Groupes d isométries sur IR n Notations Dans ce sujet, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et on note : E l espace vectoriel IR n et B = (e 1,.., e n ) sa base canonique.,. le produit scalaire canonique sur E : si x = (x 1,.., x n ey y = (y 1,.., y n ) sont deux n vecteurs de E, on a x, y = t XY = x i y i où X et Y sont les matrices colonnes des vecteurs x et y dans la base B (B est donc une base orthonormale pour.,. ) L(E) la IR-algèbre des endomorphismes de E GL(E) le groupe des automorphismes de E M n,1 (IR) le IR-espace vectoriel des matrices à n lignes et une colonne M n (IR) la IR-algèbre des matrices carrées réelles de taille n GL n (IR) le groupe des matrices inversibles de M n (IR) pour une matrice A de M n (IR), t A est sa matrice transposée O n (IR) le groupe des matrices orthogonales, c est-à-dire des matrices A de M n (IR) vérifiant t AA = I n où I n est la matrice unité de M n (IR) S n ++ (IR) l ensemble des matrices symétriques définies positives de M n (IR), c est-à-dire des matrices A de S n (IR) vérifiant : pour toute matrice X M n,1 (IR) non nulle, t XAX >. Si x 1, x 2,..x n sont des réels, on note diag (x 1, x 2,..., x n ) la matrice diagonale de M n (IR) qui admet pour coefficients diagonaux les réels x 1, x 2,.., x n dans cet ordre. Si p est un réel supérieur ou égal à 1, on note. p la norme p sur E : ( n ) 1 p si x = (x 1,..., x n ) E, x p = x i p On note. la norme infinie sur E : si x = (x 1,..., x n ) E, x = max 1 i n x i Une norme N sur E est dite euclidienne s il existe un produit scalaire ϕ sur E tel que pour tout x E, N(x) = ϕ(x, x) Objectifs Si N est une norme sur E, on dit qu un endomorphisme u L(E) est une N-isométrie si pour tout x E, N(u(x)) = N(x) On note Isom(N) l ensemble des N-isométries. L objectif du problème est de déterminer le nombre d éléments de Isom(N) dans le cas des normes euclidiennes puis des normes p. I. Description des normes euclidiennes 1. Identité du parallélogramme (a) Montrer que si N est une norme euclidienne alors elle vérifie l identité du parallélogramme, c est-à-dire pour tous vecteurs x et y de E, on a (N(x + y)) 2 + (N(x y)) 2 = 2 [(N(x)) 2 + (N(y)) 2 ] En déduire que la norme. n est pas euclidienne. (b) Justifier que la norme. 2 est euclidienne puis montrer que pour p 2, la norme. p n est pas euclidienne. 5

6 2. Soit S S n ++ (IR) Si x = (x 1,.., x n ) et y = (y 1,.., y n ) sont deux vecteurs de E, on note X =. Y = y 1. y n x 1 x n et les matrices colonnes associées. Montrer que si l on pose x, y S = t XSY, alors.,. S définit un produit scalaire sur E. 3. Soit ϕ un produit scalaire sur E et S la matrice de coefficients (ϕ(e i, e j )). Justifier que pour tous vecteurs x et y de E ϕ(x, y) = t XSY et que S S n ++ (IR). On a donc montré que ϕ =.,. S. Toute norme euclidienne peut donc s écrire sous la forme : N S : x t XSX avec S S n ++ (IR) où X désigne la matrice colonne associée à x. II. Quelques généralités et exemples Soit N une norme sur E. 4) Montrer que (Isom(N), ) est un sous-groupe de GL(E) 5) Une caractérisation géométrique des N-isométries On note Σ(N) = {x E, N(x) = 1}, la sphère unité pour N Soit u L(E). Montrer que u est une N-isométrie si et seulement si u (Σ(N)) = Σ(N). Le groupe des N-isométries est donc l ensemble des endomorphismes laissant stable la N-sphère unité. 6) Dans cette question uniquement n = 2 et donc E = IR 2. On note s la symétrie orthogonale par rapport à la droite D = Vect{e 1 e 2 } où (e 1, e 2 ) est la base canonique de IR 2 et r la rotation vectorielle d angle π 3. Les endomorphismes s et r sont-ils des. 1 -isométries? 7) Dans cette question uniquement n = 3 et donc E = IR 3. Si (x, y, z) IR 3, on pose q(x, y, z) = 3x 2 + 2y 2 + 3z 2 2xz, ce qui définit une forme quadratique q. x (a) On note X = y, déterminer une matrice symétrique S M 3 (IR), telle que z q(x, y, z) = t XSX (b) Déterminer une matrice P O 3 (IR) et une matrice diagonale D M 3 (IR) telles que S = P D t P. (c) Justifier alors que l application N q : (x, y, z) q(x, y, z) est une norme euclidienne sur IR 3 (d) Déterminer la nature géométrique de la quadrique Σ(N q ), la sphère unité pour la norme N q et en donner une équation simple dans une nouvelle base (e) Justifier que Σ(N q ) est une surface de révolution, préciser un vecteur qui dirige son axe. (f) Déduire de la question 5, par une considération géométrique, que Isom(N q ) a une infinité d éléments. 6

7 III. Étude de Isom(N) lorsque N est une norme euclidienne Si u L(E), on note [u] B la matrice de u dans la base B. Si N est une norme, on note ISOM(N) = {[u] B, u Isom(N)}. L ensemble ISOM(N) est par construction un groupe isomorphe à Isom(N), c est sa version matricielle. 8) Caractérisation matricielle des isométries euclidiennes (a) Soit S S ++ n (IR), N S la norme euclidienne associée et.,. S le produit scalaire associé. Soit u L(E). Montrer que u est une N S -isométrie si et seulement si pour tous vecteurs x et y de E, on a u(x), u(y) S = x, y S (b) En déduire que u est une N S -isométrie si et seulement si sa matrice A dans B vérifie t ASA = S 9) Reconnaître alors ISOM(. 2 ). Que peut-on dire du nombre d éléments de ISOM(. 2 )? Justifier votre réponse. 1) Une application des polynômes interpolateurs IR r [X] désigne le IR-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à r. On se donne r + 1 réels x < x 1 <.. < x r. On considère l application linéaire u de IR r [X] vers IR r+1 définie par P (P (x ), P (x 1 ),.., P (x r )) (a) Déterminer le noyau de u. En déduire que pour tous réels y, y 1,.., y r, il existe un unique polynôme L de IR r [X] tel que pour tout i {,.., r}, L(x i ) = y i (un tel polynôme est appelé polynôme interpolateur). (b) Application : soit n un entier naturel non nul et u 1,.., u n des réels strictement positifs, on pose U = diag(u 1,..., u n ) et V = diag( u 1,..., u n ). Montrer qu il existe un polynôme L, à coefficients réels, tel que V = L(U). 11) Racine carrée dans S n ++ (IR) (a) Soit S S n ++ (IR). Déterminer une matrice A S n ++ (IR) telle que A 2 = S. On dit que A est une racine carrée de S. (b) Soit B S n ++ (IR) une autre racine carrée de S. Montrer qu il existe un polynôme Q, à coefficients réels, tel que A = Q(B). En déduire que A et B commutent. (c) Montrer que la somme de deux matrices symétriques définies positives est une matrice inversible. (d) Déduire des questions précédentes que A = B (on pourra calculer (A + B) (A B)). Désormais, on note S l unique racine carrée dans S n ++ (IR) de S. 12) Étude du groupe d isométrie pour une norme euclidienne Soit N une norme euclidienne. Il existe donc une matrice S S n ++ (IR) telle que pour tout x E, N(x) = N S (x) = t XSX où X est le vecteur colonne associée à x. ( S ) 1 (a) Montrer que si M O n (IR), la matrice M S appartient à ISOM(NS ) (b) Montrer que l application ψ de O n (IR) dans ISOM(N S ) définie par M ( S ) 1 M S est une bijection. Le groupe d isométrie d une norme euclidienne est-il fini? 7

8 IV. Étude du cardinal de Isom(p) Dans cette partie p est un réel strictement supérieur à 1, on appelle exposant conjugué de p l unique réel q tel que 1 p + 1 q = 1 Pour alléger l écriture, une p-isométrie désigne une isométrie pour la norme. p et on note Isom(p) le groupe des p-isométries. Si u L(E), u désigne l adjoint de u pour.,.. On rappelle que u L(E), est caractérisé par l égalité suivante : pour tout (x, y) E 2, u(x), y = x, u (y). 13) Endomorphismes de permutation signée P n désigne le groupe des permutations de l ensemble 1, 2,..., n. Soit σ P n et ε = (ε 1,.., ε n ) { 1, +1} n. On note u σ,ε l endomorphisme de E qui vérifie pour tout i {1, 2,.., n}, u σ,ε (e i ) = ε i e σ(i). (a) Montrer que u σ,ε est une p-isométrie. (b) Écrire la matrice de u σ,ε dans la base canonique dans le cas où n = 4, σ = et ε = (1, 1, 1, 1) 14) Inégalité de Holdër ( ) (a) Montrer que pour tous réels a et b positifs ou nuls, on a ab 1 p ap + 1 q bq. On pourra utiliser la fonction logarithme népérien. (b) En déduire que pour tous vecteurs x et y de E, on a x, y x p y q. Ce résultat s appelle l inégalité de Holdër (on pourra d abord démontrer l inégalité lorsque x p = y q = 1 ). (c) Que devient l inégalité si p = 2? Dans toute la suite, u désigne une p-isométrie. On note (a ij ) les coefficients de la matrice A = [u] B. n n n 15) Montrer que pour tout j {1, 2,.., n}, a ij p = 1. En déduire la valeur de a ij p 16) Une formule clé de dualité Soit x E. On note Σ q = {z E, z q = 1}. (a) Justifier l existence du réel max y Σ q x, y. (b) Justifier que max y Σ q x, y x p. Soit i {1, 2,.., n} ; si x i, on pose y i = ε i x i p 1 x 1 p p où ε i désigne le signe de x i et si x i =, on pose y i =. On définit ainsi un vecteur y = (y 1,.., y n ). Montrer que x, y = x p puis montrer l égalité suivante : x p = max x, y. y Σ q 17) En déduire que si u est une p-isométrie, u est une q-isométrie. Donner alors, en justifiant, n n la valeur de a ji q j=1 18) On suppose de plus que p 2 (a) Soient α 1, α 2,.., α r des réels dans [, 1] vérifiant r k=1 α p k = r k=1 j=1 α q k. Montrer avec soin que pour tout k {1, 2,.., r}, α k ne prend qu un nombre fini de valeurs à déterminer. 8

9 (b) En déduire que pour tout i et j dans {1, 2,.., n}, a ij ne peut prendre que 2 valeurs différentes que l on précisera (on rappelle que les a ij sont les coefficients de la matrice d une p-isométrie). 19) Conclusion Montrer alors que lorsque p 2, Isom(p) est un groupe fini dont on déterminera le cardinal. On remarquera en particulier que ce cardinal est indépendant de p. Commentaire : Les p-isométries pour p 2 sont seulement en nombre fini, contrairement aux isométries euclidiennes qui forment un groupe infini mais compact (pas très difficile à montrer). Sur IR n, la géométrie euclidienne est donc plus riche que celle des normes p pour p 2. 9

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