La conjugaison des endomorphismes de R n

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1 La conjugaison des endomorphismes de R n TIPE 2006 Sous la direcion de Nicolas Tosel

2 Plan 1 Inroducion Posiion du problème Noaions La classificaion linéaire L équivalence La similiude Définiion Réducion de Jordan Descripion des classes de similiude Inérê des classes de similiude L équivalence différenielle Moivaion e définiion Eude des classes d équivalence La classificaion opologique Définiions e inérê Définiions Inérê Classes de conjugaison hyperboliques La parie nilpoene La parie auomorphique Conclusion Classes de conjugaison non hyperboliques Le héorème de Großman - Harman Préliminaire Théorème de Großman - Harman

3 Résumé La deuxième moiié du XX eme siècle a connu l essor de la désormais bien connue Théorie du chaos. On enend par là l éude de sysèmes physiques rès complexes liés à des équaions que l on ne peu résoudre direcemen, que l on a du mal à appréhender. La héorie mahémaique a rès largemen conribué à mieux comprendre bon nombre de ces phénomènes, e sous une forme ou à fai inédie. En effe, c es l éude opologique des foncions linéaires de R n qui a poussé aux résulas les plus probans, ces foncions linéaires représenan l évoluion de sysèmes physiques, plus précisémen leurs éas, sous la forme de porrais de phase à n dimensions. Tou l enjeu de cee éude des endomorphismes de R n a éé de rouver des moyens de classer les sysèmes qui se ressemblen (ie. qui on à peu près le même comporemen ), e c es précisémen dans ce domaine que la puissance des ouils opologiques s es révélée. Les résulas que l on cherche son plus qualiaifs que précisémen quaniaifs. Cee éude rès riche des endomorphismes de R n aboui à une classificaion quasi-oale de ceux-ci. Par classificaion, on enend séparaion en classes d objes sémaniquemen e srucurellemen proches, dans un sens qu il nous rese bien sûr à définir sans ambiguïé. Le problème a éé résolu en grande parie par J.H. Kuiper e J.W. Robin en 1972, e c es sur leur ravail que nous nous appuierons. D abord, nous nous aacherons à bien comprendre le problème e ses enjeux. Puis nous éudierons la classificaion linéaire des endomorphismes, plus communémen appelée similiude en algèbre linéaire. On affinera encore la précision de nore éude en considéran la classificaion opologique, beaucoup plus précise e complexe, pour enfin illusrer son uilié par un déour du côé du héorème de Großman - Harman. i

4 1. Inroducion 1 1 Inroducion 1.1 Posiion du problème Dans oue la suie, n N. Comme annoncé, nore éude se limiera ici aux endomorphismes de R n. On cherche à classer ces objes de manière uile e cohérene. Par classer, on enend séparer les espaces en classes d équivalence relaives à des relaions d équivalence qu on aura pris le soin de définir e de jusifier clairemen. C es le choix de ces relaions qui sera plus ou moins perinen pour aeindre nore bu : arriver à une classificaion puissane des endomorphismes. Une classificaion puissane es en subsance une classificaion qui nous donnera des résulas rès fors si deux endomorphismes appariennen à la même classe d équivalence. Par exemple, on peu espérer comprendre l acion globale d un endomorphisme sur R n donné en connaissan seulemen celle d un élémen qui lui es équivalen. Par naure, on aend donc des résulas plus qualiaifs que quaniaifs. 1.2 Noaions On noera L(R n ) l ensemble des endomorphismes de R n, ie. les applicaions linéaires de R n dans lui-même. L ensemble des marices correspondanes sera noé M n (R). Le groupe des inversibles de L(R n ) (groupe linéaire) sera noé GL(R n ). Lorsque le conexe es éviden, on confondra l endomorphisme e sa marice, e les consanes seron idenifiées à l homohéie correspondane. L(R n ) sera normé par la norme riple usuelle ( ) subordonnée à la norme euclidienne classique ( ). On noera C 1 l espace des C 1 -difféomorphismes de R n dans lui-même. La différenielle de ϕ C 1 évaluée en x R n sera désignée par dϕ (x). L espace des homéomorphismes de R n dans lui-même sera noé H.

5 2. La classificaion linéaire 2 2 La classificaion linéaire Nous formulons ici les relaions en ermes d endomorphismes car cela es plus maniable, mais il es bien éviden que les énoncés son similaires sur les marices. 2.1 L équivalence La première relaion d équivalence qui vien à l espri es classique. C es le changemen de base d un poin de vue mariciel, ou plus simplemen la conjugaison par deux isomorphismes : [2.A] Définiion. (Equivalence) Soien (u, v) L(R n ) 2. On défini la relaion ainsi : u v (p, q) GL(R n ) 2 els que v = p u q C es bien une relaion d équivalence comme on le vérifie immédiaemen. Une éude simple monre que les classes d équivalence de cee relaion son rop simples pour êre uiles : il y en a n + 1, e elles son consiuées des endomorphismes de rang fixé. Il es bien éviden qu une elle classificaion es beaucoup rop grossière pour décrire précisémen l acion globale d un endormorphisme sur R n. 2.2 La similiude Définiion La similiude es une relaion beaucoup plus fine que la simple équivalence. On demande en plus, dans la définiion ci-dessus : q = p 1. Ainsi, deux endomorphismes son semblables lorsque leur acion es idenique, simplemen déplacée d une base sur une aure. Mariciellemen, cela revien à considérer que deux marices son semblables si e seulemen si elles représenen un même endomorphisme dans deux bases différenes. On défini donc la relaion d équivalence suivane : [2.B] Définiion. (Similiude) Soien (u, v) L(R n ) 2. On défini la relaion l ainsi : u l v p L(R n ) el que v = p u p 1 Il devien alors inéressan de s aacher à déerminer les classes d équivalence définies par cee relaion : les classes de similiude Réducion de Jordan Le héorème de réducion dû à Jordan enlève ou mysère à l éude des classes de similiude de L(R n ) (e donc corollairemen de M n (R)).

6 2. La classificaion linéaire 3 Par convenion, on noera h k,λ un k-bloc de Jordan associé à la valeur propre λ : h k,λ = aille k { }} { λ λ Pour alléger la noaion, on convien que h k = h k,0. [2.C] Théorème. (Réducion de Jordan réelle) Soi A M n (R). Alors A es semblable à la marice J, qui s écri par blocs : h k1,λ 1... J = h ks,λ s K 1, avec K l = Λ l I I2 Λ l... Kr où Λ l = ( ) al b l b l a l Les réels λ l son les valeurs propres réelles (non-nécessairemen disinces) de A ; les nombres complexes a l ± ib l (b l 0) les valeurs propres complexes conjuguées (non-nécessairemen disinces). Noons que la réducion de Jordan (parfois appelée jordanisaion) généralise en quelque sore la diagonalisaion puisqu elle rend l acion d un endomorphisme excessivemen simple e inelligible en rouvan une base dans laquelle la marice es rès vide. Elle coïncide d ailleurs avec la forme diagonale dans le cas de marices diagonalisables Descripion des classes de similiude Le héorème précéden associe à chaque marice, de manière univoque, sa forme normale : une marice qui lui es semblable formée simplemen de blocs de Jordan. Ainsi, deux endomorphismes son semblables si e seulemen si leur marice on même forme normale. La classificaion de L(R n ) par classes de similiude es donc réduie à la déerminaion de cee forme normale de Jordan. Par conséquen, si l on noe N f (λ, k) le nombre de k-blocs de Jordan (blocs de Jordan de aille k) associés à la valeur propre λ pour f, les N f (λ, k) son des invarians de similiude, e ils caracérisen même chaque classe de similiude. Les connaîre ous es clairemen équivalen à connaîre la forme normale de l endomorphisme f, d où la :

7 2. La classificaion linéaire 4 [2.D] Proposiion. (CNS de similiude) Soien (u, v) L(R n ) 2, u l v λ C, k N, N u (λ, k) = N v (λ, k) Inérê des classes de similiude La classificaion linéaire mesure des ressemblances rès quaniaives enre les endomorphismes. Par exemple, deux endomorphismes ayan des valeurs propres rès proches, mais différenes, seron jugés comme définiivemen différens. Pouran, il es bien éviden que leur acion sur R n risque de ne pas êre vraimen différene qualiaivemen. Le bu qu on s es fixé au débu de cee éude, à savoir déerminer des correspondances plus qualiaives que quaniaives, n es pas compaible avec ce résula. On préfèrerai que, an que les endomorphismes on des acions voisines, ils soien considérés comme équivalens. La classificaion linéaire ne perme pas de elle disincion. Remarquons au passage que cee rigidié se radui dans le fai qu il y a une infinié de classes de similiude (car une infinié de valeurs propres possibles). Cependan, cela ne veu pas dire pour auan que cee classificaion es inuile. Elle perme de résoudre beaucoup de problèmes, mais principalemen en algèbre linéaire. 2.3 L équivalence différenielle Moivaion e définiion Afin d affiner oujours les classes d équivalence, on pourrai supprimer une grosse conraine sur l élémen qui conjugue deux endormorphismes équivalens : la linéarié. Demandons-nous simplemen ce que deviennen les classes si, au lieu d imposer que p soi un endomorphisme dans la définiion, on demande seulemen que p soi un C 1 -difféomorphisme. On obien alors la définiion analogue : [2.E] Définiion. (Equivalence différenielle) Soien (u, v) L(R n ) 2. On défini la relaion d ainsi : u d v ϕ C 1 el que v = ϕ u ϕ Eude des classes d équivalence Un imporan héorème perme de résoudre simplemen le problème de la déerminaion des classes d équivalence pour cee relaion :

8 2. La classificaion linéaire 5 [2.F] Théorème. (Classes d équivalence différenielle) Soien (u, v) L(R n ) 2, alors : u l v u d v [2.G] Corollaire. Les classes d équivalence de l son les mêmes que celles de d. Ainsi, il apparaî que l équivalence différenielle n es en rien plus fine que l équivalence linéaire. Finalemen, on s aperçoi donc que le fai d auoriser les conjugaisons par C 1 -difféomorphismes ne perme pas d affiner les classes d équivalence. Mais revenons ici sur la démonsraion de ce héorème. Preuve de [2.F]. Afin de simplifier les calculs, considérons le lemme suivan : [2.H] Lemme. Soien (u, v) L(R n ) 2 avec u d v. Alors : ψ C 1 el que { v = ψ u ψ 1 ψ(0) = 0 Admeons provisoiremen ce lemme. Considérons alors nos deux endomorphismes u e v conjugués par ψ comme dans le lemme. Par la règle de la chaîne, en différencian v = ψ u ψ 1, on obien : dv (x) = dψ (u(ψ(x) 1 )) du (ψ(x) 1 ) dψ (x) 1 (2.i) Puis, en noan que du (0) = u e dv (0) = v par linéarié de u e v, ψ(0) = 0 donne en évaluan (2.i) en 0 : v = dψ (0) u dψ (0) 1 E on consae donc que u l v puisque dψ (0) L(R n ). Le sens indirec du héorème es ainsi prouvé. Le sens direc es rivial : si u e v son linéairemen conjugués, u e v son a foriori conjugués par un C 1 -difféomorphisme puisqu un isomorphisme d un espace vecoriel de dimension de finie es égalemen un C 1 -difféomorphisme (définiion rivialemen vérifiée). Preuve de [2.H]. Soien (u, v) L(R n ) 2 avec u d v, e ϕ C 1, el que v = ϕ u ϕ 1. On pose ψ(x) = ϕ(x) ϕ(0). Nous allons monrer que ψ réalise ce qu on veu. ψ(0) = 0 es clairemen vérifiée. Rese à voir que v = ψ u ψ 1 l es

9 2. La classificaion linéaire 6 égalemen. Calculons en préliminaire ψ 1 : x R n, ψ(x) + ϕ(0) = ϕ(x) x R n, ϕ 1 (ψ(x) + ϕ(0)) = x y R n, ψ 1 (y) = ϕ 1 (y + ϕ(0)) Mainenan, ψ u ψ 1 (x) : x R n, ψ u ψ 1 (x) = ϕ u ψ 1 ϕ(0) = ϕ u ϕ 1 (x + ϕ(0)) ϕ(0) = v (x + ϕ(0)) ϕ(0) = v(x) + v ϕ(0) ϕ(0) = v(x) + ϕ u(0) ϕ(0) = v(x) Ainsi, on a bien v = ψ u ψ 1, avec ψ C 1 e ψ(0) = 0. Le lemme es donc prouvé. Mainenan, les classes de similiude son parfaiemen comprises e décries, e leur connaissance perme de répondre à bon nombre de problèmes classiques d algèbre linéaire. Même après avoir ené d éendre les classes d équivalence en auorisan des C 1 -difféomorphismes comme conjuguans, on rerouve les mêmes classes, e donc la même classificaion. Il semble donc que nous ayons épuisé ce qui concerne la classificaion linéaire des endomorphismes de R n. Pour obenir un résula plus fin, il va falloir demander encore moins à l élémen conjuguan : êre seulemen un homéomorphisme. Comme le monre la parie 3, ce poin de vue s avére rès ferile e perme de répondre à des problèmes qualiaifs oujours plus précis e complexes.

10 3. La classificaion opologique 7 3 La classificaion opologique 3.1 Définiions e inérê Définiions Comme on l a vu, pour affiner les classes d équivalence, il fau resreindre les conraines imposées à l élémen conjuguan. On lui enlève donc l hypohèse de différeniabilié pour arriver à la définiion suivane : [3.A] Définiion. (Conjugaison opologique) Soien (u, v) L(R n ) 2. On défini la relaion ainsi : u v h H el que v = h u h 1 Pour voir que les classes de conjugaison obenues son beaucoup plus fines, il suffi de considérer un exemple rès simple. En dimension 1, soien les endomorphismes de R : f(x) = 2x e g(x) = 8x. On a f l g (les valeurs propres son conservées par similiude) mais f g (l homéomorphisme conjuguan éan ϕ(x) = x 3 ). Cela présage d une complexié largemen supérieure dans la répariion des classes d équivalence. Quelques nouvelles noions e noaions son nécessaires pour la suie de cee secion. Explicions-les à présen. Soi f L(R n ). On noe W σ (f) (où σ =, +, 0,, a) la somme des sousespaces caracérisiques de f associés à oues les valeurs propres de f conenues dans l ensemble E σ, où E σ es défini selon σ comme sui : E = {0} E + = {λ C, 0 < λ < 1} E = {λ C, λ > 1} E 0 = {λ C, λ = 1} = U E a = C On remarque que W a (f) = W + (f) W (f) W 0 (f). La décomposiion de f en sous-espaces caracérisiques donne donc que les W σ (f) son sables par f e que : R n = W (f) W + (f) W (f) W 0 (f) = W a (f) W (f) On noera simplemen f σ la resricion de f à W σ (f). f a es la parie die auomorphique de f, ie. W a (f) es le plus grand sous-espace sable par f sur lequel f agi comme un auomorphisme. f + (resp. f ) es la parie asympoique posiive (resp. négaive) de f, ie. W + (f) (resp. W (f)) es l ensemble des x R n els que lim m + f m (x) = 0 (resp. lim m + f m (x) = 0), cf. [3.C] plus bas. Enfin, f es la parie nilpoene de f, ie. W (f) es le plus grand sousespace sable par f sur lequel f agisse comme un nilpoen.

11 3. La classificaion opologique 8 Pour finir, on défini la noion rès inuiive de sous-espace opologiquemen sable : [3.B] Définiion. (Sous-espace opologiquemen sable) Soi W une applicaion qui à chaque endomorphisme f de L(R n ) associe un sous-espace W(f) de R n sable par f. On di que W es opologiquemen sable si e seulemen si lorsqu on prend deux endormorphismes f e g opologiquemen conjugués, avec h H el que g = h f h 1 e h(0) = 0, on a W(g) = h (W(f)). C es en pariculier le cas si W(f) peu êre défini à parir de f par des ermes opologiques (son noyau, son image,...). La proposiion suivane es alors immédiae : [3.C] Proposiion. W, W a, W +, W son des invarians opologiques. [3.D] Corollaire. Soien (f, g) L(R n ) 2, on a : f g = f g f a ga f + g+ f g Preuve de [3.C]. Soi f L(R n ), on a : W (f) = Ker f n W a (f) = Im f n car, respecivemen, l indice de nilpoence de f es inférieur ou égal à la dimension de l espace (n), e car W a (f) W (f) avec f inversible sur W a (f) (puis éude simple dans la décomposiion en espaces caracérisiques). Donc W e W a son des invarians opologiques puisqu ils son définis à parir de noions opologiques sur f. Puis, la décomposiion en sous-espaces caracérisiques fourni (il suffi de noer que la muliplicaion iéraive d un veceur par une marice riangulaire ayan des ermes de valeur absolue inférieure à 1 sur sa diagonale end vers 0) : W + (f) = {x R n, lim m + f m (x) = 0} W (f) = {x R n, lim m + f m (x) = 0}

12 3. La classificaion opologique 9 On a alors que W + e W son des invarians opologiques en uilisan : g = h f h 1 m Z, g m = h f m h 1 Preuve de [3.D]. On a h H el que g = h f h 1, donc (pour σ =, +,, a), g Wσ (g) = h f h 1 W σ (g) = h f W σ (f) h 1 (par l invariance opologique de W σ ), d où g σ = h f σ h 1, d où f σ gσ. Remarque 1. W 0 n es, en général, pas un invarian opologique 2 comme pourrai le monrer l éude de l auomorphisme de R 3 donné par : Enfin, définissons simplemen la foncion orienaion : 1 si de f > 0 or (f) = signe(de f) = 0 si de f = 0 1 si de f < Inérê L inérê de la classificaion opologique es qu elle es inimemen reliée à la dynamique du sysème auonome relié aux endomorphismes classés. En fai, deux endomorphismes f e g équivalens opologiquemen son complèemen ideniques du poin de vue dynamique. Par dynamique, on enend que l acion de chaque endomorphisme es exacemen la même, simplemen déplacée d un repère dans un aure. Typiquemen, on considère f e g comme des champs de veceurs linéaires e on éudie le comporemen de leurs iérées : ϕ n : ψ n : { { ϕ 0 = x 0 ϕ n+1 = f(ϕ n ) ψ 0 = x 0 ψ n+1 = g(ψ n ) L équivalence opologique de f e de g perme alors de déduire des propriéés de ressemblance rès fores enre les comporemens de ϕ n e ψ n. Aenion cependan, oues les informaions obenues seron exclusivemen qualiaives, e non quaniaives (il faudrai connaîre le conjuguan pour espérer avoir de elles informaions). Par exemple, e comme on va le démonrer dans la prochaine secion, si on connaî le nombre de direcions asympoiques posiives ou négaives de ϕ n, on es cerain que ψ n en a auan. Ainsi, l allure des iérées es la même, à un homéomorphisme près. La figure 1 illusre ceci en exhiban la dynamique de deux endomorphismes conjugués opologiquemen (en dimension 2) :

13 3. La classificaion opologique 10 Figure 1: Dynamiques de deux endomorphismes opologiquemen équivalens Remarque 2. Nous avons ici adopé un poin de vue discre en considéran les iérées des endomorphismes. Les mêmes remarques peuven êre faies sur les sysèmes coninus correspondan à f e à g : ϕ () = f (ϕ()) ψ () = g (ψ()) Par conre, les crières sur les valeurs propres ne son plus ou à fai les mêmes (mais équivalens, on doi alors passer à l exponenielle). 3.2 Classes de conjugaison hyperboliques On appelle endomorphismes hyperboliques, e on noe HL (R n ) leur ensemble, les endomorphismes f de R n pour lequels W 0 (f) = {0}, ie. les f n ayan aucune valeur propre de module 1. Nous allons commencer par éudier les classes d équivalence de sur ce ensemble. C es, comme on le verra, plus aisé que dans le cas général (on évie le problème posé par le fai que W 0 n es pas un invarian opologique). De plus, ce ensemble consiue un ouver dense de L(R n ), donc on raie ici le cas générique de l endomorphisme de R n La parie nilpoene [3.E] Théorème. (Equivalence opologique des nilpoens) Soien (f, g) L(R n ) 2, alors : f g f l g [3.F] Corollaire. Deux endomorphismes nilpoens son opologiquemen équivalens si e seulemen si ils son linéairemen équivalens.

14 3. La classificaion opologique 11 Ce corollaire es immédia en combinan [3.D] e [3.E]. Preuve de [3.E]. Soien f e g deux endomorphismes de R n els que f g. Si l on monre que pour ou enier k on a N f (0, k) = N g (0, k), alors les N f (0, k) pourron êre considérés comme invarians opologiques. E comme f e g n on pour valeur propre évenuelle que 0 par définiion, f e g auraien les mêmes blocs l g par la caracérisaion des classes de similiude éablie de Jordan, d où f en [2.D]. Rese donc à monrer que : k N, N f (0, k) = N g (0, k). Pour cela, il suffi de noer que : j k N f (0, j) = dim ( Im f k 1 Ker f ) (3.i) Ainsi, en accepan provisoiremen cee égalié, cee somme es un invarian opologique (définie à parir de ermes opologiques sur f). Puis, en écrivan : N f (0, k) = N f (0, j) N f (0, j) j k j k+1 on obien bien que N f (0, k) es un invarian opologique pour ou enier k, e donc que : k N, N f (0, k) = N g (0, k). Revenons sur l égalié (3.i). Elle provien d une éude simple du résula des iérées de h j, pour j N fixé. Il es immédia que si j < k, alors h j k 1 es nulle (h j es nilpoene d indice j k 1), e donc Im h j k 1 Ker h j = {0}. Sinon, h j k 1 es de la forme : h j k 1 = où les 1 son sur la (k 1) eme diagonale Ainsi, en noan b = (b 1,..., b j ) une base adapée à ce bloc, on a Im h k 1 j = Vec (b 1,..., b j k+1 ). Or, il es immédia de voir que Ker h j = Vec (b 1 ) d après la forme de h j. Donc on obien : Im h k 1 j Ker h j = Vec (b 1 ). Pour résumer, on a donc le résula suivan : dim ( { Im h k 1 ) 1 si j k j Ker h j = 0 sinon Chaque bloc de Jordan de la forme normale de f éan sable par f, on peu appliquer indépendammen ce raisonnemen à chacun. On arrive alors à l égalié : j k N f (0, j) = dim ( Im f k 1 Ker f ) qui es l égalié (3.i) que l on voulai prouver.

15 3. La classificaion opologique La parie auomorphique Le bu de cee parie es d éablir le : [3.G] Théorème. (Conjugaison des auomorphismes hyperboliques) Soien f e g HL (R n ) inversibles, alors : rg (f + ) = rg (g + ) f rg (f g ) = rg (g ) or (f + ) = or (g + ) or (f ) = or (g ) Remarque 3. L hypohèse f e g inversibles es simplemen ici pour assurer que W (f) = W (g) = {0}. De ce héorème, on ire immédiaemen le : [3.H] Corollaire. (Dénombremen des classes opologiques) Il y a exacemen 4n classes d équivalence opologique au sein des auomorphismes hyperboliques. Le nombre plus raisonnable de classes d équivalence opologique par rappor à celles de similiude laisse présager d une meilleure classificaion : on peu espérer une classificaion selon des caracères srucurels e non quaniaifs. Preuve de [3.G]. Le sens direc es éviden au vu des résulas déjà éablis. En effe, le rang d une applicaion ainsi que son orienaion son clairemen des invarians opologiques. Donc [3.D] perme d éablir le sens direc. C es le sens indirec qui es beaucoup moins aisé à démonrer. Déjà, on peu simplifier le problème en remarquan que : 1. L équivalence opologique respece les sommes direces ie. si f = f 1 f 2 e g = g 1 g 2 (noaions évidenes), alors 2. f + = ((f 1 ) ) 1 f g f 1 g1 e f 2 g2 Ces fais son évidens siô qu on écri f sous sa forme normale de Jordan, c es pourquoi ils ne seron pas démonrés ici. Ils permeen de réduire la preuve du héorème à celle de f g sous les mêmes hypohèses. En appliquan le résula à f 1 e g 1 (les hypohèses éan clairemen vérifiées), on aurai alors (f 1 ) (g 1 ), d où ( ) (f 1 1 ( ) 1, ) (g 1 ) e f+ g+ (par le poin 2 ci-dessus). Le sens indirec serai alors enièremen prouvé d après le poin 1.

16 3. La classificaion opologique 13 Rese donc à monrer le : [3.I] Lemme. Soien (f, g) HL (R n ), alors : { rg (f ) = rg (g ) or (f ) = or (g ) = f g Preuve de [3.I]. Dans cee preuve, on confondra les marices dans une base (fixée) de R n e les applicaions linéaires associées, le conexe éan rès clair. Pour éablir ce lemme, il nous fau remarquer que, si ε = ± 1 : ε λ ε λ ε e ε e (3.ii) (où e = exp (1) e 1 < λ ) En accepan cee équivalence opologique, [3.I] devien facile à prouver. En effe, (3.ii) nous di que : h j, ελ ε e Ij. Il rese alors à remarquer qu on a simplemen : ( ) ( ) e 0 e 0 (3.iii) 0 e 0 e Ainsi, en appliquan (3.ii) e (3.iii) à la décomposiion de Jordan de f, on obien que : or (f ) e e f... = E f e On consae alors que rg (f ) = rg (g ) e or (f ) = or (g ) permeen de conclure que f g. En effe, rg (f ) = rg (g ) assure que la aille de E f es la même que celle de E g, e or (f ) = or (g ) que E f = E g. Ainsi, f e g son opologiquemen équivalens au même endomorphisme de marice E = E f = E g. Par ransiivié, on a bien f g. Rese donc à monrer (3.ii) e (3.iii) pour achever la démonsraion du lemme, e donc celle du héorème. Pour cela, considérons le :

17 3. La classificaion opologique 14 [3.J] Lemme. Soien (α, β, γ) R + R 2 +, ε = ± 1, j N. Posons a e b dans HL ( R j) inversibles : a ε,α,β,γ (x) = (ε exp (α + iβ + γh j )) (x) b ε (x) = (ε e) (x) alors, on a : a ε,α,β,γ bε Accepons quelques insans ce lemme pour monrer (3.ii) e (3.iii). (3.iii) es prouvée par le fai que e I es la marice de l auomorphisme hyperbolique a 1, 1, π,0 (noaions du lemme) qui es, par le lemme, opologiquemen équivalen à b 1. C es le résula voulu. (3.ii) découle du fai que h j es linéairemen (e donc opologiquemen) conjugué à oue marice nilpoene de aille j e de noyau unidimensionnel (c es immédia par le héorème de Jordan). Ainsi, si λ = exp (α + i β) (on ravaille sur f donc λ > 1 d où α > 0), on a : b ε aε,α,β,γ = ε exp (α + i β + γ h j, λ ) = ε λ I j + ε T γ,j ε λ I j + h j où T γ,j es riangulaire supérieure srice de noyau unidimensionnel (les ermes sur-diagonaux son non-nuls). On a donc finalemen l équivalence voulue. Revenons donc à la preuve de [3.J] qui erminera cee démonsraion. Preuve de [3.J]. On prend les hypohèses du lemme e les mêmes noaions. Le bu de la démarche qui va suivre es de monrer que a ε,α,β,γ e b ε son différeniellemen équivalens, ce qui implique rivialemen l équivalence opologique. Pour cela, on va monrer que l on peu passer de l acion de a ε,α,β,γ à celle de b ε par un changemen de repère C 1. On noera ici x, y le produi scalaire usuel du R-espace vecoriel C j : ( j x, y = Re i = 1 x i y i ) pour x = (x 1,..., x j ) e y = (y 1,..., y j ) dans C j. On noera x = x, x la norme euclidienne associée, e on remarquera que x, i x = 0. Eudions mainenan le sysème différeniel défini comme sui : ϕ () = (α + i β + γ h j ) (ϕ()) (3.iv) On peu écrire immédiaemen le flux associé à cee équaion : φ x () = exp ((α + i β + γ h j )) (x)

18 3. La classificaion opologique 15 qui es l évoluion emporelle de la soluion vérifian φ x (0) = x. mainenan la dynamique de φ x. L équaion (3.iv) nous donne : Eudions φ x = (α + i β + γ h j ) φ x d où : d d φ x 2 = 2 φ x, φ x = α φ x 2 + γ h j,λ φ x, φ x e comme h j,λ φ x φ x (clairemen), Cauchy-Schwarz donne que h j,λ, φ x φ x 2 On a donc : d d φ x 2 2 (α γ) φ x 2 (3.v) Par simple conjugaison linéaire, on peu rendre γ aussi pei que voulu l (h j,λ γ h j,λ ). C es pourquoi on peu supposer γ < α sans resreindre la généralié de la démonsraion (car α > 0). Donc on obien que : x R n \ {0}, R, d d φ x() 2 > 0 Ainsi, pour ou x R n \{0}, φ x () 2 es une foncion sricemen croissane de. Par suie, l inégalié (3.v) fourni que : φ x () e φ x() 2 0 En résumé, φ x () 2 es surjecive sur R + pour R. Cela perme de conclure que φ x renconre oue sphère de rayon sricemen posiif cenrée en 0. En pariculier, φ x renconre la sphère unié ransversalemen e en un seul poin. Appelons v x ce poin d inersecion, e x le emps correspondan à l équaion suivane (la surjecivié préciée e l invariance par ranslaion d un flux correspondan à un sysème différeniel auonome jusifien l exisence de x ) : x = φ vx ( x ) = exp ( x (α + i β + γ h j )) (v x ) Ainsi, en se plaçan dans le repère de la courbe image de φ x (le changemen de repère es C 1 car φ x l es), on peu désigner x de manière unique par x e v x. Par injecivié de l exponenielle sur R, (exp ( x ), v x ) perme égalemen de désigner uniquemen x dans ce repère curviligne. D aure par, le caracère C de l exponenielle garani que le changemen de repère es oujours C 1. Dans ce nouveau repère, l acion de a ε,α,β,γ es rès simple de par sa définiion (cf. [3.J]) : a ε,α,β,γ : (exp (), v) (exp ( + 1), ε v)

19 3. La classificaion opologique 16 Remarquons d aure par que l acion de b ε se prêe pariculièremen bien à une descripion dans le repère polaire de C j. En effe, si on pose r = x e θ = x x, on peu déerminer x uniquemen par r e θ de manière C1 par rappor à la base canonique sur R n \ {0} e (cf. [3.J]) : b ε : (r, θ) (e r, ε θ) Finalemen, on a donc monré que a ε,α,β,γ e b ε on la même acion sur deux repères reliés de façon C 1 d à la base canonique. On en conclu a ε,α,β,γ bε. Par suie, a ε,α,β,γ bε ce qui achève la démonsraion. Noons cependan ici d l l abus de noaion éviden : a ε,α,β,γ bε, mais on n a pas a ε,α,β,γ b ε car l équivalence différenielle, ici, ne vau pas en 0. Remarque 4. L éude des composanes connexes de HL (R n ) GL(R n ) permerai de monrer que nore héorème es équivalen à dire que deux auomorphismes hyperboliques son opologiquemen conjugués si e seulemen si ils appariennen à la même composane connexe de HL (R n ) GL(R n ) Conclusion Finalemen, on peu regrouper les héorèmes précédens en un seul qui résou complèemen la quesion des classes d équivalence opologique des endomorphismes hyperboliques : [3.K] Théorème. (Classificaion opologique des hyperboliques) Soien (f, g) HL (R n ) 2, alors : f g l f g rg (f + ) = rg (g + ) rg (f ) = rg (g ) or (f + ) = or (g + ) or (f ) = or (g ) 3.3 Classes de conjugaison non hyperboliques Nous considérons dans cee parie les endormorphismes non hyperboliques, ie. les endomorphismes ayan des valeurs propres de module 1. Plus précisémen, on va considérer seulemen la parie non hyperbolique des endomorphismes. Auremen di, on considère que si on a un endomorphisme f, alors f = f 0 avec les noaions précédenes. La classificaion de ces endomorphismes à conjugaison opologique près es rès compliquée, e non encore résolue enièremen à ce jour.

20 3. La classificaion opologique 17 Les résulas e démarches dans cee voie éan rès complexes, nous nous limierons à donner ici les conclusions auxquelles abouissen Kuiper e Robbin dans leur aricle dans un premier emps, pour énoncer ensuie les résulas aeins par cerains de leurs successeurs quelques années plus ard. La principale conjecure faie es la suivane : [3.L] Conjecure. Soien (f, g) L(R n ) 2, alors : f 0 g0 f 0 l g 0 Cee conjecure implique un comporemen rès rigide des endomorphismes : il ne pourrai y avoir deux endomorphismes non hyperboliques conjugués opologiquemen mais non linéairemen. On sai depuis Poincaré que la conjecure [3.L] es vraie pour n = 2. Dans [1], les aueurs monren que la conjecure es vraie pour n 5, mais fausse pour n 6 en donnan des conre-exemples. Ainsi, il ne fau pas espérer une classificaion si simple dans le cas général. Depuis ces ravaux, beaucoup de recherches on éé menées dans le bu de découvrir la réelle naure de cee classificaion opologique, mais oujours en vain. On cerne de mieux en mieux le problème (des résulas son apparus pour des valeurs pariculières de n,...) mais personne ne l a encore résolu enièremen.

21 4. Le héorème de Großman - Harman 18 4 Le héorème de Großman - Harman 4.1 Préliminaire Le héorème de Großman - Harman éan lui-même assez subsaniel, nous nous appuierons sur une version faible du héorème d Anosov pour l éablir (ce dernier s énonce sous sa forme plus générale en dimension infinie) : [4.A] Théorème. (Version faible du héorème d Anosov) Soi f HL (R n ) GL(R n ). Il exise ε > 0 el que pour oue foncion p de R n dans R n coninue, bornée, e ε-lipschizienne, on ai f + p f. Heurisiquemen, ce héorème radui le fai inuiif qu une perurbaion bornée e assez peie au sens lipschizien d un auomorphisme hyperbolique lui rese opologiquemen conjuguée. Preuve de [4.A]. La démonsraion de ce héorème éan coûeuse, on se limiera ici à donner les principales idées sans les déailler. Prenons f HL (R n ) GL(R n ) e p ε-lipschizienne comme dans l énoncé du héorème. On cherche donc prouver qu il exise ε > 0 el qu il exise h H el que : (f + p) h = h f (4.i) Si p = 0, h = Id R n convien. Cela nous condui à chercher h sous la forme h = Id R n + u, avec u coninue de R n dans R n. L écriure de (4.i) devien alors : p (f 1 + u f 1 ) + f u f 1 = u Pour simplifier l écriure, posons les opéraeurs : T : L(R n ) L(R n ) u f u f 1 P p : L(R n ) L(R n ) u p (f 1 + u f 1 ) Prouver le héorème revien alors à monrer que T + P p adme un poin fixe. Pour cela, on remarque que P p es ε-lipschizienne dans l espace des foncions coninues bornées (pour la norme infinie). On peu alors éablir un lemme donnan que T + P p es sricemen conracan dans ce même espace normé. Le héorème du poin fixe (on es bien dans un espace de Banach avec la norme infinie) donne alors l exisence e même l unicié du poin fixe voulue. Il rese alors à vérifier que h = Id R n + u (où u es le poin fixe sus-nommé) es bien un homéomorphisme. Ceci achevé, le héorème es prouvé.

22 4. Le héorème de Großman - Harman Théorème de Großman - Harman Enonçons mainenan le : [4.B] Théorème. (Großman - Harman) Soi f C 1 elle que f(0) = 0 e df (0) HL (R n ) GL(R n ). Alors, f df (0) sur un domaine suffisammen proche de 0. Ce héorème radui un fai inuiif rès for : sur un voisinage de l origine, une foncion coninûmen dérivable de R n fixan l origine es opologiquemen conjuguée à sa différenielle en 0. Par ranslaion, on généralise facilemen ce héorème à une siuaion où 0 es remplacé par un cerain poin fixe x de f dans R n. Ce héorème présene un résula rès imporan de linéarisaion de foncions vecorielles auour d un poin fixe, localemen. L éude effecive du comporemen local de foncions assez régulières auour de poins fixes es ainsi réduie à celle de l applicaion linéaire angene en ces poins. La complexié en es donc largemen réduie. Remarque 5. Il es à noer que h n es à priori pas mieux qu un homéomorphisme. En effe, des phénomènes de résonnances d indices parmi les valeurs propres peuven rendre la différeniabilié de h difficile à obenir. Preuve de [4.B]. Commençons par consaer que 0 es nécessairemen poin fixe de f afin de jusifier l hypohèse f(0) = 0. Si on suppose l exisence de h H el que x R n proche de 0, f(x) = h df (0) h 1 (x) (4.ii) Alors on a f h(0) = h(0), d où h 1 f(0) = h 1 (0). Ainsi, (4.ii) donne que : df (0) h 1 (0) = h 1 (0). Or, df (0) es hyperbolique donc n a pas 1 comme valeur propre. Par conséquen, on a nécessairemen h(0) = 0. Puis, en évaluan (4.ii) en 0, on obien que nécessairemen f(0) = 0. Passons à la démonsraion propremen die du héorème. Soi ε > 0. On pose B ε une boule fermée de cenre 0 e de rayon r ε elle que : x B ε, df (x) df (0) ε Ainsi, en posan g = f df (0), on a : x B ε, dg (x) ε On obien donc que g es ε-lipschizienne sur B ε. On défini l applicaion g ε de R n dans R n par : { g (x) ( ) si x Bε g ε (x) = g r ε si x / B ε x x

23 4. Le héorème de Großman - Harman 20 Ainsi, il es clair que g ε es à la fois bornée e ε-lipschizienne sur R n. Alors, en choisissan ε assez pei, le héorème d Anosov s applique e donne que df (0) + g ε df(0) sur R n ou enier. Or, par définiion de g ε, on a df (0) + g ε = f sur B ε. D où finalemen f héorème. df (0) sur B ε, ce qui monre le

24 Références [1] S. Cappell e J. Shaneson, Nonlinear similariy and linear similariy are equivarian below dimension 6, Tel Aviv opology conference : Rohenberg Fesschrif ; American Mahemaical Sociey Conemp. Mah. 231, pp (1999) [2] R. Devaney, An inroducion o chaoic dynamical sysems, Addison- Wesley (1982) [3] P. Harman, Ordinary differenial equaions, Boson Birkhauser (1982, réédiion de 1973) [4] M.C. Irwin, Smooh dynamical sysems, World scienific (2001, réédiion de 1980) [5] N.H Kuiper e J.W. Robbin, Topological classificaion of linear endomorphisms, Inven. Mah. 19 (1973), pp [6] F. Laudenbach, Equaions différenielles, conférence journées X-UPS 1996 [7] P. Rouchon, Sysèmes dynamiques e modélisaion, noes de cours Mines de Paris (1993) [8] N. Tosel, Les héorèmes d Anosov e de Großman - Harman, manuscri [9] G. Vial, Auour de la réducion de Jordan, documen inerne

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