Licence 1ère année Mention Mathématiques

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1 Licence 1ère année Mention Mathématiques Semestre 1 Anglais (2 ECTS) Préparation du C2i (3 ECTS) Méthodologie du Travail Universitaire Scientifique (2 ECTS) Expression Orale et Écrite (3 ECTS) Outils Mathématiques (4 ECTS) Structures fondamentales (4 ECTS) Outils pour le calcul (4 ECTS) 2 UE d'ouverture (8 ECTS) Semestre 2 UE obligatoires : Anglais (2 ECTS) Option libre (3 ECTS) Projet professionnel encadré (2 ECTS) Probabilités et Statistiques (3 ECTS) Algèbre linéaire 1 (4 ECTS) Analyse réelle fondamentale (4 ECTS) Analyse réelle appliquée (4 ECTS) UE optionnelles : Courbes paramétrées et géométrie (4 ECTS) UE non disciplinaire/ouverture (4 ECTS)

2 Outils Mathématiques (obligatoire). CM 18h, TD 22h. 4 ECTS. Consolider les connaissances fondamentales d Analyse du secondaire, augmentées principalement d une brève introduction aux équations différentielles. Présenter à cette occasion certaines spécificités des mathématiques, et aussi souligner leur unité et leurs liens aux autres sciences. Fonctions usuelles (logarithme, exponentielles, fonctions puissances, fonctions trigonométriques). Limites et comportement asymptotique, croissances comparées. Suites numériques (monotonie, arithmétique, géométrique, somme des premiers termes). Continuité, dérivabilité d une fonction numérique. Tangente, convexité, inflexion. Calcul pratique des dérivées partielles (deux ou trois variables, pas de continuité des fonctions de plusieurs variables), utilisation pour les extrema de fonctions de deux variables. Compléments sur les calcul de primitives et leur application au calcul d intégrales : Intégration par partie, changement de variables, fractions rationnelles (cas simples). Equations différentielles linéaires du premier ordre, méthode de la variation de la constante, équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants. Image d un intervalle [a,b] par une fonction continue réelle (admis). Egalité et inégalité des accroissements finis (pourra être admis).

3 Structures fondamentales (fondamentale). CM 18h, TD 22h. 4 ECTS. Apprendre à raisonner aussi bien en français qu en utilisant des symboles mathématiques. Viser l acquisition d une expression écrite correcte en utilisant quelques symboles : connecteurs, quantificateurs, ensembles, etc Maîtriser quelques raisonnements standards : par récurrence, par l absurde, par contraposition, double inclusion, La structure de groupe sera mise en évidence à chaque fois que l occasion se présentera. Le contenu est aussi particulièrement destiné à intéresser les étudiants en mention informatique. Raisonnement mathématique. Notions de logique et méthodes usuelles de démonstration. Ensembles. Applications. Relations : Connecteurs binaires usuels. Quantificateurs. Démonstrations élémentaires directes/démonstrations indirectes (par récurrence, par l absurde, par contraposition, lemme des tiroirs). Langage de la théorie des ensembles. Illustration avec des sous ensembles de C, lignes de niveau des fonctions argument, partie réelle, module, etc. Partition d un ensemble. Produit cartésien d ensembles. Composition d applications. Applications injectives, surjectives, bijectives. Image directe et image réciproque d une partie. Relation d équivalence, relation d ordre. Cardinal d un ensemble fini. Arithmétique élémentaire de Z : division euclidienne, système de numération. PGCD-PPCM. Nombres premiers, décomposition en facteurs premiers. Congruences. Groupe Z/nZ. Groupe symétrique : Définition, transposition, cycle, signature, groupe alterné. Polynômes à coefficients réels ou complexes : Division euclidienne, division suivant les puissances croissantes. Fractions rationnelles, décomposition en éléments simples. Racines d un polynôme, ordre de multiplicité. Polynôme dérivé, applications à la recherche de l ordre de multiplicité d une racine. Théorème de d Alembert-Gauss (admis). Décomposition d un polynôme en produit de facteurs irréductibles sur C et R.

4 Outils pour le calcul (fondamentale). CM 18h, TD 22h. 4 ECTS. Consolider et approfondir la connaissance des nombres complexes, introduire sous une forme pratique les outils matriciels (principalement mais non exclusivement en basse dimension), et l utiliser dans des situations qui préparent l assimilation du cours d algèbre linéaire du S2, ou qui répondent aux besoins d algèbre linéaire pratique utiles en physique). La géométrie euclidienne élémentaire en dimension 2 ou 3, sera utilisée librement comme champs d'application, sans axiomatisation nouvelle. Nombres complexes : Corps des nombres complexes. Représentations d un nombre complexe : conjugué, module, argument. Exponentielle complexe. Forme d Euler, de Moivre. Racines n-ièmes d un nombre complexe. Applications à la trigonométrie. Systèmes d équations linéaires, méthode du pivot de Gauss, rang. On traitera divers exemples d'application aux sciences (électricité, biologie, ). Calcul matriciel (somme produit, transposée, Inverse), rang. Exemples d utilisation issus de la géométrie : Equations de droite ou de plan, intersection; transformations géométriques, changement de repère, cas orthonormé), exemple des coordonnées polaires, cylindriques, sphériques. Notions élémentaires sur le déterminant d une matrice (certains résultats clefs pourront être admis), interprétation géométrique. Produit mixe et produit vectoriel dans R3. Ces éléments d algèbre linéaires pourront aussi être illustrés par des questions de géométrie différentielle (dans laquelle certaines formules pourront être admises, afin de se limiter à un aspect assez pratique): repère de Frénet, coordonnées cylindriques, sphériques.

5 Licence 1 Semestre 2 Courbes paramétrées et géométrie (optionnelle). CM 15h, TD 20h, TP 5h. 4 ECTS. Se familiariser avec les arcs paramétrés, contribuer à l assimilation du calcul matriciel et plus généralement de l algèbre linéaire. On précisera au fur et à mesure des besoins quelques points de géométrie affine euclidienne, concernant la détermination des droites, des plans, le produit scalaire, et le produit vectoriel. Définition d'une courbe paramétrée du plan et de l'espace. Distinction entre la courbe et son image, le mouvement et la trajectoire (ex: trajectoire d'unpoint sur la chenille d'un char). Utilisation des fonctions complexes de la variable réelle pour l étude des courbes planes. Notion de point régulier, tangente, normale (dans le plan) ou plan normal (dans l'espace). Allure locale autour d'un point bi régulier dans le plan. Notion de plan osculateur en un point bi régulier de l'espace, allure locale autour d'un point tri régulier de l'espace. Allure locale autour d'un point non bi régulier du plan: point d'inflexion, rebroussement de première ou seconde espèce. Branches infinies: asymptotes, position par rapport à l'asymptote, branches paraboliques, directions asymptotiques. Propriétés métriques des courbes: longueur, abscisse curviligne, repère de Frénet, courbure, cercle osculateur, notions de développée et de développantes, exemples. Courbes paramétrées en polaires, cylindriques, sphériques: modifications des notions précédentes. BIBLIOGRAPHIE : - J. Dixmier, Cours de Mathématiques du 1er cycle, 2ème année, Gauthier- Villars. - J. Lelong-Ferrand & J. M. Arnaudiès, Cours de Mathématiques, tome 3, Géométrie et cinématique, Dunod Université.

6 Probabilités et Statistiques (transversale). CM 12h, TD 18h. 3 ECTS. Introduire les éléments de probabilités et de statistiques qui pourront être utilisés ou approfondis en L2 et L3, en privilégiant les applications scientifiques liées au programme de licence. Vocabulaire de la statistique. Statistique descriptive à une et deux variables : représentations graphiques, paramètre de position et de dispersion. Droite de régression des moindres carrés. Introduction au calcul des probabilités. Probabilité conditionnelle. Indépendance. Notions de variables aléatoires réelles discrètes et à densité. Moments. Lois usuelles (dont Binomiale, Poisson, Normale). Approximation de la Binomiale par la Normale, théorème central-limite.

7 Analyse réelle appliquée (fondamentale). CM 18h, TD 22h. 4 ECTS. Approfondissement de l étude des limites (développements limités) et des divers procédés de sommation (séries, intégrales généralisées). Ce module est aussi plus particulièrement destiné aux étudiants en mention Physique ou Chimie. Relations de comparaison, Formule de Taylor. Développements limités. Intégrales généralisées : définition, cas positif, absolue convergence, usage des relations de comparaisons. Séries numériques : Convergence. Cas positif. Critère de Cauchy, de d Alembert. Semi et Absolue convergence. Séries alternées et règle d Abel. Théorèmes de comparaisons. Relations avec l intégrale.

8 Analyse réelle fondamentale (fondamentale). CM 18h, TD 22h. 4 ECTS. Objectifs Pédagogiques Acquisition des outils et modes de raisonnement fondamentaux d Analyse. Construction de l intégrale définie, révision des règles de calcul ou d'encadrement d'intégrales. Nombres réels: Partie entière, densité des rationnels et irrationnels. Caractérisation des limite de suites ou de fonction. Suites réelles et complexes. Bornes supérieure et inférieure, limites supérieure et inférieure. Critère de Cauchy, théorème de Bolzano-Weierstrass. Fonctions numériques sur IR : Continuité. Limite d une fonction en un point. Valeurs intermédiaires, image d un intervalle, continuité uniforme. Dérivabilité, égalité et inégalité des accroissements finis, cas des foncions à valeurs complexes. Intégrale définie (fonctions continues par morceaux), convergence des sommes de Riemann, théorème fondamental de l Analyse. On pourra traiter l'intégrale de Riemann ou celle des fonction réglées. On prouvera qu'une fonction continue sur [a,b] y est limite uniforme de fonctions en escaliers

9 Algèbre linéaire 1 (fondamentale). CM 18h, TD 22h. 4 ECTS. Acquérir les notions de base d algèbre linéaire : notion d espace vectoriel, d applications linéaires, dépendance et indépendance linéaire. On utilisera d'emblée le calcul matriciel pour illustrer la théorie, ainsi que les méthodes de résolution de système vues au semestre 1. Les déterminants seront aussi revus, de façon assez limitée (l'exposé systématique sera fait en L2). Espaces vectoriels sur K (R ou C, principalement R) : Sous-espace, espace engendré par une partie, somme d espaces vectoriels, somme directe, sousespace supplémentaire. Exemples usuels, Rn, espace vectoriel M_{n,p} (K)des matrices à n lignes et p colonnes. Dépendance et indépendance linéaire. Dimension. Base (en dimension finie). Familles génératrices, espace vectoriel de dimension finie. Familles libres, base d un espace vectoriel de dimension finie (existence, caractérisation, propriétés). Matrice d un vecteur ou d un système de vecteur, relativement à une base. Changement de bases. Matrice de passage. Dimension d un sous-espace vectoriel. Théorème de la base incomplète (existence de supplémentaires). Dimension d une somme directe. Dim E = dim Imf + dim Ker f. Isomorphisme entre Im f et tout supplémentaire de Ker f. Rang d une famille de vecteurs. Rang d une application linéaire. Applications linéaires : images, noyau, espace vectoriel L(E,F), K-algèbre L(E), groupe linéaire GL(E), forme linéaire, espace dual E*. Matrice d une application linéaire relativement à des bases données. Isomorphismes entre L(E,F) et M_{n,p} (K). Matrice d un endomorphisme exemple des projections, des rotations, des symétries. Matrice d une composée. Changement de bases. Rang d une matrice ou d un système d équations linéaires, utilisation de la méthode du Pivot de Gauss. Matrices équivalentes. Matrices semblables. Utilisation du déterminant.

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