CIGI 2011 Job shop sous contraintes de disponibilité des ressources : modèle mathématique et heuristiques

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1 CIGI 2011 Job shop sous cotaites de dispoibilité des essouces : modèle mathématique et heuistiques SADIA AZEM 1, RIAD AGGOUNE 2, STÉPHANE DAUZERE-PERES 1 1 Dépatemet Scieces de la Fabicatio et Logistique, CMP, Ecole des Mies de Sait-Etiee, 880 AVENUE DE MIMET, F GARDANNE, FRANCE. sadia.azem@gmail.com dauzee-pees@emse.f 2 Cete de Recheche Public Hei Tudo 6 ue de Luxemboug, L-4002 Esch-su-Alzette, Luxemboug. iad.aggoue@tudo.lu Résumé La majeue patie des études des poblèmes d odoacemet se placet das le cotexte où les essouces sot dispoibles e pemaece. Ce qui e éalité est pas toujous le cas. Nous taitos le cotexte d idispoibilités coues à l avace ; ous sommes paticulièemet itéessés pa le poblème d odoacemet das u atelie de type job shop, das lequel les opéatios des jobs (ou tâches) peuvet ête iteompues pa des péiodes d idispoibilité, et les péiodes d idispoibilité peuvet ête déplacées das des feêtes de temps. Itége ces cotaites augmete la complexité des poblèmes d odoaceme Das cet aticle, ous poposos u modèle mathématique et des méthodes appochées pou le poblème. E plus de la ésolutio des poblèmes cosidéés, le but de cette modélisatio est d aalyse l impact des cotaites d idispoibilité des essouces et d évalue la qualité des méthodes appochées. Ces deièes sot des heuistiques de costuctio qui élaboet apidemet u odoacemet su la base de statégies de décisio. Plusieus expéimetatios ot été effectuées pou valide les méthodes poposées. Abstact - I most of machie schedulig liteatue, esouces ae assumed to be cotiuously available which is ot always tue i pactice. We deal with the cotext of uavailability peiods kow a pioi; we ae paticulaly iteested i job shop poblem whee the job opeatios may be iteupted by esouce availability peiods; ad the uavailability peiods may be moved i time widows. Itegatig these costaits icease the complexity of the schedulig poblems. I this pape, we popose a mathematical model ad appoximatio methods fo the poblem. I additio to the esolutio of the cosideed poblems, the aim of this modelig is to suppot the aalysis of the impact of esouce uavailability costaits ad evaluate the quality of the appoximatio methods. These methods ae costuctio heuistics that quickly detemie a schedule based o decisio stategies. Vaious expeimets have bee pefomed to validate the poposed methods. Mots clés odoacemet, cotaites de dispoibilité, systèmes idustiels, modélisatio mathématique, heuistiques de costuctio. Keywods - Schedulig, availability costaits, idustial systems, mathematical modelig, costuctio heuistics. 1 INTRODUCTION Das les systèmes de poductio, les difféetes essouces aussi bie matéielles qu'humaies peuvet ête idispoibles pou diveses aisos : cogés ou défectios du pesoel, activités de maiteace ou paes des machies, etc... Ceci ifluece les plas de poductio de faço sigificative : ue essouce additioelle pou absobe cette chage de tavail 'est pas focémet dispoible ; d où la écessité de touve la meilleue faço de épati la chage de tavail ete les essouces e peat e compte les péiodes d'idispoibilité, le type des opéatios des jobs que les essouces peuvet effectue, l'ode ete les opéatios. Nous pésetos, das cet aticle, u modèle mathématique et des heuistiques de costuctio pou ésoude le poblème d odoacemet das u atelie de poductio de type job shop (appelé aussi atelie multigamme) losque les essouces e sot pas dispoibles e cotiu ; et ce pou mieux modélise la éalité idustielle. Le cotexte d étude est celui d idispoibilités coues à l avace ou losqu il est possible de efaie l odoacemet ue fois les idispoibilités coues. Des aspects liés à la flexibilité des opéatios des jobs (appelés auusi commades) et des péiodes d idispoibilité des essouces sot abodés ; otammet, l autoisatio de la péemptio d ue opéatio e pésece d ue péiode d idispoibilité, i.e, ue opéatio peut ête

2 iteompue pa ue péiode d'idispoibilité (mais o pa ue aute opéatio), esuite epise avec ue évetuelle péalité, dès que la essouce est à ouveau dispoible (ceci peut ête le cas de poduits egoupés e lots) ; le déplacemet d ue péiode d idispoibilité das ue feête de temps (pou cée u temps libe su la essouce pou éalise des opéatios plus tôt). La modélisatio mathématique est souvet égligée pa les checheus à cause de la fote complexité (NPdifficile) du poblème. Nous poposos cette appoche ca elle pemet de ésoude cetaies tailles de poblèmes, elle ous istuit su la faço de taite les cotaites de dispoibilité des essouces et pemet d évalue la qualité des solutios obteues pa des heuistiques. Ces deièes viset à obtei de boes solutios apideme Elles costuiset u odoacemet e se basat su des ègles de pioité. L oigialité des heuistiques que ous poposos éside otammet das l itégatio de la flexibilité des opéatios et des péiodes d idispoibilité au momet de la costuctio de l odoaceme Ces méthodes, qui costituet des blocs de costuctio, peuvet ête itégées das d'autes méthodes appochées pou amélioe les ésultats obteus. Comme citèe objectif à miimise, ous cosidéos soit le makespa (date d achèvemet de l odoacemet), soit la somme des dates de fi des jobs (dates de fi des deièes opéatios des jobs) ; il existe pas de hiéachie ete ces citèes. Ces appoches peuvet atuellemet taite d autes citèes ou cotaites su les jobs. Il est aussi facile de les étede pou taite le poblème d odoacemet d u atelie de type job shop flexible. L aticle est stuctué comme sui Le poblème taité est défii das la sectio 2. La sectio 3 est cosacée à la modélisatio mathématique, et la sectio 4 aux heuistiques. Les ésultats des expéimetatios uméiques sot pésetés das la sectio 5. 2 DEFINITION DU PROBLEME Le poblème du job shop avec cotaites de dispoibilité des essouces peut ête défii pa u esemble de jobs J={J 1,J 2,.., J } à éalise su u esemble de m machies M={M 1,M 2,.., M m }. Chaque job J i est composé d ue séquece liéaie de i opéatios O,..,.. }. Chaque { i1 i2 ii machie peut effectue ue seule opéatio à la fois et chaque opéatio O equiet ue machie uiquemet pou sa éalisatio, et ce pedat p uités de temps ; sa date de début est t et sa date de fi est C. Il y a m péiodes d idispoibilité h, h,.., h,.., h } su chaque machie M ; { 1 2 o suppose qu elles e sot pas top poches. La date de début S de la péiode d idispoibilité h de duée p est coue à l avace. Das cet aticle, o dia que h est flexible (otio itoduite das [Aggoue, 2004]) losqu o associe à S ue feête de temps [ES,LS ] (ES et LS sot espectivemet les dates de début au plus tôt et au plus tad de h ) ; l idée état de cée u temps libe su la machie pou exécute ue opéatio soit avat la péiode d idispoibilité soit apès ce qui pemet à l opéatio de s acheve plus tôt (Figue 1). Chaque job passe su les machies das u ode appelé gamme opéatoie défiie à pioi. O désige pa la machie su laquelle l opéatio O est éalisée. Figue 1. Feête de temps pou la date de début d ue péiode d idispoibilité Pa ailleus, das la littéatue scietifique, il existe quate cas pou l iteuptio d ue opéatio pa ue péiode d idispoibilité (Figue 2) : opéatios stictemet opéemptive, sécable, o-sécable et semi-sécable. Le pemie est dû à [Aggoue, 2004] et les tois autes à [Lee, 1996, 1997, 1999]. Ue opéatio est dite stictemet o-péemptive losqu'elle e peut ête iteompue i pa ue aute opéatio i pa ue péiode d'idispoibilité. Ue opéatio iteompue pa ue péiode d'idispoibilité est dite sécable si so exécutio peut cotiue dès que la machie qui l'exécute est de ouveau dispoible. Elle est dite o-sécable si elle doit ecommece complèteme Il est impotat de ote que ce cas est difféet du cas o-péemptif du fait que, das ce deie, losque l'opéatio e peut ête effectuée avat la péiode d'idispoibilité, elle doit commece et se temie apès. Ue opéatio est dite semi-sécable si elle doit patiellemet ecommece losque la machie est de ouveau dispoible. Note que l'étude du cas semi-sécable iclue les cas sécable et o-sécable. Cepedat, l'étude du cas o-sécable est mois petiete à cosidée que les autes cas ; ca ous étudios des péiodes d'idispoibilité pévues. Figue 2. Les difféets cas d iteuptio d ue opéatio Nous associos à chaque opéatio O u coefficiet de péalité su la péemptio qui epésete la patie de l'opéatio O à efaie apès la péiode d'idispoibilité l'iteompat ; il epésete so caactèe sécable. Aisi, =0 (esp. = 1) si O est sécable (esp. o-sécable) et 0 α 1 si O est semi-sécable. Il existe ue aute temiologie itoduite das [Mauguièe et al., 2005]. Elle cocee les péiodes d'idispoibilité pemettat l'iteuptio d'opéatios : péiodes d'idispoibilité tavesable et o-tavesable (Figue 3). Aisi, ue péiode d'idispoibilité est dite tavesable si elle pemet l'iteuptio d'ue opéatio ; bie etedu, cette iteuptio e se fea pas si l'opéatio est o-péemptive. Ue péiode d'idispoibilité qui e pemet pas l'iteuptio d'ue opéatio est dite o-tavesable ; das ce cas, l'opéatio e sea pas iteompue même si elle est péemptive.

3 suite de l aticle). Le poblème d odoacemet das u atelie de type jobshop avec cotaites de dispoibilité des essouces est NPdifficile au ses fot du fait que le poblème sas péiodes d idispoibilité est fotemet NP-difficile. Figue 3. Péiode d idispoibilité pemettat l iteuptio d ue opéatio Nous associos u coefficiet de péemptio k à ue opéatio O qui doit ête effectuée su la machie M et qui peut ête iteompue pa ue péiode d idispoibilité h. Cela epésete le caactèe péemptif de O ou le caactèe tavesable de h. Aisi, k = 0 si h est o-tavesable ou O est o-péemptive. Et k = 1 si h est tavesable et O est péemptive. Das ce cas, la positio de l'opéatio O pa appot à la péiode d'idispoibilité h, déped de so caactèe sécable. Exemple d illustatio : Le système de poductio est costitué de tois machies M 1,..,M 3. Quate jobs J 1,..,J 4 doivet ête effectués pa ces machies. Les gammes opéatoies des jobs sot les suivates (les ombes mis ete paethèses epésetet les duées opéatoies des jobs su les machies associées) : J 1 : M 1 (1) M 2 (2) M 3 (3) J 2 : M 2 (1) M 1 (2) M 3 (3) J 3 : M 3 (2) M 2 (1) M 1 (3) J 4 : M 1 (4) M 3 (1) M 2 (1) Ue solutio éalisable du poblème sas péiodes d idispoibilité su les machies est epésetée su le diagamme de Gatt de la Figue 4.a. Notos que le diagamme de Gatt se compose de liges hoizotales désigat les machies ; les opéatios y sot epésetées, e foctio des machies coespodates, à pati de leu dates de début d'exécutio, sous fome de baes ayat des logueus popotioelles à leu duées opéatoies. Figue 4. Exemple de système de poductio Nous itoduisos des péiodes d idispoibilité su les machies M 1 et M 3 aux péiodes [6,8] et [4,7] espectiveme Ceci a u impact su les dates de début et de fi de cetaies opéatios (Figue 4.b) ; pa exemple : l opéatio O 33 est sécable, elle se temie doc à l istat 9 au lieu de 7 ; l opéatio O 31 est o-péemptive, elle commece à l istat 7 au lieu de 3 et se temie à l istat 10 au lieu de 6. Quat à l odoacemet, il se temie doc à l istat 15 au lieu de 13 ; la qualité de la solutio est aisi dégadée. Le but est de détemie les dates de début et de fi de chaque opéatio afi de miimise le makespa C max ou la somme des dates de fi des jobs i C (que l o déote 1 i i C i das la i 3 MODELISATION MATHEMATIQUE La fomulatio que ous poposos est déduite de celle de [Applegate et Cook, 1991]. Das [Azem, 2010], l étude du cas o-péemptif mote que cette fomulatio doe de meilleus ésultats que celle utilisat la discétisatio du temps ; ca cette deièe egede u ombe cosidéable de vaiables et de cotaites. Pa ailleus, à ote coaissace, c est le seul modèle qui iclut tous les poblèmes pésets das la littéatue défiis pa l idispoibilité des essouces ; et ce gâce à l itoductio des coefficiets de péalité su la péemptio et les coefficiets de péemptio. Les vaiables additioelles suivates sot itoduites : X,i j : Vaiable biaie sevat à défii laquelle des opéatios O et O i j est effectuée avat l aute. Elle vaut 1 si O est effectuée avat O i j et 0 sio, Y, : Vaiable biaie pou détemie si l opéatio O commece avat ou apès la péiode d idispoibilité h. Elle est égale à 1 si O commece avat h et 0 sio. Z, : Vaiable biaie qui est égale à 1 si l opéatio O commece avat (i.e. Y, vaut 1) et fiit apès la péiode d idispoibilité h, et est égale à 0 sio. La fomulatio qui suit, où M est u ombe tès gad, modélise la miimisatio du makespa. Aisi, La foctio objectif (1) est la miimisatio du makespa C max. La cotaite (2) assue qu ue opéatio O i j qui succède à ue opéatio O das la gamme opéatoie du job e peut commece avat la fi de O. Les cotaites (3) et (4) gaatisset le o chevauchemet des opéatios O et O i j devat s effectue su la même machie, i.e. l opéatio O est exécutée avat ou apès l opéatio O i j. La cotaite (5) assue que si Y, = 0, alos l opéatio O doit ête éalisée apès la péiode d idispoibilité h. La cotaite (6) sigifie que losque Y, =1, l opéatio O doit commece avat la date de début de la péiode d idispoibilité h. Cepedat, e foctio des valeus de β k et Z,, elle peut soit se temie avat h ou apès. Losque β k = 0 (péemptio o-autoisée), O commece et fiit avat le début de h quelque soit la valeu de Z,.. Cepedat, losque β k = 1 (péemptio autoisée), la fi de O déped de la valeu de Z,.. Losque Z,. = 0 commece et fiit avat h ; alos que losque Z,. = 1 commece avat h et se temie apès. Notos que losque Y, = 0, la cotaite (6) est toujous satisfaite. La cotaite (7) taduit la possibilité d iteompe O losqu elle commece avat h (Figue 5). Les cotaites (8) et (9) fouisset des boes pou C t qui coespodet à la duée de l opéatio O su la machie M. E effet, losque O est pas iteompue pa h, cette duée est au mois égale (e fait est égale) à la duée opéatoie p. Cepedat, losque O est iteompue pa h, cette duée est au mois égale (e fait est égale) à p à laquelle o ajoute la duée p de la péiode d idispoibilité et la popotio de l opéatio à efaie (p +p + (S t )). Ceci est du au fait que : ' C t ( S t ) p ( p ( S t )) ( S t )

4 S t (1 C [ C k k [ p [ t k k t t S Y (1 Y ) k ( p (1 X Z, ) p k Z Z Y k MZ, (1 Z p' ( S t )] S (1 Z )] t t t k ) Y,,, ( k 1) t X i( j1),, C, S S X max, Y Z Mi C,, ) C, Y p )], max,, k, C t C C C p' 0 ii C t p 0 0 ES LS {0,1} {0,1} {0,1} i 1,.., ; j 1,.., ( O ( O i 1,.., i 1,.., ; j 1,.., i 1,.., ; j 1,.., i i 1,.., ; j 1,.., h h ( O 1 (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) où (S t ) epésete la patie de O effectuée avat le début de h, (p (S t )) la patie estate à exécute et ( (S t )) la patie à efaie. Ceci se poduit losque t <S <t +p qui est emplacée pa t + S t +p (cotaites (6) et (10) ) et β k = 1 (péemptio autoisée). Le coefficiet est utilisé ca l itoductio d iégalités stictes das u modèle le ed o liéaie ; sa valeu doit ête la plus petite possible pou gaati l équivalece des deux expessios. La cotaite (11) sigifie que, si l opéatio O pécède la péiode d idispoibilité h, alos elle pécède toutes les péiodes d idispoibilité qui succèdet à h. De plus, si l opéatio O succède à la péiode d idispoibilité h (k+1), alos elle succède à toutes les péiodes d idispoibilités qui pécèdet h (k+1). La cotaite (12) idique que l odoacemet e peut s acheve avat la fi de la deièe opéatio de chaque job. La cotaite (13) epésete la boe des dates de fi des opéatios. Elle est petiete losque la machie est dispoible e cotiu ; elle est edodate sio. Les cotaites (14) à (20) boet les vaiables du modèle. Les cotaites (16) et (17) e sot ajoutées que losque les péiodes d idispoibilité vaiet das des feêtes de temps. Figue 5. Positio de l opéatio O e foctio des valeus de Y, et Z, Remaques : Pou modélise la miimisatio de la somme des dates de fi des jobs, la foctio objectif (1) est emplacée pa Mi i C et la cotaite (12) est suppimée. 1 i i O peut itoduie de la flexibilité su les duées des péiodes d idispoibilité (selo si la pioité est accodée O O O i i i (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) à la poductio plutôt qu à la maiteace des machies) e associat u esemble de valeus à ue duée (voi [Azem, 2010]). 4 HEURISTIQUES DE CONSTRUCTION Cette sectio est cosacée aux heuistiques qui viset à touve apidemet de boes solutios aux poblèmes d optimisatio combiatoies NP-difficiles. Les heuistiques que ous poposos costuiset u odoacemet su la base de diveses statégies de décisio. Le choix de ces statégies est lié à la pioité imposée aux machies et/ou aux opéatios, et la maièe dot sot géés les coflits ete les opéatios et les péiodes d idispoibilité des machies. 4.1 Positioemet d ue opéatio das u itevalle Pou costuie u odoacemet, chaque opéatio doit ête iséée das u itevalle qui défiit ue péiode de dispoibilité su la machie. L isetio de l opéatio (pa exemple ) das u itevalle est défiie e foctio de la date d achèvemet de l opéatio pécédete das la gamme opéatoie, la logueu de l itevalle et la pésece d ue péiode d idispoibilité au début ou à la fi de l itevalle. Apès chaque isetio, les itevalles sot mis à jou. Nous pésetos les quate cas A, B, C, D qui ous pemettet de positioe ue opéatio das u itevalle. Les cas A et B modéliset la flexibilité d ue péiode d idispoibilité ; tadis que le cas C modélise la péemptio de l opéatio. Nous pésetos e pemie lieu le cas D ca il est le plus simple : Das le cas D (illusté pa la Figue 8), l opéatio (O ) peut ête iséée das l itevalle couat (I l ). Soit elle occupe tout l itevalle auquel cas ce deie va dispaaite. Soit elle est placée stictemet das l itevalle céat u ouveau (I l ). Soit elle est positioée au début ou à la fi de l itevalle ; ce qui éduit ce deie. Das le cas A (Figues 6 et 7), ous sommes e pésece d ue péiode d idispoibilité (h ) au début de l itevalle couat (I l ) et qui peut bouge das sa feête de temps. L opéatio pécédete (O i(j-1) ) das la gamme opéatoie doit se temie au plus tad au début de l itevalle couat (I l ). Das le cas A.1, l idispoibilité peut ête avacée et l opéatio (O ) est placée apès l idispoibilité das l itevalle couat (I l ). Das le cas A.2, l idispoibilité peut ête eculée et l opéatio est placée avat l idispoibilité das l itevalle pécédat (I (l-1) ). Tout comme le cas A, le cas B taite aussi la flexibilité de la date de début de la péiode d idispoibilité (h ). Cepedat, cotaiemet au cas A, la péiode d idispoibilité est située à la fi. La ecule pemet d isée l opéatio (O ) das l itevalle couat (I l ). Il existe ue similitude ete les cas A.2 et B, la seule difféece est l itevalle d isetio ; ca das le cas B, l opéatio pécédete (O i(j-1) ) das la gamme opéatoie doit se temie avat la date de fi de l itevalle couat (I l ). (Figues 6 et 7) Le cas C essemble au cas B (voi Figues 6 et 7). La difféece est que das le cas C, la péiode d idispoibilité (h ) est fixe mais tavesable et l opéatio (O ) est péemptive. Aisi, l opéatio peut ête iteompue pa la péiode d idispoibilité et occupe ue patie des itevalles couat et suivat (I l, I (l+1) ). Les taits discotius veticaux su les Figues 6 et 7, délimitet, pou chaque cas (B ou C), les zoes de

5 essemblaces défiies pa les cofiguatios de début de l opéatio à isée (O ) qui ot ue icidece su l itevalle couat (I l ) ; ca das l ue des deux cofiguatios, l itevalle dispaait suite à l isetio de l opéatio. Le taitemet de la péiode d idispoibilité est le même das chaque cas. 4.2 OIp - pocédue d isetio d ue opéatio das u itevalle O tete d isée l opéatio au plus tôt das la pemièe péiode de dispoibilité su la machie e commeçat à pati de l istat 0 si c est la pemièe opéatio du job ou e se basat su la date de fi de l opéatio pécédete das la gamme opéatoie. Ue pocédue gééale mettat e œuve la pocédue OIp s iitialise pa la décompositio de la dispoibilité de chaque machie (M ) e itevalles (e ombe de m +1) : I 1, I2,.., Il,.., I. La pocédue OIp ( m 1 ) pocède comme suit : L étape 1 itège le cas A, esuite le cas D pou ue isetio de l opéatio das l itevalle. Le cas où l opéatio e peut ête iséée etièemet das l itevalle est taité à taves les autes étapes. L étape 2 epésete le cas A tadis que les étapes 3 et 4 itèget espectivemet les cas B et C. Das la deièe étape, o passe à l itevalle suivat puisque l itevalle couat e coviet pas. Figue 6. Compaaiso ete les cas A, B et C avat isetio de l opéatio O Figue 7. Compaaiso ete les cas A, B et C apès isetio de l opéatio O La situatio la plus appopiée est de éduie les logueus de l itevalle autat que possible ca ils coespodet à des temps mots su les machies. Cet echaiemet des cas das OIp favoise la flexibilité des dates de début des péiodes d idispoibilité au détimet de la péemptio. Les pemutatios des cas est possible défiissat des statégies difféetes ; aisi à tite d exemple, l ode C, A, B taite d abod la péemptio esuite la flexibilité. Cotaiemet à la modélisatio qui peut taite la flexibilité et la péemptio e même temps, cette appoche heuistique taite l u ou l aute ; ce qui costitue déjà u atout e compaaiso aux heuistiques pésetes das la littéatue. Figue 8. Isetio de l opéatio O selo le cas D 4.3 Heuistiques basées su les jobs Nous pésetos tois méthodes JpHpH1pH2 qui doet la pioité aux opéatios des jobs (ou tâches). Das JpH et OpH1, ous itoduisos l aspect aléatoie das les séqueces de dépat des jobs et des opéatios espectivemet epésetat l ode d isetio des opéatios ; o costate que OpH1 défiit plus de cofiguatios (les ésultats uméiques motet que cela est petiet pou C max et o pou i C i ; puisque les ésultats sot meilleus avec JpH) ; et qu elles dépedet fotemet de ces séqueces. Tadis que das OpH2, ce choix de l opéatio à isée se fait selo ue ègle doée. JpH et OpH1 peuvet ête utilisées comme des blocs d évaluatio das des méthodes qui utiliset plusieus solutios à la fois pou obtei de meilleues solutios comme cela est le cas das u algoithme géétique. Quat à OpH2, elle peut ête utilisée pou foui ue solutio de dépat pou des méthodes qui chechet à amélioe la solutio à chaque itéatio comme ue echeche taboue. L évaluatio de la solutio à chaque itéatio se fait avec JpH et OpH1 (selo la stuctue de la séquece de pioité). Le picipe de JpH et OpH1 est le suivat : o sélectioe e pemie lieu ue opéatio (selo l ode des jobs pou JpH ou des opéatios pou OpH1) ; o isèe esuite l opéatio sélectioée su la machie associée gâce à OIp et o l elève de la liste des opéatios estates. Le pocessus est éitéé jusqu à ce que toutes les opéatios soiet odoacées. Comme JpH et OpH1 dépedet fotemet de la séquece de dépat, chacue d ete elle est exécutée plusieus fois, das la patie expéimetale, pou évalue sa pefomace. Coceat OpH2, elle défiit e pemie lieu la liste d opéatios pêtes à ête odoacées pou sélectioe celle qui satisfait la ègle choisie. Il faut ote que la ègle MWKR (voi emaques) est utilisée pou dépatage plusieus opéatios. L opéatio sélectioée est esuite iséée su la machie associée gâce à OIp et elevée de la liste des opéatios estates. Le pocessus est éitéé jusqu à ce que toutes les opéatios soiet odoacées. La même solutio est obteue pou toute exécutio. Remaques : Coceat JpH, ous cosidéos, das cet aticle, le cas où o e taite le job suivat das la séquece qu ue fois que les opéatios du job couat sot iséées das leus

6 Tableau 1. Résultats des tests du modèle mathématique pou la miimisatio de C max das le cas o-péemptif Péiodes d idispoibilité Péiodes d idispoibilité fixées Poblème flexibles Boe if. Solutio Ecat (%) CPU (sec.) Boe if. Solutio Ecat (%) CPU (sec.) 5m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m machies espectives. Bie etedu, il peut existe d autes faço de pocéde ; l ue d ete elles est pésetée das [Azem, 2010]. Coceat OpH2, le choix de la ègle pou sélectioe l opéatio à isée est détemia Ce choix se fait pami six ègles. Aisi, sélectioe l opéatio dot : (1) La date de début est la plus petite, (2) La date de fi est la plus petite, (3) Le temps libe su la machie est le plus petit et positif, (4) Le temps libe de début su la machie est le plus peti Si la coditio est satisfaite pa plus d ue opéatio, choisi la ègle (3), (5) La date de début du pemie itevalle de dispoibilité su la machie apès la fi de l opéatio pécédete su la gamme opéatoie est la plus petite, (6) La somme des duées opéatoies des opéatios estat à ête exécutées su la machie est la plus gade. Les valeus associées aux ègles (1), (2), (3), (4) et (6) sot obteues e simulat l exécutio de la pocédue OIp. Aucue mise à jou des dates de début et de fi des opéatios, des péiodes d idispoibilité et des itevalles de dispoibilité est effectuée. Ue fois l opéatio sélectioée, elle est iséée das l itevalle associé e utilisat OIp. La ègle MWKR (Most WoK Remaiig) doe la popiété à l opéatio du job pou lequel la chage de tavail estat à ête effectuée est la plus gade ; le but état d équilibe l exécutio des jobs coespodat à ces opéatios. 4.4 Heuistiques basées su les machies Ces méthodes MOpH1 et MOpH2 sot ispiées de OpH1 et OpH2 espectivemet, la pemièe pioité état doée aux machies : o déote pa «machie pête» la machie sélectioée. Elle coespod à la machie dot la date de dispoibilité est la plus petite et dot l esemble d opéatios pêtes à ête odoacées est o vide. Nous défiissos la date de dispoibilité d ue machie comme état la date de fi de la deièe opéatio effectuée su cette machie. E effet, comme il existe des péiodes d idispoibilité su la machie, cette deièe peut avoi des itevalles de dispoibilité situés avat la deièe opéatio exécutée. Cosidée la date de dispoibilité comme état le début du pemie itevalle de dispoibilité peut coduie à u tout petit itevalle qui e peut cotei aucue opéatio. Aisi, cette machie peut ête sélectioée plusieus fois avat de passe à ue aute machie, pa ailleus, l écat ete cet itevalle et l itevalle d isetio de l opéatio peut ête tès gad. MOpH1 et MOpH2 pocèdet comme suit : le pocessus suivat est éitéé jusqu à ce que toutes les opéatios soiet odoacées. Apès avoi défii la machie pête, la liste des opéatios pêtes à ête odoacées est établie, das laquelle est sélectioée l opéatio à isée (selo le picipe de OpH1 ou OpH2). Ue fois cette opéatio iséée su la machie associée gâce à OIp, la date de dispoibilité de la machie est mise à jou et l opéatio est elevée de la liste des opéatios estates. 5 RESULTATS NUMERIQUES Des expéimetatios ot été meées su quate classes de ciq istaces gééées de poblèmes (5,5), (5,10), (10,10), (10,15), où les paies epésetet (ombe de machies, ombe de jobs). Les ésultats sot discutés das cette sectio ; cepedat, seuls quelques tableaux sot doés à tite illustatif (pou plus de détails, voi [Azem, 2010]). Pou ce qui est du modèle mathématique, il a été ésolu avec le solveu IBM ILOG CPLEX. La limite de temps de la ésolutio e ombes eties pou chaque istace a été fixée à 60 miutes. Le tableau 1 écapitule les ésultats des tests pou la miimisatio de C max das le cas o-péemptif losque les dates de début des péiodes d idispoibilité sot fixes et o fixes. La pemièe coloe cotiet le om de l istace qui est du type XmYZ, où X, Y et Z sot espectivemet le ombe de machies, le ombe de jobs et le uméo de l istace das la classe. Les coloes de 2 à 5 (esp. de 6 à 9) pésetet les ésultats losque les dates de débuts des péiodes d idispoibilité sot fixes (esp. flexibles). Les coloes 2 et 6 coespodet à la meilleue boe iféieue, et les coloes 3 et 7 à la foctio objectif de la meilleue solutio. Les coloes 4 et 8 pésetet l écat d optimalité (e %) ete la meilleue solutio et la meilleue boe. Les coloes 5 et 9 doet le temps CPU (e secodes). Aussi bie pou la miimisatio de C max que celle de i C i, CPLEX a apidemet ésolu de faço optimale la plupat des istaces jusqu à 10 machies et 10 jobs pou le cas opéemptif et jusqu à 5 machies et 5 jobs pou les autes cas. Mais, e gééal, cela ped beaucoup de temps pou ésoude les poblèmes à l optimalité, et seulemet ue solutio éalisable est souvet obteue. Les ésultats des tests motet qu e gééal, pou les heuistiques JpHpH1 et MOpH1, plus le ombe d itéatios est gad, meilleues sot les solutios. Bie etedu, le temps CPU est popotioel au ombe d itéatios. Cepedat, pou les istaces de la classe (5,5), les ésultats sot stables et peuvet êtes optimaux ; et das le cas de péiodes d idispoibilité fixes, la plupat sot

7 optimaux. Ceci suggèe la petiece de les itége das u algoithme qui utilise plusieus solutios à la fois, comme u algoithme géétique. E ègle gééale, les solutios sot optimales pou la plupat des istaces de la classe (5,5), l écat d optimalité ete les meilleues solutios des heuistiques est soit égal à celui du modèle mathématique, soit iféieu ou égal à 10 %. Les solutios sot pafois meilleues. Les temps de calcul pou toutes les istaces excèdet pas 25 secodes pou JpH et OpH1 pou itéatios et 175 secodes pou MOpH1. Ils sot iféieus à 0,02 secodes pou OpH2 et MOpH2. Coceat le modèle mathématique, les ésultats cofimet que cela peut ête efficace de pemette le déplacemet des dates de début des péiodes d idispoibilité das des feêtes de temps ca de meilleues solutios sot obteues. O peut aussi véifie, qu à cause de la péalité iduite pa la éexécutio etièe de l opéatio losqu elle est iteompue pa ue péiode d idispoibilité et das le cotexte détemiiste d idispoibilités coues à l avace, il est plus petiet de e pas iteompe l opéatio. E effet, pou le cas o-sécable, les ésultats des tests motet que l iteuptio d ue opéatio pa ue péiode d idispoibilité est pas pemise que losque le céeau su la machie, avat la péiode d idispoibilité, e peut pas ête utilisé pou effectue ue aute opéatio. Aisi, les cas o-péemptif et o-sécable sot équivalets. Les ésultats motet aussi qu il est plus itéessat de pemette la péemptio ete des opéatios et des péiodes d idispoibilité ca mois de temps est écessaie pou effectue tous les jobs. E effet, pou le cas sécable, comme l iteuptio est autoisée sas péalité, toutes les opéatios peuvet ête exécutées au plus tôt, doc mois de temps libe su les machies ; pou le cas semisécable u gai est éalisé e autoisat ue péalité iféieue à 1 (ceci coespod à 100% de la duée opéatoie). Pou ce qui est des heuistiques, la domiace ete les poblèmes o-péemptif, sécable, o-sécable et semi-sécable est cosevée pou le cas d idispoibilités fixes. Das le cas d idispoibilités flexibles, les mêmes valeus de citèes sot souvet obteues ete les poblèmes o-péemptif, sécable, o-sécable et semi-sécable ; o emaque aussi qu il y a mois de solutios optimales. Ceci peut s explique d ue pat pa le fait que, cotaiemet au modèle mathématique, cetaies cofiguatios e peuvet ête exploées. Cepedat, à pati du momet où le poblème est NP-difficile, il est aussi difficile de touve ue boe solutio e u temps aisoable. Ceci peut s explique aussi pa le fait que l ode des cas A, B, C das la pocédue OIp favoise la flexibilité de la péiode d idispoibilité au détimet de la péemptio. E peat à tite d exemple l heuistique OpH2, das le cas d opéatios sécables et des péiodes d idispoibilité tavesables, à taves toutes les ègles, cet ode doe de meilleus ésultats que l ode C, A, B, das lequel la péemptio est péféée, bie qu aucue péalité est iduite du fait que ous cosidéos le cas d opéatios sécables. Coceat l ode de domiace des ègles pou OpH2 et MOpH2, il est établi pa appot aux ombes des meilleues et des mois boes solutios obteues pa chaque heuistique à taves les poblèmes o-péemptif, sécable, o-sécable et semi-sécable, das le cas de péiodes d idispoibilités fixes ou flexibles, pou miimise C max et i C i. Ue agégatio des odes de domiace ete les cas o-péemptif, sécable, osécable et semi-sécable pemet d établi l ode global pa type de péiodes d idispoibilité. La meilleue ègle pou C max est la ègle (1) ; tadis que la meilleue pou i C i est la ègle (2) ; la plupat des meilleues solutios sot obteues gâce à ces ègles. Coceat OpH2, la plus mauvaise ègle pou C max est la ègle (2) ou (3) (esp. (2) o (4)) e foctio du caactèe péemptif des opéatios et des péiodes d idispoibilité fixes (esp. flexibles) ; tadis que la plus mauvaise ègle pou i C i est la ègle (5) (esp. (3)) pou des péiodes d idispoibilité fixes (esp. flexibles). Coceat MOpH2, la plus mauvaise ègle pou C max est la ègle (2) ou (4) (esp. (2)) e foctio du caactèe péemptif des opéatios et des péiodes d idispoibilité fixes (esp. flexibles); tadis que la plus mauvaise ègle pou i C i est la ègle (6). Pa ailleus, o emaque que, homis pou cetaies istaces, les meilleus solutios sot obteues losque les péiodes d idispoibilité sot placées au début de leus feêtes de temps. Le tableau 2 pésete l ode de domiace des heuistiques pou les deux citèes objectif C max et i C i das le cas d opéatios o-péemptives et des péiodes d idispoibilité fixes (les tableaux 3 et 4 pésetet les ésultats de la compaaiso de ces heuistiques pa istace) et le cas d opéatios sécables et des péiodes d idispoibilité flexibles. Aisi les meilleues heuistiques pou C max sot OpH1 et MOpH1; OpH1 est domiate das le cas d opéatios o-péemptives et des péiodes d idispoibilité fixes, et MOpH1 est légèemet domiate das le cas d opéatios sécables et des péiodes d idispoibilité flexibles. La mois boe heuistique pou C max est MOpH2 das le cas d opéatios sécables et des péiodes d idispoibilité flexibles. Cepedat, das le cas d opéatios o-péemptives et des péiodes d idispoibilité fixes, c est JpH qui est la mois boe heuistique ; alos que cette deièe est lagemet domiate pou i C i. Pou ce citèe, OpH1 et MOpH1 sot pesque équivaletes avec ue légèe domiace de OpH1. Les mois bos ésultats sot de loi ceux obteus avec OpH2 et MOpH2. Cepedat, MOpH2 est légèemet mois boe que OpH2. Ces ésultats pouvet la petiece d itoduie l aspect aléatoie das le choix des séqueces iitiales des jobs et des opéatios. Tableau 2. Odes de domiaces des heuistiques Ode C max i C i Opéatios o-péemptives Opéatios sécables Opéatios o-péemptives Opéatios sécables Idispoibilités fixes Idispoibilités flexibles Idispoibilités fixes Idispoibilités flexibles 1 OpH1 MOpH1 JpH JpH 2 MOpH1 OpH1 OpH1 OpH1 3 OpH2 JpH ou OpH2 MOpH1 MOpH1 4 MOpH2 JpH ou OpH2 OpH2 OpH2 5 JpH MOpH2 MOpH2 MOpH2 Gas : fote domiace Italique : légèe domiace La ésolutio du modèle mathématique mote que la elaxatio liéaie de la miimisatio de i C i est meilleue que celle de C max ca l écat d optimalité ete les solutios est plus peti Compte teu de la apidité d exécutio des heuistiques, il seait peut-ête péféable d itége toutes les heuistiques das ue pocédue et de choisi la meilleue solutio pou chaque istace.

8 Tableau 3. Compaaiso des heuistiques pou la miimisatio de C max das le cas d opéatios opéemptives et des péiodes d idispoibilité fixes Poblème JpH OpH1 OpH2 MOpH1 MOpH2 Model. Math. 5m51 961~ 895* 895* 895* 895* 895* 5m ~ 1096* 1096* 1112~ 1112~ 1096* 5m ~ 1070* 1122~ 1070* 1122~ 1070* 5m * 1147* 1237~ 1205~ * 5m * 1202* 1290~ 1202* 1280~ 1202* 5m ~ 1420~ ~ * 5m ~ 1455~ 1495~ 1485~ m ~ 1607~ ~ m ~ 1557~ ~ 1638~ 1537* 5m ~ 1425~ ~ m ~ 2121~ 2047~ 2141~ m ~ ~ * 10m ~ 2062~ 1912~ m ~ ~ * 10m ~ 1975~ ~ 2055~ m ~ m ~ ~ 2533~ m ~ ~ m ~ 2452~ 2312~ m ~ 2445~ 2422~ 2515~ 2282 Gas : meilleue solutio Italique : mois boe solutio * : solutio optimale ~ : écat d optimalité ete la meilleue solutio et celle du modèle mathématique 10% 6 CONCLUSION Das ce papie, u modèle mathématique et des heuistiques ot été pésetés pou le poblème d odoacemet das u atelie de type job shop avec cotaites de dispoibilité des essouces ; la péemptio ete les opéatios et les péiodes d idispoibilité est modélisée aisi que la flexibilité des péiodes d idispoibilité. U modèle mathématique a été poposé. Les ésultats uméiques motet que pemette la péemptio et itoduie de la flexibilité pou les péiodes d idispoibilité sot petiets, o seulemet pou modélise la éalité idustielle, mais aussi pou obtei de meilleues solutios aux poblèmes. Cepedat u solveu stadad atteit apidemet ses limites pou la ésolutio de poblèmes de gade taille. Le modèle pemet aussi d évalue les solutios fouies pa os méthodes heuistiques et d avoi de boes boes théoiques. Les heuistiques que ous pésetos costuiset u odoacemet su la base de diveses statégies de décisio. Les difficultés sot liées à la sélectio d ue opéatio à isée su la machie associée, à la sélectio de la péiode de dispoibilité su la machie qui peut cotei l opéatio, et à l itégatio de la péemptio des opéatios et de la flexibilité des péiodes d idispoibilité. Deux types de méthodes sot suggéés : des heuistiques basées su les jobs et d autes basées su les machies. La faço dot ces méthodes pouaiet ête éutilisées das des méthodes appochées amélioates comme u algoithme géétique, pou obtei de meilleus ésultats, est doée das [Azem, 2010]. Tableau 4. Compaaiso des heuistiques pou la miimisatio de i C i das le cas d opéatios opéemptives et des péiodes d idispoibilité fixes Poblème JpH OpH1 OpH2 MOpH1 MOpH2 Model. Math. 5m ~ 3652* ~ 3947~ 3652* 5m * 4669* 4823~ 4706~ * 5m * 4008* ~ * 5m * 4584* 4890~ 4630~ * 5m * 4663* * 5064~ 4663* 5m ~ 10759~ ~ * 5m ~ * 5m ~ 12234~ ~ m ~ ~ * 5m ~ 10410~ * 10m ~ 17935~ 18412~ 17896~ m ~ 17342~ ~ 17087~ 15777* 10m ~ 16641~ ~ * 10m ~ 16331~ ~ * 10m ~ 16795~ ~ 16731~ 15625* 10m ~ ~ 29703~ m ~ 32194~ ~ m u 10m ~ ~ m ~ ~ 31194~ 31267~ Gas : meilleue solutio Italique : mois boe solutio * : solutio optimale u : solutio icoue ~ : écat d optimalité ete la meilleue solutio et celle du modèle mathématique 10% + : solutio meilleue que celle du modèle mathématique 7 REMERCIEMENTS Nous emecios le gouveemet du Luxemboug (plus paticulièemet le Fods Natioal de la Recheche ; et le Miistèe de la Cultue, de l eseigemet Supéieu et de la Recheche) pou le fiacemet de ces tavaux ; aisi que l Ecole des Mies de Sait-Etiee et l Uivesité du Luxemboug pou les moyes ivestis das cette echeche. 8 REFERENCES Aggoue, R., (2004) Miimizig the makespa fo the flow shop schedulig poblem with availability costaits. Euopea Joual of Opeatioal Reseach, 153, pp Applegate, D., Cook, W., (1991) A Computatioal Study of the Job-shop Schedulig PoblemRSA Joual of Computig, 3, pp Azem, S., (2010) Odoacemet des systèmes flexibles de poductio sous cotaites de dispoibilités des essouces. Thèse de doctoa Ecole Natioale Supéieue des Mies de Sait-Etiee, Gadae, Face. Lee, C.Y., (1996) Machie schedulig with a availability costai Joual of Global Optimizatio, 9, pp Lee, C.Y., (1997) Miimizig the makespa i two-machie flowshop schedulig poblem with a availability costai Opeatios Reseach Lettes, 20, pp Lee, C.Y., (1999) Two-machie flowshop schedulig with availability costaits. Euopea Joual of Opeatioal Reseach, 114, pp Mauguièe, Ph., Billaut, J.C., Bouquad, J.L., (2005) New sigle machie ad job-shop schedulig poblems with availability costaits. Joual of Schedulig, 8, pp