RESOLUTION DES FLOW SHOP STOCHASTIQUES PAR LES ORDRES STOCHASTIQUES. DERBALA Ali *)

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1 RESOLUTION DES FLOW SHOP STOCHASTIQUES PAR LES ORDRES STOCHASTIQUES. DERBALA Ali *) *) Uiversité de Blida Faculté des scieces Départemet de Mathématiques. BP 270, Route de Soumaa. Blida, Algérie. Tel & Fax : Résumé : Nous présetos les pricipaux résultats établis das la résolutio des problèmes d ordoacemet stochastique de type flow-shop à deux machies ou plus de deux machies. Johso (954) a résolu le problème à deux machies avec des temps d'exécutio détermiistes. Le problème deviet NP-difficile s'il y a trois ou plus de trois machies. Talwar (967) coectura que si les temps d'exécutio sot des v.a idépedates et expoetiellemet distribuées alors la règle est : Das ue séquece d'exécutio, le ob i doit précéder le ob si et seulemet si /E(A i ) - / E(B i ) /E(A ) - / E(B ). Cette règle doe u ordoacemet avec ue espérace du makespa miimale. Ue preuve icomplète est doée par Bagga (970). La preuve complète de cette coecture est faite par Cuigham et Dutta (973). Les règles de Johso et Talwar établisset que le ob i précède le ob si et seulemet si E( mi( A i, B ) ) E (mi ( A, B ) ). Ku et Niu (986) doet ue preuve de l'optimalité pour les deux cas détermiistes et expoetiel. Kamburowski (999) doe ue ouvelle coditio suffisate plus faible que celle de Ku et Niu qui e se restreit pas au cas de deux obs adacets. Il acclame que les règles d'ordoacemet optimale pour miimiser le makespa peuvet être dérivées de cette coditio. Mots-clés : Ordoacemet détermiiste et stochastique, makespa, ordre stochastique.

2 ) INTRODUCTION La résolutio des problèmes de flow shop stochastiques se fait par l utilisatio de trois classes de méthodes: les méthodes de type recuit simulé, les algorithmes géétiques et les processus badits. Das cette partie ous proposos quelques résultats établis das la littérature e utilisat ue approche différete, à savoir la comparaiso stochastique. U esemble de tâches sot à exécuter sur m machies ( m 2 ) disposées e série ou flow shop. Les tâches sot supposés être das l atelier à l istat zéro. U esemble de machies est dit costituat u «flow-shop» si elles sot disposées e série ou umérotées de tel faço que, pour chaque ob cosidéré, ue opératio k est exécutée sur ue machie de rag supérieur que l opératio si > k. U exemple de tel atelier est la dispositio e lige où les travailleurs ou les statios de travail représetet les machies. Il est pas requis que chaque ob doit s exécuter sur chaque machie. Das ce cas, le temps d exécutio du ob sur la dite machie est ul. Deux modèles sot examiés das la suite. Le premier est celui où etre les machies, il y a ue surface de stockage de capacité ifiie. Si la machie k+ est occupée, quad u ob a termié so exécutio sur la machie k, ce ob sera stocké etre les machies k et k +. La préemptio est pas autorisée ( il est appelé flow shop with ifiite storage et oté FSIS). Pour le secod modèle, il y a pas d espace de stockage etre les machies. Le phéomèe de Blocage peut se produire. Quad u ob termie so exécutio sur la machie k mais la machie k+ est occupée, ce ob reste sur la machie k et elle e peut pas exécuter u ouveau ob. C est le flow shop avec blocage (Flow Shop with No Itermediaire Storage, FSNIS ). Il se ote Fm/ block /C max [Pi95]. Avec des temps d'exécutio des tâches détermiistes, Johso[Joh54] a résolu le problème à deux machies. So algorithme est efficace et est ue coditio suffisate. Il écessite au plus u temps proportioel à log. Ue tâche précède la tâche + si Mi (A,B + ) < Mi (A +,B ). L'ordoacemet optimal peut e pas être uique. La règle 'est pas optimale pour le critère de la miimisatio du flow-time moye. Tout ordoacemet SPT()-LPT(2) est optimal pour F2//C max. Ue machie «i» domie la machie «i +» si O représete cette forme par p i > d p i+. Mi { },..., p i Max p i+,. { },..., 2

3 Si p i > d p i+ > d... > d p i+ l alors la séquece optimale e chage pas si les machies i +,.., i + k sot remplacées par ue seule machie sur laquelle le temps d'exécutio est la somme des temps d'exécutio des k machies. Pour Fm/ Prmu, p i = p /C max, le Makespa C max = p = + ( m-) max( p,.., p ) et il est idépedat de tout ordoacemet. Si la vitesse d'ue machie i est v i alors le temps d'exécutio du ob sur la machie i est p i = p / v i = α i p. La machie avec la plus petite vitesse est appelée "machie goulot" ou "Bottleeck machie". U ordoacemet est proportioé si p = p 2 =...= p m = p. Si la première ( respectivemet La derière ) machie est de goulot das u flow shop proportioé avec des vitesses différetes alors LPT ( resp. SPT ) miimise le makespa. 2) LES ORDONNANCEMENTS STOCHASTIQUES. Das l ordoacemet stochastique certaies covetios sot à faire et qu elles e sot pas idispesables e ordoacemet détermiiste. Durat l évolutio d u processus stochastique, de ouvelles iformatios devieet dispoibles. Les dates de fi d exécutio de obs et l'occurrece des dates de libératio de obs représetet ue iformatio additioelle que le décideur espère les predre e cosidératio pour l exécutio de la partie restate du processus. Le champ de liberté que le décideur a e utilisat cette iformatio additioelle est la base de multitude de classes de politiques de décisio. Das le cas du flow shop de permutatios, les obs sot mis das ue liste e face de la première machie à l istat 0; chaque fois que la machie est libre, le ob suivat de la liste est exécuté. La secode classe de politiques est la versio préemptive de la première classe utilisée das le cas où les obs sot libérés e différets istats. Le décideur peut faire des décisios durat l évolutio du processus. Chaque décisio peut predre e cosidératio toutes l iformatio dispoible à cet istat. Sous ue politique dyamique o préemptive, e chaque istat où la machie est libérée, le décideur est autorisé à détermier lequel des obs est à exécuter après. La décisio e de tels istats peut dépedre de toute l iformatio dispoible, par exemple, le temps courat, les obs e attete pour l exécutio, les obs e exécutio sur les autres machies, les temps d exécutio que les obs ot reçus sur ces machies. Le décideur est pas autorisé d iterrompre l exécutio d u ob. La quatrième classe est la politique dyamique préemptive. La décisio peut écessiter l iterruptio des obs. 3

4 Quelques résultats : Garey et al [ Gar76] ot étudié la complexité des problèmes de type flow shop. La détermiatio d u ordoacemet de logueur miimale das u flow shop à m-machies (m 3 ) est NP-complet. Il le reste aussi bie si la logueur des etrées est mesurée par la somme des logueurs de tâches. Il se formule comme u problème de 3-partitio. Le cas stochastique l est aussi. La détermiatio d u flow time podéré miimale das u flow shop à m-machies est NP-complet pour m 2. Si les temps d'exécutio sot des variables aléatoires idépedates et expoetiellemet distribuées, Talwar[Tal67] coectura que la règle est : Das ue suite d'exécutio, le ob i doit précéder le ob si et seulemet si /E(A i ) - / E(B i ) /E(A ) - / E(B ). Elle doe u ordoacemet avec ue espérace du makespa miimale. Ue preuve icomplète est doée par Bagga[Bag70a]. La preuve complète de cette coecture est faite par Cuigham et Dutta[Cu73]. Les règles de Johso et Talwar établisset que le ob i précède le ob si et seulemet si E( mi( A i, B ) ) E (mi ( A, B ) ). Ku et Niu [Ku86] doet ue preuve de l'optimalité pour les deux cas détermiistes et expoetiel. Kamburowski[Kam99] doe ue ouvelle coditio suffisate plus faible que celle de Ku et Niu qui e se restreit pas au cas de deux obs adacets. Des auteurs ot été très actifs par leurs publicatios. Pour des référeces voir, Baeree[Ba65], Makio [Mak65], Talwar [Tal67], Lever[Lev69], Bagga [ Bag70a], Reddi et Ramamoorthy [Red72], Cuigham et Dutta [ Cu73 ], Weber [Web79], Muth [Mut79], Piedo [Pi82], Weiss [Wei82], Fristig et Adiri [Fro85]. Remarque : Pour passer d u flow shop à u tadem queue, le flot des arrivées des cliets peut être obteu e imagiat ue statio fictive e plus e face des statios existates avec le temps d exécutio du premier cliet à la première statio soit t, du secod à t 2 - t etc. Pour passer d u tadem queue au flow shop, o imagie u ob de temps d exécutio t sur M, t 2 - t sur M 2 etc. 4

5 3. RESOLUTION DU FLOW SHOP STOCHASTIQUE PAR LES ORDRES STOCHASTIQUES Ku et Niu [Ku86] doet ue coditio suffisate sur les distributios du temps d exécutio qui implique que le makespa deviet stochastiquemet plus petit quad deux obs adacets das ue suite doée soiet permutés. Soit S : J J 2...J k J k+... J et S 2 : J J 2...J k+ J k... J T : le temps requis pour que J J 2...J k- complètet leur exécutio sur la machie T = k A i i=. L : le temps qu il faut après T pour la machie 2 pour compléter J J 2...J k-. A = A k + A k+ ( Le temps total pour exécuter les obs k et K + sur la machie ). R ( R 2 ) : Temps additioel écessaire pour vider le système après T + A sous S ( S 2 ) et δ ( δ 2 ) : Temps additioel après t + A écessaire pour la machie 2 pour compléter l exécutio des obs J J 2...J k J k+ sous le séquece S ( S 2 ). Les makespas M et M 2 sous S et S 2 sot respectivemet M i = T + A + R i, i =, 2. () Ue variable aléatoire X est dite stochastiquemet plus grade que la variable aléatoire X 2 si t R, P(X > t ) P(X 2 > t ) t R, F (t ) F 2 ( t ). Il est appelé ordre stochastique et se ote X st X 2. Des résultats sot établis et sot doés sous forme de théorèmes et de lemmes. Théorème : Ue coditio suffisate pour que M st M 2 est ( mi [ A k, B k+ ] / A k + A k+ = a et B k + B k+ = b ) st ( mi [ A k+, B k ] / A k + A k+ = a et B k + B k+ = b ) (2) a, b 0 et pour lesquels les distributios des v.a coditioelles soiet bie défiis. Propositio : La coditio (2) est impliquée par l ue des deux coditios suivates : (i) ( A k / A k + A k+ = a ) st ( A k+ / A k + A k+ = a ) et ( B k / B k + B k+ = b ) st ( B k+ / B k + B k+ = b ), ( a, b ) 0. (ii) Mi [ A k, B k+ ] st Mi [ A k+, B k ] avec ue probabilité ( ou presque sûremet). Propositio 2 : Supposos que les temps d exécutios sot expoetiellemet distribués de moyee E(A i ) = / a i et E(B i ) = / b i pour i =,2,.., Alors la coditio (2) est vérifiée si a k - b k a k + - b k+. 5

6 Ue v.a X de desité f X est dite plus petite das le ses du rapport de vraisemblace qu ue v.a Y de desité f Y et otée X L Y si *) Si X L Y alors X st Y. f f Y X ( x) ( x) f f X Y ( y) ( y) pour 0 x y Propositio 3 : Soiet X et Y deux v.a positives de desités f X et f Y si X L Y alors ( X / X + Y = s ) L ( Y / X + Y = s ), s 0. Corollaire : Si A k L A k+ et B k L B k+ alors la coditio (2) est établie. Remarque 2 : Les distributios Gamma, de Poisso, Béta et autres sot ordoées par l ordre du rapport de vraisemblace. L ordre du rapport de vraisemblace est trasitif. Le corollaire implique que le makespa sous la séquece (J,.., J ) est stochastiquemet miimal. Propositio : L'algorithme de Johso peut s étedre au cas de trois machies où { } mi p max { p 2 } ou mi { p 3 } max { p 2} Les temps d'exécutio des obs sur la secode machie sot d'aucues applicabilité ( Pour l'optimalité de l'ordoacemet, et ue politique optimale peut être détermiée e appliquat l'algorithme aux temps d'exécutio ( p + p 2 ; p 2 + p 3 ). Chag et Yao [Cha93] Deux variables aléatoires X et X 2 sot dites ordoées par ordre croissat du facteur d'utilisatio ( Are Icreasig failure rate ordered ) si ( s,t ) R 2, s < t, F () t F 2 () t F () s F () s 2 où F t i () = P( X i > t ) = - F i (t). Le facteur d utilisatio ou taux d'hasard est ρ i (t) = f i (t) / F t i () = f i (t) / ( - F i (t) ). La variable aléatoire cotiue X est plus grade au ses du rapport de vraisemblace que la variable aléatoire cotiue X 2 ( likelihood ratio i sese ) si f (t) / f 2 (t) est croissate e t, t 0 ( o decreasig ). Cette forme de domiace stochastique est otée X l.s X 2. Das le cas d u flow shop à deux machies, ils établisset les résultats suivats. Théorème : Les ob i précède le ob das l ordre de miimiser le makespa das le ses : 6

7 (i) Ordre stochastique si A i lr A et B i lr B (ii) Ordre stochastique si A i hr A et B i hr B et (iii) E espérace, si A i st A et B i st B. Théorème 2 : Supposos que A k B k ( resp. A k B k ), k =,.., ; et A a A 2 a... a A ( resp. B a B - a... a B ) Alors la séquece 2.. miimise le makespa das le ses de : (i) Ordre stochastique, si a = lr (ii) Ordre covexe croissat si a = hr (iii) E espérace si a = st. Piedo[ Pi 95 ] éoce des résultats. Théorème : Ordoacer les obs das l'ordre décroissat des λ - µ miimise l'espérace du Makespa das la classe des politiques de listes statiques o préemptives, das la classe des politiques dyamiques o-préemptives et les politiques dyamiques préemptives. L'ordoacemet optimal avec des temps d'exécutio expoetiels est similaire à celui des temps d'exécutio détermiistes. E(Mi ( X, X 2k )) E(Mi ( X k, X 2 )) λ - µ λ k - µ k si le ob k précède le ob das l'ordoacemet optimal. Cosidéros u flow shop de permutatio de " m machies " où les temps d'exécutio des obs sot i.i.d de distributio F de moyee / λ, ue bore iférieure de C max existe. Lemme 2 : Sous 'importe quelle suite de obs E(C max ) + ( m - ) max (,..., ) λ λ λ = Ue suite de obs,..., est appelée séquece SEPT-LEPT s'il y a u ob k das la séquece tel que λ λ 2... λ k et λ k λ k+... λ Les politiques SEPT et LEPT sot aussi SEPT-LEPT. 7

8 Théorème 3 : Si F a.s F 2 a.s... a.s F alors i) N'importe quelle séquece SEPT-LEPT miimise l'espérace du makespa das la classe des politiques de listes statique o préemptive et E(C max ) = + ( m - ) max. λ λ = ii) La séquece SEPT miimise l'espérace de la somme des temps de fi d exécutio das la classe des politiques listes statiques o préemptives et E( C = ) = m + λ = - λ =. Cosidéros le cas où les temps d'exécutio du ob sur chacue des m machies sot égaux à la V.A X de distributio F et F cx F 2 cx.. cx F. L'espérace des temps d'exécutio sot les mêmes mais les variaces peuvet être différete si l'obective est E( C = ). O applique la règle de la petite variace otée SV rule ( Short Variace first ). C'est la règle qui e tout istat la machie libre sélectioe le ob restat avec la plus petite variace. Théorème 4 : La règle SV miimise l'espérace de la somme du temps de fi d exécutio das la classe des politiques listes statiques opréemptives. Cosidéros la cotrepartie stochastique F2/block/C max avec le temps d'exécutio du ob sur la machie ( 2 ) X ( X 2 ) de distributio F ( F 2 ). La capacité de stockage est ulle etre les deux machies. Il est équivalet au problème du voyageur de commerce TSP. U algorithme efficace le résout, mais il e le fait pas pour le cas stochastique. O suppose que F = F 2 = F. Théorème 5 : Si F st F 2 st.. st F alors les séqueces et miimise l'espérace du makespa das la classe des politiques listes statiques opréemptive. Théorème 6 : Si F s v F 2 s v... s v F alors les suites fiies et miimise l'espérace du makespa das la classe des politiques listes statiques o préemptive. Exemple: Les distributios uiforme et Normal(0,2µ ) le sot. 8

9 Soit le problème F m / block / C max avec F = F 2 =...= F m = F de moyee / λ et que X, X 2,..., X m sot idépedats. Théorème 7 : Si F as F 2 as.. as F alors ue séquece miimise l'espérace du makespa si et seulemet si c'est ue séquece SEPT-LEPT. Righter [Rig95] a doée des résultats stochastiques. Kamburowski[Kam99] présete ue coditio suffisate sur les distributios des temps d'exécutio. Le makespa deviet stochastiquemet petit quad deux obs das ue suite sot permutés ( Les obs e sot pas forcémet adacets ). Le makespa d'ue suite de obs peut être représeté par le temps de fi d exécutio d'u réseau PERT. Réseau pour la suite de obs (, 2,..., k-2, r, i,, s, k+3,..., ) Les oeuds o et 2+ représetet le début de l'exécutio et la fi de l'exécutio du proet. Supposos que le ob i est à la kième positio das la séquece d'ordoacemet ( k, ). Les arcs ( 2k-3,2k-) et (2k,2k+2) décrivet l'exécutio du ob i sur la machie A et B respectivemet. Les arcs verticaux représetet des activités de durée ulle. Le makespa M, est la logueur du plus log chemi de 0 à 2 +. La temps le plus tôt, T l que l évéemet (oeud) l surviee est la logueur du plus log chemi du oeud 0 à l. O a besoi de T l, la logueur du plus log chemi de l à 2+. Utilisat la termiologie du PERT, M - T l est le temps le plus tard que l évéemet l surviee. Si o iverse tous les arcs du réseau et o suppose que les obs sot exécutés e premier sur la machie B et après sur la machie A, le makespa de la séquece iversée est le même. Cosidéros deux obs itermédiaires et adacets dire i et. Soiet π = ( ρ, r, i,, s, ϖ ) et π 2 = ( ρ, r,, i, s, ϖ ) avec ρ et ϖ des sous suites de obs ayat pas d élémets r, i, et s. Supposos que le ob i est à la kième positio das π. Les makespas correspodats peuvet être représetés comme suit : M = max ( X, Y, Z ) et M 2 = max ( X, Y, Z 2 ) où X = T 2k-2 + B r + B i + B + T 2k+ 4 Y = T 2k-3 + A i + A + A s + T 2k + 3 9

10 Z = T 2k-3 + A i + B + max ( A, B i ) + T 2k+ 4 () Z 2 = T 2k-3 + A + B i + max ( A i, B ) + T 2k+ 4 La variable aléatoire représete la logueur du plus log chemi ( de 0 à 2+ ) qui coduit B r, soit, passe par l arc ( 2k-2, 2k) de logueur B r. Idetiquemet, Y représete la logueur du plus log chemi qui cotiet A s. Autat que Z ( Z 2 ) représete la logueur du plus log chemi qui cotiet A i et A (A et B i ) sous la suite π ( π 2 ). Défiissos les v.a Q r et Q s comme: Q r = T 2k-2 + B r - T 2k-3 et Q s = T 2k+3 + A s - T 2k + 4 (2) Q r est le temps qui sépare la fi d exécutio du ob r sur la machie A et B Q s a ue iterprétatio aalogue pour la séquece iversée. E substituat (2) das (), o obtiet la représetatio coveable suivate. M = T 2k-3 + T 2k max ( U, V, W ) et M 2 = T 2k-3 + T 2k max ( U, V, W 2 ) (3) où U = Q r + B i et V = Q s + A i (4) W = A i + B + max ( A, B i ) et W 2 = A + B i + max ( A i, B ) et A i = A i + A et B i = B i + B E dérivat de l équatio (3), o suppose que i et sot deux obs itermédiaires. S ils sot les deux premiers ( ou deux deriers ) obs de la suite, la v.a U ( V ) doit être exclue de toute cosidératio. Il suffit de poser Q r = - ( Q s = - ) das (4). Ultérieuremet o suppose aisi que i et sot adacets. Supposos qu il y a ue sous-suite de obs, ν, etre i et ; π = ( ρ, r, i, ν,, s, ω ) et π 2 = ( ρ, r,, ν, i, s, ω ). La représetatio (3) reste valable quad l =, 2. W l = la logueur du plus log chemi commeçat de l arc avec A i ( A ) et se termiat à l arc avec B (B i ) sous π l. A i ( B i ) = La logueur de l uique chemi qui commece de l arc A i (B i ) et se termie avec l arc A ( B ) sous π (π 2 ) et T 2k-3 le temps de fi d exécutio du ob r sur la machie A et T 2k+4 le temps de fi d exécutio du ob s sur la machie B sur la séquece iversée. 0

11 Théorème : Si q r et q s das le support Q r et Q s R (q r,q s ) = Max ( q r + B i, q s + A i, W ) st Max ( q 2 + B i, q s + A i, W 2 ) = R 2 (q r,q s ) (5) Alors M st M 2. La v.a coditioelle (X / Y = y ) est otée ( X / y ) La coditio (5) est plus faible que celle de Ku et Niu[Ku85]. Remarque: X + Z st Y + Z implique pas que X st Z aussi bie si X, Y et Z sot idépedats. Supposos que les temps d exécutio sot des v.a idépedates et expoetiellemet distribuées. Propositio : Pour deux obs adacets i et, l équatio (5) est satisfaite par chacue des deux coditios suivates : i) P[ Mi ( A i, B ) Mi ( A, B i ) ] = ii) / E(A i ) - /E(B i ) / E(A ) - /E(B ) Propositio 2 : Supposos que les temps d exécutio d u ob sur les machies soiet mi ( A k, Z ) et mi (B k, Z) avec A k, B k et Z des v.a idépedates et expoetiellemet distribuées. Si pour deux obs adacets i et, / E(A i ) - /E(B i ) / E(A ) - /E(B ) alors M st M 2. Z peut être vue comme ue date de fi «deadlie» aléatoire comme pour les temps d exécutio o restreit A k et B k. Propositio 3 : Soiet A i st A et B i st B pour deux obs adacets i et alors : E( R (q r,q s ) ) E(R 2 (q r,q s )) et e coséquece E( M ) E( M 2 ). CONCLUSION :

12 La résolutio des problèmes de flow shop stochastiques se fait e gééral par l utilisatio de trois classes de méthodes stochastiques : les méthodes de type recuit simulé, les algorithmes géétiques et les processus badits. Das cette article ous avos préseté quelques résultats établis das la littérature e utilisat ue approche différete, à savoir la comparaiso stochastique. Das l aveir, ous comptos implèmeter ces méthodes et de faire leur comparaiso et de coclure sur leur efficacité. REFERENCES [Bag70a] Bagga, P.C (970a). Sequecig with radom service times. Techometrics 2, pp [Bag70b] Bagga, P.C (970b). -Job, 2-Machie Sequecig Problems with stochastic service times. Operatios Research 7, pp [Ba65] Baeree, B.P (965).Sigle Facility Sequecig With Radom Executio Times. Operatios research 3, pp [co67] Coway, R.C; Maxwell, W.L ad Miller, L.W (967). Theory of schedulig. Addiso Wesley. [Cu73] Cuigham, A.A ad Dutta, S.K (973). Schedulig obs with expoetially distributed processig times o two machies of a flowshop. Naval Research Logistics Quarterly, vol20,. pp [Fro85] Frostig, E ad Adiri, I (985). Three-machie flowshop stochastic schedulig to miimize distributio of schedule leght. Naval Research Quarterly 32. pp [Gar76] Garey, M.R ; Johso, D.S ad Sethi, R (976). The complexity of flowshop ad obshop schedulig. Mathematics of operatios research. vol., 2. pp [Gil64] Gilmore, P.C ad Gomory, R.E (964). Sequecig a oe state variable machie : A solvable case of the travelig salesma problem. Operatios research 2, pp [Joh54] Johso, S.W (954). Optimal Two ad Three-stage Productio Schedules With Setup Times Icluded. Naval research Logistic Quarterly, pp [Kam99] Kamburowski, J (999). Stochastically miimizig the makespa i two-machie flow shops without blockig, EJOR(2) 2, pp [Ku86] Ku,P-S ad Niu, S-C (986). O Johso s two-machie flow shop with radom processig times. Operatios Research, vol. 34, No., pp [Lev69] Lever, E (969). Optimal plaig of Parts Machiig o a umber of Machies. Automatic Remote Cotrol 2, pp

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