Boîte à outils mathématiques de base pour l infographie et l animation par ordinateur. Yves Chiricota, professeur DIM, UQAC Cours 8TRD147
|
|
- Côme Beauchamp
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Boîte à outils mathématiques de base pour l infographie et l animation par ordinateur Yves Chiricota, professeur DIM, UQAC Cours 8TRD Janvier 2015
2 2 Il est impossible d envisager l étude des méthodes de l animation par ordinateur sans des connaissance en algèbre linéaire et en calcul. Les approches plus poussées de l animation par ordinateur (comme la simulation de surfaces déformables et de certains phénomènes physiques) demandent même la maîtrise de la géométrie différentielle. Nous verrons ici la base mathématique nécessaire au cours. Ce document constitue en quelque sorte une boîte à outils mathématiques pour l animation par ordinateur. 1 Algèbre matricielle En gros, on pourrait dire que l algèbre matricielle est l étude de l arithmétique des matrices. On muni l ensemble des matrices d une opération de somme et d une opération de produit. Cependant, dans le cas des matrices, les choses ne sont pas aussi simple que si on travaille avec les nombres réels. Il faut tenir compte du format des matrices, elles ne sont pas toutes inversible, etc. Grâce à l algèbre matricielle, il est possible de représenter des concepts beaucoup plus riches que ceux inhérents à partir de l algèbre des nombres réels uniquement. En effet, grâce aux vecteurs et aux matrice, on peut représenter sur ordinateur des objects en plusieurs dimensions. Ces concepts nous servent aussi à représenter certaines transformation de l espace, en particulier celles nécessaires à simuler des caméras virtuelles. Il serait trop long d énumérer ici toutes les applications de l algèbre linéaire en infographie. Nous allons voir les éléments essentiels pour le cours 8TRD147. Les thèmes abordés ici constituent le minimum nécessaire à entreprendre l étude de l infographie et l animation par ordinateur. 1.1 Points et vecteurs Intuitivement, on peut définir le plan euclidien comme étant un ensemble de points pour lesquels on peut mesurer les distances et les angles. Notons qu un point sert à indiquer une position. L espace euclidien de dimension trois se définit aussi comme un ensemble de points pour lesquels on peut mesurer des angles et des distances. A priori, dans un espace euclidien, aucun point ne se distingue des autres (il n y a pas d origine) et il n y a pas de système de coordonnées. La notion d espace euclidien est très générale. En particulier, l espace R n des points exprimés à l aide de trois
3 1. ALGÈBRE MATRICIELLE 3 nombres réels forme un espace euclidien. Un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs muni d opérations de somme et de produit par un scalaire qui satisfont un certain nombre de propriétés. Les vecteurs servent à indiquer des directions d un point à un autre. Plus formellement, un espace vectoriel réel (V, +, ) est la donnée d un ensemble de vecteurs V muni de deux opérations + : V V V et satisfaisant les propriétés suivantes: : R V V 1. Pour tous u, v V, on a u + v = v + u, 2. Pour tous u, v, w V on a u + (v + w) = (u + v) + w, 3. Il existe un élément spécial 0 V tel que pour tout u V, on a u + 0 = u, 4. Pour tout u V, il existe un élément v V tel que u + v = 0 (en d autres mot, chaque élément possède un opposé), 5. Pour tout u V, on a 1 u = u, 6. Pour tous α, β R, pour tout u V, on a α(β u) = (αβ) u 7. Pour tous α, β R, pour tout u V, on a (α + β) u = α u + β u 8. Pour tout α R, pour tous u, v V, on a α (u + v) = α u + α v Ces huit propriétés constituent les règles de calcul (permettant de simplifier des expression, etc.) dans un espace vectoriel. Tout calcul valide sur les vecteurs doit pouvoir s exprimer comme une suite d opération correspondant à ces règles. Exercice: Déterminer l interprétation géométrique des deux opérations. Un sous-espace vectoriel de V est un sous-ensemble de vecteur U tel que si u, v U et α R, alors u + v U et αv U.
4 4 L espace R 3 muni de la somme et du produit par un scalaire usuels forme un espace vectoriel. On peut voir R n de deux points de vue: comme un espace euclidien ou comme un espace vectoriel. Une des particularité qui distingue un espace euclidien d un espace vectoriel est la présence d un point qui représente l origine de l espace vectoriel. Dans le cas de de R n, n importe quel point pourrait servir d origine, mais on utilise habituellement le point (0, 0,..., 0). Étant donné un espace euclidien, on peut en faire un espace vectoriel en choisissant un point, disons O, qui servira d origine. Par la suite, on fait correspondre à chaque point P de l espace euclidien un vecteur V (P ) de l espace vectoriel en lui associant le segment de droite OP. Exercice: définir la somme et le produit par un scalaire de telle sorte que cette construction donne un espace vectoriel. En toute généralité, les vecteurs d un espace vectoriel réel peuvent être n importe quel type d objets, pourvu que les conditions précédentes soient respectées. On peut définir des espaces vectoriels de fonctions, de quaternions, etc. Il est utile de représenter les vecteurs à l aide de coordonnées. L idée est de choisir un ensemble B = {b 1, b 2,... b n } de n vecteurs linéairement indépendants et de les utiliser pour exprimer n importe quel vecteur v de l espace en calculant l unique décomposition v = a 1 b 1 + a 2 b a n b n, où a n R. Les nombres a i sont appelés coordonnées du vecteur v relativement à la base B. Il est intéressant de remarquer que (a 1, a 2,..., a n ) est un vecteur de R n. Il faut faire attention ne pas confondre coordonnées et vecteur dans le cas de R n. Pour la suite, nous ne considérerons que l espace vectoriel R n muni de la somme de vecteur usuelle et du produit par un scalaire usuel: u + v = (u 1, u 2,..., u n ) + (v 1, v 2,... v n ) = (u 1 + v 1, u 2 + v 2,..., u n + v n ) et α u = α (u 1, u 2,..., u n ) = (αu 1, αu 2,..., αu n ). Exercice: Vérifier que les huit propriétés sont satisfaites dans ce cas.
5 1. ALGÈBRE MATRICIELLE Systèmes de coordonnées Comme nous l avons vu, on peut représenter les vecteurs à l aide de systèmes de coordonnées. L idée est de choisir une base ordonnée {b 1, b 2,... b n } pour exprimer les éléments de R n comme une combinaison linéaire i a ib i, avec a n R. En fait, lorsqu on considère un vecteur (u 1, u 2,... u n ), c est (de manière implicite) relativement à la base canonique de R n : (u 1, u 2,... u n ) = i u ie i, où e i est le vecteur comportant des 0 à chaque position sauf à la i ième où on retrouve un 1 (e 1 = (1, 0, 0, 0,... 0), e 2 = (0, 1, 0, 0,... 0),.... Le concepts de systèmes de coordonnées permet de simplifier les calculs inhérents aux caméras virtuelles et de faciliter la représentation des objets géométrique en infographie, entre autres choses. On passe d un système de coordonnées à un autre à l aide de la multiplication matricielle (exercice). 1.3 Transformation de l espace Euclidien On peut appliquer certaines opérations aux vecteurs et aux points. Les principales opérations sont la rotation autour d un axe, la translation selon un vecteur et le changement d échelle. On utilise généralement les matrices pour représenter ces transformations, lorsqu elles sont linéaires. L utilisation des matrices présentes de grands avantages car elle permettent une implémentation facile et que si T est une transformation, représentée par la matrice M T, appliquée à un vecteur V, on obtient T (V ) en multipliant avec M et V, c-à-d T (V ) = MV. De plus, la composition de transformation se traduit par le produit des matrices correspondantes. Cela présente un avantage relativement à la performance du calcul lorsque l on doit appliquer la même série de transformations à plusieurs vecteur comme c est souvent le cas en infographie. Par exemple, la matrice suivant effectue une rotation autour de l origine d angle θ autour du vecteur (0, 0, 1): cos θ sin θ 0 sin θ cos θ
6 6 La matrice suivant effectue représente une dilatation d un vecteur (avec une valeur spécifique pour chaque axe): s x s y s z Coordonnées homogènes Pour être en mesure de représenter une translation d un vecteur de dimension trois à l aide d une matrice, on est forcé de travailler en dimension quatre. On représente alors les vecteurs de R 3 à partir de vecteurs de R 4 à l aide de coordonnées homogènes. La représentation en coordonnées homogènes d un point (x, y, z) est (wx, wy, wz, w), où w 0. Le point (X, Y, Z, W ), avec W 0, correspond au point (X/W, Y/W, Z/W ) dans R 3. En fait, on a la correspondance: (x, y, z) (wx, wy, wz, w) = w(x, y, z, 1), avec w R. On remarquera que plusieurs points en coordonnées homogènes correspondent à (x, y, z). En fait, point de l espace R 3 se trouve associé à une droite de l espace R 4. On choisit habituellement le représentant (1 x, 1 y, 1 z, 1) = (x, y, z, 1) pour représenter (x, y, z). La matrice t x t y t z représente une translation de (t x, t y, t z ) d un vecteur (x, y, z) exprimé en coordonnées homogènes. Un des grand avantage de la notation matricielle pour représenter les opérations est que la composition des opérations se calcule à l aide du produit de matrice. Ce calcul est souvent intégré dans les cartes graphiques ce qui permet d obtenir de
7 1. ALGÈBRE MATRICIELLE 7 bonnes performances. Il est de plus intéressant de noter que l inverse d une opération s obtient tout simplement en prenant l inverse matriciel. Par exemple, considérons un cube dont les coins opposés sont (2, 3, 4) et (3, 4, 5) et supposons que nous désirions effectuer une rotation d angle θ par rapport à l axe des z des six coins du cube. Il suffira d appliquer une translation par le vecteur ( 2, 3, 4) au coins du cube, ensuite la rotation, et ensuite la translation (2, 3, 4). Cette suite d opération correspond au produit des matrices: T 1 RT, où T = et R = cos θ sin θ 0 0 sin θ cos θ Vecteurs Produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs est défini par: u, v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n, où u = (u 1, u 2,..., u n ) et v = (v 1, v 2,..., v n )). La longueur u d un vecteur u s obtient avec la formule: u = u, u. On remarquera que si u et v sont perpendiculaire, on a u, v = 0. u, v = v, u. Soit α R, on a αu, v = α u, v = u, αv.
8 8 On normalise un vecteur u avec u u. Rappelons la formule u, v = cos θ, u v où θ est l angle entre les vecteurs u et v. Cette formule découle de la loi des cosinus: Si la longueur des cotés d un triangle sont a, b et c et θ est l angle entre les cotés correspondant aux longueurs a et b, alors on a c 2 = a 2 + b 2 2ab cos θ. On a u, v < 0 si θ > π 2, u, v = 0 si θ = π 2, u, v > 0 si θ < π 2. Produit vectoriel Le produit vectoriel de deux vecteur de R 3 est défini par la formule suivante: i j k u v = det u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 La valeur de ce déterminant est égal à l aire du parallélogramme défini par les deux vecteurs. On a les propriétés suivantes: u v = v u. u v, u = u v, v = 0. Le produit vectoriel est intrinsèquement lié à la notion l orientation dans R 3. Selon que l on travaille dans un système main droite ou main gauche, on obtient l orientation du vecteur u v formant un repère orthogonal avec la main et en imaginant que l index correspond à u et le majeur à v. L orientation du vecteur u v est alors donné par le pouce.
9 1. ALGÈBRE MATRICIELLE 9 Réflexion Le calcul de réflexions est fondamental en infographie et en animation. Les applications sont nombreuses: détection de collision, illumination, etc. Tout d abord, calculons la projection d un vecteur sur un autre. Considérons deux vecteurs U et W. La projection de u sur w est un vecteur v = αw tel que u v, w = 0. Il s en suit u v, w = u, w v, w = u, w αw, w = u, w α w, w, d où α = u,w La projection de u sur w est donc le vecteur w 2 u, w w 2 w. La réflexion de u par rapport à w est l unique vecteur u de même longueur que u, inscrit dans le plan définit par u et w, qui fait le même angle que u avec w et différent de u. w u, v u En s aidant de la figure, on voit que u + 2(u v) = u, d où u = 2v u = 2 u, w w 2 w u.
10 10 2 Courbes et surfaces paramétrées L utilisation de courbes et surfaces est fondamentale en animation par ordinateur. Les courbes servent à décrire des trajectoires, des paramètres qui varient en fonction du temps, etc. Quant aux surfaces, elle permettent de modéliser les objets qui se retrouvent dans les scènes. On peut utiliser celles-ci pour représenter des objets rigides tel que des habitations, des véhicules, etc. Elle servent aussi à modéliser des objets déformables comme les vêtements, les vagues, etc. 2.1 Courbes Pour nous, une courbe paramétrée est une fonction continue β : I R n, avec I = [a, b] un intervalle fermé. Il est parfois pratique d utiliser un l intervalle normalisé [0, 1]. Par exemple, β(t) = (cos(t), sin(t), t), avec t [0, 6π] représente une courbe (à quoi correspond-elle?). Une courbe paramétrée peur servir à représenter la position d un objet en fonction du temps. Elle peuvent aussi servir à représenter des mouvement de caméra. On utiliser alors une courbe avec n = 6, car une caméra possède généralement six degrés de liberté (quel sont-ils?). Si on interprète une courbe β(t) comme la position d un objet en fonction du temps, la dérivée β (t) donne la vitesse instantanée au temps t. La distance parcourue entre les temps t 0 et t 1 s obtient en calculant l intégrale suivante: t1 t 0 β (t) dt. La longueur totale de la courbe est b a β (t) dt. Une courbe paramétrée par longueur est telle que u a β (t) dt = t. En d autres termes, la longueur au point u est égale à u (le paramètre est égal à la longueur de la courbe).
11 2. COURBES ET SURFACES PARAMÉTRÉES Surfaces Pour nous, une surface paramétrée est une fonction continue σ : I 1 I 2 R n, où I 1 = [a, b] et I 2 = [c, d] sont des intervalles fermés et connexes. On utilise parfois I 1 = I 2 = [0, 1]. Voici un exemple de surface paramétrée: σ(u, v) = (sin (u) cos (v), cos (u) cos (v), sin (v)), avec u [0, 2π], et v [0, π]. Étant donné une surface σ = σ(u, v), il est parfois nécessaire de calculer le plan tangent au point σ(u 0, v 0 ) (par exemple pour calculer comment un objet projeté sur le surface rebondit). On l obtient à partir des dérivées partielles évaluées en (u 0, v 0 ). Le plan est définit par le point σ(u 0, v 0 ) et les vecteurs σ u (u 0, v 0 ) et σ v (u 0, v 0 ). On utilise aussi les notations σ u = σ u et σ v = σ v. L utilisation du vecteur normal N(u 0, v 0 ) en un point (u 0, v 0 ) de la surface est fondamental pour le calcul de l éclairage et certaines techniques de rendu de scènes (tel le bump mapping). Ce vecteur est tout simplement obtenu par la formule N(u 0, v 0 ) = σ u (u 0, v 0 ) σ v (u 0, v 0 ). N σu σ(u 0, v 0 ) σv σ Il est clair que ce vecteur est perpendiculaire au plan tangent à la surface σ au point σ(u 0, v 0 ).
12 12 3 Courbes et surfaces polygonales Les courbes et surfaces telles que nous venons de les voir sont des objets mathématiques appartenant au domaine continu. Leur codage sous la forme de structures de données s impose pour être en musure de faire dessiner ces objets par un moteur graphique. Le principe général pour ce codage est d échantillonner le domaine de définition de la courbe ou de la surface et de créer de segments ou des triangles à partir de cete échantillonnage. Pour une courbe, β : [a, b] R n, on définit les segments [β((a + i (b a) (b a) ), β((a + (i + 1) ], n n avec i = 0, 1,..., n 1. Le nombre se segment sera n 1. Pour une surface σ : [a, b] [c, d] R n, on calcule une grille formée des points P (i, j) suivant σ(a + i b a n, c + j d c m ), où i = 0, 1,..., n et j = 0, 1,..., m. La grille contiendra (n + 1)(m + 1) points. Cette grille est ensuite utilisée pour définir les triangles qui serviront à approximer la surface. Cette opération s appelle discrétiser la surface. 4 Géométrie dans R 3. Le calcul géométrique revêt une importance particulière en infographie et en animation par ordinateur. Les applications sont nombreuses: algorithmes de lancé de rayon, détection de collision dans la simulation, etc.
13 4. GÉOMÉTRIE DANS R Coplanarité Considérons deux vecteurs non co-linéaires U, V R 3. Un vecteur W est co-planaire à U et V s il existe des valeurs α, β R 3 telles que W = αu + βv. On peut donc déterminer la co-planarité en résolvant le système d équations linéaires W = αu +βv. On ontient alors les coordonnées de W relativement aux vecteur U et V. Une autre approche pour déterminer si W est co-planaire avec U et V est de calculer le déterminant det(w, U, V ). Il est parfois utile de déterminer si quatre points A, B, C, D dans R 3 sont coplanaire ou non. On peut le déterminer comme suit en posant U = B A, V = C A et W = D A et en appliquant la méthode précédente. 4.2 Projection d un point dans un plan Considérons le plan Π (passant par l origine) défini les vecteurs (non colinéaires) U et V. La projection Q d un point W dans le plan Π s obtient en résolvant les équations suivantes: W Q, U = 0, W Q, V = 0, W Q, U V = Intersection de deux droites planaires La forme paramétrique de la droite qui passe par les points X et Y dans R 3 est X + t(y X). On remarquera que c est un cas particulier de courbe. Considérons les deux droites d 0 (t) = P 0 + t(p 1 P 0 ) et d 1 (t) = Q 0 + t(q 1 Q 0 )
14 14 avec P 0 = (x 0, y 0 ), P 1 = (x 1, y 1 ), Q 0 = (u 0, v 0 ), Q 1 = (u 1, v 1 ). On trouve l intersection en posant d 0 (a) = d 1 (b) et en résolvant pour a et b le système de deux équations deux inconnues. 4.4 Test pour déterminer si un point est à l intérieur d un triangle Soit P 0, P 1, P 2 les points définissant le triangle non dégénéré. Considérons un point W co-planaire avec le triangle (si le point n est pas inscrit dans le même plan, il n est pas à l intérieur). Exprimer le vecteur W P 0 comme combinaison linéaire des vecteurs P 1 P 0 et P 2 P 0, c.-à-d. W P 0 = α(p 1 P 0 ) + β(p 2 P 0 ). Si α + β 1, 0 α et 0 β, alors W est à l intérieur du triangle. 4.5 Intersection d une droite et d un plan passant par l origine dans R 3. Supposons la droite définie à partir de deux points P et Q. Soit U et V deux vecteurs générateurs du plan. L intersection W de la droite et du plan est de la forme W = Q + α(p Q). On trouve α en résolvant le système d équation suivant: U V, Q + α(p Q) = Intersection d une droite et d un triangle dans R 3. On calcule l intersection W de la droite et du plan. On détermine ensuite si W est à l intérieur du triangle.
1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailChapitre 0 Introduction à la cinématique
Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détailDeux disques dans un carré
Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailVision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007
Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses Guillaume Martinez 17 décembre 2007 1 Table des matières 1 Le projet 3 1.1 Objectif................................ 3 1.2 Les choix techniques.........................
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailDURÉE DU JOUR EN FONCTION DE LA DATE ET DE LA LATITUDE
DURÉE DU JUR E FCTI DE LA DATE ET DE LA LATITUDE ous allons nous intéresser à la durée du jour, prise ici dans le sens de période d éclairement par le Soleil dans une journée de 4 h, en un lieu donné de
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailAngles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailAnalyse de la vidéo. Chapitre 4.1 - La modélisation pour le suivi d objet. 10 mars 2015. Chapitre 4.1 - La modélisation d objet 1 / 57
Analyse de la vidéo Chapitre 4.1 - La modélisation pour le suivi d objet 10 mars 2015 Chapitre 4.1 - La modélisation d objet 1 / 57 La représentation d objets Plan de la présentation 1 La représentation
Plus en détailChapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide
Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide I Rappels : Référentiel : Le mouvement d un corps est décris par rapport à un corps de référence et dépend du choix de ce corps. Ce corps de référence
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailCours 7 : Utilisation de modules sous python
Cours 7 : Utilisation de modules sous python 2013/2014 Utilisation d un module Importer un module Exemple : le module random Importer un module Exemple : le module random Importer un module Un module est
Plus en détailMesure d angles et trigonométrie
Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailReprésentation des Nombres
Chapitre 5 Représentation des Nombres 5. Representation des entiers 5.. Principe des représentations en base b Base L entier écrit 344 correspond a 3 mille + 4 cent + dix + 4. Plus généralement a n a n...
Plus en détailSTATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE
ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailLA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE
LA PHYSIQUE DES MATERIAUX Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE Pr. A. Belayachi Université Mohammed V Agdal Faculté des Sciences Rabat Département de Physique - L.P.M belayach@fsr.ac.ma 1 1.Le réseau
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailChafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1
Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailde calibration Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation d
Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation de quelques problèmes de calibration Plan de la présentation 1. Présentation de quelques modèles à calibrer 1a. Reconstruction d une courbe
Plus en détailChapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailCours de Mécanique du point matériel
Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels
Plus en détailCercle trigonométrique et mesures d angles
Cercle trigonométrique et mesures d angles I) Le cercle trigonométrique Définition : Le cercle trigonométrique de centre O est un cercle qui a pour rayon 1 et qui est muni d un sens direct : le sens inverse
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailL ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ
L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et
Plus en détailIntégrales doubles et triples - M
Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5
Plus en détailOptimisation, traitement d image et éclipse de Soleil
Kléber, PCSI1&3 014-015 I. Introduction 1/8 Optimisation, traitement d image et éclipse de Soleil Partie I Introduction Le 0 mars 015 a eu lieu en France une éclipse partielle de Soleil qu il était particulièrement
Plus en détailINTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES
INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine
Plus en détailExercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT
Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes préparatoires,
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailPartie 1 - Séquence 3 Original d une fonction
Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailParis et New-York sont-ils les sommets d'un carré?
page 95 Paris et New-York sont-ils les sommets d'un carré? par othi Mok (3 ), Michel Vongsavanh (3 ), Eric hin (3 ), iek-hor Lim ( ), Eric kbaraly ( ), élèves et anciens élèves du ollège Victor Hugo (2
Plus en détailCours IV Mise en orbite
Introduction au vol spatial Cours IV Mise en orbite If you don t know where you re going, you ll probably end up somewhere else. Yogi Berra, NY Yankees catcher v1.2.8 by-sa Olivier Cleynen Introduction
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailProgramme de la classe de première année MPSI
Objectifs Programme de la classe de première année MPSI I - Introduction à l analyse L objectif de cette partie est d amener les étudiants vers des problèmes effectifs d analyse élémentaire, d introduire
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailLES TYPES DE DONNÉES DU LANGAGE PASCAL
LES TYPES DE DONNÉES DU LANGAGE PASCAL 75 LES TYPES DE DONNÉES DU LANGAGE PASCAL CHAPITRE 4 OBJECTIFS PRÉSENTER LES NOTIONS D ÉTIQUETTE, DE CONS- TANTE ET DE IABLE DANS LE CONTEXTE DU LAN- GAGE PASCAL.
Plus en détailPEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS?
PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS? Pierre Baumann, Michel Émery Résumé : Comment une propriété évidente visuellement en dimensions deux et trois s étend-elle aux autres dimensions? Voici une
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailNotion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine.
TABLE DES MATIÈRES 1 Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. Paul Milan LMA Seconde le 12 décembre 2011 Table des matières 1 Fonction numérique 2 1.1 Introduction.................................
Plus en détailAlgorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome
Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Frédéric Jean Unité de Mathématiques Appliquées ENSTA Le 02 février 2006 Outline 1 2 3 Modélisation Géométrique d un Robot Robot
Plus en détailSINE QUA NON. Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases
SINE QUA NON Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases Sine qua non est un logiciel «traceur de courbes planes» mais il possède aussi bien d autres fonctionnalités que nous verrons tout
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailExercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part
Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version
Plus en détailEXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2
EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2 NOMBRES ET CALCUL Exercices FRACTIONS Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : 3 R1 demi, tiers, quart, dixième, centième. Utiliser
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailCOMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre?
Claire FORGACZ Marion GALLART Hasnia GOUDJILI COMPTERENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Si l on se pose la question de savoir comment on peut faire
Plus en détail5.2 Théorème/Transformée de Fourier a) Théorème
. Théorème de Fourier et Transformée de Fourier Fourier, Joseph (788). Théorème/Transformée de Fourier a) Théorème Théorème «de Fourier»: N importe quelle courbe peut être décomposée en une superposition
Plus en détailOscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté
Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à
Plus en détailConstruction d un cercle tangent à deux cercles donnés.
Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailUtilisation d informations visuelles dynamiques en asservissement visuel Armel Crétual IRISA, projet TEMIS puis VISTA L asservissement visuel géométrique Principe : Réalisation d une tâche robotique par
Plus en détailMichel Henry Nicolas Delorme
Michel Henry Nicolas Delorme Mécanique du point Cours + Exos Michel Henry Maître de conférences à l IUFM des Pays de Loire (Le Mans) Agrégé de physique Nicolas Delorme Maître de conférences à l université
Plus en détailChapitre 3 : Repères et positionnement 3D
Chapitre 3 : Repères et positionnement 3D Modélisation 3D et Synthèse Fabrice Aubert fabrice.aubert@lifl.fr Master Informatique 2014-2015 F. Aubert (MS2) M3DS/ 3 - Repères et positionnement 3D 2014-2015
Plus en détailNom : Groupe : Date : 1. Quels sont les deux types de dessins les plus utilisés en technologie?
Nom : Groupe : Date : Verdict Chapitre 11 1 La communication graphique Pages 336 et 337 1. Quels sont les deux types de dessins les plus utilisés en technologie? Les dessins de fabrication. Les schémas.
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailSujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.
Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de
Plus en détailLes algorithmes de base du graphisme
Les algorithmes de base du graphisme Table des matières 1 Traçage 2 1.1 Segments de droites......................... 2 1.1.1 Algorithmes simples.................... 3 1.1.2 Algorithmes de Bresenham (1965).............
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailMais où est donc passée la relativité générale? Version 3.0
Mais où est donc passée la relativité générale? Version 3.0 Pascal Picard 29 mars 2015 Je suis amateur de Mathématiques et de Physique Théorique, convaincu que ces sciences sont accessibles à tous, à condition
Plus en détailLa programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique
La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation
Plus en détailRepérage d un point - Vitesse et
PSI - écanique I - Repérage d un point - Vitesse et accélération page 1/6 Repérage d un point - Vitesse et accélération Table des matières 1 Espace et temps - Référentiel d observation 1 2 Coordonnées
Plus en détailArithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot
Chapitre 5 Arithmétique binaire L es codes sont manipulés au quotidien sans qu on s en rende compte, et leur compréhension est quasi instinctive. Le seul fait de lire fait appel au codage alphabétique,
Plus en détailNOTICE DOUBLE DIPLÔME
NOTICE DOUBLE DIPLÔME MINES ParisTech / HEC MINES ParisTech/ AgroParisTech Diplômes obtenus : Diplôme d ingénieur de l Ecole des Mines de Paris Diplôme de HEC Paris Ou Diplôme d ingénieur de l Ecole des
Plus en détail