LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ"

Transcription

1 LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ Une expérience aléatoire consiste à choisir au hasard un nombre réel X dans l'intervalle I = ]0 ; 0]. L'univers est l'intervalle I. C'est un univers infini. On ne peut pas utiliser les probabilités vues jusqu'à présent et qui s'appliquaient à un univers fini. En effet, puisqu'il y a une infinité de nombres dans l'intervalle I, la probabilité de chacun de ces nombres est nulle et les raisonnements que l'on faisait en additionnant des probabilités d'éventualités ne sont plus applicables. Il faudra dans ce cas raisonner sur des probabilités d'intervalles. Exercice 0 (voir réponses et correction) On considère l'intervalle I = ]0 ; 0] et on s'intéresse à l'expérience consistant à choisir de façon aléatoire un nombre réel dans cet intervalle. ) On coupe l'intervalle I en 0 intervalles de même amplitude : ]0 ; ] ; ] ; 2] ; ]2 ; 3] ; ]3 ; 4] ; ]4 ; 5] ; ]5 ; 6] ; ]6 ; 7] ; ]7 ; 8] ; ]8 ; 9] ; ]9 ; 0] On considère l'univers Ω que l'on obtient en prenant la borne supérieure de chaque intervalle et on choisit la probabilité uniforme sur Ω. On a Ω = { ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 0 } et chaque éventualité de Ω a une probabilité de 0. On choisit de façon aléatoire un nombre réel X dans Ω. Justifier que la probabilité de l'événement «X est inférieur ou égal à π», notée p(x π), est égale à ) On coupe l'intervalle I en 00 intervalles de même amplitude : ]0; 0,] ; ]0,; 0,2] ; ]0,2; 0,3] ; ; ]9,8; 9,9] ; ]9,9; 0] On considère l'univers Ω = { 0, ; 0,2 ; 0,3 ; ; 9,8 ; 9,9 ; 0 } et la probabilité uniforme sur Ω. On choisit de façon aléatoire un nombre réel X dans Ω. Déterminer p(x π). 3 ) Même question que précédemment en coupant l'intervalle I en 000 intervalles de même amplitude, puis en 0000 intervalles de même amplitude. (On ne demande pas de justification) 4 ) Si on choisit de façon aléatoire un nombre réel X dans l'intervalle I, conjecturer la valeur de p(x π). Conjecturer les valeurs de p(x 4) ; p(x > ) ; p( < X 4) ; p(u < X v) avec u I ; v I et u < v. 5 ) On considère la fonction f définie sur l'intervalle I par f(x) = 0. a) Tracer la courbe (C) représentant la fonction f. b) Déterminer l'aire A de la partie du plan comprise entre l'axe (Ox), la courbe (C) et les droites d'équations x = et x = 4. c) Déterminer l'aire A 2 de la partie du plan comprise entre l'axe (Ox), la courbe (C) et les droites d'équations x = u et x = v ; où u et v sont deux réels de I tels que u v. Exercice 02 (voir réponses et correction) ) Créer un algorithme permettant d'obtenir de façon aléatoire un nombre réel X compris entre 0 et 0. 2 ) Avec une boucle répétant fois l'action précédente, évaluer la fréquence avec laquelle on a X π. 3 ) Modifier l'algorithme de façon à évaluer, en fonction de deux réels u et v compris entre 0 et 0, la fréquence avec laquelle on a : u < X v. 4 ) Les résultats trouvés sont-ils en accord avec les résultats obtenus dans l'exercice? s Un segment d'une certaine longueur est constitué d'une infinité de points ayant chacun une longueur nulle. L'aire d'une partie du plan peut-être calculée en utilisant une intégrale. Pourtant cette partie du plan est constituée d'une infinité de segments ayant chacun une aire nulle. De la même façon on peut définir une loi de probabilité sur un intervalle [a ; b], en utilisant une intégrale. Et ceci même si chaque nombre de [a ; b] a une probabilité nulle. La fonction que l'on intègrera sera appelée fonction de densité de la loi probabilité. TS Lois de probabilité à densité page / 2

2 Définition Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans un intervalle [a; b]. On dit que X suit la loi uniforme sur [a; b] lorsque pour tout u [a; b] et tout v [a; b] tels que u v on a p(u X v) = u v b - a dx c'est-à-dire que p(u X v) est égale à l'aire, en unités d'aire, de l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que u x v 0 y f(x) où la fonction f est définie sur [a ; b] par f(x) = Cette fonction f définie par f(x) = s b - a b - a est appelée fonction de densité de la loi uniforme sur [a ; b]. Dans le cas d'une loi uniforme, l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que u x v est un 0 y f(x) rectangle et on a de façon évidente p(u X v) = (v- u) x b - a = v - u b - a. La valeur a été choisie de telle façon que p(a X b) =. b - a On pourra utiliser la notation p(u X v) = p([u ; v]). On a p(x = u) = 0 et p(x = v) = 0, donc p([u ; v]) = p(]u ; v]) = p([u ; v[) = p(]u ; v[). Il est parfois utile que la fonction de densité de la loi uniforme sur [a; b] soit définie sur IR. Dans ce cas, on prendra f(x) = pour x [a; b] et f(x) = 0 pour x [a; b]. b - a Exercice 03 (voir réponses et correction) Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [-; ]. Déterminer : p(x 0,3) ; p - 2 X 2 ; p(x > 0,3) ; p X Exercice 04 (voir réponses et correction) TS Lois de probabilité à densité page 2 / 2 4 ; 3 ; [] 4 p X 6 ; 2 On choisit un nombre réel α au hasard dans [0 ; ]. Quelle est la probabilité que, dans l'écriture décimale de α, le premier nombre après la virgule soit un 3? Quelle est la probabilité que, dans l'écriture décimale de α, le premier nombre après la virgule soit pair? Exercice 05 (voir réponses et correction) On choisit un nombre réel α au hasard dans [0 ; ]. Sachant que ce nombre α est supérieur à 0,6 quelle est la probabilité pour qu'il soit inférieur à 0,95? Sachant que ce nombre α est supérieur à 0,963 quelle est la probabilité pour que dans l'écriture décimale de α, le deuxième chiffre après la virgule soit multiple de 3? Exercice 06 (voir réponses et correction) On considère l'intervalle I = ]0; 0]. ) On coupe l'intervalle I en 0 intervalles de même amplitude : ]0; ] ; ]; 2] ; ]2; 3] ; ]3; 4] ; ]4; 5] ; ]5; 6] ; ]6; 7] ; ]7; 8] ; ]8; 9] ; ]9; 0] On considère l'univers Ω = { ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 0 } et la probabilité uniforme sur Ω. On choisit de façon aléatoire un nombre X dans Ω. Déterminer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. 2 ) On coupe l'intervalle I en 00 intervalles de même amplitude : ]0; 0,] ; ]0,; 0,2] ; ]0,2; 0,3] ; ; ]9,8; 9,9] ; ]9,9; 0] On considère l'univers Ω = { 0, ; 0,2 ; 0,3 ; ; 9,8 ; 9,9 ; 0 } et la probabilité uniforme sur Ω. On choisit de façon aléatoire un nombre X dans Ω. Déterminer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. 3 ) Même question que précédemment en coupant l'intervalle I en 000 intervalles de même amplitude, puis en 0000 intervalles de même amplitude. (On ne demande pas de justification) 4 ) Si on choisit de façon aléatoire un nombre X dans l'intervalle I, conjecturer la valeur de E(X). 5 ) On considère la fonction f définie sur l'intervalle I par f(x) = 0. Calculer 0 x f(x) dx. 0 b - a a M u v b

3 Définition Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans un intervalle [a; b]. b Soit f une fonction définie, positive et continue sur [a; b] telle que f(x) dx =. a On dit que X suit une loi de fonction de densité f sur [a; b] lorsque pour tout u [a; b] et tout v [a; b] tels que u v on a p(u X v) = v f(x) dx u c'est-à-dire que p(u X v) est égale à l'aire, en unités d'aire, de l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que u x v 0 y f(x) On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire X a M u v b le nombre réel E(X) = a b x x f(x) dx s On a p(x = u) = 0 et p(x = v) = 0, donc p([u ; v]) = p(]u ; v]) = p([u ; v[) = p(]u ; v[). Il est parfois utile que la fonction de densité soit définie sur IR. Dans ce cas, on prendra f(x) = 0 pour x [a ; b]. Propriété (voir démonstration 0) Si X suit la loi uniforme sur [a ; b] alors son espérance mathématique est E(X) = a + b 2. Exercice 07 (voir réponses et correction) On veut modéliser le choix d'un nombre réel dans [0 ; ] par une loi (non uniforme) ayant pour densité la fonction f définie sur [0; ] par f(t) = λt où λ est un réel fixé. ) Justifier que ceci n'est possible qu'avec un seul réel λ que l'on déterminera. 2 ) Donner la probabilité que le nombre choisi soit dans l'intervalle 0 ; 2. 3 ) Donner la probabilité que le nombre choisi soit supérieur ou égal à 0,85. Exercice 08 (voir réponses et correction) Une variable aléatoire X prend ses valeurs dans [ ; 4]. On veut modéliser la situation en utilisant une loi (non uniforme) ayant pour densité la fonction f définie sur [ ; 4] par f(x) = λx 2 où λ est un réel fixé. ) Justifier que ceci n'est possible qu'avec un seul réel λ que l'on déterminera. 2 ) Déterminer les probabilité suivantes : p(2 < X < 3) ; p(x < 2) ; p(x > 3,95). 3 ) Calculer l'espérance mathématique de X et en donner une valeur approchée à 0-3 près. Si une variable aléatoire prend ses valeurs dans un intervalle non borné, par exemple [0 ; + [, on ne peut pas utiliser une loi uniforme, mais on pourra néanmoins utiliser une loi à densité. Exercice 09 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie sur [0 ; + [ par f(t) = λ e kt ; k et λ étant deux réels non nuls. ) Soit b un réel positif. Calculer 0 b f(t) dt. 2 ) a) Démontrer que si k > 0 la limite de b f(t) dt lorsque b tend vers + est infinie. 0 b) Si k < 0, déterminer, en fonction de k et λ, la limite de 0 b f(t) dt lorsque b tend vers +. Déterminer k en fonction de λ pour que cette limite soit égale à. Donner alors l'expression de f(t) en fonction de t et λ et vérifier que f est positive. TS Lois de probabilité à densité page 3 / 2

4 La fonction définie sur [0 ; + [ par f(t) = λ e -λt (avec λ > 0) est une fonction positive, strictement décroissante, telle que lim f(t) = 0. t + Sa représentation graphique a l'allure ci-contre : On a lim b b + f(t) dt =. 0 λ O Définition Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans l'intervalle [0; + [. On dit que X suit une loi exponentielle de paramètre λ (λ > 0) lorsque pour tout u [0; + [ et tout v [0; + [ tels que u v on a p(u X v) = u v λ e -λt dt λ c'est-à-dire que p(u X v) est égale à l'aire, en unités d'aire, de l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que u x v 0 y f(x) La fonction f définie sur [0 ; + [ par f(t) = λ e -λt est appelée fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre λ. u M v p([u ; v]) = u v λ e -λt dt = - e -λt v = e -λu - e -λv. u Exercice 0 (voir réponses et correction) Une variable aléatoire X prenant ses valeurs dans [0 ; + [ suit une loi exponentielle de paramètre λ = 0,. Calculer p( X 2) ; p(x 5) ; p(x > 5) ; p(x ³ 0). On donnera les valeurs exactes puis des valeurs approchées à 0-3 près. Exercice (voir réponses et correction) On considère sur [0 ; + [ la loi exponentielle de paramètre λ (λ > 0). Pour t [0 ; + [ justifier que p([t ; + [) = - p([0 ; t]). En déduire, en fonction de t, la valeur de p([t ; + [). Soit s un réel positif. Calculer la probabilité conditionnelle p [t ; + [ ([t+s ; + [). Vérifier que cette probabilité ne dépend pas de t et qu'elle est égale à p([s ; + [). Justifier que p [t ; + [ ([t ; t+s]) ne dépend pas de t et qu'elle est égale à p([0 ; s]). Propriété (voir démonstration 02) Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ (λ > 0). Soient s et t deux réels positifs. On a p (X ³ t) (X ³ t+s) = p(x ³ s). Ce que l'on peut aussi écrire p [t ; + [ ([t+s ; + [) = p([s ; + [). Les lois exponentielles sont utilisées pour des phénomènes de durée de vie sans usure ou sans vieillissement. Par exemple lorsqu'on considère un composant électronique très fiable comme une DEL (diode électroluminescente), on peut considérer que ce composant ne s'use pas. Sa durée de vie à un moment donné est toujours la même et ne dépend pas du temps pendant lequel il a déjà fonctionné. Sa "mort" n'est pas due à l'usure mais à un événement autre (chute de l'appareil, surtension ). Si on note X la variable aléatoire correspondant à la durée de vie du composant électronique, p (X ³ t) (X ³ t+s) est la probabilité que la durée de vie soit supérieure à t+s sachant qu'elle est supérieure à t et p(x ³ s) est la probabilité que la durée de vie soit supérieure à s. Autrement dit : si la DEL a fonctionné jusqu'à l'instant t, la probabilité qu'elle fonction encore au-delà de l'instant t+s, c'est-à-dire qu'elle fonctionne encore au moins s unités de temps supplémentaires est égale à la probabilité qu'elle fonctionne au moins s unités de temps à partir de l'instant 0. TS Lois de probabilité à densité page 4 / 2

5 Pour une loi exponentielle, on a aussi p [t ; + [ ([t ; t+s]) = p([0 ; s]). Si X est la variable aléatoire correspondant à la durée de vie d'un composant électronique, cette égalité s'interprète de la façon suivante : sachant que le composant est encore en vie à l'instant t, la probabilité qu'il meurt dans les s unités de temps qui suivent est égale à la probabilité qu'il meurt dans les s unités de temps à partir de l'instant 0. Ce qui revient à dire qu'à tout instant t, la probabilité que le composant meurt dans les s unités de temps qui suivent est la même. Exercice 2 (voir réponses et correction) L'uranium 238 a une constante de désintégration annuelle égale à,54 x 0-0. C'est-à-dire que la désintégration de l'uranium 238 suit une loi exponentielle de paramètre λ =,54 x 0-0. Calculer la probabilité p([0 ; 0]) qu'un noyau d'uranium 238 se désintègre en moins de 0 ans et en donner une valeur approchée. Calculer p([0 ; 0 0 ]) ; p([0 9 ; 0 0 ]) et en donner des valeurs approchées. Interpréter ces résultats. Pour quelles valeurs de t a-t-on p([0 ; t]) ³ 0,99? Interpréter le résultat. Exercice 3 (voir réponses et correction) Une substance radioactive perd naturellement sa radioactivité par désintégration. Cette désintégration suit une loi exponentielle dont le paramètre λ dépend de la substance. On appelle demi-vie de la substance radioactive, le temps T au bout duquel la substance a perdu la moitié de sa radioactivité. Le nombre T est donc celui pour lequel p([0 ; T]) = 0,5. ) Exprimer T en fonction de λ. 2 ) L'uranium 238 a une constante de désintégration annuelle égale à,54 x 0-0. Justifier que sa demi-vie est environ égale à 4,5 milliards d'années. 3 ) L'iode 3 utilisé dans des traitements médicaux a une demi-vie de 8 jours. a) Déterminer le paramètre λ correspondant à la loi exponentielle de la désintégration de l'iode 3. b) Après combien de temps l'iode 3 a-t-il perdu 75% de sa radioactivité? 99% de sa radioactivité? Définition - Propriété (voir démonstration 03) Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ alors son espérance mathématique est définie par : E(X) = lim x x + t f(t) dt où f est la fonction de densité, c'est-à-dire f(t) = λ e -λt. On a : E(X) = 0 λ. Exercice 4 (voir réponses et correction) Une entreprise d autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent être bloqués par des incidents extérieurs comme des chutes de pierres, la présence de troupeaux sur la route, etc Un autocar part de son entrepôt. On note D la variable aléatoire qui mesure la distance en kilomètres que l autocar va parcourir jusqu à ce qu il survienne un incident. On admet que D suit une loi exponentielle de paramètre λ = 82. Dans tout l exercice, les résultats numériques seront arrondis au millième. ) Calculer la probabilité que la distance parcourue sans incident soit : a) comprise entre 50 et 00 km ; b) supérieure à 300 km. 2 ) Sachant que l autocar a déjà parcouru 350 kilomètres sans incident, quelle est la probabilité qu il n en subisse pas non plus au cours des 25 prochains kilomètres? 3 ) La distance moyenne parcourue sans incident correspond à l'espérance mathématique de D. Calculer cette distance moyenne. Exercice 5 (voir réponses et correction) Le laboratoire de physique d un lycée dispose d un parc d oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d un oscilloscope est une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0,25. ) Calculer la probabilité qu un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois. 2 ) Sachant qu un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu il ait une durée de vie supérieure à dix ans? 3 ) On considère que la durée de vie d un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable du laboratoire décide de commander 5 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 0 ans? TS Lois de probabilité à densité page 5 / 2

6 ( voir animation ) On considère une variable aléatoire X n suivant la loi binomiale B(n ; p). On sait que son espérance mathématique est E = n x p et que son écart-type est σ = n x p x ( - p) Lorsqu'on fait une représentation graphique de la loi binomiale, on obtient pour toutes les valeurs de n et de p une forme dite "en cloche", mais ce graphique dépend des valeurs de n et de p. Afin de standardiser la courbe en vue d'étendre les résultats à une infinité de valeurs en utilisant une fonction de densité, on peut commencer par centrer la variable (la courbe en cloche semble symétrique). Pour cela on considère la variable aléatoire : Y n = X n - n x p. D'après les propriétés connues, cette variable aléatoire Y n aura alors une espérance mathématique égale à 0 et un écart-type identique à celui de la variable aléatoire X n. Puis afin de standardiser les écarts possibles de la variable aléaloire, on la divisera par l'écart-type σ. X On obtient alors la variable aléatoire Z n = n - n x p. n x p x (- p) D'après les propriétés connues, la variable aléatoire Z n aura alors une espérance mathématique égale à 0 et un écart-type égal à. On dit que Z n est la variable aléatoire centrée réduite associée à X n. Lorsqu'on fait une représentation graphique de la loi de probabilité de Z n on obtient une forme en cloche qui reste très stable lorsqu'on fait varier les valeurs de n et de p. Lorsqu'on superpose à ce graphique la courbe de la fonction f définie sur IR par f(x) = e - 2 x2, ( voir animation ) 2π on remarque, lorsque n est suffisamment grand, une coïncidence quasi-parfaite. Cette fonction fut trouvée par le mathématicien Abraham de MOIVRE ( ) Théorème de Moivre Laplace (admis) Soit X n une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ; p). X Soit Z n la variable aléatoire définie par Z n = n - n x p. n x p x (- p) Pour tout u IR et tout v IR tels que u v, la probabilité p(z n [u; v]) tend vers v e - 2 t2 dt, lorsque n tend vers +. u 2π TS Lois de probabilité à densité page 6 / 2

7 Exercice 6 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = e - 2 x2 2π ) Déterminer les limites de f en + et en -. Étudier le sens de variation de f et donner son tableau de variations. Tracer la courbe de f. 2 ) En utilisant GeoGebra, conjecturer les valeurs de lim 0 a - f(x) dx et lim b b + f(x) dx. a 0 (On ne cherchera pas à calculer ces intégrales) Définition Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans IR. On dit que X suit la loi normale centrée réduite N(0 ; ) lorsque pour tout u IR et tout v IR tels que u v, on a p(u X v) = v e - 2 t2 dt u 2π c'est-à-dire que p(u X v) est égale à l'aire, en unités d'aire, de l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que u x v 0 y f(x) La fonction f définie sur IR par f(t) = e - 2 t2 est appelée 2π fonction de densité de la loi normale centrée réduite N(0 ; ). u M v s On ne peut pas, à partir des fonctions déjà connues, trouver de primitive de la fonction de densité de la loi normale centrée réduite N(0 ; ), c'est-à-dire de la fonction f définie sur IR par f(t) = e - 2 t2. 2π La fonction de densité de la loi normale centrée réduite a une courbe symétrique par rapport à (Oy), et 0 par conséquent si x est un nombre réel positif, on a -x e - 2 t2 dt = x e - 2 t2 dt. 2π 0 2π Définition Si une variable aléatoire X prenant ses valeurs dans IR suit une loi de fonction de densité f, alors son espérance mathématique est définie par : E(X) = lim 0 x - t f(t) dt + lim x + xt f(t) dt. x 0 Sa variance V(X) est définie par V(X) = E[(X - E(X)) 2 ] et son écart-type est défini par σ(x) = V(X). Propriété (voir démonstration 04) Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N(0 ; ). On a E(X) = 0 ; V(X) = et par conséquent σ(x) =. Lorsqu'on parle de la loi normale centrée réduite, le mot "centrée" signifie que l'espérance mathématique est égale à 0 et cela correspond au premier paramètre de la notation N(0 ; ), le mot "réduite" signifie que la variance est égale à et cela correspond au deuxième paramètre de la notation N(0 ; ). Exercice 7 (voir réponses et correction) Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite N(0 ; ). On donne dans le tableau suivant des valeurs approchées de p(x < x) pour certaines valeurs de x. x - -0,75-0,5-0,25 0 0,25 0,5 0,75 p(x < x) 0,59 0,227 0,309 0,40 0,500 0,599 0,69 0,773 0,84 En utilisant ce tableau, déterminer : p(x 0,5) ; p(x ³ -0,75) ; p(- < X < 0,5). TS Lois de probabilité à densité page 7 / 2

8 s Si X suit la loi normale centrée réduite N(0 ; ). La fonction qui à un réel x associe F(x) = p(x < x) s'appelle fonction de répartition de la loi de probabilité. On peut déterminer une valeur approchée de p(x < x) en utilisant une calculatrice ou un tableur. Par exemple pour trouver la valeur de p(x < 2,67) Avec une calculatrice Casio, on pourra utiliser la touche OPTN puis PROB et l'expression P(2.67) Avec une calculatrice TI, on pourra utiliser le menu distrib ou DISTR et l'expression normalfrép(-000,2.67) ou normalcdf(-000,2.67) Avec un tableur on pourra utiliser l'expression =LOI.NORMALE.STANDARD(2,67) On peut remplacer la valeur -000, par tout autre valeur négative assez importante. L'erreur commise est négligeable par rapport à l'imprécision du résultat donné par la calculatrice. Exercice 8 (voir réponses et correction) Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite N(0 ; ). ) Utiliser la calculatrice ou le tableur pour compléter le tableau suivant (valeurs approchées au millième) : x 0 0,33 0,67,33,67 2 2,33 2,67 p(x < x) 0,500 0,996 2 ) En utilisant le tableau de la question précédente, déterminer : p( X < 2) ; p(0 X 0,67) ; p(-0,33 X 0,33) ; p(- X 2,67). Exercice 9 (voir réponses et correction) Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite N(0 ; ). Pour tout réel x on note F(x) = p(x < x). (F s'appelle la fonction de répartition de la loi de probabilité). Justifier que pour tous réels u et v tels que u < v, on a : p(u X < v) = F(v) - F(u). En déduire, en utilisant la calculatrice ou le tableur, les valeurs suivantes : p(,2 X < 2,35) ; p(-2,54 < X <,45) ; p(-,96 < X <,96) ; p(-2,58 < X < 2,58). Propriété (voir démonstration 05) Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N(0 ; ). Soit α ]0 ; [ ; il existe un unique réel positif u α tel que p(-u α X u α ) = - α La propriété ci-dessus signifie aussi que la probabilité que la variable aléatoire X prenne ses valeurs en dehors de l'intervalle [-u α ; u α ] est égale à α. En prenant des valeurs de α petites on peut ainsi donner un intervalle dans lequel X se trouve avec une probabilité proche de. Exercice 20 (voir réponses et correction) Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N(0 ; ). En utilisant des tableaux de valeurs faits avec une calculatrice ou avec un tableur, déterminer une valeur approchée du réel positif u α pour lequel p(-u α X u α ) = - α pour les valeurs suivantes de α : α = 0,3 ; α = 0, ; α = 0,05 ; α = 0,0 ; α = 0,00 -u α - α u α TS Lois de probabilité à densité page 8 / 2

9 Propriété (admise) Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N(0 ; ). On a u 0,05,96 et u 0,0 2,58. C'est-à-dire que p(-,96 X,96) 0,95 et p(-2,58 X 2,58) 0,99. Statistiquement cela signifie que 95% des réalisations de X se trouvent dans l'intervalle [-,96 ;,96] et 99% des réalisations de X se trouvent dans l'intervalle [-2,58 ; 2,58]. Définition Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans IR. Soit µ un réel et σ un réel positif. On dit que X suit la loi normale N(µ ; σ 2 ) lorsque la variable aléatoire Z = X - µ σ réduite N(0 ; ). suit la loi normale centrée s ( voir animation ) Si X suit la loi normale N(µ ; σ 2 ), alors µ est l'espérance mathématique de X σ est l'écart-type de X. Graphiquement l'espérance mathématique µ correspond à l'axe de symétrie de la courbe de la fonction de densité et l'écart-type σ mesure la "concentration" de la loi de densité autour de son espérance mathématique. Exercice 2 (voir réponses et correction) Pour une variable aléatoire Z suivant la loi normale centrée réduite N(0 ; ), on donne le tableau ci-dessous : x 0 0,25 0,5 0,75,25,5,75 2 2,25 2,5 2,75 3 p(z < x) 0,500 0,599 0,69 0,773 0,84 0,894 0,933 0,960 0,977 0,988 0,994 0,997 0,999 Une variable aléatoire X suit la loi normale N( ; 4). Justifier, en utilisant le tableau précédent, que p(2 < X < 5) 0,286. Déterminer p(3,5 < X < 6,5). Exercice 22 (voir réponses et correction) ) Soit Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Vérifier en utilisant une calculatrice ou un tableur que p(0 < Z < ) 0,34. Déterminer en utilisant une calculatrice ou un tableur les valeurs de p(-2 < Z < 4) et p(- < Z < 2). 2 ) Une entreprise fabrique des vis. On considère la variable aléatoire L correspondant à la longueur d'une vis en millimètres. On admet que L suit une loi normale N(50 ; 0,25). a) Justifier que la probabilité que la longueur d'une vis soit comprise entre 49 et 52 millimètres est égale à p(-2 < Z < 4). Donner la valeur de cette probabilité. b) Lorsqu'une vis a une longueur comprise entre 49,5 et 5 millimètres elle est acceptée. Lorsqu'une vis a une longueur comprise entre 5 et 53 millimètres elle est rectifiée. Dans tous les autres cas, la vis est rejetée. Déterminer la probabilité qu'une vis soit acceptée, qu'elle soit rectifiée, qu'elle soit rejetée. (On donnera les résultats au millième près) Exercice 23 (voir réponses et correction) Une variable aléatoire X suit une loi normale N(µ ; σ 2 ), dont la fonction de densité est représentée ci-contre. L'aire A coloriée sur le dessin est telle que : A 0,07 unités d'aire. Déterminer approximativement µ et σ. O TS Lois de probabilité à densité page 9 / 2

10 s Si X suit la loi normale N(µ ; σ 2 ), on peut déterminer p(a < X < b) en utilisant une calculatrice ou un tableur. Par exemple pour trouver la valeur de p(49 < X < 52) lorsque X suit la loi normale N(50 ; 0,25) : Avec une calculatrice Casio, on pourra utiliser le menu STAT DIST NORM Ncd (éventuellement Var) Lower : 49 Upper : 52 σ : 0.5 µ : 50 Avec une calculatrice TI, on pourra utiliser le menu distrib ou DISTR et l'expression normalfrép(49,52,50,0.5) ou normalcdf(49,52,50,0.5) Avec un tableur on pourra utiliser l'expression =LOI.NORMALE(52;50;0,5;) - LOI.NORMALE(49;50;0,5;) Exercice 24 (voir réponses et correction) En utilisant une calculatrice ou un tableur, déterminer dans chacun des cas une valeur approchée de la probabilité demandée en sachant que la variable aléatoire X suit la loi normale N(µ ; σ 2 ). ) p(-3 < X < 0) avec µ = et σ = 4 2 ) p(-4,8 < X < -3,5) avec µ = -4 et σ = 0,3 3 ) p(x < 49) avec µ = 40 et σ = 2 4 ) p(x > 0) avec µ = - et σ = 3 Exercice 25 (voir réponses et correction) Une entreprise fabrique des conserves alimentaires dont l étiquette annonce une masse de 250 grammes. On admet que la variable aléatoire M qui à chaque conserve associe sa masse suit la loi normale de moyenne µ = 249 et d'écart-type σ = 5. ) En utilisant la calculatrice, donner à 0-3 près la probabilité qu'une boîte de conserve ait une masse comprise entre 240 et 250 grammes. 2 ) En utilisant la calculatrice, déterminer les valeurs approchées à 0-3 près de : p(µ - σ < M < µ + σ) ; p(µ - 2σ < M < µ + 2σ) ; p(µ - 3σ < M < µ + 3σ). Interpréter ces résultats en termes statistiques avec des pourcentages. 3 ) Déterminer, en utilisant la calculatrice, le nombre réel a tel que p(249 - a M a) = 0,97. Interpréter à l aide d une phrase. Propriété (voir démonstration 06) Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N(µ ; σ 2 ). On a : p(µ - σ < X < µ + σ) 0,68 à 0-2 près. p(µ - 2σ < X < µ + 2σ) 0,95 à 0-2 près. p(µ - 3σ < X < µ + 3σ) 0,997 à 0-3 près. Exercice 26 (voir réponses et correction) 0,68 0,95 0,997 µ-3σ µ-2σ µ-σ µ µ+σ µ+2σ µ+3σ Le quotient intellectuel QI est le résultat d'un test suivant une loi normale N(µ ; σ 2 ). Différents tests sont utilisés. Leur moyenne µ est toujours 00. L'écart-type σ est de 5 pour le test dit "standard" et de 24 pour le test de Cattell. L'intervalle [µ - σ ; µ + σ] est appelé plage de normalité à 68% et l'intervalle [µ - 2σ ; µ + 2σ] est appelé plage de normalité à 95%. ) Une personne a un résultat de 35 mais ne connaît pas la nature du test utilisé. Indiquer, suivant le test, si ce résultat est dans la plage de normalité à 68%, dans la plage de normalité à 95%. 2 ) En utilisant une calculatrice, déterminer la probabilité qu'une personne choisie au hasard ait un QI supérieur à 40, pour un test standard et pour un test de Cattell. 3 ) Justifier qu'un résultat X pour un test de Cattell correspond à 0,625X + 37,5 pour un test standard. TS Lois de probabilité à densité page 0 / 2

11 Rappels Intervalles de fluctuation au seuil de 95% En classe de seconde il a été vu que, pour un caractère ayant une proportion p dans une population donnée, lorsqu'on prend un échantillon de taille n dans cette population, si 0,2 p 0,8 et si n ³ 25 alors pour 95% au moins des échantillons la fréquence du caractère appartient à l'intervalle p - ; p +. n n En classe de première, pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B(n ; p), on a considéré a le plus petit entier tel que p(x a) > 2,5% et b le plus petit entier tel que p(x b) ³ 97,5%. Alors la fréquence du succès est dans l'intervalle a n ; b avec une probabilité supérieure ou égale à 95%. n Définition - Propriété (voir démonstration 07) Soit X n une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ; p) et soit α ]0 ; [. On appelle intervalle de fluctuation asymptotique au seuil - α de la variable aléatoire fréquence F n = X n n l'intervalle I n = p - u p( - p) α ; p + u p( - p) α n n u α étant l'unique réel positif tel que p(-u α Z u α ) = - α lorsque Z est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N(0 ; ). On a : lim p(f n + n I n ) = - α. s Lorsqu'on prend α = 0,05 on sait que u α,96. On obtient alors l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% ; cet intervalle est p -,96 p( - p) n ; p +,96 p( - p) n. On peut justifier que,96 p( - p) < ce qui montre que cet intervalle est plus précis que l'intervalle de fluctuation p - ; p + donné en classe de seconde. n n On considèrera que l'on peut utiliser - α comme approximation de la probabilité p(f n I n ) lorsque les conditions suivantes sont remplies : n ³ 30 ; n x p ³ 5 et n x ( - p) ³ 5. Exercice 27 (voir réponses et correction) D'après l'insee la proportion de femmes dans la population française est d'environ 5,6 %. Un observateur se place à la sortie d'une gare et note le nombre Y n de femmes observées parmi les n premières personnes qui passent. On admet que la proportion de femmes dans la population qui sort de la gare est identique à la proportion de femmes dans la population française et que Y n suit une loi binomiale. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence F n correspondant à Y n lorsque n = 50 puis lorsque n = 00. Sur les 00 premières personnes sortant de la gare, 43 sont des femmes. Ce résultat est-il conforme à l'intervalle trouvé? La même expérience effectuée sur 00 personnes à la sortie des employés d'une entreprise donne 60 femmes. Peut-on en conclure que l'entreprise emploie plus particulièrement des femmes? Exercice 28 (voir réponses et correction) Un constructeur affirme que la probabilité qu'un de ses téléviseurs ait une panne dans les 5 ans suivant son achat est égale à 0,7. ) Justifier, en utilisant une calculatrice, que l'intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence de panne pour un échantillon de 40 téléviseurs est : [0,054 ; 0,286] au seuil de 95% et [0,072 ; 0,268] au seuil de 90%. 2 ) Une association de consommateurs effectue un test sur 40 personnes ayant ce modèle de téléviseur. Dans cet échantillon, personnes ont eu une panne dans les 5 ans suivant leur achat. Doit-on rejeter l'affirmation du constructeur? 3 ) L'association pense maintenant effectuer un test sur 200 personnes. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de panne pour un échantillon de 200 téléviseurs. Interpréter le résultat en fonction du nombre N de pannes décelées sur les 200 téléviseurs. TS Lois de probabilité à densité page / 2

12 L'utilisation de l'intervalle de fluctuation permet de vérifier, par un échantillon, qu'une proportion est conforme à un résultat annoncé ou supposé. Lorsqu'on veut, inversement, déterminer à partir d'un échantillon, la proportion dans la population générale, on utilisera la notion d'intervalle de confiance. Propriété (voir démonstration 08) Soit p ]0 ; [ et soit X n une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ; p). Soit F n = X n n la fréquence associée. Lorsque n est suffisamment grand, p est dans l'intervalle F n - n supérieure ou égale à 0,95. ; F n + n avec une probabilité Définition Si f est la fréquence observée sur un échantillon de taille n (avec n assez grand), alors on dit que la proportion p (dans la population générale) se trouve dans l'intervalle f - ; f + avec un niveau de n n confiance supérieur à 95%. On dit que l'intervalle f - ; f + est un intervalle de confiance à 95% de la proportion p. n n On pourra utiliser cet intervalle de confiance lorsque les conditions suivantes sont remplies : n ³ 30 ; n x p ³ 5 et n x ( - p) ³ 5. Exercice 29 (voir réponses et correction) On effectue un sondage d'opinion pour déterminer le pourcentage de personnes décidées à voter pour un candidat A. ) Sur un échantillon de 50 personnes choisies au hasard, 22 ont déclaré vouloir voter pour A. Déterminer un intervalle de confiance à 95% de la proportion p de personnes décidée à voter pour A. Ce résultat est-il utilisable dans la pratique? 2 ) Sur un échantillon de 500 personnes choisies au hasard, 25 ont déclaré vouloir voter pour A. Déterminer un intervalle de confiance à 95% de la proportion p de personnes décidées à voter pour A. 3 ) On voudrait obtenir un intervalle de confiance à 95% d'amplitude 2%. Combien de personnes faudrait-il interroger? L'intervalle f -,96 f( - f) x ; f +,96 f( - f) x n n est parfois utilisé comme intervalle de confiance à 95 % mais il n'est pas possible de le justifier au niveau d'une Terminale. Exercice 30 (voir réponses et correction) On interroge un échantillon de 000 personnes choisies de façon aléatoire. Sur ces 000 personnes, 490 personnes sont des femmes et 32 personnes ont moins de 25 ans. D'après l'insee, la proportion de femmes dans la population générale est d'environ 5,6%. En utilisant l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%, déterminer si l'échantillon est conforme à la répartition hommes-femmes dans la population générale. D'après l'insee, la proportion des moins de 25 ans dans la population générale est d'environ 30,8%. En utilisant l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%, déterminer si l'échantillon est conforme à la répartition des moins de 25 ans dans la population générale. On interroge les personnes de l'échantillon concernant l'intérêt qu'ils portent à une émission de télévision. 258 des 000 personnes sont intéressées. Déterminer un intervalle de confiance à 95% de la proportion p de personnes intéressées par l'émission de télévision dans la population générale. TS Lois de probabilité à densité page 2 / 2

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

Estimation: intervalle de fluctuation et de confiance. Mars 2012. IREM: groupe Proba-Stat. Fluctuation. Confiance. dans les programmes comparaison

Estimation: intervalle de fluctuation et de confiance. Mars 2012. IREM: groupe Proba-Stat. Fluctuation. Confiance. dans les programmes comparaison Estimation: intervalle de fluctuation et de confiance Mars 2012 IREM: groupe Proba-Stat Estimation Term.1 Intervalle de fluctuation connu : probabilité p, taille de l échantillon n but : estimer une fréquence

Plus en détail

Probabilités conditionnelles Loi binomiale

Probabilités conditionnelles Loi binomiale Fiche BAC ES 05 Terminale ES Probabilités conditionnelles Loi binomiale Cette fiche sera complétée au fur et à mesure Exercice n 1. BAC ES. Centres étrangers 2012. [RÉSOLU] Un sondage a été effectué auprès

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre : Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée

Plus en détail

Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008

Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008 Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats f est une fonction définie sur ] 2 ; + [ par : 4 points f (x)=3+ 1 x+ 2. On note f sa fonction dérivée et (C ) la représentation

Plus en détail

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

Loi binomiale Lois normales

Loi binomiale Lois normales Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli

Plus en détail

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.

Plus en détail

Probabilités conditionnelles Loi binomiale

Probabilités conditionnelles Loi binomiale Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard

Plus en détail

Ressources pour le lycée général et technologique

Ressources pour le lycée général et technologique éduscol Ressources pour le lycée général et technologique Ressources pour la classe de terminale générale et technologique Exercices de mathématiques Classes de terminale S, ES, STI2D, STMG Ces documents

Plus en détail

I3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés F BM F BM F BM F BM F B M F B M F B M F B M 20 20 80 80 100 100 300 300

I3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés F BM F BM F BM F BM F B M F B M F B M F B M 20 20 80 80 100 100 300 300 I3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés TD 1 : rappels. Exercice 1 Poker simplié On tire 3 cartes d'un jeu de 52 cartes. Quelles sont les probabilités d'obtenir un brelan, une couleur, une paire, une suite,

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe

Plus en détail

Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de

Plus en détail

Probabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12

Probabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12 Probabilités. I - Rappel : trois exemples. Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns. Parmi les filles, 6 sont blondes. Parmi les garçons, 3 sont

Plus en détail

4 Distributions particulières de probabilités

4 Distributions particulières de probabilités 4 Distributions particulières de probabilités 4.1 Distributions discrètes usuelles Les variables aléatoires discrètes sont réparties en catégories selon le type de leur loi. 4.1.1 Variable de Bernoulli

Plus en détail

LES GENERATEURS DE NOMBRES ALEATOIRES

LES GENERATEURS DE NOMBRES ALEATOIRES LES GENERATEURS DE NOMBRES ALEATOIRES 1 Ce travail a deux objectifs : ====================================================================== 1. Comprendre ce que font les générateurs de nombres aléatoires

Plus en détail

Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.

Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la

Plus en détail

Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Les suites numériques

Les suites numériques Chapitre 3 Term. STMG Les suites numériques Ce que dit le programme : Suites arithmétiques et géométriques CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Suites arithmétiques et géométriques Expression du terme

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES

BACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la

Plus en détail

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée. ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

Probabilités. Une urne contient 3 billes vertes et 5 billes rouges toutes indiscernables au toucher.

Probabilités. Une urne contient 3 billes vertes et 5 billes rouges toutes indiscernables au toucher. Lycée Jean Bart PCSI Année 2013-2014 17 février 2014 Probabilités Probabilités basiques Exercice 1. Vous savez bien qu un octet est une suite de huit chiffres pris dans l ensemble {0; 1}. Par exemple 01001110

Plus en détail

Probabilités conditionnelles Exercices corrigés

Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Terminale S Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Exercice : (solution Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation.

Plus en détail

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable

Plus en détail

Puissances d un nombre relatif

Puissances d un nombre relatif Puissances d un nombre relatif Activités 1. Puissances d un entier relatif 1. Diffusion d information (Activité avec un tableur) Stéphane vient d apprendre à 10h, la sortie d une nouvelle console de jeu.

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014

Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014 Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014 EXERCICE 1 Cet exercice est un Q.C.M. 4 points 1. La valeur d une action cotée en Bourse a baissé de 37,5 %. Le coefficient multiplicateur associé

Plus en détail

Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions

Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions ISTIL, Tronc commun de première année Introduction aux méthodes probabilistes et statistiques, 2008 2009 Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions Exercice 1 Dans un centre avicole, des études

Plus en détail

Statistiques Descriptives à une dimension

Statistiques Descriptives à une dimension I. Introduction et Définitions 1. Introduction La statistique est une science qui a pour objectif de recueillir et de traiter les informations, souvent en très grand nombre. Elle regroupe l ensemble des

Plus en détail

Précision d un résultat et calculs d incertitudes

Précision d un résultat et calculs d incertitudes Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H

Plus en détail

SYSTEMES LINEAIRES DU PREMIER ORDRE

SYSTEMES LINEAIRES DU PREMIER ORDRE SYSTEMES LINEIRES DU PREMIER ORDRE 1. DEFINITION e(t) SYSTEME s(t) Un système est dit linéaire invariant du premier ordre si la réponse s(t) est liée à l excitation e(t) par une équation différentielle

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques

mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques

Plus en détail

Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT

Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes préparatoires,

Plus en détail

Notion de fonction. Série 1 : Tableaux de données. Série 2 : Graphiques. Série 3 : Formules. Série 4 : Synthèse

Notion de fonction. Série 1 : Tableaux de données. Série 2 : Graphiques. Série 3 : Formules. Série 4 : Synthèse N7 Notion de fonction Série : Tableaux de données Série 2 : Graphiques Série 3 : Formules Série 4 : Synthèse 57 SÉRIE : TABLEAUX DE DONNÉES Le cours avec les aides animées Q. Si f désigne une fonction,

Plus en détail

Circuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance

Circuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance Chapitre 5 Circuits RL et RC Ce chapitre présente les deux autres éléments linéaires des circuits électriques : l inductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux éléments, et ensuite

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Chapitre 3 : Principe des tests statistiques d hypothèse. José LABARERE

Chapitre 3 : Principe des tests statistiques d hypothèse. José LABARERE UE4 : Biostatistiques Chapitre 3 : Principe des tests statistiques d hypothèse José LABARERE Année universitaire 2010/2011 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés. Plan I. Introduction

Plus en détail

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé et tangente Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative

Plus en détail

Travaux dirigés d introduction aux Probabilités

Travaux dirigés d introduction aux Probabilités Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien

Plus en détail

1. Vocabulaire : Introduction au tableau élémentaire

1. Vocabulaire : Introduction au tableau élémentaire L1-S1 Lire et caractériser l'information géographique - Le traitement statistique univarié Statistique : le terme statistique désigne à la fois : 1) l'ensemble des données numériques concernant une catégorie

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE

EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE OLIVIER COLLIER Exercice 1 (2012) Une entreprise veut faire un prêt de S euros auprès d une banque au taux annuel composé r. Le remboursement sera effectué en n années par

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

1 TD1 : rappels sur les ensembles et notion de probabilité

1 TD1 : rappels sur les ensembles et notion de probabilité 1 TD1 : rappels sur les ensembles et notion de probabilité 1.1 Ensembles et dénombrement Exercice 1 Soit Ω = {1, 2, 3, 4}. Décrire toutes les parties de Ω, puis vérier que card(p(ω)) = 2 4. Soit k n (

Plus en détail

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction. Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et

Plus en détail

Annexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles

Annexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles Annexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles Quantiles En statistique, pour toute série numérique de données à valeurs dans un intervalle I, on définit la fonction quantile Q, de [,1] dans

Plus en détail

Exercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2

Exercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2 Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction A définie sur l'intervalle [1 ; + 00 [ par A(x) = 1-e -0039' ' x 1. Calculer la

Plus en détail

TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires

TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires I ) Ecrire l'expression analytique des signaux représentés sur les figures suivantes à l'aide de signaux particuliers. Dans le cas du signal y(t) trouver

Plus en détail

UFR de Sciences Economiques Année 2008-2009 TESTS PARAMÉTRIQUES

UFR de Sciences Economiques Année 2008-2009 TESTS PARAMÉTRIQUES Université Paris 13 Cours de Statistiques et Econométrie I UFR de Sciences Economiques Année 2008-2009 Licence de Sciences Economiques L3 Premier semestre TESTS PARAMÉTRIQUES Remarque: les exercices 2,

Plus en détail

LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples.

LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. Pré-requis : Probabilités : définition, calculs et probabilités conditionnelles ; Notion de variables aléatoires, et propriétés associées : espérance,

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données

Plus en détail

Rappels sur les suites - Algorithme

Rappels sur les suites - Algorithme DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................

Plus en détail

Correction du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014

Correction du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014 Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)

Plus en détail

TESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple

TESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple TESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple Un examinateur doit faire passer une épreuve type QCM à des étudiants. Ce QCM est constitué de 20 questions indépendantes. Pour chaque question, il y a trois réponses

Plus en détail

Sujet. calculatrice: autorisée durée: 4 heures

Sujet. calculatrice: autorisée durée: 4 heures DS SCIENCES PHYSIQUES MATHSPÉ calculatrice: autorisée durée: 4 heures Sujet Spectrophotomètre à réseau...2 I.Loi de Beer et Lambert... 2 II.Diffraction par une, puis par deux fentes rectangulaires... 3

Plus en détail

Lecture graphique. Table des matières

Lecture graphique. Table des matières Lecture graphique Table des matières 1 Lecture d une courbe 2 1.1 Définition d une fonction.......................... 2 1.2 Exemple d une courbe........................... 2 1.3 Coût, recette et bénéfice...........................

Plus en détail

Les devoirs en Première STMG

Les devoirs en Première STMG Les devoirs en Première STMG O. Lader Table des matières Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions....................... 2 Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions (corrigé)..................

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives. L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.

Plus en détail

Feuille 6 : Tests. Peut-on dire que l usine a respecté ses engagements? Faire un test d hypothèses pour y répondre.

Feuille 6 : Tests. Peut-on dire que l usine a respecté ses engagements? Faire un test d hypothèses pour y répondre. Université de Nantes Année 2013-2014 L3 Maths-Eco Feuille 6 : Tests Exercice 1 On cherche à connaître la température d ébullition µ, en degrés Celsius, d un certain liquide. On effectue 16 expériences

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0. FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons

Plus en détail

Représentation d une distribution

Représentation d une distribution 5 Représentation d une distribution VARIABLE DISCRÈTE : FRÉQUENCES RELATIVES DES CLASSES Si dans un graphique représentant une distribution, on place en ordonnées le rapport des effectifs n i de chaque

Plus en détail

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 % 23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

MATHÉMATIQUES. Mat-4104

MATHÉMATIQUES. Mat-4104 MATHÉMATIQUES Pré-test D Mat-404 Questionnaire e pas écrire sur le questionnaire Préparé par : M. GHELLACHE Mai 009 Questionnaire Page / 0 Exercice ) En justifiant votre réponse, dites quel type d étude

Plus en détail

Mais comment on fait pour...

Mais comment on fait pour... Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés

Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Cours de Licence 2 Année 07/08 1 Espaces de probabilité Exercice 1.1 (Une inégalité). Montrer que P (A B) min(p (A), P (B)) Exercice 1.2 (Alphabet). On a un

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

GEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision. Lionel Darondeau

GEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision. Lionel Darondeau GEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision Lionel Darondeau Table des matières Énoncés 4 Corrigés 10 TD 1. Analyse combinatoire 11 TD 2. Probabilités élémentaires 16 TD 3. Probabilités conditionnelles

Plus en détail

Université Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot. 1 Ensemble fondamental loi de probabilité

Université Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot. 1 Ensemble fondamental loi de probabilité Université Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot 1 Ensemble fondamental loi de probabilité Exercice 1. On dispose de deux boîtes. La première contient

Plus en détail

Exercices sur le chapitre «Probabilités»

Exercices sur le chapitre «Probabilités» Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Probabilités» Exercice 1 (Modélisation d un dé non cubique) On considère un parallélépipède rectangle de

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail