Traitement probabiliste de l information

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1 Maths 4: Probablté et Statstques (00/0) Zendagu Maths 4 : Probabltés et Statstques Inttulé du domane Scences et Technologe Année ème année Annuel ou semestrel Semestrel Unté d ensegnement UEM3 Méthodologe Chargé du module Dr Dawad ZENDAGUI Volume horare global 45 heures h30 /semane Cours h30 /semane TD Nombre de crédts 4 Notaton (*EMD+CC)/3 EMD Epreuve de moyenne durée CC Contrôle contnun+n+n3+n4+n5 N, N et N3: Notes de 03 nterrogatons écrtes de 0mn max sur 04 ponts chacun N4: Note de présence sur 04 ponts N5: Note d assduté sur 04 ponts Dr Dawad ZENDAGUI Maître de conérences Département de Géne Cvl - Faculté des Scences de l Ingéneur- Unversté Aboubekr Belkad Tlemcen BP 30 (3000) Tel/Fax : Emal : d_zendagu@mal.unv-tlemcen.dz Docteur d Etat en Géne Cvl Certcate o Graduate Studes n Engneerng and Constructon Management Magster en Géne Cvl Ecole Natonale Polytechnque d Alger (ENP) Jullet 006 Unversté Mssour Rolla Jun (UMR) 003 Algére Ecole Natonale Polytechnque Jullet Algére d Alger (ENP) 996 Ingéneur d'etat en Travaux Publcs Ecole Natonale des Travaux Publcs d Alger (ENTP) Jun 99 Algére USA Obects du cours Le cours a pour but d nter les étudants aux prncpes de base de la probablté et statstque. Support pédagogque Il est ms à la dsposton des étudants un support pédagogque sur paper du cours et des Travaux Drgés (TD). Plateorme Elearn de l unversté (elearn.unv-tlemcen.dz). Parte A Parte B Parte C Introducton générale et organsaton du cours Chaptre Tratement statstque de l normaton Chaptre à Chaptre 5 Tratement probablste de l normaton Chaptre6 à Chaptre Maths 4: Probablté et Statstques (008/009) Zendagu Chaptre : Introducton générale et organsaton du cours L ncertan est-l notre quotden???? Chaptre Introducton générale et organsaton du cours Ce qu est sûr, c est que ren n est sûr 5 6

2 Chaptre : Introducton générale et organsaton du cours Chaptre : Introducton générale et organsaton du cours Probablté et Statstques : La concepton d un système donné nécesste tros étapes : Outls au servce de l engneerng Place du cours dans votre utur méter - Analyse des données - Prédctons - Smulatons (processus stochastques) - Décsons (probabltés d occurrence et rsque) -. La compréhenson du système : quelle est sa oncton. La modélsaton du système : quel est le modèle à développer pour décrre ce système avec l dentcaton de l nput et l output de ce modèle 3. Le recours aux données : l utlsaton de données nécessares pour l utlsaton du modèle. Ces données sont l nput du modèle. 7 8 Chaptre : Consdérons un exemple très smple Introducton générale et organsaton du cours Chaptre : Introducton générale et organsaton du cours Etape Essayons mantenant de vor comment modélser ce ressort. L nput du modèle est: Etape Nul beson de montrer le onctonnement d un ressort dans un système mécanque (suspenson de voture, ) 9 La orce agssante, dans notre cas F Le ou les caractérstques du ressort, dans notre cas K L output du modèle est par exemple la déormaton du ressort, dans notre cas. Une relaton toute smple a été mse en place (modèle mathématque). F K. F K 0 Chaptre : Introducton générale et organsaton du cours Chaptre : Introducton générale et organsaton du cours Etape 3 Pourquo? Donc en se basant sur ce modèle mathématque, l est possble de connaître la déormaton du ressort connassant F et K En at, l est possble de dre que la connassance de l output (Déormaton du ressort) est acquse. Est-ce vra? NON. Le premer problème qu se pose est tout d abord: Est ce que le modèle ms en place est "exact"?. Le deuxème problème auquel on est conronté est la valdté de l normaton de l Input. En d autres termes peut-on dre avec certtude dre que les valeurs de F et K sont exactes et connues

3 Chaptre : Introducton générale et organsaton du cours Chaptre : Introducton générale et organsaton du cours Un pett exemple 3 Un autre exemple mas celu là est dramatque 4 Chaptre : Introducton générale et organsaton du cours Chaptre : Introducton générale et organsaton du cours La statstque est un ensemble de méthodes permettant: de recuellr des données brutes ; de présenter, résumer ces données; de trer des conclusons sur la populaton étudée (sa structure, sa composton), d ader à la prse de décson; en présence de données dépendant du temps, de are de la prévson. 5 Les outls de la statstque et de la probablté permettent de répondre à la queston suvante: Comment détermner la valeur de l Output s l Input et/ou le modèle mathématque du phénomène étudé ne sont pas connus 6 Maths 4: Probablté et Statstques (008/009) Zendagu Maths 4: Probablté et Statstques (008/009) Zendagu Parte B Tratement statstque de l normaton Fn du Chaptre Introducton générale et organsaton du cours Chaptre 7 8 3

4 Chaptre : Chaptre : Populaton ou unté statstque et/ou échantllon Indvdu Caractère Modaltés -Populaton: -Indvdu: -Caractère: -Modaltés: Employés d une usne Un employé de cette usne Salare 0000DA, 0000DA, 5000DA -Populaton: Ressorts -Indvdu: Un ressort parm ces ressort -Caractère: Rgdté K -Modaltés: K [ 0,0] N / m 9 0 Chaptre : Chaptre : Caractère Exemple: Qualtat Exprmée par une descrpton naturelle du langage (ex: une couleur) Quanttat exprmée par des nombres (ex: une talle) Dscret Réel On souhate connatre l état des masons Chox entre les tros types de caractère Chaptre : Chaptre : -Populaton: Masons (00) -Populaton: Masons (00) -Indvdu: Une mason parm ces 00 masons -Indvdu: Une mason parm ces 00 masons -Caractère: L état de la mason -Caractère: Nombre de pèces -Modaltés: Pette, moyenne, grande -Modaltés:,, 3, 4, 5 Caractère qualtat Caractère quanttat dscret 3 4 4

5 Chaptre : Chaptre : -Populaton: Masons (00) -Indvdu: Une mason parm ces 00 masons -Caractère: Surace (notée S) -Modaltés: S [60, 00] m² Caractère quanttat contnu Une compagne achète ampoules électrques d un abrcant qu arme que ses ampoules onctonnent durant au mons 000 heures ( mos et ours, sans arrêt). Cette compagne vére 5 ampoules et, sute à ces résultats dot décder s elle garde ou non les ampoules. Identer la populaton, l ndvdu, le caractère et les modaltés 5 6 Chaptre : Une compagne achète ampoules électrques d un abrcant qu arme que ses ampoules onctonnent durant au mons 000 heures ( mos et ours, sans arrêt). Cette compagne vére 5 ampoules et, sute à ces résultats dot décder s elle garde ou non les ampoules. Populaton : l ensemble des ampoules achetées. Échantllon : les 5 ampoules vérées. Indvdu : une ampoule parm les 5 Caractère : durée de onctonnement de l ampoule Modaltés : Durée en heures Chaptre : Populaton : l ensemble des ampoules achetées. Échantllon : les 5 ampoules vérées. Indvdu : une ampoule parm les 5 Caractère : l étatt de l ampoulel Modaltés : Bon ou mauvas Caractère qualtat Varable statstque (VS) contnue 7 8 Chaptre : Chaptre : Un même ndvdu peut l avor pluseurs caractères???? Ou Populaton : l ensemble des ampoules achetées. Échantllon : les 5 ampoules vérées. Indvdu : une ampoule parm les 5 Caractère : l état de l ampoule la durée de onctonnement de l ampoule Par rapport à un caractère un ndvdu peut l avor pluseurs modaltés???? Non Modaltés : Bon ou mauvas Durée en heures

6 Chaptre : Chaptre : Les notes des étudants Classcaton des données Vsualsaton graphque Quantcaton à l'ade de paramètres statstques 8,75 6,00 3,75,5,50 7,00,75 0,50 5,00 6,75 7,50,75 8,75 6,5,00 0,50 5,5,50,00 9,50 7,75 8,50,50 4,00 6,00 7,50 9,00,00 3,50 8,00 3,00 0,75,75 5,50 9,00 9,5 0,00 8,75 0,75 6,50 7,00,00 7,00 9,50 5,5,50 0,75 5,5,50 9,5 9,75 9,75 4,75 6,00 5,5 0,50,00 4,75 3,5,50,00,00,00 9,00 4,5 7, , ,50 3,5 5, ,00,55 0, , , ,50 0,5 4,75 5,50 0,50 0,5 3,50 9,50 5,00 5,50 9,50 5,50 5,75 6,50,5 4,75 6,50,75 5,75 4,50 7,50 6,5 6,50 7,75 6,50,00 4,00 3,50,00 0,75 9,50 0,00 5,50 0,75 4,50 6,50 7,00 8,75 7,75 6,75,50 8,50 0,5,75 0,00, Chaptre : Chaptre : Les notes des étudants 8,75 6,00 3,75,5,50 7,00,75 0,50 5,00 6,75 7,50,75 8,75 6,5,00 0,50 5,5,50,00 9,50 7,75 8,50,50 4,00 6,00 7,50 9,00,00 3,50 8,00 3,00 0,75,75 5,50 9,00 9,5 0,00 8,75 0,75 6,50 7,00,00 7,00 9,50 5,5,50 0,75 5,5,50 9,5 9,75 9,75 4,75 6,00 5,5 0,50,00 4,75 3,5,50,00,00,00 9,00 4,5 7, , ,50 3,5 5, ,00,55 0, , , ,50 0,5 4,75 5,50 0,50 0,5 3,50 9,50 5,00 5,50 9,50 5,50 5,75 6,50,5 4,75 6,50,75 5,75 4,50 7,50 6,5 6,50 7,75 6,50,00 4,00 3,50,00 0,75 9,50 0,00 5,50 0,75 4,50 6,50 7,00 8,75 7,75 6,75,50 8,50 0,5,75 0,00,75 Populaton : l ensemble des étudants () Indvdu : un étudant parm les. Caractère : la note de l examen Modaltés : les valeurs de la note [0,0] 33 Sot P une populaton ormée de n ndvdus (x,,..n). Sot C un caractère ayant k modaltés c, c,,c k. Ce caractère peut être qualtatve, quanttatve (dscret ou contnu) Remarquez que n k Pourquo???? 34 Chaptre : Chaptre : Le résultat obtenu est la sére statstque La collecte de l normaton relatve au caractère C auprès de la populaton P consste à observer pour chaque ndvdu de P la modalté qu lu correspond. 35 L ndvdu n denté par x présente une modalté parm les k modaltés (avec par exemple k0). Les autres ndvdus vont avor les modaltés suvantes: x c 3 x c 0 x 3 c 3... x n c

7 Chaptre : Le tratement de cette normaton élémentare consste à dénombrer pour chaque modalté c, le nombre d ndvdus de la populaton P n qu présentent cette modalté. La dstrbuton b statstque est donc ormée par les couples ( c ), n,,..., k 37 Chaptre : Noton de réquence Le nombre n est dt eect ou réquence absolue de la modalté c. Il est clar que : k n n n Le nombre est dt réquence de la modalté c. n k n 38 Chaptre : Chaptre : Caractère ou varable statstque Jours du mos de Janver Clmat Populaton Caractère Qualtat Exprmée par une descrpton naturelle du langage (ex: une couleur) Quanttat exprmée par des nombres (ex: une talle) Dscret Réel Ensolellé, pluveux, orageux n3. k3 modaltés c Ensolellé c Pluveux c 3 Orageux Modalté k modaltés c, c,,c k 39 Remarquez que n k 40 Chaptre : Chaptre : Sére statstque 4 Tableau statstque 4 7

8 Chaptre : Chaptre : Les 0 sésmes recensés durant une année au nveau d une régon Populaton Sére statstque Intensté Intensté I à II n0. k modaltés Caractère Modalté c c c Chaptre : Chaptre : Les 0 sésmes recensés durant une année au nveau d une régon Populaton Magntude de Rchter Caractère Valeur de la Magntude Modalté Les valeurs de la magntude sont réels n0. k???? Comment construre le tableau statstque??? Tableau statstque Chaptre : Chaptre : Sére statstque Du moment que le caractère est quanttat contnu alors l dée consste à établr des classes et ce pour mettre en place le tableau statstque

9 Chaptre : Chaptre : Est-ce qu l y a un seul tableau statstque? NON Chaptre : Chaptre : Donc Pour un pas de on a 7 classes Pour un pas de.5 on a 5 classes Pour un pas de 3 on a 3 classes Questons : Est-ce que le chox du pas a une mportance dans le tratement des données? Quel pas chosr? Cette queston peut être posée autrement Quel est le nombre de classes que l on dot chosr 5 5 Chaptre : Chaptre : Sot k le nombre de classes STURGE YULE k + 3.3log0( n) k.5 4 n Nombre de classes k(yule) k(sturge) k(yule)-k(sturge) bre classe (Sturge) Nbre classe (Yule)-Nb Nombre d'ndvdus

10 Chaptre : Maths 4: Probablté et Statstques (008/009) Zendagu k ( 0) log0 k 5 Fn du Chaptre Maths 4: Probablté et Statstques (008/009) Zendagu Chaptre 3 Classcaton des données 3. Descrpton graphque 3. Descrpton numérque Vsualsaton graphque 3.. Caractérstque de tendance centrale 3.. Caractérstque de dsperson 3.3 Caractérstques de ormes Quantcaton à l'ade de paramètres statstques Descrpton graphque 3.. Varable quanttatve contnue Hstogramme La sére statstque ueur (m) Long 0,00 9,00 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00,00,00 0, Poutre Explotaton dcle

11 Longu ueur (m) 0,00 9,00 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00,00,00 0,00 Hstogramme Poutre L Explotaton devent plus dcle s le nombre d ndvdu augmente Dans le présent cas de 5 à 6 6 ongueur (m) Lo Hstogramme Poutre Avec un nombre d ndvdu qu avosne les 600 ndvdus, l explotaton devent pratquement mpossble 6 Nombre de classes 0 0 k(yule) k (Sturge) k(yule)-k(sturge) bre classe (Sturge) Nbre classe (Yule)-Nb Nombre de classes Nombre d'ndvdu Nombre d'ndvdus Établssement du tableau (ou dstrbuton) statstque k n log k 5 ( 5) V Pas max V k mn Pas.48 m 5 V 8.9 m max V.50 mn m Pas.50 m 65 66

12 Fréquence (m)

13 Symétrque Fré équence Modalté Asymétrque Tendance à gauche Fré équence Fré équence Modalté Modalté Fré équence Tendance à drote Fré équence Tendance unmodale Modalté Modalté

14 Fré équence Aplate Fré équence Unorme Modalté Modalté Quel est le nombre d ndvdus ayant une valeur (modalté) néreure à une certane valeur (par exemple 6) Il sut pour cela de sommer le nombre de sésmes dont la magntude est néreure à 6. Ce nombre dvsé par le nombre d ndvdus de la populaton s appelle Fréquence cumulée. Foncton cumulatve 8 8 Pour chaque valeur, l exste une réquence cumulée. Le tracé des couples (valeur,réquence cumulée) donne ce qu on appelle la Foncton cumulatve

15 Détermner le nombre de sésmes dont la magntude est néreure à 6.0. Queston : Détermner le nombre de sésmes dont la magntude est néreure à sur 0 sot 0.80 ou 80% 5 sur 0 sot 0.50 ou 50% Queston : Détermner le nombre de sésmes dont la magntude est néreure à sur 0 sot 0.70 ou 70% Sot 0.60 ou 60% 7 sur 0 sot 0.70 ou 70% Descrpton graphque 3.. Varable quanttatve dscrète La dstrbuton statstque La sére statstque

16 ect Ee Intensté du sésme (Modalté) Représentaton par bâtonnet 9 Intensté (Modalté) Eect Fréquence de la modalté Fréquence cumulée Le nombre de sésmes dont l ntensté est néreure à 5. Ce nombre dvsé par le nombre d ndvdus de la populaton s appelle Fréquence cumulée. Fréquen nce cumulée Intensté 6 7 Foncton cumulatve Descrpton graphque 3..3 Varable qualtatve Ensolellé 9 9% Pluveux 5 48% Orageux 7 3% Représentaton par dagramme Représentaton Dagrammes crculares

17 Chaptre : Les notes des étudants Est-ce la descrpton graphque est susante? Descrpton numérque 3.. Caractérstque de tendance centrale Les modèles mathématques nécesstent l ntroducton d une valeur et non l apprécaton sur la varaton des modaltés Exemple: F/K F: Force (mesurée en Newton) et K: Radeur: Connue0 N/cm F: Force (mesurée en Newton) n 0 k ( 0) log0 Force Indvdus (Modalté) N k 5 V 0 N mn V max 6 N Pas N N Pas 0 0 7

18 ence (%) Fréque Force (N) valeurs de F sont observées. Queston: Quelle valeur de F dot-on utlser dans l équaton F/K La plus pette? La plus grande? La plus sgncatve 05 Que recherche le concepteur Rédure un ensemble de données Conserver une parte de l'normaton Résumer l'ensemble des valeurs par une seule valeur Paros c est dcle à accepter 06 Caractérstque de tendance centrale (paramètres de poston) Chosr Sére statstque Tableau statstque. Mode Caractérstque de tendance centrale Elle décrt l ordre de grandeur des valeurs et auss la valeur centrale autour de laquelle se regroupent les observatons.. Médane 3. Moyenne (s) 4. Quantle

19 Mode Varable qualtatve Le mode, noté Mo, est la modalté qu admet la plus grande réquence : Il est paratement dén pour une varable qualtatve ou une varable quanttatve dscrète. Pour une varable quanttatve contnue nous parlons de classe modale : c'est la classe dont la densté de réquence est maxmum. Mo Pluveux 09 0 Varable quanttatve dscrète Varable quanttatve contnue réquence (%) Fr Fréquence Nombre de pèces dans une mason Mo3 pèces Magntude de Rchter Mleu de la classe dont la réquence est la plus grande Mo6.75 Varable quanttatve contnue Varable quanttatve contnue Fréquence Fréquence Magntude de Rchter Mleu de la classe dont la réquence est la plus grande Mo Magntude de Rchter Mleu de la classe dont la réquence est la plus grande Mo

20 Varable quanttatve contnue Fréquence Fréquence (%) Force (N) Magntude de Rchter Fréquence (%) Mo6.75 Le même résultat a été obtenu pourtant les deux dstrbutons ne sont pas dentques 5 Mode Force (N) Fréquence Magntude de Rchter Mode Fréquence Fréquence (%) Magntude de Rchter Force (N) F N 9 /0.cm 0 0

21 Médane Quanttatve dscret La médane Me est telle que l'eect des observatons dont les modaltés sont néreures à Me est égal à l'eect des observatons dont les modaltés sont supéreures à Me. Utlse la noton de oncton cumulatve Quanttatve contnue Fréquence (%) Force (N) F8 N /0.8cm 4 Médane Avantage: smple à calculer Prend en compte une parte des valeurs Inconvénent: ne tent pas compte de la dstrbuton des modaltés supéreures à la médane ence (%) Fréqu Force (N) 5 6

22 ence (%) Fréqu Valeur de tendance centrale Médane8 N Mode Nm Force (N) 7 8 Quantle Quantle α% Le quantle α est la valeur P α qu lasse α% des observatons endessous et ( α)% des observatons o s au-dessus d elle. de e P α Les deux quartles les plus mportants sont P 5 (qu lasse 5 % des observatons en-dessous) et P Moyenne (s) Moyenne arthmétque dte par abrévaton MOYENNE La moyenne ne se dént que pour une varable statstque quanttatve. Force Indvdus (Modalté) N F 0 F 0 F N

23 3 4 5 Lmtes des classes (N) Lmte n Lmte sup Centre de classe (N) Eect Fréquence (%) F F F ( ) 8.4N F 33 Sére statstque: Moyenne arthmétque6.97 N Tableau statstque: Moyenne arthmétque8.40 N DIFFERENCE????????????? 34 Valeur de tendance centrale Exste-t-l une seule moyenne F R k R [ ( F ) ] R F 6. 97N F 8. 4N R---- Moyenne arthmétque [ ( ) ] k F F k F [ ] F 37 R0---- Moyenne géométrque F log k 0 [ ( ) ] 0 0 F k ( F ) ( ) 0 log F 38 3

24 R----- Moyenne harmonque F F k k [ ( ) ] F F 39 R---- Moyenne quadratque [ ( ) ] k F F F k [ ( ) ] F 40 Quelle moyenne chosr???? Etude comparatve entres les moyennes et la moyenne réelle obtenue drectement du tableau brut R-3 R- R- Moyenne R0 R R R3 Mode Médane 4 φ k k Démontrer que [ ( F F )] 0 ( a ) ( F F ) [ ] + ( F a ) k [ ( F a) ] 4 Est-ce la réducton d un ensemble de valeurs à un seule valeur est une étape susante Rédure un ensemble de données Conserver une parte de l'normaton On souhate donner un prx: Melleur classe Crtère de classement: Moyenne Pour are smple, on suppose que deux classes sont canddates pour ce prx et que chacune des deux classes est composée de 0 élèves

25 ,5 9,5 0 0 CLASSE A CLASSE B- MOYENNE0 Qu mérte de recevor le prx???? 45 Queston Est-ce que les caractérstques de tendance centrale sont susantes pour denter une valeur de F à utlser Tableau n Tableau n Les deux tableaux présentent la même moyenne arthmétque6.97 N 46 Queston: Est-ce que les deux tableaux sont dentques Trouver une valeur qu relète au meux La dsperson des valeurs de notre échantllon Valeur de dsperson 3. Descrpton numérque 3.. Caractérstque de dsperson Caractérstque de dsperson Chosr Sére statstque Tableau statstque. Etendue. L ntervalle nter-quartles 3. Ecart moyen 4. Ecart type Tableau n Caractérstques de dsperson Mesurer la dérence qu exste entre la valeur max et mn ETENDUE Tableau n 0 5 ETENDUE N 0 Tableau n 5 Tableau Tableau Moyenne Tableau n ETENDUE N

26 Caractérstques de dsperson Tableau n ETENDUE (Tableau ) 9.5 N ETENDUE (Tableau ) 6.0 N ETENDUE (Tableau )>ETENDUE (Tableau ) C est logque mas attenton cette valeur peut vous ausser l nterprétaton car elle se base sur les valeurs extrêmes Moyenne 6.97 N et ETENDUE N Tableau n Moyenne 6.97 N et ETENDUE N Tableau n 3 Moyenne 6.97 N et ETENDUE N 5 5 Tableau n Moyenne 6.97 N et ETENDUE N Tableau n Moyenne 6.97 N et ETENDUE N Tableau n 3 Moyenne 6.97 N et ETENDUE N Tableau Tableau Tableau

27 Caractérstques de dsperson H P 75 P 5 L ntervalle nter-quartles Caractérstques de dsperson Mesurer la dsperson des valeurs par rapport à la moyenne e Fréquence Estmer la dérence entre les valeurs observées P P Et la moyenne 58 Valeur de dsperson 35 Cette valeur DOIT être très pette F 6, F 0 4,50 F 0 F5 F F F ( F F ) + ( F F ) + + ( F F ) V... 0 ( F + F + + F F ) V V ( 0 F 0 ) 0 F Valeur de dsperson Valeur de dsperson Cette valeur DOIT être très pette ( F F ) + ( F F ) + + ( F ) 0 V... 0 F Or cette valeur est en at nulle et ne peut donc mesurer la dsperson V F F + F F F0 F Cette valeur permet d estmer la dérence Autre méthode 6 La valeur absolue est une oncton mathématque dclement dérvable 6 7

28 Valeur de dsperson Valeur de dsperson V ( F F ) + ( F F ) + + ( F )... 0 F Mesurer la dsperson des valeurs par rapport à la moyenne Cette valeur est touours post et permet d estmer la dérence entre les valeurs observées et leur moyenne V 0 R ( F F ) et R par Sére statstque Moyenne F F F n Écart moyen Tableau statstque k F 0 EM F F F n k EM F [ F F ] Sére statstque Tableau statstque Varance ( σ ) F ( F F ) n Ecart type σ F [ ] k ( σ ) ( F F ) F Sére statstque Tableau statstque Exercce: Détermner l Ecart Moyen et l Ecart type Dérence d ordre R V R n n ( F F ) R R V R k R [ ( ) ] R F F Lmtes des classes (N) Centre Lmte n Lmte sup de classe (N) Eect Fréquence (%)

29 k V F F 4. 8N k [ ( F F )] 0 Ecart Moyen 4.8 N

30 75 76 Tableau n k ( σ ) ( F F ) 6.8 N ² Tableau n 3.3 Caractérstques de ormes. Coecent de varaton. Coecent de symétre 3. Coecent d aplatssement k ( σ ) ( F F ) 9.44 N ² Coecent de varaton (noté CV)Ecart type / Moyenne Coecent de symétre (Cœcent o Skewness) η n n ( F F ) ( σ ) F 3 3 η k ( F F ) ( σ ) F

31 Coecent de symétre (Cœcent o Skewness) Coecent d aplatssement (Cœcent o Kurtoss) généralement comparé à la valeur de 3 qu est celu de la dstrbuton κ κ n k n ( F F ) ( σ ) F 4 4 ( F F ) ( σ ) F Coecent d aplatssement (Cœcent o Kurtoss) généralement comparé à la valeur de 3 qu celle d une dstrbuton normale Exemple: κ 3 0,5 < Chaptre : Exemple: La dstrbuton normale est symétrque κ 3 > Les notes des étudants

32 Maths 4: Probablté et Statstques (008/009) Zendagu Maths 4: Probablté et Statstques (008/009) Zendagu Fn du Chaptre 3 Chaptre 4 Dstrbuton statstque à deux caractères 3. Descrpton graphque 3. Descrpton numérque 3.. Caractérstque de tendance centrale 3.. Caractérstque de dsperson 3.3 Caractérstques de ormes 4. Introducton 4. Descrpton numérque 4.3 Prncpe de la méthode des mondres carrées "Least Square method» 4.4 Covarance Chaptre 4: Caractère ou varable statstque Qualtat Exprmée par une descrpton naturelle du langage (ex: une couleur) Dscret k modaltés c, c,,c k Dstrbuton statstque à deux caractères Quanttat exprmée par des nombres (ex: une talle) Réel 89 Chaptre 4: 4. Introducton Dstrbuton statstque à deux caractères Un même ndvdu peut l avor pluseurs caractères???? Ou Indvdu Mason Caractère Surace habtable (notée ) Caractère Surace non habtable (notée Y) Surace non habtable: Le ardn et autres Ce qu est recherché c est De possbles relatons entre le caractère et le caractère. 90 Chaptre 4: Dstrbuton statstque à deux caractères Chaptre 4: Dstrbuton statstque à deux caractères Mason (m²) Y (m²) 00, 75,3,3 4, 3 60,7 40, 4,3 3, , ,3 3, 0 4,8 35,3 Y (m²) (m²) 9 9 3

33 Chaptre 4: Dstrbuton statstque à deux caractères Chaptre 4: Dstrbuton statstque à deux caractères Y (m²) Y La dstrbuton des valeurs ( et Y) (m²) Y (m²) Volà ce que prévot les codes de l urbansme (Y0.30*) (m²) Chaptre 4: 4. Descrpton numérque Dstrbuton statstque à deux caractères Chaptre 4: Tableau statstque Dstrbuton statstque à deux caractères Indvdu Y x y Classe Classe Y () [CY, CY [... () [CY, CY + [ (k) [CY k, CY k+ [ x y... e x e y e... n x n y n Il est possble de passer de la sére statstque vers le tableau statstque Comment? 95 Y Y Y K () [C, C [ n n n k. () [C, C + [ n n n k. (m) [C m, C m+ [ m n m n m n mk n : l ensemble des ndvdus ayant la modalté de et Y de Y n m k n 96 Chaptre 4: Dstrbuton statstque à deux caractères Chaptre 4: Dstrbuton statstque à deux caractères Classe Classe Y Tableau statstque () [CY, CY [... (k) [CY k, CY k+ [ () [CY, CY + [ Y Y Y K Indvdu Y x y x y... () [C, C [ k. () [C, C + [ k. (m) [C m, C m+ [ m m m mk : Fréquence des ndvdus ayant la modalté x de et y de Y n n 97 σ e n x e n n e n e n e x e y e... n x n y n Y e n y e n n e n ( x ) σ ( y Y ) Y e n 98 33

34 Chaptre 4: Dstrbuton statstque à deux caractères Chaptre 4: Dstrbuton statstque à deux caractères Fréquence margnale Y Y Y K k.. Fréquence condtonnelle Répond à la queston suvante:. k. m m m mk m....k Quelle la réquence des ndvdus ayant la modalté x de sachant que Yy. : Fréquence des ndvdus ayant la modalté y de Y m Chaptre 4: Dstrbuton statstque à deux caractères Chaptre 4: Dstrbuton statstque à deux caractères Y Y Y K k.. Y.. k.. m m m mk m. m m...k. 0 0 Chaptre 4: Dstrbuton statstque à deux caractères Chaptre 4: Dstrbuton statstque à deux caractères. n n n n n m m n 4.3 Prncpe de la méthode des mondres carrées "Least Square method»

35 Chaptre 4: Dstrbuton statstque à deux caractères Chaptre 4: Dstrbuton statstque à deux caractères m²) Y( (m²) Y(m²) (m²) 06 Chaptre 4: Dstrbuton statstque à deux caractères Chaptre 4: Dstrbuton statstque à deux caractères Y(m²) (m²) Problème étudé: Chercher une relaton de corrélaton entre deux varables statstques et Y. Quelles sont nos données: On connaît l ensemble des couples (x,y ),..,n Comment are: Utlser la méthode des mondres carrés Chaptre 4: Y (m²) Dstrbuton statstque à deux caractères ( x, ˆ ) (m²) er ˆ y y Sot très pette y ( x, y ) 09 Chaptre 4: En consdérant une régresson lnéare: La méthode des mondre carrés vous permet d écrre la relaton: yax+b Dstrbuton statstque à deux caractères Et de ce at vous permet de détermner les coecents a et b (la démonstraton sera donnée au nveau du cours) Une corrélaton n a de valeurs que s l y a détermnaton du coecent de corrélaton 0 35

36 Chaptre 4: Dstrbuton statstque à deux caractères Maths 4: Probablté et Statstques (008/009) Zendagu 4.4 Covarance Cov Cov m k (, Y ) ( x )( y Y ) n (, Y ) ( x )( y Y ) n Fn du Chaptre 4 Dstrbuton statstque à deux caractères 4. Introducton 4. Descrpton numérque 4.3 Prncpe de la méthode des mondres carrées "Least Square method» 4.4 Covarance Maths 4: Probablté et Statstques (008/009) Zendagu Maths 4: Probablté et Statstques (008/009) Zendagu Parte C Tratement probablste de l normaton Chaptre 5 Dstrbuton statstque à pluseurs caractères Chaptre 6 Théore de la probablté 6. Espace de probablté 6. Axome de probablté 6.3 Proprétés des évènements 6.4 Quelques notons supplémentares 3 4 Chaptre 6: 6. Espace de probablté Théore de la probablté On lance un dé, l ensemble de tous les résultats possbles est denté par Ω {,, 3, 4, 5, 6} Un résultat possble de l expérence est noté ω. Ans, ω Ω D autres exemples: On lance une pèce: Durée de ve d une pèce Ω {P,F} Ω [0,+ [ 5 Chaptre 6: Théore de la probablté Une expérence aléatore se décrt mathématquement par la donnée d un espace Ω dont les ponts notés ω sont les résultats possbles de l expérence, ans que d une probablté PsurΩ. Un événement A lé à l expérence Ω est représenté par une parte de Ω noté A. Chaque événement possède une probablté P[A] qu est un nombre comprs entre 0 et. 6 36

37 Chaptre 6: Théore de la probablté Chaptre 6: Théore de la probablté Par exemple, consdérons le eu de dé: Un événement A peut décrt comme sut: Obtenr un nombre par Obtenr 4 A chaque évènement correspond une probablté notée P[A] P[A]: Probablté d avor l évènement A (Ω, A, P) espace de probablté 6. Axome de probablté.sot un évènement A alors.p[ω] événement certan 3.S A et B sont deux évènements mutuellement exclusve alors P[AUB]P[A]+P[B] 0 P[A] 7 8 Chaptre 6: 6.3 Proprétés des évènements Sot A et B deux évènements qu ne sont nécessarement mutuellement exclusve alors P[A B]P[A]+P[B]-P[A B] Théore de la probablté Chaptre 6: 6.4 Quelques notons supplémentares -- Probablté condtonnelle : Théore de la probablté Probablté d avor l évènement A sachant que l évènement B s est produt Ne pas conondre entre évènements mutuellement exclusve et ndépendants Volà un pett exemple en statstque Populaton: Masons (0) Indvdu : Une mason parm les 0 Caractères: (Surace habtable), Y (Surace non habtable) Modaltés : Valeurs de et Y P [ A / B] P [ A B] P[ B] 9 0 Chaptre 6: Théore de la probablté Y Y Y Chaptre 6: Théore de la probablté -- Théorème de la probablté Totale Je l appelle le théorème de la Ve Consdérons B (,,n) évènements ME et CE alors:

38 Chaptre 6: Théore de la probablté Maths 4: Probablté et Statstques (008/009) Zendagu -3- Théorème de Bayes P [ A / B ] P P k [ B / A ] P[ A ] [ B / A ] P [ A ] k k Fn du Chaptre 6 Théore de la probablté 6. Espace de probablté 6. Axome de probablté 6.3 Proprétés des évènements 6.4 Quelques notons supplémentares 3 4 Maths 4: Probablté et Statstques (008/009) Zendagu 7. Déntons Chaptre 7 7. Déntons 7. dscrète 7.3 contnue 7.4 Caractérstques de tendance centrale 7.5 Caractérstques de dsperson Une varable aléatore est une oncton qu à chaque évènement élémentare d une expérence aléatore assoce un nombre réel ou enter. Sot une varable aléatore et k un réel ou enter, l évènement noté ( k) est l antécédent de k par la oncton : c est l ensemble de tous les événements élémentares dont l mage par est égale à k dscrète k est un nombre enter Les évènement A et B sont Sot une épreuve qu ne comporte que deux résultats possbles, ncompatbles. Exemples: Arrvéed unavon: Pèce de monnae: A l heure ou non Ple ou ace A évènement décrt par: L avon arrve à l heure B évènement décrt par: L avon n arrve pas à l heure prévue Mutuellement exclusve(me) Collectvement exhaustve (CE) Pourquo??? Car: S l évènement A se produt alors l évènement B ne peut pas se produre et nversement ME Car on ne peut avor que les évènements A ou B. On ne peut avor un autre évènement CE

39 La probablté de réalsaton de l événement A est p La probablté de réalsaton de l événement B est q Alors p+q Dans le cas d une pèce de monnae p0.5 q0.5 9 On note P (x) la lo de probablté de la varable aléatore. Cette dernère peut prendre deux valeurs: x oux0 x La oncton P (x), dte Foncton de Probablté de masse (FPM) dépend de x: P (x) écrte auss P (x) est la probablté pour que l évènement x se réalse 30 A évènement décrt par x B évènement décrt par x0 Du moment que les deux évènements A et B sont ME et CE alors P[A]+P[B] P ()+P (0) Consdérons une VA qu peut prendre pluseurs valeurs x,(,,n) P (x )+P (x )+ +P (x n ) P (x )+P (x )+ +P+P (x n ) n 0 P ( ) P x ( x ) x 3 3 Foncton de répartton ou Cumulatve Dstrbuton Functons

40 Quelques exemples de lo de probablté de VA dscrète VA de BERNOULLI Une varable aléatore qu prend comme valeur seulement 0 et est appelé une varable ndcatrce, ou une varable aléatore de Bernoull, ou un essa de Bernoull Sot une VA dscrète de type Bernoull P p ( x) q p x x Lo bnomale Sot la VAD qu décrt l arrvée ou non d un avon à l heure sut une lo de type Bernoull car on a sot succès ou échec. On s ntéresse mantenant non pas à un seul avon mas à pluseurs (m et m>). Il est ntrodut une nouvelle VAD Y qu décrt le nombre d avons qu arrvent à l heure (succès). En at c est comme s une pèce de monnae est eté m os. S le résultat de l essa est Ple c est un succès et s le résultat de l essa est Face c est un échec 37 Ce qu est recherché c est la lo de probablté de la VAD Y. P Y (y) Consdérons unquement 3 avons (donc 3 essas). Quelles sont les possbltés. Y0,,, 3. 0 succès donc tous les avons n arrvent pas à l heure succès donc sur les tros avons un seul va arrver à l heure succès donc sur les tros avons deux vont arrver à l heure 3 succès donc les tros avons vont arrver à l heure Les évènements Y0, Y, Y, Y3 sont des évènements ME et CE 38 0 P Y ( y ) P ( ) Y y 4 Du moment qu l y a ndépendance entre les tros essas alors ( ) 3 P ( 0).. 3 Y q q q q p P Y ( ) P Y ( 3) p. p. p p?? 3 P Y y y n y ( y) C p ( p) n y 0,,,...,n n! C y n y! ( n y) )!

41 7.3 contnue k est un nombre réel Centre de classe Fréquence (%) 0 0,5,5 3 3, , , , , , , , ,5 4,5 Centre de classe Fréquence (%) 0 0,5,5 3 3, , , , , , , , ,5 4,5 Centre de classe Fréquence (%) Centre de classe Fréquence (%) Centre de classe Fréquence (%) Centre de classe Fréquence (%) Centre de classe Fréquence (%)

42 47 48 Surace Fréquence des ndvdus ayant des modaltés comprses entre 0 et 4 Surace

43 Fréquence des ndvdus ayant des modaltés comprses entre 0 et 4 Surace ( x) Foncton de densté de probablté de la VA Condtons ( x) dx P[ x x dx] + ( x) x x + dx Surace de la courbe entre et F ( x) Foncton de dstrbuton cumulatve de la VA seul essa Succès Echec Lo de Bernoull F ( ) 0 ( + ) F P p ( x) q p x x

44 n essas Lo bnomale Succès Echec Succès Echec p x x ( x) C p ( p) n n x x 0,,,..., navecc x n n! x!( n x)! p ( x) ( λt) x e x! λt x 0,,,..., 6 Donc le premer succès La probablté de ne pas avor de sésmes durant le laps de temps t est égale à p ( x) F T P x λ t ( λt ) e x! ( 0) () t p ( 0) x 0,,,..., ( λt) 0 λt e 0!

45 e λt F T () t F T λ t ( t ) e T t () t λe λ Le nombre de météores dans un ntervalle de 30 secondes est de.8. Supposez que l apparton des météores est aléatore et ndépendante Quelle est la probablté de ne pas avor de météores dans un ntervalle d une mnute? P ( x) ( λt) x e x! λt x 0,,,..., P ( 0) P 0 λt ( λt) e λt 0! 3. 6 ( 0) e e Le nombre moyen de collsons se produsant en semane pendant les mos d'été à une ntersecton partculère est de.00. Supposez que les condtons de la dstrbuton de Posson sont satsates. a) Quelle est la probablté de ne pas avor de collsons en une semane partculère? b) Quelle est la probablté qu'l y aura exactement une collson en semane? c) Quelle est la probablté d avor exactement deux collsons en semane? d) Quelle est la probablté de trouver pas plus de deux collsons en semane? ( ) ( λt) P x λ / x λt e x 0,,,..., x! semane

46 P Quelle est la probablté de ne pas avor de collson en une semane partculère? 0 λt ( ) ( λt) e λt 0 P ( 0) e 0! P ( ) * 0 e Quelle est la probablté qu'l y aura exactement une collson en semane? P λt () ( λt) e P () e λ λ! P * ( ) e P ( 0 ) P ( ) Quelle est la probablté qu'l y aura exactement deux collsons en semane? P λt ( ) ( λt) e P ( )! P ( ) 0. 7 e λ λ Quelle est la probablté de trouver pas plus de deux collsons en semane? Sot F l évènement décrt pas: Pas plus de deux collsons en semane Ce qu est recherché c est la probablté de F Sot A l évènement décrt pas: Sot B l évènement décrt pas : Sot C l évènement décrt pas: 0 collson en une semane collson en une semane collsons en une semane Pas plus de deux collsons en semane cela veut dre 0 ou ou collsons par semane F AUBUC P[F] P[AUBUC] Les évènements A, B et C sont ME donc: 73 P[F] P[A]+P[B]+P[C] 74 ( 0) + P ( ) P ( ) P [ F] P + P[ F] P[ F] Quelle est la probablté de trouver plus de deux collsons en semane? Sot F l évènement décrt pas: Pas plus de deux collsons en semane Sot F C l évènement décrt pas: plus de deux collsons en semane Les évènement F et F C sont complémentares P[F C ]-P[F]

47 Quelle est la probablté qu'l y aura exactement deux collsons en deux semane? P ( ) ( λt) λt e! t 7.4 Caractérstques de tendance centrale 7.5 Caractérstques de dsperson VA dscrète Varable statstque: Intensté d un sésme En statstque P ( ) σ ( ) 79 VAD Intensté d un sésme P ( x ) La moyenne est notée en statstque La moyenne est notée en probablté E[ ] Espérance mathématque de la VA D E [ ] P ( x ) x 80 E P Lo de Bernoull p ( x) q p x x 0 [ ] P ( x ) x p* q* 0 + E [ ] p [ ] 0.5 s p q 0. 5 E 8 La varance est notée en statstque La varance est notée en probablté σ Varance de VA D P σ σ ( ) ( x )( x E[ ]) 8 47

48 σ σ Lo de Bernoull p ( x) q p E P [ ] p x x 0 P ( x )( x p) p( p) q( p) + p( p) + ( p) p ( p) p( p + p) ( p) p qp Caractérstques de tendance centrale 7.5 Caractérstques de dsperson e Fréquence VA contnue / /.5 0.0/ Magntude de Rchter 0.30/ / Fréqu équence uence/ Magntude de Rchter Moyenne arthmétque dte par abrévaton MOYENNE Force Indvdus (Modalté) N F 0 F F N 87 Lmtes des classes (N) Lm te n Lmte sup Centr e de class e (N) Eect Fréquence (%) F F k k k k F k ( ) 8.4N 88 48

49 E k F F [ F] ( ( ) d ) F V [ F ] F k k E E [ F] ( ) d F [ ] x ( x) dx EM x E[ ] ( x) dx σ ( ) x E[ ] ( x ) dx E t T () t λe λ [ T ] + t () t dt 0 T λ ( t E[ T ]) T ( t) σ + T dt 0 λ Calculer l espérance mathématque de la VA E [ ] x ( x) dx 9 9 E [ a] a E [ a ] ae[ ] [ a + b] ae[ ] b E + σ E [ ] ( x E[ ]) ( x) dx E ( E[ ]) [ ] E[ ] ( )

50 Dstrbuton normale ou gaussenne, N( m,σ ) E E E [ ] m ( E[ ]) [ ] σ U m σ E[ U ] 0 E[ U ] [( U ) ] U ( u) U N( m,σ ) N( 0,) U u exp < u < ( π ) σ m σ Maths 4: Probablté et Statstques (008/009) Zendagu α u F U ( α ) ( ) exp π σ F U ( α ) F ( α ) U du Fn du Chaptre 7 7. Déntons 7. dscrète 7.3 contnue 7.4 Caractérstques de tendance centrale 7.5 Caractérstques de dsperson

51 Maths 4: Probablté et Statstques (008/009) Zendagu Chaptre 8: Vecteurs aléatores Chaptre 8 Vecteurs aléatores 8. Vecteurs aléatores dscrets 8. Vecteurs aléatores contnues En engneerng, l est souvent souhatable de reler deux ou pluseurs ou varables aléatores Presson, températures. t Chaptre 8: Vecteurs aléatores 8. Vecteurs aléatores dscrets JPMF: Jont Probablty Mass Functon FDPC: Foncton de dstrbuton de probablté cononte Chaptre 8: 8. Vecteurs aléatores dscrets Vecteurs aléatores Foncton de dstrbuton margnale Chaptre 8: Vecteurs aléatores Foncton de dstrbuton cumulatve cononte Chaptre 8: Vecteurs aléatores 8. Vecteurs aléatores contnues ( x) dx P[ x x dx] + ( x, y) dxdy P[ ( x x + dx) ( y Y y dy) ] Y + ( y ) dy P [ y Y y dy ] Y + ( x) ( y) dxdy P[ ( x x + dx) ] P[ ( y Y y dy) ] Y + ( x y) Indépendance Y, (FDPC)

52 Chaptre 8: Vecteurs aléatores Chaptre 8: Vecteurs aléatores Chaptre 8: Vecteurs aléatores Chaptre 8: Vecteurs aléatores Deux personnes pensent se rencontrer entre 9h00 et 0h00. Chaque personne ne peut attendre plus de 0 mnutes. C'est-àdre qu au-delà de 0 mnutes elle partra s la deuxème personne ne vent pas. On suppose les deux personnes peuvent arrver à n mporte quel moment entre 9h00 et 0h00 et que leurs temps d arrvée ne sont pas connus. décrte par : le nombre de mnutes écoulé usqu à l arrvée de la personne A Y décrte par : le nombre de mnutes écoulé usqu à l arrvée de la personne B Chaptre 8: Vecteurs aléatores Chaptre 8: Vecteurs aléatores ( x) b a 0 a x b elsewhere 3 3 5

53 Chaptre 8: Vecteurs aléatores Chaptre 8: Vecteurs aléatores Queston : Il est recherché la probablté pour que les deux personnes se rencontrent entre 9h00 et 0h Chaptre 8: Vecteurs aléatores Chaptre 8: Vecteurs aléatores P Probablté que les deux personnes se rencontrent [ Y 0] Exemple: Fablté d un système Y: Résstance VA : Acton VA p r P[ Y ] Probablté de rupture Chaptre 8: Vecteurs aléatores Chaptre 8: Vecteurs aléatores Y Dstrbuton condtonnelle

54 Chaptre 8: Vecteurs aléatores Chaptre 8: Vecteurs aléatores Chaptre 8: Vecteurs aléatores n votures qu arrvent au nveau d une ntersecton. NORD Chaptre 8: Vecteurs aléatores VA : Nombre de votures qu tournent vers l Est Y VA : Nombre de votures qu tournent vers l Ouest OUEST EST 3 3 Chaptre 8: Vecteurs aléatores Chaptre 8: Vecteurs aléatores Probablté[Voture tourne vers l Est]p Probablté[Voture tourne vers l Ouest]q Probablté[Voture tourne vers le Nord]r-p-q Lo bnomale: Tournez vers l Ouest ou non Y Sur les n votures, on sat que déà y votures ont prs la drecton de l Ouest (à gauche). Donc l reste unquement (n-y) qu dovent sot tourner à gauche (Est) sot se drger vers le Nord

55 Maths 4: Probablté et Statstques (008/009) Zendagu Maths 4: Probablté et Statstques (008/009) Zendagu Fn du Chaptre 8 Vecteurs aléatores 8. Vecteurs aléatores dscrets 8. Vecteurs aléatores contnues Chaptre 9 Transormaton d une Varable Aléatore 9. Obects 9 9. Méthode générale é 9.3 Applcaton pour le cas d une oncton lnéare 9.4 Fonctons à deux Varables aléatores Chaptre 9: Transormaton d une Varable 9. Obects Sot C le coût de constructon d un mur C: coût des matéraux (DA) C: coût de la Man d œuvre (DA/Heure) CC+ C*H H: Nombre d heures de traval C *00 C0.000 DA 37 Chaptre 9: ( x ) Y ( y) H C Y a + VA notée VA notée Y b Foncton de densté de probablté de la VA ( x) dx P[ x x dx] + Foncton de densté de probablté de la VA ( y) dy P[ y Y y dy] Y + Transormaton d une Varable 38 Chaptre 9: S la lo de probablté de la VA est connue alors comment détermner la lo de probablté de Y ( x ) ( y) Y Y a + b Y g( ) Transormaton d une Varable 39 Chaptre 9: 9. Méthode générale Transormaton d une Varable

56 Chaptre 9: Transormaton d une Varable Chaptre 9: Transormaton d une Varable 9.3 Applcaton pour le cas d une oncton lnéare Chaptre 9: Y y Y y x(y-a)/b F Y Y>y Transormaton d une Varable ( y) P[ Y y] ( y) P F Y y a b 333 Chaptre 9: F Y F y a b df Y ( y ) y dy y a b b y a b ( y) P F Y ( x) P[ x] ( ) Y ( y) Transormaton d une Varable 334 Chaptre 9: Transormaton d une Varable y F Y Y>y Y y x(y-a)/b ( y) P[ Y y] ( y) P > F Y y a b 335 Chaptre 9: Transormaton d une Varable y a F Y b F ( y) P > P y a b y a b y a b ( y) P F Y Y ( y) Y b dfy dy ( y) y a b ( y)

57 Chaptre 9: Transormaton d une Varable Chaptre 9: Transormaton d une Varable Y b y a b ( y) Y b y a b ( y) Y b ( y) y a b Chaptre 9: Transormaton d une Varable Chaptre 9: Transormaton d une Varable Chaptre 9: Transormaton d une Varable Chaptre 9: Transormaton d une Varable

58 Chaptre 9: Transormaton d une Varable Chaptre 9: Transormaton d une Varable 9.4 Fonctons à deux Varables aléatores Sot et deux varables aléatores dénes sot pat leurs PDF ou leur JPDF ( x ) ( ) ( x ), x x Y + Y ( y) ( y) F Y Chaptre 9: Transormaton d une Varable Chaptre 9: Transormaton d une Varable S et sont ndépendant Chaptre 9: Transormaton d une Varable Chaptre 9: Transormaton d une Varable Mason Arrêt de bus A Arrêt de bus B Unversté 347 : VA temps d attente au nveau de l arrêt de bus A x ( x ) λ e λ Y: VA temps d attente au nveau de l arrêt de bus B Y y ( y) βe β T + Y

59 Chaptre 9: Transormaton d une Varable Chaptre 9: Transormaton d une Varable F T ( t )?????????? T Y + T + Y () t ( t y) ( y) dy Y Chaptre 9: T x ( x) λe λ () t ( t y) ( y) dy Y Transormaton d une Varable y ( y) βe β Y x 0 y 0 λ t y t y λe t y 0 ( ) ( ) 35 Chaptre 9: T λ( t y) () t λe βy βe dy y 0 t y 0 T 0 t y t λ( t y ) () t λe 0 βe βy Transormaton d une Varable dy 35 Chaptre 9: Transormaton d une Varable Chaptre 9: Transormaton d une Varable T λβ βt λt () t ( e e ) λ β x ( x) λe λ y ( y) βe β Y t 0 T λβ βt λt () t ( e e ) λ β

60 Chaptre 9: Transormaton d une Varable Maths 4: Probablté et Statstques (008/009) Zendagu.5 Fn Chaptre 9 Transormaton d une Varable Aléatore Obects 9. Méthode générale Applcaton pour le cas d une oncton lnéare 9.4 Fonctons à deux Varables aléatores Maths 4: Probablté et Statstques (008/009) Zendagu Fn du cours