DE LA BASE ANALYTIQUE D INTERPRETATION DES ESSAIS DE PLAQUE PAR CABLE TENDU DANS LES MASSES ROCHEUSES

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1 Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l Ingénieur JNGG010 -Grenoble 7-9 juillet 010 DE LA BASE ANALYTIQUE D INTERPRETATION DES ESSAIS DE PLAQUE PAR CABLE TENDU DANS LES MASSES ROCHEUSES ON THE ANALYTICAL BASIS FOR THE INTERPRETATION OF CABLE JACKING TESTS ON ROCK MASSES Anthony Patrick Sinnappa SELVADURAI 1, Marc Jean BOULON 1 Dept. of Civil Eng. & Applied Mech., McGill University, Montréal, QC, Canada Laboratoire 3S-R, Universités de Grenoble, Grenoble, France RÉSUMÉ Ce papier présente une discussion des techniques d essai de plaque utilisées pour la caractérisation in situ de la déformabilité des masses rocheuses, ainsi que les procédures théoriques permettant d estimer cette déformabilité ABSTRACT This paper discusses the plate load techniques employed in the assessment of the in situ deformability characteristics of rock masses and the theoretical procedures that can be used to estimate their deformability. 1. Introduction La détermination in situ de la déformabilité des masses rocheuses constitue un enjeu important en géomécanique (Jaeger, 197. La conduite de tests in situ, par opposition à des essais de laboratoire, soit sur carottes de sondage, soit sur échantillons prélevés en carrière est justifiée en référence à la préoccupation de fiabilité par rapport à un volume élémentaire représentatif susceptible d être testé au laboratoire. On a souvent recours à des essais in situ lorsque le milieu géologique contient des hétérogénéités telles que stratifications, fractures inactives, inclusions et vides, rendant impossible une détermination précise de la déformabilité d ensemble par essais de laboratoire. Bien qu il existe de nombreux tests in situ, faisant notamment appel à des techniques géophysiques basées sur la propagation d ondes, la méthode directe d essai de chargement reste considérée comme la plus effective et la plus fiable pour estimer la déformabilité d un milieu géologique. Le défaut principal du chargement in situ de masses rocheuses est qu il exige l application de charges substantielles pour induire des déformations mesurables du milieu testé. C est pourquoi la voie la plus commode de conduite de tels essais de chargement appelle l identification de configurations de tests dans lesquelles la masse rocheuse elle-même fournit la réaction nécessaire à l application des charges. Les essais de chargement de plaque installés dans les galeries, les tunnels, les saignées pratiquées à la base de tunnels, sont autant d exemples dans lesquels le chargement est généré sans dispositif imposant de réaction (Bell, 1987; Wylie, Les situations sont rares dans lesquelles le chargement de plaque est possible grâce à des forces extérieures de réaction, et lorsque ces essais doivent être pratiqués dans des régions assez plates, il faut imaginer d autres stratégies, des systèmes d auto-chargement pour développer les charges de test. Vers le milieu des années 60, des ingénieurs ont proposé une technique de chargement de plaque sans force extérieure de réaction, impliquant un système d autochargement par ancrage de réaction qui fournit la force de test. Ce test est connu sous le nom d essai de plaque par cable tendu (cable jacking test. L origine exacte des tests in situ de masses rocheuses par ces techniques n est pas très claire. Ils exigent l installation d un ancrage cimenté à une certaine profondeur au sein de la masse rocheuse, les cables de précontrainte étant eux-mêmes scellés en ce point d ancrage. Le cable, généralement placé selon l axe de symétrie de la plaque de chargement, émerge à travers un orifice central, et met en charge la plaque via un vérin hydraulique à noix torique. La méthode, avec système de 165

2 Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l Ingénieur JNGG010 -Grenoble 7-9 juillet 010 chargement par cable tendu a été formellement proposée (Zienkiewicz et Stagg, 1967 pour une plaque circulaire ou carrée. L interprétation du test fit invariablement appel aux résultats de la théorie de l élasticité, supposant implicitement que la force de réaction interne au massif n influençait pas le déplacement de la plaque chargée. Les premières études prônèrent une estimation empirique de la distance minimum de l ancrage. Les premières investigations concernant l influence des forces de réaction d ancrage sur le déplacement de la plaque (Selvadurai,1978 ; 1979a, b, c ; Davis et Selvadurai, 1996 ont établi l effet de cette force localisée. De plus, ces résultats permettent une correction explicite due à la force de réaction d ancrage, selon la profondeur du point d ancrage. Les premières investigations relatives au sujet traitaient de situations dans lesquelles les forces de réactions étaient appliquées en un point de l axe de la plaque de chargement, au sein de la masse rocheuse. Cette méthode requiert un forage et un scellement à proximité immédiate de la zone de test, ce qui n est pas souhaitable, à moins que les résultats de la théorie de l élasticité utilisés pour l interprétation du test ne prennent en compte l influence de cette hétérogénéité. L analyse d interaction entre l indentation d une plaque dans une masse rocheuse et la présence d une zone de scellement n est pas un problème banal en théorie de l élasticité. De plus, le contraste de propriétés élastiques entre la masse rocheuse et la région cylindrique cimentée peut conduire à une (répartition de la charge, ce qui peut créer un biais d interprétation du test. Une alternative à cette procédure consiste à déplacer les points d ancrage vers des régions éloignées de la zone de test, en condition non axisymétrique. L interprétation du problème d interaction entre la plaque de chargement et la zone d ancrage exige un développement mathématique pour dégager le tassement net de la plaque. Cet article présente une solution fondamentale de l interaction élasto-statique entre une plaque rigide et deux points d ancrage situés symétriquement à l intérieur de la masse rocheuse. Ces résultats peuvent être étendus pour inclure des positions multiples d ancrages, ainsi que des distributions multiples de forces d ancrage dans la masse rocheuse. Dans le cadre de techniques de test in situ concernant un milieu géologique élastique isotrope, la présente analyse, portant sur une plaque circulaire, fournit des résultats compacts, utilisables pour estimer les constantes de déformabilité de la masse rocheuse testée.. Développements théoriques Les développements théoriques conventionnels permettant l interprétation de l essai de chargement de plaque sur massif rocheux sont basés sur la théorie de l élasticité isotrope, ce qui est considéré comme une limitation. Les concepts théoriques peuvent être étendus aux cas orthotrope et hétérogéne pour la masse testée (Aleynikov,000 ; Selvadurai, 007, mais l analyse inverse d identification des paramètres élastiques ne peut être conduite à partir des seuls résultats de plaque de chargement. Même dans le contexte isotrope et homogène, les résultats de chargement de plaque peuvent seulement fournir une estimation grossière des deux constantes de déformabilité du modèle de masse rocheuse. L analyse théorique de l essai de chargement de plaque sans force de réaction d ancrage appelle la formulation du problème aux limites mixte d indentation d un demi-espace élastique par une plaque rigide. Cette formulation implique également l identification du type de contact à l interface plaquegéomatériau, lisse ou parfaitement rugueux (glissement relatif plaque-géomatériau inhibé. Finalement, les dimensions du géomatériau testé sont supposées suffisamment grandes par rapport à la taille de la plaque pour que celui-ci soit approximé par un demi espace élastique. Le problème aux limites mixte axisymétrique associé à l indentation du demi-espace élastique par une plaque rigide lisse est décrit par les conditions aux limites : u ( r,0 = Δ, r (0, a ; σ ( r,0 = 0, r (0, ; σ ( r,0 = 0, r ( a, z rz zz (1 166

3 Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l Ingénieur JNGG010 -Grenoble 7-9 juillet 010 où u ( = ( ur,0, uz et σ sont respectivement le vecteur déplacement et le tenseur contrainte axisymétriques repérés dans le système de coordonnées cylindro-polaires (, r θ, z, et Δ le déplacement de la plaque de chargement (figure 1. Contact lisse Indenteur circulaire rigide Demi-espace élastique isotrope (G, ν Figure 1. Le problème classique d indentation d un demi espace de géomatériau. Le problème aux limites mixte élastique défini par (1 est classique, résolu à partir des résultats de la théorie des potentiels (Boussinesq,1898 et par la théorie des équations intégrales duales (Harding et Sneddon,1945, les détails des méthodes étant bien décrits (Selvadurai,1979, 000a ; Gladwell Intéressante pour la géomécanique est la relation analytique exacte entre déplacement Δ et force axiale P le générant : P( 1 ν Δ = ( 4Ga où G et ν sont respectivement le module de distorsion élastique linéaire et le coefficient de Poisson du géomatériau. Comme évident à partir de (, l analyse classique de l essai de plaque fournit seulement une estimation de G /( 1 ν et une information supplémentaire est requise pour déterminer séparément les deux paramètres. Lorsque la plaque adhère à la surface du géomatériau (contact collé, le problème aux limites est décrit par ces nouvelles conditions aux limites : u z ( r,0 = Δ, ur ( r,0 = 0, r (0, a ; σ zz ( r,0 = 0, σ rz = 0, r ( a, (3 Le problème aux limites mixte correspondant peut être résolu en faisant appel à la théorie des équations intégrales, se réduisant ici au problème de Hilbert qui comporte des équations intégrales singulières. Ce problème a reçu une solution analytique exacte (Ufliand,1956 : P(1 ν Δ = (4 4Ga ln(3 4ν L approche du problème de Hilbert comporte une singularité de contraintes sous forme oscillatoire à la frontière de la plaque rigide. Le problème aux limites mixte défini par (3 a aussi été éxaminé (Selvadurai,1989 en remplaçant la forme oscillatoire de la singularité de 1/ contrainte par une singularité de type régulier ( a r, ce qui réduit le problème à la solution d une équation intégrale de Fredholm de seconde espèce. La différence entre la solution exacte formulée selon le problème de Hilbert et cette formulation est inférieure à 0.5 % pour ν = 0, et la solution converge vers le résultat exact pour ν = 1/. Un développement complémentaire classique consiste à considérer la surface complète du demi-espace comme une membrane inextensible, auquel cas la condition de contact collé plaque-géomatériau est automatiquement satisfaite, avec un cisaillement non nul dans cette région. La relation forcedéplacement de la plaque est donnée par le résultat du problème du disque rigide inclus dans un espace élastique infini (Selvadurai, 1976 : P(3 4ν Δ = (5 16Ga(1 ν 167

4 Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l Ingénieur JNGG010 -Grenoble 7-9 juillet P Fissure crack Δ a K IC C 1 = 10 - μ Ga%& a 0.16 ( Gλμ, ν P Ga a P μ ν = 0.4 (uncracked Sans fissure ν = 0.40 ν = 0.5 ν = 0.0 ν = 0.0 (uncracked Sans fissure Figure. Extension de fissure conoïdale durant l indentation d un géomatériau. On remarquera que dans le cas limite du matériau incompressible, (, (4 et (5 tendent vers le même résultat. Cette analyse peut être étendue aux cas d une plaque flexible (Selvadurai, 1979, d un frottement de Coulomb dans la zone de contact (Spence,1968; Maugis, 000, d un matériau orthotrope (Elliott, 1949; Shield, 1951; Sveklo, 1970, de l influence de la profondeur de la plaque (Hunter et Gamblen, 1975; Selvadurai et Nicholas, 1979, et enfin à la génération d une fracture induite par l indentation (Selvadurai, 000, ce qui peut constituer un souci lors de l interprétation de l essai, dans le cas des matériaux fragiles sensibles à la fissuration (figure. L interprétation des essais de plaque incluant ces phénomènes de fissuration n est pas triviale, et requiert de l information complémentaire (initiation de la fissuration, et critère d extension de la fissure pour ce géomatériau Δ a 3 (10 ( Δ a L essai de plaque par cable tendu 3.1. Approche analytique La première limitation des essais de chargement de plaque sur roche pour la détermination des propriétés élastiques de celle-ci tient au fait que des charges très élevées doivent être appliquées pour engendrer des tassements mesurables. Vers le milieu des années 1960, des Contact lisse Indenteur circulaire rigide Cable de réaction Plaque d essai Demi-espace élastique isotrope (G, ν Ancrage Milieu géologique (a (b Figure 3. Essai de plaque par cable tendu, (a ancrage unique simulé par force de Mindlin, (b essai avec ancrages multiples. 168

5 Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l Ingénieur JNGG010 -Grenoble 7-9 juillet 010 ingénieurs ont proposé une technique d essai sans force extérieure de réaction, par système d auto-chargement à partir d un ancrage. Cette technique, connue sous le nom d essai de plaque par cable tendu, nécessite l exécution d un ancrage à une certaine profondeur au sein de la masse rocheuse, et la mise en place de cables de précontrainte issus de cet ancrage. Le faisceau de cables, généralement disposé selon l axe de symétrie de la plaque, émerge à travers un orifice central, et met en charge la plaque via un vérin hydraulique à noix torique. Le problème de contact associé à cet essai de plaque circulaire est une extension du problème classique d indentation précédemment décrit, modifié pour tenir compte de la force d ancrage, représentée par une force de Mindlin P M située à la profondeur c dans le demi-espace (figure 3a. Ce problème a été analysé (Selvadurai, 1978 avec l acquis général du problème de contact (Green et Zerna, 1968; Sneddon, 197, basé sur les résultats de la théorie du potentiel, dans lesquels la contrainte de contact (purement normale axisymétrique, induit un profil de déplacement wr ( sur la partie r (0, a du demi-espace. La contrainte a pour a σ G tg( t zz ( r,0 = dt < r < a r ; 0 1/ 1 ν r [ t r ] (6 d t r w( r gt ( = dr 0 1/ π dt (7 [ t r ] πg a P = g( t dt (8 (1 ν 0 expression (6 dans la zone de contact, avec g(t donné par (7, et P provoquant wr ( donnée par (8. Dans le cas de l essai de plaque par cable tendu, w(r du à une force de Mindlin PM située à la profondeur c est décrit par (9. D après (6 à (9, le = * PM 1 ν c w( r Δ (9 1/ 3 / πg ( r + c ( r + c tassement net Δ 0 de la plaque sous l action d une force externe et de la force interne de Mindlin PM est donné par (10. Il a été démontré (Selvadurai, 1980, 1981; * P(1 ν P M 1 a ac Δ = 0 1 tan ( + (10 ag P π c π (1 ν ( a + c Davis et Selvadurai,1996 que (10 résulte aussi du théorème de réciprocité de Betti dans lequel la solution auxiliaire est celle du problème de la plaque directement chargée. Un cable axial tendu est l une des configurations possibles de l essai de plaque. Les autres configurations font appel à des ancrages multiples extérieurs à l essai proprement dit, et à des pieux de réaction situés dans le voisinage (figure 3b. L influence de ces configurations alternatives d ancrage sur le déplacement de la plaque n a pas été correctement étudié, ce qui peut conduire à des erreurs d interprétation en cas d ancrages multiples. L analyse de l interaction entre plaque d essai et ancrages multiples ressort de la formulation conventionnelle des équations intégrales, mais implique la résolution d un problème non axisymétrique, et requiert la solution d une série d équations intégrales duales résultant du développement des équations de l élasticité sous forme de série de Fourir-Bessel en fonction de l angle polaire θ (Muki, C est une analyse non triviale qui peut être réalisée pour des configurations données d ancrages. Mais une alternative consiste à tirer parti du théorème de réciprocité de Betti qui donne accès à d intéressants résultats relatifs à l interprétation de l essai de plaque en présence de forces internes d ancrage. Soit le cas dans lequel les forces concentrées d ancrage sont symétriques, à la distance l de l axe de la plaque d essai, à la profondeur c dans le demi-espace. Nous nous limitons au cas d une plaque lisse, 169

6 Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l Ingénieur JNGG010 -Grenoble 7-9 juillet 010 bien que le cas infiniment rugueux soit accessible. Pour appliquer le théorème de Betti, considérons le problème auxiliaire d une plaque lisse de rayon a indentant le demiespace sous l effet d une force axiale P (Figure 4a. La contrainte de contact a pour expression (11 qui, par intégration de la solution de Contact lisse Indenteur circulaire rigide Indenteur circulaire rigide Contact lisse Demi-espace Élastique isotrope Demi-espace élastique isotrope (a (b Figure 4. Solution auxiliaire pour application du théorème de réciprocité de Betti, contact bilatéral lisse entre plaque et demi-espace. * P σ zz (,0 r = (11 π a a r * P ν a π * (1 1 1 c w ( l,0, c = 1 + dθ ςdς (1 4Ga π 0 0 Φ a ς (1 ν Φ avec Φ= c + l + ξ cξcosθ Boussinesq, donne accès à w * ( x = l, y = 0, z = c selon (1. Considérons alors lproblème (Figure 4b dans lequel deux forces internes d ancrage sont appliquées au demi-espace, le contact bilatéral lisse étant maintenu avec la plaque, et soit w% le déplacement de la plaque sous l action des forces d ancrage P % situées en x = l, y = 0, z = c et en x = l, y = 0, z = c. La réciprocité implique wp % = Pw %. Le déplacement axial net de la plaque sous l action de P et des forces internes d ancrage P % = P/, équidistantes de l axe de la plaque s écrit : P(1 ν 1 a π 1 c w = dθ ςdς (14 4Ga π 0 0 Φ a ς (1 ν Φ On vérifie que lorsque c 0 et l 0, les forces d ancrage agissent directement à l origine des coordonnées, et si le contact bilatéral est maintenu, alors w 0. De même, si c ou l, l intégrale de (14 s annule et l on retrouve le résultat de base (1. Pour des valeurs quelconques de c/ a et de l/ a, on peut évaluer (14 par intégration numérique pour déterminer l influence des forces internes d ancrage sur le tassement net de la plaque. 3.. Approche estimative par modélisation purement numérique Récemment, le calcul purement numérique d une plaque rigide carrée sur cable tendu, en contact lisse avec un milieu élastique isotrope a été réalisé (Selvadurai et Plastre, 007 à l aide du code ABAQUS. Comme ce code ne dispose pas d éléments infinis suffisamment précis aptes à modéliser les conditions de régularité du milieu élastique, un effort particulier a porté sur l estimation des dimensions du domaine susceptible de simuler le milieu semi-infini, 1/ (13 170

7 Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l Ingénieur JNGG010 -Grenoble 7-9 juillet 010 par référence aux résultats de la littérature relatifs au tassement d une plaque carrée. En raison de la symétrie, un quart de la plaque de dimension a a, et un mileu élastique de taille b b bont été pris en considération. De même, en l absence d éléments singuliers, la concentration de contraintes induisant de forts gradients sur les bords de la plaque, a été traitée par raffinement local du maillage (Figure 5. La comparaison des résultats analytiques et de l estimation numérique indique une différence inférieure à 3 % pour b= 40a. Le graphique de la figure 5 montre l influence, sur le tassement net normalisé de la plaque, de la position des ancrages internes ( α a : profondeur des ancrages symétriques, β a : leur demiespacement, normalisation du tassement par Δ = P( 1 ν / 4GRre, avec Rre ( 1 χ π / π = + A, aire de la plaque A, et χ pour une plaque carrée. Il n existe pas de solution analytique exacte en configuration de plaque rectangulaire ou carrée. 100,00 w(% 90,00 80,00 70,00 β=0 β=16 β=1 β=8 β=6 β=4 β=3 60,00 β= 50,00 40,00 β=0 0 5 alpha Figure 5. Essai de plaque ancrée sur cables tendus : modélisation numérique et raffinement de maillage, estimation numérique du tassement. 4. Conclusions La détermination des caractéristiques de déformabilité in situ des milieux géologiques est réalisée au mieux en conduisant les tests sur un volume représentatif de matériau, ce qui compense les défauts et les hétérogénéités, lesquels n échappent pas aux essais conventionnels à petite échelle, tels que les essais sur carottes et les essais in situ comme le dilatomètre en forage, examinant une région de la taille de l outil de mesure. Les essais de plaque atteignent généralement cet objectif mais requièrent d importantes charges pour générer des déplacements mesurables. L essai de plaque par cable tendu constitue une technique satisfaisante à cet égard, la procédure conventionnelle utilisant un point d ancrage profond sur l axe de la plaque. Cet article expose le moyen de tenir compte de force d ancrage situées hors de l axe, dans le massif rocheux. Si les cas examinés concernent des configurations donnant lieu à un tassement uniforme de la plaque, ces procédures peuvent être étendues à des cas non symétriques générant tassement et rotation de la plaque. Des solutions analytiques exactes peuvent être développées pour une plaque circulaire, tandis que des techniques numériques sont nécessaires dans le cas de plaques rectangulaire ou carrée. 5. Remerciements Les travaux présentés dans cet article ont été soutenus à leur début par le Max Planck Forschungspreis in the Engineering Sciences, attribué par la Max Planck Gesellschaft de 171

8 Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l Ingénieur JNGG010 -Grenoble 7-9 juillet 010 Berlin au premier auteur. Que soient également remerciés pour leur soutien en phase finale, le NSERC Discovery Grant, ainsi que l Université Joseph Fourier de Grenoble, qui a permis la visite du premier auteur au Laboratoire 3S-R. 6. Références bibliographiques Aleynikov S.M. (000 Boundary Element Method in Contact Problems for Elastic Spatial and Nonhomogeneous Bases, Publishing House of Civil Engineering University Association, Moscow. Bell F.G. (Ed. (1987 Ground Engineer s Reference Book, Butterworths, London. Boussinesq J. (1885 Applications des potentiels a l etude de l equilibre et du mouvement des solides elastique, Gauthier-Villars, Paris. Davis R.O., Selvadurai A.P.S. (1996 Elasticity and Geomechanics, Cambridge University Press, Cambridge. Elliott H.A. (1949 Axially symmetric stress distributions in aelotropic hexagonal crystals, Proc. Camb. Phil. Soc., 45, Gladwell G.M.L. (1980 Contact Problems in the Classical Theory of Elasticity, Sijthoff and Noordhoff, The Netherlands. Green A.E., Zerna W. (1968 Theoretical Elasticity, Clarendon Press, Oxford. Harding J. W., Sneddon I.N. (1945 The elastic stresses produced by the indentation of the plane surface of a semi-infinite solid by a rigid punch, Proc. Camb. Phil. Soc., 41, Hunter S.C., Gamblen D. (1975 The theory of a rigid disc ground anchor buried in an elastic soil either with adhesion or without adhesion, J. Mech. Phys., Solids,, Jaeger C. (197 Rock Mechanics and Rock Engineering, Cambridge University Press, Cambridge. Maugis D. (000 Contact, Adhesion and Rupture of Elastic Solids, Springer-Verlag, Berlin. Muki R. (1960 Asymmetric problems of the theory of elasticity for a semi-infinite solid and a thick plate. Progress in Solid Mechanics, (Sneddon et Hill, Eds. North-Holland, Amsterdam, 1, Selvadurai A.P.S. (1976 The load-deflexion characteristics of a deep rigid anchor in an elastic medium, Geotechnique, 6, Selvadurai A.P.S. (1978 Interaction between a rigid circular punch on a halfspace and a Mindlin force, Mech. Res. Com., 5, Selvadurai A.P.S. (1979a Elastic Analysis of Soil-Foundation Interaction, Developments in Geotechnical Engineering Vol. 17, Elsevier Scientific, Publ. Co., Amsterdam, The Netherlands. Selvadurai A.P.S. (1979b The displacement of a rigid circular foundation anchored to an isotropic elastic halfspace, Geotechnique, 9, Selvadurai A.P.S. (1979c An energy estimate of the flexural deflections of a circular foundation embedded in an elastic medium, Int. J. Num. Analytical Meth. Geomech., 3, Selvadurai A.P.S. (1980 Elastic contact between a flexible circular plate and a transversely isotropic elastic halfspace, Int. J. Solids Struct., 16, Selvadurai A.P.S. (1981 Betti s reciprocal relationships for the displacements of an elastic infinite space bounded internally by a rigid inclusion, J. Struct. Mech., 9, Selvadurai A.P.S. (1989 The influence of a boundary fracture on the stiffness of a deeply embedded anchor plate, Int. J. Num. Analytical Meth. Geomech., 13, Selvadurai A.P.S. (000a On the mathematical modeling of certain fundamental elastostatic contact problems in geomechanics, Modelling in Geomechanics (Zaman, Gioda, Booker, Eds. John Wiley, New York, Selvadurai A.P.S. (000b Fracture evolution during indentation of a brittle elastic solid, Mech. Cohesive Frict. Mat., 5, Selvadurai A.P.S. (007 The analytical method in geomechanics. Appl. Mech. Rev., 60, Selvadurai A.P.S., Nicholas T.J. (1979 A theoretical assessment of the screw plate test, 3rd Int. Conf. Num. Meth. In Geomech. (Wittke, Ed., Aachen, Balkema, The Netherlands, 3, Selvadurai A.P.S., Plastre A. (007 Influence of anchorage loads on the in situ testing of rock masses, Proc. 50th Can. Geotech. Conf., Ottawa, Shield R.T. (1951 Notes on problems in hexagonal aelotropic materials, Proc. Camb. Phil. Soc., 47, Sneddon I.N. (1965 The relationship between load and penetration in the axisymmetric Boussinesq problem for a punch of arbitrary profile, Int. J. Engng. Sci., 3, Spence D.A. (1968 Self similar solutions to adhesive contact problems with incremental loading, Proc. Roy. Soc., Ser. A. 305, Sveklo V.A. (1970 The action of a stamp on an elastic anisotropic halfspace, Prikl. Math. Mech., 34, Ufliand L. S. (1956 The contact problem of the theory of elasticity for a die, circular in its plane, in the presence of adhesion, Prikl. Math. Mekh., 0, Wylie D.C. (1999 Foundations on Rock, Taylor and Francis, New York. Zienkiewicz O.C, Stagg K.G. (1967 Cable method of in-situ rock testing, IJRMMS, 4,