LA THERMODYNAMIQUE. La thermodynamique est l étude de l énergie thermique, son transfert, sa transformation, sa dégradation et sa dispersion.

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1 LA THERMODYNAMIQUE La thermodynamique est l étude de l énergie thermique, son transfert, sa transformation, sa dégradation et sa dispersion. La thermodynamique étudie le comportement thermique de la matière. Quand nous considérons une entité spécifique (bouteille de gaz, un moteur), on l appelle un système. Tout ce qui ne fait pas partie du système est appelé milieu extérieur. Un système peut interagir avec l extérieur de plusieurs façons : par exemple il peut recevoir ou fournir de la chaleur à travers ses parois, il peut aussi échanger un travail mécanique. D autre part nous pouvons aussi imaginer un système complètement isolé de son environnement. Université de Genève 14-1 C. Leluc

2 Première Loi de la Thermodynamique La conception la plus complète de la loi de conservation de l énergie inclut toutes les sortes d énergie et est connue comme le premier Principe de la Thermodynamique : L énergie ne peut être ni crée ni détruite, mais seulement transférée d un système à un autre et transformée d une forme à une autre. Quand une pomme de 1N tombe d une hauteur de 10m, d un arbre dans votre main, l énergie potentielle gravitationnelle initiale de 10J est transformée en 10J d énergie cinétique juste avant qu elle ne s arrête dans votre main (moins une petite partie transférée à l air par frottement). Lorsque la pomme s arrête dans votre main, les 10J se répartissent sous forme d énergie thermique entre la main et la pomme (en négligeant la petite énergie sonore), ce qui augmente légèrement leurs températures. Autres exemples possibles : vaisseau spacial entrant dans l atmosphère, une voiture freine.. Université de Genève 14-2 C. Leluc

3 Travail, Chaleur et Energie interne (suite) Nous avons vu à la page que l énergie interne, U, d un gaz parfait monoatomique contenant n moles est égale à la somme de toutes les énergies cinétiques désordonnées de translation des molécules qui le composent, soit : U = 3 nrt. Ainsi U ne dépend que de T, pas de P, ni de la densité. 2 Nous savons déjà que la chaleur Q et le travail W correspondent, tous les deux, à un transfert d énergie par des moyens très spécifiques. La 1ere application de ces idées fut la machine à vapeur, à laquelle on fournit de la chaleur et qui fournit un travail. Il parut naturel de considérer la chaleur fourni à un système comme positive et le travail effectué par le système aussi comme positif. Avec cette convention, le travail effectué par l environnement contre le système est négatif. Si une quantité de chaleur est fournie à un système fermé Σ, elle peut se manifester, soit par une augmentation de son énergie interne, soit par un travail exécuté par le système, soit par les deux à la fois. Par conséquent le 1er Principe de la Thermo permet d écrire : Q = W + U ou encore U = Q W avec Q et W > 0, < 0 ou nul Ce qui exprime la variation d énergie interne, U, d un système fermé passant de l état 1 à l état 2 avec les conventions de signe définies plus haut. Université de Genève 14-3 C. Leluc

4 Travail, chaleur et énergie interne Pour pouvoir faire des calculs en Thermodynamique, il est nécessaire d exprimer le premier Principe à l aide des différentielles : un accroissement infinitésimal de l énergie interne du système, du, se produit quand le système reçoit une quantité infinitésimale de chaleur dq et une quantité infinitésimale de travail, dw. Cela s écrit : du = dq dw EXEMPLE : Un système en contact avec une source chaude, reçoit une quantité de chaleur de 5000J ; il effectue alors un travail de 2700 J sur son environnement. Quelle est la variation de l énergie interne du système? SOLUTION : Chaleur reçue Q = J, travail fourni W = J. Le premier principe de la Thermo donne : U = Q W = (+5000)J) (+2700 J) = 2300J Université de Genève 14-4 C. Leluc

5 Travail, Chaleur et Energie interne (suite) Il est nécessaire de définir le système avant de commencer une analyse. Soit 2 enceintes en contact et pouvant échanger une quantité de chaleur, Q, transférée du liquide à haute température, T H, au gaz à basse température,t L. Le système global, 3, formé de ces 2 enceintes est isolé du reste de l environnement. Comme il n y a aucun travail effectué, l énergie interne du système 1, U 1, diminue de Q, celle du 2eme, U 2, augmente de Q tandis que celle du 3eme, U 3, ne change pas : U 3 = 0. L énergie interne d un système isolé est constante (bien qu elle puisse être transformée d une forme d énergie interne à une autre) (par exemple rotationnelle, vibratoire). L énergie interne d un système fini est finie. Il est clair que si un travail est extrait de ce système, une quantité équivalente d énergie doit lui être fournie, sinon l énergie interne diminue et cela ne peut durer indéfiniment. Une machine à mouvement perpétuel de première espèce est celle qui produit plus de travail qu elle ne reçoit d énergie et qui continue ainsi indéfiniment. Une telle machine viole le premier principe de Thermo et ne peut pas exister. Université de Genève 14-5 C. Leluc

6 Transformations Une transformation survient quand certaines grandeurs mesurables (P, V, T ) caractérisant un système changent de valeurs. Un système peut changer de plusieurs façons, mais il y a 4 transformations fondamentales : isotherme : à température constante, isobare : à pression constante, adiabatique : aucune chaleur n est transférée au système ou du système, Q = 0 isovolumique ou isochore : à volume constant. Envisageons un système thermodynamique effectuant une transformation d un état A à un état B. Pour qu on puisse tracer une ligne allant de A à B, il faut qu en chaque point du parcours, P, V, T soient connus, c-à-d que le système soit en équilibre. Mais à l équilibre, rien ne bouge. Donc il faut que la transformation se fasse très lentement par rapport au temps de stabilisation du système. On parle de transformations quasi-statiques. En suivant le chemin de A à B de cette façon-la, on pourra rebrousser chemin en n importe quel point et parcourir la même courbe en sens inverse. On dit alors que c est une transformation réversible. Il faut donc qu elle se déroule lentement, sans frottement ni turbulence. Dans le cas contraire c est une transformation irréversible. Université de Genève 14-6 C. Leluc

7 Travail effectué dans les variations de volume On cherche à calculer le travail accompli par un gaz lorsqu il se dilate de façon quasi-statique. Le travail infinitésimal dw effectué par le gaz pour déplacer le piston d une distance infinitésimale d l : dw = F d l = (P A) (dl) = P (A dl) = P dv Le travail effectué pour une variation finie du volume, de V i à V f, est donné par l intégrale : W = dw = V f V i P dv -1) processus isotherme de 1 à 2 : T = cte On augmente le volume d un gaz de V 1 à V 2 tout en conservant la même température. Pour un gaz parfait : P = nrt /V W 12 = V f V i nrt V dv = = nrt ln V 2 V 1 = nrt ln P 1 P 2 Université de Genève 14-7 C. Leluc

8 Travail effectué dans les variations de volume (suite) Mais on peut aller de 1 à 2 en suivant le chemin ab-bc. -2) processus isovolumique suivant ab (V = cte) : On abaisse la pression de P 1 à P 2, le volume reste constant. W ab = 0 puisque dv = 0-3) processus isobare suivant bc (P = cte) On dilate le gaz à pression constante,p 2. W bc = V f V i P dv = P 2 (V 2 V 1 ) = P 2 V Pour aller du point 1 au point 2, selon le trajet ab-bc, le travail vaut : W 12 = W ab + W bc = P 2 (V 2 V 1 ) = nrt V 2 (V 2 V 1 ) = nrt (1 V 1 V 2 ) ce qui n est pas le même travail que celui obtenu en suivant l isotherme ac. Le travail effectué sur un système ou par un système dépend de la façon dont il passe de l état initial à final : ce n est pas une variable d état. Université de Genève 14-8 C. Leluc

9 Travail effectué dans les variations de volume (suite) Voici quelques exemples de processus thermodynamiques dans lesquels le système passe de l état initial i à l état final f. Le travail W est positif quand il y a augmentation de volume. Quand le volume diminue (à cause d une force externe) le travail fait sur le système est négatif. Dans un cycle fermé, le travail résultant fait par le système est représenté par la surface enfermée, qui est la différence des aires sous les 2 courbes qui constituent le cycle. Université de Genève 14-9 C. Leluc

10 Exemple 1 : Processus isobare Un cylindre, fermé avec un piston mobile, contient initialement 10,0g de vapeur à 100 C. On chauffe le système pour que sa température augmente de 10, 0 C, pendant que la vapeur se détend de 30, m 3 à une pression constante de 0,40 MPa. Déterminer (a) le travail fait par la vapeur et (b) la variation de son énergie interne. (Prendre c = 2, 02kJ.kg 1.K 1 ). SOLUTION : (a) La transformation est isobare. Le travail fourni (signe +) vaut : W = P (V f V i ) = (0, Pa)(30, m 3 ) = 12, 0J (b) Il faut d abord calculer la chaleur Q reçue (signe +), Q = m c T = (0, 01kg)(2, J/kg.K)(10, 0 C) = 202J Comme U = Q W, on obtient : U = 202J 12, 0J = 190J Université de Genève C. Leluc

11 Exemple 2 : Processus isobare Déterminer (a) le travail accompli et (b) la variation d énergie interne lorsqu on fait bouillir 1,00kg d eau et qu elle se transforme entièrement en vapeur à 100 C et à pression constante. SOLUTION : (a) Le volume de 1,00 kg d eau à 100 C équivaut à 1000 cm 3 ou 1, m 3 et celui de 1,00 kg de vapeur à la même température à 1,67 m 3 ( ρ = 0, 598kg/m 3 ). Le travail accompli s exprime donc par : W = P (V 2 V 1 ) = (1, N/m 2 )(1, 67m 3 1, m 3 ) = 1, J (b) La chaleur requise pour amener à ébullition 1,00kg d eau est égal à Q = 22, J (voir page 13-17). D après la première loi de la thermo : U = Q W = 22, J 1, J = 20, J Environ 8% seulement de la chaleur ajoutée sert à effectuer du travail ; les 92% restant augmentent l énergie interne de l eau. Université de Genève C. Leluc

12 Capacités calorifiques molaires Jusqu à présent, on a attribué une valeur à la capacité calorifique massique sans se préoccuper des conditions dans lesquelles cette valeur était obtenue. En fait on doit spécifier les conditions dans lesquelles ce transfert de chaleur a lieu, i.e à volume constant c V ou à pression constante c P, surtout pour les gaz où ces valeurs diffèrent énormément. Pour expliquer ces propriétés par la théorie cinétique et la 1ere loi de la thermo, il faut avoir recours au concept de la capacité calorifique molaire, C V, C P, qui se définit comme la chaleur requise pour élever de 1 K la température d une mole de masse M à volume ou à pression constante respectivement. Elle s exprime en J.mole 1.K 1. Par analogie avec les équations donnant la chaleur calorifique massique (Q = m c T ), la quantité de chaleur nécessaire pour élever de T degrés n moles de gaz est : Q V = n C V T [volume constant] Q P = n C P T [pression constant] En comparant Q = mc T = nmc T et Q = nc T, on trouve que : C V = M c V et C P = M c P où M est la masse molaire. Université de Genève C. Leluc

13 Capacités calorifiques molaires (suite) c V c P C V C P C P C V (kj/kg.k) (kj/kg.k) (J/mol.K) (J/mol.K) (J/mol.K) γ = C P /C V monatomique He 3,38 5,18 12,5 20,8 8,3 1,67 N e 0,62 1,03 12,47 20,80 8,3 1,67 diatomique N 2 0,74 1,04 20,7 29,09 8,4 1,40 O 2 0,65 0,91 21,05 29,43 8,4 1,40 polyatomique CO 2 0,64 0,83 28,46 36,96 8,5 1,30 H 2 O(100 C) 1,46 2,01 25,95 34,32 8,4 1,32 Plomb 0,128 26,5 Cuivre 0,39 24,5 Valeurs pour des gaz à 15 C. Les valeurs de capacité calorifique massique données sur la page sont celles obtenues à pression constante, c P. Université de Genève C. Leluc

14 Capacités calorifiques molaires à volume constant Soit n moles d un gaz parfait à pression P et à température T confinées dans un volume fixe V. Si on ajoute une quantité de chaleur Q V, la température augmente de T et la pression de P. D après la 1ere loi de la thermo, U = Q V W = n C V T W. Mais ici aucun travail ne s effectue puisque V = 0. La chaleur ajoutée sert U T. entièrement à accroître l énergie interne. Ce qui donne : C V = 1 n D autre part l énergie interne d un gaz monatomique parfait est U = 3 2 nrt, donc U = 3 nr T. On obtient ainsi : 2 C V = 1 U n T = 1 (3/2 nr T ) = 3 R = 12, 5J/mol.K n T 2 On peut réécrire l équation de l énergie interne d un gaz parfait en remplaçant C V par 3/2R, soit : U = 3 2 nrt = nc V T et U = n C V T expression valable pour tous les gaz parfaits monoatomiques, diatomiques et polyatomiques à condition de prendre la valeur appropriée de C V. Université de Genève C. Leluc

15 Capacités calorifiques molaires à pression constante Supposons maintenant que la température de ce gaz parfait est élevée de la même quantité T que précédemment, mais ici la quantité de chaleur transférée Q P se fait à pression constante. La quantité de chaleur nécessaire pour élever de T degrés n moles est Q P = n C P T. D après la 1ere loi de la thermo, U = Q P W. Ici la chaleur ajoutée sert non seulement à augmenter l énergie interne, mais également à effectuer du travail, soit Ce qui finalement donne : n C V T U Q P W = P V = n C V T = n C P T = P nr T P = n C P T n R T C P = C V + R Comme R = 8, 314J/mol.K, C P aura une valeur supérieure à celle de C V d environ 8,33 J/mol.K, soit C P > C V Université de Genève C. Leluc

16 Equipartition de l énergie Le tableau suivant permet de comparer les valeurs théoriques données par la théorie cinétique avec celles expérimentales. Gaz degré de U/mole C V C P γ = liberté (J/mol.K) (J/mol.K) C P /C V monoatomique :Théorie 3 3/2 RT 3/2 R=12,5 5/2 R=20,80 He : expérience 12,5 20,80 1,67 di-atomique : Théorie 5 5/2 RT 5/2 R=20,8 7/2 R=29,10 N 2 : expérience 20,7 29,09 1,4 polyatomique : Théorie 6 3 RT 3R=24,9 4 R=33,26 CO 2 : expérience 28,5 36,96 1,30 La capacité calorifique molaire augmente avec le nombre d atomes par molécules. L énergie interne comprend d autres formes d énergie en plus de l énergie cinétique de translation ; une molécule diatomique peut effectuer un mouvement de rotation autour de 2 axes différents. On peut encore améliorer l accord entre l expérience et la théorie en tenant compte des oscillations des atomes ; par exemple dans un gaz diatomique, les 2 atomes dans la molécule d oxygène peuvent osciller l un vers l autre, la liaison interatomique se comportant comme un ressort oscillant. Université de Genève C. Leluc

17 Equipartition de l énergie (suite) Les molécules monatomiques, qui sont essentiellement ponctuelles et qui ne peuvent avoir qu une faible énergie de rotation inertielle autour d un axe, peuvent stocker de l énergie seulement dans des mouvements de translation. Par contre les molécules diatomiques et polyatomiques peuvent en stocker par rotation ou vibration. Pour tenir compte de ces possibilités d une manière quantitative, on utilise le théorème de l équipartition de l énergie : Chaque sorte de molécule a un certain nombre,f, de degrés de liberté, qui sont des moyens indépendants pour une molécule d acquérir de l énergie interne. Chaque degré de liberté actif d un système possède en moyenne une énergie interne de 1/2k B T par molécule (ou 1/2 RT par mole). En conséquence, dans la dérivation page 14-14, il aurait fallu écrire U = f 2 nrt. Université de Genève C. Leluc

18 Transformation adiabatique d un gaz parfait Adiabatique = Aucune chaleur ne peut pénétrer ou s échapper du système. C est ce qui se produit dans le cas d un système extrêmement bien isolé ou d un processus se déroulant avec une telle rapidité que la chaleur -dont la propagation se fait lentement- n a le temps ni d entrer ni de sortir. La dilatation des gaz dans un moteur à combustion interne constitue un tel exemple. Comme Q = 0, on a U = W. 1) Si le gaz se détend (W > 0), U doit diminuer et par conséquent la température baisse. Alors le produit P V (=nrt ) prend une valeur moindre au point C qu au point B (la courbe AB est un processus isotherme). 2) Si le gaz est comprimé, du travail s effectue sur le gaz (W < 0) si bien que son énergie interne augmente et que sa température s élève. Dans un moteur diesel, la compression adiabatique rapide de l air par un facteur 20 résulte en une élévation de température si considérable que, lorsque l essence y pénètre, le mélange s enflamme spontanément. On trouve, comme démontré pages suivantes, que : P V γ =cte et T V (γ 1) =cte où γ est une constante qui vaut C P = 5/2 C V 3/2 gaz monoatomiques, 7/2 5/2 et 1, 3 pour les gaz polyatomiques. 1,67 pour les 1, 4 pour les gaz diatomiques Université de Genève C. Leluc

19 Transformation adiabatique : démonstration Supposons que la transformation se fasse de telle sorte que le volume change très peu de manière à ce que la pression à l intérieur du gaz reste constante : ceci nous permet d écrire que le travail fait par le gaz pendant l augmentation de volume est égal à P dv. On a donc : du = dq dw = dq P dv mais dq = 0 pour une tranformation adiabatique. D autre part du = nc V dt ainsi n C V dt + P dv = 0 Exprimons dt en fonction de P et V pour un gaz parfait : P V = nrt P dv + V dp = nr dt dt = 1 (P dv + V dp ) nr 1 n C V (P dv + V dp ) + P dv = 0 nr ( C V R + 1) P dv + C V R V dp = 0 Mais C P = C V + R, ce que l on peut écrire comme :( C V R + 1) = C P R Université de Genève C. Leluc

20 Transformation adiabatique : démonstration (suite) Remplaçant et simplifiant par R, on obtient : C P P dv + C V V dp = 0 Divisons les 2 membres par C V V P, on obtient : avec C P /C V = γ. En intégrant : C P C V dv V + dp P = γdv V + dp P = 0 γ dv V + dp P = 0 γ ln V + ln P = cte ln(p V γ ) = cte Pour un gaz parfait (P V donne P V γ = cte = nrt ), on peut remplacer P par nrt /V, ce qui T V (γ 1) = cte Université de Genève C. Leluc

21 Transformation adiabatique : libre expansion Il y a des processus adiabatiques dans lesquels aucun travail n est fait ni reçu par le système. Ainsi Q = W = 0 et d après la 1ere loi de la Thermo, on a donc U = 0 expansion libre Ce processus diffère des autres processus vus jusqu a présent car il ne peut pas être fait lentement, d une manière controlée. Ce qui a pour conséquence que le gaz n est jamais en équilibre thermique. On peut mettre les valeurs initiales et finales dans un diagramme P V, mais on ne peut pas dessiner l expansion elle-même. D autre part, comme U = 0, la température de l état final doit être égale à la température de l état initial, T i = T f. Si on a affaire à un gaz parfait (P V = nrt ), comme il n y a pas de variation de température, le produit P V doit être constant, soit : P i V i = P f V f Université de Genève C. Leluc

22 Tableau récapitulatif des transformations Résultats spéciaux Chemin Quantité Type de ( U = Q W et constante processus U = n C V T pour tous chemins) 1 P Isobare Q = n C P T ; W = P V 2 T Isotherme Q = W = n R T ln(v f /V i ); U = 0 3 P V γ, T V (γ 1) adiabatique Q = 0 ; W = U 4 V Isochore Q = U = n C V T ; W = 0 Université de Genève C. Leluc

23 Exemple 1 : dilatation adiabatique et isotherme On laisse un gaz parfait monoatomique se dilater lentement jusqu à ce que sa pression soit à exactement la moitié de sa valeur initiale. Par quel facteur son volume varie-t-il s il s agit d un processus (a) adiabatique, (b) isotherme? SOLUTION : (a) Pour un processus adiabatique, P 1 V γ 1 = P 2 V γ 2, soit : V 2 V 1 = ( P 1 P 2 ) 1/γ = (2) 3/5 = 1, 52 puisque γ = C P /C V = (5/2)(3/2) = 5/3. (b) Lorsque la température reste constante (T 1 = T 2 ), P 1 V 1 = P 2 V 2 conformément à la loi des gaz parfaits. Il en résulte que : V 2 V 1 = P 1 P 2 = 2 Université de Genève C. Leluc

24 Exemple 2 : dilatation adiabatique L argon à l état gazeux (monoatomique) est comprimé très lentement et adiabatiquement, dans un cylindre bien isolé, jusqu à la moitié de son volume initial de 0,100 m 3. S il était initialement à la pression atmosphérique et à 27,0 C, quelles seront sa température et pression finales? SOLUTION : La transformation est adiabatique et implique un changement dans P, V et T. Pour un gaz monoatomique γ = 1, 67, ainsi P f = P i V i V f γ = (0, 101MPa)(2) 1,67 = 0, 322MPa On trouve la température à l aide de l équation des gaz parfaits (P V /T =cte) que l on écrit pour l état initial et final. Ce qui donne : T f = T i P f P i V f V i = (300K)(3, 19) 1 = 479K 2 Université de Genève C. Leluc

25 Cycles thermiques Nous ne considérons ici que des transformations réversibles et nous voulons qu après leur exécution, le système revienne à son état initial,soit U = 0. Le diagramme dans le plan P V représente alors un cycle. Le cas le plus simple consiste à enfermer un gaz parfait dans un cylindre fermé par un piston, le mettre en contact avec un bain à température constante et le détendre suivant un isotherme. Une quantité de chaleur Q AC est reçue par le système entre A et C, le travail effectué par le système est W AC > 0 et comme T = 0, on a aussi U = 0. Donc Q AC > 0. Le travail fait par le gaz est l aire au-dessous de la courbe. Si nous revenons au point A en suivant le même isotherme mais en sens inverse, le gaz reçoit du travail et fournit de la chaleur, tels que Q AC = Q CA et W AC = W CA. Le système revient à son point de départ. Si on ajoute ces 2 travaux W AC + W CA = 0, le travail total à la fin du cycle est nul. Le travail total est représenté par l aire à l intérieur de la courbe fermée représentant le cycle dans le plan P V. Ici cette surface est nulle. Université de Genève C. Leluc

26 Cycles thermiques (suite) U = Q W Ici on a un cycle tel que le travail effectué par le gaz (l aire du cycle) est positif. En allant de A à B, un travail est produit par le gaz car son volume augmente (V B > V A ). Sa température augmente (on passe d une isotherme à une isotherme de température plus élevée), donc U augmente. Q AB doit donc être positif : une quantité de chaleur Q AB entre dans le système. En allant de B à C, aucun travail n est fait et la température diminue, donc U diminue et de la chaleur Q BC est cédée par le système. En allant de C à A le long de l isotherme ( U = 0), le gaz est comprimé (V C > V A ) et un travail négatif est effectué qui doit être accompagné par une quantité de chaleur égale négative, donc sortante. Comme U = 0 sur le parcours fermé, le travail total effectué par le système est égal à la chaleur totale reçue. Ce cycle fait penser au fonctionnement d un moteur thermique. Université de Genève C. Leluc

27 Moteurs thermiques Un moteur thermique est un dispositif cyclique qui convertit l énergie thermique en travail, qu il cède à l extérieur. On utilise un fluide moteur qui permet de transférer la chaleur et qui subit des processus de détente et de compression. Processus cyclique qui ramène le fluide moteur dans son état initial U 2 U 1 = U = 0 = Q W Q = W Le moteur travaille entre un réservoir à haute température, T H, et un réservoir à basse température, T L. Q H > 0 Q L < 0 W > 0 La chaleur nette absorbée par cycle : Q = Q H + Q L = Q H Q L. Le travail fourni par la machine : W = Q = Q H Q L L expérience montre qu il est impossible de transformer toute la chaleur reçue Q H en travail ; Q L n est jamais nul. Université de Genève C. Leluc

28 Cycle de Carnot Le cycle de Carnot est un cycle idéal ne correspondant à aucun moteur réalisable, mais permettant de calculer des rendements. Le moteur de Carnot est un simple cylindre fermé par un piston, contenant un gaz et qu on amène alternativement en contact avec une source de chaleur à haute température(vapeur) puis avec un réservoir de chaleur (eau de refroissement) dans lequel la chaleur est rejetée. Ce cycle est une suite de 4 étapes : 1. A B : détente isotherme( U = 0, W > 0 donc Q > 0) dans laquelle le gaz reçoit une quantité de chaleur Q H à haute température T H 2. B C : détente adiabatique (P,V,T changent) (Q = 0, W = U) 3. C D : compression isotherme ( U = 0, W < 0 donc Q < 0) dans laquelle le gaz rejette une quantité de chaleur ( Q L ) 4. D A : compression adiabatique (Q = 0, W = U) Université de Genève C. Leluc

29 Cycle de Carnot La partie ABC représente la détente : c est la course motrice, car le gaz effectue un travail positif sur le milieu extérieur. Sur la partie CDA du cycle le gaz rejette une quantité de chaleur et le milieu extérieur effectue un travail sur lui. Université de Genève C. Leluc

30 Rendement d une machine thermique La raison pour laquelle le moteur de Carnot est si important est qu il représente un dispositif idéal qui a la meilleure efficacité possible. Son rendement est la limite supérieure du rendement de tout moteur thermique réel. D une manière générale, on définit le rendement énergétique r d une transformation comme : Energie disponible sortante r = Energie entrante Pour un moteur thermique, l énergie utile est le travail effectué et l énergie fournie est la chaleur prise à la source chaude. Ainsi pour un cycle : T ravail effectue r = Chaleur entrante 1er principe donne W s = Q H (entrante) Q L (sortante) r = W s = Q H Q L = 1 Q L Q H Q H Q H Le rendement augmente si Q L diminue, devenant 1 si aucun rejet de chaleur est effectué. Les moteurs réels dissipent de l énergie par frottement et perdent une quantité appréciable d énergie à l environnement par convection, conduction et radiation. Ainsi pour le moteur d une voiture, r devrait valoir 55% mais son rendement effectif est seulement de 25%. Pour une centrale thermique, le rendement effectif est de 30% et théorique de 40%. Université de Genève C. Leluc

31 Cycle de Carnot : Rendement Effectuons un cycle de transformation réversible sur 1 mole d un gaz parfait. Calculons le rendement. Sur les 2 adiabatiques, nous avons les relations suivantes : V γ 1 B T H = V γ 1 C T L et V γ 1 D T L = V γ 1 A T H Effectuons leur rapport de manière à éliminer les températures : ( V C V D ) γ 1 = ( V B V A ) γ 1 V C V D Q L Q H sur les 2 iso- Calculons maintenant le rapport thermes : Q L Q H = V B V A = R T L ln (V C /V D ) R T H ln (V B /V A ) = T L T H r c = 1 Q L Q H = 1 T L T H Résultat valable pour tout moteur idéal réversible. Cela constitue le rendement maximal. Pour avoir un moteur parfait, il faudrait que Q L = 0 ce qui est possible seulement si T L = 0K ou T H, conditions impossibles à réaliser. Université de Genève C. Leluc

32 Exemple : Centrale électrique thermique Le rendement le plus élevé possible pour une machine à vapeur opérant entre 200 C et 27,0 C est : r c = 1 330K = 1 0, 634 = 36, 5% 473K En pratique, les pertes réduisent cette valeur du tiers environ. Une centrale thermique moderne utilise de la vapeur chauffée à environ 500 C. Cette vapeur à haute pression se détend dans une turbine, frappe et pousse ses lames pour la faire tourner. La turbine propulse un générateur électrique de haute tension. Une grande différence de pression est maintenue à travers la turbine en condensant la vapeur. La vapeur est expulsée vers un condensateur froid à 373K. Le rendement théorique vaut 53% bien que les pertes thermiques (en fumée par exemple) le réduisent à environ 40%. Université de Genève C. Leluc

33 Combustion interne Carnot a discuté les possibilités de faire tourner un moteur en enflammant un gaz dans un cylindre, mais c est J.Lenoir qui conçut en 1859 le premier moteur à combustion interne. C est N.Otto qui construisit le premier moteur pour lequel il obtint un brevet. Université de Genève C. Leluc

34 Réfrigérateurs/Climatiseurs On peut considérer le réfrigérateur comme un moteur thermique marchant à l envers : il reçoit un travail mécanique W et l utilise pour pomper une petite quantité d énergie thermique Q L d une source à basse température et céder une quantité de chaleur plus grande Q H = Q L + W à une source à haute température, ainsi Q L > 0 Q H < 0 et W < 0. Si on refroidit une pièce plutôt que des aliments, on a un climatiseur. Le travail fourni par la moteur :W = Q = Q H Q L Le coefficient de performance η est le rapport de la quantité de chaleur enlevée à la source froide au travail effectué pour l extraire : η = Q L W = Q L Q H Q L Plus η est grand, plus la machine de réfrigération est efficace et une valeur de l ordre de 5 est courante. La meilleure performance est celle d une machine de Carnot opérant en sens inverse. On peut réécrire cette équation avec les températures et on obtient ainsi le coefficient de performance d un système idéal, soit : η c = T L T H T L. Il faut toujours fournir du travail pour transférer de la chaleur d une source froide à une source chaude. Université de Genève C. Leluc

35 Exemple : Climatiseur Déterminer le meilleur coefficient de performance possible d un climatiseur maintenant une pièce à 21 C, quand la température extérieure est 36 C. Supposons que la chaleur qui pénètre dans la pièce en 1 heure est de 5,0MJ. La machine rejette la chaleur, qu elle engendre pendant qu elle fonctionne, vers l extérieur de la pièce à l aide d un ventilateur. Quel travail ce ventilateur doit-il effectuer pour maintenir la température de la pièce? Quelle est la quantité de chaleur totale rejetée vers l extérieur par heure? T L SOLUTION : η c = T H T L = 294K (309K) (294K) = 19, 6 La quantité de chaleur horaire est la chaleur Q L qui entre dans le climatiseur à basse température. Le travail qui doit être effectué par heure pour évacuer Q L : W = Q L 5, 0MJ = = 0, 26MJ η c 19, 6 Ainsi pour extraire 5,0 MJ, cette machine n effectue qu un travail de 0,26 MJ. Dans cette transformation, cette énergie de 0,26 MJ est convertie en énergie thermique, rejetée vers l extérieur. Nous avons donc : Q H = Q B + W = 5, 0MJ + 0, 26MJ = 5, 3MJ C est la chaleur totale rejetée vers l extérieur. Université de Genève C. Leluc

36 Pompe à chaleur Si on inverse le climatiseur pour refroidir l extérieur quelle que soit sa température et rejeter la chaleur dans la pièce, on a un système de chauffage : un tel dispositif réversible est appellé pompe à chaleur. En prenant comme source froide une rivière ou un lac T = 277 K et comme source chaude un bâtiment que l on veut chauffer à 293 K, il faut fournir un travail W pour pomper de la chaleur à la source froide et en restituer à la source chaude. Supposons que l on dispose de W Joules sous forme électrique. On pourrait les convertir directement en chaleur dans un radiateur électrique (rendement 100%) W Joules en chaleur. Mais la pompe thermique permet d obtenit plus : en effet elle permet de restituer Q H Q H = W r et r = T H T L = 0, 055, d où Q T H = W H 0,055 à la source chaude. Comme = W 18. On a un gain d un facteur 18. Même si la machine n est pas parfaite, le gain reste appréciable. Université de Genève C. Leluc

37 Pompe thermique : machine de Stirling On a 2 cylindres et 2 pistons, le cylindre de gauche est en contact avec une source chaude, celui de droite avec une source froide. Les 2 cylindres sont séparés par un régénérateur, substance très poreuse et à haute capacité calorifique, qui joue le rôle de réservoir de chaleur auxiliaire. Les 2 pistons sont connectés par système mécanique complexe. Ils sont aussi connectés par un vilebrequin. Université de Genève C. Leluc

38 Pompe thermique : machine de Stirling Le gaz suit un cycle défini par le diagramme P V : a b : détente isothermique à T H. Pour rester chaud pendant la détente, le gaz prélève de la chaleur Q H à la source chaude b c : les 2 pistons se déplacent anti parrallèlement. Le gaz traverse à volume constant le régénérateur froid : il se refroidit, sa pression baisse. Le régénérateur se réchauffe. c d : le gaz est comprimé à température constante, T L jusqu à son volume initial, ce qui est produit par le mouvement du piston de droite. Q L est alors transféré aux parois du cylindre de droite qui est maintenu à température T L par un réservoir à basse température. d a : les pistons se déplacent en sens opposé, le gaz traverse à volume constant le régénérateur préalablement chauffé, il se réchauffe, sa pression monte, et le régénérateur se refroidit. Université de Genève C. Leluc

39 Exemple : Moteur de Stirling Un moteur de Stirling utilise n = 8, moles de gaz (idéal). Il travaille entre les températures suivantes : T H = 95 C et T L = 24 C ; le volume de gaz double durant l expansion et il tourne à 0,70 cycle par seconde. Supposant que le moteur est idéal, trouver (a) le travail fait par le moteur pendant un cycle, (b) la puissance du moteur, (c) La quantité de chaleur transférée de la source à haute température vers le gaz et (d) le rendement thermique du moteur? SOLUTION : (a) En suivant le cycle P V de la page précédente, le travail fait par le gaz sur ab, durant une expansion isotherme entre les volumes V a et V b vaut : W ab = nrt H ln V b V a De même pendant cd, on a W cd = nrt L ln V a. Le travail sur bc et da est nul V b (volume constant). Soit au total, on trouve : W = W ab + W bc + W cd + W da = nr T H ln V b V a + T L ln V a V b Université de Genève C. Leluc

40 Exemple : Moteur de Stirling (suite) Ce qui donne en regroupant : Comme V b /V a = 2, on obtient : W = nr(t H T L ) ln V b V a W = (8, mol)(8, 31J/mol.K)(95 C 24 C)(ln 2) = 3, 31J (b) La durée d un cycle est 1/0, 70 = 1, 43s. La puissance vaut donc P = W t = 3, 31J 1, 43s 2, 3W (c) La chaleur transférée à un gaz idéal pendant une expansion isothermique à température T H = ( )K (processus ab) vaut : Q H = nrt H ln V b V a = (8, mol)(8, 31J/mol.K)(368K)(ln 2) = 17, 2J (d) r = 1 T L T H = 1 (24+273)K (95+273)K = 0, % Université de Genève C. Leluc