Rapport de stage ingénieur 5 Juin - 29 Septembre. Création d une base de données de Travaux pratiques en calcul numérique

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1 29 septembre 2006 Rapport de stage ingénieur 5 Juin - 29 Septembre Création d une base de données de Travaux pratiques en calcul numérique Estelle Etienne Encadrement : Marc Montagnac. CERFACS - CFD - 42, avenue Gaspard Coriolis Toulouse Cedex 1

2 Remerciements Je tiens en premier lieu à remercier Jean-François Boussugue, notre chef d équipe et Marc Montagnac, mon maître de stage pour m avoir accueillie au CERFACS. Merci aussi à Yann Colin qui a toujours su répondre à mes questions avec compétence et patience, merci à Guillaume Puigt pour sa gentillesse et sa disponibilité, merci à Antoine Devesa, mon collègue de bureau, qui m a suivie dans mon apprentissage de Linux... enfin merci à toute l équipe pour la bonne ambiance qui y règne. Je tiens aussi à remercier mes collocataires pour ces quatre mois agréables passés à Toulouse. Bonne continuation à vous tous! 2

3 Table des matières Introduction 7 1 Moyens mis en oeuvre Site WIKI support WIKI Architecture du site Code de calcul elsa Script Python Déroulement d un calcul type TP squelette Analyse du cas physique Pré-traitement Conditions initiales Conditions aux limites Adimensionnement Maillage Simulation numérique post-traitement Points d étude Modélisation de la turbulence Modèle de Spalart-Allmaras Modèle k-ω Couche limite Phénomènes physiques Influence des schémas numériques Schéma centré de Jameson Schéma décentré de Roe Techniques d accélération de la convergence Méthode explicite / implicite

4 3.3.2 Méthode multi-grille Conclusion 38 4

5 Table des figures 1.1 page d accueil TP squelette Conditions initiales Géométrie du profil configuration du maillage Répartition des points sur le profil repère propre au maillage Maillage Plaque plane (modèle de Spalart) - Loi de paroi Plaque plane - couche limite laminaire et turbulente. Effet du choix du modèle de turbulence RAE2822 (cas 9) - coefficient de pression RAE2822 (cas 9) - coefficient de frottement RAE2822 (cas 10) - vecteurs vitesse suivant une ligne du maillage proche du pied du choc. Visualisation du retournement des vecteurs vitesse (décollement) RAE2822 (cas 10) - Coefficient de pression RAE2822 (cas 10) - Coefficient de frottement NACA - position du choc pour α = NACA - position du choc pour α = Polaire obtenue par calcul Euler : effets de la viscosité numérique d elsa détails du maillage schéma - détail du maillage schémas numériques à t=0s schémas numériques à t=2s schémas numériques à t=5s schémas numériques à t=7s niveaux de grilles comparaison des résidus avec et sans méthode multi-grille

6 Liste des notations CFD : Computational Fluid Dynamics CFL : Courant-Friedrichs-Levy elsa : Ensemble Logiciel de Simulation Aérodynamique R ij : tenseur de Reynolds en kg.m.s 2 µ t : viscosité turbulente en kg.m 1.s 1 k : energie cinétique turbulente en m 2.s 2 ω : fréquence caractéristique de la turbulence en s 1 τ : tenseur des contraintes κ : la constante de Von Karman (sans dimension) qui vaut 0.41 W : le vecteur des variables conservatives Y : une variable conservative quelconque α : la vitesse d advection f : le flux de Y 6

7 Introduction Le stage ingénieur, dont le travail est décrit dans ce rapport, a été effectué au sein de la société CERFACS (Centre de Recherche et de Formation Avancée en Calcul Scientifique) dans le département Computational Fluid Dynamics (CFD) au sein de l équipe AAM (Advanced Aerodynamics and Multiphysics). L entreprise, ses activité principales, son organisation et celle de l équipe AAM sont présentées dans l annexe A. Le sujet du stage, "création d une base de données de Travaux Pratiques en calcul numérique" s inscrit dans un projet interne au Cerfacs. Une série de trois Travaux Pratiques avait déjà été mise au point mais les sujets ne suivaient pas une architecture commune. Cette base de données a pour but de proposer un ensemble de sujets construits sur le même modèle. La première étape a été de définir la base de tous les sujets : un TP squelette, qui servira de canneva pour la construction de tous les TP. Le choix d un plan chronologique a été fait. A chaque étape, figurent les points théoriques qui interviennent. Ce sont ces différents points que les travaux pratiques s attachent à illustrer. Ils apparaissent ou non dans l énoncé selon les objectifs du sujet. Ces Travaux Pratiques sont à vocation pédagogique. Ils sont destinés à initier les élèves de troisième année de l ENSEEIHT à la simulation numérique avec le code de calcul elsa utilisé chez Airbus. Dans un premier temps, le but est de leur faire intégrer le déroulement d un calcul CFD et ensuite d aborder certaines notions importantes de la modélisation et des méthodes numériques. Cette base de données a été mise en ligne sur un site internet de type WIKI (www.cerfacs.fr/wiki/cfdwiki), ce qui offre la possibilité de l enrichir à tout moment. Vous pouvez aller consulter ce site pour mieux vous rendre compte du travail effectué durant le stage. 7

8 Chapitre 1 Moyens mis en oeuvre 1.1 Site WIKI support WIKI Principe PmWiki est un système de type wiki pour la création et l entretien collectif de sites Internet. Un WikiWikiWeb est un "système ouvert d édition" où l accent est mis sur l écriture et la collaboration à l écriture de documents plutôt que la lecture rapide ou leur visualisation simple. Le mot "wiki" provient du terme hawaïen "wiki wiki" qui signifie "informel" ou "rapide". Le concept de base d un WikiWikiWeb (ou "wiki") est que (presque) tout le monde peut éditer n importe quelle page. L objectif de ce système est de rendre la création et l édition de contenus en ligne aussi facile que possible Les pages PmWiki ont le même aspect et fonctionnent comme des pages Internet ordinaires, sauf qu elles possèdent un lien pour "éditer" ce qui permet de modifier ou d ajouter facilement des pages à un site, en utilisant les règles d édition de base. Il n est pas nécessaire de connaître le langage HTML. Il existe notamment un émulateur Latex pour faciliter l écriture des formules mathématiques. L édition des pages peut être laissée ouverte à tout public ou restreinte à un groupe d utilisateurs. Pourquoi un site Wiki? Le choix d un support Wiki a été fait déjà pour permettre un travail collaboratif durant le stage et pour donner l opportunité à ce site d évoluer et de s enrichir. Par la suite, ce site sera ouvert à d autres utilisateurs tels que l ONERA. D autres sujets de TP pourront être proposés et rédigés en se servant des travaux déjà effectués. Ils bénéficieront de tout l environnement du site Architecture du site Le site a été pensé de manière à privilégier la fonctionnalité. Il est organisé sous forme d arborescense vers différentes pages auxquelles on accède grâce à des liens. On trouve sur la page d accueil du site plusieurs liens : la liste des TP à laquelle on accède en ouvrant le lien «TP calcul numérique» deux autres parties qui sont détaillées ci-dessous et qui sont disponibles depuis la barre d outils : des rappels théoriques et une «boîte à outil».ce sont des parties qui encombre- 8

9 raient l énoncé et qui ne sont pas forcément nécessaires aux étudiants. Elles permettent d obtenir rapidement une aide ponctuelle durant la séance. un lexique qui recense les mots difficiles et en donne une brève définition. Rappels théoriques On y trouve pour l instant deux parties, les équations de base et une partie théorique sur la couche limite, mais au fur et à mesure de l évolution du site, de nouveaux points théoriques y seront traités. La partie «Equation de base» rappelle les équations d Euler, Navier-Stokes, et Navier-Stokes moyennées (RANS). Ce sont ces équations que résout le code de calcul elsa utilisé dans les TP. Ce code de calcul est présenté dans la partie suivante. Outils Il s agit d un inventaire des logiciels que les étudiants vont être amenés à utiliser, avec pour chaque logiciel, un lien vers un pseudo guide d utilisation orienté spécifiquement pour ce qui est demandé en TP. Y figurent les logiciels de visualisation Tecplot et Quickview, l outil EDM (Editor of Model) qui permet de générer les fichiers nécessaires à un calcul elsa et de convertir les résultats du calcul au format souhaité, le code de calcul elsa où l on trouve la démarche à suivre pour lancer un calcul et enfin un guide Unix qui répertorie les commandes de base et qui présente l éditeur de texte «vi». 1.2 Code de calcul elsa ElsA (Ensemble Logiciel de Simulation Aérodynamique) est un logiciel de simulation des écoulements compressibles, laminaires ou turbulents, en 3D, sur des maillages structurés en blocs. Ce code de calcul a été développé par l ONERA depuis l année 1997 et en collaboration avec le Cerfacs depuis ElsA résout les équations de Navier-Stokes moyennées (RANS pour Reynolds Average Navier-Stokes), dans leur forme intégrale, dans un référentiel fixe ou mobile. La turbulence peut être modélisée par des modèles algébriques ou avec équations de transport. Des simulations stationnaires et instationnaires peuvent être réalisées. Les utilisateurs interagissent avec elsa grâce à un script construit en Python qui sert d interface Script Python C est dans ce script que les utilisateurs d elsa définissent leurs paramètres de calcul. Une connaissance très limité du language Python suffit pour mettre au point un script. Python est un langage moderne, orienté objet. Sa syntaxe est facile à lire. En général, on récupère un script Python que l on modifie selon les paramètres numériques que l on souhaite changer ou rajouter. Un script Python basique s articule autour de plusieurs grandes parties : Création du problème auquel on donne un nom et dont on spécifie la configuration (problème 2D, 3D). Création du modèle physique : cette partie précise tous les paramètres qui définissent le système d équations résolu par elsa.on y entre le système d équation (Euler, Navier-Stokes laminaire ou turbulent), les caractéristiques du fluide (γ, Cv), les valeurs adimensionnées µ et T nécessaires au calcul de la viscosité selon la loi de Sutherland, et le modèle de turbulence souhaité. Création de l algorithme numérique : cette partie précise les paramètres qui définissent comment le système d équations va être résolu. On y entre la méthode de discrétisation en espace (schéma numérique) et d intégration en temps (nombre d itérations, méthode d accélération de la convergence). 9

10 Fig. 1.1 page d accueil 10

11 Etat amont : On défini le champ infini. On donne les valeurs adimensionnées des variables conservatives et des quantités turbulentes suivant le modèle de turbulence choisi. On initialise généralement l état initial avec les valeurs de l état infini. Création et initialisation des blocs : c est là que l on fournit le maillage. Conditions aux limites : celles-ci doivent être précisées pour chaque frontière. Extraction des résultats : on précise dans cette partie les variables à extraire et le nom des fichiers dans lesquels on souhaite les mettre. Il ne s agit bien évidemment pas là d une liste exhaustive des possibilités d un script Python pour ce qui est de la définition des conditions d un calcul, mais, sont cités les principaux paramètres que l on a été amené à modifier pendant ce stage. 11

12 Chapitre 2 Déroulement d un calcul type 2.1 TP squelette Le TP squelette est, comme il a été dit dans l introduction, le modèle sur lequel sont et seront construits tous les autres sujets de TP. Son plan doit pouvoir convenir pour n importe quel cas test. C est pourquoi on a choisi un plan chronologique qui permet aussi de bien mettre en évidence le déroulement d un calcul en insistant sur chaque étape. Le TP squelette s apparente à un cours succint de CFD organisé de manière chronologique. En effet, à chaque étape, figurent les points théoriques qui s y rattachent, sous forme de lien. S il font partie intrinsèque du déroulement d un calcul, ils apparaissent systématiquement dans l énoncé du TP, sinon, s il s agit de points se rapportant au numérique, ils apparaissent selon l objectif du sujet. Le plan du TP squelette (cf Figure 2.1) reprend donc les étapes d un calcul, à savoir : l analyse du cas physique, le prétraitement, le maillage, le calcul à proprement parler, et le post-traitement. 12

13 Fig. 2.1 TP squelette Sur ce modèle là, ont déjà été traités trois cas tests : «Plaque plane», «Calcul Euler autour d un profil NACA 0012» et «Ecoulement autour d un profil RAE2822». Nous allons voir comment chaque étape a été illustrée au sein des TP. 13

14 2.2 Analyse du cas physique Cette partie permet de poser le problème. Elle sera plus ou moins importante selon la complexité du cas. On y fixe d une certaine manière l objectif du TP : on référence dans cette partie sous forme de mots clefs les points importants du TP afin d orienter l analyse des étudiants. 2.3 Pré-traitement L étape de pré-traitement sert à créer le script Python qui sera ensuite «lu» par elsa. On calcule là les valeurs adimensionnées du champ initial et on fixe les conditions aux limites Conditions initiales Sont données dans l énoncé les paramètres nécessaires pour démarrer un calcul elsa. On donne en général le nombre de Mach, le nombre de Reynolds et l angle d incidence. les grandeurs turbulentes sont déjà initialisées dans le script Python. Le lien «Conditions initiales», précise toutes les conditions initiales que l on doit fournir à elsa (voir Figure 2.2). Fig. 2.2 Conditions initiales 14

15 2.3.2 Conditions aux limites L attribution des conditions aux limites est une étape primordiale, et qui peut ne pas être évidente. Plusieurs possibilités peuvent convenir sans pour autant qu elles donnent les même résultats. C est pour initier les étudiants à ce choix qu est donné une liste des conditions aux limites usuelles. La configuration du maillage leur est fournie avec, en couleur, les frontières des blocs du maillage pour lesquelles ils ont à choisir les conditions aux limites. Ils n auront pas cependant à entrer dans le script Python Adimensionnement Pour résoudre les équations de Navier-Stokes, il est conseillé d utiliser des quantités adimensionnées. Il n existe pas de système d unité dans elsa. C est donc à l utilisateur de rentrer des données utilisant un système d unité cohérent. La normalisation est basée sur le choix de 4 quantités indépendantes que l on prend égales à l unité. La longueur de référence est toujours prise égale à 1. Il existe quatre possibilités qui mènent aux normalisations SRPT (Static-Rho-Pressure-Temperature), SRVT (Static-Rho- Velocity-Temperature), SRCT (Static-Rho-Celerity-Temperature) et TRCT (Total-Rho-Celerity-Temperature). Selon la normalisation choisie, on fixe certaines quantités et les autres sont calculées à l aide des relations isentropiques. Le fluide est considéré comme un gaz parfait. Est détaillée ici la normalisation SRPT. On prend donc les trois variables suivantes égales à 1 : La loi des gaz parfaits donne la relation : ρ = 1, p = 1, T = 1. p = ρr gaz T, avec On en déduit : et il vient r gaz = Cv(γ 1). p = ρ (γ 1)CvT Cv = 1 γ 1. D après la relation ( γ 1 p = p t 1 + M 2 ) γ γ 1, 2 on déduit : p t = ( 1 + γ 1 M 2 ) γ γ 1. 2 De même, pour T t, d après la relation : on déduit : D après la relation : ( γ 1 T = T t 1 + M ), Tt = 1 + γ 1 M 2 2. a = (γr gaz T ), 15

16 soit : il vient : Il en découle : D après la relation : on déduit : D après la relation : il résulte : a = γ(γ 1)CvT, a = γ. U = M a = M γ. e t = C v T U2, e t = 1 γ M2 γ. h t = γcvt t, h t = γ γ 1 (1 + γ 1 M 2 2 ). Comme on connaît le nombre de Reynolds, et que l on a la relation : µ = ρ U Re il vient : µ = M γ. Re On accède aux valeurs des variables conservatives ρu, ρv et ρw grâce aux relations suivantes : ρu = ρ U cos(α)cos(β) ρv = ρ U sin(β) ρw = ρ U sin(α)cos(β) Cet exercice est proposé au début de chaque TP. Les étudiants ont un script Python à remplir. Dans un souci de facilité, les scripts ont été modifiés, on a créé de nouvelles variables qui renvoient aux valeurs adimensionnées à entrer et que l on a placées en début de script. 2.4 Maillage Le maillage sera, dans la majorité des cas, fourni. C est une étape longue qui alourdirait considérablement les TP si elle devait être répétée à chaque séance. Il est cependant souhaitable que les étudiants en aient l expérience pour apprendre à ne pas négliger cette étape et se rendre compte de l impact d un maillage plus ou moins bien fait sur le calcul. Le sujet «calcul Euler autour d un profil NACA 0012» est un TP qui s échelonnera sur plusieurs séances dont une consacrée au maillage. Le mailleur utilisé s appelle Megacads. Les étudiants ne connaissant pas le logiciel, toutes les étapes sont détaillées. Voilà, en général, comment s effectue la réalisation d un maillage : On choisit dans quel repère on va travailler. On importe les données géométriques du profil, un ensemble de points, par lequel on fait passer une courbe. On a ainsi créé la géométrie du profil (cf. Figure 2.3). On définit ensuite le domaine de calcul en créant les frontières et on crée à l intérieur les blocs du maillage qui seront discrétisés (cf. Figure 2.4). 16

17 On répartit les points du maillage aux frontières. On choisit une distribution de Poisson, de manière à avoir une discrétisation plus fine près du profil. On peut choisir la longueur des premier et dernier espacements. Pour les blocs qui ne sont pas rectangulaires, on joue sur cette valeur pour obtenir le maillage le plus orthogonal possible, ce qui est le gage d un maillage de qualité (cf. Figure 2.5). Le maillage à créer est un maillage structuré : un sommet du maillage est repéré par un triplet (i,j,k), ce qui impose une conservation du nombre de maille sur les faces «parallèles» des blocs. Pour construire le maillage, on fonctionne comme dans un repère, en reliant les points des frontières qui se font face. (cf. Figures 2.6 et 2.7). Ce maillage sera ensuite utilisé pour le calcul, ce qui permettra de voir (un peu trop tard!) si il était ou non bien fait. Pour ne pas fausser les résultats attendus dans la suite du TP, un maillage dont on est sûr est fourni. Ce qui simplifiera aussi la démarche de calcul. En effet le passage d un maillage Mégacads à un fichier d entrée elsa est long et présente de nombreuses occasions de se tromper. C est pourquoi, on a mis au point deux scripts qui reprennent les commandes à effectuer. Fig. 2.3 Géométrie du profil Fig. 2.4 configuration du maillage 17

18 Fig. 2.5 Répartition des points sur le profil Fig. 2.6 repère propre au maillage. Fig. 2.7 Maillage 2.5 Simulation numérique La simulation numérique consiste à lancer le calcul elsa. On a créé un lien «Comment lancer un calcul elsa?» vers une page qui donne les instructions pour démarrer le calcul. On y fournit le fichier batch ci-dessous, qui permet de lancer le calcul et dans lequel les étudiants auront à 18

19 préciser le script Python qu ils exécutent. Ce fichier batch est un script de commande qui permet de se «logger» sur le calculateur et d avoir accès aux processeurs de calcul. Les processeurs sont attribués selon un système de queue. Nos calculs sont assez courts et s effectent sur un seul processeur, on se met donc sur la queue «dev» pour développement. L avantage de cette queue est la rapidité de passage, mais le temps alloué par calcul est faible, aux alentours de 20 minutes.!/bin/tcsh BSUB -n 1 BSUB -o sortie%j.txt BSUB -e sortie%j.txt BSUB -q dev BSUB -J naca echo setenv MPI_USE_LIBELAN_SUB 0 cd $LS_SUBCWD source ~etienne/elsa/setupelsa.csh I3203g dec_r8_so ~etienne/elsa elsa -f naca01-1deg_v.epy echo post-traitement Le post-traitement consiste à visualiser les résultats. On utilise pour cela le logiciel Tecplot. Pour les visualisations un peu compliquées, une aide Tecplot est accessible depuis la barre d outils. Ce lien répertorie suivant les TP les visualisations à faire et guide l étudiant. On cherche à valider les résultats numériques par comparaison avec des données expérimentales, ou à observer des phénomènes physiques. 19

20 Chapitre 3 Points d étude L objectif de ce chapitre est de présenter succintement l ensemble des points théoriques abordés et de montrer comment ils ont été illustrés. 3.1 Modélisation de la turbulence elsa permet de faire des calculs non-visqueux (équations d Euler) et visqueux. La turbulence ; qui se rencontre au quotidient (panaches de fumée de cheminée d usine,...), est un phénomène physique très complexe. Pour les écoulements visqueux turbulents, elsa dispose d un grand choix de modèles de turbulence conçus grâce à une approche RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes). Le principe de cette approche est de séparer les champs conservatifs en une partie moyenne et une partie fluctuante. La partie moyenne est obtenue par application d un filtre : le filtre de Reynolds pour la pression p et la masse volumique ρ, le filtre de Favre écrit à partir de la moyenne de Reynolds pour toute les autres grandeurs physiques. Avec cette approche, de nouveaux termes issus du passage à la moyenne apparaissent et doivent etre modélisés. C est cette modélisation qui fait apparaître la viscosité turbulente µ t dont les effets viennent s ajouter à ceux de la viscosité laminaire (ou moléculaire). Les modèles à viscosité turbulente (modèles du premier ordre) sont basés sur l hypothèse de Boussinesq qui consiste à exprimer les tensions de Reynolds en fonction de la viscosité turbulente µ t que l on cherche à déterminer : avec R ij, le tenseur de Reynolds : et k énergie cinétique turbulente. R ij = µ t ( u i x j + u j x i 2 3 δ ij( R ij = 3 k=1 ) u k ) x k u u u v u w u v v v v w u w v w w w 2 3 ρkδ ij De plus, un coefficient de diffusivité thermique turbulent λ t permet de prendre en compte les effets de la turbulence sur la thermique de l écoulement. L évolution du coefficient de diffusivité thermique de la turbulence est liée aux variations de µ t. Pour déterminer µ t, plusieurs modèles sont disponibles dont plusieurs sont implémentés dans elsa : les modèles algébriques qui expriment directement µ t en fonction des variables conservatives, 20

21 les modèles à une seule équation de transport, comme le modèle de Spalart-Allmaras, permettent de calculer directement l évolution de µ t en fonction des champs conservatifs, les modèles à 2 équations de transport, comme le modèle k ω de Wilcox calculent 2 échelles de la turbulence et ces 2 échelles permettent d obtenir µ t par relation algébrique. Dans le cadre des TP, seuls les modèles de Spalart-Allmaras et k ω de Wilcox ont été présentés Modèle de Spalart-Allmaras Le modèle de Spalart-Allmaras est un modèle à 1 équation. Les modèles à 1 équation proposent soit une équation de transport liée à µ t soit à une autre grandeur de la turbulence directement liée à la viscosité turbulente Modèle k-ω Le modèle k ω est un modèle à deux équations de transport. Pour ces modèles là, la viscosité turbulente s exprime en fonction de deux grandeurs de la turbulence. On écrit une équation de transport pour chacune de ces deux grandeurs, ici : pour k, l énergie cinétique turbulente, pour ω, fréquence caractéristique de la turbulence. L inverse de ω représente l échelle de temps caractéristique de la dissipation de l énergie cinétique k. La viscosité turbulente s exprime en fonction de k et ω : µ t = ρ k ω Couche limite La couche limite est une zone située au voisinage d un corps immergé dans un fluide en mouvement, en dehors de laquelle, les effets de la viscosité sont négligeables. Elle est le siège de forts gradients des champs conservatifs. C est la capacité à plus ou moins bien prédire cette zone de l écoulement qui permet de décider si un modèle de turbulence st précis ou non. Sur le plan théorique, on distingue deux régions dans la couche limite : la première, très près de la paroi, est appelée sous couche laminaire et elle est le siège de la loi linéaire l autre, loin de la paroi, est appelée zone d équilibre et elle est le siège de la loi logarithmique. Les deux régions sont contrôlées par les valeurs respectives de la viscosité laminaire et de la viscosité turbulente, que l on retrouve dans le tenseur des contraintes : τ = (µ + µ t )( u + u t 2 3.uI) On suppose que l on étudie une couche limite de plaque plane turbulente avec un très faible gradient de pression longitudinal. Cela permet de simplifier fortement les équations de Navier- Stokes dans la couche limite. En particulier, on montre que la composante normale du cisaillement est conservée dans ce cas : τ = (µ + µ t ) u y = τ w. On définit la vitesse de frottement : u τ = τw ρ w. On introduit une vitesse et une distance adimensionnelles appelées les «variables de paroi» : U + = u u τ et y + = yu τ ν. 21

22 Sous-couche linéaire Au voisinage immédiat de la paroi, les contraintes turbulentes tendent vers 0 et la viscosité laminaire domine largement la viscosité turbulente, d où : τ = µ u y Par définition de la vitesse de frottement et en approchant la dérivée de la vitesse par son approximation linéaire, on peut écrire : Soit, τ w = ρ w u 2 τ = µ u y = µu y u = y ρ wu τ u τ µ On écrit une loi de la vitesse en fonction de la distance à la paroi. Si on réécrit cette expression en fonction des variables de paroi, on obtient la loi linéaire : La loi linéaire est vérifiée pour y + < 3. u + = y + Zone logarithmique Dans cette zone, les tensions turbulentes dominent la composante laminaire du tenseur des contrainte car la viscosité turbulente domine la viscosité laminaire. La viscosité turbulente est obtenue par produit des échelles caractéristiques de la turbulence. Des essais en souflerie montre qu on peut la modéliser comme suit : µ t = ρκu τ y. La nouvelle constante est appelée constante de Von Karman : κ = On a par ailleurs, µ t u y = ρ wu 2 τ, et d autre part, la contrainte de Reynolds reste en première approximation constante dans la direction normale à la paroi : τ = τ w = ρ w u 2 τ On obtient donc, où y représente la distance à la paroi. Soit, u µ t y = ρu2 τ = ρκu τy u y u τ ky = u y On peut intégrer cette équation par rapport à y et l écrire en fonction des variables de paroi, soit : u + = 1 k ln(y+ ) + C où C est une constante d intégration. Les très nombreux essais en soufflerie subsonique et transonique montrent que c est une constante universelle proche de 5. La loi logarithmique est valable pour des valeurs de y + supérieures à environ 30. La région comprise entre y + = 3 et y + = 30 est appelée région tampon. 22

23 Comparaison entre calculs et lois théoriques Les comportements théoriques sont obtenus sur une plaque plane. L objectif d un TP est de les retourver par simulation numérique. Pour cela, on simule avec elsa un écoulement sur une plaque plane adiabatique à M = Pour retrouver les lois linéaire et logarithmique (cf Figure 3.1), on construit les variables de paroi u + et y + et on trace la fonction u + = f(y + ). On se place en un point assez éloigné du bord d attaque de la plaque afin de disposer d une couche limite suffisamment établie. On récupère la valeur du frottement pariétal en ce point. On fait ensuite une coupe en ce même point suivant la direction normale à la paroi et on relève les valeurs de la viscosité et de la masse volumique à la paroi. Frame Sep 2006 Laminar computation -- Flat Plate uplus, uplus_th, uplus_log u+=f(y+) u+=y+ u+=5.6 log(y+) yplus Fig. 3.1 Plaque plane (modèle de Spalart) - Loi de paroi Comparaison laminaire / turbulent Les couches limites pour les régimes d écoulement laminaire et turbulent sont différentes(cf Figure 3.2). La couche limite turbulente est plus épaisse que la laminaire. En effet, la loi de variation de la vitesse dépend de la viscosité du fluide qui induit un frottement entre les couches voisines. Par rapport à un écoulement laminaire, il existe en plus de la viscosité turbulente qui renforce le terme de diffusion visqueuse. Comme l écoulement est plus visqueux, il y a besoin de plus de place pour que la vitesse locale atteigne la valeur de la vitesse amont. Comparaison des modèles de turbulence Les écoulements sur plaque plane sont les plus simples à reproduire par le calcul. On doit obtenir la même couche limite pour tous les modèles de turbulence (cf. Figure 3.2) dans la mesure où les modèles ont été mis au point pour coller aux résultats expérimentaux sur la plaque plane. Sur des configurations plus complexes, comme un profil d aile d avion par exemple, les résultats peuvent fortement différer. Dans le cadre du TP «Ecoulement autour d un profil RAE2822» 23

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