Effets des approximations numériques et de la modélisation de la turbulence sur la dynamique fine échelle d un tourbillon de Taylor-Green

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1 ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 9 aoû au sepembre Effes des approximaions numériques e de la modélisaion de la urbulence sur la dynamique fine échelle d un ourbillon de Taylor-Green R. Marin Perez a, P. Cinnella a, X. Gloerfel a a. Laboraoire DynFluid, Ars e Méiers ParisTech, 5 bd de l Hopial, 753 Paris Résumé : L éude proposée es une éape préliminaire pour le développemen d un solveur hybride RANS/LES pour les écoulemens compressibles urbulens basé sur des schémas de haue précision e des modèles de sous-maille avancés. Un ourbillon de Taylor-Green es simulé pour plusieurs choix du nombre de Reynolds en uilisan des schémas cenrés d ordre élevé. Pour chaque calcul, on éudie l effe du maillage e de l ordre de précision du schéma. Absrac : The proposed sudy is a preliminary sep oward he developmen of an hybrid RANS/LES solver for he urbulen compressible flows based on high-order schemes and advanced sub-grid models. The Taylor-Green vorex is compued for differen Reynolds numbers by using high-order cenered schemes. For each simulaion, we sudy he effec of he mesh size and of he numerical scheme on urbulen small scale dynamics. Mos clefs : ourbillon de Taylor-Green; simulaion de la urbulence Inroducion Beaucoup d écoulemens d inérê praique son régis par des phénomènes visqueux de proche paroi (gradiens de pression adverses, fores courbures, ineracions ondes de choc/couches limies) conduisan au décollemen de la couche limie e à sa ransiion vers la urbulence. Ce ype de problèmes représene encore un défi pour les solveurs numériques, car il es caracérisé par la coexisence de phénomènes (régions laminaires e urbulenes, D e 3D, esseniellemen saionnaires e foremen insaionnaires) qui imposen souven des conraines conradicoires sur les méhodes numériques uilisées. Le ravail proposé représene une première éape vers le développemen d une méhodologie numérique pour l analyse d écoulemens décollés complexes en aérodynamique. Plus précisémen, nous envisageons le développemen d un solveur numérique s appuyan sur une sraégie die hybride de simulaion de la urbulence, i.e. combinan la résoluion des équaions de Navier-Sokes moyennées (dies RANS) dans les régions caracérisées par des couches limies urbulenes aachées e la simulaion des grandes échelles (LES) dans les régions décollées e ransiionnelles [8]. Un ingrédien esseniel pour le bon foncionnemen de ces méhodes hybrides es l uilisaion de méhodes numériques précises e peu dissipaives dans les régions LES, afin de minimiser le nombre de mailles nécessaires pour résoudre les srucures fines de l écoulemen. Un bon prooype d écoulemen ransiionnan du régime laminaire au urbulen es représené par le problème-modèle du ourbillon di de Taylor-Green [, ]. Ce problème nous perme de eser le comporemen des schémas numériques duran la phase ransiionnelle e le régime urbulen en foncion de la résoluion du maillage. On monre que la résolvabilié du schéma numérique e la probabilié d une rupure de symmérie dans l écoulemen augmene avec l ordre de précision du schéma numérique uilisé e en réduisan les ermes de dissipaion numérique. Des schémas précis e

2 ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 9 aoû au sepembre peu dissipaifs fournissen une descripion plus réalise de l écoulemen dans des maillages relaivemen grossiers. Equaions régissan le problème Les modèles hybrides RANS/LES s appuien sur la similarié formelle des équaions de Navier-Sokes moyennées e des équaions de Navier-Sokes filrées, à la base respecivemen des approches RANS e LES. Pour un écoulemen compressible, la forme conservaive de ces équaions es donnée par : w +div(f c F d ) = () oùw = (ρ,ρ V,ρE) T désigneleveceur desvariablesconservaives, avec ρlamassevolumiquemoyenne (resp., filrée), V le veceur viesse moyen (resp., filré) e E l énergie oale spécifique moyenne (resp., filrée). F c = (ρ V,ρ V V +pi,ρe V +p V) T représene le flux convecif, p éan la pression moyenne (resp., filrée). F d = (,τ υ + τ,(τ υ + τ ) V q υ q ) T es le flux visqueux, où on reconnaî les conribuions du enseur des conraines visqueuses τ υ e du veceur flux de chaleur q υ ainsi que celles duenseurdesconraines dereynoldsτ edufluxdechaleururbulen q.lorsquecesderniersermes s annulen, on rerouve les équaions de Navier-Sokes compressibles sandard. Pour que le sysème () soi fermé, il fau fournir des modèles de comporemen pour les ermes de ranspor urbulen. Comme dans le cas-es présené dans la suie nous ne nous inéressons qu au comporemen des schémas de discréisaion pour le mode de calcul LES, nous omeons de décrire les modèles RANS. Dans les régions LES, la aille du filre es généralemen coïncidene avec la aille du maillage, puisque seules les échelles de aille supérieure à celle de la grille son résolues. Dans la praique, ouefois, la aille du filre n es pas connue précisémen puisque d aures faceurs de filrage implicie (viscosié numérique du schéma, raiemen emporel implicie...) viennen réduire la résolvabilié du solveur. Ces effes son pariculièremen visibles au niveau de la dissipaion de l énergie : d une par, les différens modèles de sous-maille (SGS) proposés dans la liéraure pour modéliser le enseur de Reynolds de sous-maille issu du filrage des équaions donnen une représenaion imprécise de la dissipaion de sous-maille, qui peu-êre sous- ou sur-esimée.comme pour les modèles RANS, la plupar des modèles SGS uilisen aussi un modèle de une viscosié urbulene(de sous-maille) qui, ayan un effe similaire à celui de la viscosié moléculaire, fini par baisser arificiellemen le nombre de Reynolds équivalen de la simulaion. Ces considéraions on condui au développemen de modèles de sous-maille basés sur des viscosiés d ordre élevé, n affecan que les plus haues fréquences de l écoulemen. Dans les approches dies ILES (Implici LES), la dissipaion d ordre élève es apporée par la viscosié numérique du schéma uilisé, sans l ajou explicie d un modèle SGS. Dans ous les cas, la bonne réussie d une simulaion LES repose sur un équilibre délica enre la dissipaion de sous-maille e la dissipaion inrinsèque du schéma numérique, qui doi êre quanifiée précisémen dans l espace des nombres d ondes. Dans la suie, nous uilisons le problème de Taylor-Green comme cas de référence pour comparer le comporemen de plusieurs schémas numériques d ordre élevé en ermes de dissipaion des différenes échelles de l écoulemen. Dans le bu d isoler la conribuion de la dissipaion numérique de celle du modèle de sous-maille, nous effecuons nos simulaions sans modèle supplémenaire, aure que le ermes de la dissipaion du schéma de discréisaion spaiale.. Schémas de discréisaion spaiale Dans ce ravail nous éudions deux familles de schémas numériques d ordre élevé. Les schémas de la première famille, appelés DNC (Direcional Non Compac) dans la suie, on éé conçus à l origine comme des schémas décenrés basés sur une correcion explicie de l erreur de roncaure d un schéma décenré d ordre de ype Roe [7]. Il son caracérisés par de rès bonnes propriéés de sabilié e de robusesse e on éé appliqués à une grande variéé d écoulemens [3, 9], mais il son relaivemen coûeux, à cause de l usage d une dissipaion numérique maricielle, e requièren l uilisaion de limieurs de flux pour évier l appariion d oscillaions au voisinage des

3 ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 9 aoû au sepembre disconinuiés. Ces schémas peuven êre généralisés à un ordre de précision quelconque par correcion récursive de l erreur de roncaure [7]. Afin de réduire le coû de calcul e simplifier le raiemen des disconinuiés, la marice de dissipaion des schémas DNC peu-êre remplacée par le rayon specral de la marice jacobienne du flux [3, 9]. Dans ce cas, les schémas DNC deviennen analogues à des schémas cenrés avec ajou d une dissipaion arificielle scalaire d ordre élevé [3, 6]. Pour simplifier, nous présenons la formulaion de ces schémas pour un sysème D de la forme : (w )+ f x = () où f es la foncion flux de marice jacobienne A = f w. En uilisan un schéma DNC d ordre p-, pour approcher la dérivée spaiale, on obien le sysème semi-discre suivan : (w ) j + [ ] δ(i +a δ +...+a p δ p δx )µf (δd) j j δx = (3) où d j+ = ( ap Qδp w) j+ es un flux dissipaif, Q es une marice de dissipaion (par exemple la marice de Roe). Les coefficiens a i son obenus à parir de la correcion recursive de l erreur de roncaure. Dans ce ravail, le flux d es remplacé par un erme de dissipaion scalaire basé sur des combinaisons de dérivées d ordre élevé, comme dans [4, 6] : d j+ = λ(a) j+ [ε j+ (δw) j+ ε 4j+ (δ p W) j+ ] (4) ε j = k ν j ν j = p j+ p j +p j p j+ +p j +p j (5) ε j+ = max(ε j,ε j+ ) ε 4j+ = max[,(k 4 ε j+ )] (6) où λ(a) désigne le rayon specral de A. Le second erme du membre de droie de (4) a la foncion d amorir les haues fréquences de l erreur e le premier erme n inervien qu à proximié des disconinuiés afin d empêcher la formaion d oscillaions parasies. Le schéma dissipaif ainsi consrui a un ordre de précision formel p dans les zones régulières de l écoulemen. La consane k 4 peu êre ajusée en foncion du compromis robusesse/précision que l on souhaie aeindre. Le erme nonlinéaire n es pas pris en compe ici, car nous nous inéressons uniquemen à des écoulemens subsoniques. La deuxième famille de discréisaion uilisée ici pour les comparaisons es la méhode des schémas DRP (Dispersion Relaion Preserving), iniialemen proposée par Tam & Webb []. Il s agi de différences finies cenrées, généralemen sur un sencil éendu de aille N, don les coefficiens a j son calculés en minimisan l erreur de dispersion dans l espace de Fourier. Ainsi la dérivée de f en un poin x o s écri : f N x (x ) = a j f(x +j x) j= N Pour créer un schéma opimisé sur N+ poins d ordre M(M < N), on annule les ermes du développemen de Taylor jusqu à x M e on ajoue M N relaions pour minimiser l erreur de dispersion E : ln(k x)h E = k x k x d(ln(k x)) E = (7) a j ln(k x) l où le nombre d onde effecif es défini par k x = N j= a j e ikj x. Ainsi le schéma sur poins uilisé dans nore éude [] es formellemen d ordre 4 ( relaions de Taylor) e les degrés de liberé supplémenaires permeen de minimiser l erreur E/ a =, E/ a =, E/ a 3 =, avec (k x) l = π 6 e (k x) h = π. De par leur caracère cenré, les schémas DRP ne son pas capables de raier les oscillaions maille à maille. Ces haues fréquences son donc supprimées par applicaion 3

4 ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 9 aoû au sepembre d un filre selecif. On applique ici un filre opimisé sur poins [] avec un coefficien χ de. sous la forme : 5 f f (x ) = f(x ) χd f (x ) avec D f (x ) = d j f(x +j x) 3 Résulas e discussion Le ourbillon de Taylor-Green (TG) [] es simulé pour deux valeurs du nombre de Reynolds en uilisan les schémas décris ci-dessus. Pour chaque calcul, on éudie l effe du maillage e de l ordre de précision du schéma en comparan avec les résulas de Brache [], obenus par des simulaions numériques direces (DNS). Le ourbillon TG es considéré comme un bon prooype pour décrire la formaion des peies srucures via le mécanisme d éiremen des ourbillons. Le champ de viesse iniial bidimensionnel es donné par [] : u(x, ) = sin(kx) cos(ky) cos(kz) (8) j= 5 v(x, ) = cos(kx) sin(ky) cos(kz) (9) w(x,) = () avec le nombre d onde k = π/λ =. La densié e la pression iniiales son données par : ρ(x,) = p(x,) = p + ρ [(cos(z)+)(cos(x)+cos(y))] () 6 Ici, nous choisissons p = ce qui correspond à un nombre de Mach de.8, c es-à-dire un écoulemen quasimen incompressible. Noons que l équaion () es la soluion de l équaion de Poisson pour la pression pour un écoulemen incompressible. Le domaine de calcul es représené par la boîe cubique [,π] 3. Des condiions de périodicié son imposées aux bords. Les résulas presenés on éé réalisés avec des maillages uniformes composés de 3 3, 64 3 e 8 3 cellules respecivemen. Les équaions son avancées avec un algorihme de Runge-Kua avec un pas de emps de.,.5 ou.5 en allan du maillage le plusgrossier au plusfin. Deux valeurs du nombrede Reynods, Re = 4 e Re = 3 on éé simulées. La figure monre rois vues insananées des iso-surfaces du criere Q coloriées par l énergie cinéique pourlecasre = 4. Onyremarquelaphaseiniialed éiremen desourbillons,laphasederansiion e le régime urbulen développé. La soluion a éé obenue en uilisan le schéma DNC5 dans le maillage Pour Re = 3, on observe que l éiremen se produi plus ô e les srucures deviennen plus peies en régime urbulen. Dans les figures e 3 nous fournissons un analyse plus quaniaive du comporemen des schémas en éudian l évoluion emporelle du aux de dissipaion d énergie pour différens schémas e différens choix des paramères numériques. (a) (b) (c) 4

5 ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 9 aoû au sepembre Figure Iso-surfaces du crière Q [5] pour un ourbillon de Taylor-Green à Re = 4 avec le schéma DNC5. La couleur indique la variaion de l énergie cinéique. (a) =.5, (b) = 7.5, (c) =.5. Les figures (a) e 3(a) présenen l influence de l ordre de précision des schémas DNC. Les schémas d ordre faible son plus dissipaifs que le schéma DNC5. La comparaison es réalisée avec la valeur de k 4 fournissan les meilleurs résulas pour chaque schéma. Noons que la valeur de k 4 pour les schémas Jameson e DNC3 es considérablemen plus élevée que pour le schéma DNC5. Les figures (b) e 3(b) monren les résulas pour le schéma DNC5 avec différenes valeurs de la consane k 4. Ce es perme de rouver la valeur de k 4 la plus appropriée dans nore éude e ainsi de connaîre l effe de la dissipaion arificielle sur le calcul. Finalemen, on conclu que le schéma DNC5 offre une meilleure résoluion pour k 4 =.. Les figures (c) e 3(c) représenen l effe du raffinemen de maillage. Les résulas monren que les schémas DNC on besoin d un maillage plus fin que le schéma DRP pour obenir la même précision DRP Jameson DNC3 DNC5 DNS Brache DRP k4=.8 k4=.6 k4=.4 k4=. k4=. DNS Brache DRP 3 3 DRP 64 3 DRP 8 3 DNC5 3 3 DNC DNC5 8 3 DNS Brache (a) (b) (c) Figure Taux de dissipaion de l énergie pour Re = 4. (a) Comparaison des différens schémas pour un maillage 64 3 ; (b) effe du coefficien de dissipaion k 4 pour le schéma DNC5 e un maillage 64 3 ; (c) effe du raffinemen du maillage pour le schéma DNC DRP Jameson DNC3 DNC5 DNS Brache DRP k4=.8 k4=.6 k4=.4 k4=. k4=. DNS Brache DRP 3 3 DRP 64 3 DRP 8 3 DNC5 3 3 DNC DNC5 8 3 DNS Brache (a) (b) (c) Figure 3 Taux de dissipaion de l énergie pour Re = 3.(a) Comparaison des différens schémas pour un maillage 64 3 ; (b) effe du coefficien de dissipaion k 4 pour le schéma DNC5 e un maillage 64 3 ; (c) effe du raffinemen du maillage pour le schéma DNC5. L objecif de ce ravail éai la validaion de méhodes de haue précision pour résoudre une grande gamme d échelles. Les résulas obenus pour le ourbillon de Taylor-Green permeen de conclure que les deux schémas DNC e DRP se comparen favorablemen avec la soluion DNS de Brache e al. [] basée sur des méhodes specrales. On s inéresse plus pariculièremen à la capacié du schéma DNC5 à résoudre les peies échelles urbulenes avec un sencil rédui par rappor au schéma DRP, ce qui nécessie des maillages plus fins. L éape suivane sera de valider le comporemen des modèles de urbulence dans nore solveur hybride RANS/LES. 5

6 ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 9 aoû au sepembre Références [] Brache, M.E. e al. 983 Small-scale srucure of he Taylor-Green vorex J. Fluid Mech [] Bogey, C. e Bailly, C. 4 A family of low dispersive and low dissipaive explici schemes for noise compuaion J. Compu. Phys [3] Cinnella, P. e Lera, A. A sudy of urbulen compressible flows over oscillaing airfoils by a high-order accurae numerical scheme Compuaional Fluid Dynamics Journal, Special issue 9() 57-7 [4] Jameson, A. and Schmid, W. and Turkel, E. 98 Numerical soluions of he Euler equaions by finie volume mehods using Runge-Kua ime-sepping schemes AIAA Paper 8-59 [5] Jeong, J. e Hussain, F. 995 On he idenificaion of a vorex J. Fluid Mech [6] Kim, J.W. e Lee, D.J. Adapaive nonlinear arificial dissipaion model for compuaional aeroacousics AIAA Journal 39(5) 8-88 [7] Lera, A. and Corre, C. 3 Approximaions d ordre élévé pour les écoulemens compressibles Ecole de Prinemps de mécanique des fluides, Fréjus, France 7) -7 [8] Sagau, P., Deck, S. e Terracol, M. 6 Muliscale And Muliresoluion Approaches in Turbulence Imperial College Press. [9] Saunier, O. 8 Méhode d adapaion de maillages carésiens basée sur des schémas d ordre éléve pour les équaions d Euler d un fluide compressible. Applicaion aux pales de roor d hélicopère Thèse de l Ecole Naionale Supérieure d Ars e Meiers, Paris [] Shu, C-W. e al. 3 Numerical convergence sudy of nearly incompressible, inviscid Taylor- Green vorex flow Journal of Scienific Compuing 4() -6 [] Tam, C.K.W. e Webb, J.C. 993 Dispersion-relaion-preserving finie difference schemes for compuaional acousics J. Compu. Phys [] Taylor, G.I. e Green, A.E. 937 Mechanism of he producion of small eddies from large ones Proc. R. Soc. London Ser. A