Polycopié de Physique et de Biophysique UE 3.1 : Organisation des appareils et systèmes

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1 Stage de Pré-Rentrée du Tutorat 26 août septembre 2013 Polycopié de Physique et de Biophysique UE 3.1 : Organisation des appareils et systèmes Fiches de cours Enoncés des exercices Ne peut être vendu ou utilisé dans un but commercial sous peine de poursuite. Ce fascicule de cours et d exercices a été entièrement réalisé par le Tutorat Ni les professeurs, ni la faculté ne pourront être tenus responsables de la validité des informations qu'il contient, même en cas d'une éventuelle relecture par un professeur. 1

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3 Sommaire Introduction à la physique Page 4 Chapitre n 1 : Rappels de mathématiques et de physique - Cours Page 5 - Exercices Page 33 Chapitre n 2 : Mécanique - Cours Page 41 - Exercices Page 48 Chapitre n 3 : Magnétisme - Cours Page 53 - Exercices Page 76 Chapitre n 4 : Introduction à la physique des ondes - Cours Page 86 - Exercices Page 99 Correction rapide des exercices de physique Page 103 Introduction à la biophysique Page 109 Chapitre n 5 : Solutions et compartiments liquidiens - Cours : Solutions Page Cours : Compartiments liquidiens Page Exercices Page 115 Correction rapide des exercices de biophysique Page 119 3

4 INTRODUCTION A LA PHYSIQUE Tu vas très vite entendre de nombreux préjugés à propos de la physique! Faisons d abord le point sur le top 3 des phrases qu on entend le plus souvent. «La physique, c est impossible!» Il est vrai que la physique est une matière très exigeante qui demande beaucoup de travail. Mais c est loin d être impossible, et ceux qui la travaillent sérieusement sont généralement bien récompensés! L essentiel est de ne pas avoir de lacunes du programme de terminale. Le premier chapitre de «rappels» sera donc pour toi l occasion de revoir tes éventuelles faiblesses et les combler au plus vite! Ensuite, il faudra trouver ta méthode de travail (voir plus bas). «Travailler la physique, c est inutile, ça paie pas!» La physique représente les trois quarts de l épreuve d UE3.1, coefficient 9. Si on classait les sous matières, la physique à elle seule serait le deuxième coefficient de toute l année! C est donc une matière sur laquelle il faut passer du temps et qu il ne faut pas abandonner. Durant le semestre, tu vas vite être débordé par les matières à par cœur, c est donc dès maintenant qu il faut mettre un bon coup à la physique! «Tout le monde a des mauvaises notes de toute façon!» Les notes au concours sont relativement faibles, mais le but n est pas d avoir 14, mais d avoir plus que les autres! Ne serait-ce qu un 8/20 permet de gagner de nombreuses places. C est ici que tu peux faire la différence. Quel le programme de physique cette année? Quelques notions de maths indispensables. Il faut bien les maîtriser pour comprendre les cours de physique qui suivent. Mécanique : Des mouvements, des forces, les lois de Newton, les énergies cinétique et potentielle, le travail d une force... Beaucoup de choses qui te sont familières! Magnétisme : C est l étude de la force que produisent des charges électriques en mouvement et des effets des champs magnétiques sur les particules chargées ou circuits électriques. RMN (résonnance magnétique nucléaire) : A cheval entre magnétisme et physique quantique, la RMN est à l origine d applications médicales majeures, comme l IRM fonctionnelle. Les ondes, en trois parties : généralités, ondes sonores et ondes lumineuses. La radioactivité : très médicale et en général appréciée par les P1, on étudie la décroissance radioactive mais aussi les effets des radiations sur les tissus biologiques ou encore son utilisation en thérapeutique. Comment travaille-t-on la physique? Tu as le droit à tes documents lors du concours, il s agit donc d acquérir non pas seulement un savoir, mais surtout un savoir-faire. Pour cela, il faut d abord bien comprendre le cours. Je recommande de ne pas le lire passivement, mais de prendre une feuille et un stylo et essayer de faire en même temps les démonstrations et de «deviner» la suite. Ensuite, on fait de nombreux exercices et des annales. Au programme du stage : maths, mécanique, magnétisme et introduction aux ondes! Bon courage! 4

5 Chapitre n 1 : Rappels de mathématiques et de physique Cours Nous essaierons dans ce cours de survoler l ensemble des notions mathématiques qui seront nécessaires pour résoudre les exercices de physique que vous rencontrerez lors de l année. A cela, s ajoutent de nouveaux outils mathématiques (marqués d un *) que vous devrez essayer de vite assimiler pour viser à une bonne compréhension des cours. Il n est pas nécessaire de tout retenir, vous avez le droit à vos documents lors des épreuves! PARTIE 1 : DERIVATION ET INTEGRATION Il est très important en PAES d avoir une maitrise parfaite de la dérivation et de l intégration. Ce sont des outils récurrents qui apparaitront dans la majorité des problèmes que vous rencontrerez. I. La dérivation La fonction dérivée On définit la fonction dérivée de f(x), notée f (x). En physique on la note aussi. Cette fonction permet de traduire l évolution f en fonction des valeurs de x. A titre d exemple, en considérant un problème sur un seul axe, l axe des x : - L accélération se définit par, c est la manière dont la vitesse évolue en fonction du temps - De même, la vitesse se définie par, c est la manière dont la position évolue en fonction du temps Propriétés Il y a plusieurs choses à garder en tête : Propriété fondamentale : L étude du signe de la dérivée permet d étudier les variations de la fonction. Quand f (x) est positive, f(x) est croissante, quand f (x) est négative, f(x) est décroissante. La dérivée est nulle aux extrema. (Voir exercice n équilibre et énergie potentielle.) Une fonction constante possède une dérivée nulle : cette propriété revient très souvent en physique Note : un problème classique et de vous demander de déterminer la valeur limite prise par une grandeur, par exemple «déterminez quel est la vitesse limite atteinte par une particule?». Il faut alors avoir pour réflexe de chercher à résoudre l équation : Une fonction dite linéaire, c est-à-dire qui évolue proportionnellement à la variable considérée, a une dérivée constante. Une telle fonction est représentée sous forme de droite, sa dérivée en tout point en est le coefficient directeur. 5

6 Détermination des fonctions dérivée Pour déterminer la fonction dérivée d une autre fonction, on se rapporte à un certain nombre de dérivées usuelles et de règles de calculs. Celles-ci sont à connaitre par cœur : Fonction Fonction dérivée Il arrive aussi que nous rencontrions des fonctions composées d autres fonctions, c est-à-dire des fonctions auxquelles sont appliqués d autres fonctions, leurs dérivées sont aussi à connaitre : On note u la fonction à laquelle est appliquée une autre fonction et u sa fonction dérivée de u : Fonction composée Dérivée de la composée Enfin, des règles de calculs de bases sont à connaitre pour le calcul de dérivée. Considérons deux fonctions notées u et v. On note u et v leurs dérivées respectives. Opération sur les fonctions Opération sur les dérivées 6

7 Remarques sur la dérivation d une fonction composée : Dans le cours, lorsqu une fonction f qu on dérive dépend d une variable u qui elle-même dépend de x, on emploie souvent la notation suivante : On peut être amené à faire une «triple» composition de fonctions. Par analogie, on a : Pense-bête : Il peut être facile de confondre la dérivée de cos et celle de sin. Voici un petit moyen mnémotechnique pour ne plus vous tromper : On considère que Cos est Con : il prend un dans sa dérivée, on a donc On considère que Sin est Sympa : il prend un + dans sa dérivée, on a donc II. L intégration La primitive d une fonction Soit une fonction f telle que, on dit que F est une primitive de f. Autrement dit, c est en quelque sorte «l inverse de la dérivation». Note : comme la dérivée d une constante est nulle, chaque fonction présente une infinité de fonctions primitives du fait de l existence d une constante d intégration. L ensemble des fonctions primitives d une fonction f sont notées F + k, avec. Détermination de la primitive d une fonction Pour déterminer la fonction primitive d une autre fonction, on se rapporte à un certain nombre de primitives usuelles et de règles de calculs : Fonction Fonction primitive 7

8 Il arrive aussi que nous rencontrions des fonctions composées d autres fonctions, c est-à-dire des fonctions auxquelles sont appliqués d autres fonctions, ces fonctions composées correspondent à des primitives particulières, les voici : On note u la fonction à laquelle est appliquée une autre fonction et u la fonction dérivée de u : Fonction composée Primitive de la composée Les intégrales Reprenons l exemple précédent, en notant cette fois-ci : On note la somme de toutes les valeurs prises par f entre les abscisses a et b. Comme il y a une infinité de point entre a et b, on considère que la primitive correspond à la somme d un nombre infini de termes. Il s agit de l aire sous la courbe représentant la fonction f entre a et b. Par exemple ici nous avons coloriés la grandeur : Comment calculer une intégrale? Le calcul de l intégrale nécessite la connaissance d une primitive de la fonction f. On a : Aussi, on note souvent la grandeur par l écriture Ainsi, dans l exemple choisi on a : On remarque que la constante d intégration s annule dans le calcul de l intégrale, cette dernière n y interfère donc pas. 8

9 Opération entre les intégrales Il y a un certain nombre d opération mettant en jeu les intégrales à connaitre : : c est la relation de Chasles Si pour tout x, III. alors Le développement limité * Le développement limité consiste à approximer une fonction en un point par un polynôme mettant en jeu les dérivées au même point de la fonction à approximer. On parle de développement limité d ordre n lorsque la fonction est approximée par un polynôme de degré n. On définit, au voisinage de a : Remarques importantes : Cette formule peut être lourde à appliquer et donner lieu à des erreurs d inattention. Faites le calcul des dérivées à part au brouillon. Souvent, on utilise la formule en a = 0, donc quand x est très petit. Si l énoncé ne le précise pas, on se limite en général à l ordre 1 pour éviter les calculs trop longs et lourds. Le plus souvent, au concours, on ne précisera pas quand il faut utiliser un développement limité. Il faudra donc repérer les «indices» dans l énoncé : «Calculer quand x est très proche de a», «Aux alentours de l origine» (concours 2012), «pour des valeurs de x très faibles», => Exercices 4 et 8 TD Exemples : Fonction DL de premier ordre DL en 1 DL en 0 9 DL de second ordre

10 PARTIE 2 : GRADIENT D UNE FONCTION * Comme nous allons être amenés à travailler avec des fonctions à plusieurs variables, en général 3 variables spatiales, il est important de définir la notion du gradient d une fonction. Pour cela, nous allons tout d abord introduire celle de dérivée partielle. I. Dérivée partielle d une fonction à plusieurs variables Prenons par exemple une fonction f(x,y,z) à 3 variables x, y et z. Cette fonction dispose de 3 dérivées partielles : l une par rapport à x, l une par rapport à y et une troisième par rapport à z. C est trois dérivées partielles sont respectivement notées, et. Note : à la différence des dérivées classiques, lorsqu on effectue une dérivée partielle, on utilise la lettre au lieu de d habituel dans la notation de la dérivée. Ainsi, au lieu de noter la dérivée de la fonction f en fonction de x :, on la notera : On définit ainsi la dérivée partielle de la fonction f par rapport à x : En pratique, on considère que y et z sont constants. De même : Ici, on considérera respectivement : - x et z constants pour le calculer de - x et y constants pour le calculer de Exemple : Soit une fonction qui dépend de deux variables x et t. On peut étudier les variations de la fonction quand on fait varier x à t constant. -Ainsi la dérivée partielle de f par rapport à x est : -De même, la dérivée partielle de f par rapport à t est : 10

11 II. Gradient d une fonction La gradient se définit pour une fonction scalaire f(x,y,z). C est-à-dire que la fonction f n est pas un vecteur. Il s agit alors du vecteur, noté Il faut comprendre que le gradient de f représente l évolution de la fonction f lors de variations élémentaires le long des axes c'est-à-dire lorsque x, y et z varient de façon infinitésimale. C est notion est importante en mécanique et en électromagnétisme, elle prendra tout son sens lorsque nous nous intéresserons à la définition de l énergie potentielle. Exemple : On prend une fonction f(x,y), qui prend des valeurs d autant plus élevées que la couleur est foncée. On peut représenter le gradient de la fonction comme un ensemble de vecteurs, qui indiquent le sens pour lequel la fonction augmente : On appelle la différentielle d une fonction scalaire f(x,y,z) la quantité : Physiquement, représente donc l accroissement de la fonction f, lorsque les variables x, y et z connaissent des variations infinitésimales dx, dy et dz. Exercice 2 TD Attention à ne pas confondre gradient et différentielle! Propriété fondamentale du gradient Si nous considérons un point M, quelconque de l espace, de coordonnées M(x,y,z). On a le vecteur On définit alors une variation infinitésimale de la position, telle que On réalise alors que : En d autres termes, l accroissement de la fonction f correspond au produit scalaire entre son gradient (soit son évolution lors d une variation infinitésimale) et cette même variation. 11

12 PARTIE 3 : RESOLUTION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES * L intérêt des fonctions logarithme népérien et exponentielle (notions qui doivent absolument être maîtrisées) se retrouve principalement dans la résolution des équations différentielles, très fréquente en physique. Une équation différentielle est une équation (ou un système d équations) entre une fonction inconnue et sa dérivée, la solution de cette dernière est une fonction. Nous allons nous intéresser à 3 types d équations différentielles : 1) Equations de la forme : : La variable peut être différente de x. La notation mathématique de cette équation est Y =ay, toutefois nous préférerons celle utilisée cidessus qui est plus fréquente en physique. Les solutions de cette équation sont toutes les fonctions f qui vérifient cette égalité. Elles sont de la forme : Démonstration : On a : On reconnait l expression qui est la dérivée de, autrement dit est la dérivée de Par conséquent : Soit, en appliquant la fonction exponentielle des deux coté : En notant, en retrouve bien : 2) Equations de la forme : : La variable peut être différente de x. La notation mathématique de cette équation est Y =ay + b, toutefois nous préférerons celle utilisée ci-dessus qui est plus fréquente en physique. Les solutions de cette équation sont toutes les fonctions f qui vérifient cette égalité. Elles sont de la forme : 12

13 3) Equations de la forme : : La variable peut être différente de x. La notation mathématique de cette équation est Y =ay + g(x), toutefois nous préférerons cette utilisée ci-dessus qui est plus fréquente en physique. Méthode de résolution : Tout d abord, il faut déterminer la solution générale à : Ensuite, il faut considérer la constante comme une fonction à part : Puis, il faut introduire la nouvelle expression de f(x) dans l équation différentielle : Il faut résoudre l équation différentielle obtenue en intégrant, de façon à trouver C (x) : Exercices 1 et 9 TD 13

14 PARTIE 4 : FONCTIONS SINUS ET COSINUS La fonction cosinus La fonction cosinus est une fonction paire : elle est symétrique par rapport à l axe des ordonnées. Définie sur, elle prend l allure suivante : La fonction sinus La fonction sinus est une fonction impaire : elle est symétrique par rapport à l origine. Définie sur, elle prend l allure suivante : Celle-ci est périodique de période 2π. Celle-ci est périodique de période 2π. Quelques données à connaitre par cœur De même, les fonctions cos et sin étant périodiques de période 2π, on a : et 14

15 Exemple : Pour retenir toutes ses données, il peut être pratique de tout représenter sur un cercle trigonométrique, qui permet de facilement tout percevoir : De plus, il peut être utile, notamment dans le chapitre sur les ondes, de savoir effectuer quelques manipulations avec les sinus : 15

16 PARTIE 5 : FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHME I. La fonction exponentielle Définition : La fonction exponentielle se définit sur telle que : et. Variations et signe : Elle est croissante sur et toujours positive. Propriétés : Soient a, b, n : II. La fonction logarithme népérien et le Définition : La fonction logarithme népérien est définie sur ]0 ; + [ telle que : C est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Variations et signe : Elle est croissante sur. Elle est négative sur et positive sur. Propriétés : Soient a et b : 16

17 avec avec Remarque : Logarithme décimal : On définit le logarithme décimal ou et défini sur par : C est la fonction réciproque de. 17

18 PARTIE 5 : VECTEURS I. Définitions Considérons un repère (O,x,y,z). Soient deux points A et B de coordonnées respectives : On définit le vecteur se caractérisant par : Sa direction : le long de la droite (AB) Son sens : il va de A vers B Sa norme : c est la longueur du segment [AB], elle est notée Le vecteur opposé au vecteur de même norme, même direction mais de sens contraire, noté est tel que : Les coordonnées du vecteur sont : Si on nomme les vecteurs unitaires, on peut aussi écrire : Ainsi, le vecteur vecteurs unitaires. comprend plusieurs composantes, chacune est selon un des Prenons un vecteur qu on appellera, nous pouvons décomposer ce vecteur en plusieurs composantes : Quelques opérations sur les vecteurs : Soit k et k des réels quelconques. o o o Egalité entre deux vecteurs : soit deux vecteurs, on considère que les deux vecteurs sont égaux lorsqu ils ont : même direction, même sens et même norme. Cela se traduit par une égalité entre les composantes de ces vecteurs. Ainsi, soit deux vecteurs, on a : Somme de deux vecteurs : soit deux vecteurs, on a : 18

19 Produit d un vecteur par un réel : soit un vecteur et k un réel quelconque, on a: Dans un repère orthonormé, c est-à-dire lorsque les vecteurs unitaires ont pour norme 1 et sont orthogonaux entre eux, on peut calculer la norme d un vecteur à l aide de la formule suivante : Ainsi, pour un segment AB avec, on a : En pratique, nous utiliserons un repère orthonormé dans la majorité des problèmes. Déterminer les composantes d un vecteur En physique, nous serons très souvent amenés à travailler uniquement sur une seule composante d un vecteur. Il est donc important de savoir déterminer l expression des composantes d un vecteur en fonction de sa norme. On notera F la norme de. Ici nous prenons l exemple d un vecteur, celui-ci représente une force appliqué avec un angle α par rapport à l axe (Ox). On sait que peut s écrire : Déterminons l expression de : : on sait, grâce aux formules de trigonométrie que Par conséquent : : on sait, grâce aux formules de trigonométrie que Par conséquent : Par conséquent, les coordonnées du vecteur sont : 19.

20 Rappel : Soit un triangle ABC rectangle en C, nous avons : II. Le produit scalaire Définition Soit deux vecteurs. On appelle produit scalaire de ces deux vecteurs le nombre réel noté défini par : Cette définition, purement mathématique, ne nous sera pas d une grande utilité. Il existe en effet d autres méthodes plus commodes pour calculer un produit scalaire. Les voici : Soit deux vecteurs, on a : Il s agit de la manière que vous serez amenés à utiliser le plus souvent. Soit deux vecteurs et l angle α tel que, on a : 20

21 Soit deux vecteurs et D le projeté orthogonal de sur, on a : si sont de même sens si sont de sens contraire Propriétés Le produit scalaire est commutatif : Quelques opérations avec les produits scalaires : o o o o o On note, et on a : Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux entre eux est nul : il s agit de la propriété du produit scalaire qui nous sera le plus utile! => Exercice 6 TD Théorème d Al-Kashi Soit un triangle ABC quelconque, on a : Ces formules ne sont pas forcément à connaitre par cœur. Mais en cas de besoin, il est nécessaire les avoir rapidement à disposition. Vous pouvez donc soit les noter dans un formulaire, soit rapidement les retrouver. 21

22 En effet, ces formules se démontrent très facilement grâce au produit scalaire, nous allons faire la démonstration d une seule des trois formules, les autres démonstrations étant analogues à cette dernière : Remarque : Le nouveau professeur n utilise pas ces formules dans son cours, mais on vous les laisse quand même au cas où. III. Le produit vectoriel * Définition On considère 2 vecteurs : et, exprimés sur la base composée des vecteurs unitaires. On pose : sont les différentes composantes de sont les différentes composantes de On appelle le produit vectoriel de que : respectivement selon les axes respectivement selon les axes et, noté et. et prononcé «A vectoriel B», le vecteur tel Conséquences : Si on applique cette définition aux vecteurs unitaires, nous aurons par exemple : Ainsi, on en déduit que : Retenez bien ces 3 dernières expressions, elles vous permettront d effectuer facilement la majorité de vos calculs avec les produits vectoriels. 22

23 Vous avez oubliés la formule de la définition du produit vectoriel? Cette petite astuce vous permettra de la retrouver rapidement : Tout d abord, commencez par écrire en ligne les coordonnées des vecteurs, comme ceci : Tout d abord, pour la composante selon l axe, tracez un partant de : On en déduit la composante sur : On descend d une ligne pour la composante selon l axe : On en déduit la composante sur : Pour finir, on descend d une ligne pour la composante selon l axe : On en déduit la composante sur : Soit : 23

24 Propriétés du produit vectoriel L anti-commutativité A l inverse de la majorité des outils mathématiques que vous avez manipulés jusqu à maintenant, le produit vectoriel n est pas commutatif. C est-à-dire que : L ordre des vecteurs est importante, et il faudra faire attention à toujours la prendre en compte. Cette petite astuce vous permettra de ne pas vous tromper dans le sens des vecteurs. Ici, on effectue le produit vectoriel suivant : Il vous suffit alors d imaginer que vous avec un bouchon d une bouteille, et que vous le tournez du sens de vers. Si vous êtes en train de dévisser le bouchon : le vecteur résultant sera vers le haut. Sinon il sera vers le bas. Si on avait effectuez le produit vectoriel, nous aurions trouvés le vecteur Distributivité par rapport à l addition vectorielle De même, Associativité des scalaires On considère : un vecteur, un vecteur On a alors : et deux réels notés et. Produit vectoriel de 2 vecteurs colinéaires Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul. Soit et, deux vecteurs, et leur produit vectoriel. On a alors : 24.

25 Propriété géométrique du produit vectoriel On prend un repère tel que les vecteurs et soient compris dans le plan (Oxy). On pose et tels que : On note α l angle entre et. On démontre alors que : La norme du produit vectoriel de et est l aire du parallélogramme construit par les vecteurs et. Dérivation du produit vectoriel Supposons que les vecteurs et dépendant d une variable t. On a : Produit mixte On appelle produit mixte des vecteurs la grandeur : Il s agit du produit scalaire avec du produit vectoriel de et. Par exemple, on va vu précédemment que les produits mixtes : et valent 0. Par la suite, il sera important de garder en tête une propriété du produit mixte qui est la suivante : On dit que le produit mixte est invariant par permutation circulaire. Géométriquement, le produit mixte représente le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs 25

26 A première vue, le produit vectoriel peut vous sembler compliqué. Mais en réalité, ce qu il vous sera demandé en PAES ne sera pas d avoir une maitrise «mathématiquement rigoureuse» de l outil, mais de pourvoir l utiliser aisément lorsque celui-ci apparait dans un problème. Ainsi, voici ce que vous devez retenir en priorité les propriétés suivantes du produit vectoriel : Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul. En effet, avec ces propriétés du produit vectoriel, vous pourrez toujours ramener un calcul de produit de vecteurs compliqués à un calcul simple mettant en jeu les vecteurs unitaires composants ces derniers. Bien que moins souvent utilisés, les propriétés concernant la dérivation du produit vectoriel et le produit mixtes sont à toujours avoir sous la main. => Exercices 3 et 7 TD 26

27 PARTIE 6 : QUELQUES SYSTEMES DE COORDONNEES * Afin de simplifier les calculs, on sera souvent amenés à considérer des systèmes de coordonnées différents du système cartésien classique. De tels systèmes de coordonnées permettent de travailler sur des vecteurs sans avoir à prendre en considération leurs orientations dans la majorité des calculs (les vecteurs nous intéressant servant alors de base aux vecteurs unitaires). Nous allons nous intéresser à 2 types de systèmes de coordonnées : Le système de coordonnées cylindriques Le système de coordonnées sphériques Le système de coordonnées cylindriques On note la distance et l angle Concernant l axe des z, on garde le même vecteur repères cartésiens. présent dans les On a alors comme vecteurs unitaires : tel que : ce vecteur est dans le prolongement de (HM) orienté de la même façon que dans le repère cartésien Ainsi, le vecteur a pour coordonnées : Propriétés : Il faut remarquer que, à l inverse de et z qui sont des longueurs, est un angle, il est donc sans dimensions. Les vecteurs et dépendent de l angle Quand, il s agit d un système de coordonnées polaires. L expression du gradient d une fonction f exprimée dans un système de coordonnées cylindriques : On a : o o o 27

28 Le système de coordonnées sphériques On note la distance, l angle et l angle On considère que : - : toute la rotation autours de l axe (Oz) est décrite par l angle - : seul une rotation d un maximum de 180 est décrite par l angle, en effet si la rotation dépasse cet angle, cela sera décrit par l angle qui verra sa valeur augmenter de On a alors comme vecteurs unitaires : : ce vecteur est dans le prolongement de (OM) tel que dans le plan (OzM). est orienté dans le sens de. tel que Cette fois-ci, le vecteur ne s exprime qu en fonction d un seul vecteur unitaire : Propriétés : Il faut remarquer que, à l inverse de qui a la dimension d une longueur, sont des angles, ils sont donc sans dimensions. Les vecteurs et dépendent des angles Le vecteur ne dépend quant à lui que de l angle Expression du gradient d une fonction f exprimée dans un système de coordonnées sphérique : On a : o o o 28

29 PARTIE 7 : NOMBRES COMPLEXES Nous ne détaillerons que les propriétés des nombres complexes utiles à la compréhension des cours et des exercices, en particulier de RMN et sur les ondes. I) Définition L ensemble des nombres complexes, noté, est l ensemble des nombres de la forme, où a et b sont des nombres réels et i un nombre tel que. a est la partie réelle et b la partie imaginaire de. Le module de z est : Le complexe conjugué de z est : Le plan complexe orthonormé direct est la représentation graphique qui associe un nombre z à un affixe M de telle sorte que : la notion d argument de z :. Cela nous permet d introduire II) Notation trigonométrique, notation exponentielle et formules d Euler Notations trigonométrique et exponentielle Tout nombre complexe non nul peut s écrire sous la forme : où r et sont respectivement le module et l argument de z. La notation exponentielle est souvent utilisée en physique des ondes : Cette forme sera beaucoup plus simple à manipuler. Formules d Euler : Elles sont à connaître : et Démonstration : 29

30 PARTIE 8 : RAPPELS EN PHYSIQUE DES ONDES I) Les ondes mécaniques progressives a) Définition Une onde mécanique progressive correspond à la propagation d une perturbation dans un milieu matériel, avec transport d énergie et sans transport de matière. b) Propriétés Les ondes se propagent à partir de la source dans toutes les directions qui leur sont offertes. Selon les possibilités de propagation, il existe des ondes à une dimension (ébranlement le long d une corde), à deux dimensions (vagues à la surface de l eau) ou à trois dimensions (propagation du son dans l air). On distingue deux types d ondes, selon la direction de la perturbation : -Les ondes longitudinales ont une direction de perturbation parallèle à la direction de propagation. Exemple : Ondes le long d un ressort. -Les ondes transversales ont une direction de perturbation perpendiculaire à la direction de propagation. Exemple : ébranlement le long d une corde. Les ondes se croisent sans se perturber. Elles se superposent au moment de leur croisement (cette notion est très importante!). c) Célérité et retard La célérité d une onde est la vitesse à laquelle la perturbation se propage dans le milieu. Elle dépend des propriétés du milieu de propagation (rigidité, inertie). Elle est donc constante dans un milieu homogène. Tous les points du milieu reproduisent le mouvement de la source avec un retard. Pour une source située en M, le retard de la perturbation au point M est : II). Les ondes progressives périodiques a) Définition d une onde progressive périodique Un mouvement périodique est un mouvement qui se reproduit identique à lui-même à intervalle régulier. Le mouvement périodique de la source génère une onde progressive périodique. 30

31 b) La double périodicité spatio-temporelle La perturbation d une onde progressive périodique se reproduit identique à elle-même dans le temps et dans l espace. Il y a donc une double périodicité : Temporelle : à un point donné, le mouvement de la perturbation se répète à intervalle de temps régulier. La période T est la durée d une oscillation de la source. On définit aussi la fréquence :. Spatiale : à un temps donné, le mouvement de la perturbation se répète à intervalle de distance régulier. La longueur d onde correspond à la distance parcourue par l onde pendant une période T : c) Ondes progressives sinusoïdales C est un cas très particulier où le mouvement de la source et de tous les points du milieu est une fonction sinusoïdale du temps. Vous allez particulièrement vous attarder sur ce type d onde cette année. d) Diffraction et milieu dispersif Lorsqu une onde rencontre un obstacle (une fente ou un trou) de l ordre de sa longueur d onde, l onde est diffractée : l ouverture se comporte comme une source ponctuelle et au-delà l onde se propage dans toutes les directions. Un milieu est dispersif si sa célérité dépend de sa fréquence. III) Le modèle ondulatoire de la lumière a) Ondes électromagnétiques La lumière se comporte comme une onde. Les ondes lumineuses appartiennent à la grande famille des ondes électromagnétiques. Elles se propagent en l absence de milieu matériel, et dans le vide à une vitesse. Ce sont des ondes périodiques caractérisées par une longueur d onde et une période. La fréquence de l onde est caractéristique de la longueur. Le domaine de la lumière visible est compris entre 400nm et 800nm. b) Diffraction La lumière monochromatique correspond à une lumière dont la couleur n est formée que d une seule longueur d onde. La lumière polychromatique est une lumière composée de plusieurs lumières monochromatiques. 31

32 On observe un phénomène de diffraction lorsque la lumière monochromatique rencontre un obstacle du même ordre de grandeur que sa longueur d onde. Elle est alors déviée d un écart angulaire. Pour une fente de largeur a, on a : Pour une ouverture circulaire de rayon a, on a : c) Dispersion de la lumière Dans un milieu transparent, la célérité de l onde est inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide. On définit ainsi l indice d un milieu transparent : Dans un milieu dit dispersif (comme un prisme en verre), l indice n (et donc la célérité de l onde) dépend de la fréquence de l onde. Ainsi, un milieu dispersif permet de séparer les ondes polychromatiques. 32

33 Chapitre n 1 : Rappels de mathématiques et de physique Exercices La difficulté des exercices est indiquée par le nombre d étoiles. Seuls les 5 premiers exercices seront corrigés pendant la séance d ED. Exercice 1 : Equations différentielles (*) Rédacteur : Xavier 1) Résoudre avec puis avec. 2) Résoudre avec et. Rappel des formules d équation différentielles : L équation admet pour solutions les fonctions L équation admet pour solutions les fonctions L équation admet pour solutions les fonctions Exercice 2 : Différentielle exacte (*) Rédacteur : Xavier 1) Calculer la différentielle exacte de définie par et de définie par 2) Calculer la différentielle de sachant que et Rappel : 33

34 Exercice 3 : Produit vectoriel (**) Rédactrice : Chloé A. QCM Soient et les deux vecteurs suivants : On souhaite déterminer les dispositions des vecteurs et possibles pour avoir A. B. C. D. E. B. Question rédactionnelle 1) La matière aimantée possède un moment magnétique. Lorsqu elle est soumise à un champ magnétique, on définit son moment cinétique par. a) Sachant que (à noter que peut aussi bien être négatif que positif), déterminer l équation différentielle qui donne le moment magnétique d une particule placée dans un champ magnétique donné. b) On se place maintenant dans un repère orthonormé. On suppose alors que et que Déterminer la projection selon les 3 vecteurs unitaires de l équation différentielle trouvée à la question précédente. 2) On rappelle qu un circuit considéré comme ponctuel (placé en M i ) en rotation autour d un axe de vecteur directeur et passant par O a une vitesse. Si l on applique un champ magnétique responsable sur le circuit d une force tangentielle à sa trajectoire ; le travail pendant le temps dt de cette dernière est donnée par : 34

35 Exprimer en fonction de sachant que (pour information, T est appelé moment du couple de forces exercé sur le circuit, mais ça vous le reverrez le moment voulu). Exercice 4 : Développement limité (**) Rédacteur : Adrien I) Parachutiste (rédactionnel) L expression de l altitude d un parachutiste soumis à des forces de frottement sans vitesse initiale est : Faites un développement limité d ordre 3 au voisinage de. II) Croissance de plante (QCM) On appelle la taille en mètre d une plante en fonction du temps en jour. Son expression est : Au bout de 15 jours, la plante mesure m. Calculer en utilisant un développement limité de au premier ordre au voisinage de 1. Aides : Conserver les fractions dans vos calculs. A) B) C) D) E) 35

36 Exercice 5 : Energie potentielle gravitationnelle, inspiré du concours 2012 (***) Rédacteur : Adrien L énergie potentielle gravitationnelle d un corps de masse m situé entre la Terre (de masse ) et le soleil (de masse ) a pour expression : r est toujours compris entre 0 et R. où R représente la distance Terre-Soleil. 1) Quelle est la dimension de G? A) [G] = B) [G] = C) [G] = D) [G] = E) [G] = On recherche alors une position d équilibre du système. -C est une valeur de r pour laquelle l énergie potentielle atteint un extremum. Si c est un maximum, on parle d équilibre instable, si c est un minimum, on parle d équilibre stable. -Rappel : La fonction dérivée est nulle aux extrema. 2) En déduire une équation vérifiée par cette position d équilibre en r : A) B) C) D) E) 3) Quelles sont les propositions exactes concernant la position d équilibre? (Penser à factoriser et à multiplier par l expression conjuguée) A) L équilibre est atteint en B) L équilibre est atteint en C) L équilibre est atteint en D) L équilibre est stable. E) l équilibre est instable. 36

37 Même s ils ne sont pas traités en ED, il est très important que vous fassiez les exercices qui suivent pour être le mieux préparé possible. N hésitez-pas à venir poser des questions aux tuteurs sur le forum : Exercice 6 : Produit scalaire (*) Rédactrice : Lisa A. Le travail d une force Jean essaie de monter un carton jusqu à lui. Dans un premier temps, il tire le carton de A à B en appliquant une force On rappelle que le travail d une force se calcule par le produit scalaire de la force par le déplacement du point où s applique cette force. On considère que l angle entre le vecteur représentant la force et le sol reste constant. 1) Le travail de la force appliquée par Jean est : A. 23J B. 15,3J C. 30,6J D. 10x2 sin (130) E. 7,7J Après avoir amené le carton en B, Jean continue à tirer pour le faire monter jusqu en C. 37

38 2) En considérant que la force exercée par Jean est toujours de 10N, quel est le travail de cette force? A. 7,6J B. C. 22,4J D. E. 3,4J B. Une histoire de vecteurs Soient A(2 ;4), B(3,-2), C(5 ;-1) et D(-4 ;-1). Quelles sont les propositions correctes? A. B. C. D. E. Exercice 7 : Application du produit vectoriel (**) Rédacteur : Adrien Cet exercice a pour but de vous entraîner aux calculs courants utilisant le produit vectoriel. Il doit être parfaitement maîtrisé! Partie 1 On travaille en coordonnées cylindriques dans la base orthonormée. On donne : 1) Calculer 2) Calculer 38

39 Partie 2 Aucune connaissance en magnétisme n est requise pour cet exercice. On considère un circuit électrique carré de centre 0 parcouru d un courant plongé dans un champ magnétique Sur un côté du circuit, il s exerce une force :. où est un vecteur unitaire ayant la même direction et le même sens que le courant, est la longueur du segment. Par exemple pour le segment AB : 1) Calculer la résultante des forces sur le circuit : Le moment d une force exercée sur un segment de circuit est :, avec H le milieu du segment. 2) Calculer la somme des moments des forces exercées sur le circuit : Exercice 8 : Encore plus de développements limités! (**) Rédacteur : Léon A. On considère la fonction suivante : 1) Calculer sa fonction dérivée première et seconde, en déduire les valeurs de f (0) et f (0) 2) Déterminer le développement limité d ordre 2 au voisinage de 0 lors d un accroissement, x, infinitésimal B. Considérons la fonction suivante : 1) Calculer le développement limité d ordre 1 au voisinage de 0 de la fonction f lors d un accroissement, x, infinitésimal On admet qu on exprime l aimantation M d une population de noyaux par la relation suivante : 39

40 2) En déduire d après la question précédente que M n en supposant infinitésimal. C. On considère f(x) = 1) Calculer le développement limité d ordre 1 au voisinage de 1 de la fonction f Il a été établit qu un potentiel V crée par un dipôle s exprimait de la manière suivante :, a << r, et θ un angle donné 2) En déduire d après la question précédente que V =. On négligera les termes très inférieurs à 1 et on supposera très petit. Exercice 9 : Encore plus d équations différentielles! (***) Soit la chaine de désintégration suivante : Rédacteur : Ali 1) Nous considérons l équation différentielle reliant le nombre de désintégrations radioactives du noyau A au nombre de noyaux A présents : Exprimer N A en fonction du temps. On notera N A,0 le nombre de noyaux au temps t = 0. 2) Maintenant nous nous intéressons au nombre de noyaux B. Celui-ci se traduit par l équation différentielle suivant : En prenant soin de remplacer N A par la fonction établie à la question précédente, donner l expression de N B en fonction du temps. Nous considérons N B,0 le nombre de noyaux au temps t = 0 est nul. Une méthode de résolution de ce type d équations est donnée dans le cours. 40

41 Chapitre n 2 : Mécanique Cours Introduction : C est parti pour le premier vrai cours de physique de P1! Nous avons adopté pour celui-ci une présentation particulière : les diapos contiennent les informations essentielles et pourront être utilisées comme fiches de révision ou antisèches. Nous avons rajouté des notes explicatives complémentaires en-dessous des diapos. Une fiche de formules ci-dessous récapitule le cours. Enjoy! Fiche de formules Définitions : Théorèmes : PFD : Th moment cinétique : Si forces conservatives : TEC : TEM : Utilisez les unités SI (m, kg, s, N, J ) Puis convertissez à la fin 41

42 Force Théorèmes temporels en N (=m.kg/s²) Vitesse en m/s ( est le vecteur position) Accélération en m/s² Quantité de mouvement en m.kg/s Moment cinétique en m².kg/s Impulsion par rapport à un point, souvent lors d une rotation. Moment d une force en m².kg/s² Aptitude d une force à faire tourner un objet autour d un point. Avant tout, voici quelques grandeurs que tu dois connaître. En physique on s intéresse à deux domaines : La cinématique ou le mouvement des corps (la position, la vitesse et l accélération) et la dynamique ou la cause des mouvements (les forces). Dans un référentiel (observateur) donné, on peut repérer un point ponctuel par un quadruplet de nombres réels (trois coordonnées spatiales et le temps). On utilise alors le vecteur position. La dérivée par rapport au temps de ce vecteur position est le vecteur vitesse. La dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps correspond à un vecteur accélération. La quantité de mouvement d un corps est le produit de la masse et du vecteur vitesse. Intuitivement, plus sa valeur est élevée, plus le corps en mouvement à tendance à «continuer sur sa lancée». Lors d une rotation, le moment cinétique joue un rôle analogue à celui de lors d une translation. Le moment d une force appliquée en M est son aptitude à faire tourner un corps autour d un point O. On remarque d ailleurs que lorsque et sont colinéaires, cette grandeur est nulle. Une force à tendance à faire tourner le corps autour d un axe colinéaire à son moment le point O. et passant par 42

43 Théorèmes temporels Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) Utilité : - Équations horaires : position (x,y) en fonction du temps (t) dès qu on demande un temps - Équation de trajectoire : ordonnée (y) en fonction de l abscisse (x) calculer la flèche et la portée Théorème du Moment Cinétique Utilité : exercice avec un point de rotation (ouverture d une porte, tige en équilibre ) Le PFD correspond à la seconde loi de Newton vue en terminale. Elle n est valable que dans des référentiels galiléens (le référentiel terrestre est supposé galiléen). Un cas particulier est celui où la somme des forces est nulle, l objet est alors au repos ou en mouvement rectiligne uniforme (première loi de Newton). Démonstration du théorème du moment cinétique : On a : qu on dérive par rapport au temps : (rappel : le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul) D après le PFD : Souvent, la somme des moments des forces est nulle. On en déduit que le moment cinétique est constant et on peut écrire : ou encore. 43

44 Travail (en J) Travail d une force Définition très abstraite : - De A à B représente le trajet. Il faut l équation de trajectoire et écrire le trajet en fonction de x. - dl est le déplacement élémentaire, à exprimer en fonction de x et y. Si forces conservatrices Le travail est indépendant du chemin suivi. La force dérive toujours d une énergie potentielle (en J) : Exemples : - forces conservatives : poids, force électrostatique - forces non conservatives : frottements Le travail d une force constante sur un trajet AB, rectiligne ou non, s écrit : Dans le cas d une force variable, on peut exprimer le travail élémentaire de la force sur un petit élément de trajet : Le travail total est la somme de l ensemble des travaux élémentaires sur le trajet : Notons que les forces constantes sont conservatives. Le travail d une telle force peut s écrire : Les forces fondamentales sont conservatives, comme la force de Coulomb et la force gravitationnelle. 44

45 Théorèmes énergétiques Energie cinétique Energie potentielle - poids : donc - ressort : donc - force électrostatique : donc Energie mécanique Déterminons ensemble l énergie potentielle de la force de rappel d un ressort (force conservative) : Par identification :. On cherche la primitive de : L énergie potentielle est toujours définie à une constante près choisie arbitrairement. Seule la variation d énergie potentielle a un «sens physique». A L équilibre l énergie potentielle atteint un extremum. Si c est un maximum, l équilibre est dit instable. Si c est un minimum, l équilibre est dit stable (voir schéma). Pour comprendre cette notion, imagine que tu places un ballon en équilibre au «sommet» ou au «fond» des courbes suivantes. 45

46 Théorèmes énergétiques Théorème de l énergie cinétique (TEC) Utilité : - calculer un travail. - quand l énergie cinétique s annule (soit vitesse=0) au départ/à l arrivée. - Calculer une vitesse connaissant le travail de chaque force. Théorème de l énergie mécanique (TEM) Est équivalent au TEC (on a remplacé le travail des forces conservatrices par la variation d énergie potentielle) La variation de l énergie cinétique est égale à la somme des travaux de chaque force appliquée sur le système (nécessité bilan de force +++). Dans le cas de forces conservatives, l énergie potentielle «se transforme» en énergie cinétique et inversement, d où son nom. Si un système n est soumis qu à des forces conservatives, l énergie mécanique reste constante! Mouvements circulaires uniformes Pensez au théorème du moment cinétique! Vitesse - V = vitesse (m/s) - R = rayon (m) - oméga = vitesse angulaire (tour/s ou rad/s) Accélération Orientée vers le centre du cercle, «accélération centripète». 46

47 Exemple : Th Moment cinétique Ouverture d une porte : Tori tire sur une porte avec un angle de 30 par rapport à la perpendiculaire, en plaçant sa main à 1m des gonds. De l autre côté, Uke tire perpendiculairement avec une force de 400N en plaçant sa main à 0,90m des gonds. Calculez la force appliquée par Tori si la porte ne bouge pas. Solution : Car si la porte est immobile, alors le moment cinétique est constamment nul donc sa dérivée est nulle. D où la relation (±intuitive) Conclusion Il faut connaître les (nombreuses) définitions et les (quelques) théorèmes. Un exo se résume (souvent) à choisir entre utiliser un théorème temporel ou énergétique. 47

48 Chapitre n 2 : Mécanique Exercices Tous les exercices seront traités en TD. Exercice 1 : D1 parachutiste (**) Rédacteur : Yannick Une future D1, nommée Goulard, qui pèse 63,0 Kg pour 1m80, profitant joyeusement de ses vacances décide de faire un saut en parachute. Au moment du saut, l avion est à 5000m d altitude et perd 800 m.min -1 que l on prendra comme étant la vitesse initiale de Goulard. On négligera les forces de frottement pour les 2 premières questions. On prendra. 1) A quelle sera l attitude de notre belle étudiante? A) 0 m B) 100m C) 500m D) 3000m E) 4500m 2) En combien de temps Goulard atteint-t-elle 2000m d altitude? A) 23s B) 24s C) 25s D) 26s E) 27s Arrivé à 2000m, elle décide d ouvrir son parachute et on prendra une force de frottement de norme avec. On considère qu elle atteint la vitesse limite instantanément après l ouverture du parachute. 3) Calculer la vitesse limite après l ouverture du parachute A) B) C) D) E) 48

49 4) Au bout de combien de temps (après l ouverture du parachute) Goulard touche-telle le sol? A) B) C) D) E) Exercice 2 : Travail d une force (**) Rédacteur : Nicolas Drame en ce 18 décembre, le RER amenant les P1 à Villepinte est en retard. Heureusement Flèche des indestructibles est là. Il sort du RER et pousse le train. Ainsi il réussit à augmenter la vitesse du train de 18km/h, juste ce qu il faut pour que les P1 soient à l heure au concours! 1) Sachant que le train a une masse de kg et que normalement sa vitesse de croisière, avant l intervention de Flèche, lui permet de couvrir les 18km qui séparent Paris de Villepinte en 12min, de combien l énergie cinétique du train va-t-elle augmenter? A) 1, J B) 4, J C) 6, J D) 1, J E) 8, J 2) En considérant que la force qu exerce Flèche sur le train est constante, rectiligne dans le même direction que la trajectoire du train, et qu il met 120m pour augmenter la vitesse du train de 18km/h supplémentaires, quelle est la norme de la force? A) 3, N B) 1, N C) 7, N D) 1, N E) 5, N 3) En réalité il pousse de plus en plus fort, la force qu il exerce augmente de façon proportionnelle avec la distance. Sachant qu au début il pousse avec une force de 0N et qu après 1m d effort il exercerait une force de 1500N à quelle distance a-t-il gagné les 18km/h nécessaires? A) 12,9 m B) 67,7 m C) 95,8 m D) 345 m E) 9173 m 49

50 Toto et Riri jouent sur une balançoire pour gymnastes. Exercice 3 : Toto et Riri Cette balançoire est un peu cassée, ainsi en la réparant ils ont été obligés d en déplacer l axe de rotation ; la balançoire a une longueur de 5 m mais l axe de rotation ne se trouve qu à 2,3 m de l extrémité gauche, et sa hauteur est telle que lorsque le côté gauche est au sol le côté droit se trouve à 3m du sol. La balançoire est dans le plan (xoy). Toto se place à l extrémité gauche et Riri est à l autre extrémité. On donne la masse de Toto qui est de 80kg ainsi que celle de Riri qui elle est de 65kg.La balançoire est à l équilibre avec le côté gauche qui touche le sol (le schéma représente la situation de la question 3 et 4). 1ère partie : à l équilibre Question 1 : Pour quelle(s) masse(s) de Riri la balançoire va pencher du côté de Riri? A. 66kg B. 67kg C. 68kg D. 69kg E. 70kg Question 2 : Concernant les moments des poids de Toto et Riri : A) sont de sens opposé. B) C) D) E) 50

51 2ème partie : en mouvement Question 3 : Riri saute en l air à 5 mètre de hauteur (hauteur absolue), quelle est la vitesse de Riri juste avant qu il touche la balançoire? On négligera les frottements. A) B) C) D) E) Question 4 : Quelle est la vitesse de Toto juste après que Riri touche la balançoire? A) B) C) D) E) Partie I : tennis Exercice 4 : Théorème de l énergie cinétique (**) Rédacteur : Guillaume Un célèbre tennisman espagnol lance à la main la balle en l air pour servir. Il lâche la balle à une hauteur avec une vitesse verticale vers le haut. On donne : masse de la balle et accélération de pesanteur 1) Sans considérer les frottements, quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle? A) 3,21 m B) 3,83 m C) 4,15 m D) 4,77 m E) 5,59 m 2) On considère maintenant les frottements. La balle monte à une hauteur maximale. En déduire le travail des frottements au cours de la montée : A) -0,12 J B) -0,24 J C) -0,37 J D) -0,49 J E) -0,68 J Partie II : lancer de marteau Une athlète russe (bon, d accord, elle n est pas aussi célèbre), tourne sur elle-même en tenant son marteau (une boule d acier de masse attachée à un fil de longueur, et pas un truc pour planter les clous!). Initialement, ses bras sont tendus (longueur ) et la boule a une vitesse. On négligera les frottements et la masse du fil. Le mouvement est uniquement dans un plan horizontal. On assimilera le rayon de la trajectoire circulaire à la longueur du fil plus celle des bras. 51

52 1) Tatyana fléchit les bras, ce qui amène leur longueur à. En appliquant le théorème du moment cinétique, calculer la nouvelle vitesse de la boule : A) 6 m/s B) 11 m/s C) 15 m/s D) 20 m/s E) 23 m/s 2) En appliquant le théorème de l énergie cinétique, calculer le travail effectué par les muscles fléchisseurs de ses bras : A) -208 J B) 0 J C) 350 J D) 608 J E) 750 J Aide exercice 2 : la force est toujours colinéaire au fil mais pas toujours perpendiculaire au mouvement de la boule. Le poids est perpendiculaire au mouvement à tout instant. 52

53 Chapitre n 3 : Magnétisme Cours Ce chapitre est réputé pour sa difficulté et est très souvent abandonné. Pourtant, c est l un des chapitres les plus importants, car non seulement il vaut un nombre de points conséquent au concours, mais il est aussi indispensable à la compréhension des chapitres sur la RMN et des ondes électromagnétiques qui suivent. C est maintenant qu il faut le travailler, pendant que tu n es pas encore débordé par d autres matières comme l anat. Il faut l aborder doucement, s assurer de sa bonne compréhension partie par partie, poser des questions, et faire de nombreux exercices pour se l approprier. Il y a une articulation logique du cours que tu dois repérer et que je m efforcerai de mettre en évidence par mes commentaires. Ici, tu dois maîtriser tes formules trigonométriques, les dérivées, les intégrales, les équations différentielles et surtout le produit vectoriel pour bien suivre Alors arme-toi de toutes les manières possibles pour réussir à terrasser le magnétisme et le faire tomber de son piédestal! Bon courage! PARTIE 1 : INDUCTION DE CHAMP MAGNETIQUE I) Loi de Biot et Savart Une particule chargée en déplacement émet autour d elle un champ magnétique, noté, exprimé en Tesla (T = ). Ce champ fait correspondre à chaque point M de l espace un vecteur. Par analogie, un petit élément de fil conducteur (dans lequel se déplace des électrons), situé en A, émet un champ magnétique au point M d expression : Où : est le courant circulant dans l élément de fil, en Ampère (A). est la longueur infinitésimale (très petite) de l élément conducteur. Sa direction est celle de l élément du fil, son sens est celui du courant par convention. est le vecteur. 53

54 est une constante fondamentale appelée perméabilité du vide qui vaut exactement :. Astuce : pour déterminer l orientation du champ, utilise la règle des trois doigts : le pouce selon, l index selon et le majeur indiquera la direction de. Remarque : On peut dessiner des lignes de champ autour d un conducteur. Une boussole s aligne selon les lignes de champ, c est-à-dire dans le sens de (cf «Dipôle magnétique») II) Champ crée par un fil infini Nous avons vu le champ crée par un petit élément de fil. Cependant, comprends bien que ce qui nous intéresse, c est de déterminer le champ d un fil entier! Nous allons donc voir des exemples sur la méthode à employer (voir fiche méthodologie). On travaille en coordonnées sphériques dans un repère. On peut déjà remarquer que : Etape 1 : déterminer le champ créé par un petit élément de fil On applique la loi de Biot et Savart : Etape 2 : Tout exprimer en fonction d une seule variable Nous allons exprimer toutes les variables en fonction de l angle seuls r et dl dépendent de : 54. On remarque que

55 Enfin, on remplace dans l expression de : Etape 3 : Déterminer le champ total Maintenant, nous allons additionner tous les crées par l ensemble des petits éléments qui composent le fil. Or l addition d un ensemble de composants infinitésimaux (très petits) définit l intégrale. Il faut bien choisir les bornes de celui-ci, de manière à décrire tout le fil, qui est infini : on remarque que varie entre et. Ouf! On est arrivé au bout! Si tu as compris le raisonnement, tu as probablement compris la partie la plus compliquée du chapitre. Remarque : Cette formule est un résultat de cours, à savoir utiliser (tu perdras trop de temps à la redémontrer le jour du concours)! On peut facilement adapter la formule à un fil fini (ou même semi infini), en modifiant les bornes de l intégrale : Attention au «sens» des bornes, il doit respecter les conventions qu on a fixées par rapport à et au sens du courant I (même sens). 55

56 III) Champ crée par une bobine a) Champ induit par une spire sur son axe Avant toute chose, imprègne-toi des schémas. Tu remarqueras que les composantes en dehors de l axe (Oz) s annulent à cause de la symétrie de la spire. Nous ne calculerons donc que la composante! On remarque que : Etape 1 : Déterminer le champ crée par un petit élément de fil : Loi de Biot et Savart : Dans le produit, seule la composante selon (0z) nous intéresse. Or ne nous intéresse pas car il n est pas selon. 56

57 Etape 2 : Tout exprimer en fonction d une seule variable On remarque que ne dépend ni de, ni de. En effet, ces deux derniers sont constants pour un même point P d application du champ. Donc pas de travail supplémentaire cette fois! Etape 3 : Déterminer le champ total : Il suffit de décrire le champ en intégrant selon la longueur du fil. On a fini, mais comme cette formule n est pas très pratique à utiliser, on va l améliorer un peu : Remarque : elle a l air plus lourde, mais tu verras qu elle est beaucoup plus facile à utiliser! Cas particuliers (faites les démonstrations!) : Le champ au centre de la spire (en d = 0) est : Le champ très loin de la spire (d>>r) est : 57

58 b) Bobines d Helmholtz Une bobine (ou solénoïde) est un assemblage de plusieurs spires parcourues d un courant. Il existe un montage particulier, appelé bobines d Helmholtz où l on place deux bobines de rayon R sur un même axe, espacées d une distance R. Sur le schéma suivant représente les champs émis par chaque bobine individuellement et le champ total émis par une bobine d Helmholtz. Intérêt : Cette configuration permet de créer un champ uniforme (c est-à-dire égale en tout point de l espace). Elle est à la base de nombreuses constructions, dont l IRM (imagerie par résonnance magnétique). c) Champ crée par un solénoïde infini Le champ à l intérieur d un solénoïde infini d axe (Oz) est uniforme et vaut : Avec N le nombre de spires par unité de longueur. Remarques : Pour trouver le sens du champ, «enroulez» avec votre main la spire/bobine dans le sens du courant, votre pouce sorti vers l extérieur indique la direction du champ. En dehors du solénoïde infini, le champ est nul. 58

59 PARTIE 2 : FORCE EXERCEE PAR UN CHAMP MAGNETIQUE SUR UNE PARTICULE C est bien de calculer des champs magnétiques, mais tu commences sans doute à te demander à quoi ça sert. Nous allons voir dans cette partie les conséquences de l application d un champ sur une particule en mouvement. I) Force exercée sur une charge en mouvement : Force de Lorentz a) Déviation d une particule chargée Les particules chargées sont déviées lors de leur déplacement dans un champ magnétique. Pour une particule animée d une vitesse de charge q et de masse m, l expression de l accélération est : Le poids des particules étant négligeable, on déduit à l aide du principe fondamentale de la dynamique qu il l existe une force qui s exerce sur la particule, telle que : Cette force s appelle la force de Lorentz. b) Travail de la force de Lorentz Le travail élémentaire est : = Et comme Par permutation circulaire du produit vectoriel (cf cours de mathématiques) : dt Sachant que le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul : Conséquences : La force de Lorentz ne travaille jamais. Elle ne peut pas mettre une particule immobile en mouvement (théorème de l énergie cinétique). Elle ne peut pas faire varier la vitesse d une particule. 59

60 II) Mouvement d une particule chargée dans un champ magnétique a) Caractéristique du mouvement On peut décomposer le vecteur vitesse en deux composantes : une composante et une composante dans le plan (Oxy). selon l axe (Oz) Nous avons vu que la force de Lorentz ne travaille pas, donc la vitesse totale est constante. La force selon (Oz) est nulle :. Donc, la composante est constante. Comme et sont constantes, est constante. On peut donc décrire comme un vecteur qui précesse autour de l axe de norme constante, ce qui est vérifié par l égalité : (Sa norme est bien constante : On a donc d une part : ) (le provient du fait qu on dérive des fonctions composées, de type (v u) = u v (u) ) D autre part, d après le principe fondamental de la dynamique : On en déduit l égalité : Donc : La vitesse angulaire est donc constante! 60

61 b) Trajectoire de la particule J ai procédé différemment du professeur pour ce calcul, car je trouve celui-ci plus simple. Les deux aboutissent au même résultat de toute façon. Considérons que la particule se déplace dans le plan (Oxy), perpendiculaire au champ magnétique. La force est radiale, la vitesse uniforme, on en déduit que la particule a un mouvement circulaire plan. Or, la norme de l accélération centripète s écrit : D où (PFD) : c) Application : le spectromètre de masse Le spectromètre de masse est une méthode d analyse utilisée en laboratoire : On génère des ions, on les accélère grâce à un champ électrique, puis ils pénètrent dans une zone où le champ magnétique est uniforme pour décrire un demi-cercle. En fonction de leur masse, le rayon de leur trajectoire varie. Ils sont alors détectés et identifiés en sortie. On a toujours : 61

62 PARTIE 3 : FORCE EXERCEE PAR UN CHAMP MAGNETIQUE SUR UN CIRCUIT On va maintenant s intéresser aux effets d un champ magnétique sur l ensemble d un circuit. Nous commencerons par le point de vue microscopique pour comprendre la force macroscopique. Introduction : notions d électrostatique Le professeur considère que vous connaissez ces notions d électrostatique sans réellement les expliquer. Elles ne sont pas vraiment au programme, mais elles te permettront de comprendre les prochaines lignes. Loi de Coulomb : Tu as appris au lycée que deux charges électriques distantes de r exercent l une sur l autre une force régie par la loi de Coulomb (ou interaction électrostatique) : Champ électrique : On en déduit qu une charge q émet un champ électrique (unité : autour d elle, telle qu une charge q placée en M subit une force de : avec Potentiel électrique : On définit le potentiel électrique par : Le potentiel créé par une charge q à un point M est donc (à une constante d intégration près) : On s intéresse souvent à la différence de potentiel électrique) : de deux points distants de a (ou tension 62

63 I) Effet Hall Pour rappel, un conducteur parcouru d un courant est composé de charges mobiles (électrons) et de charges fixes (positives) organisées en un réseau cristallin. On s intéresse à un conducteur soumis à un champ magnétique, parcouru par un courant orienté selon. Déterminons d abord la vitesse des électrons, qui circulent en sens inverse du courant (voir schéma). On a : Avec le nombre d électrons par unité de volume et la charge élémentaire. D où Ils subissent donc la force de Lorentz : Cette force «pousse» donc les électrons vers les y négatifs, ce qui crée une accumulation de charge négative de ce côté, une accumulation de charge positive de l autre côté. Il apparait donc un champ électrique qui engendre une force. Cette force attire les charges négatives vers les charges positives, elle est donc orientée selon au niveau des électrons. Conséquence : La force électrique contrecarre la force magnétique. 63

64 On écrit alors l égalité : On va donc avoir une différence de potentiel entre les deux côtés qui sont espacés d une distance a. Intérêt : On peut déterminer le nombre d électron dans un conducteur en le soumettant à un champ magnétique connu. On peut mesurer l intensité et la direction d un champ magnétique inconnu. Pour ça, on utilise des sondes à effet Hall, où n et b sont connus. Elles ont l avantage d être rapides, de petite taille et sensibles. II) Force de Laplace Le même champ électrique que nous avons vu pousse les charges fixes du réseau cristallin. Le nombre de charge par unité de volume a la même valeur que celle des électrons : n. La charge totale d un élément de fil de longueur dl vaut : 64

65 La force subie par le fil vaut donc : qu on réorganise un peu pour trouver : On l appelle Force de Laplace, il s agit de la force électromagnétique qui s exerce sur l ensemble des charges d un matériau conducteur. C est la force qui va déplacer macroscopiquement des circuits en présence d un champ. PARTIE 4 : DIPOLE MAGNETIQUE I) Définition d un aimant et d un dipôle On appelle un matériau qui émet un champ magnétique : aimant. Exemples : Circuit parcouru d un courant, mais aussi certaines substances spontanément aimantées (Fe, Co, Ni ), certains oxydes métalliques (magnétite, ilménite ) et des alliages (Néodyme-fer-Bore est le plus puissant d entre eux). Certaines substances peuvent être aimantées artificiellement. Lorsqu on s éloigne suffisamment d un aimant, on peut considérer celui-ci comme un dipôle magnétique. II) Champ magnétique et moment d un dipôle Loin d un aimant, le champ est dipolaire. On peut l écrire : Où est le moment magnétique (dipolaire). Ecrivons-le d une autre façon : 65

66 Pour cela, on projette le moment sur et (petit schéma pour y voir clair) : On remplace : Donc : Moment dipolaire d une spire : Nous avons précédemment montré que le champ très loin de la spire ( ) est : C est le champ d un dipôle magnétique de moment dipolaire : où S est la surface de la spire et un vecteur normal perpendiculaire au plan où se trouve la spire, et orienté de façon à ce que le courant tourne dans le sens positif trigonométrique par rapport à lui. Cette formule de fermé. est valable pour toutes les formes de spires, c est-à-dire pour tout circuit 66

67 III) Travail de retournement et énergie potentielle d un dipôle On va s intéresser au travail d une force exercée par un opérateur pour retourner un circuit dans un champ magnétique (voir schémas pour comprendre le mouvement). On prend comme modèle une spire carrée. La force de Laplace exercée sur les fils supérieur et inférieur vaut : De même pour les fils antérieur et postérieur, on a : On applique une force d un opérateur, qui est l opposé de la Force de Laplace. Le déplacement obtenu est tel qu on peut écrire le déplacement élémentaire :. Remarquons que dz est dy sont négatifs. Le travail est : Pour le fil supérieur : Pour le fil inférieur (le déplacement est l opposé de ) : Pour les fils antérieur et postérieur, le travail est nul : Donc au total : On intègre ensuite. Les bornes sont les positions initiale et finale sur l axe (0y) : avec S la surface de la spire. 67

68 D un point de vue énergétique, le système est passé d un équilibre d énergie d énergie, tel que : à un équilibre On peut donc écrire à une constante près : et de telle sorte que En généralisant, on trouve que l énergie potentielle d un dipôle magnétique est : Il y a un équilibre stable lorsque et sont colinéaires de même sens et un équilibre instable quand et sont colinéaires de sens opposé. Cette notion sera primordiale dans le chapitre de la RMN! IV) Couple agissant sur un moment magnétique De la même manière qu une force dérivant d une énergie potentielle tend à ramener un objet à sa position d équilibre stable (comme le poids tend à ramener une bille au fond d une baignoire), il existe un couple qui tend à rapprocher de pour atteindre une position d équilibre stable : Application : La boussole s oriente pour minimiser son énergie potentielle : son moment magnétique s aligne dans le sens du champ. PARTIE 5 : INDUCTION MAGNETIQUE I) Force électromotrice induite Considérons que l on met en mouvement un fil rectiligne de longueur L dans un champ constant dans le temps. La vitesse du fil vaut. Les électrons dans le fil subissent la force de Lorentz : 68

69 L effet de cette force est le même qu un champ électrique fictif, que l on appelle champ électromoteur : Une différence de potentiels entre les extrémités du fil apparait alors. On parle de force électromotrice induite ( ou f.é.m): En l écrivant différemment : Avec qu on appelle le flux magnétique de à travers le circuit : avec (pour cf définition moment magnétique) Remarques : Dans le cas d un champ variable dans le temps sur un circuit immobile, on retrouve la même formule par changement de référentiel. L intégral se fait sur la surface délimitée par la spire (c est une «double» intégrale, car on intègre sur une longueur dl²) II) Loi de Faraday Quelle que soit la cause de la variation de flux magnétique, il apparait dans le circuit une force électromotrice induite qui s écrit : Avec III) Une application : le transformateur Le transformateur est constitué de deux bobines de et spires respectivement. Un noyau de fer permet de guider les lignes de champ magnétique d une bobine dans l autre. Elles sont alimentées par une tension variable et sinusoïdale de la forme : Calculons leur flux respectif : et où S est la surface d une spire. 69