RELATIONS EFFORTS - DEFORMATIONS

Transcription

1 ET 231 LIAISOS ETRE SOLIDES RELATIOS EFFORTS - DEFORMATIOS Eléments de Résistance Des Matériaux 1- Poutre (Définition) 2- Efforts intérieurs 3- otions de contraintes 4- Relations sollicitations - contraintes - déformations 5- Moments quadratiques - Moment polaire 5-1 Calcul du moment quadratiques 5-2 calcul du moment polaire 5-3 Cas courants de I et I 0 ET231 1/7 STI2D

2 1- Poutre (définition) Une poutre est un solide engendré par une surface plane S dont le centre de gravité décrit un arc (A,B), S restant perpendiculaire à (A,B) L'arc (A,B), ensemble des centres de gravité est appelé ligne moenne (ou fibre neutre de la poutre) A Section droite S B Fibre neutre La surface S est appelée section droite de la poutre. Limites de validité du modèle: Les accidents de forme (épaulement, gorge, rainure ) dûs à des usinages engendrent des phénomènes de concentration de contraintes. Un coefficient de concentration de contrainte k ou kt doit être utilisé dans les calculs Les pièces massives ou de formes complexes ne peuvent plus être assimilées à des poutres. On a alors recours à des théories de calcul telle que celle des éléments finis (discrétisation du modèle en un nombre fini d'éléments de forme géométrique simple) 2- Efforts intérieurs (ou actions de cohésion): Les efforts intérieurs appliqués à une section droite de la poutre sont définis à partir des actions mécaniques extérieures.. A e e Partie ''-'' Partie ''+'' A B P B e e On considère un solide en équilibre sous l'action de deux glisseurs. Pour faire apparaître les efforts intérieurs, on imagine que l'on coupe la poutre par un plan P perpendiculaire à la ligne moenne (AB). Soit, le centre de gravité de la section. A e e Partie ''-'' A P F i On définit 2 parties sur la poutre: - une partie "-" à gauche de la section - une partie "+"à droite de la section On isole la partie "-". Une rapide étude de statique conduit au résultat suivant: F i = A e e avec F i effort intérieur dans la section droite Dans un cas plus général, on peut définir l'ensemble des efforts intérieurs dans la section droite d'une poutre tels que: ET231 2/7 STI2D

3 Efforts intérieurs Sollicitations T Effort normal Traction - Compression R n T T Effort tranchant Cisaillement Ä f T Ä f Ä Ä t Mt Moment de torsion Torsion Mf Moment de flexion Flexion Mf 3- otions de contraintes: ds M d F n Une contrainte représente la répartition des efforts de cohésion ramenée à une surface élémentaire dans une section droite (la section droite est orienté par n ) Par définition, une contrainte est assimilable à une pression. Unité: le Pascal (Pa) 1 Pa = 1 /m² 1 MPa = 1 /mm² 1 MPa = 10 bar Contrainte normale, contrainte tangentielle: τ(m,n) M C(M,n) σ(m,n) n On note C(M,n) la contrainte au point M pour la coupure orienté par n. Elle est projetée pour donner: sur n : σ (sigma), contrainte normale dans le plan de la coupure: τ (tau), contrainte tangentielle (nommée aussi contrainte de scission ou de cisaillement) Unité courante en mécanique: le Mégapascal (MPa) ET231 3/7 STI2D

4 4- Relations sollicitations - contraintes - déformations Sollicitations Contraintes Déformations (domaine élastique) σ Allongement l 0 σ traction Traction * l Δl σ Raccourcissement / Flambage σ compression Compression * lissement T Cisaillement τ Dans le plan de la section droite Δx Δ τ Rotation autour de la fibre neutre C τmax Torsion (pure) C σ Déformation de la fibre neutre 2F Flexion (pure) Partie comprimée Partie tendue F F σmax ET231 4/7 STI2D

5 Remarques à propos des sollicitations, contraintes et déformations: Compression: La contrainte de compression est similaire à celle de traction. Elle est produite par un effort normal. La déformation peut prendre deux aspects: un raccourcissement le flambage: ce tpe de déformation apparaît lorsque la poutre est de grande longueur. La fibre neutre se déforme (c'est une forme de flexion) et la poutre devient instable. Ce phénomène existe en construction métallique dans les poteaux par exemple (descente de charge mal étudiée) Torsion (pure): La répartition des contraintes est à remarquer. La contrainte tangentielle est nulle sur la fibre neutre. On peut en déduire que les fibres proches de l'axe n'encaissent pas les contraintes dues au couple. Il est donc fréquent de trouver des arbres de transmission creux. Si à résistance égale leur diamètre est plus grand qu'un arbre plein, ils sont en revanche moins lourds (voir la rubrique moments quadratiques, moments polaires) Flexion (pure): La répartition des contraintes est également à noter. Une poutre fléchie est soumise à deux tpes de contraintes: une contrainte normale de traction (partie tendue de la poutre, extérieure à l'arc formé par la fibre neutre) une contrainte normale de compression (partie comprimée de la poutre, intérieure à l'arc formé par la fibre neutre) la contrainte est nulle sur la fibre neutre En flexion les efforts sont repris par les fibres les plus éloignées de la fibre neutre. Il ne faut pas négliger les moments quadratiques dans le choix ou l'orientation d'une poutre. (voir la rubrique moments quadratiques, moments polaires) ET231 5/7 STI2D

6 5- Moments quadratiques - Moment polaire: Les moments quadratiques et polaires sont des valeurs théoriques calculées, qui ont pour objet de caractériser la répartition de la matière dans une section droite par rapport à un axe. On note: I: le moment quadratique de la surface par rapport à l'axe I: le moment quadratique de la surface par rapport à l'axe I 0: le moment polaire de la surface par rapport à l'axe x Unité: mm 4 Plus le moment (quadratique ou polaire) est important, plus la poutre sera en mesure de supporter les sollicitations de flexion (avec I et I) ou de torsion (avec I 0 ) Ce n'est pas la grandeur de la surface qui compte, mais comment elle est répartie par rapport à un axe 5-1 Calcul du moment quadratique: ds M Soit un élément de surface ds entourant un point M repéré par ses coordonnées dans une section droite. Par définition le moment quadratique I est tel que: I= s 2 ds Exemple d'application à une surface rectangulaire: ds d I= s 2 ds avec: ds=b.d h I=b h 2 h 2 2 d I=b[ 3 h 3 ] 2 = b [ h3 h 24 h3 24 ] 2 b I= bh3 (démonstration donnée à titre indicatif) ET231 6/7 STI2D

7 5-2 Calcul du moment polaire: On détermine le moment polaire d'une surface par rapport (barcentre de la surface) I 0 = I + I 5-3 Cas courants de I et I 0: d h b a d D I bh 3 a 4 d 4 64 D 4 d 4 64 I 0 bh 3 hb 3 a 4 6 d 4 32 D 4 d 4 32 Remarque: Pour les surfaces plus complexes, comme les profilé, les valeurs des moments quadratiques et polaires sont données par les fabricants. Il est également possible de les obtenir avec les logiciels de DAO. Expérience: On prend une règle asse souple (pour que le phénomène soit bien visible) x x 1 er cas de chargement: la règle se déforme de façon visible 2 nd cas de chargement: la déformation n'est pas perceptible Pourtant: la section est toujours la même les efforts sont identiques Ce qui a changé: L'orientation de la section, donc la valeur de I (plus grande dans le 2 nd cas) ET231 7/7 STI2D