Exercice 1. [Échauffement sur quelques inclusions] 2. Soient p, q [1, ]. Quelle inclusion y a-t-il entre L p et L q? Cette inclusion est-elle

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1 ENS de Lyon TD 1 21/09/2015 M1 - Analyse Avancée Exercice 1. [Échauffement sur quelques inclusions] 1. Soient p, q [1, ]. Quelle inclusion y a-t-il entre l p et l q? Cette inclusion est-elle continue? 2. Soient p, q [1, ]. Quelle inclusion y a-t-il entre L p et L q? Cette inclusion est-elle continue? 3. Soient p, q [1, ]. On suppose que L p L q. Montrer que l injection est continue. 4. Soient p [1, ]. Montrer que les espaces L p ([0, 1]) et L p (R) sont isométriques. 5. Soient p [1, ]. Construire un sous-espace de L p ([0, 1]) qui est isométrique à l p. Exercice 2. [Un théorème de Grothendieck] Soit 0 < p <. Soit S un sous-espace fermé de L p ([0, 1]), tel que S L. On veut montrer que S est nécessairement de dimension finie. 1. Montrer que S L Soit f 1,..., f n une famille orthonormale de S L 2. Montrer qu il existe une constante C > 0 telle que, pour presque tout x et pour tout α C n tel que α 2 1, 3. Conclure. n α i f i (x) C i=1 Exercice 3. [Espaces L p avec 0 < p < 1.] Soient (X, λ) = ([0, 1], λ), p ]0, 1[ et L p (X, λ) l ensemble des fonctions mesurables de X dans R quotienté par la relation d égalité presque partout, telles que f p p := f p dλ <. 1. Soient a, b 0. Montrer que (a + b) p a p + b p. 2. Montrer que L p (X, λ) est un espace vectoriel et que d(f, g) := f g p p est une distance. 3. Montrer que (L p (X, λ), d) est un espace vectoriel topologique complet. 4. Soient f, g : X R des fonctions telles que f 0 et g > 0 λ-pp et soit q < 0 tel que 1/p + 1/q = 1. Montrer que fg 1 f p g 1 1 q.

2 5. Soient f 1,..., f N L p (X, λ), montrer que N N f j p f j j=1 6. Soient f 1,..., f N L p (X, λ), montrer que N f j N 1 p p j=1 p La constante N 1 p p est-elle optimale? j=1 p. N f j p. 7. Montrer que si V est un voisinage convexe de 0 dans L p (X, λ), alors V = L p (X, λ). En déduire que L p (X, λ) n est pas localement convexe. 8. Soit Y un e.v.t.l.c.. Montrer que pour toute application lineaire continue T : L p (X, λ) Y, on a T (L p (X, λ)) = {0}. En particulier (L p (X, λ)) = {0}. 9. Soit une semi-norme sur L p (X, λ) telle que : L p (X, λ) R est p continue. Alors f = 0 pour tout f L p (X, λ). Exercice 4. [Espace vectoriel topologique] Soit E l espace vectoriel des fonctions continues sur l intervalle ]0, 1[, muni de la topologie pour laquelle une base de voisinages de f E est donnée par j=1 V (f, r) = {g E g(x) f(x) < r, x ]0, 1[}, r > 0. Montrer que l addition est continue, mais que la multiplication scalaire ne l est pas. Exercice 5. [Semi-normes et métrique] Soit E un espace vectoriel topologique dont la topologie T est induite par une famille dénombrable (p n ) séparante de semi-normes. Démontrer que T est la topologie induite par une distance invariante dont on donnera une formule explicite. Comparer les notions de "partie bornée", de "suite de Cauchy" et d "espace complet" dans l e.v.t. (E, T) et dans l espace métrique (E, d). Exercice 6. [Convergence uniforme sur tout compact.] Soit Ω R d un ouvert. Pour tout compact K Ω on définit la semi-norme p K (f) := fχ K. 1. Montrer que C(Ω) muni de la famille de semi-normes {p K } K est un espace de Fréchet. 2. Montrer que la topologie de C(Ω) n est pas normable. Si A C(Ω) et K Ω est un compact, on définit A K := A χ K = {fχ K : f A}. 3. Montrer que A C(Ω) est relativement compact si et seulement si A K C(K) est relativement compact pour tout K. 4. Faire un parallèle avec le théorème d Ascoli-Arzela.

3 ENS de Lyon TD 2 28/09/2015 M1 - Analyse Avancée Exercice 1. [Moyennabilité] Soit Γ un groupe dénombrable. On dit que Γ est moyennable s il existe une forme linéaire non-nulle Λ sur l (Γ) qui est invariante par translation à gauche (i.e. f l (Γ) γ Γ Λ(γ f) = Λ(f)), positive (i.e. si f 0 alors Λ(f) 0) et telle que Λ(1 Γ ) = 1. Une telle forme linéaire est encore appelée une moyenne sur Γ. 1. On considère l opérateur S : l (Z) l (Z) tel que (Sf)(n) = f(n + 1). Montrer que Im(S Id) = Vect({m f f, f l (Z) et m Z}). 2. Vérifier que C := {f l (Z), ε > 0 f ε} est convexe, ouvert et contient 1 Z. 3. Montrer que C et Im(S Id) sont disjoints. 4. En déduire que Z est moyennable. 5. ( ) Montrer que le groupe libre à deux générateurs F 2 n est pas moyennable. Exercice 2. [Fonctions harmoniques] Soit Γ un groupe engendré par une partie finie symétrique S Γ, i.e. S = S 1. On note Cay(Γ, S) le graphe de Cayley associé à Γ. Les sommets de ce graphe sont les éléments de Γ. Deux sommets γ 1, γ 2 Γ sont reliés par une arête si il existe s S tel quel γ 1 = γ 2 s. On appelle fonction harmonique toute fonction f définie sur les sommets du graphe de Cayley et à valeurs dans R vérifiant pour tout γ Γ : f(γ) = 1 f(γ ), deg(γ) γ γ où deg(γ) désigne le nombre d arêtes reliant le sommet γ, et γ γ les sommets liés à γ par une arête. On se propose de montrer le théorème suivant : Théorème 1. Toute fonction harmonique positive sur Z 2 est constante. On note S = {(1, 0), ( 1, 0), (0, 1), (0, 1)} Z Représenter le graphe de Cayley Cay(Z/nZ, {1, 1}). Représenter le graphe de Cayley Cay(Z 2, S). 2. Montrer que toute fonction harmonique sur un groupe fini est constante. 3. Notons H + 1 (Z 2 ) l ensemble des fonctions harmoniques positives définies sur Z 2 vérifiant f(0, 0) = 1. Montrer qu il suffit de vérifier que (H + 1 (Z 2 )) ext = {1}. 4. Soit f (H + 1 (Z 2 )) ext. Montrer que pour tout x Z 2 et tout s S, 5. En déduire que f 1, puis conclure. f(s + x) = f(s)f(x).

4 6. (*) Généraliser au cas des groupes abéliens de type fini. Exercice 3. [Matrices bistochastiques] On dit qu une matrice n n à coefficients positifs est bistochastique si la somme des coefficients de chaque ligne et de chaque colonne vaut 1. Montrer que toute matrice bistochastique peut s écrire comme combinaison convexe de matrices de permutation (i.e. de matrices de la forme (δ i,σ(i) pour σ S n, groupe symétrique à n éléments). Exercice 4. Soit K un espace métrique compact et T un homéomorphisme de K. 1. Montrer qu il existe une mesure de probabilité µ sur K qui est T -invariante, c est-àdire telle que T µ = µ, où T µ(a) := µ(t 1 A). 2. Montrer qu il existe une mesure de probabilité µ sur K qui est T -invariante et ergodique, c est à dire telle que si A K est tel que µ(t (A) A) = 0, alors µ(a) {0, 1}. 3. Soit S un homéomorphisme de K qui commute avec T. Montrer qu il existe une mesure de probabilité µ sur K qui est T et S invariante. Exercice 5. Soit c 0 l l espace de Banach des suites qui tendent vers 0, muni de la norme. 1. Montrer que la boule unité de c 0 n a pas de point extrémal. 2. Montrer que la boule unité de L 1 ([0, 1]) n a pas de point extrémal. 3. En déduire que c 0 et L 1 ([0, 1]) ne sont pas isométriques au dual d un espace de Banach. Exercice 6. Soit K un espace métrique compact. On rappelle le théorème de représentation de Riesz : C(K) = M(K) l ensemble de mesures de Radon sur K. Quels sont les points extrémaux de (M(K)) 1? Exercice Soit H un espace de Hilbert. Monter que tout élément e H de norme e = 1 est extrémal dans la boule unité de H. 2. Soit C un sous-ensemble convexe de l e.v.t. E. On note C l intérieur de C. Montrer que si x C et y C alors tx + (1 t)y C pour tout t (0, 1]. 3. Soit C R n un convexe compact. Montrer que chaque x C est combinaison convexe d au plus n + 1 points extrémaux de C. Exercice 8. Soit X un espace normé de dimension infinie. Montrer que tout voisinage faible de 0 contient une droite. En déduire que la topologie forte et la topologie faible sont distinctes.

5 ENS de Lyon TD 3 5/10/2015 M1 - Analyse Avancée Exercice 1. Soient (X, µ) un espace mesuré et p, q ]1, + [ tels que 1/p + 1/q = On définit l application Φ p : L p (X, µ) L q (X, µ) par Φ p (f)(g) = Φ p f (g) := fgdµ. Montrer qu elle est bien définie et continue. 2. Montrer que pour p > 1, l application Φ p est une isométrie, c est-à-dire que Φ p f = f p. 3. En déduire que Φ p (L p (X, µ)) L q (X, µ) est un sous-espace de Banach. Exercice 2. Soit p [2, + [. 1. Montrer que pour tous α, β 0, α p + β p (α 2 + β 2 ) p En déduire pour a, b R, l inégalité p a + b 2 + a b 2 3. Montrer que L p (X, µ) est uniformément convexe. Exercice 3. Soit p ]1, [. p 1 2 ( a p + b p ). 1. Déduire des exercices précédents que, pour tout p ]1, [, l espace L p (X, µ) est réflexif. 2. Soit Φ p comme dans l exercice 1. Montrer que (Φ p ) = Φ q. 3. Montrer que Φ p est bijective, i.e. L p (X, µ) est isomorphe au dual de L q (X, µ). Exercice 4. [Théorème de Stone-Weierstrass] Soit K un espace métrique compact, et A une sous-algèbre de C(K) (i.e. un sous espace-vectoriel stable par produit qui contient les fonctions constantes) qui sépare les points de K (i.e. x y K, il existe f A, f(x) f(y)). On veut montrer que A est dense dans C(K). On note M(K) l ensemble des mesures de Radon sur K. 1. On définit l ensemble C M(K) par C = {µ M(K) 1 : Montrer le théorème dans le cas où C = {0}. K fdµ = 0, f A}. 2. On suppose désormais que C {0}. Soit µ un point extrémal de C, et soit f A telle que 0 < f < 1. On définit µ 1 et µ 2 par dµ 1 = fdµ, dµ 2 = (1 f)dµ. Montrer que µ 1 et µ 2 appartiennent à C, et que µ 1 + µ 2 = µ. En déduire qu il existe une constante 0 < c < 1 telle que µ 1 = cµ.

6 3. Montrer que toute fonction f A vérifiant 0 < f < 1 est constante sur suppµ. 4. Conclure. Exercice 5. Soit k N et e k la suite dont le k-ième terme vaut 1 et les autres 0 et soit S := {ϕ (c 0 ) : n ϕ(e n) = 0}. 1. Montrer que S est fermé pour la topologie de la norme et la topologie σ((c 0 ), (c 0 ) ). 2. Montrer que S n est pas forcément fermé pour la topologie préfaible (σ((c 0 ), c 0 )) (en particulier, dans un dual, un convexe fermé pour la topologie de la norme n est pas nécessairement fermé pour la topologie préfaible). Exercice 6. Soit {x m } l 2 la famille de suite de la forme 0 x m si n < m n = m si m = n 0 si n > m Montrer que la suite (0) est dans l adhérence faible de {x m }, mais qu aucune sous-suite de {x m } ne tend faiblement vers (0). Exercice 7. Soit K un espace topologique localement compact et soit C 0 (K) l espace des fonctions continues sur K qui tendent vers 0 à l infini. Montrer qu une suite (f n ) C 0 (K) est faiblement convergente si et seulement si elle est uniformément bornée en norme et elle converge ponctuellement. Exercice 8. Soient E et F deux espaces de Banach et T : E F une application linéaire. 1. Montrer que si T est continue par rapport aux topologies faibles de E et F, alors T est bornée. 2. Montrer que si T est continue par rapport à la topologie faible de E et la topologie de la norme de F, alors T (E) est de dimension finie. Exercice 9. [Minimisation d une fonctionnelle convexe] Soit E un espace vectoriel normé, et φ : E R une fonction convexe et semi-continue inférieurement (s.c.i.) : {φ > λ} est ouvert dans E pour tout λ. 1. Montrer que φ est faiblement s.c.i. (i.e. s.c.i. dans E muni de la topologie faible). 2. On suppose E réflexif, et φ coercive : φ(x) =. x Soit C E non vide, convexe et fermé. Montrer que φ C atteint son minimum.

7 ENS de Lyon TD 4 12/10/2015 M1 - Analyse Avancée Exercice 1. Calculer pour tout p, q N, T = x p δ (q). Exercice Soit f une fonction mesurable bornée et d intégrale égale à 1 et soit f n (x) := nf(nx). Etudier la convergence au sens des distributions de la suite (f n ). 2. Soit Λ n la distribution associée à la fonction sin(nt) πt. Montrer que Λ n converge vers δ Soit Λ n la distribution associée à la fonction cos(nt). Montrer que Λ n converge vers la distribution nulle. Exercice 3. Soit a un réel positif et soit f la fonction définie par { x si x < a f(x) := 0 si x a. Déterminer la dérivée de f au sens classique et au sens des distributions. Exercice Montrer que la fonctionnelle vp ( ) 1 (ϕ) := lim x ε 0 x ε ϕ(x) x dx est une distribution sur R et en préciser l ordre. 2. Montrer que xvp(1/x) = Déterminer la dérivée (au sens des distributions) de ln x. Exercice 5. Soit F N (t) := 1 N 2π k= N eikt, soit Λ N la distribution associée à F N et soit ϕ D(R) de support contenu dans [ (2M + 1)π, (2M + 1)π]. Montrer que Λ N (ϕ) = 1 2π π π sin((2n + 1)t/2) sin(t/2) Montrer que Λ N converge vers p Z δ 2πp. Exercice 6. [La formule des sauts] M k= M ϕ(t + 2kπ)dt. Soit (x n ) n 1 une suite strictement croissante de R telle que lim x n = +. On pose x 0 =, Ω j =]x j, x j+1 [ et Ω = j 0 Ω j. Pour tout j N, soit f j C 1 (Ω j ) telle que f j L 1 (Ω j ). On introduit les fonctions f et {f } définies p.p. dans R par f = f j dans Ω j, et {f } = f j pour tout j. Montrer qu au sens des distributions où σ j = f(x + j ) f(x j ). f = {f } + σ j δ xj, i=1

8 Exercice Soient ϕ, θ D(R) telles que θ(0) = 1. Montrer qu il existe une fonction ψ D(R) telle que ϕ(x) ϕ(0)θ(x) = xψ(x). 2. Montrer que l espace des solutions de l équation xλ = 0 dans D (R) est le sous-espace {cδ 0 } avec c C. 3. Soit n N. Déterminer l espace des solutions de l équation x n Λ = Soit n N. Déterminer l espace des solutions de l équation x n Λ = 1. Exercice On considère dans l intervalle I =]a, b[ deux fonctions f et g de classe C. Démontrer que toute distribution Λ D (I) qui est solution de Λ + fλ = g, est une fonction de classe C et vérifie l équation au sens usuel. 2. Montrer que si Λ = 0, alors Λ est la distribution associée à une fonction constante. 3. Soit f C (R). Trouver toutes les solutions de Λ + fλ = Soit f C (R) et Λ 0 D (R). Trouver toutes les solutions de Λ + fλ = Λ Résoudre au sens des distributions les équation suivantes Exercice 9. Λ 4Λ + 2Λ =0, Λ 4Λ + 2Λ =δ Soit Ω un ouvert de R d et soit δ 0 la (distribution associée à la) mesure de Dirac en 0. Montrer que il n existe aucune fonction localement intégrable f telle que δ 0 = Λ f. 2. Soit µ une mesure de Radon sur Ω. Quand peut-on identifier la distribution associée à µ à une fonction localement intégrable? Exercice Pour tout n N donner un exemple de distribution Λ D (R) d ordre n. Construire une distribution d ordre infini. 2. Montrer que la fonctionnelle linéaire Λ(f) := 0 e 1 t f(t)dt, n est pas bornée et donc n est pas une distribution.

9 ENS de Lyon TD 5 19/10/2015 M1 - Analyse Avancée Exercice Soient ϕ, θ D(R) telles que θ(0) = 1. Montrer qu il existe une fonction ψ D(R) telle que ϕ(x) ϕ(0)θ(x) = xψ(x). 2. Montrer que l espace des solutions de l équation xλ = 0 dans D (R) est le sous-espace {cδ 0 } avec c C. 3. Soit n N. Déterminer l espace des solutions de l équation x n Λ = Soit n N. Déterminer l espace des solutions de l équation x n Λ = 1. Exercice On considère dans l intervalle I =]a, b[ deux fonctions f et g de classe C. Démontrer que toute distribution Λ D (I) qui est solution de Λ + fλ = g, est une fonction de classe C et vérifie l équation au sens usuel. 2. Montrer que si Λ = 0, alors Λ est la distribution associée à une fonction constante. 3. Soit f C (R). Trouver toutes les solutions de Λ + fλ = Soit f C (R) et Λ 0 D (R). Trouver toutes les solutions de Λ + fλ = Λ Résoudre au sens des distributions les équation suivantes Exercice Montrer que supp(δ 0 ) = {0}. 2. Montrer que supp(vp(1/x)) = R. 3. Montrer que (δ a Λ)(ϕ) = Λ(ϕ( + a)). 4. Calculer δ 0 δ 0. Λ 4Λ + 2Λ =0, Λ 4Λ + 2Λ =δ Soit Λ D (R), montrer qu il existe une distribution η à support compact telle que η Λ = Λ (k). Exercice Soit Λ D (R), montrer qu il existe Λ 0 D (R) telle que Λ 0 = Λ. 2. Plus généralement, montrer que l application linaire D + λi : D (R) D (R) admet un inverse à droite, où ((D + λi)λ)(ϕ) = Λ(ϕ ) + λλ(ϕ). Exercice Soit λ R. Trouver une distribution Λ D (R) avec supp(λ) R + telle que (δ 0 λδ 0 ) Λ = δ En déduire que pour tous a 1,..., a n R et Λ 0 D (R) telle que supp(λ 0 ) R +, il existe une distribution Λ telle que supp(λ) R + et k a kd k Λ = Λ 0.

10 Exercice 6. On considère dans le plan la distribution définie par la fonction { 1 si t x > 0 2 E(x, t) = 0 si t x 0 On pose = 2 t 2 x (l opérateur des ondes). Calculer au sens des distributions E. Exercice 7. On considère dans R R la fonction E(x, t) = H(t) 4πt exp( x2 4t ), où H(t) = χ t 0 est la fonction de Heaviside. Montrer que E définit une distribution sur R 2. On pose P = t 2 x (l opérateur de la chaleur). Calculer P E au sens des distributions.

11 ENS de Lyon TD 6 2/11/2015 M1 - Analyse Avancée Exercice 1. Soit A : D(R n ) C (R n ) une application linéaire continue. On suppose que A commute aux opérateurs de translation. Montrer qu il existe une unique distribution T D (R n ) telle que Aϕ = T ϕ, ϕ D(R n ). Exercice 2. que 1. Soient S, T D (R n ) vérifiant : pour tout R > 0, il existe C > 0 tel Donner un sens à T S. (x suppt, y supps, x + y R) x, y C. 2. On définit D +(R) l ensemble des distributions à support dans R +. Montrer que D +(R) est une algèbre commutative pour la convolution, ayant δ comme élément neutre. Exercice Montrer que toute fonction mesurable dominée par un polynôme définit une distribution tempérée. 2. Montrer que pour 1 p, toute fonction f L p définit une distribution tempérée. 3. En considérant f(x) = exp(x) cos(exp(x)) dans R, montrer qu aucune de ces conditions est nécessaire. Exercice Soient f, g S(R n ). On suppose que f g est identiquement nulle. Peut-on affirmer que f ou g est nulle? Et si f = g? 2. Même question si f S et g E. Exercice Calculer Fδ (m). 2. Montrer que vp(1/x) est une distribution tempérée et calculer sa transformée de Fourier. 3. Trouver une distribution tempérée Λ telle que FΛ = H est la fonction d Heaviside. 4. Calculer la tranformée de Fourier de x. 5. Démontrer que dans S (R), on a lim λ + eiλx vp(1/x) = aδ 0, a C. Exercice 6. Soit k > 0 et u une distribution tempérée sur R tels que Montrer que u (j) L 2 (R) pour 0 j 4. u (4) + ky L 2 (R). Exercice 7. Soit Λ S (R n ) telle que Λ = Montrer que supp(fλ) {0}. 2. Montrer que les seules fonctions u de classe C 2 telles que u = 0 et à croissance modérée sont des polynômes.

12 Exercice 8. On considère la distribution Λ = j Z δ j. 1. Montrer que Λ S (R). 2. Soit u(x) = e 2iπx. Montrer que pour tout ϕ D(R) on a ufλ(ϕ) = FΛ(ϕ). 3. Soit Λ 0 une distribution telle que (u 1)Λ 0 = 0. Montrer que Λ 0 = j Z a jδ j. 4. Montrer que FΛ = Λ. 5. En déduire que pour tout ϕ S(R), on a j Z ϕ(j) = j Z F(ϕ)(j).

13 ENS de Lyon TD 7 16/11/2015 M1 - Analyse Avancée Exercice 1. Soit Ω =]0, 1[ 2. Trouver une fonction f dans L 1 (Ω) telle que f n est pas dans W 1,1 (Ω) et x y f = 0 au sens des distributions. Exercice 2. Un ouvert Ω R n est dit étoilé par raport à x Ω si toutes les demi-droites d origine x rencontrent Ω en un seul point. Soit Ω R n un ouvert étoilé borné. Soit Ω k := {x W l,p (Ω), on note u k (x) = u( k 1x). k 1. Montrer que u k u W l,p (Ω) tend vers Montrer que C ( Ω) est dense dans W l,p (Ω). : k 1 x Ω} et pour tout u k Exercice 3. Soient u W k,p (Ω) et v W k,q 0 (Ω) où 1/p + 1/q = 1. Montrer que pour tout α < k, on a α uvdx = ( 1) α u α vdx. Exercice 4. Soit 1 p et u W 1,p (]0, 1[). Ω 1. Montrer qu il existe C R tel que u(x) = C + x Du(t)dt pour presque tout x. Dans 0 la suite, on écrira W 1,p (I) C(Ī) et on identifiera toute fonction u W 1,p (I) au représentant continu de sa classe d équivalence modulo égalité presque partout. Cela permet en particulier de consiédrer la valeur de u en un point x Ī (ce qui n était pas du tout évident a priori puisque u est définie modulo égalité presque partout). 2. Montrer que W 1,p (I) L (I). 3. Montrer que u est une fonction höldérienne d exposant 1 1/p. 4. Soit u C(]0, 1[). On suppose qu il existe w L p (]0, 1[) tel que u(x) = x 0 w(t)dt pour tout x. Montrer que u W 1,p (]0, 1[) et Du = w. 5. Montrer que W 1,p (I) est une algèbre. Exercice 5. Soit I =]a, b[ un intervalle ouvert borné de R. 1. Si p > 1, montrer que l injection W 1,p (I) C(Ī) est compacte : de toute suite bornée dans W 1,p (I), on peut extraire une sous-suite convergente dans C(Ī). 2. Montrer que 3. Démontrer l inégalité de Poincaré : W 1,p 0 (I) = {u W 1,p : u(a) = u(b) = 0}. C > 0, u W 1,p 0 (I), u L p C u L p. Ω

14 Exercice 6. [Changement de variables] Soient Ω 1, Ω 2 R n des ouverts et f : Ω 1 Ω 2 un difféomorphisme C k, tel que f C k ( Ω 1 ) et f 1 C k ( Ω 2 ). Soit F : W k,p (Ω 1 ) W k,p (Ω 2 ) l application linéaire F (u)(y) = u(f 1 (y)). Montrer qu il existe des réels positifs c 1 et c 2 tels que pour tout u W k,p (Ω 1 ), on a c 1 u k,p F (u) k,p c 2 u k,p. Exercice 7. Montrer qu une fonction u est dans W 1, (R d ) ssi elle est lipschitzienne et bornée.

15 ENS de Lyon TD 8 23/11/2015 M1 - Analyse Avancée Exercice 1. Soit Ω R n un ouvert borné par rapport à une direction. 1. Montrer qu il existe C > 0 tel que u 2 L 2 (Ω) C Ω u 2 dx, u W 1,2 0 (Ω). 2. Montrer que la forme bilinéaire (u, v) 0 := u vdx est un produit scalaire sur Ω W 1,2 0 (Ω) et que la topologie induite par ce produit scalaire est la même que la topologie de la norme 1,2. Exercice 2. Soit Ω R n un ouvert borné. Pour u W k,p 0 (Ω) on définit u = α u p p α =k 1 p. Montrer que u p (diamω) k u. Exercice Soit Ω R n un ouvert, montrer que L 2 (Ω) s injecte dans (W 1,2 0 (Ω)). Dans la suite on posera W 1,2 (Ω) := (W 1,2 0 (Ω)). 2. Montrer qu on a une injection canonique W 1,2 (Ω) D (Ω). 3. Montrer que f W 1,2 (Ω) si et seulement s il existe f 0, f1,..., f n L 2 (Ω) tel que f = f 0 + n i f i. i=1 4. Montrer que la norme duale est équivalente à la norme suivante : ( n 2 n f := inf fi dx) 2 tel que f = f 0 + i f i. i=0 Ω Exercice 4. Soit Ω R n un ouvert, soit f W 1,2 (Ω) et soit µ R un réel positif. Montrer qu il existe une unique solution faible v W 1,2 (Ω) de i 1 u(x) + µu(x) = f(x) u(x) = 0 pour x Ω pour x Ω. Montrer que si Ω est borné par rapport à une direction, il existe une unique solution faible à l equation différentielle précédente.

16 Exercice 5. Soit Ω R n un ouvert borné par rapport à une direction. Soit A = (a ij ) ij une matrice n n symétrique où les a i,j sont des fonctions de Ω à valeurs réelles bornées. Supposons qu il existe θ > 0 tel que a ij (x)ξ i ξ j θ ξ 2, pour tout ξ R n et s Ω. i,j de Montrer que pour tout f W 1,2 (Ω), il existe une unique solution faible v W 1,2 (Ω) ij i (a ij (x) j u(x)) = f(x) u(x) = 0 pour x Ω pour x Ω. Exercice 6. [Minimisation d une fonctionnelle convexe] Soit E un espace vectoriel normé, et φ : E R une fonction convexe et semi-continue inférieurement (s.c.i.) : {φ > λ} est ouvert dans E pour tout λ. 1. Montrer que φ est faiblement s.c.i. (i.e. s.c.i. dans E muni de la topologie faible). 2. On suppose E réflexif, et φ coercive : φ(x) =. x Soit C E non vide, convexe et fermé. Montrer que φ C atteint son minimum. Exercice 7. [Un problème de calcul des variations] Soient f C 1 L (R), et g C([a, b]). Soit I =]a, b[ un intervalle ouvert borné. On définit, pour u H 1 (I) := W 1,2 (I), J(u) = b a ( 1 2 (u ) 2 + f(u) + ug). 1. Montrer que pour toute suite (u n ) H 1 (I) N convergeant faiblement vers u dans H 1 (I), on a J(u) lim inf J(u n ). On pourra considérer d abord le cas où f et g sont nulles. 2. Montrer qu il existe u 0 H 1 0(I) telle que J(u 0 ) = inf H 1 0 (I) J. 3. Montrer que u 0 est de classe C2 et vérifie { u = f (u) + g u(a) = u(b) = 0. On pourra utiliser le fait que J(u 0 + ϕ) J(u 0 ) pour toute fonction test ϕ D(I).

17 ENS de Lyon TD 9 30/11/2015 M1 - Analyse Avancée Exercice 1. Soit Ω R n un ouvert borné par rapport à une direction. Soit A = (a ij ) ij une matrice n n symétrique où les a i,j sont des fonctions de Ω à valeurs réelles bornées. Supposons qu il existe θ > 0 tel que a ij (x)ξ i ξ j θ ξ 2, pour tout ξ R n et s Ω. i,j de Montrer que pour tout f W 1,2 (Ω), il existe une unique solution faible v W 1,2 0 (Ω) ij i (a ij (x) j u(x)) = f(x) u(x) = 0 pour x Ω pour x Ω. Exercice 2. Soit E un espace de Banach de dimension infinie et soit T : E E un opérateur compact. Peut-on avoir T 1 L(E)? Exercice 3. Montrer que l espace des opérateurs compacts K(E, E) est un idéal dans L(E, E). Exercice Soit T un opérateur compact. Soit (x n ) n une suite dans E qui converge faiblement vers x E. Montrer que (T x n ) n converge vers T x en norme. 2. Montrer que la réciproque est vérifiée si E est réflexif : si l image par T de toute suite faiblement convergente est convergente en norme alors T est compact. 3. Soit H un espace de Hilbert et {e n } n une base orthonormale de H. Soit T : H H compact. Montrer que T e n 0 en norme. Exercice 5. [Problème de Dirichlet à paramètre] Soit Ω R d un ouvert borné à bord C 1. Soit f H 1 (Ω). On s intéresse au problème à paramètre λ suivant { u = λu + f u Ω = 0 1. Montrer qu il existe A : H 1 0(Ω) H 1 0(Ω) opérateur autoadjoint continu et v H 1 0(Ω) tels que : u H 1 0(Ω) est solution du problème de Dirichlet à paramètre λ si et seulement si, u vérifie u λau = v. 2. Montrer que A est un opérateur compact. 3. (to be continued...)

18 Exercice 6. Montrer que tout opérateur compact entre espaces de Hilbert est limite d opérateurs de rang fini. Exercice Soient X, Y des espaces de Banach et (ϕ n ) n X, (y n ) n Y et (λ n ) n l 1 trois suites. Montrer que l opérateur T : X Y, défini par T (x) = n λ ny n ϕ n (x) est compact. 2. Soit X = C([0, 1]) et f C([0, 1] 2 ) et soit T : X X Montrer que T est compact. T (g) = 1 0 f(s, t)g(t)dt. 3. Soit X = L 2 (R) et f L 2 (R 2 ) et soit T : X X T (g) = f(s, t)g(t)dt. Montrer que T est compact. 4. Soit X = C([0, 1]) et soit V : X X R V f(x) = x 0 f(t)dt. Montrer que V est compact et montrer que σ(v ) = {0}. Exercice Montrer que l injection canonique de C 1 ([0, 1]) dans C([0, 1]) est un opérateur compact. 2. Soit E un sous-espace fermé de C([0, 1]) qui est contenu dans C 1 ([0, 1]). Montrer que E est de dimension finie.

19 ENS de Lyon TD 10 7/12/2015 M1 - Analyse Avancée Exercice Soit X = C([0, 1]) et f C([0, 1] 2 ) et soit T : X X Montrer que T est compact. T (g) = 1 0 f(s, t)g(t)dt. 2. Soit X = L 2 (R) et f L 2 (R 2 ) et soit T : X X T (g) = f(s, t)g(t)dt. Montrer que T est compact. 3. Soit X = C([0, 1]) et soit V : X X R V f(x) = x 0 f(t)dt. Montrer que V est compact et montrer que σ(v ) = {0}. Exercice Montrer que l injection canonique de C 1 ([0, 1]) dans C([0, 1]) est un opérateur compact. 2. Soit E un sous-espace fermé de C([0, 1]) qui est contenu dans C 1 ([0, 1]). Montrer que E est de dimension finie. Exercice 3. Soit H un espace de Hilbert et T L(H). 1. Montrer que si T est normal, et qu il existe d 2 entier tel que T d compact alors T compact. 2. Si T est normal, compact, tel que σ(t ) R, montrer que T est autoadjoint. Exercice 4. [Isométries partielles] Soit H un espace de Hilbert et T L(H). On dit que T est une isométrie partielle si, x Ker(T ), T x = x. 1. Montrer que si T est une isométrie partielle, alors l image de T est fermée. 2. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) T est une isométrie partielle, (ii) T T T = T, (ii) T T est une projection orthogonale, (ii) T T est une projection orthogonale. 3. On dit que T admet un inverse généralisé s il existe S L(H) tel que T ST = T et ST S = S. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

20 (i) T est une isométrie partielle, (ii) T est une contraction et admet un inverse généralisé qui est une contraction. Exercice Montrer que pour tout compact non-vide K C, il existe un opérateur sur un espace de Hilbert complexe dont le spectre est K. 2. Soit D K un sous-ensemble dénombrable. Montrer qu il existe un opérateur sur un espace de Hilbert complexe dont le spectre est K et tout d D est une valeur propre. Exercice Soit T un opérateur nilpotent (T n = 0 pour un certain n > 0). Montrer que σ(t ) = {0}. 2. Montrer que σ(st ) \ {0} = σ(t S) \ {0}. 3. Montrer que σ(t ) = σ(t ). 4. Montrer que si T est inversible, alors σ(t 1 ) = σ(t ) Montrer que si T est inversible, alors il existe δ > 0 tel que T x δ x pour tout x Soit T : H H un opérateur et soient f, g H et λ µ C tels que T f = λf et T g = µg. Les éléments f, g sont-ils orthogonaux? Exercice 7. Soit (X, µ) un espace mesuré et soit f L (X, µ) et M f : L 2 (X, µ) L 2 (X, µ) l opérateur de multiplication par f. 1. A quelle condition M f est injectif? surjectif? compact? 2. Calculer le spectre de M f. 3. A quelle condition existe-t-il g L 2 (X, µ) tel que M f g = λg pour λ C? 4. L opérateur M f peut-il avoir un espace propre de dimension finie?

21 ENS de Lyon TD 11 14/12/2015 M1 - Analyse Avancée Exercice 1. Soit S B(H). Montrer que S = 0 si et seulement si (Sx, x) = 0 pour tout x H. Exercice Soit S B(H). Montrer que S = S si et seulement si (Sx, x) R pour tout x H. 2. Soit S = S B(H). Montrer que si S est inversible à droite, alors S est inversible. 3. Soit S = S B(H). Montrer que S = sup{ (Sx, x) : x = 1}. 4. Soit S = S B(H). Montrer que si inf{ (Sx, x) : x = 1} > 0, alors S est inversible. Exercice 3. [Opérateurs positifs] Un opérateur T B(H) est dit positif si (T x, x) 0 pour tout x H. Soit T un opérateur positif. 1. Montrer que T = T. 2. Montrer que σ(t ) R Montrer que l ensemble des opérateurs positifs est convexe fermé. 4. Montrer que pour tout n > 0, il existe un unique S positif tel que S n = T. Exercice 4. [Isométries partielles] Soit H un espace de Hilbert et T L(H). On rappelle que T est une isométrie partielle si, x Ker(T ), T x = x. 1. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) T est une isométrie partielle, (ii) T T T = T, (ii) T T est une projection orthogonale, (ii) T T est une projection orthogonale. 2. On dit que T admet un inverse généralisé s il existe S L(H) tel que T ST = T et ST S = S. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) T est une isométrie partielle, (ii) T est une contraction et admet un inverse généralisé qui est une contraction. Exercice Soit S = S B(H). Montrer qu il existe deux opérateurs positifs S et S + tels que S = S + S et S + S = S S + = Montrer que tout S B(H) est combinaison de 4 opérateurs positifs. 3. Soit S = S B(H). Montrer que S I + S est positif. 4. Pour f L ([0, 1]) trouver des conditions nécessaires et suffisantes pour que M f soit positif. 5. Montrer que si S B(H), alors ST S est positif.

22 6. Montrer que si T, S et T S sont positifs et S est inversible, alors T est inversible. 7. Montrer que S B(H) est positif si et seulement si il existe V tel que S = V V. 8. Montrer que si S, T sont positifs et ST = T S alors ST est positif. Exercice 6. Soit T B(H) un opérateur normal. Montrer que T est une projection si et seulement si σ(t ) = {0, 1}. Exercice 7. [Opérateurs de Hilbert-Schmidt] soit H un espace de Hilbert. On définit l ensemble des opérateurs de Hilbert-Schmidt, HS(H) := {T K(H) : (vp n (T )) l 2 }, où (vp n (T )) désigne la suite des valeurs propres de T. On pose pour tout T HS(H), T HS := ( vp n (T ) 2 ) 1/2. 1. Soit T L(H). Montrer que T est un opérateur de Hilbert-Schmidt si et seulement si il existe une base hilbertienne (e n ) telle que T en 2 <, et qu alors, pour toute base hilbertienne (e n ), T 2 HS = T e n Montrer que. HS est une norme, et que HS(H) est un espace de Hilbert pour cette norme. 3. On considère H = L 2 (0, 1) et T L(H). Montrer que T est un opérateur de Hilbert-Schmidt si et seulement si il existe k L 2 ((0, 1) 2 ) tel que T f = k(., t)f(t)dt f H, et qu on a alors T HS = k L 2.

23 ENS de Lyon TD 12 17/12/2015 M1 - Analyse Avancée Exercice 1. Soit A une C -algèbre. Un élément a A est dit positif si a = a et σ(a) R +. Notez que si A B(H), alors a est positif ssi il est positif comme opérateur sur H. Un état sur A est une forme linéaire ϕ : A C telle que ϕ = 1 et ϕ(a) 0 pour tout a A positif. Le but de l exercice est de définir la construction GNS : il existe une correspondence entre les états sur A et les representations cycliques de A. Soit ϕ un état sur A. 1. Montrer que (a, b) ϕ = ϕ(b a) est un semi-produit scalaire. 2. Montrer que pour tout a, b A, ϕ(a b) ϕ(a a)ϕ(b b). 3. Montrer que L = {a A : ϕ(a a) = 0} est un idéal à gauche fermé de A. 4. Montrer que (a+l, b+l) ϕ = ϕ(b a) est un produit scalaire bien défini sur X = A/L. Soit ϕ la norme associé à (, ) ϕ et soit H ϕ le complété de X par rapport à ϕ. 5. Montrer que pour tous a, x A, on a a 2 A x x x a ax est positif. 6. Montrer que pour tout a A, l application x + L X ax + L est bien définie et ax + L ϕ a A x + L ϕ. 7. Montrer que l on obtient ainsi un morphisme continu π ϕ : A B(H ϕ ). 8. Montrer que 1 + L H ϕ est cyclique. 9. Soit H un espace de Hilbert et π : A B(H) une application continue. Soit ξ H un vecteur cyclique. Trouver un état ϕ sur A et une isométrie U : H H ϕ tels que Uπ(a) = π ϕ (a)u. Exercice 2. Soit B A une inclusion de C -algèbres. Montrer que pour tout état ϕ sur B il existe un état ϕ sur A qui étend ϕ. Exercice Soit a A un élément positif. Montrer qu il existe un état ϕ tel que ϕ(a) = a. 2. Montrer que a A est positif ssi pour tout état ϕ on a ϕ(a) Montrer que pour tout a A non nul il existe un état tel que ϕ(a) 0. Exercice 4. Soit A une C -algèbre. Montrer qu il existe un espace de Hilbert H et un morphisme continu injectif π : A B(H). Montrer que si A est séparable, alors on peut choisir H séparable. Exercice 5. Soit Σ la tribu des boréliens de R. On dit qu une application E : Σ L(H), A E A, est une mesure spectrale si (i) pour tout A Σ, E A est une projection orthogonale, (ii) E = 0, E R = Id, (iii) si A = A n, union disjointe, alors E A x = E An x, (iv) pour tous A, B Sigma, E A E B = E B E A = E A B. (On peut en fait montrer que la dernière condition est superflue car elle découle des précédentes.) On note B(R) l ensemble des fonctions boréliennes sur R, muni de la norme.. Remarque : en particulier, pour tous x, y H, A < E A x, y > est une mesure borélienne finie sur R (donc automatiquement régulière).

24 1. Soit E une mesure spectrale. Montrer qu il existe une unique application continue B(R) L(H), f f(λ)de λ telle que, pour toute fonction simple f = α i 1 Ai, f(λ)de λ = α i E Ai. 2. On suppose de plus que E est à support compact K R, i.e. E K = Id. Montrer que T := λde λ est un opérateur auto-adjoint, dont le calcul fonctionnel continu est donné par f(t ) = f(λ)de λ. K σ(t )