Libaa : Une librairie C++ d «Affine Arithmetic»

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1 Lausanne, le 3 févrer 003 Lbaa : Une lbrare C++ d «Affne Arthetc» Olver Gay <olver.gay@epfl.ch> Assstant responsable : Tuan-Vet NGUYEN Professeur responsable : Prof. Bo FALTINGS

2 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary Table des atères. INTRODUCTION...3. INTERVAL ARITHMETIC LE PROBLEME DE CONSERVATION AFFINE ARITHMETIC DOMAINES D APPLICATION IMPLEMENTATION But du projet Structure de données Les fonctons affnes Les fonctons non-affnes La ultplcaton La foncton racne carrée La foncton /x Les fonctons trgonoétrques Quelques notes sur le forat floatng pont Utlsaton et nstallaton de la lbrare COMPARAISON AVEC L INTERVAL ARITHMETIC Affchage va gnuplot Précson Teps d exécuton Analyse des résultats CONCLUSION BIBLIOGRAPHIE...3 A. ANNEXES : LE CODE... -

3 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary. Introducton L arthétque des ntervalles est une technque d analyse nuérque où chaque quantté est représentée par un ntervalle. Ces ntervalles peuvent être ensute ajoutés, soustrats ou ultplés de telles façons que chaque ntervalle x calculé garantt de contenr la valeur nconnue x. C est un doane qu a sub une forte progresson depus son ntroducton dans les années 960 par Raon E. Moore. Un journal («Interval Coputatons», antenant «Relable Coputng») est êe dédé aux recherches sur l arthétque des ntervalles. C est un doane encore en plen essor. Pérodqueent des conférences sont données sur le sujet et des eetngs lu sont consacrée. Pluseurs applcatons proftent drecteent des résultats de l arthétque des ntervalles coe l analyse nuérque, l nfographe, la odélsaton géoétrque et l optsaton globale. De plus ben que les algorthes dffèrent avec des ntervalles, la plupart des algorthes classques peuvent être adaptés, certans êe aélorés, avec l utlsaton d ntervalles. Cependant, l arthétque des ntervalles content certanes fablesses. Le prncpal problèe est une conservaton excessve. Dans certans cas, après un calcul, un ntervalle résultant peut être beaucoup trop large, au pont quelques fos d être nutle. Ce phénoène apparaît lorsque la chaîne de calcul est élevée, ce qu n est pas rare dans des applcatons pratques. Toutes les valeurs dans un calcul d arthétque des ntervalles varent de anère ndépendante. Cette hypothèse n est en fat souvent pas valde d un pont du vue athéatque. Pour corrger ce problèe qu condut dans pluseurs cas à une exploson de l erreur, un nouveau odel appelé «Affne Arthetc» a été proposé par Stolf et Fguerdo. Leur odèle garde l nforaton de la corrélaton entre les varables et produt ans des ntervalles beaucoup plus nces lors de longues chaînes de calculs. Le odèle est toutefos plus coplexe et plus coûteux que celu de l arthétque des ntervalles. Dans ce projet, nous avons pléenté une lbrare C++ d «Affne Arthetc» et établssons une coparason (en tere de teps et de précson) des odèles d Interval Arthetc et d Affne Arthetc. 3

4 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary. Interval Arthetc L arthétque des ntervalles est une arthétque défne sur des ntervalles, plutôt que sur des nobres réels. Elle apparu d abord en 94 as eût un développeent oderne depus les travaux de Raon E. Moore en 96. Ces dernères années, elle connut un essor consdérable avec l augentaton des capactés de calculs des ordnateurs. Ans, antenant de nobreux constructeurs nforatques proposent l accès à des éthodes lées à l IA (pour Interval Arthetc). En IA, chaque quantté x est représentée par un ntervalle x [ x, x] = ce qu sgnfe que x x x. L addton et la soustracton sont défnes ans : [ x + y x y] [ x y x y] x + y =, + x y =, La ultplcaton et la dvson se calcule de façon analogue as l faut prendre copte le sgne des bornes. De êe, pour les autres fonctons de base (coe racne carrée, exponentel, snus ) on défnt des fonctons qu prennent un ntervalle pour varable et renvoent un ntervalle coe valeur. En arthétque des ntervalles, les nobres sont donc replacées par des ntervalles, les vecteurs par des vecteurs d ntervalles et les atrces par des atrces d ntervalles. L ntérêt est que l ncerttude sur les données est prse en copte. Les calculs effectués sont donc certfés et le résultat garant. Le désavantage est qu on peut avor des solutons sur-encadrées. 3. Le problèe de conservaton Coe on l a dt, le odèle IA tend à avor une conservaton excessve : certans ntervalles calculés sont beaucoup trop larges ce qu rend l nforaton nutle. Cec est du au fat que l IA consdère que toutes les varables varent de anère ndépendante. Les corrélatons entre les varables ne sont pas préservées et lors de longues chaînes de calcul on a assste à une exploson de l erreur. Nous donnerons dans cette secton quelques exeples de la décorrélaton lé au odèle IA et certans effets drecteent observables. 4

5 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary Sot l ntervalle x, lors du calcul x x l arthétque des ntervalles va ans consdérer deux varables ndépendantes. S nous prenons x = [,5], x = [ 3,3] des ntervalles x : en arthétque x x n est pas nul! Les opératons perdent ans certanes de leurs proprétés : - n est plus l opposé de + : [,3] + [ 5,7] = [ 3,0] [ 3,0] [ 5,7] = [ 4,5] [,3]. alors que Un autre cas de la non-dépendance des varables : sot I un ntervalle, I * I = { x * y x I, y I} alors que I = { x x I} : la dépendance entre le preer x et le second est perdue. L ntervalle [ 3,] *[ 3,] = [ 6,9] dffère de [ 3,] = [ 0,9]. Voyons un exeple classque où la décorrélaton des varables apparaît : Sot x = [ 4,6] que l on veut évaluer avec la foncton x( 0 x). Le calcul en IA nous donne : ( 0 x ) = [ 0,0] [ 4,6] = [ 4,6] et x ( 0 x) = [ 4,6] [ 4,6] = [ 6,36] Or une analyse de la foncton nous donne le résultat exact qu est [ 4,5]. L IA nous renvoe un encadreent 0 fos plus large que le résultat exact. Cette conservaton excessve de l IA s aggrave partculèreent lors de calculs plus coplexes et la précson relatve du résultat décroît alors de anère exponentel jusqu à fournr un résultat coplèteent nutle. Pour paler à cette fablesse du odèle, lorsque l IA calcule des ntervalles nutlsables parce que trop larges, une soluton est de dvser en sous-partes les ntervalles des arguents. On calcule la foncton pour chacune des sous-partes et on réunt les ntervalles résultants pour avor un résultat unque. L augentaton de la dvson des ntervalles de départ a pour effet de donner des ntervalles plus nces. Cette technque n est toutefos pas des plus effcaces car la précson relatve de l IA est généraleent ndépendante de la largeur de l ntervalle de départ. Ans, s la précson relatve d un calcul est trop auvase pour être utle d un facteur 000, l faudra certaneent dvser le doane en plus de 000 sous-ntervalles pour obtenr un résultat acceptable. Pluseurs travaux ont tenté de corrger ces fablesses de l arthétque arthétque : la représentaton de polynôes lors d un calcul par des polynôes de Bernsten nous donne 5

6 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary ans de ben elleurs résultats en tere de précson. Hansen a proposé une aéloraton du odèle avec son «arthétque des ntervalles généralsée». Plus réceent, Stolf et Coba ont proposé un nouveau odèle, noé «Affne Arthetc» dont le but est d élner le problèe de conservaton présent dans l arthétque des ntervalles. Le odèle Affne Arthetc est présenté aux chaptres suvants. 4. Affne Arthetc Le odèle Affne Arthetc (AA) est un nouveau odèle pour le calcul nuérque proposé en 994 par Stolf et Coba. Coe l arthétque des ntervalles, l arthétque affne peut être utlsée pour anpuler des données précses et évaluer des fonctons sur des ntervalles. De êe, elle garantt les bornes des ntervalles, as contrareent à l IA, l arthétque affne n oet pas la corrélaton entre les quanttés d entrée et les quanttés calculées. Le odèle est donc capable de fournr des ntervalles plus nces et des résultats plus précs que l arthétque des ntervalles et l AA est résstante à l exploson de l erreur observée lors de longs calculs. Dans le odèle Affne Arthetc, une quantté ncertane x est représenté par une fore affne, qu est un polynôe du preer degré : xˆ = x 0 + x ε + K + x ε = x 0 + = x ε Les x sont les coeffcents réels et les ε sont des varables sybolques qu varent entre et. x 0 est appelé valeur centrale de la fore affne xˆ. Les coeffcents x consttuent les dévatons partelles et les ε, les syboles de brut. Chaque sybole de brut représente une source d ncerttude ou d erreur qu contrbue à l ncerttude totale de la quantté xˆ. L ncerttude peut venr sot des données (l erreur orgnale de la esure) ou du calcul (arronds, approxatons de fonctons). En effet, les fonctons de bases non-affnes dovent être approxés dans l pléentaton du odèle AA. 6

7 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary Pour convertr, une fore affne xˆ en un ntervalle X, l sufft de calculer : X = [ x 0 +ξ, x0 ξ ], où ξ = x = De êe, pour convertr un ntervalle [ x, x] en une fore affne xˆ : xˆ = x 0 + x k ε, avec k x 0 x + x = et x k = x x Les opératons coe l addton, la soustracton et la ultplcaton par une constante se font ans : xˆ ± yˆ = xˆ ± ζ = α xˆ = αx ( x ± y ) + ( x ± y ) 0 ( x ± ζ ) = + = = αx ε x ε ε où xˆ et ŷ sont des fores affnes et α, ζ des nobres réels. Les autres fonctons de base (ultplcaton, la dvson, etc.) ne sont pour la plupart pas des fonctons affnes. La foncton ne peut ans pas être représentée coe une cobnason affne des ε. Dans ces cas, la foncton non-affne dot être approxée et l erreur d approxaton stockée dans une nouvelle varable de brut ε k. Pour llustrer la préservaton de la dépendance entre les varables par le odèle AA, reprenons l exeple d IA, vu au chaptre précédent. On calculat x( 0 x) pour un ntervalle X = [ 4,6] Le résultat état obtenu état [,36] [ 4,5]. S nous effectuons le êe calcul avec le odèle AA, nous obtenons : 6 alors que le résultat exact état ˆ ε ˆ ˆ ε ε ε + ε x = 5 + et x ( 0 x) = ( 5 + )( 5 ) =

8 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary (Pour une explcaton sur la ultplcaton de deux fores affnes, vor le chaptre 5.3.). Sot un ntervalle résultant de[ 4,6], beaucoup plus proche du résultat exact que le résultat de l IA et cela grâce à une annulaton des corrélatons qu sont négatves entre elles.. Le odèle est évdeent plus coplexe et plus coûteux que celu de l arthétque des ntervalles as selon Stolf et Coba, l copense le coût du au problèe d exploson de l erreur de l IA. 5. Doanes d applcaton Nous voyons c pluseurs doanes d applcatons de l arthétque des ntervalles. Dans certans cas, le odèle AA produt des résultats elleurs. L arthétque des ntervalles est utlsée avec succès dans les doanes suvants : Optsaton globale. C est à dre la recherche du nu et du axu global d une foncton. Les éthodes nuérques usuelles trouvent des opta locaux (sauf s des proprétés fortes sont vérfées par la foncton, ex la convexté). La éthode usuelle est d utlser un algorthe de type Branch-and-Bound. Par exeple, l algorthe Branch and Bound d Ichda-Fuj ou celu d Hansen. Recherche des zéros d une foncton. Par exeple, en utlsant l algorthe de Newton avec des ntervalles. Infographe : calcul d ntersecton des surfaces et en Ray-tracng, l arthétque des ntervalles augente la rapdté des algorthes. Ce sont les doanes où les travaux d arthétque des ntervalles sont les plus ntenses et leur contrbuton la plus portante. Dans ces tros doanes, le problèe de dépendance des varables est apparu et l seble que les résultats produts par le odèle AA soent encore elleurs. Il y a de nobreux autres doanes, où elle est utlsée, notaent : en ngénere éléctrque (équatons de réseau AC), en Che (pour la résoluton de certanes équatons 8

9 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary non-lnéares), en Physque (pour les systèes dynaques et le Chaos), en Econoe (pour vérfer les effets de l ncerttude de certans paraètres d entrées), etc. 6. Ipléentaton 6. But du projet Le but du projet état de développer une lbrare C++ d arthétque affne pour Lnux. On deandat auss d effectuer une coparason des perforances de l arthétque affne avec l arthétque des ntervalles. Tout au long de chaptre, nous verrons coent a été pléentée cette lbrare. Nous verrons ans les chox que nous avons fats. Enfn, nous détallerons brèveent coent nstaller la lbrare pus coent l utlser dans un prograe C Structure de donnée Nous avons développé cette lbrare tout en gardant à l esprt pluseurs objectfs. La lbrare devat non seuleent être fonctonnelle as coe l s agt d une lbrare athéatque nous avons été sensble à pléenter une soluton optsée en tere de calculs. Pluseurs décsons lors de l pléentaton ont été fates dans ce sens. De plus, coe l s agt d une lbrare, l fallat fournr une nterface agréable et adaptée pour le prograeur qu aurat à l utlser. Notre lbrare est consttuée deux seuleent deux classes : la classe AAF et la classe Interval. Dans le odèle d arthétque affne, nous avons beson à pluseurs endrots d avor à anpuler des ntervalles. Par exeple, nous aons ben créer des fores affnes à partr d ntervalles et surtout obtenr un résultat sous fore d ntervalle. Plutôt que de fare appel à une autre lbrare pour les ntervalles, nous avons préféré développer drecteent notre classe d ntervalle. En effet, l utlsaton d ntervalles pour l AA reste assez soare et l n état pas nécessare d avor une classe d ntervalle très évolué. 9

10 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary La classe Interval fournt ans des éthodes pour créer des ntervalles, odfer et extrare leurs bornes. Il y a auss pluseurs fonctons utlsées en nterne par l AA, par celles-c : Interval::d() : Donne le pont leu de l ntervalle. Interval::radus() : Calcule le rayon (la oté de la largeur) d un ntervalle La classe AAF, pour Affne Arthetc For, consttue le type des données de fore affne et évdeent le cœur de notre projet. Au départ, nous avons débuté avec un odèle de données où nous stockerons unqueent les coeffcents assocés aux syboles de brut. De cette anère l ndce du coeffcent dans le tableau ndquat drecteent de quel sybole de brut l s agssat. Le problèe est qu ans, à chaque créaton de nouvelle varable, la talle du tableau état augentée pour stocker tous les autres coeffcents de brut qu sont nuls. Dans un calcul de denson n, où n est grand, l espace gaspllé pour ces varables nulles devent vte conséquent. De plus, s on agne une sple ultplcaton de n varables, on effectue à chaque fos un grand nobre d opératons nutles (dans ce cas précs de nobreuses ultplcatons par 0 superflues). Le odèle que nous avons fnaleent chos élne ces problèes et optse les calculs (au prx d une pléentaton plus coplexe des opératons éléentares à deux varables). Voc la parte prvate de la classe AAF : prvate: statc unsgned last; // hghest nose sybol n use double cvalue; unsgned length; // central value vo // lenght of ndexes // At creaton we don't store null coeffcents double * coeffcents; // values of nose sy unsgned * ndexes; // ndexes of nose sy On utlse deux tableaux. Un pour stocker les dévatons partelles de la fore affne et un pour stocker la valeur de l ndce de la varable de brut assocée. Ans chaque fos qu une varable est crée, on ne stocke pas les coeffcents nulles assocés au varables de bruts 0

11 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary des précédentes varables. On utlse c des tableaux propre au langage C plutôt que des vector dans un souc de perforances afn d y accéder plus rapdeent. Nous utlsons donc une varable suppléentare (length) pour ndquer la talle des deux tableaux. Notons encore que la valeur centrale x 0 est stockée séparéent des dévatons partelles x. A chaque créaton de varable où après chaque opératon non-affne, un nouveau sybole de brut est crée. La varable statc last ndque l ndce le plus haut des syboles de brut de tous les objets AAF. Nous voulons en effet que l utlsateur n at pas à se soucer de réserver un nouveau sybole de brut lorsqu l crée une varable depus un ntervalle par exeple. 6.3 Les fonctons affnes Les fonctons affnes sont celles qu peuvent être exprées coe une cobnason affne des varables de brut. Les opératons affnes éléentares sont l addton, la soustracton et la ultplcaton par une constante. Nous ne revendrons pas sur leur défnton pour les fores affnes ; elle a été donnée au chaptre 3. Coe toutes les fonctons éléentares, nous les avons pléentées de façon surchargée pour qu elles pussent être utlser naturelleent par le développeur.l orgnalté du code résde pour les fonctons à deux varables : l addton et la soustracton. A cause du chox de notre odèle nous pouvons pas, pour l addton par exeple, addtonner ebre à ebre les éléents des tableaux des deux fores affnes. Nous avons toutefos réuss à aélorer (c est-à-dre rédure sa coplexté par rapport à la talle des données) pluseurs fos l algorthe qu effectue les opératons entres les deux fores affnes. Nous avons pour cela pu bénéfcer que nos tableaux contennent toujours les ndces des varables de brut de anère trée. 6.4 Les fonctons non-affnes Par opposton aux fonctons affnes, les fonctons non-affnes sont donc celles qu ne peuvent pas être exprées coe une cobnason affne des varables de brut. Ces fonctons dovent donc être approxées par une foncton affne. Une nouvelle varable de brut dot alors être ntrodute et contenr l erreur due à l approxaton. Pour des rasons d optsatons des calculs, nous avons eu à effectuer quatre types d approxaton

12 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary dfférents selon les fonctons. Dans les sectons suvent nous nous ntéresserons beaucoup à l aspect athéatque lé à l pléentaton La ultplcaton de deux fores affnes Sot x et y deux fores affnes, nous désrons calculer z = f ( x, y) = xy. z n étant pas une fore affne des syboles de bruts, nous chercherons à calculer ~ z la fore affne qu approxe z. z = xy = z( ε, K, ε ) = ( x0 + x ε ) ( y = x y + ( x y 0 0 = = = + y 0 y ε ) x ) ε + ( = x ε ) ( = y ε ) La valeur z dépend donc de anère quadratque des syboles de brut. Nous voyons c facleent que la elleure approxaton affne de z ε, K, ε ), c est (,, ε ) x0 y0 + ( x y y ( A ε K = = x ) ε, à laquelle l faut ajouter la elleure approxaton affne de,, ε ) = ( xε ) ( yε ) = = Q( ε K = x y ε ε. Or on rearque = j = j j que la foncton Q est pare, Q ε, K, ε ) = Q( ε, K, ε ), la elleure approxaton affne est donc une foncton constante! ( Plus exacteent, sot a et b le nu et le axu de la foncton sur n U (le doane défnton des ε, K,ε ), la elleure approxaton de la foncton affne Q est la constante a + b et l erreur axale b a. On a ans : ~ z ε ε a + b b a ε = A(, K, ) + + k, où k ε est un nouveau sybole de brut

13 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary Cependant, le calcul des extrea globaux de Q sur U n est pas trval. Il nécesste un calcul trop coûteux et n est pas acceptable pour une opératon éléentare coe la ultplcaton. Heureuseent, nous ne soes pas oblgé de calculer exacteent les bornes. Nous pouvons utlser trvaleent Q = ± rad( x) rad( y). La foncton rad () a été pléentée dans notre lbrare et représente la dévaton totale d une fore affne, c est à dre la soe des dévatons partelles absolues. rad( x) = x = L erreur de cette approxaton est au plus de quatre fos l erreur de la elleure approxaton affne. Malgré cela, l erreur reste quadratque par rapport aux varables x et y et les teres négatveent corrélés peuvent toujours s annuler. Ans quand les arguents devennent plus petts, la ultplcaton devent dans le odèle AA asyptotqueent plus précse que dans l IA La foncton racne carrée Pour les fonctons qu suvent nous ne pouvons alheureuseent pas user de stratagèe coe avec la ultplcaton en développant le calcul. La foncton racne carrée est une foncton onotone crossante à une varable. Nous cherchons l approxaton affne qu va nser le axu de l erreur. Nous désrons donc obtenr une foncton et l erreur axale. Evdeent tout deux varent en foncton de l ntervalle sélectonné pour l approxaton. Il faut donc extrare les bornes de la fore affne passée en arguent en la convertssant en ntervalle. Graphqueent, on peut odélser cela pour un ntervalle [ a, b] par le parallélograe (vor fgure ) entre a et b qu content entèreent la foncton à approxer et nse son are. Chebyshev a développé sur le sujet toute une théore de l approxaton. Concernant l approxaton affne de foncton à une varable, un théorèe de Chebyshev énonce : 3

14 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary Théorèe S f une foncton bornée, deux fos dfférentable défne sur un ntervalle [ a b] I =, dont la deuxèe dérvée f a ( x) = α x + ζ son approxaton affne nax sur I. Alors : '' f ne change pas de sgne à l ntéreure de I et s - Le coeffcent α est ( f ( b) f ( a)) /( b a), la pente de la drote r (x) qu nterpole les ponts ( a, f ( a)) et ( b, f ( b)) - Le axu absolu de l erreur apparaît deux fos (avec le êe sgne) aux bornes a et ' b de l ntervalle, et une fos (avec le sgne opposé) au pont u de I où f ( u) = a - Le tere ndépendant ζ est tel queα u + ζ = ( f ( u) + r( u)) / et le axu de l erreur absolu est δ = f ( u) r( u) / Rearque : une foncton f ~ qu nse le axu absolu de l erreur d une foncton f sur Ω est appelée, dans la théore de Chebyshev, approxaton nax de f sur Ω. Fg. Approxaton de Chebyshev Nous allons utlser ce théorèe pour déterner la foncton affne qu approxe racne carrée et calculer le axu de l erreur. Sot [ a, b] l ntervalle de départ. 4

15 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary Nous allons donc chercher une foncton affne α x + ζ. Selon le théorèe de Chebyshev on a : α = b + a b a = b + a Avec ' f ( u) = a =, on obtent u u = 4 α a + b + = 4 a b De là on dédut que : ζ = f ( u) + r( u) αu = a + 8 b + a a + b b Et l erreur axale est : δ = f ( u) r( u) = 8 ( b a + a) b D où l approxaton de z = x nous donne : ~ z = ( α x0 + ζ ) + αx ε + δε k, avec k = ε un nouveau sybole de brut La foncton /x Un des désavantages de l approxaton de Chebyshev, qu a été utlsée dans la secton précédente est qu elle peut être gourande en teps de calcul pour certanes fonctons. De plus pour certanes fonctons des problèes d overshoot/undershoot surgssent quand l ntervalle est plus ou ons large. Par exeple, dans le cas de / x s on prend un ntervalle postf assez large on vot que le parallélograe produt par Chebyshev et contenant la foncton possède une grande parte de sa surface en dessous de 0, sot dans des y négatfs. 5

16 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary Nous utlserons c une éthode d approxaton splfée, la éthode «nrange». On utlse le fat que la foncton est onotone et que sa deuxèe dérvée ne change pas de sgne. On prend coe pente de la foncton affne qu approxe notre foncton, la pente de la tangente au pont le plus bas de notre foncton à approxer (vor fgure ). Pour le calcul le paraètre ζ de la foncton et δ de l erreur axale, nous calculons de la êe anère que selon Chebyshev. Le parallélograe obtenu a donc un côté tangent à la courbe à une des bornes de l ntervalle de départ. Fg. Approxaton «nrange» Voyons coent effectuer cette approxaton avec la foncton / x. Tout d abord, s l ntervalle content 0, / x peut prendre des valeurs très grandes et très pettes. Regardons le cas où l ntervalle [ a, b] est entèreent postf. Nous cherchons donc une foncton affne : α x + ζ La pente α est donc égale la dérvée de / x au pont b, sot : α = / b 6

17 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary De plus, nous savons que l autre côté du parallélograe est parallèle à cette tangente. La foncton affne qu approxe / x est donc parallèle à ces drotes et stuée à égale dstance de celles-c. Nous pouvons ans facleent calculer la valeur du paraètre C. Pour l erreur axale, nous savons donc qu l s agt de la dstance entre notre foncton affne et la tangente que nous avons précédeent calculée. Le cas où l ntervalle est négatf se calcule de anère analogue. La foncton / x résout ans le problèe de la dvson de deux fores affne x et y, qu est défne coe sut : x / y = x / y Les fonctons trgonoétrques Pour llustrer le cas des fonctons trgonoétrque nous allons vor coent la foncton snus a été pléentée. Contrareent aux deux fonctons présentées précédeent (racne carrée et / x ), la foncton snus n est pas onotone, et sa deuxèe dérvée change de sgne dans un ntervalle donnée. S l ntervalle est supéreur à π, l est trval que la foncton affne qu approxe snus est la drote y = 0 avec une erreur axale de (le snus varant entre et ). Nous pouvons donc nous concentrer sur les cas où la largeur de l ntervalle de départ est nféreure à π. Une des dées et de fare une étude de cas suvant l ntervalle où nous nous trouvons : on regarde le nobre de fos où le graphe change sa crossance et le nobre de ponts d nflexon qu l y a dans l ntervalle. Nous pourrons ensute applquer l algorthe de Chebyshev pour certans ntervalles, une verson adaptée de l algorthe de Chebyshev s l y a un pont d nflexon et pour des autres cas l algorthe nrange pour évter l overshoot et l undershoot de l algorthe de Chebyshev en dehors de [, ]. Malheureuseent, avec cette éthode l y a beaucoup de cas à dstnguer ce qu entraîne un grand nobre de tests sur l ntervalle. Nous avons jugée cette soluton beaucoup trop coûteuse et lu avons préférée la éthode de régresson lnéare sple. Avec un fable nobre ponts, elle est beaucoup plus perforante que la éthode précédente. 7

18 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary Nous nous ntéressons toujours aux cas où l ntervalle est nféreur à π. Le nobre de ponts pour la régresson lnéare sple a été défn dans un DEFINE de notre code et fxé à 8, nous estons que cela est suffsant. L ntervalle est donc dvsé en 8 ponts. Le odèle de régresson lnéare sple est de la fore suvante : y = α + β + ε ( =, K, n) x où ε,,ε K n sont des réalsatons non corrélées d une varable aléatore avec espérance 0 et varance σ. Le prncpe des ondres carrés est utlsé pour ester les paraètres du odèle. Nous avons : ˆ β = y( x x) + K+ yn( xn x) ( x x) + L+ ( x x) ˆ α = y ˆ βx n Où y = ( y + K + yn ) / n et x = ( x + K + xn ) / n Nous obtenons ans les paraètres de la foncton affne qu va approxer snus dans notre pléentaton. Nous calculons ensute sur la base de ces paraètres les valeurs ajustées : yˆ = ˆ α + ˆ β x De là nous pouvons extrare les résdus pour l erreur : r = y yˆ L erreur de notre approxaton est ans calculée coe le axu absolu des résdus. Une fos que la foncton snus a été pléentée nous avons pu ntégrer spleent les 8

19 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary autres fonctons trgonoétrques (cosnus, tangente et cotangente) avec les forules trgonoétrques d usage. 6.5 Quelques notes sur le forat floatng pont Quand on travalle avec des nobres en floatng pont, l est essentel de connaître les subtltés quant à son fonctonneent. Le forat a été codfé dans le standard IEEE 754. Des valeurs exceptonnelles font partes du standart et représentent les valeurs non fnes: +Inf : nfn postf. bg*bg, nu/0.0 avec nu > 0.0 -Inf : nfn négatf. bg*(-bg), nu/0.0 avec nu < 0.0 NaN : Not a Nuber. 0.0/0.0, 0*nfn, nfn-nfn De plus pluseurs exceptons floatng pont peuvent être nterceptées (Overflow, Underflow, Dvson by zero, Invald, Inexact). Il faut savor que les nobres floatng ne sont pas unforéent espacés (vor fgure 3). D abord, un systèe de floatng pont ne représente qu un nobre fn de nobres. On sat qu un floatng pont est représenté par une antsse et un exposant. La antsse est écrte généraleent en base ; certanes représentatons décales sont donc nexactes. Par exeple, 0. n a pas de représentaton exacte dans un systèe de floatng pont bnare : Fg.3 Non-unforté de la dstrbuton des floatng ponts Un autre problèe est celu lé à l arrond. Coe l enseble des floatng pont est un enseble dscret, les nobres sont arronds par l ordnateur avant d être stockés. Par défaut, l ordnateur arrondt les nobres au plus proche (TONEAREST) ce qu n est pas forcéent correct suvant les calculs. Il est possble de changer la drecton de l arrond 9

20 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary vers d autres odes : par exeple UPWARD ou DOWNWARD. Selon le ode d arrond, le résultat peut ans changer sur un des dgts. Le gros désavantage de odfer la drecton de l arrond du processeur est que cela est très coûteux : envron une douzane d nstructons achnes. Sur les consels de l assstant, pour des questons de perforances nous n avons pas ntégré les dfférents changeents de drecton de l arrond 5 lors des calculs. L erreur relatve d arrond est pette (envron 0 pour des double), cependant nous pensons que cela est quand êe portant et afn d avor un canevas d utlsaton de ces changeent de ode en cas de future pléentaton, nous avons crée un fcher.h et un fcher.cpp pour les drectons d arronds. Les changeents de drectons ont été ntégrées dans quelques fonctons de notre classe Interval de telle sorte qu l n y at aucune ncdence sur les perforances de notre lbrare as afn d avor un bon exeple d utlsaton. 6.6 Utlsaton et nstallaton de la lbrare Nous voulons que la lbrare pusse être nstallée facleent sur un systèe. Pour une confguraton optale de l nstallaton et des paraètres de l nstallaton par l utlsateur nous avons décdé d utlser les outls autoconf et autoake pour créer les fchers confgure et les canevas des fchers Makefle. De plus pour une coplaton portable de la lbrare, nous avons utlsé conjonteent aux outls précédents le prograe lbtool. La lbrare a été développé à la fos sur Solars et Lnux, et fonctonne sous Lnux. Coe nous avons utlsé Eacs pour le développeent, les fchers de confguraton pour autoconf, autoake et lbtool ont été écrts drecteent à la an (noraleent les IDE les génère autoatqueent). Récupératon de la lbrare : $ wget Décopresson du tarball : $ tar zxvf lbaa tar.gz 0

21 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary Confguraton : $ cd lbaa-0.9.4/ $./confgure Coplaton : $ ake Installaton : $ ake nstall Il s agt de l nstallaton classque de la lbrare. Une verson dynaque et une verson statc de la lbrare sont nstallées. Par défaut, les fchers de la lbrare sont nstallés dans /usr/local/lb et les fchers header dans /usr/local/nclude. Il est possble de précser un autre chen d accès en le précsant avec --prefx à l appel du fcher,./confgure. Pour des confguratons partculères,./confgure --help donne des nforatons suppléentares. D autres nforatons sont auss ndquées dans le fcher INSTALL (c est un fcher générque). Pour utlser la lbrare dans un prograe, l n y a qu un fcher header à nclure : #nclude <aa.h> pour copler ensute l sufft de lnker le prograe avec la lbrare dynaque : $ g++ -laa tst.cpp o tst C-dessous le prograe exaple.cpp du répertore exaples : #nclude <aa.h> #nclude <cstdo> #nclude <ostrea> nt an()

22 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary { Interval u(-,); Interval v(-,); AAF x = u; AAF r = v; AAF s = v; AAF tep = (0+x+r); AAF tep = (0-x+s); AAF z = (0+x+r)*(0-x+s); cout << " x" << endl; cout << x; cout << " r" << endl; cout << r; cout << " s" << endl; cout << s;; cout << " (0+x+r)" << endl; cout << tep; cout << " (0-x+s)" << endl; cout << tep; cout << " (0+x+r)*(0-x+s)" << endl; cout << z; cout << z.convert(); // ext(0); } C est un prograe très sple qu ontre coent utlser la lbrare. Les fores affnes (AAF) sont généraleent crées à partr d ntervalles et on a pas à s occuper des varables nternes. Les fonctons athéatques utlsées par la lbrare sont des fonctons surchargées et ans on anpule les fores affnes coe on anpulerat n porte quelle nobre. Dans cet exeple, on crée des fores affnes à partr d ntervalles dans le

23 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary but d évaluer une foncton. Ensute on effectue le calcul et on affche son résultat sous fore d ntervalle. Tout au long du prograe, on affche égaleent la valeur des varables nternes des fores affnes pour ontrer ce qu se passe. 7. Coparason avec l'interval Arthetc Dans ce chaptre, nous allons coparer les perforances de notre lbrare Affne Arthetc avec celles d une lbrare qu effectue ses calculs avec l arthétque des ntervalles. Pluseurs tests sont effectués dans ce chaptre qu coparent les teps de calculs des deux odèles et leur précson. Nous avons auss développé un prograe qu affche à l écran les courbes avec leurs boxs afn de coparer vsuelleent les deux odèles sur certanes fonctons données Pour la coparason entre les deux odèles, nous avons utlsé la lbrare d arthétque des ntervalles Easyval de Johan Vervloet et Stefan Becuwe. Coe la notre c est une lbrare C++, elle est récente (novebre 00), sous lcence GPL et a été développée par un groupe de recherche en Analyse Nuérque de l Unversté de Antwerp en Belgque. Nous avons fat attenton à copler les deux lbrares de la êe façon et avec les êes optons de coplaton. Notre lbrare est coplée avec des optons d optsaton agressves, nous avons donc coplé la lbrare Easyval de la êe anère. De plus seule la verson statc de la lbrare Easyval est coplée dans le Makefle, nous l avons donc recoplée pour en avor une verson dynaque. Il aurat pu être utle auss d effectuer une coparason entre notre pléentaton d AA avec une autre pléentaton. Malheureuseent, à part la lbrare en C, qu est dépassée (993), des auteurs du odèle AA pour ontrer leur théore, l n exste à notre connassance aucune pléentaton (publque du ons) du odèle AA! Les prograes que nous allons vor dans les sectons suvantes se trouve dans le répertore exaples du tarball. Ils ne sont pas coplés lors de la coplaton de la lbrare car ls nécesstent la lbrare pour fonctonner. Pour copler les cnq prograes d un coup, l faut vérfer que les lbrares lbaa et lbeasyval soent au préalable nstallées. Ensute, coe à l accoutuée :./confgure pus ake. 3

24 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary 7. Affchage va gnuplot Il y a deux prograes pour affcher des graphques : exaple.cpp et exeple3.cpp. Le preer affche unqueent la représentaton AA, tands que le deuxèe affche deux graphes avec la représentaton AA et la verson IA. Il y a deux prograes car le deuxèe ajuste les valeurs de l axe y afn de pouvor coparer les deux odèles et nous donne ans un graphque généraleent dfférent pour le odèle AA. Les deux prograes génèrent les données pour l affchage et font appel au prograe gnuplot pour l affchage. Le prograe gnuplot a été chose car l s agt d un prograe lbre et dstrbué par défaut sur la plupart des UNIX. Gnuplot affchera à l écran le graphe de la foncton que nous avons chos d évaluer sur un ntervalle. Selon le nobre de sous dvsons que nous avons passés en arguent, un certan nobre de boxs sont affchées qu ndquent les ntervalles résultants de l évaluaton de la foncton sur les sous dvsons. Le preer prograe nous a notaent été utle pour vsualser s l n y avat pas des aberratons dues à des bugs dans l pléentaton as est surtout utle pour llustrer le odèle AA. On vot c le graphe généré par notre prograe et notre lbrare pour la foncton f ( x) = (sn ( x)cos( x) 4) / x. Fg.4 f(x) entre [,6], ntervalles 4

25 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary Les deux prograes étant assez seblables, nous allons surtout nous pencher sur exaple3.cpp. Coe on l a dt, pour une foncton donnée (unvarée), à partr d un ntervalle de départ et d un nobre de sous-dvsons, l affche les graphes avec des boxs pour les deux odèles (ode ultplot de gnuplot). L axe des y est ajusté pour être le êe dans les deux odèles. Nous pouvons alors facleent coparer la largeur des ntervalles obtenus pour les deux odèles. Il y a dans le source du prograe un teplate eval_fct() dans lequel on place la foncton à évaluer. Ce teplate sera utlsé par le prograe à la fos pour l affchage du graphe as auss pour les calculs AA et IA. Une fos le prograe coplé pour une foncton donnée, on l appelle ans :./exaple3 LOWER_BOUND UPPER_BOUND BOXN [functon] LOWER_BOUND et UPPER_BOUND désgne l ntervalle de départ et BOXN le nobre de sous dvsons. Functon est un arguent optonnel pour l affchage d un no de foncton avec gnuplot. Le prograe va générer tros jeux de données : un pour le pour le graphe, un pour les boxs de l IA et un pour les boxs de l AA. Il génère auss un fcher de coandes pour ndquer à gnuplot coent affcher ces données. Il sufft ensute d appeler./plot.sh dans un shell pour affcher les graphes va gnuplot. C est un sple shellscrpt du répertore exaples qu fat appel à gnuplot. Ans qu l avat été dt dans les preers chaptres : lors de longues chaîne de calculs, le odèle IA peut fournr des ntervalles ggantesques, l peut ans arrver que lors de calculs nous tobons sur un ntervalle nfn. Gnuplot n est pas capable d nterpréter ces données. Nous contrôlons donc lors du calcul s une valeur non-fne est produte et dans ce cas nous l ndquons à gnuplot coe une donnée anquante. S des valeurs non-fnes sont rencontrées nous affchons une * à la fn du ttre d un des graphes pour l ndquer. Pluseurs statstques de précson sont auss affchées sur la console lors de la génératon des données par notre prograe. Ces statstques ont fat l objet d un autre prograe et seront vues au chaptre suvant. 5

26 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary Nous donnons c un exeple de graphque obtenu avec notre prograe qu copare les résultats entre IA et AA. La foncton évaluée est y = x x + / / x + / entre 0 et 5. Fg.5 y(x) entre [0,5], 60 ntervalles On vot déjà clareent une dfférence d estaton entre les deux odèles favorable à l AA. Nous allons vor plus bas la êe foncton qu s appelle elle-êe, sot y ( y( x)). Fg.5 y(y(x)) entre [0,5], 60 ntervalles 6

27 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary S on augente la chaîne de calcul, la dfférence devent de plus en plus frappante. Le odèle AA devent plus pussant (en coparason avec l IA) à esure que la coplexté de la foncton augente. 7. Précson Nous avons chos cnq fonctons sur lesquelles nous allons effectuer nos tests. Les deux preères sont des fonctons à une varable ( y = f (x) ) : ce sont celles représentées dans les fgures du chaptre précédents. Les tros autres sont des fonctons quadratques à deux varables. Pour chacune des fonctons (excepté les deux preères), nous utlsons des ntervalles dfférents ans qu un nobre ntal de sous dvsons dfférent. Nous présentons dans cette secton des statstques lées à la précson des deux odèles pour des problèes slares. Nous avons pour cela développé un prograe (exaple4.cpp) qu calcule pour nous ces statstques. Voc les cnq fonctons :. ( x) = x x + / / x / f, X = [ 0,5] +. x) f ( f ( )) f =, X = [ 0,5] ( x 3. f3 ( x) x + x xx 4. 5., 60 ntervalles =, X = [ 0,] [ 0,] 4 ( x) = ( x x 7) + (x + x 5), 60 ntervalles, 0 ntervalles f, X = [.5,3.5] [.5,4.5] 4 x) + ( x ) f ( x + x x =, X = [,] [ 0,0], 00 ntervalles, 00 ntervalles C-dessous (tableau ) les statstques que nous avons extrates. Les chaps du tableau ans que les résultats sont coentés plus bas. 7

28 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary IA AA AA Wdth AA WdthA IABOX f [ :.0069] (0.5798) [ :.0044] ( ) % 8.846% ~750 f [0.665: ] ( ) [ : ] ( ) 6.938%.44% ~600 f 3 [-0.03:3.38] (3.4) [-0.05:3.0] (3.035) % % ~5 f 4 [93.886:00.004] (06.) [94.48:98.507] (04.8) % % ~00 f 5 [0.95:] (0.05) [ :] % % ~80 (0.033) Tab. Précson entre IA et AA Les colonnes «IA» et «AA» nous donnent l ntervalle obtenu après le calcul par les deux odèles. Le nobre entre parenthèses est la largeur de l ntervalle (la borne supéreure la borne nféreure). La colonne «AA Wdth» est une coparason avec le odèle IA. Sot un ntervalle de 00% obtenu pour le odèle IA, quel est la talle de l ntervalle AA en coparason. Dans la colonne «AA Wdth A», on effectue le êe calcul pour toutes les subdvsons calculées et on donne la oyenne de tous les pourcentages. Ce nobre est donc forcéent toujours plus pett que celu obtenu dans la colonne précédente. La dernère colonne sera explquée plus bas. 8

29 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary Nous aurons ben aé auss coparer ces résultats avec les résultats des extrea de la foncton sur l ntervalle de défnton, as nous aurons du alors développer un algorthe Branch and Bound, ce qu dépassat le cadre de ce projet. Coe prévu, nous obtenons toujours des ntervalles plus nces avec notre odèle AA qu avec celu du odèle IA. On a toutefos des degrés de réusste dvers. On vot ben avec la foncton f coben une longue chaîne de calcul donne de elleurs résultats au odèle AA. Les fonctons ont été choses au hasard s en se préoccuper avant des résultats. Les fonctons quadratques nous donnent ans des résultats elleurs as ons pressonnants que ceux de fonctons coplquées. Dans la dernère colonne, nous avons la valeur approxatve du nobre de sous dvsons que nous aurons du utlser pour obtenr un résultat seblable que l AA avec l IA. Il faut coparer ces chffres avec le nobre de sous dvsons ntales. Cela va de.8 x plus ( f 5 ) à 7 x plus ( f ) de sous dvsons. Ben que ces résultats soent elleurs pour l AA l faut les ettre en relaton avec le teps de calcul effectué pour pouvor les obtenr. En effet, nous savons que du à la coplexté du odèle AA, les calculs sont plus coûteux. Le calcul de la durée d exécuton des deux algorthes est présenté dans la secton suvante. 7.3 Teps d exécuton Nous avons développé un derner prograe (exaple5.cpp) qu calcule le teps d exécuton des deux algorthes pour des paraètres ntaux donnés. Nous avons pour cela utlsé la foncton lbc tes() qu nous une donne une esure du teps avec une précson de 0 s. Cela est suffsant pour nous car nous n avons qu à augenter le nobre de sous dvsons du problèe pour obtenr des esures acceptables. Nous savons en effet que pour les deux odèles, la durée d exécuton pour des paraètres ntaux donnés, dépend lnéareent du nobre de sous dvsons. Ces tests ont été effectués sur un veux Pentu MMX à 66 MHz, ces chffres n ont donc pas de grande valeur du pont de vue absolu, ls sont ntéressants de anère relatve pour coparer les résultats IA et AA. 9

30 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary IA te AA te f 0.4 s 0.9 s f 0.7 s.83 s f 0.08 s 0.59 s 3 f 0. s.46 s 4 f 0. s 0.75 s 5 Tab. Précson entre IA et AA Tous ces tests ont été effectués avec une sous dvson de 5000 ntervalles. Nous voyons pour ces cnq fonctons que le odèle AA et entre 6.6 x ( f 4 ) et 7.4 x ( f 3 ) plus de teps que le odèle IA pour arrver à un résultat. Cela n a ren d étonnant car le odèle AA est beaucoup plus coplexe, notaent à cause du de l approxaton des fonctons nonaffnes. Dans la secton suvante, ces teps seront s en relaton avec les valeurs de précsons obtenues dans la secton précédente. 7.4 Analyse des résultats Au chaptre précédent, nous avons vu que le odèle AA, pour les fonctons f à f 5 est en oyenne 7x plus lent que le odèle IA. Dans le tableau de la secton consacrée aux perforances, on peut calculer le rato des valeurs de la dernère colonne et du nobre ntale de sous dvsons, et le coparer avec notre rato oyen de 7 dans le tableau des teps. Nous constatons alors cec : algré que les calculs soent coûteux dans le odèle AA, en tere de précson / teps notre lbrare produt de elleures perforances que la lbrare Easyval pour les fonctons f, f et f 3. Les résultats obtenus sont à prendre avec des pncettes. Tout d abord, ls dépendent énoréent de la anère dont les deux odèles ont été pléentés. S nous avons prs une autre lbrare d IA pour effectuer nos tests nous aurons certaneent obtenu des résultats dfférents. De plus pour le teps, la coparason relatve dépend auss du contexte (processeur, OS, lbc, coplateur ) où les prograes ont été coparé : par 30

31 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary exeple, les deux lbrares ne sollctent pas exacteent les êes nstructons du processeur pour effectuer leur calculs. Mas surtout, et nsstons sur ce pont là, les résultats dépendent des fonctons que nous avons choses. Nous avons en effet vu des grandes dspartés suvant le chox de la foncton. En défntve, l seble que le odèle AA sot plus perforant lors de longues chaînes de calcul as ons lors de chaînes ons longues. 8. Concluson Nous avons repl le caher des charges de ce projet. Nous avons développé une lbrare C++ d Affne Arthetc et avons effectué une coparason de perforances avec l Interval Arthetc. Nous avons ans vu que notre lbrare Affne Arthetc est toujours plus précse que l Interval Arthetc as que pour des questons de teps de calcul, elle est plus perforante lors de longues chaînes de calcul as ons perforante lors de calculs plus sples. Réceent, des recherches ont été effectuées par l Unversté de Pau (France) pour encore aélorer le odèle Affne Arthetc en proposant de nouvelles fores affnes quadratques (avec des sybole de brut du preer et deuxèe degré). Malgré un odèle de nouveau plus coplexe as encore plus précs, l serat ntéressant de vérfer s on obtent une augentaton des perforances. Il ne fat nul doute que l arthétque des ntervalles est un doane en plene évoluton et que des nouveaux résultats de recherche vont se fare jour dans le futur. Sur un plan plus personnel, ce projet a pers d apprendre le développeent d un projet et d apprendre un nouveau langage, le C++. J a été auss été sensblsé à la théore athéatque de l approxaton de fonctons, de l arthétque des ntervalles et de l optsaton globale. Toutes ces théores ont beaucoup ntéressées et à on sens elles regorgent de nouveaux doanes d exploraton passonnants. 3

32 Lbaa : C++ «Affne Arthetc» lbrary 9. Bblographe. Self-Valdated Nuercal Methods and Applcatons Luz H. de Fgueredo and Jorge Stolf. Surface ntersecton usng affne arthetc. L. H. de Fgueredo. 3. Affne arthetc. Marcus Vnícus A. Andrade, João L. D. Coba, and Jorge Stolf. 4. Interval Coputatons: Introducton, Uses, and Resources, R.B. Kearfott 5. Interval and Affne Arthetc for Surface Locaton of Power- and Bernsten-for polynoals, Irna Voculescu, Jakob Berchtold, Adran Bowyer, Ralph R. Martn, and Qjang Zhang 6. New Affne Fors n Interval Branch and Bound Algorths, F. Messne, 7. Functons of ntervals, J.C. Burkll 8. Interval Arthetc and Autoatc Error Analyss n Dgtal Coputng, R. E. Moore 3

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