GAMMES BIEN RÉPARTIES ET TRANSFORMÉE DE FOURIER DISCRÈTE. Emmanuel AMIOT 1

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1 Math. & Sci. hum. / Mathematical Social Sciences (45 e année, n 178, 2007(2), p ) GAMMES BIEN RÉPARTIES ET TRANSFORMÉE DE FOURIER DISCRÈTE Emmanuel AMIOT 1 résumé Un es concepts les plus intŕessants e ces ernières années ans la recherche mathématico-musicale américaine est celui e «Maximally Even Set», ou gamme bien répartie. Il est particulièrement pertinent aussi bien pour le musicien, qui y retrouvera ses gammes préférées, que pour le mathématicien qui y verra es éfinitions claires et intéressants problèmes optimisation iscrète. Cet article vise à présenter cette notion et son histoire au public francophone, tout en mettant en avant une éfinition nouvelle, en termes e transformée e Fourier iscrète, approche raicale héritée u regretté Davi Lewin ans le contexte musical. mots clés Chopin, Contenu intervallique, Debussy, Équirépartition, Gammes musicales, Groupes cycliques, Intervalles, Myhill, Théorème e l hexacore, Transformée e Fourier iscrète summary Maximally even sets an iscrete Fourier transform One of the most fascinating concepts in recent American mathematico-musical research is that of Maximally Even Sets, which is on the one han an economic an elegant characterization of a class of musically interesting scales ; an on the other han a nice optimization problem, with a clear escription of solutions. This paper aims firstly at broaching the subject in French, which has selom been one. It also brings forth an original efinition of Maximally Even Sets by way of Discrete Fourier Transform, following an ol but fruitful iea of Davi Lewin, the late American master of maths an music. keywors Babbit s hexacor theorem, Chopin, Cyclic groups, Debussy, Discrete Fourier transform, Equirepartition, Intervallic content, Intervals, Musical scales, Myhill Un es concepts les plus séuisants avancés ces ernières années par les théoriciens américains e la musique est celui es gammes bien réparties («Maximally Even Sets»), qui éten et précise celui es gammes monogènes («Generate Scales») ou celui moins connu mais fécon e gamme bien formée («Well Forme»). L objectif essentiel e cet article est e présenter ces notions au public francophone. Sa principale originalité consiste à partir, contrairement à l école américaine, une éfinition purement (géo)métrique en termes e transformée e Fourier, sans référence à la notion oronnée e gamme musicale. Il peut paraître ironique que la transformée e Fourier iscrète resurgisse ans ce contexte plutôt algébrique, voire ensembliste, alors que l étue es spectres (continus) est epuis longtemps un cheval e bataille en théorie u son! 1 Classes Préparatoires aux Granes Écoles (CPGE), Lycée Arago, Perpignan,

2 96 e. amiot Notations : 1. x énote la partie entière u réel x, x est l entier imméiatement supérieur. 2. Z est l ensemble es entiers relatifs, Z c le groupe cyclique à c éléments. 3. c est le plus gran commun iviseur e c et. 4. c signifie que ivise c. 1. QUE VEUT-ON DIRE PAR «BIEN RÉPARTIE»? Dans le langage e Claue Debussy comme e bien autres compositeurs, on trouve aussi bien la gamme traitionnelle, majeure, que la gamme par tons ou la gamme pentatonique ; ans plusieurs pièces (L Isle Joyeuse, Voiles...) on trouve plusieurs e ces moes en concurrence, ou en complément. Le présent article présente, sous un angle inéit, une propriété qui est commune à ces trois gammes et les caractérise sous certaines conitions. figure 1. Le ébut e «Voiles», e C. Debussy Nous travaillons ans le contexte un total chromatique moélisé par le groupe cyclique Z c 2 à c éléments, qui s interprète musicalement comme une ivision e l octave en c parties égales, ou encore aux rapports e fréquence e la forme 2 k/c, k N. Il existe en musique es tempéraments inégaux, bien sûr, et l on peut étenre au moins une partie e la théorie qui suit à e tels objets, avec es résultats intéressants, mais ce n est pas ici notre propos. Une gamme sera tout simplement un sous-ensemble e carinal e Z c (ces notations sont celles notamment e [Quinn, 2004]). Notre souci est e choisir ces notes parmi c e telle sorte qu elles soient les plus également réparties possible. Les pionniers e cette notion ont écouvert avec élice que l on retrouve ainsi es gammes très particulières, comme la gamme majeure ou la pentatonique (gamme chinoise) qui trouvent ainsi une légitimité supplémentaire. 2 Ce qui moélise le fait psychoacoustique que le cerveau ten à reconnaître comme «égales» es notes istantes une octave, i.e. ont le rapport es fréquences vaut 2. Promote by

3 gammes bien réparties et transformée e Fourier iscrète bien poser la question Il convient e préciser ce que l on enten par «le mieux réparti possible». Ce n est pas une question si éviente, comme évoqué par [Block, Douthett, 1994]. Ceci peut sembler étrange, car l iée en est intuitive et suffisamment simple pour être appréhenée par es lycéens ([Johnson, Durfee, 1999]). Mais si l on propose, par exemple, la éfinition naturelle consistant à maximiser la somme es intervalles entre tous les éléments (l intervalle entre a, b Z c étant a b + k c, la plus petite valeur e a b quan on fait varier le choix es max k Z représentants es classes a, b moulo c), on obtient es gammes tout à fait contraires à l intuition. Ainsi par exemple : parmi les pentacores (gammes e cinq notes parmi 12), les iverses valeurs possibles e cette somme sont 40, 48, 52, 56, 60, 64, 68 et 72. Si la valeur minimum e 40 correspon, conformément à l intuition, aux pentacores chromatiques (comme Do Do Ré Ré Mi), le maximum e 72 est atteint pour e très nombreuses (21!) gammes ifférentes, comme ( ) ou Do Do Ré Fa Sol - il n y a onc pas unicité e la solution, qui ne caractérise onc pas la gamme pentatonique 3. La éfinition usuelle par l école américaine présuppose que l on range les éléments e la gamme, pour pouvoir calculer les intervalles entre une note et ses voisines imméiates. Elle porte onc une forte connotation culturelle (Z c n a pas une vraie relation orre! on se souvient ici inconsciemment que le moèle e Z c est une réuction u omaine totalement oronné es hauteurs), et nous ferons ici le choix e proposer une éfinition purement abstraite, qui s applique à un sous-ensemble à éléments et non à un uplet. Une méthoe intuitive avec «es points blancs et es points noirs» ([Clough, Douthett, 1991]), bien qu elle consiste à étuier justement l orre ans lequel se retrouvent les points, mérite une mention spéciale : on consière un polygone régulier à sommets blancs et un autre avec c sommets noirs. Alors on superpose les eux, convenablement tournés pour que eux sommets ne puissent coïncier ; l orre alors obtenu onne une gamme bien répartie 4, que l on peut expliciter en ajustant les positions es points sans changer leur répartition. Clough et Douthett montrent que ce procéé équivaut à leur éfinition. En tant que mathématicien, on peut rechercher une éfinition moins «bricolée». À titre e motivation citons un résultat relativement récent [Toth, 1956]). théorème 1. [Toth, 1956]. On consière points sur le cercle unité ; la somme es istances eucliiennes (i.e. en ligne roite) entre tous ces points est maximale si, et seulement si, la figure qu ils forment est un polygone régulier. émonstration. Elle est non triviale. Observons que ce résultat est faux en imension supérieure (c est encore un problème ouvert en général que e trouver 3 Par rapport au résultat général e [Clough, Douthett, Krantz, 2000] mentionné plus loin, cela tient à ce que la fonction utilisée évaluation n est pas strictement convexe. 4 Aussi bien pour le sous-ensemble noir que pour le blanc.

4 98 e. amiot mélanger eux polygones réguliers les mêmes, réarrangés figure 2. La méthoe es points blancs et noirs points sur la sphère S 2 maximisant la somme e leurs istances mutuelles). En revanche il est facile (calcul ifférentiel élémentaire) e montrer que les polygones réguliers sont ceux qui maximalisent le périmètre. Nous pourrions, en nous inspirant e ce lemme, chercher les sous-ensembles à éléments e Z c, ientifié au c polygone régulier, qui maximisent la somme es istances eucliiennes, ce qui est une façon e chercher à approcher un polygone régulier à sommets. Ce serait une bonne iée ans la mesure où l on retrouverait ainsi les sous-ensembles particuliers appréciés es musiciens (cf. [Clough, Douthett, Krantz, 2000]), et une unique solution pour chaque valeur e (à symétries près). Si l on repren le cas es pentacores ans l univers es ouze sons, la gamme pentatonique est maximale pour ce critère, avec une somme égale à , et c est l unique solution à translation près. Mais ces istances eucliiennes, ces longueurs e cores, n ont pas e signification musicale 5 et font appel à la structure eucliienne u plan ans lequel on essine la figure ; nous préfèrerons onc une éfinition sans oute plus technique, mais à notre avis plus pure, qui va ans le même sens, à savoir chercher à approcher un polygone régulier par une sous-figure u c polygone régulier. Ceci est plus proche u procéé avec les points noirs et blancs. Mais ans ce but nous allons plutôt faire un retour aux sources e l étue es propriétés internes es gammes (ou accors) telle que commencée par [Lewin, 1959] transformée e Fourier L iée géniale exploiter la transformée e Fourier iscrète pour inventorier les intervalles ans un accor (ou une gamme) remonte à Davi Lewin en et est à l origine e nombreux concepts qui ont marqué la recherche américaine epuis Nous choisissons la même éfinition que lui parmi toutes les éfinitions possibles. éfinition 1. La transformée e Fourier e f : Z c C est 5 On pren le ouble u sinus e l intervalle, avec un facteur échelle...

5 gammes bien réparties et transformée e Fourier iscrète 99 F(f) : t k Z c f(k)e 2ikπt/c Plus particulièrement, la transformée e Fourier e A Z c sera la transformée e Fourier e la fonction caractéristique 1 A u sous-ensemble A 6 : F A : t k A e 2iπkt/c Quelques exemples : 1. F Zc, la transformée e Fourier e toute la gamme chromatique, est 1 k=0 e 2iπkt/c = 1 e 2iπt 1 e 2iπt/c. Cette fonction est nulle sur Z c sauf quan t = 0. On voit bien sur ce calcul que seule compte la classe e l inice k moulo, ce qui est aéquat. 2. Consiérons la septième iminuée D7 = ( ) ans l univers à 12 notes. Alors 3 3 F D7 : t e (3k)2iπt/12 = e kiπt/2 = 1 e 2iπt 1 e iπt/2 k=0 On remarque que F D7 (4) = 4. Observons aussi que A est 3 périoique : le principe même e la transformée e Fourier est que le coefficient e Fourier F(f)(k) mesure à quel point la fonction f est c/k périoique. Ceci résulte u principe e la transformée e Fourier inverse (théorème e Plancherel) : on a toujours k=0 t Z c f(t) = 1 c c k=1 F(f)(k)e +2iπkt/c et onc plus F(f)(k) est gros, plus f est «concentrée» autour e t e +2iπkt/c. 3. Le moule e la transformée e Fourier est invariant par translation et inversion : F A p (t) = e 2ipt/c F A (t) F A ( t) = F A (t) Cette propriété est importante pour les musiciens, ont les notions sont invariantes par transposition (= translation ans le omaine es hauteurs) et parfois par inversion (où la quinte evient une quarte). 4. Pour toute partie A Z c on a F A (0) = Car A. La puissance e cet outil est consiérable, comme on le voit ans les propriétés suivantes. 6 Si l on s intéresse aux fonctions u cercle S 1 à valeurs ans C, on peut voir cela comme la transformée e Fourier une istribution, à savoir un peigne e Dirac k A δ k.

6 100 e. amiot 1.3. propriétés es transformées e Fourier e parties e Z c théorème 2. La transformée e Fourier une partie et celle e son complémentaire sont opposées en k = : F A (k) + F Zc\A(k) = 0 k = 1... c 1 émonstration. Cela provient, par linéarité, e F A + F Zc\A = F Zc (cf. supra) F Zc (k) = 0 pour k = 1... c 1. et e ce que Observons que la remarque faite ci-essus sur la septième iminuée se généralise. proposition 1. Consiérons une ivision e Z c en parties égales : A = {0, m = c, 2m,... ( 1)m}. Alors la transformée e Fourier e A est maximale au point t =. Plus précisément émonstration. En effet, on a k=0 F A (t) = { k=0 si t 0 sinon 1 1 F A (t) = e 2ikπtm/c = e 2ikπt/ = 1 e 2iπt 1 e = 0 2iπt/ pour t non multiple e. En revanche pour t = (et multiples) on a F A (t) = =. Il est notable que la ivision régulière e Z c onne une valeur absolue maximale e la transformée e Fourier parmi tous les sous-ensembles e carinal onné. Nous allons toutefois onner une raison supplémentaire e nous intéresser à cette transformée, qui est qu elle permet e mesurer l importance e la présence entre les éléments e A intervalles proches e c/. théorème 3. (Contenu intervallique). Définissons le contenu intervallique e A Z c par le nombre occurrences e chaque intervalle entre eux éléments e A, ce qui se résume par la fonction : IC A (k) = Car{(x, y) A A x + k = y} Alors la transformée e Fourier e la fonction IC A est F A 2. C est la remarque fonamentale e Davi Lewin ans son tout premier article [Lewin, 1959], remarque qu il a énoncée (en eux lignes seulement) ans le contexte plus général es relations intervalliques entre eux parties. émonstration. IC est un prouit e convolution (que nous noterons ) entre la fonction caractéristique e A et celle e A :

7 gammes bien réparties et transformée e Fourier iscrète 101 IC A (k) = Car{(x, y) A A x + k = y} = 1 y A y k A = y Z c 1 A (y) 1 A (k y) = ( 1 A 1 A ) (k) Il est bien connu que la transformée e Fourier un prouit e convolution est le prouit orinaire es transformées e Fourier : F(f g) = F(f) F(g). Dans Z c, cela érive u calcul suivant : F(f g)(k) = k Z c (f g)(k)e 2ikπt/c = k Z c f(l)g(k l)e 2ikπt/c l Z c = f(l)g(k l)e 2i(k l)πt/c e 2ilπt/c l Z c k l Z c = f(l)e 2ilπt/c g(k l)e 2i(k l)πt/c = F(f)(k) F(g)(k) l Z c k l Z c Appliquant cela à f = 1 A et g = 1 A on obtient le résultat (avec F A = F A ). On éuit au passage e ce résultat une très jolie preuve u théorème e l hexacore e Milton Babbitt : théorème 4. (e l hexacore [Babbitt, 1964]). Deux parties complémentaires et e même carinal e Z c (pour c pair) ont même contenu intervallique. En effet, si l on consière eux parties complémentaires et e même carinal, alors leurs transformées e Fourier sont opposées (pour t = 1... c 1) ou égales (en t = 0), en particulier les transformées e Fourier e leurs IC sont égales, et onc les IC aussi (par transformée e Fourier inverse). Nous avons onné ce théorème sur le contenu intervallique parce qu il montre bien l importance e la transformée e Fourier quant aux intervalles présents ans une partie e Z c : la valeur e la transformée e Fourier e IC A (t) pour t = m it ans quelle mesure cette fonction IC est c/m périoique ; consiérons le cas extrême où F(IC A ) serait nulle, sauf en (et multiples), où elle vaurait : alors après ce qui précèe, A oit iviser régulièrement Z c. Tout ceci nous convainc que la transformée e Fourier, et plus particulièrement son moule, onne une bonne iée à quel point une partie A Z c est proche un polygone régulier. Cette philosophie e repérer les ivisions «archétypales» u total chromatique est celle e la première partie e la remarquable issertation e Ian Quinn [2004] qui a motivé le présent exposé.

8 102 e. amiot 1.4. éfinition es gammes bien réparties éfinition 2. Dorénavant nous irons que A Z c, e carinal, est bien répartie si la quantité F(ICA )() = F A () est maximale parmi toutes les parties e carinal : F A () F A () A Z c, Car A = Observons que cette éfinition (contrairement à celle que onnent [Clough, Douthett, 1991] et alia) porte sur l ensemble A, sans consiérer u tout les éléments e A comme oronnés. Une partie à éléments qui réalise ce minimum (il en existe car il n y a qu un nombre fini e parties à éléments parmi c) sera ite gamme bien répartie ou GBR. Résumons ici quelques remarques (émontrées supra) qui motivent cette éfinition : F A = F A+α = F A pour tout α (invariance par translation et inversion) ; F A (t) = Car A, pour tout t Z c et même ans R. F A (p) = si et seulement si toutes les exponentielles e 2ikπt/c qui figurent ans F A ont même argument (moulo 2π), i.e. pour a, b A la quantité (b a)p/c est toujours un entier. Ce qui prouve la propriété suivante, réciproque e la proposition précéente : théorème 5. Soit A Z c e carinal ; si F A () =, alors ivise c, et A est un polygone régulier (i.e. A = {a 0, a 0 + c/,... a 0 + ( 1)c/}). émonstration. Fixons une origine a 0 A : on a it que tous les (a a 0 )/c, a A prennent valeurs entières istinctes (moulo c), onc le pgc g es a a 0 est multiple e c/ : c/ g et g c/. Par ailleurs, il y a multiples e g, compris entre 0 et c 1, qui sont istincts, à savoir les a a 0, a A. 7 Donc g n excèe pas c/. D où g = c/ et les a a 0 sont les multiples e c/. Une autre propriété est aisément émontrée : théorème 6. Le complémentaire une gamme bien répartie est aussi bien répartie. émonstration. Soient A et B eux parties complémentaires (non vies) e Z c, e carinaux et c respectivement. Alors après le théorème 2 F A () = F B () = F B ( ) = F B (c ) = F B (c ) et l un est maximal (parmi toutes les parties à éléments) si et seulement si l autre l est (parmi toutes les parties à (c ) éléments). En conséquence nous supposerons orénavant que c > /2 (le cas c = 2 étant trivial). Il est aussi évient que le rétrograe A une partie bien répartie A l est aussi, e même pour les translatés A+p. Une propriété n est toujours pas éviente à partir e cette éfinition, c est l unicité (à translation près) une partie bien répartie e carinal onné. Cela résultera es propriétés onnées ans la partie suivante. 7 On choisit le représentant e la classe moulo c qui est compris entre 0 et c 1

9 gammes bien réparties et transformée e Fourier iscrète LA FORMULE GÉNÉRATRICE 2.1. Quelques lemmes Partant e notre éfinition, nous voulons retrouver qu une partie bien répartie est onnée (cf. [Clough, Myerson, 1985], généralisé par [Clough, Douthett, 1991]) par une formule u type a k = Jc,(k) α = kc + α où a k énote le kème élément e A et x est la partie entière e x. Nous avons besoin un lemme géométrique. Nous voulons exprimer plus précisément que, par éfinition, tous les e ik2π/c oivent être aussi proches que possible, puisque l on veut en maximiser la somme ; e fait, théorème 7. Consiérons un ensemble A e points istincts ans Z c ; la somme e iak2π/c est maximale quan les points sont consécutifs ans Z c, i.e. A est un k translaté e {0, 1, 2,..., 1} (on exige que les points soient serrés les uns contre les autres). Cette propriété pourrait être aoptée comme éfinition es gammes bien réparties, elle a bien sûr été remarquée comme corollaire es éfinitions usuelles [Clough, Douthett, 1991]. L implication présentée ici est plus originale, elle repose 8 sur le lemme 1. (es points bien serrés). On pren points a 1,... a sur le cercle unité, et on éplace l un e ces points (isons a 1 ) vers la somme e tous les a i, c est-à-ire que l on remplace a i par un a 1 situé sur l arc e cercle (minimal) entre a 1 et a k. Alors a 1 + a a a 1 + a a. émonstration. La somme augmente car l angle entre k=1 k=1 a k et a 1 a 1 est aigu : en effet, si on pose que l argument e a k est 0 et que l on pren a 1, a 1 «au essus», avec l orientation usuelle u cercle, alors par convention il vient 0 < arg a 1 = θ < θ = arg a 1 π arg(a 1 a 1 ) = arg(e iθ e iθ ) = θ + θ π 2 ] π 2, 0[ On peut aussi émontrer ce lemme en projetant sur la roite irigée par a k, ce qui onne la somme es cosinus es angles avec cette irection, et arguer que la fonction cosinus est écroissante sur [0, π]. Donc la somme es cosinus va augmenter quan on remplace a 1 par a 1, Or le moule e la somme a 1 + a est encore supérieur (la irection aura changé) à cette somme es cosinus, onc augmente a fortiori. 8 Ce procéé amélioration par itération est utilisé, ans un contexte plus compliqué, pour émontrer le premier résultat e [Clough, Douthett, Krantz, 2000].

10 104 e. amiot ak ancien!ai a1 a!1 - a1 a!1 figure 3. Rangement point par point À partir e ce lemme, la émonstration u théorème est algorithmique : partant une configuration es e ia k2π/c qui comporte es trous (A n est pas translatée e {0, 1,..., 1), on effectue un éplacement comme ans le lemme, bouchant un trou avec le point voisin (le voisin vers l extérieur, i.e. ans la irection opposée par rapport à la somme totale). On peut itérer cela jusqu à ce qu il n y ait plus e trous, i.e. jusqu à ce que tous les points soient consécutifs. Cela se fait en un nombre fini étapes (le moule e la somme augmente strictement à chaque fois, et ne peut prenre qu un nombre fini e valeurs). D où le théorème. Ceci nous permet e règler le cas où c et sont premiers entre eux, cas musicalement capital pour les musiciens (gammes à 5 ou 7 notes parmi 12, par exemple!). Lemme 2. Supposons c = 1 et soit A = {a 1,... a } un ensemble bien réparti. Alors il existe un écalage k tel que A s écrit k + {1, 2,... } et il y a exactement c tels ensembles A e carinal, tous éuits l un e l autre par translation. Cette propriété a éjà été observée, notamment par ivers chercheurs italiens [Cafagna, Vicinanza, 2004] mais elle n a pas été utilisée à ma connaissance comme caractérisation es gammes bien réparties. Comme on l établira ci-essous, à un étail technique près cela fait aussi l affaire même si c > 1. émonstration. Le seul point à préciser avant appliquer le Lemme ci-essus aux points e 2iπa k/c, a k A, est que les éléments e A sont bien istincts : ceci résulte e ce que x x est bijective ans Z c ; vu que c = 1. Le lemme nous it que les éléments e A oivent être consécutifs, i.e. A est translaté e {1, 2,... } Z c et onc A est translaté e 1 {1, 2,... } où 1 Z c engenrer toutes les gammes bien réparties Cas c = 1 théorème 8. Avec les hypothèses précéentes ( c = 1), une gamme bien répartie A est une gamme monogène ("Generate Scale") : à une translation près, f Z c A = {f, 2f,... f}

11 gammes bien réparties et transformée e Fourier iscrète 105 émonstration. Avec les notations précéentes, on pren f = 1 A = f {1, 2,... }. Z c, puis Ainsi par exemple les gammes majeure et pentatonique, qui sont les gammes bien réparties e carinal 7 et 5 respectivement ans Z 12, forment une portion u cycle es quintes : elles sont engenrées par f = 7, car {0, 2, 4, 5, 7, 9, 11} = { 7, 0, 7, 14, 21, 28, 35} (mo 12) La relation f = 1 explique bien pourquoi ceci ne fonctionne que quan c = 1. Le fait que les 5 premières notes e la gamme majeure constitue une gamme pentatonique est remarquable, et tient à ce que f (ici les quintes) comme f (ici les quartes) engenrent aussi bien les mêmes GBR, puisque comme on l a vu le rétrograé une GBR est encore une GBR. Plus généralement on a l énoncé proposition 2. Soit < c/2, c = 1 ; alors une GBR e carinal parmi c est incluse ans une (plus précisément ans c istinctes) GBR e carinal c, c est-à-ire qu à translation près une GBR est incluse ans sa complémentaire. Une célèbre illustration e cette propriété (en filigrane ans [Clough, Douthett, 1991] et ans le contexte es «prototypes»ans [?]) est l étue 5 en sol bémol majeur, opus 10, e Chopin, ans laquelle la main roite ne joue que es touches noires, la main gauche établissant ans le même temps iverses tonalités compatibles. figure 4. Chopin, op. 10 n 5 Enfin, cette propriété e monogénéité, avec f = 1 (le signe servant à préserver le même orre sur le cercle trigonométrique entre les 1, 2... et les éléments e A) a été mise en avant par [Cafagna, Vicinanza, 2004] en tant qu inex, au sens topologique (Poincaré). Avec notre éfinition métrique es gammes bien réparties, cette propriété est encore plus riche e sens. Il est maintenant possible e prouver la formule e [Clough, Douthett, 1991], ans ce cas c = 1. théorème 9. Nous supposons toujours que c = 1 et que A = {a 1,... a } est une gamme bien répartie. Alors à translation près, A est l ensemble. {0, c 1)c,... ( }

12 106 e. amiot émonstration. Nous savons que A = {0,... 1} Z c (à translation près). Consiérons les nombres rationnels suivants 0, c ( 1)c,... : leurs parties entières sont istinctes, car c > 2 ; e même quant à leurs parties fractionnaires, cela parce que est premier avec c. Les résius moulo c es quantités kc, ientifiés à leur représentant ans [1 c, 0], tombent entre + 1 et 0, car kc 1 < kc kc k c < kc k c Quan k varie e 1 à, les entiers k c kc se retrouvent onc entre 0 et 1 ; e plus ils sont istincts, puisque comme évoqué ci-avant les parties fractionnaires es kc sont istincte : k c kc = ( k c kc ) = frac ( ) kc onc ces entiers forment exactement l ensemble 0,... 1, c est-à-ire que, moulo c, {0, c 1)c,... ( } {0,... 1} et onc A = 1 {0,... 1} = {0, c 1)c,... ( } C est bien la formule annoncée. Remarque 1. Consiérons une famille similaire, mais sans le signe - : {0, c 1)c,... ( } Comme elle est éuite e A par inversion, elle fournit aussi une gamme bien répartie, onc à translation près c est A comme on l a vu. On peut onc énoncer le théorème précéent sous une forme plus simple encore : «A s écrit {0, c 1)c,... ( } à translation près». Remarque 2. Plus généralement, on peut raisonner avec les entiers imméiatement supérieurs, ou l entier le plus proche, au lieu es parties entières. En fait, ainsi que le fait remarquer [?], une forme plus générale quoique équivalente e la séquence onnant A est k Jc,(k) α = kc + α avec α réel arbitraire. Ce n est pas ifficile e le prouver en reprenant la iscussion précéente aaptée à cette nouvelle famille. Le choix α = 1/2, éventuellement combiné avec l inversion e A en A (ce qui change e fait k en c k) permet effectivement e passer e l une à l autre es trois façons usuelles approcher un réel par un entier.

13 gammes bien réparties et transformée e Fourier iscrète Le cas c > 1 théorème 10. Soit A = {a 1,... a } une gamme bien répartie. Alors A est engenrée par une formule comme ci-essus : A = { k + α k = } c Quan m = c est strictement supérieur à 1, A est c/m-périoique (un moe à transposition limitée, pour reprenre la notion u compositeur Olivier Messiaen), obtenue comme orbite sous la translation e c/m un omaine fonamental qui est lui-même une gamme bien répartie monogène e carinal /m ans Z c/m. émonstration. Remarque : il est tentant e faire cette émonstration à coups e structures quotients et e suites exactes, mais nous avons préféré es arguments plus concrets, étant onnée la nature appliquée es objets consiérés. Seul le cas m = c > 1 reste à consiérer, l autre étant élucié. Il n est plus possible que tous les éléments e A soient consécutifs ans Z c, car lemme 3. L application ϕ : x x e Z c ans lui-même a pour image le sousgroupe m Z c Z c/m cyclique orre c/m. Chaque élément e l image a m antécéents, translatés les uns es autres e c/m : ker ϕ = c/m Z c. Pour maximiser IC(A)() = F A () 2, le mieux que l on puisse obtenir est que les éléments e A soient consécutifs ans m Z c, i.e. A = m {0, 1, 2... m 1} = m {0, 1, } en posant = /m. Attention : A = A a alors = /m éléments, et pas comme A. C est qu en fait on peut voir A, image e A par ϕ, non comme un ensemble mais comme un «multiensemble» : chaque élément e A est répété m fois, comme image e m éléments istincts e A. Donnons un exemple : la configuration 4 {0, 3, 5, 8} = {0, 2, 0, 2} Z 10 est optimalement serrée, plus que {0, 2, 4, 2} ou toute autre configuration plus «lâche», ans 4 Z 10 = 2 Z 10. On prouve que la configuration A = m {0, 1, } (au sens où chaque m élément est répété m fois) est optimale par le lemme es points bien serrés : si le multi-ensemble A n est pas constitué e = /m éléments consécutifs répétés chacun m fois, alors on peut augmenter la somme es exponentielles en rapprochant un es points e la somme e tous. On itère jusqu à obtenir une configuration maximale (cf. Figure 5). Ceci étant acquis, nous avons vu comment obtenir A = {0,... 1} moulo c = c/m : il suffit e poser A = {0, c,... 1)c ( } = {0, c,... 1)c ( } N.B. : c, sont premiers entre eux, et A relève onc u cas précéent : c est une gamme bien répartie ans Z c (un sous-cycle, «subcycle», ans la terminologie e Cohn, (cf. [Quinn, 2004]).

14 108 e. amiot m k m ( k + 1) A est un multi-ensemble aux points aussi proches que possible figure 5. Optimisation e A On tient alors A tout entier en rajoutant à A, plongé ans Z c, le noyau e ϕ, i.e. en translatant A es multiples e c = c/m, car comme on l a it a A k [0, 1], a = k (mo c) a = m 1 k (mo c) En résumé, a A (mo c) = c/m A = A {0, c m, 2c m,...} Donc A est un Moe à Transpositions Limitées 9. De plus, nous avons, encore (moulo c), A = {0, c 1)c,... ( } En effet, pour k on écrit k = q + r, 0 r < où kc = + r)c (q = qc + rc (A + qc ) Nous avons établi (à translation près) que les formules u type [?] engenrent toutes les gammes bien réparties. Remarque 3. Le nombre e gammes bien réparties istinctes est c = c/m (ce n est c que si c = 1), et toute inversion une gamme bien répartie est toujours une translatée elle même : le groupe es inversions-translations (i.e. les applications e 9 Pour prenre une éfinition mathématique, et non la éfinition (musicale!) e Messiaen, nous irons qu un M.T.L. est une partie e Z c ont l orbite sous l action es translations a moins e c éléments istincts, ou encore qu elle amet un stabilisateur non trivial.

15 gammes bien réparties et transformée e Fourier iscrète 109 la forme x λ ± x ans Z c ) n agit pas fièlement sur l ensemble es gammes bien réparties. Par exemple, le prototype e GBR 10,4 est (0, 3, 5, 8). La gamme rétrograée est 10 (0, 3, 5, 8) = (2, 5, 7, 0) = (0, 3, 5, 8) + 2. Notons ans le même esprit que la proposition reste vraie pour ces GBR générales (non monogènes) : une réuction au quotient moulo c ramène au cas c,, et (pour < c /2) un GBR(c, ) GBR(c, c ) on éuit GBR(c, ) = GBR(c, ) + c Z GBR(c, c ) + c Z = GBR(c, c ) une propriété es intervalles consécutifs À partir es formules ci-essus, on obtient bien, mais comme conséquence, la propriété e Myhill qui permet e retrouver la éfinition américaine [Clough, Myerson, 1985 ; Clough, Douthett, 1991] es gammes monogènes bien formées Well Forme ) : théorème 11. Les intervalles entre eux notes consécutives une gamme bien répartie ne peuvent pas prenre plus e eux valeurs istinctes. Il y a une seule valeur si et seulement si la gamme ivise également Z c. Ce ernier cas est consiéré comme égénéré ( not Well Forme ). Remarquons que ce résultat est valie aussi pour les intervalles entre notes inices à une istance constante, le cas es notes consécutives étant celui une ifférence inices e 1. C est sous cette forme plus forte qu est généralement énoncée la propriété e Myhill. Clarifions par un exemple. Dans le cas e la gamme majeure GBR 12,7, ont une instance est (0, 2, 4, 5, 7, 9, 11) = (o, ré, mi, fa, sol, la, si), les intervalles (chromatiques) entre eux notes consécutives sont e eux emi-tons, sauf mi-fa et si-o qui sont un seul emi-ton : il existe es secones majeures et es secones mineures, contrairement à autres gammes non bien réparties, comme la gamme mineure par exemple (0, 2, 3, 5, 7, 8, 11) qui contient aussi es secones augmentées. Revenons à la gamme majeure : les intervalles e eux en eux sont les tierces o-mi, ré-fa, mi-sol etc... qui contiennent trois (tierces mineures) ou quatre (tierces majeures) emi-tons. Il y a e même eux sortes e quartes (o-fa et fa-si), e quintes, etc... Revenons à la preuve u théorème : émonstration. Les eux valeurs possibles sont tout bonnement les entiers imméiatement voisins e c/f où f est le générateur ans les formules précéentes. En effet, on a par l encarement classique e la partie entière c (k + 1)c 1 = 1 k c < (k + 1)c k c (k + 1)c < ( k c 1) = c + 1 et cet intervalle ouvert est e largeur 2, onc contient eux entiers, nommément c et c. Les eux sont possibles quan c/ est non entier : le plus gran quan k c non entier, le plus petit par exemple pour k = 0. est

16 110 e. amiot Si c/ = m est un entier en revanche, on a toujours k c = k c = k m onc l intervalle entre eux éléments consécutifs vaut toujours m. Nous avons établi que les intervalles e «secone» (entre eux notes consécutives une même gamme) peuvent prenre seulement eux valeurs istinctes, qui sont les eux arronis un même rationnel. Enfin, on trouve e même les intervalles e «tierce, e quarte...», en consiérant les arronis e 2c, 3c... Par exemple, les intervalles consécutifs entre les éléments e la gamme majeure ((c, ) = (12, 7)) sont 2 (cinq fois) et 1 (2 fois) carinal et variété Une autre jolie propriété qui a originellement amené [Clough, Myerson, 1985] à leur éfinition (ans le cas où c = 1 seulement) est équivalente à la propriété e Myhill évoquée ci-essus (qu elle généralise), et facile à établir comme conséquence es formules génératrices retrouvées ans le présent exposé. Donnons-la abor sur un exemple : si on cherche les GBR 7,3 ans l univers iatonique, c est-à-ire en numérotant les notes e la gamme e o majeur, on obtient 7 accors, o-misol, ré-fa-la, etc... Ces accors se trouvent répartis en trois types (majeur, mineur, iminué). Trois notes, trois types : la carinalité est égale à la variété, i.e. au nombre orbites moulo transposition. Ce concept est musicalement très important car lié à la notion ambiguïté. Mathématiquement il est sans oute moins naturel que la notion e «bonne répartition». théorème 12 (Clough, Myerson, 1986). Consiérons pour c = 1 une GBR c,, que l on écrit sous la forme oronnée (a 1,... a ). Alors pour tout k <, il y a exactement k orbites par translation es séquences S k,i = (a i, a i+1,... a i+k 1 ) où les inices sont pris moulo. émonstration. Plutôt que e onner la émonstration ans toute sa généralité (cf. [Clough, Douthett, 1991], théorème 1.10) je préfère mettre en lumière la compréhension fine u phénomène qu apporte la transformation A x fx A. Il arrive en effet fréquemment, mais pas systématiquement, que l orre es éléments e A soit le même que l orre es éléments e A. C est le cas par exemple quan << c, comme pour c = 15, = 4. Alors comme en fait foi la Figure 6, il est clair qu il n y a que types e séquences éléments contigus e A, et onc (puisqu on a supposé que l homothétie x f x mo c conserve cette contiguïté) il en est e même pour A, ce qui est la propriété à émontrer. Le cas où les éléments e A corresponant aux séquences éléments contigus e A ne le sont pas, comme par exemple la gamme pentatonique (0, 2, 4, 7, 9) Z 12, f = 5 est moins évient géométriquement, mais guère ifficile à prouver algébriquement avec les fonctions J α c,. Par ailleurs on trouvera ans [Clough, Douthett, 1991] le cas c > 1 (le nombre e cas istincts est alors = /(c )).

17 gammes bien réparties et transformée e Fourier iscrète 111 L'ensemble A' e' ' c' b' c L'ensemble A b a' a e figure 6. Deux sortes intervalles consécutifs 3. CLASSIFICATION DES GAMMES BIEN RÉPARTIES L essentiel e ce paragraphe repose sur la très belle synthèse e [Quinn, 2004], qui repren et complète [Clough, Douthett, 1991]. Pour chaque couple (c, ) nous avons caractérisé une unique gamme (à translation près) GBR (c,). Nous allons étuier e plus près la structure fine e cet objet remarquable les trois types e gbr La iscussion porte sur les facteurs communs à c et. On pose encore m = c. éfinition 3. On a une GBR e type I quan m = 1. Cette gamme est alors monogène et bien formée (WF) au sens expliqué ci-essus. Rappelons que ans ce cas, on obtient cette gamme (à translation près) en consiérant les multiples e l inverse multiplicatif (moulo c) f e, ou les multiples e f. éfinition 4. On a une GBR e type II a quan m = i.e. c. Cette gamme est alors monogène et égénérée, elle ivise e façon parfaitement régulière Z c. Ainsi la septième iminuée D7 = (0, 3, 6, 9) ivise Z 12 en 4. De même pour la gamme par tons (M1 e Messiaen) (0, 2, 4, 6, 8, 10). éfinition 5. On a une GBR e type II b quan 1 < m = c <. On a alors affaire au complémentaire une gamme e type II a. C est imméiat : le complémentaire est e carinal m, qui ivise c, et c est une GBR comme complémentaire e GBR.

18 112 e. amiot éfinition 6. On a une GBR e type III ans le cas restant : 1 < m <, m c. Notons que la classe es GBR e type III est stable par complémentation, comme les eux autres classes. Les eux ernières classes réunissent toutes les GBR qui possèent une périoe interne, c est-à-ire qui sont es MTL (cf. Théorème 10). Elles sont onc toutes obtenues comme réunion e translatées une GBR plus petite. On peut arguer, avec Clampitt et alii [1996], que les GBR e type I sont fonamentaux, au sens où ils permettent écrire tous les autres : on obtient comme on l a vu un GBR e type III en écoupant c en m parties égales (comme le type II a ) et en glissant ans chaque partie le même GBR e type I corresponant à notes parmi c = c/m. ( ) = GBR(9,4) onne GBR(18,8) quan on rajoute son translaté ( ) figure 7. Une GBR e type III 3.2. existence e gammes e type III Le résultat prouvé ans ce ernier paragraphe est inéit. On a observé [Quinn, 2004] qu il n existe pas e gammes e type III pour c = 12, qui est tout e même le cas e référence pour les musiciens (occientaux). Pourtant il en existe pour c 12, par exemple pour c = 18 on a GBR (18,8) = (0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15) comme on le voit sur la Figure 7. Bien sûr, il est impossible avoir une GBR e type III quan c est premier, car alors seul le type I est possible (à part les cas très limites e GBR (c,0) ou GBR (c,c) ). Jusqu en juin 2005 on n avait pas trouvé e c composé, c > 12, pour lequel il n existe pas e GBR e type III. Ceci est général : théorème 13 (Amiot, 2005). Pour c > 12 composé, il existe toujours tel que GBR (c,) soit e type III. Ma première preuve reposait sur la conjecture e Bertran, outil bien lour (avec sa fameuse émonstration en 17 lemmes ue à Pafnouti Tchebitchef!) pour le simple lemme suivant :

19 gammes bien réparties et transformée e Fourier iscrète 113 lemme 4. Pour tout c > 12 non premier, il existe un iviseur k e c et un nombre premier p < k 1 tel que p ne ivise pas k. J ai epuis trouvé une preuve plus élémentaire e ce lemme : émonstration. Notons que ce lemme est faux pour c = 12, car au maximum k = 6 et les nombres premiers strictement inférieurs à 5 ivisent tous 6. Prenons c composé supérieur ou égal à 25, les valeurs inférieures sont vérifiées à la main. Soit k le plus gran iviseur strict e c. Qu il soit pair ou impair, on l écrit k = 2n + 1 ou k = 2n + 2. Comme k c, on a k 5 et n 2. Premier cas : c est une puissance e 2. On pose alors k = c/2, p = 3. Marche ès que c 8. Secon cas : c possèe un facteur impair k > 3 (pas forcément premier). On pren cette valeur pour k, et on pose p = 2. C est la construction la plus sexy e toutes : par exemple (0, 2, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15, 17) quan c = 18. Cela marche pour c 10. Dernier cas : quan c est égal à une puissance e 2, fois 3. En vérité c est quan c = que le lemme est faux. Nous tenons onc bien le cas problématique, mais il n est pas ifficile : ès que c 24 on pose k = c/2 et p = 5, qui conviennent. Maintenant le théorème écoule e ce que j kj p = jc cp/k onne une GBR, qui est forcément e type III car elle n est ni e type I ni e type II : en effet elle est réunion es translatés e GBR (k,p) qui est e type I (ce n est pas une ivision régulière e Z k ) récursivité es gbr La gamme pentatonique e Z 12 est une GBR ans la gamme à 7 notes e Z 12. Pour (c, ) = (7, 5) on trouve en effet la GBR (0, 1, 2, 4, 5). Si l on injecte ces valeurs comme inices ans la gamme majeure GBR (12,7) = (0, 2, 4, 5, 7, 9, 11) on trouve (0, 2, 4, 7, 9) qui n est autre que la gamme pentatonique GBR (12,5)! (complémentaire, ici, e la précéente). De même, l extraction e trois notes selon le schéma GBR (7,3) e la gamme majeure GBR (12,7) onne (selon écalage) les ifférents accors parfaits, majeur ou mineur. Ce phénomène ne se prouit pas pour toutes les valeurs, mais il est assez remarquable pour mériter être mentionné. Il est à rapprocher e la construction es gammes par réuites successives une même fraction continue, (cf. par exemple [Clampitt, Carey, 1996]) 10. Comme l obervaient éjà Clough et Douthett ans l article fonateur [Clough, Douthett, 1991], cela n est pas si étonnant puisque l on consière es sous-polygones aussi réguliers que possible e polygones aussi réguliers que possible. Cela leur permettait e éfinir es GBR e secone espèce, comme 10 Pour mettre le lecteur en appétit, observons que 3/5, 7/12,... sont es réuites u DFC e log 2 (3/2) qui fone classiquement la gamme pythagoricienne...

20 114 e. amiot éléments inices i GBR(, e) un GBR c,. De l univers entier à ces objets, on passe par le chromatique (12 notes), le iatonique (7 notes), et la fonction tonale (3 notes)! Cela a été joliment formalisé par un moèle que Jack Douthett a présenté en juillet 2005 à un colloque éié à la mémoire e John Clough, celui es «beacons» : on ispose une lumière centrale ans une pièce circulaire, munie ouvertures régulièrement réparties, imbriquée ans une structure similaire, avec la contrainte peu physique qu un rayon lumineux glisse jusqu à l ouverture la plus proche ans le sens es aiguilles une montre (! ). Ceci permet engenrer les fonctions J : k k + α obtenues plus haut, c et surtout e les imbriquer les unes ans les autres. Les cas où l on obtient es ensembles moins bien équilibrés ne manquent pas intérêt, puisque l on obtient ainsi, par exemple, es séquences accors parfaits que l on retrouve ans la IX e e Beethoven! figure 8. Fonctions J imbriquées générant es séquences accors parfaits 4. CONCLUSION 4.1. historique Nous présentons ici un historique très sommaire. Le lecteur anglophone pourra se référer au récent [Douthett, Kranz, 2007] qui montre les nombreux champs applications es GBR. À l origine, Clough et Myerson [1985] ont inventorié essentiellement le cas c = 1. Leur émarche est partie e propriétés musicales, comme (Carinal = Variété) et la propriété e Myhill (au plus eux valeurs chromatiques ifférentes pour les intervalles iatoniques) et aboutissait aux fonctions génératives u type J. C est avec Jack Douthett que John Clough a étenu la propriété «Maximally Even» (i.e. «bien réparti») à sa forme la plus générale [Clough, Douthett, 1991]. Jack Douthett a par ailleurs émontré que cette propriété e bonne répartition

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