Sous la direction de Nikita Karpenko. Gilles Tauzin

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1 Sous la direction de Nikita Karpenko Gilles Tauzin Années universitaires

2 Théorème de Bézout et applications Ici, k est un corps algébriquement clos. Lorsque l'on étudie des courbes dans le plan projectif, on doit rapidement s'interroger sur la façon dont elles s'intersectent. C'est un fait bien connu que dans P 2, si Y est une courbe de degré d et L une droite (qui n'est pas Y ), alors l'intersection Y L est constitué de d points, quitte à compter certains plusieurs fois, de la même façon qu'un polynôme non nul s'annule autant de fois que son degré sur un corps algébriquement clos. Plus précisément, on a les dénitions et propriétés suivantes : Dénition 0.1 (Multiplicités). Soit Y A 2 une courbe dénie par f(x, y) = 0 sur un corps algébriquement clos k, soit P = (a, b) un point dt A 2. Par un changement de coordonnées linéaire, on peut supposer P = (0, 0) et décomposer f en f 0 + f f d, où les f i sont tous homogènes de degré i. On dénit la multiplicité de P sur Y, µ P (Y ) comme le minimum des r tels que f r 0. Soient Z une autre courbe donnée par l'équation g(x, y) = 0 et P un point de Y Z, on dénit la multiplicité de l'intersection (Y Z) P de Y et Z en P comme la longueur du O P -module O P /(f, g). Ces dénitions se généralisent directement à P 2 au moyen d'un recouvrement. Le premier point important est que le point P de Y est un point régulier si et seulement si µ P (Y ) = 1 (µ P (Y ) > 0 P Y ). De plus, (Y Z) P est ni et on dispose de l'inégalité (Y Z) P µ P (Y ) µ P (Z), autrement dit, le degré du contact augmente. Enn, l'intersection d'une droite L avec une courbe Y comme ci-dessus est en général ce que l'on attend dans la mesure où pour toutes les droites passant par P, sauf un nombre ni, (L Y ) P = µ P (Y ). Le théorème de Bézout simple réunit ces résultats sous la forme : Proposition 0.1. Soit Y une courbe de P 2 de degré d et L une droite (L Y ), alors on a (L Y ) = (L Y ) P = d P Une première généralisation de ce théorème serait dans P n, si Y et Z sont des variétés de dimension r, s et de degré d, e, telles que les composantes irréductibles de Y Z soient de dimension r + s n( 0), alors pour chaque composante irréductible W de Y Z on dispose d'un nombre i(y, Z; W ), la multiplicité de l'intersection de Y et Z le long de W tel que : i(y, Z; W ) deg W = de La somme étant prise sur toutes les composantes irréductibles de Y Z. La diculté est de dénir convenablement chacun des termes. On utilise pour cela une théorie de l'intersection. 1 Groupe de Chow On considère désormais des schémas sur un corps, une variété comme un schéma irréductible et réduit et une sous-variété comme un sous-schéma fermé d'une variété qui est une variété. 1

3 Dénition 1.1. On appelle k-cycle sur un schéma X une somme nie formelle ni [V i ] où les V i sont des sous-variétés de dimension k de X et les n i des entiers. Les k-cycles sur X forment un groupe qui est libre et abélien, noté Z k (X). On construit ensuite l'équivalence rationnelle, l'intérêt étant de considérer non pas directement le groupes des k-cycles, mais le quotient de ce groupe modulo équivalence rationnelle. Soit X une variété et V une sous-variété de X de codimension 1. L'anneau local A = O V,X (localisé de O X en l'idéal premier qui déni V, ou encore tige de O X au point générique de V ) est un anneau local intègre de dimension 1. Son corps des fractions est le corps des fonctions de V, K(V ). Considérons maintenant r R(X) un élément non nul du corps des fonctions de X. Un tel élément peut s'écrire a/b avec a, b A. On pose Enn, on pose pour a A, ord V (r) = ord V (a) ord V (b) ord V (a) = l A (A/(a)) où l désigne la longueur du A-module entre parenthèses. Une telle construction fournit un morphisme R(X) Z, de plus, pour r R(X), il n'y a qu'un nombre ni de sous-variétés de codimension 1 de X pour lesquelles ord V (r) est non nul. Grossièrement dit, l'équivalence rationnelle, c'est dire que les diviseurs de Cartier principaux d'une sous-variété de dimension k + 1 (qui sont donc de dimension k) sont nuls. Dénition 1.2. Soit W une sous-variété de dimension k + 1 de X, alors tout r R(W ) dénit un k-cycle [div(r)] sur X via [div(r)] = ord V (r)[v ] où la somme est prise sur toutes les sous-variétés V de codimension 1 de W. Un k-cycle α est dit rationnellement équivalent à 0, α 0 s'il existe un nombre ni de sous-variétés de dimension k + 1 W i de X et des r i R(W i ) tels que α = [div(r i )]. L'ensemble des k-cycles rationnellement équivalents à 0 forme un groupe, Rat k (X) et le groupe des k-cycles modulo équivalence rationnelle est le quotient : A k (X) = Z k (X)/Rat k (X). On note Z (X) (resp. A (X)) la somme graduée des Z k (X) (resp. A k (X)). La première remarque que l'on peut faire est que considérer un schéma ou son schéma réduit associé revient au même. De plus, l'association X A k (X) est additive au sens où A k ( X i ) = Ak (X i ). Enn, on a une suite exacte : A k (X 1 X 2 ) A k (X 1 ) A k (X 2 ) A k (X 1 X 2 ) 0 2

4 On s'intéresse ensuite au push-forward et au pull-back de cycles. Si f : X Y est un morphisme propre et V une sous-variété de X, alors W = f(v ) est une sous-variété de Y, on dispose de plus d'un morphisme de corps R(W ) R(V ) qui est une extension nie si et seulement si W est de même dimension que V. On pose alors { [R(W ) : R(V )] si dim(w ) = dim(v ) deg(v/w ) = 0 sinon et f [V ] = deg(v/w )[W ]. Ce morphisme s'étend à Z k (X) Z k (Y ) et A k (X) A k (Y ) et est de plus fonctoriel. Si le schéma X est propre sur K, le morphisme A 0 (X) Z = A 0 (K) est noté deg et s'étend par 0 à tout A (X). Ensuite, si f : X Y est un morphisme plat de dimension relative n, alors on dénit le pull-back f par f [V ] = [f 1 (V )] pour V une sous-variété de Y. De plus ce morphisme se prolonge à Z et en fait même en un morphisme f : A k (Y ) A k+n (X) et est fonctoriel. Enn, si X est un schéma de composantes irréductibles X i, la multiplicité géométrique m i de X i dans X est dénie comme la longueur de O Xi,X et l'on pose [X] = m i [X i ] où la somme est prise sur toutes les composantes irréductibles de X, en tant qu'élément de A (X). De la même façon, si X est un sous-schéma fermé de Y, on le décompose ainsi et on utilise A (X) A (Y ) pour obtenir le cycle correspondant dans Y. De même, si X est purement de dimension n et de composantes irréductibles X 1,..., X r, de multiplicités géométriques m i, alors pour tout diviseur de Cartier eectif D tel que D i = D X i, on a [D] = m i [D i ]. On dispose aussi d'une suite exacte permettant de décrire les cycles d'un sous-schéma fermé : Proposition 1.1. Soit Y un sous-schéma fermé d'un schéma X, considérons U = X Y. Soient i : Y X et j : U X les inclusions. Alors la suite suivante est exacte pour tout k : A k (Y ) i A k (X) j A k (U) 0 Enn, une attention particulière est à apporter aux brés anes dans la mesure où si p : E X est un bré ane de rang n, alors le pull-back plat p : A k (X) A k+n (E) est surjectif pour tout k. De plus, si E est en fait un bré vectoriel, c'est un isomorphisme. On dispose maintenant d'un cadre agréable pour commencer à étudier ce qui se passe pour une intersection et notamment dans le cas des diviseurs. 3

5 2 Diviseurs et intersection Pour se faire, on commence par introduire la notion de pseudo-diviseur. Dénition 2.1. Un pseudo-diviseur sur un schéma X est un triplet (L, Z, s), où L est un bré en droites sur X, Z un sous-ensemble algébrique fermé de X et s une section de L qui ne s'annule pas sur X Z. On appelle L le bré en droites, Z le support et s la section du pseudo-diviseur. Deux données de bré, support et section dénissent le même pseudo-diviseur si les supports sont les mêmes et s'il existe un isomorphisme des brés dont la restriction à X Z rend isomorphes les sections. Enn, un diviseur de Cartier D dénit un pseudodiviseur par (O X (D), D, s D ) où s D est la section canonique de O X (D). On a de plus que tout pseudo-diviseur est représenté par un certain diviseur de Cartier, qui est unique si le support n'est pas toute la variété et unique à équivalence linéaire près sinon. Autrement dit, dans A, tout se passe bien. On désignera souvent un pseudo-diviseur par D. De plus, le pull-back d'un pseudodiviseur en est un aussi (ce qui peut être un problème si on prend des diviseurs de Cartier et non des pseudo-diviseurs) Construisons maintenant l'intersection voulue : Dénition 2.2. Soit D un pseudo-diviseur sur un schéma X, soit V une sousvariété de X de dimension k. On dénit une classe noté D [V ] ou D V dans A k 1 ( D V ) de la façon suivante : Soit j l'inclusion de V dans X, j D est un pseudo-diviseur sur V dont le support est D V et on peut dénir D [V ] comme étant le cycle associé au pseudo-diviseur obtenu. Cette dénition s'étend bien évidemment à A k (X) par linéarité. On a un certain nombre de propriétés utiles qui viennent directement de cette construction : Proposition 2.1. Soient D, D des pseudo-diviseurs sur X, α, α des k-cycles sur X, f : X X un morphisme propre, g : X X un morphisme plat et β un k-cycle sur X. Alors : 1. D (α + α ) = D α + D α 2. (D + D ) α = D α + D α 3. f (f D β) = D f (β) 4. g D g α = g (D α) 5. D [D ] = D [D] 6. si O X (D) est trivial, alors D α = 0 Enn, si α est un k-cycle sur X, β un l-cycle sur Y, p la projection de X Y sur X et D un pseudo-diviseur sur X, alors (p D) (α β) = (D α) β Tout ceci nous permet de dénir la classe de Chern d'un bré en droites. En eet, si L est un bré en droites sur X, alors pour toute sous-variété V de X de dimension k, la restriction L V de L à V est isomorphe à O V (C) pour un certain diviseur de Cartier C sur V, à équivalence linéaire près. Qui donne alors un élément [C] bien déni dans A k 1 (X), que l'on note c 1 (L) [V ]. Cette opération s'étend convenablement à A k (X) A k 1 (X). On a de plus les propriétés suivantes : 4

6 Proposition 2.2. Soient α un k-cycle sur X, β un k-cycle sur X, L, L deux brés en droites sur X, f : X X un morphisme propre et g : X X un morphisme plat, alors : 1. c 1 (L) (c 1 (L ) α) = c 1 (L ) (c 1 (L) α) 2. f (c 1 (f L) β) = c 1 (L) f β 3. c 1 (g L) g α = g (c 1 (L) α) 4. c 1 (L L ) α = c 1 (L) α + c 1 (L ) α 5. c 1 (L ) α = c 1 (L) α Ceci nous permet de dénir le degré d'un k-cycle α sur P n par p c 1 (O(1)) k α, où l'exposant désigne l'itération et p le morphisme structurel vers le corps de base. On peut construire aussi les classes de Chern d'un bré vectoriel quelconque sans se limiter aux brés en droites : Soit E un bré vectoriel de rang e + 1 sur X, soit P le bré projectif associé, p la projection de P sur X, et O(1) le bré canonique sur P. On dénit la classe de Segre, α s i (E) α de A k (X) dans A k i (X) par s i (E) α = p (c 1 (O(1)) e+i p α) Cette classe vérie les mêmes propriétés de commutation que la première classe de Chern d'un bré en droites. De plus, p : A k (X) A k+e (P) est un monomorphisme scindé. On dénit la série formelle s t (E) = i s i (E)t i et le polynôme de Chern c t (E) = i c i (E)t i comme étant la série formelle inverse (il s'agit bien d'un polynôme). On pose aussi la classe de Chern totale comme étant c(e) = i c i(e) et de même pour la classe de Segre totale. De la même façon, les classes de Chern vérient les mêmes propriétés de commutation que les premières classes de Chern d'un bré en droites, avec en plus que c i (E) = 0 pour tout i > rang(e) et que pour toute suite exacte 0 E E E 0 on a c t (E) = c t (E )c t (E ). Enn, on dispose d'un principe général : si on dispose d'une ltration de E par des sous-brés dont les quotients successifs sont des brés en droites L i, on a c t (E) = (1 + c 1 (L i )t) i Les c 1 (L i ) sont appelés racine de Chern de E, et du fait de cette décomposition, on peut exprimer toute fonction symétrique de ces racines par les classes de Chern de E. 5

7 Par conséquent, on peut factoriser de façon purement formelle un polynôme de Chern en c t (E) = (1 + α i t) i et utiliser cette décomposition pour dénir aisément des objet qui sont symétriques en ces racines. Par exemple, le caractère de Chern : ch(e) = i exp(α i ) ou le caractère de Todd td(e) = i α i 1 exp αi Enn, un dernier théorème nous précise un peu plus la structure de ces A k. On considère toujours E un bré vectoriel sur X, de rang r = e + 1, π : E X la projection, p : P X le bré projectif associé. On a alors Proposition 2.3. Le pull-back plat π : A k r (X) A k (E) est un isomorphisme pour tout k et on a des isomorphismes canoniques e A k e+i (X) A k (P). i=0 On commence à disposer d'un assez bon matériel pour décrire comment les sous-variétés s'intersectent, regardons ce que cela donne déjà pour l'instant. 3 RiemannRoch Un point important de la géométrie est de calculer la dimension d'un système linéaire D ou de nd pour n grand, où D est un diviseur. Lors de ce calcul, les théorèmes de type RiemannRoch mettent en relation la caractéristique d'euler et des intersection de diviseurs ainsi que des invariants de la variété. Combinés à certains résultats de cohomologie, cela permet d'eectuer les calculs souhaités. Rappelons que si E est un faisceau cohérent sur X, la caractéristique d'euler est dénie par χ(e) = ( 1) i dim k (H i (X, E)) i où k est le corps de base. On a alors des premiers résultats. Sur une courbe X, de genre g, pour un diviseur D, χ(l(d)) = deg D + 1 g où L(D) est le bré en droites associé à D. Pour une surface de genre arithmétique p a, χ(l(d)) = 1 2 D (D K) p a 6

8 où K est le diviseur canonique. On va chercher à exprimer χ(e) pour E un faisceau cohérent localement libre. Pour cela, commençons par introduire le groupe A (X) qui est déni comme le groupe A (X), à part qu'il est indexé par la codimension (les pull-backs sont alors de degré 0). Dénition 3.1 (Théorie de l'intersection). Soit B une certaine classe de variétés donnée avec certains morphismes. Une théorie de l'intersection sur B est la donnée d'un appariement A r (X) A s (X) A r+s (X) pour tous r, s, satisfaisant les axiomes suivants : (A1) L'appariement fait de A (X) un anneau commutatif unitaire gradué pour tout X B, l'anneau de Chow de X. (A2) Pour tout morphisme f : X X de variétés dans B, f : A (X) A (X ) est un morphisme d'anneaux, de plus si g : X X est un autre tel morphisme, (f g) = g f. (A3) Pour tout morphisme propre f : X X de variétés dans B, f : A (X ) A (X) est un morphisme de groupes gradués qui décale le degré. De plus, si g : X X est un autre tel morphisme, (f g) = f g. (A4) Si f : X X est un morphisme propre et sir x A (X ) et y A (X), alors f (x f y) = f (x) y. (A5) Si Y et Z sont des cycles sur X et si : X X X est le morphisme diagonal, alors Y Z = (Y Z). (A6) Si Y et Z sont des sous-variétés de X qui s'intersectent proprement (soit toute composante irréductible de Y Z de codimension la somme de la codimension de Y et de Z), alors on peut écrire Y Z = i(y, Z; W j )W j où la somme est faite sur les composantes irréductibles W j de Y Z et où l'entier i(y, Z; W j ), ne dépend que d'un voisinage autour du point générique de W j. On l'appelle multiplicité local d'intersection de Y et Z le long de W j. (A7) Si Y est une sous-variété de X et Z un diviseur de Cartier eectif qui rencontre Y proprement, alors Y Z est le cycle associé au diviseur de Cartier Y Z sur Y. Il se trouve que si B est la classe des variétés quasi-projectives régulières sur un corps algébriquement clos, alors il existe une unique théorie de l'intersection qui est celle que nous allons développer par la suite. On remarque de plus que (A6) nous donne presque le résultat que l'on cherchait initialement. Les résultats que l'on obtient sont alors assez satisfaisants : Théorème 3.1 (HirzebruchRiemannRoch). Pour un faisceau E localement libre de rang r sur une variété projective régulière X de dimension n, on a χ(e) = deg(ch(e) td(t )) n où T est le bré tangent et ( ) n désigne la composante de degré n dans A (X) Q. Une autre généralisation est le théorème de GrothendieckRiemannRoch qui exprime le comportement des caractères de Chern lors d'un morphisme projectif lisse sur des variétés régulières quasi-projectives. 7

9 4 Intersections La première construction classique d'une intersection est de considérer i : X Y une immersion fermée régulière de codimension d et de faisceau normal N X Y. Soit ensuite V un schéma de dimension k pure et f : V Y un morphisme. Soit W = f 1 (X). On dispose alors par le diagramme cartésien de j : W V et g : W X. Soit N = g N X Y, qui est un faisceau de rang d sur W et π : N W la projection. π se relève au-dessus de W par une immersion du cône normal C = C W V dans N, avec C purement de dimension k. Soit s la section zéro du bré N. On peut alors dénir le produit d'intersection de V par X sur Y comme (π ) 1 [C]. Si les C i sont les composantes irréductibles de C ; de multiplicité géométrique m i dans C et Z i leur support dans W, on appelle les Z i les variétés distinguées de l'intersection de V par X. On peut ensuite écrire X V = m i α i où les α i sont dénis comme suit : Soit N i la restriction de N à Z i, est s i la section 0 de N i (qui est l'inverse de la projection π i ) alors α i = s i [C i]. Chaque Z i peut avoir une dimension comprise entre k d et k, dans le cas où il s'agit de k d alors α i = [Z i ]. Si c'est le cas pour tous les Z i, on dit que X et V s'intersectent proprement. On obtient alors une multiplicité i(z, X V ; Y ) qui correspond à ce que l'on attendait. La bonne dénition à prendre pour i(z, X V ; Y ) est i(z, X V ; Y ) = ( 1) i l A [ Tor A (A/a, A/b) ] où A est l'anneau local du point générique de Z dans Y, a l'idéal de X et b celui de V. Dans le cas de variétés régulières (lisses sur un corps de base), on peut prendre la dénition diagonale donnée précédemment et on retrouve les mêmes résultats, de plus le théorème de Bézout généralisé recherché découle directement. 5 Conclusion et ouvertures Au total, la théorie de Chow contient beaucoup d'information géométrique sur les variétés que l'on considère et sur la façon dont certaines sous-variétés s'intersectent. Il est donc particulièrement important de pouvoir calculer la structure de l'anneau de Chow. Cependant, c'est une tâche très dicile de façon générale et notamment quand le corps de départ n'est pas algébriquement clos. On est amenés à s'intéresser à l'anneau de Chow d'une variété sur la clôture algébrique d'un corps de base et à essayer de déterminer par la suite l'image de ce plongement. Dans certains cas bien précis, en utilisant par exemple une décomposition cellulaire via une quadrique, on peut obtenir des informations sur l'appartenance ou non de certains cycles à cette image. C'est le cas du théorème suivant, dont la démonstration utilise des techniques de cobordisme algébrique, d'opérations symétriques et de Steenrod ainsi que de décomposition cellulaire. Théorème 5.1 ([3] Vishik th. 3.1). Soit k un corps de caractéristique 0. Soient Y une variété projective lisse et Q une quadrique projective lisse de dimension 8

10 n, sur k. Soit ȳ CH m (Y k)/2 un cycle d'ordre m. Si ȳ k(q) est déni sur k(q) ( i. e. est dans l'image du morphisme naturel CH(Y k(q) ) CH(Y k(q) )), alors : Pour tout j > m [(n + 1)/2], Sq j Y (ȳ) CH (Y ) est déni sur k ; Si j = m [(n + 1)/2], Sq j Y (ȳ) + x ȳ est déni sur k pour un certain x de CH j (Y k)/2 de la forme ac (π Y ) (z h [n/2] ) où z CH m (Q Y )/2. 9

11 Bibliographie [1] W. Fulton, Intersection Theory, Springer-Verlag, [2] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer-Science, [3] A. Vishik, Generic points of quadrics and Chow groups, Manuscripta mathematica, mars 2007, Springer, vol. 122, n o 3,