CORRIGE DE L'EXAMEN DU 4 DECEMBRE 2002

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1 CORRIGE DE L'EXAMEN DU 4 DECEMBRE EXERCICE. Notos X la variable aléatoire décrivat l'idetificatio des pièces défectueuses. Le ombre de valeurs possibles de X correspod au ombre de cofiguratios possibles de pièces défectueuses parmi les. Il y a; cofiguratio de pièce défectueuse parmi les C cofiguratios de pièce défectueuse parmi les C cofiguratios de pièces défectueuses parmi les C cofiguratios de pièces défectueuses parmi les O obtiet doc C ( + ) valeurs possibles pour X. Le cas le plus défavorable (etropie maximum) correspod à ue loi uiforme de X qui coduit à: ( X ) bits log. L'icertitude moyee relative à l'idetificatio des pièces défectueuses est doc de bits.. Associos à chaque test ue variable aléatoire de telle sorte que : X (resp.) ème { la pièce examiée au test est défectueuse (resp.coforme} L'iformatio moyee apportée par le premier test sur l'idetificatio des pièces défectueuses s'écrit : I ( X ; X ) ( X ) ( X / X ) ( X ). La derière égalité état justifiée par le fait que la coaissace des pièces défectueuses etraîe la coaissace du résultat du test. lus gééralemet l'iformatio moyee apportée par les premiers tests effectués s'écrit : I ( X X,..., X ; X ) ( X, X,..., X ) ( X, X,..., X / X ) ( X, X,..., X ), - -

2 De plus, les résultats obteus lors des tests état idépedats, o a : ( X, X,..., X ) ( X j ) j oit fialemet I( X, X,..., X ; X ) ( X j ) j X Le problème cosiste doc à évaluer ( ) Les cosidératios de la première questio cocerat l'équiprobabilité des différetes cofiguratios impliquet que la probabilité qu'ue pièce doée soit défectueuse est,5. E effet,si p désige la probabilité qu'ue pièce soit défectueuse, alors l'hypothèse d'équiprobabilité de la première questio etraîe que la probabilité d'avoir les pièces défectueuses est p, soit p. Aisi l'etropie de chaque variable X est de bit. ar coséquet, l'iformatio moyee apportée par les premiers tests sur l'idetificatio des pièces défectueuses est bits. 3. Le procédé décrit cosistat à tester chacue des pièces, o est assuré, après tests, de coaître la "valeur" de X. O a doc : I ( X X,..., X ; X ) ( X ) ( X / X, X,..., X ) ( X ), Le résultat établi à la questio précédete appliqué à coduit à : I( X, X,..., X ; X ) bits, ce qui coïcide avec la valeur de ( X ) questio.. détermiée à la première EXERCICE remière associatio Le caal proposé est bie etedu symétrique car les "" et les "" sot traités de la même maière. Il s'agit doc d'u caal biaire symétrique. i o 'est pas covaicu de ce résultat, il faut calculer deux probabilités de trasitio apparteat à deux liges différetes de la matrice de trasitio. Notos X la variable d'etrée commue aux deux caaux, Y (resp. Y ) la variable de sortie du caal situé e haut (resp. e bas) du dessi et Y la sortie de l'orgae de décisio. Calculos Y / X. (par exemple) { } Compte teu du mode de foctioemet du dispositif, o a : { Y } { Y A Y D} { Y A Y C Y } { Y A Y C Y } - -

3 Les évéemets format la réuio état deux à deux icompatibles : { / X } { Y A Y D / X } + { Y A Y C Y / X } + { Y B Y D Y / X } Y A etrée fixée ( ici X ) les sorties des caaux sot idépedates. ar coséquet : { Y A Y D / X } { Y A/ X } { Y D / X } ( E outre, { A Y C Y / X } Y et { A Y C Y / X } Y { A Y C Y X } { X } Y { / Y A Y C X } { Y A Y C X } { X } Y soit { Y A Y C Y / X } { Y / Y A Y C X } { Y A Y C / X } or Y A Y C / X p a été effectué précédemmet). { } ( ) p. (Ce calcul est aalogue à { Y A Y D / X } qui De plus, la variable Y est ue foctio détermiiste des variables Y et Y et par coséquet à Y et Y fixés, elle e déped pas de X. Aisi : { Y / Y A Y C X } { Y / Y A Y C} O a doc : { Y A Y C Y / X } p( De faço aalogue, o trouverait : { Y B Y D Y / X } p( O obtiet fialemet : { Y / X } ( + p( ( Les "" et les "" état traités de la même maière, o obtiedrait : { Y / X } ( O a par coséquet : { Y / X } { Y / X } p Il s'agit doc d'u caal biaire symétrique de probabilité d'erreur p et de capacité égale à p. ( ) Deuxième associatio - 3 -

4 Comme le précédet, il s'agit d'u caal biaire symétrique. Notos X la variable d'etrée, N le ombre de sorties des caaux égales simultaémet à et Y la variable de sortie. O a : or, { Y / X } { N 3 N / X } { N 3/ X } + { N / X } { N 3/ X } ( 3 et { N / X } 3( p soit 3 { Y / X } ( + 3( p ( [ p + 3p] ( ( + La probabilité d'erreur du caal est 3 p + p p + p + p 4 p + p p 3 p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a capacité est p ( 3 EXERCICE 3. La mise e œuvre de l'algorithme de uffma coduit à l'arbre ci-dessous : A B C D E F G /6 /6 /6 /6 /4 /4 /4-4 -

5 O obtiet les mots code : mots source mots code A B C D E F G Le ombre moye d'élémets biaires utilisés pour représeter ue lettre source est : ,5 6 4 L'etropie de la source est : ( ) log + 3 log 4 +,5 bits 4 Il s'agit doc d'u code optimum.. La correspodace etre les mots source et les mots code est bijective. De plus, à u mot source, doc à ue réalisatio de, il correspod e moyee réalisatios de U. Doc l'icertitude moyee sur u symbole de se retrouve sur réalisatios de U. ar coséquet o a la relatio : ( ) ( U ) Remarque O aurait pu raisoer e termes de débit d'iformatio. Le codage effectué état sas perte d'iformatio, cela sigifie que les débits d'etropie de et de U sot égaux. Aisi, si D est le débit symbole de, le débit symbole de U est s'écrit alors : D ( ) D ( U ) D ( U ) U U D D. L'égalité des débits d'etropie soit ( U ) ( ) bit 3. oit u très grad ombre de lettres source. L'applicatio de la loi des grads ombres ous idique que le ombre de A qui apparaisset das cette suite est ( A) et bie sûr il e est de même pour les autres lettres. Aisi o peut évaluer le ombre de "" qui apparaisset das cette suite : - 5 -

6 { A} + 3 [ { B} + { C} ] + { D} + [ { E} + { F} ] Calculos le ombre de "" das cette même suite : [ { B} + { C} + { E} + { F} ] + [ { D} + { G} ] Les fréqueces absolues d'apparitio des "" et des "" sot égales, par coséquet les probabilités d'apparitio des "" et des "" sot égales et U suit ue loi uiforme L'etropie de U état maximale, elle est sas mémoire. 5. lus gééralemet, si le codage biaire d'ue source est optimum, alors la logueur et l'etropie de la source biaire U résultat du moyee des mots code vérifie ( ) codage a ue etropie telle que ( U ) ( ) ( ) bit, soit :. Cette source biaire U est sas mémoire et d'etropie maximale égale à. U L'objectif d'u codage de source est doc de costruire ue source sas mémoire de loi uiforme

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