Draft. Introduction à la Plateforme Dynare. Jean-Paul K. Tsasa Vangu. Mars 2, 2012; updated

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1 Jean-Paul K. Tsasa Vangu Laboratoire d analyse-recherche en économie quantitative (Atelier Laréq) Mars 2, 2012; updated

2 Qu est-ce que Dynare? Dynare est un logiciel qui permet de simuler et d estimer les modèles d anticipations rationnelles Il a été développé, à l origine, par Michel Juilliard Téléchargement gratuit, cf. : Après le téléchargement et l installation, assurez-vous d ajouter le dossier Dynare à votre chemin de MatLab Dynare fonctionne avec MatLab pour Windows, Mac OS ou Linux (Debian, Ubuntu) Dynare fonctionne également avec Octave

3 Résolution d un modèle DSGE Dans la plupart de cas, la résolution des modèles DSGE se fait numériquement Cependant, on peut recourir à un modèle RBC simple ou à un problème de croissance optimal standard pour illustrer la solution analytique Marche à suivre : Identifier les variables endogènes, exogènes et prédéterminée/variables d état versus variables de contrôle Dériver le système d équilibre du modèle (CPOs, Equation d Euler, autres conditions d équilibre,...) Calculer l état stationnaire (Log)-lineariser les équations du système d équilibre

4 Approximation de l état stationnaire (1) Dynare résoud l état stationnaire d un modèle DSGE en utilisant la méthode de perturbation Références : Collard et Julliard (2000) ; Sims (2002) ; Schmitt-Grohe et Uribe (2003) Considérons un modèle générique tel que : E t {f (y t+1, y t, y t 1, u t ; θ} = 0, (1) où E t est l opérateur d espérance mathématique ; f est un vecteur de variables courantes y t, prédéterminées y t 1 et anticipées y t+1 ; u t un vecteur de chocs exogènes ; θ un vecteur de paramètres structurels E(u t ) = 0, E(u t, u t) = Σ u, E(u t, u s) = 0 pour t s

5 Approximation de l état stationnaire (2) Le modèle étant stochastique, les inconnues seront des fonctions de décision : y t = g(y t 1, u t ), (2) pouvant être linéairement approximées comme suit : y t = y + Aŷ t 1 + Bu t, (3) où y est la valeur de y t en état stationnaire et ŷ t = y t y Les équations (2) peuvent également être log-linéarisées (cf. Atelier pour illustration)

6 Approximation de l état stationnaire (3) De plus en plus, les économistes s intéressent aux approximations d ordre supérieur Avantage : Pas d équivalence certaine Par exemple, l approximation d ordre 2, cf. Schmitt-Grohe et Uribe (2003) Dans ce dernier cas, l approximation quadratique pour les équations (2) s écrivent : y t = y+aŷ t 1 +Bu t (ŷ t 1Cŷ t 1 +u tdu t )+ŷ t 1Fu t +GΣ u, (4) où y est la valeur de y t en état stationnaire et ŷ t = y t y

7 Premier pas sur Dynare L extension de fichier Dynare est :.mod Un fichier.mod standard contient généralement 5 blocs : Bloc 1 : Préambule Bloc 2 : Modèle Bloc 3 : Initialisation Bloc 4 : Choc Bloc 5 : Computation Il est également possible d écrire dans un fichier MatLab, un code qui contient des instructions Dynare (cf. Atelier pour exemple)

8 Modèle d analyse Problème du Planificateur social : sujet à : max E 0 {c t,i t} t=0 t=0 la contrainte de ressources : la loi de transition du capital : [ c β t θ t (1 n t ) 1 θ] 1 γ 1 γ (5) c t + i t = e z t k α t n 1 α t (6) k t+1 = i t + (1 δ)k t (7) La productivité est stochastique, et suit un processus AR(1) : où ε t N (0, 1) z t = ρz t 1 + σε t, (8)

9 Caractérisation de l équilibre (Détails calculs, cf. Atelier) Equations (6) et (7) : k t+1 = e zt k α t n 1 α t c t + (1 δ)k t (9) Equation d Euler inter-temporelle : [ c θ t (1 n t ) 1 θ] 1 γ {[ c θ t+1 (1 n t+1 ) 1 θ] 1 γ c t = βe t Equation d Euler intra-temporelle : c t+1 ( )} (10) 1 + e kα zt+1 t+1 nt+1 α δ k t+1 1 θ c t = (1 α)e zt kt α nt α (11) θ 1 n t

10 Quelques conventions Dynare Le système d équilibre de notre modèle, comprend les équations (8), (9), (10) et (11) Ces équations peuvent être saisies directement comme telles sur Dynare, tout comme elles peuvent être (log-) linéarisées Dans les deux cas, Dynare compute la solution Dans Dynare, tout commentaire doit être précédé par // Chaque instruction doit se terminer par un point-virgule ;

11 Création de son premier fichier.mod (1) // Bloc 1 : Préambule var c k n z; predetermined variables k; varexo e; parameters beta theta delta alpha gamma rho sigma; beta = 0.987; theta = 0.357; delta = 0.012; alpha = 0.4; gamma = 2; rho = 0.95; sigma = 0.007;

12 Création de son premier fichier.mod (2) // Bloc 2 : Modèle model; z=rho*z(-1)+sigma*e; k(+1)=exp(z)*k ˆ alpha*n ˆ (1-alpha)-c+(1-delta)*k; ((c ˆ theta*(1-n) ˆ (1-theta))) ˆ (1-gamma)/c = beta*((c(+1) ˆ theta*(1-n(+1))ˆ(1-theta))ˆ(1-gamma)/c(+1))*(1+alpha* exp(z(+1))*k ˆ (alpha-1)*n(+1)ˆ(1-alpha)-delta); ((1-theta)/theta)*(c/(1-n))=(1-alpha)*exp(z)*k ˆ alpha*n ˆ (-alpha); end;

13 Création de son premier fichier.mod (3) // Bloc 3 : Initialisation initval; k=1; c=1; n=0.3; z=0; e=0; end; NOTE : Dans le bloc 3, le modélisateur (programmeur) choisit les valeurs qu il estime proche du vrai état d équilibre. Par exemple, il peut se référer aux valeurs de l état stationnaire déterministique.

14 Création de son premier fichier.mod (4) // Bloc 4 : Choc shocks; var e; stderr sigma; end; Rappel : notre modèle n a qu un seul choc stochastique, choc de productivité.

15 Création de son premier fichier.mod (5) // Bloc 5 : Computation steady; // cette instruction trouve le vrai état stationnaire check; // fournit les valeurs propres (cf. Blanchard et Kahn 1980) stoch simul(periods=1000, irf=200, order=1); // simule le modèle dynasave(simudata.mat ); // sauvegarde les résultats

16 Simuler le modèle On peut ajouter plusieurs autres options dans l instruction stoch simul, par exemple pour les données trimestrielles : hp filter=1600, car par défaut les moments théoriques générés par Dynare sont non filtrés L option hp filter=1600 ne filtre pas les moments simulés Des détails supplémentaires peuvent être recueillis ici : Le nom de notre fichier étant : exemple1.mod Pour simuler notre modèle, il suffit de taper sur la ligne de commande MatLab l instruction : dynare exemple1

17 Output Dynare (1) Après la commande dynare exemple1, Dynare produit les fichiers suivants : lareq1.m : principal script MatLab pour notre modèle lareq1 static.m : version statique du modèle lareq1 dynamic.m : version dynamique du modèle

18 Output Dynare (2) Par ailleurs, les résultats obtenus avec l instruction stoch simul comprend notamment : les valeurs des variables endogènes à l état stationnaire le sommaire du modèle, i.e. un résumé des variables par type la matrice de covariance des chocs exogènes les fonctions politique et de transition le premier et le deuxième moments théoriques (moyenne/écart-type) la matrice de corrélation théorique les autocovariances théoriques jusqu à l ordre 5 les réponses impulsionnelles x e, où x e désigne la réponse impulsionnelle (IRF) de la variable x suite à un choc e.

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20 Legend : Fonctions de réponses impulsionnelles (IRF)

21 Estimation par l approche bayésienne (1) Références : Irland (2004) ; Canova (2007) ; DeJong et Dave (2011) L estimation d un modèle par la méthode de maximum de vraisemblance (MLE) et l estimation par la version bayésienne du maximum de vraisemblance sont très liées (B-MLE) La seule différence est que la B-MLE contient un prior ou une information additionnelle L incertitude et la connaissance a priori du modèle et des paramètres sont décrites par les probabilités a priori

22 Estimation par l approche bayésienne (2) La confrontation de la probabilités a priori aux données conduit à une révision des probabilités, et permet de dériver les probabilités a posteriori Les estimations ponctuelles sont obtenues en minimisant une fonction de coût Dynare estime les paramètres structurels d un modèle en se basant sur une approximation linéaire : E t {f (y t+1, y t, y t 1, u t ; θ} = 0 (12) On peut recourir à un modèle RBC simple ou à un problème de croissance optimal standard pour illustrer la technique d estimation bayésienne d un modèle DSGE

23 Etapes d estimation d un modèle DSGE Stratégie : Caractériser l état stationnaire Linéariser le modèle Résoudre le modèle linéarisé Calculer la log-vraisemblance via le filtre de Kalman Trouver le maximum de la probabilité mode ou postérieur Simuler la distribution a posteriori à l aide de l algorithme Métropolis Dériver les différentes statistiques à partir de la distribution a posteriori Générer les valeurs des variables non observées Calculer les prévisions et les intervalles de confiance Considérons le même exemple que précédemment. Cependant, cette fois nous voulons estimer les paramètres θ, γ, ρ et l écart-type du terme d erreur ε t

24 Modèle d analyse Problème du Planificateur social : sujet à : max E 0 {c t,i t} t=0 t=0 la contrainte de ressources : la loi de transition du capital : [ c β t θ t (1 n t ) 1 θ] 1 γ 1 γ (13) c t + i t = e z t k α t n 1 α t (14) k t+1 = i t + (1 δ)k t (15) La productivité est stochastique, et suit un processus AR(1) : où ε t N (0, 1) z t = ρz t 1 + σε t, (16)

25 Fichier exemple2.mod (1) // Bloc 1 : Préambule var c k n z; predetermined variables k; varexo e; parameters beta theta delta alpha gamma rho sigma; beta = 0.987; delta = 0.012; alpha = 0.4; sigma = 0.007;

26 Fichier exemple2.mod (2) // Bloc 2 : Modèle model; z=rho*z(-1)+sigma*e; k(+1)=exp(z)*k ˆ alpha*n ˆ (1-alpha)-c+(1-delta)*k; ((c ˆ theta*(1-n) ˆ (1-theta))) ˆ (1-gamma)/c = beta*((c(+1) ˆ theta*(1-n(+1))ˆ(1-theta))ˆ(1-gamma)/c(+1))*(1+alpha* exp(z(+1))*k ˆ (alpha-1)*n(+1)ˆ(1-alpha)-delta); ((1-theta)/theta)*(c/(1-n))=(1-alpha)*exp(z)*k ˆ alpha*n ˆ (-alpha); end;

27 Fichier exemple2.mod (3) // Bloc 3 : Initialisation initval; k=1; c=1; n=0.3; z=0; e=0; end;

28 Fichier exemple2.mod (4) // Bloc 4 : Computation estimated params; theta, normal pdf, 0.3,0.05; gamma, normal pdf, 2.1,0.3; rho, beta pdf, 0.93,0.02; stderr e, inv gamma pdf, 0.95,30;; end; varobs c; estimation(datafile=simudata,mh replic=1000,mh jscale=0.9, conf sig=0.9,nodiagnostic, bayesian irf);

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31 Output Dynare Les informations suivantes sont affichées par Dynare après l exécution de l instruction estimation : les résultats de l optimisation a posteriori la densité log-marginale la moyenne et le plus intervalle de confiance de la simulation a posteriori les graphiques de convergence de Metropolis-Hastings les graphiques de chocs et des erreurs d observations Dans le code proposé, la seule variable observée est la consommation Pour l estimation, il faut au moins autant de chocs que des variables observées, et notre modèle n en a qu un seul, le choc de productivité

32 Legend : smoothed shock

33 Legend : Historical and smoothed variables

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35 Où obtenir les priors? L estimation bayésienne requiert les priors, ainsi que leurs distributions Généralement les priors proviennent des études microéconomiques et de la littérature (études existant) Les distributions disponibles sur Dynare sont : la normale, la gamma, la beta, l inverse gamma et l uniforme Par ailleurs, notons que l option mh replic détermine le nombre de réplications nécessaires pour l algorithme Metropolis-Hastings Par défaut, le nombre de réplications est Autres détails, cf. :

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