Exercice 1 : «un gars, une fille» (3 points)

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1 Exercice 1 : «un gars, une fille» (3 points) Simulation : On a simulé la situation sur un tableur. Le graphique ci-dessous indique l évolution de la fréquence de l évènement M «Avoir un garçon et une fille» calculée sur un nombre croissant de simulations, de 1 à ,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, D après le graphique tracé par tableur, on observe que la fréquence de l évènement M a tendance à se stabiliser vers de 0,5 soit, pour un nombre de simulations suffisant (environ 200). 2. On peut ainsi évaluer la probabilité de l évènement M à d après la loi des grands nombres, énoncée par Bernoulli, affirmant que la fréquence d un évènement va se stabiliser autour de de probabilité d occurrence de cet évènement. On note F pour fille, G pour garçon et Ω = {FF, FG, GF, GG} l univers de l expérience. 3. On construit un arbre de probabilités de cette expérience. F G F : FF G : FG F : GF G : GG On remarque que, puisque l ordre est quelconque, l évènement M est réalisé pour les issues FG et GF. Chaque issue de l univers est équiprobable et élémentaire et sa probabilité est de. Ainsi ( ) ( ) ( ). Pour conclure, on retrouve bien par cette méthode, le résultat obtenu par simulation : ( ). Un vrai choix de roi! Devoir Surveillé n 1 : Corrigé 1/5

2 Exercice 2 : «messages indésirables» (4 points) Un nouveau logiciel permet de filtrer les messages sur une messagerie électronique. Les concepteurs l ont testé pour messages et voici leurs conclusions : - 70 % des mails sont des messages indésirables (spam) ; - 95 % de ces spam sont éliminés ; - 2 % des messages bienvenus sont éliminés. On considère les évènements suivants : - B : «le mail est un message bienvenu» ; - S : «le mail est un message indésirable (spam)» ; - E : «le mail est éliminé» ; - C : «le mail est conservé». 1. Vu les données récupérées lors du test, on obtient le tableau suivant. bienvenus indésirables Total éliminés 6 (2% x 300) 665 (95% x 700) 671 (6+665) conservés 294 (300-6) 35 ( ) 329 (294+35) Total 300 ( ) 700 (70% x 1000) Les évènements B et S sont incompatibles puisque un mail est soit bienvenu soit indésirable mais pas les deux en même temps. Ces deux évènements sont même complémentaires puisqu ils décrivent l ensemble de l univers (mails reçus sur la messagerie électronique). Un nouveau message est reçu dans la messagerie. On suppose le nombre de mails observés assez grand pour que les fréquences de chaque évènement soient égales à leur probabilité d occurrence. 3. D après le tableau, on peut assimiler les fréquences des évènements à leurs probabilités donc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) car et (évènements contraires). 4. Définition des évènements : : «le mail est un message bienvenu qui a été éliminé» : «le mail est un message indésirable ou un message conservé» 5. D après le tableau, on peut assimiler les fréquences des évènements à leurs probabilités donc ( ) et ( ) ( ) ( ) ( ). On peut conclure que le logiciel de filtrage de la messagerie pourrait s améliorer au niveau de l élimination des spam. En effet, si l erreur est acceptable pour les mails Devoir Surveillé n 1 : Corrigé 2/5

3 bienvenus (2 % d éliminés), elle devient importante pour les mails indésirables (5 % de conservés). Exercice 3 : «avec des radicaux» (2,5 points) Variables : Début Saisir Afficher Fin quatre nombres réels. Le cadre ci-dessus contient un algorithme. On pose ( ). 1. Pour, on a donc alors. Ainsi ( ). Pour, on a donc alors. Ainsi ( ). 2. En gardant comme variable et par la même méthode, on peut déterminer l expression algébrique de la fonction définie sur R par cet algorithme. Pour quelconque, on a donc ( ) alors. Ainsi ( ) ( ). 3. Bonus (+ 1 pt): Selon le modèle ci-dessus, voici un algorithme permettant de construire ( ) en saisissant en entrée de l algorithme. Variables : Début Saisir Afficher Fin quatre nombres réels. En posant ( ), on a bien construit notre nouvelle fonction. Exercice 4 : «la fonte des glaces» (3,5 points) 1. D après une lecture graphique, on peut voir que la fonction est constante sur l intervalle [58 ; 160] (valeur approchée). Cela représente une durée de 102 s soit Le saviez-vous? : Le phénomène qui se déroule pendant cette période est appelée la fusion. La température est constante sur cette période car, pendant la fusion, toute l énergie absorbée est utilisée pour transformer la glace en eau liquide. Devoir Surveillé n 1 : Corrigé 3/5

4 2. C est l eau à l état solide (de la glace, à gauche sur le graphique) qui se réchauffe le plus rapidement. En effet, sur le graphique, l eau est à l état solide à gauche (températures négatives) et à l état liquide à droite (températures positives). D après le graphique, la glace monte de 4 C en moins de 58 s alors que l eau liquide ne gagne pas plus de 2 C pendant le même temps. 3. Tableau de variation de la fonction sur l intervalle [0 ; 300] : ( ) Exercice 5 : «jardin zen» (7 points) Les deux parties suivantes sont indépendantes et peuvent être traitées séparément. Partie 1 On considère la fonction définie par ( ). 1. D après l expression algébrique, on calcule les images suivantes : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Or 30 est un entier positif, donc un entier naturel. Alors ( ) N. 2. A l aide d une calculatrice, on obtient le tableau suivant (valeurs approchées à 10-2 près) : ,5 2 2, ( ) , , En s aidant du tableau de valeurs précédent et de la calculatrice, on obtient le graphique suivant. Devoir Surveillé n 1 : Corrigé 4/5

5 4. Le point M (2 ; 32) n appartient pas à la courbe de car ( ). Donc l ordonnée du point M n est pas l image de l abscisse par la fonction : le point M n est pas sur la courbe que l on vient de tracer. 5. Résolution graphique de l inéquation ( ) : on trace la droite d équation y = 64. Elle coupe la courbe représentative de aux points A et E d abscisses respectives -4 et 8. L ensemble-solution de cette inéquation est l ensemble des abscisses des points situés sous la droite (autrement dit des points entre A et E, inclus). L ensemble-solution est ainsi l intervalle [-4 ; 8]. 6. La fonction admet : un minimum en 2 sur [0 ; 8]. En effet, pour tout de l intervalle [0 ; 8], on a ( ) ( ). Graphiquement, on voit que le point C est au plus bas de la courbe. un maximum en 8 sur [0 ; 8]. En effet, pour tout de l intervalle [0 ; 8], on a ( ) ( ). Graphiquement, on voit que le point E est au plus haut de la courbe sur cet intervalle. Partie 2 1. appartient à l intervalle [0 ; 8] puisqu une longueur est toujours positive et que la longueur AE est inférieure ou égale à AB = 8 m. 2. L aire du carré AEFG est la longueur du côté au carré soit. 3. On appelle la longueur de la hauteur du triangle DFC issue de F. On remarque que donc, comme AEFG est un carré, soit ( ). 4. On en déduit l aire du triangle DFC qui est le demi-produit d un côté du triangle et de sa hauteur associée soit ( ) car DC = 8 m. L aire de la partie hachurée est la somme des deux aires précédentes (carré AEFG et triangle DFC) soit ( ) ( ). 5. Bonus (+1 pt) : Les propriétaires voudraient que le jardin occupe la moitié du terrain. C est bien possible. En effet, on remarque que ( ) la fonction étudiée dans la Partie 1. Le terrain fait 64 m². On veut que l aire du jardin fasse la moitié de celle du terrain soit 32 m². Il suffit donc de résoudre l équation ( ). On peut résoudre graphiquement en traçant la droite d équation sur la courbe de la Partie 1. Elle coupe la courbe aux points B et D d abscisses 0 et 4. On peut conclure que c est possible pour. Devoir Surveillé n 1 : Corrigé 5/5

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