APPLICATION des SERIES de FOURIER : ANALYSEUR de SPECTRE ANALOGIQUE. (Vol. 1)

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1 Dep GEII IU Bordeaux I APPLICAION de SERIES de FOURIER : ANALYSEUR de SPECRE ANALOGIQUE (Vol. ) G. Couurier el : couurier@elec.iua.u-bordeaux.fr

2 Sommaire I- Série de Fourier I- - Gééralié ur le érie de Fourier I- - Apec phyique de la érie de Fourier I- 3- Développeme e erme complexe de érie de Fourier I- 4- Exemple I- 5- Aalye pecrale I- 6- Valeur efficace e aux de diorio ; égalié de Beel Pareval II- raformée de Fourier II-- Ecriure complexe de la raformée de Fourier II- - raformée de Fourier de la dérivée d'u igal II- 3- Quelque exemple

3 Applicaio de érie de Fourier: aalyeur de pecre aalogique Bie que la oio de raformée de Fourier oi plu géérale que celle de érie de Fourier ou commecero par iroduire ce ouil car il e d'u abord plu imple e plu compréheible. (Fourier Joeph : mahémaicie Fraçai , il iroduii la raformée de Fourier pour réoudre cerai problème de propagaio de la chaleur). I- Série de Fourier I-- Gééralié ur le érie de Fourier Le érie de Fourier permee doc de paer du domaie emporel au domaie fréqueiel, o uilie pricipaleme le érie de Fourier da le ca de igaux périodique, cepeda il e iexac de dire que le érie de Fourier e peuve êre uiliée qu'e préece de igaux périodique, voir ci-deou. O e 'éedra pa ici ur le codiio d'exiece de érie de Fourier, o rappellera impleme que la focio doi obéir aux codiio de Dirichle, c'e à dire êre à variaio borée. Ue focio f(x) défiie ur u iervalle [a,b] e die à variaio borée i q.q.. le parage de [a,b] par x a<x <x...<x <..b, la omme : ( ) f ( x ) f x e borée par u ombre M idépeda du parage. E élecroique ou le igaux o à variaio borée. O pourra vérifier qu'u igal carré e bie à variaio borée. Soi doc u iervalle de emp [, +] ur lequel ue focio f() aifai le codiio de Dirichle, voir Fig.. Décompoer f() e érie de Fourier, c'e projeer f() ur u eemble de focio de bae coiuée de focio co(ω) e i(ω), avec eier e ωπ/. f() + Fig. Focio f() aifaia le codiio de Dirichle ur l'iervalle (, +]

4 Cee opéraio e à rapprocher de celle qui coie à décompoer u veceur V da u epace à deux dimeio uiva deux veceur de bae i e j. Pour effecuer ue elle opéraio il fau que i e j coiue ue bae orhoormée, c'e à dire que : i j e i i j j () avec : Si le roi produi calaire ci-deu o vérifié, alor o peu écrire V a i + b j a V i e b V j () le coefficie a e b meure repeciveme le projecio du veceur V ur le veceur de bae i e j. Da le ca d'ue décompoiio e érie de Fourier, le relaio d'orhogoalié, aalogue aux relaio () précédee, 'écrive : i( ω) co( ω ) d q.q.. e m ( à i j ) + + i( ω)i( ω) d i m à i j / i m i i (3) + co( ω)co( ω) d i m à i j / i m i i NB : le calcul de ce iégrale e préee pa de difficulé, il uffi de raformer le produi e omme e uilia le relaio rigoomérique claique. Par aalogie avec l'écriure V a i + b j, la décompoiio de f() uiva le focio de bae co(ω) e i(ω) 'écri : f ( ) b + b co( ω ) + a i( ω ) (4) Le coefficie a e b repréee le projecio de f() ur le focio de bae co(ω) e i(ω). Ce focio o à valeur moyee ulle ur l'iervalle [, +], il 'eui que le coefficie b meure la valeur moyee de la focio ur l'iervalle [, +]. Le coefficie a e b 'obiee doc e projea repeciveme f() ur le focio i(ω) e co(ω) :

5 + + f ( ) co( ω) d b + ( bk co( kω) + ak i( kω) ) co( ω) d k b d'où : b a b f ( )co( ω) d f ( )i( ω ) d (5) f ( ) d Da l'iervalle [, +], la érie de Fourier calculée précédemme repréee bie la focio f(), cepeda deux queio demeure : - i f() préee ue dicoiuié e x, + par exemple, que vau la érie de Fourier e x, le focio co(..) e i(..) o de focio coiue. - le focio i(ω) e co(ω) o défiie q.q.. la valeur de la variable, alor que vau la érie de Fourier pour hor de l'iervalle [, +]? * E u poi de dicoiuié x, la valeur de la érie de Fourier e égale à : f ( x + ε) + f ( x ε) avec ε (6) c'e le Lemme de Jorda. * La érie de Fourier doée par (4) peu bie eedu êre évaluée pour quelcoque à l'exérieur de l'iervalle [, +]. Compe eu du caracère périodique de focio i(ω) e co(ω), la érie de Fourier e doc ue focio périodique de période. E cocluio, la érie de Fourier repréee correceme f() da l'iervalle [, +], e dehor de ce iervalle, la érie de Fourier reprodui à gauche e à droie de l'iervalle la focio f() défiie ere e érie de Fourier f() Fig. La érie de Fourier calculée ur l'iervalle [, +] e périodique, de période

6 Remarque : O more (a démoraio da ce cour) que i o roque la érie de Fourier ( M ), la érie de Fourier roquée e évaluée avec le coefficie a e b, doé par le relaio (5), ree la meilleure repréeaio, aureme di il 'exie ' ' pa de ouveaux coefficie a e b améliora la repréeaio. Bie eedu, i le ombre M devie de plu e plu pei la érie de Fourier 'éloige de plu e plu de la focio de dépar comme le more la Fig. 3. M M<M f() érie de Fourier Fig. 3 Effe de la rocaure d'ue érie de Fourier D'aprè ce qui précède, i la focio f() e ue focio périodique, de période, la érie de Fourier e ideique à la focio f() q.q.. la valeur de la variable, excepé aux ia de dicoiuié. C'e la raio pour laquelle, o di que l'uiliaio de érie de Fourier e réervée aux focio périodique. Nou avo cepeda vu qu'il éai poible d'obeir ue érie de Fourier ideique à f() o périodique ur u iervalle de emp limié, hor de ce iervalle la érie de Fourier e différee de la focio. Remarque : Le calcul de coefficie a e b e implie da cerai ca : a) f() e ue focio paire : ou le coefficie a o ul, la focio paire la plu élemeaire éa co(ω). b) f() e ue focio impaire : ou le coefficie b o ul, la focio paire la plu élemeaire éa i(ω). I-- Apec phyique de la érie de Fourier L'écriure de érie de Fourier ou la forme uivae : f ( ) b + b co( ω ) + a i( ω ) (7) préee e fai peu d'iérê phyique, e effe i la focio f() ubi ue imple ralaio uiva l'axe de emp alor le coefficie a e b o modifié. E effe, i la focio f() e ralaée de τ, alor la érie de Fourier 'écri : f ( τ) b + b co( ω( τ)) + a i( ω( τ)) (8)

7 ' f ( τ) b + b co( ω) + a i( ω) ' avec ' ' b b co( ωτ) a i( ωτ) a a co( ωτ) b i( ωτ) (9) O coae doc que le coefficie a e b e o pa de ivaria emporel. Preo le ca rivial où f()co(ω), alor b, b pour > e a q.q.., par core pour f()i(ω) alor a, a pour > e b q.q... D'u poi de vue mahémaique ce deux focio o effeciveme différee, mai d'u poi de vue phyique le deux igaux o équivale. L'origie de emp e euleme éceaire pour aribuer u om à ue focio. Il e clair que, aua pour u ocillocope que pour u aalyeur de pecre, le focio co(ω) e i(ω) o équivalee, elle coiee la même puiace, eul le erme de phae chage. E coéquece, o cherche doc ue ouvelle écriure de érie de Fourier da laquelle la puiace e coervée aprè ue ralaio uiva l'axe de emp. Cee ouvelle écriure 'obie e poa : ( ) g ϕ a b e a + b () E iroduia g(ϕ ) e da l'expreio (7), o obie l'écriure uivae : f ( ) b + co( ω ϕ ) () ou ecore f ( ) co( ω ϕ) avec b co( ϕ), e gééral o poe arbiraireme : co( ϕ ). Sou cee forme, le coefficie e ϕ o repeciveme l'ampliude e la phae de la compoae de pulaio ω. Si f() ubi ue ralaio de la quaié τ, le coefficie o ichagé alor que le coefficie ϕ o modifié. E effe, i f() e ralaé de τ, alor la érie de Fourier 'écri : ' ( ) ( ) ' f ( τ ) co ω( τ ) ϕ co ω ϕ avec ϕ ϕ + ωτ Si o raie de ouveau l'exemple précéde avec f()co(ω) ou i(ω), o obie cee foi ci pour le deux focio, ϕ pour la focio co(ω) e ϕ π/ pour i(ω). () I-3- Développeme e erme complexe de érie de Fourier E iroduia la oaio complexe de co(ω) e i(ω), il e poible d'obeir ue écriure complexe de la érie de Fourier. Par ailleur, l'écriure complexe e ue boe iroducio à l'iégrale de Fourier que ou éudiero e uiva.

8 Iroduio doc l'écriure complexe de co(ω) e i(ω), il vie : j ω j ω j ω j ω e + e e e co( ω) e i( ω) (3) j L'expreio (4) de la érie de Fourier pred alor la forme uivae : jω jω f ( ) ce avec c f ( ) e d + (4) Le coefficie complexe c o relié aux coefficie a e b aii qu'aux coefficie e ϕ par le relaio uivae : c b ja b ja c + e c e ϕ j (5) Da le deux forme précédee (4) e (), chaque compoae de fréquece éai repréeée par deux coefficie ; u d'ampliude e u de phae da l'écriure () par exemple. L'écriure complexe e fai apparaîre qu'u eul coefficie c qui compred bie eedu u module e ue phae. O remarque que le parie réelle e imagiaire de c o repeciveme paire e impaire e ω, ceci vie du fai que le focio co() e i() o de focio paire e impaire. parie réelle de c + f ( ) co( ω) d parie imagiaire de c + f ( ) i( ω ) d (6) I- 4- : Exemple : Soi le igal périodique f() coiué de pule de largeur α e de période : A f() -/ α α / Fig. 4 Exemple de igal à décompoer e érie de Fourier

9 Ce igal joue u rôle pariculier da la héorie de l'échailloage que ou abordero e uiva, e effe échailloer u igal revie à le muliplier par la focio f(). La focio f() e paire, e coéquece ou le coefficie a o ul, le coefficie b o doé par : b A / f d A d α 4 α i( π α ) ( ) co( ω ) co( ω ) / α πα / (7) La érie de Fourier de f() 'écri doc : Le coefficie e ϕ 'écrive : ( ) Aα 4 Aα i π α f ( ) + πα co ( ) ω (8) ( πα ) A 4 α i πα avec ϕ i( πα / ) ( πα ) i e ϕ π i ( πα ) > i / ( πα ) < / / (9) Le coefficie c 'écrive : ( πα ) A c α i πα () I- 5- Aalye pecrale Faire ue aalye pecrale, c'e chercher le valeur de coefficie,, à ce effe o dipoe d'aalyeur de pecre do le yopique e doé à la Fig. 5. Il 'agi d'appareil pureme aalogique éceia la préece d'u igal périodique à l'erée. Nou verro, aprè avoir irodui la raformée de Fourier dicrèe, qu'il e poible de réalier ue aalye pecrale par u calcul umérique. Le aalyeur de pecre uilie le pricipe de "l'héérodyage", égaleme mi e œuvre da le récepeur radio. Ue aalye pecrale coie à déplacer u filre de bade paae éroie deva le igal à aalyer, cepeda compe eu de la difficulé de réalier u filre pae-bade éroi de fréquece cerale ajuable, o cooure le problème par uiliaio de "l'héérodyage". Da cee echique, le filre pae-bade a ue fréquece cerale fixe F e o 'arrage pour modifier le igal par modulaio afi d'ameer ucceiveme le différee compoae de fréquece à la fréquece F, à ce effe o uilie u muliplieur comme le more la Fig. 5. E orie d'u muliplieur o rouve la omme e la différece de fréquece appliquée aux deux erée, ceci réule de la relaio rigoomérique : co(a)co(b)(/)[co(a+b) + co(a-b)]. Le VCO (Volage Corolled Ocillaor) délivre ue eio iuoïdale do la fréquece déped liéaireme de la eio de commade u délivrée par u gééraeur de rampe. Pour faire compredre le focioeme de l'eemble plaço ou da le ca imple où le igal d'erée e() e ue iuoïde de fréquece MHz, uppoo par ailleur que F MHz.

10 E l'abece de igal e(), o obiedra e orie du déeceur de crêe ue eio différee de zéro pour ue eio u, uppoo par ailleur que pour u le faiceau d'élecro e rouve au cere de l'écra. Quad le igal e() e appliqué à l'erée, roi pic o obervé ur l'écra : ) le pic de gauche e obeu pour ue eio u -u elle que la fréquece F du VCO vérifie la relaio : F + MHz MHz, oi F 99 MHz ) le pic du cere e obeu pour ue eio u, e la fréquece du VCO e égale à MHz 3) le pic de droie e obeu pour ue eio u u elle que la fréquece F du VCO vérifie la relaio : F - MHz MHz, oi F MHz igal à aalyer e() muliplieur F u addiioeur + + Bco( ω ) F u () filre paebade ceré ceré e F gééraeur de rampe déecio crêe VCO ocillocope Fig. 5 Syopique d'u aalyeur de pecre héérodye Si le igal d'erée e() e u igal périodique o iuoïdal, il e décompoable e érie de Fourier, il compred doc pluieur raie e le raioeme fai précédemme e à refaire pour oue le compoae de fréquece. Preo par exemple u igal do le fodameal e à MHz, le harmoique o à MHz, 3MHz, ec...,. Le fodameal à MHz e obervé comme précédemme pour u -u e u u, c'e à dire pour de fréquece du VCO de 99 MHz e MHz repeciveme. L'harmoique à MHz e obervé pour u -u e u u, c'e à dire pour de fréquece du VCO de 98 MHz e MHz. L'harmoique à 3 MHz e obervé pour u -u 3 e u u 3, c'e à dire pour de fréquece du VCO de 97 MHz e 3 MHz. ec..., O obie ur l'écra de l'ocillocope u graphe imilaire à celui de la Fig. 6, il uffi alor de modifier l'axe de abcie pour que la fréquece Hz oi au cere de l'écra, o obie aii le pecre du igal e(). O remarque que l'aalyeur de pecre de la Fig. 5 e perme pa d'oberver la compoae coiue du igal. La place de la compoae coiue e prie par la raie de référece à MHz. Le aalyeur de pecre aalogique o employé eeielleme da le domaie de haue fréquece (q.q. khz à q.q. GHz), aux plu bae fréquece l'aalye pecrale e faie à l'aide d'ue care d'acquiiio e d'u logiciel de calcul de FF (Fa Fourier raform), voir la uie du cour.

11 remarque : l'aalye pecrale e doe accè qu'aux module de différee compoae de fréquece. O e peu doc pa recoruire le igal da le domaie emporel à parir du eul pecre car il maque le relaio de phae ere le différee compoae de fréquece. -u κk -u -u u u u k eio u fréquece du VCO (e MHz) fréquece aprè correcio (e MHz) Fig. 6 Specre obervé "e héorie" ur l'écra de l'ocillocope Le pricipaux réglage d'u aalyeur de pecre : - réoluio (RBW : Reoluio BadWidh), e praique, o 'oberve pa de raie fie comme le more la Fig. 6, mai de pic plu ou moi large uiva la bade paae du filre pae-bade iué e orie du modulaeur. La bade paae du filre fixe la réoluio de l'appareil, c'e à dire l'apiude à éparer deux fréquece proche. La forme de pic radui la répoe e fréquece du filre pae bade. Le aalyeur de pecre dipoe d'u balayage e fréquece auomaique qui ajue la viee de balayage e focio de la réoluio e de la gamme de fréquece aalyée; pour ue gamme de fréquece doée, la viee de balayage e d'aua plu lee que la réoluio e grade (RBW faible). E mode mauel, il y a rique de déformer le pic i la viee de balayage e rop grade. E effe, la forme du pic reprodui la courbe de répoe e fréquece du filre pae bade i la viee de balayage e uffiamme faible pour permere au filre d'aeidre o régime de focioeme aioaire. Le deux pic de la Fig. 7 illure le deux codiio de focioeme; auomaique e mauelle avec pour ce derier mode u emp de balayage rop faible qui codui à ue déformaio du pic. - Fréquece cerale : i elle e égale à Hz, o obie u graphe ymérique ur l'écra de l'ocillocope, voir la Fig. 8-a. La fréquece cerale e reliée à l'ordoée à l'origie de la caracériique féquece-eio du VCO. Si o modifie l'ordoée à l'origie, le graphe e déplace oi ver la droie, oi ver la gauche comme le more la Fig. 8-b. O peu aii ameer ue raie quelcoque au cere de l'écra. - plage de fréquece aalyée (frequecy pa) : la plage de fréquece aalyée e liée à la pee de la caracériique fréquece-eio du VCO. Si o dimiue la pee, la gamme de fréquece aalyée e plu faible e o peu aii faire u zoom auour de la compoae de fréquece iuée au cere de l'écra comme le more la Fig.8-c.

12 a) mode auomaique : boe codiio d'obervaio : Fréquece cerale: 5 khz emp de balayage: 6 Filre de réoluio: Hz Filre vidéo: Hz NB: le pic e bie poiioé à 5 khz e a largeur à mi-haueur ( 3Hz) e égale à celle du filre de réoluio (3 Hz). β) mode mauel : mauvaie codiio d'obervaio Fréquece cerale: 5 khz emp de balayage: 5 m Filre réoluio: 3 Hz Filre vidéo: Hz NB: le pic e déplacé ver le haue fréquece e a largeur à mi-haueur (eviro. khz) e upérieure à la largeur (3 Hz) du filre de réoluio. Fig. 7 : Ifluece de la viee de balayage ur la forme d'u pic igal e: igal iuoïdal de fréquece 5 khz

13 f (e MHz) (a) u - f (MHz) (b) O amèe la raie au cere de l'écra u (c) f (MHz) zoom auour de la raie à MHz u f (MHz) Fig. 8 Relaio ere le caracériique fréquece-eio du VCO e le graphe obervé; la modificaio de l'ordoée à l'origie perme de déplacer le fréquece (a e b), la modificaio de la pee perme d'ajuer la gamme de fréquece aalyée (c). I-6- Valeur efficace e aux de diorio : égalié de Beel Pareval Da de ombreue iuaio (domaie HiFi, irumeaio,... ), o cherche à fabriquer de amplificaeur liéaire, c'e à dire de yème el que i le igal d'erée e me ou la forme V e Aco(ω), le igal de orie pree la forme V KAco(ω), où K e le gai de l'amplificaeur. La liéarié codiioe la qualié de reproducio du igal. Si l'amplificaeur e o liéaire, la focio de rafer e 'écri plu V KV e, mai par exemple V KVe + KVe 3 + KVe + ec..., il 'eui que i le igal V e e de la forme Aco(ω), le igal de orie comporera o euleme la pulaio fodameale ω, mai égaleme de harmoique, c'e à dire le pulaio ω, 3ω, ec.... Le igal de orie 'e doc plu coiuoïdal, il ree cepeda périodique e adme doc ue décompoiio e érie de Fourier de la forme : V co( ω ϕ ). Pour quaifier la quaié d'harmoique prée da le igal, o irodui ue gradeur appelée aux de diorio D, a défiiio e la uivae : D valeur valeur efficace de harmoique efficace du fodameal () O rappelle que la valeur efficace d'u igal périodique f() de période 'écri : val. eff. f d ( ) + / ()

14 le carré de la valeur efficace pore le om de valeur quadraique. Déermio doc la valeur efficace du igal V (), elle e me ou la forme : val. eff. [ V ( ) ] + co( ω ϕ) d / (3) Compe eu de relaio d'orhogoalié (3), l'expreio (3) e ramèe à : / / val. eff. [ V ( ) ] + co ( ω ϕ ) d d co ( ω ϕ ) + La valeur efficace d'u igal peu doc 'exprimer oi da le domaie emporel oi da le domaie fréqueiel ; c'e l'égalié de Beel Pareval. / / val. eff. [ V ( ) ] [ V ( ) ] d + (4) domaie emporel domaie fréqueiel Il 'eui que le aux de diorio D, pred la forme uivae : (5) D / / / Le chéma yopique d'u dioriomère e préeé ci-deou : meure de la valeur efficace du fodameal filre pae bade ceré ur le fodameal meure de la valeur efficace V () divieur D élimiaio de la compoae coiue filre réjeceur de bade ceré ur le fodameal u meure de la valeur efficace vraie meure de la valeur efficace de harmoique Fig. 9 Schéma yopique d'u dioriomère

15 La meure de la valeur efficace de harmoique éceie u volmère à valeur efficace vraie, c'e à dire u appareil qui effecue l'opéraio uivae : val. eff [ u ] u d + / (6) avec u le igal e orie du filre réjeceur. Le volmère claique e meure pa e gééral la valeur efficace vraie, la valeur efficace e déduie de la valeur crêe e u faceur correcif e appliqué (Val. eff. V crêe / ), ceci 'e valable bie eedu que pour le igaux de ype iu. Le yopique d'u appareil réalia ue meure de valeur efficace vraie e doé à la Fig. ci-deou : u X muliplieur K XY S S iégraeur circui R-C N S K K val. eff. de u divieur S K N/D Y D Fig. Syopique d'u dipoiif de meure de la valeur efficace vraie E praique, o meure le plu ouve u aux de diorio approché défii par : D valeur efficace de harmoique valeur efficace du igal / / / / (7) Da le ca de igaux préea u faible aux de diorio, le expreio (5) e (7) o praiqueme équivalee, e effe le valeur efficace du igal e du fodameal o rè peu différee. La meure approchée de D perme de faire l'écoomie du filre paebade accordé ur le fodameal (voir Fig. 9). II- raformée de Fourier Pour iroduire la raformée de Fourier, repreo le ca de la focio f() de la Fig. e chercho u développeme lorque la durée ed ver l'ifii. Au chapire I, ou avo vu que la érie de Fourier de la focio f(), défiie ur l'iervalle [, +], éai coiuée d'u eemble ifii de raie epacée le ue de aure de la quaié ωπ/. Iuiiveme, i ed ver l'ifii, alor l'écar ere chaque raie ed ver zéro ; le pecre de raie devie alor u pecre coiu. C'e ce que ou allo morer ci-deou. II-- Ecriure complexe de la raformée de Fourier Pour obeir l'écriure de la raformée de Fourier e erme complexe, o fai edre ver l'ifii da la relaio (4). O rappelle que :

16 jω jω f ( ) ce avec c f ( ) e d + π e Ω Par rappor à la relaio (4), o a jue chagé de oaio, ω a éé raformé e Ω, ceci e modifie abolume rie au réula, o compredra le pourquoi de cee ouvelle oaio par la uie. Poo par ailleur, Ω ω e ω Ω, ω repréee l'icréme de pulaio, c'e à dire l'écar ere deux pulaio ( ω (+)Ω-Ω), avec cee oaio f() 'écri : ω + jω jω f ( ) f ( ) e d e,..,,,,.., (8) ω Ω Ω π ω ω ω Quad, la omme (...) (...) π d f e f() pred la forme uivae : ω ( ) f f e j ω d e j ω ( ) ( ) df F( f ) e j ω df jω avec F( f ) f ( ) e d : la raformée de Fourier de f(). O écri égaleme : F( f ) F f ( ). La focio f() e appelée raformée de Fourier ivere de F(f), o oe f () F - F( f ). La raformée de Fourier e doc ue focio complexe de la fréquece, elle compred ue parie réelle e ue parie imagiaire, qui 'écrive repeciveme : Parie réelle - f()co(ω)d (9) Parie imagiaire - f()i(ω)d (3) - La parie réelle e doc ue focio paire de la fréquece (co(ω) ; f c paire e ω), alor que la parie imagiaire e ue focio impaire de la fréquece (i(ω) ; f c impaire e ω). Il exie ue relaio ere l'éergie exprimée da le domaie emporel e fréqueiel ; c'e l'égalié de Pareval : (3) * f ( ) d F( f ) F ( f ) df F( f ) df Cee égalié e aalogue à celle de Beel-Pareval pour le érie Fourier, elle exprime la coervaio de l'éergie. II-- raformée de Fourier de la dérivée d'u igal

17 Cee propriéé ou era uile da la uie du cour. Soi doc u igal f() de raformée de Fourier F(f), o e propoe de calculer la raformée de Fourier de df()/d. Par défiiio de la raformée de Fourier, o obie :. F. df d ( ) df ( ) d e j d e j d( f ) [ f e j ω ω ω ( ) ( ) ] f ( ) d( e j ω ) jω jω f ( ) e d i f() pour ±, ce qui e oujour le ca pour le igaux phyique d'éergie fiie. df ( ) d d'où le réula impora :. F. j ω. F. [ f ( ) ] (3) II-3- Quelque xemple Nou raio ucceiveme le ca d'ue impulio de durée limiée e de la focio impulio de Dirac. Exemple A f() α α Fig. raformée de Fourier d'ue impulio La raformée de Fourier e ramèe ici au calcul de l'iégrale uivae : α i( ωα) F( f ) Ae j ω d Aα (33) α ωα Le premier zéro de F(f) e iué à la fréquece f/α. E cocluio, le pecre d'ue impulio 'éed d'aua plu da le domaie de fréquece que a durée e faible, voir la Fig.. Exemple C'e le ca de la focio impulio de Dirac, c'e à dire le ca où α e Aα. O obie alor : F δ( ) (34)

18 Ce réula e fodameal e raieme du igal, il more qu'ue impulio de Dirac compred oue le fréquece avec ue égale ampliude. E coéquece coaîre la répoe d'u yème à ue exciaio de Dirac, c'e coaîre la répoe du yème à oue le exciaio. Aα F(f) α α < α /α /α /α f Fig. Module de la raformée de Fourier d'ue impulio