CENTRE AFRICAIN D'ETUDES SUPERIEURES EN GESTION (CESAG) MASTER EN BANQUE ET FINANCE Option :Marchés financiers et Finance d'entreprise MBF THEME:

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1 CENTRE AFRICAIN D'ETUDES SUPERIEURES EN GESTION (CESAG) MASTER EN BANQUE ET FINANCE Option :Marchés financiers et Finance d'entreprise MBF THEME: ESTIMATION DE LA VALUE AT RISK D'UN PORTEFEUILLE DE DEVISES: APPLICATION DE L'EXPANSION DE CORNISH FISHER AU CAS DE ECO BANK SENEGAL Réalisé par : Désiré Bossou Directeur de mémoire : Monsieur Gilles Morisson Responsable du pôle Afrique Subsaharienne et Océanie de L'Institut Bancaire et Financier International de la B11nque de France M0168MB i 1

2 ESTIMATION DE LA VALUE AT RISK D'UN PORTEFEUILLE DE DEVISES APPLICATION DE L'EXPANSION DE CORNISH FISHER AU CAS DE ECO BANK SENEGAL REMERCIEMENTS A mes parents, mes frères et sœurs, dont le soutien et l'amour, m'ont été très précieux tout au long de la réalisation de ce mémoire. A Gilles MORISSON La spontanéité avec laquelle vous avez accepté de diriger ce mémoire ainsi que votre entière disponibilité en dépit de vos multiples occupations, vos précieux conseils et remarques nous ont permis de mener à bien ce travail de recherche. Trouver ici l'expression de notre profonde gratitude. Au Professeurs du CESAG en général et du PROGRAMME DE MASTER EN BANQUE ET FINANCE en particulier, qui par leur enseignement ont contribué efficacement à notre formation et à notre succès. Nos sincères gratitudes. Notre profonde reconnaissance : A Monsieur Julien KOFFI, Directeur du département de la Trésorerie et des Institutions Financières de ECOBANK SENEGAL; A Monsieur El hadji Mamadou FAYE, Chef service au département de la Trésorerie et des Institutions Financières de ECOBANK SENEGAL; A Monsieur Diawadou BAH, Responsable des ventes au département de la Trésorerie et des Institutions Financières de ECOBANK SENEGAL; Au Professeur Boubacar BAIDARI, Chef du PROJET MASTER BANQUE ET FINANCE du CESAG; A Monsieur Aboudou OUATTARA, Enseignant en FINANCE au PROGRAMME DE MASTER EN BANQUE ET FINANCE du CESAG; A Monsieur Mamadou LEYE ; A Madame Chantal OUEDRAOGO. Désiré BOSSOU 6ième Promotion Master Banque Finance- CESAG DAKAR- 2007

3 ESTIMATION DE LA VALUE AT RISK D'UN PORTEFEUILLE DE DEVISES :APPLICATION DE L'EXPANSION DE CORNISH LISTES DES SIGLES ET ABREVIATIONS APT :Arbitrage Pricing The01-y CAD : Dollar canadien CESAG :Centre Africain d'etudes Supérieures en Gestion CF A : Communauté Financière Africaine CHF : Franc suisse EFP : Exigence de Fonds Propres ETI : Ecobank Transnational Incorporated GBP : Livre sterling MEDAF: Modèle d'evaluation Des Actifs Financiers. ONG : Organisation Non Gouvernementale PDF : Probability Density Fonction PME : Petites et Moyenne Entreprises PMI : Petites et Moyenne Industries SEC : Securities and Exchange Commission USD : Dollar américain VaR : Value at Risk LISTE DES TABLEAUX, GRAPHIQUES ET ENCADRES Figure 1: Différentes approches pour la détermination de la VaR Figure 2: Evolution du cours dollar canadien contre le franc CFA Figure 3: Evolution du cour du franc Suisse contre le franc CF A Figure 4: Evolution du cours de la livre sterling contre le franc CF A Figure 5: Evolution du cour du dollar américain contre le franc CFA Tableau 1 : Interprétation du Skewness et du Kurtosis Tableau 2: Comparaison des principales méthodes de calcul de la VaR Tableau 3: moyenne des positions de change dans diverses devises Tableau4 :Distribution des rendements des principales devises du portefeuille d'ecobank Sénégal Tableau 5: Caractéristiques de l'évolution des devises Tableau 6 :Calcul des VaR Tableau 7:Calcul des VaR et détermination des exigences de fonds propres Encadré 1 : Distribution de la loi normale Encadré 2: Test de la normalité des rendements d'une devises Désiré BOSSOU - 6'ème Promotion Master Banque Finance CESAG DAKAR- 2007

4 ESTIMATION DE LA VALUE AT RISK D'UN PORTEFEUILLE DE DEVISES APPLICATION DE L'EXPANSION DE CORNISH FISHER AU CAS DE ECO BANK SENEGAL SOMMAIRE Introduction... 1 Première partie: La Value at Risk, une mesure du risque pour les banques L'approche Value at Risk et ses caractéristiques L'utilisation des modèles VaR et leurs limites Deuxième partie : Mesure de 1' exposition au risque de change de ECO BANK Sénégal : Application de 1' approche V ar Il L'enjeu de la mesure du risque de change pour ECO BANK Sénégal Détermination de la VaR d'un portefeuille de devises d'ecobank Conclusion Bibliographie Table des matières Désiré BOSSOU- 6tème Promotion- Master Banque Finance- CESAG DAKAR- 2007

5 ESTIMATION DE LA VALUE AT RISK D'UN PORTEFEUILLE DE DEVISES APPLICATION DE L'EXPANSION DE CORNISH INTRODUCTION Depuis le milieu du 20ième siècle plusieurs méthodes de mesures du risque ont été développées par les chercheurs en gestion de portefeuille depuis la théorie de la diversification de portefeuille de Markowitz jusqu'à la méthode de la Value at Risk développée par la banque américaine JP Morgan. Jusqu'à la fin des années 1980, les méthodes utilisées pour mesurer et gérer les risques de marché n'étaient adaptées qu'à des produits spécifiques. Il était alors impossible de faire une analyse comparative des risques dans une même salle de trading. En effet, L'accroissement de la volatilité des marchés financiers, le développement spectaculaire des produits dérivés et, surtout, une série de désastres, dont les plus connus sont ceux de la banque Baring, de Metallgesellschaft, de la banque Daiwa et du Comté d'orange aux Etats-Unis, ont poussé les institutions financières à rechercher un indicateur global et synthétique des risques financiers. Naturellement présentes sur les marchés de fonds prêtables et de change, les banques le sont aussi sur les marchés de matières premières où les risques de prix sur les produits de base sont plus complexes et plus volatils que ceux sur les devises et les taux d'intérêt. En effet, les marchés des matières premières sont moins liquides que ceux des devises, des taux d'intérêt et des actions. Par conséquent toute variation de l'offre et de la demande peut avoir des effets importants sur les prix et leur volatilité. C'est pourquoi, les risques liés à la détention de produits de base et à la prise de positions sur les produits de base par les banques doivent être couverts par des fonds propres. Les produits de base ( commodities) sont des produits physiques qui sont, ou peuvent être, négociés sur un marché secondaire international. Il était donc devenu primordial que de nouvelles techniques de gestion globale des risques voient le jour face à une volatilité de plus en plus forte des marchés financiers, à une complexité et un volume croissant des produits financiers négociés. En avril 1993, le Comité de Bâle pour le contrôle bancaire a diffusé un document intitulé «Traitement prudentiel des risques de marché» en invitant les banques et autres participants des marchés des capitaux à lui faire part de leurs commentaires. Ce document exposait un dispositif destiné au calcul des exigences de fonds propres correspondant aux risques de marché encourus par les banques, définis comme risques de pertes, sur les positions de bilan et de hors bilan, consécutive aux fluctuations des taux, cours et prix du marche. a Les risques pris en compte par le dispositif proposé étaient les suivants: a) risques liés, dans le portefeuille de négociation, à la détention de titres de créance, titres de propriété et contrats de hors bilan liés à ces deux catégories de titres; b) risque de change. Le Comité a maintenant décidé d'y ajouter le risque sur produits de base. Désiré BOSSOU- 6ième Promotion Master Banque Finance CESAG DAKAR- 2007

6 ESTIMATION DE LA VALUE AT RISK D'UN PORTEFEUILLE DE DEVISES : APPLICA Tl ON DE L'EXPANSION DE CORNISH Les propositions publiées en avril 1993 envisageaient de mettre en place une méthodologie standardisée de mesure des risques de marché déterminant des exigences de fonds propres au regard des positions ouvertes. Les commentaires reçus des banques et des intervenants ont souligné certains aspects qui méritaient, selon le Comité, d'être examinés avec beaucoup de soin. Pour résumer: les propositions n'incitaient pas suffisamment à améliorer les systèmes de gestion des risques parce qu'elles n'admettaient pas les techniques les plus précises de mesure la méthodologie avancée ne prenait pas assez en compte les corrélations et effets de portefeuille entre instruments et marchés; en général, elle faisait trop peu de cas des avantages de la diversification des risques le dispositif n'était pas suffisamment compatible avec les systèmes de mesure mis au point par les banques. En examinant les commentaires, le Comité a tenu compte du fait que les pratiques bancaires de gestion des risques ont notablement évolué depuis les premières propositions, au début des années 90. Il est notamment conscient qu'il est nécessaire de s'assurer que les réglementations prudentielles ne freinent pas le développement de saines techniques de gestion en créant des incitations perverses. De nombreuses banques ont fait valoir que leurs propres modèles permettaient une mesure bien plus précise des risques de marché et ont en outre souligné que l'obligation d'un double calcul serait pour elles la source de chevauchements coûteux. C'est pourquoi, en juillet 1993, le Groupe des 30, constitué de représentants de l'industrie financière et des autorités de surveillance recommandait de quantifier les risques par une mesure uniforme appelée Value-at-Risk (VaR). Cette recommandation a été très largement suivie puisque la V ar est devenue, en quelques années, un standard pour l'évaluation des risques financiers. En Afrique, les nouvelles exigences réglementaires découlant de Bâle lib, la législation contre le blanchiment de l'argent et la lutte contre le terrorisme, sont autant de contraintes b Ces normes ou accords de Bâle Il, qui se réfère à l'ensemble des normes internationales visant à améliorer la qualité du système bancaire, remplacent ceux énoncés par le Comité de Bâle (Bâle I) de la Banque des règlements internationaux en Bâle I a en effet établi les exigences minimales en matière de fonds propres afin de mieux encadrer le risque de crédit à l'intention des autorités de réglementation nationales et des banques exerçant des activités à l'échelle internationale. Aux termes des nouveaux accords, le comité de Bâle II ajoute un nouvel ensemble de recommandations relatives à la prise en compte des risques de marché et à une mesure plus pertinente du risque de crédit, avec en particulier la prise en compte de la qualité de l'emprunteur, par l'intermédiaire d'un système de notation interne propre à chaque institution financière. Les recommandations de Bâle Il s'appuient sur trois types d'obligations ou piliers: l'exigence de fonds propres; la procédure de surveillance de la gestion des fonds propres et la discipline du marché (transparence dans la communication des banques) Désiré BOSSOU- 6ième Promotion- Master Banque Finance- CESAG DAKAR- 2007

7 ESTIMATION DE LA VALUE AT RISK D'UN PORTEFEUILLE DE DEVISES : APPLICATION DE L'EXPANSION DE CORNISH FISHER AU CAS DE ECO BANK SENEGAL ou de pressions qui s'exercent particulièrement sur les banques et institutions financières. L'ensemble de ces réglementations nouvelles a sans nul doute une grande influence sur l'exercice du métier de la banque et de la finance en Afrique. Les banques africaines ne sont pas toujours outillées pour faire face à ces défis et pressions réglementaires. Mieux, elles doivent désormais intégrer dans 1' exercice du métier une nouvelle culture du risque, ce qui nécessitera la compréhension des concepts mathématiques et statistiques sousjacents auxquels la profession n'était pas habituée. D'où le besoin non seulement de formation dans ces domaines, mais aussi et surtout d'études pratiques utilisant ces outils en adéquation avec les nouvelles normes de Baie II. L'objectif général de cette étude est d'appréhender et d'analyser l'exposition au risque de change de ECOBANK- SENEGAL en mettant en relief, la perte maximale que la banque peut encourir sur chaque devise. Pour cela, nous définirons les objectifs spécifiques ci après : Analyser l'évolution des taux de change en FCFA des principales devises du portefeuille Caractériser la nature de la distribution des rendements du cours des devises. Déterminer la Value at Risk (VaR) de chaque devise selon l'hypothèse de normalité et celle d'une distribution corrigée. Fournir aux autorités de ECOBANK SENEGAL une mesure, aux normes internationales, du niveau de risque encouru par leur portefeuille de devises ainsi que 1' exigence en fonds propre pour la couvrir. A ces objectifs spécifiques nous allons associés les hypothèses ci-dessous : Les devises principales en portefeuille d'ecobank (le dollar américain, le dollar canadien, le franc suisse, la livre sterling) ont une évolution, non constante sur la période de 2004 à La distribution des rendements du cours des devises ne suit pas la loi normale L'écart entre la Value at Risk des devises pris individuellement et celle du portefeuille est significative. Le niveau de risque encouru par le portefeuille de devises de ECOBANK SENEGAL est négligeable par rapport au fonds propres pour la couvrir Désiré BOS SOU- 6'ème Promotion- Master Banque Finance- CESAG DAKAR- 2007

8 ESTIMATION DE LA VALUE AT RISK D'UN PORTEFEUILLE DE DEVISES : APPLICATION DE L'EXPANSION DE CORNISH Dans ce travail qui s'articulera essentiellement autour de deux parties, nous nous intéresserons exclusivement au risque de taux de change à travers la méthode de la Value at Risk (V ar). Dans la première partie nous présenterons à travers une revue de littérature, l'approche V ar du point de vue théorique en exposant les méthodes de calculs de cette dernière. Ensuite nous mettrons l'accent sur les domaines d'utilisation de la VaR ainsi que sur les précautions qu'il faut prendre lors de son utilisation et les avantages et les inconvénients de cette approche. Puis enfin nous aborderons l'analyse de la VaR dans le cas où les rendements du portefeuille ne sont pas normalement distribués à travers le phénomène des "queues épaisses." Dans la deuxième partie nous procéderons à 1 'estimation de la Value at Risk à travers la constitution d'un portefeuille de devises composé de devises dans lesquelles ECOBANK - SENEGAL fait le plus de transactions. Ce portefeuille fera l'objet d'étude tout au long du reste de notre travail. En effet, il s'agira non seulement, d'étudier les rendements de chacune des devises composant ce portefeuille à fin de connaître ses caractéristiques et de déterminer la méthode la plus adéquate pour procéder à l'estimation de la Value at Risk, compte tenue de nos objectifs et de nos contraintes, mais aussi, d'analyser les résultats et de procéder à leurs interprétations afin de faire des recommandations pour une meilleure gestion du risque de change à ECO BANK - SENEGAL Désiré BOS SOU 6ième Promotion Master Banque Finance CESAG DAKAR- 2007

9 ESTIMATION DE LA VALUE AT RISK D'UN PORTEFEUILLE DE DEVISES. APPLICATION DEL 'EXPANSION DE CORNISH PREMIERE PARTIE LA VALUE AT RISK, UNE MESURE DU RISQUE POUR LES BANQUES Désiré BOSSOU- 6'eme Promotion Master Banque Finance CESAG DAKAR

10 ESTIMATION DE LA VALUE AT RISK D'UN PORTEFEUILLE DE DEVISES : APPLICA Tl ON DE L'EXPANSION DE CORNISH 11 L'approche Value at Risk et ses caractéristiques Aperçu historique de l'approche Value at Risk Aperçu historique des méthodes de calcul du risque d'un portefeuille Les mesures du risque ont bien évolué depuis que Markowitz a avancé sa célèbre théorie de la diversification de portefeuille à la fin des années 1950, qui a révolutionné la gestion de portefeuille. L'écart type était alors la mesure du risque d'un titre individuel. Mais pour un portefeuille, cette mesure n'est pas appropriée. En effet, dans le cas d'un portefeuille, le risque prend compte la covariance de chaque titre avec celui des autres titres qui constituent un portefeuille bien diversifié. L'écart type du rendement d'un titre comprend les risques diversifiable et non diversifiable. Mais, Seul le risque non diversifiable est rémunéré par le marché et ce risque est représenté par la covariance entre les rendements des titres qui constituent le portefeuille. Les théories du risque qui ont emboîté le pas à celle de Markowitz se sont attachées, non seulement, aux facteurs qui déterminent le risque d'un titre, mais aussi à l'équilibre des marchés financiers. Durant les années 1960, Sharpe a proposé le modèle d'évaluation des actifs fmanciers, MEDAF ou le CAPM en anglais. Ce modèle est mono factoriel en ce sens qu'il ne distingue qu'un seul facteur explicatif du risque d'un titre. C'est ce qu'on appelle le risque systématique ou encore risque de marché du titre, catégorie du risque qui n'est pas diversifiable. Au milieu des années 1970 est apparu un autre modèle du risque basé sur l'absence d'arbitrage : l'apt, acronyme de l'expression : Arbitrage Pricing Theory. Ce modèle reconnaît que le risque est un phénomène multidimensionnel qui s'explique par plusieurs facteurs. Le modèle APT est donc multifactoriel. Mais, l'une des faiblesses de ce modèle est qu'il reste muet quant à 1' identité des facteurs qui déterminent les rendements des titres. Récemment une mesure absolue du risque était proposée : la VaR Cet acronyme, Value at Risk désigne une mesure qui s'implante de plus en plus dans la gestion des institutions financières. Qui plus est, cette mesure permet d'évaluer les risques de type asymétrique, comme celui qui est associé aux options qui permettent par exemple de limiter la perte à laquelle l'on est exposé quand le sous jacent évolue à la baisse et d'avoir un gain illimité quand le sous jacent évolue à la hausse. Désiré BOSSOU- 6ième Promotion- Master Banque Finance CESAG DAKAR

11 ESTIMATION DE LA VALUE AT RISK D'UN PORTEFEUILLE DE DEVISES :APPLICATION DE L'EXPANSION DE CORNISH Aperçu historique de la méthode VaR Selon Paul Glasserman, trois événements ont concouru à l'adoption généralisée de la VaR par le secteur financier et un autre a favorisé son développement dans les entreprises américaines. Le premier événement date de Réunis en comité à la Banque des règlements internationaux à Bâle, les représentants des banques centrales de dix grandes économies ont proposé de nouvelles règles (amendant l'accord de Bâle de 1988), imposant aux établissements financiers un niveau de fonds propres proportionnel aux risques résultant de leurs engagements. Officiellement adoptée en 1996, cette proposition a incité les banques à développer des systèmes internes sophistiqués pour calculer leurs VaR. En effet, elles pouvaient ainsi espérer une diminution des fonds propres qu'elles devraient détenir par rapport aux banques qui se fondaient sur les normes édictées par les autorités de tutelle pour déterminer leurs besoins. Ainsi, dès le départ, la recherche d'un allègement des obligations réglementaires a été un important facteur de croissance de la VaR. Le deuxième événement s'est produit sur Internet. En 1994, la banque américaine JP Morgan a mis gratuitement son système RiskMetrics à la disposition de tous sur Internet. RiskMetrics, repris depuis par une société commune avec Reuters, le groupe d'information financière, fournissait les données financières et la méthodologie nécessaire au calcul de la VaR d'un portefeuille. Les autres établissements fmanciers et les entreprises pouvaient utiliser le calculateur de VaR de RiskMetrics ou télécharger les données sur leurs propres systèmes de gestion des risques. Très vite sont apparus de nouveaux fournisseurs de programmes de gestion des risques exploitant RiskMetrics, transformant cette méthodologie en référence incontournable. Le troisième événement a probablement eu moins d'impact à ce jour, mais c'est l'un des grands facteurs d'expansion de la VaR parmi les entreprises américaines. En 1997 aux Etats-Unis, la Securities and Exchange Commission (SEC), préoccupée des risques cachés derrière les instruments hors bilan, a émis des règles de communication relatives aux produits dérivés employés par les entreprises. Ces règles ont des solutions pour faire état des risques associés aux instruments dérivés, notamment le tableau des valeurs de marché, la mesure de sensibilité ou VaR. C'est entre autres, la raison pour laquelle les rapports annuels de Microsoft, de Philip Morris et de bien d'autres grandes sociétés présentent maintenant des calculs de la V ar Notion de VaR La Value-at-Risk ou la Valeur en Risque ou Valeur Exposée au Risque est un concept récent apparu aux Etats-Unis dans les années 1980 et qui est devenu très rapidement le modèle de référence de la mesure et du contrôle des risques de marché pour les banques. Désiré BOSSOU- 6ième Promotion- Master Banque Finance CESAG DAKAR

12 ESTIMATION DE LA VALUE AT RISK D'UN PORTEFEUILLE DE DEVISES :APPLICATION DE L'EXPANSION DE CORNISH Selon Engle et Manganelli (2001), la Value-at-Risk est définie comme la perte maximale potentielle qui ne devrait être atteinte qu'avec une probabilité donnée sur un horizon temporel donné. Cette définition très simple, constitue l'un des principaux attraits de la Value-at-Risk. Il est en effet très facile de communiquer sur la VaR et ainsi d'en proposer une mesure homogène et générale (quelque soit la nature de l'actif, la composition du portefeuille etc.) de l'exposition au risque. Ainsi, la Value-at-Risk est devenue, en moins d'une dizaine d'années, une mesure de référence du risque sur les marchés financiers, consacrée notamment par la réglementation prudentielle définie dans le cadre des accords de Bâle II. Au début des années 1990, la banque américaine JP Morgan a mis au point une méthode d'estimation de la VaR. Le principe consiste à résumer le risque affectant un portefeuille en une mesure unique et directement interprétable. Plus précisément, la VaR vise à quantifier, dans un intervalle de confiance pré spécifié, qui est habituellement 95% ou 99%, la perte potentielle que peut subir une banque sur une position donnée, un portefeuille, ou sur l'ensemble de ses activités, sur une courte période de temps qui est habituellement cinq ou dix jours ouvrés dans des conditions de marché dites«normales». D'après A.Louis Calvet [2000], la VaR d'un portefeuille d'actifs financiers correspond au montant de pertes maximum sur un horizon de temps donné, si l'on exclut un ensemble d'évènements défavorables (worst case scénarios) ayant une faible probabilité de se produire. Berdin et Hyde [200 1] apporte une définition plus exhaustive du concept de la V ar. En effet, Berdin et Hyde définissent la VaR comme étant la mesure qui fourni une estimation de la perte potentielle sur un actif ou un portefeuille qui peut survenir avec une probabilité donnée suite à des mouvements de prix ou de taux relativement adverses, sous l'hypothèse que pendant une période de temps (l'horizon de la VaR) la composition du portefeuille reste inchangée. A 1' aide du concept VaR, on peut ainsi exprimer en un seul chiffre la «valeur en risque» d'un portefeuille, même si celui-ci est composé de plusieurs classes d'actifs (actions, obligations, options, devises). En fonction du chiffre obtenu, de la valeur du portefeuille et de l'aversion au risque de l'investisseur, on peut dire si le portefeuille est trop risqué ou non risqué. A cet effet, pour déterminer le risque d'un portefeuille, il faut : Des données de base: il s'agit des Variables de marché, qui constituent les facteurs de risque ayant une incidence sur la valeur des différentes positions du portefeuille. Les facteurs de risque sont généralement divisés en grandes catégories notamment le taux d'intérêt, le cours de change, le prix des actions et produits de base, la volatilité des options correspondantes Désiré BOSSOU- 6ième Promotion- Master Banque Finance CESAG DAKAR

13 ESTIMATION DE LA VALUE AT RISK D'UN PORTEFEUILLE DE DEVISES : APPLICA Tl ON DE L'EXPANSION DE CORNISH Ensuite des paramètres de mesure, notamment, la période de détention au cours de laquelle la valeur des positions peut changer; la période d'observation, qui est l'horizon temporel pendant lequel les variables à risque ont été observées; et de l'intervalle de confiance définissant le niveau de protection jugé prudent. Contrairement aux données relatives aux positions et aux variables, qui sont en principe exogènes, ces paramètres ont un caractère discrétionnaire, puisqu'ils peuvent dépendre, par exemple, du niveau de protection défini dans le modèle. Enfin, le traitement des données : A partir des données (position de change par exemple), le modèle VaR calcule, la variation potentielle de valeur découlant de fluctuations définies des facteurs de risque qui y sont liés. Les modifications de valeur sont ensuite agrégées en tenant compte des corrélations observées par le passé, à des degrés divers, entre les différents facteurs de risque soit au niveau d'un portefeuille délimité, soit sur 1' ensemble des activités de négociation de 1' établissement. Les évolutions des facteurs de risque et leurs corrélations sont mesurées sur la période d'observation définie par la banque pour saisir au mieux, en fonction de sa stratégie globale, les conditions du marché L'étape critique dans la détermination de la VaR est l'obtention de la distribution des changements de valeur du portefeuille, c'est-à-dire des gains et des pertes potentiels. Cette distribution peut être obtenue de trois façons : Une première approche dite «matrice variance-covariance» 1 consiste à supposer que les variables financières suivent des distributions normales. Le calcul de la V ar se trouve alors simplifié car il dépend uniquement des valeurs espérées et de la matrice variance covariance des facteurs de risque. Une deuxième méthode d'estimation dite méthode Monte-Carlo, utilise une modélisation aléatoire des facteurs de risque et simule un grand nombre de trajectoires possibles de ces facteurs. Le portefeuille est ensuite réévalué chaque fois et une distribution des gains et des pertes est obtenue. La troisième technique utilise la simulation historique, qui consiste à réévaluer le portefeuille à l'aide de scénarios passés du marché. Ces trois méthodes seront amplement étudiées dans les sections à venir de ce chapitre. 1 L'approche de la matrice variance-covariance est celle qu'a adoptée RiskMetrics pour calculer la VaR. Désiré BOS SOU- 6ième Promotion- Master Banque Finance CESAG DAKAR

14 ESTIMATION DE LA VALUE AT RISK D'UN PORTEFEUILLE DE DEVISES. APPLICATION DE L'EXPANSION DE CORNISH FISHER AU CAS DE ECO BANK SENEGAL Les différentes approches pour la détermination de la VaR Il existe deux méthodes ou deux a~proches pour obtenir la VaR à partir des distributions des probabilités ou des rendements d'un portefeuille d'actifs : Approche générale ou non paramétrique La première approche est qualifiée de générale ou non paramétrique. Elle est fondée sur la connaissance la distribution empirique des rendements du portefeuille. Dans ce cas on peut obtenir la VaR à partir du percentile (zq) correspondant à la probabilité et à la loi de distribution des rendements. L'approche générale regroupe deux méthodes d'estimation de la VaR : la méthode de simulation historique, et la méthode de simulation Monté Carlo. Approche paramétrique La deuxième approche est 1' approche paramétrique, dans laquelle on ne connaît pas la distribution empirique des rendements, mais plutôt, une distribution paramétrique qui s'ajuste le plus possible aux données. Cette approche inclus la méthode analytique de matrice variance covariance pour calculer la Value at Risk. La caractéristique essentielle de l'approche paramétrique est la supposition ou l'hypothèse faite concernant la fonction de densité des probabilités des rendements (PDF\ En pratique, la plus facile et la plus fréquente hypothèse est que cette fonction correspond à une distribution normale. Cette hypothèse simplifie considérablement J'estimation de la VaR. Approche paramétrique: Cas d'une distribution normale des rendements Pour mieux comprendre le concept de la VaR, faisons l'hypothèse simplificatrice d'un portefeuille composé d'un seul actif quelconque A, on peut définir la perte de cet actif sur la période [0, t] comme étant : Po. 1 A o- A 1 Selon Esch, Kieffer et Lapez [1997] et Jorion [2000], la VaR de l'actif en considération, pour une durée t et un niveau de probabilité q se définit comme le montant de perte attendue de façon que ce montant, pendant la période [0, t], ne devrait pas être plus important que la VaR qu'avec une probabilité de (1-q). 2 En pratique, les chercheurs travaillent avec les rendements au lieu des prix parce qu'ils présentent des propriétés statistiques plus attractives (voir Longerstaey et Al p46) 3 Probability Density Function Désiré BOSSOU 6ième Promotion- Master Banque Finance CES AG DAKAR

15 ESTIMATION DE LA VALUE AT RISK D'UN PORTEFEUILLE DE DEVISES. APPLICATION DE L'EXPANSION DE CORNISH Autrement dit: Pr [Pt> VaR]= 1-q ou alternativement: Pr [Pt5: VaR} q Faisons aussi l'hypothèse que la distribution des cours de l'actif A suit une loi normale, entièrement caractérisée donc par sa moyenne (rendement espéré) et son écart type (volatilité du titre A). Il est important à fin de cerner le concept d'exposition au Risk et de mieux comprendre la méthode VaR, de comprendre le concept de distribution normale que nous nous permettant de rappeler si dessous : Encadré 1 : Distribution de la loi normale. ;;... Un petit rapoel technique : Cette distribution est aussi appelée loi de Laplace-Gauss. On dit qu'une distribution suit la loi Nornmle, quand elle a J'niJure d'une court>e en cloche. En statistique. on admet souvent qu'une bonne partie des systèn11es cotnplexes obéissent plus ou n10ins à cette loi. et c'est pnrticulièrernent vrai pour les systèmes vivants pour autant qu'une perturbation significative n'y soit pas introduite. La supposition la plus sinlplifkattice que l'on puisse faire est de considérer cette distribution nonnole co1nme centrée-réduite, à savoir avec une moyenne de 0 et un écart-type de J. Cette loi. connnunément appelé NCO; J ), peut êtn! représentée de la manière suivante, considération faite d't n seuil de confiance de 9!'1% ; ~~ Z 1 = -~ ~ ~-u ~ [)e cette illustration, nous pouvons comprendre que si nous admettons être en présence d'une distribution nonnale centrée-réduite sylnétrique, nous avons 2.5% de "chance" d'obtenir un tirage supérieur à 1.96 ou infé ieur à Inversetnent. si nous souhaitons considérer l'intervalle assinù.lable à ce niveau de probabilité, nous trouverons par inversion (-1.96 ; 1.96]. Nous avons précédemment définit la V ar comme étant mathématiquement : Pr [ P, '!S. VaR} = q Pt étant la perte sur le titre à 1 'instant t. Le centrage et la réduction de cette relation nous donnent : P,- E(P,} VaRq-E(P,)] h s =q ( a(p,) a(p,j On peut défmir donc: VaRq-E( P,) a ( P, j D'où nous pouvons calculer la VaR comme étant: Désiré BOSSOU - 6ième Promotion Master Banque Finance CESAG DAKAR

16 ESTIMATION DE LA VALUE AT RISK D'UN PORTEFEUILLE DE DEVISES : APPLICA Tl ON DE L'EXPANSION DE CORNISH VaR q = E ( P, ) + Zq a ( P, ) Plus généralement et pour un horizon t supérieur à une journée on peut définir la VaR comme étant: VaR= valeur du marché de la pas ilion x volatilité dufacreur de risque x v'r Pour deux actifs, il faut tenir compte de la corrélation entre risques. Considérons deux actifs corrélés : VaRl =valeur en risque de l'actif 1 VaR2= valeur en risque de l'actif2 P12 =coefficient de corrélation entre 1' instrument 1 et instrument 2 Dans le cas notre étude, nous avons quatre actifs. On a donc : V arp VaR?+ VaR/+ VaR3 2 + VaR?+ 2 PizVaRIVaRz + 2 p13varivar3 + 2 PI4VaR,VaRt + 2 Pz3VaRzVaR3 + 2 Pz4VaRzVaRt + 2 P34VaR3VaRt Approche paramétrique : Cas d'une distribution des rendements autre que celle suivant la loi la normale : problème des queues épaisses (fat tails) Dans la réalité il est très rare que la distribution des rendements d'un portefeuille de titres soit une distribution normale, l'utilisation de la distribution normale dans les sections précédentes avait essentiellement pour objectif de simplifier les calculs et de mieux comprendre le concept, mais dans la réalité il en est autrement. Ainsi, deux paramètres de la distribution des rendements sont de toute première importance pour calculer la VaR. Le premier paramètre est le coefficient d'asymétrie ou le Skewness et il mesure le degré d'asymétrie de la distribution. Il se définit comme suit : ( Jij/ cl)= E {(X-ji) J 11 (V(:t)) 112 = E { ( ;t;-j.i) 3 11 (a 2 } 312 Désiré BOSSOU- 6ième Promotion- Master Banque Finance- CESAG DAKAR

17 ESTIMATION DE LA VALUE AT RISK D'UN PORTEFEUILLE DE DEVISES: APPLICATION DE L'EXPANSION DE CORNISH FISHER AU CAS DE ECO BANK SENEGAL où E (.)est l'espérance et V(.) la variance. E, dans les petits échantillons, est estimée par les moyennes arithmétiques des réalisations de la variable aléatoire : Où Il est estimé par x et Test le nombre d'observations. Par ailleurs, on estime cr 2 par : 1\. ce qui nous donne le Skewness : s = ( JnJ r.l r xt-.;: 1 1 rcll'2 1 De façon simplifiée, posons : On a: Il?, = Efx- E(x)] 3 L:(xt- xi!t3 ==--=-- T D'où: s = L:Cxt- xy a 3 T J,t3 correspondant au moment centré d'ordre 3 cr, correspondant à l'écart type x les rendements T, le nombre d'observations. Le deuxième paramètre d'une distribution que l'on doit connaître est le coefficient d'aplatissement ou le Kurtosis (k). Comme son nom l'indique, le coefficient d'aplatissement d'une distribution mesure son degré d'aplatissement. Il est associé à l'épaisseur des queues (tails) de la distribution. On le définit comme suit: p.4l d 1 = E [ (x- fj / f 1 ( V(x Jl = E [( x-fj ) 4 J 1 ( if / Désiré BOSSOU- 6'ème Promotion Master Banque Finance- CESAG DAKAR

18 ESTIMATION DE LA VALUE AT RISK D'UN PORTEFEUILLE DE DEVISES APPLICATION DE L'EXPANSION DE CORNISH Dans la pratique on estime ce coefficient de la façon suivante: l'espérance E est estimée par la moyenne de l'échantillon, c'est à dire: E [ (x- p. t 1 = L (x,-~ r' 1 T =,U 4 Ainsi, le Kurtosis est: K = (1 1 T) [ L (x,-; l 1 (if/ 1 De façon simplifiée, posons : K=l-4 <l On a: K = E[x-- E(r)] (o-1i 1\ Efx- E(x)! == =L:=-(_x.t_-_X)_ T D'où: J.L4 correspondant au moment centré d'ordre 4 a, correspondant à l'écart type x les rendements T, le nombre d'observations. L'interprétation des coefficients ci-dessus exposés se résume dans le tableau ci-dessous : Désiré BOS SOU- 6ième Promotion- Master Banque Finance- CESAG DAKAR

19 ESTIMATION DE LA VALUE AT RISK D'UN PORTEFEUILLE DE DEVISES : APPLICATION DE L'EXPANSION DE CORNISH Tableau 1 : Interprétation du Skewness et du Kurtosas. 1 Interprétations du coefficient Interprétations du coefficient _ d'asymétrie de Fisher (S) d'applatissement (K) Si K = 3, il n'y a pas de biais Si S = 0, alors la distribution est ' leptocurtique. On dit alors que la symétrique, à 1' instar de la distribution normale distribution est mésocurtique comme c'est le cas pour la distribution normale qui sert de point de référence. Si S > 0, alors la densité de la distribution s'étale vers la droite et on a une asymétrie positive: Si K > 3, on est confronté au cas d'une distribution leptocurtique. Plus communément, on dit qu'une telle distribution présente des queues épaisses (fat tai!.~), cela toujours en rapport avec les extrémités d'une distribution normale, comme présenté sur la figure suivante: /"\ ~.-: / i ~r~~-- Si S < 0, alors la densité de la distribution s'étale vers la gauche et on est en présence d'asymétrie négative: Si K < 3, on parle de distribution platicurtique. Plus communément on dit qu'une telle distribution présente des queues minces (thin tails). Cela toujours en rapport avec les extrémités d'une distribution normale, comme on peut le voir sur la figure qui suit : annal< Pt... ( qu ] Si les coefficients estimés d'asymétrie et d'aplatissement sont respectivement près de 0 et de 3 pour une distribution donnée, on peut conclure qu'on est en présence d'une loi normale. 1 Source : Désiré BOSSOU- 6ieme Promotion - Master Banque Finance- CES AG DAKAR

20 ESTIMATiON DE LA VALUE AT RISK D'UN PORTEFEUILLE DE DEVISES : APPLICATION DE L'EXPANSION DE CORNISH FISHER AU CAS DE ECOBANK SENEGAl L'on retrouve couramment dans la littérature financière, notamment pour modéliser le prix d'une action, la distribution lognormale. Sa fonction de densité se définit comme suit f( x)::::. ( 1 1-J 2ir()X ). exp [- (J/2){(ln X-f.-l)l a] 1 ] H faut noter que si une variable suit une distribution lognormale, alors le logarithme de cette variable obéit à une loi normale. Le coefficient d'asymétrie de la distribution lognormale est positif. Mais, la simple observation du graphique ne suffit pas pour mesurer les déviations de ces coefficients par rapport à la normale. Il faut développer un test pour juger du caractère significatif de ces déviations. Le test de Jarque et Be ra ( 1981) est conçue à cette fin. Ce test est défini sur la somme des coefficients d'asymétrie (Skewness) et d'aplatissement (kurtosis) élevés au carré. Plus précisément, le test de Jarque et Bera (JB) est basé sur la statistique suivante : JB = (TS 2!6)+[T(K-3/124]- X 2 (2) Ainsi dans le test de normalité des distributions obéit à la démarche décrite dans 1 'encadré ci-dessous. Encadré 2: Test de la normalité des rendements Nous calculerons dans un premier temps le Skewness pour chiffrer l'écart de symétrie constatée entre la loi normale et la distribution de notre portefeuine. Dans un deuxième temps, nous calculerons le Kurtosis pour vérifier si la distribution du portefeuille est plus ou moins tassée par rapport à la loi normale. Enfin, nous effectuerons le test de normalité de Jarque et Bera ( 1981 ). Le test d'hypothèses est le suivant : HO : la distribution est normale Hl : la distribution n' est pas normale La règle consiste à rejeter HO si la statistique JB est plus grande que x 2 avec deux degrés de liberté au seuil de signification habituel de 5%. Désiré BOSSOU - 6 ième Promotion- Master Banque Finance - CESAG DAKAR