et arctanx + arctan 1 x = sgn(x)π Application à la statue de la liberté : haute de 46 mètres avec un piédestal de 47 mètres.

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1 Eo7 Foctios circulaires et hyperboliques iverses Correctios de Léa Blac-Ceti. Foctios circulaires iverses Eercice Vérifier arcsi + arccos π et arcta + arcta sgπ. Idicatio Correctio Vidéo [00075] Eercice Ue statue de hauteur s est placée sur u piédestal de hauteur p.. À quelle distace 0 doit se placer u observateur dot la taille est supposée égligeable pour voir la statue sous u agle maimal α 0?. Vérifier que α 0 arcta s pp+s. 3. Applicatio à la statue de la liberté : haute de 6 mètres avec u piédestal de 7 mètres. Idicatio Correctio Vidéo [00075] Eercice 3 Écrire sous forme d epressio algébrique. siarccos, cosarcsi, cos arcsi.. siarcta, cosarcta, si3 arcta. Idicatio Correctio Vidéo [00077] Eercice Résoudre les équatios suivates :. arccos arccos 3.. arcsi arcsi 5 + arcsi arcta + arcta π. Idicatio Correctio Vidéo [00079] Eercice 5 Motrer que pour tout > 0, o a arcta E déduire ue epressio de S arcta arcta + k arcta k et calculer lim + S. Idicatio Correctio Vidéo [006973].

2 Eercice 6 Soit z + iy u ombre complee, où Rez et y Imz. O sait que si z est o ul, o peut l écrire de faço uique sous la forme z + iy re iθ, où θ ] π,π] et r + y. y z + iy r 0 θ. Motrer que si > 0, alors θ arcta y.. Motrer que si θ ] π,π[, alors θ arcta siθ +cosθ. 3. E déduire que si z est pas réel égatif ou ul, o a l égalité y θ arcta +. + y Correctio Vidéo [00697] Foctios hyperboliques Eercice 7 Simplifier l epressio ch sh et doer ses limites e et +. lch l Idicatio Correctio Vidéo [006975] Eercice 8 Soit R. O pose t arctash.. Établir les relatios tat sh. Motrer que l ta t + π. cost ch sit th Idicatio Correctio Vidéo [00076] Eercice 9 Soit u réel fié. Pour N, o pose Calculer C et S. C k chk et S k shk. Idicatio Correctio Vidéo [006976] Eercice 0 Soit a et b deu réels positifs tels que a b. Résoudre le système { ch + chy a sh + shy b

3 Idicatio Correctio Vidéo [006977] 3 Foctios hyperboliques iverses Eercice Simplifier les epressios suivates :. chargsh, thargsh, sh argsh.. shargch, thargch, ch3 argch. Correctio Vidéo [006978] Eercice Étudier le domaie de défiitio de la foctio f défiie par [ f argch + ] et simplifier so epressio lorsqu elle a u ses. Idicatio Correctio Vidéo [006979] Eercice 3 Motrer que l équatio argsh + argch admet ue uique solutio, puis la détermier. Idicatio Correctio Vidéo [006980] Retrouver cette fiche et d autres eercices de maths sur eo7.emath.fr 3

4 Idicatio pour l eercice Faire ue étude de foctio. La foctio sg est la foctio sige : elle vaut + si > 0, si < 0 et 0 si 0. Idicatio pour l eercice Faire u dessi. Calculer l agle d observatio α e foctio de la distace et étudier cette foctio. Pour simplifier l epressio de α 0, calculer taα 0 à l aide de la formule doat taa b. Idicatio pour l eercice 3 Il faut utiliser les idetités trigoométriques classiques. Idicatio pour l eercice O compose les équatios par la boe foctio sur le bo domaie de défiitio, par eemple cosius pour la première. Pour la derière, commecer par étudier la foctio pour motrer qu il eiste ue uique solutio. Idicatio pour l eercice 5 Dériver la différece des deu epressios. Idicatio pour l eercice 7 O trouve +e l+e. Idicatio pour l eercice 8 Pour la première questio calculer cos t. Pour la secode questio, vérifier que y l ta t + π est bie défii et calculer shy. Idicatio pour l eercice 9 Commecer par calculer C + S et C S à l aide des foctios ch et sh. Idicatio pour l eercice 0 Poser X e et Y e y et se rameer à u système d équatios du type somme-produit. Idicatio pour l eercice O trouve f l pour tout > 0. Idicatio pour l eercice 3 Faire le tableau de variatios de f : argsh + argch.

5 Correctio de l eercice. Soit f la foctio défiie sur [,] par f arcsi+arccos : f est cotiue sur l itervalle [,], et dérivable sur ],[. Pour tout ],[, f + 0. Aisi f est costate sur ],[, doc sur [,] car cotiue au etrémités. Or f 0 arcsi0 + arccos0 π doc pour tout [,], f π.. Soit g arcta + arcta. Cette foctio est défiie sur ],0[ et sur ]0,+ [ mais pas e 0. O a g , doc g est costate sur chacu de ses itervalles de défiitio : g c sur ],0[ et g c sur ]0,+ [. Sachat arcta π, o calcule g et g o obtiet c π et c + π. Correctio de l eercice. O ote la distace de l observateur au pied de la statue. O ote α l agle d observatio de la statue seule, et β l agle d observatio du piédestal seul. s α p β Nous avos les relatios trigoométriques das les triagles rectagles : taα + β p + s O e déduit les deu idetités : p + s α + β arcta et et taβ p p β arcta à partir desquelles o obtiet α α arcta p+s arcta p. Étudios cette foctio sur ]0,+ [ : elle est dérivable et α s+p + s+p p + p s pp + s + p + s + p Aisi α e s aule sur ]0,+ [ qu e 0 pp + s. Par des cosidératios physiques, à la limite e 0 et e +, l agle α est ul, alors e 0 ous obteos u agle α maimum. Doc la distace optimale de visio est 0 pp + s.. Pour calculer l agle maimum α 0 correspodat, o pourrait calculer α 0 α 0 à partir de la défiitio de la foctio α. Pour obteir ue formule plus simple ous utilisos la formule trigoométrique 5

6 suivate : si a, b et a b sot das l itervalle de défiitio de la foctio ta, alors taa b taa tab +taatab, ce qui doe ici taα 0 ta α 0 + β 0 β 0 p+s 0 + p+s 0 p 0 p 0 s Comme α 0 ] π, π [, o e déduit α 0 arcta s s 0 arcta. pp+s s 0 pp + s 3. Pour la statue de la liberté, o a la hauteur de la statue s 6 mètres et la hauteur du piédestal p 7 mètres. O trouve doc 0 pp + s 65,0mètres s α 0 arcta pp + s 9. Voici les représetatios de la statue et de la foctio α pour ces valeurs de s et p. α s α 0 α α 0 β 0 p Correctio de l eercice 3. si y cos y, doc siy ± cos y. Avec y arccos, il viet siarccos ±. Or arccos [0,π], doc siarccos est positif et fialemet siarccos +. De la même maière o trouve cosarcsi ±. Or arcsi [ π, π ], doc cosarcsi est positif et fialemet cosarcsi +. Ces deu égalités sot à coaître ou à savoir retrouver très rapidemet : siarccos cosarcsi. Efi, puisque cosy cos y si y, o obtiet avec y arcsi, cosarcsi.. Commeços par calculer siarcta, cosarcta. O utilise l idetité + ta y cos y avec y arcta, ce qui doe cos y et si y cos y. Il reste à détermier les siges de + + cosarcta ± + et siarcta ± Or y arcta doc y ] π +, π [ et y a le même sige que : aisi cosy > 0, et siy a le même sige que y et doc que. Fialemet, o a cosarcta + et siarcta. + Il e reste plus qu à liéariser si3y : si3y siy + y cosy siy + cosy siy cos y siy + siycos y siycos y siy 6

7 Maiteat si3arcta si3y siycos y siy + 3/ / Remarque : la méthode géérale pour obteir la formule de liéarisatio de si3y est d utiliser les ombres complees et la formule de Moivre. O développe cos3y + isi3y cosy + isiy 3 cos 3 y + 3icos ysiy + puis o idetifie les parties imagiaires pour avoir si3y, ou les parties réelles pour avoir cos3y. Correctio de l eercice. O vérifie d abord que arccos 3 [0,π] sio, l équatio aurait aucue solutio. E effet, par défiitio, la foctio arccos est décroissate sur [,] à valeurs das [0,π], doc puisque 3 o a π 3 cos 3 0. Puisque par défiitio arccos [0,π], o obtiet e preat le cosius : 3 arccos arccos cos arccos 3 E appliquat la formule cosu cos u, o arrive doc à ue uique solutio Vérifios d abord que π arcsi 5 +arcsi 3 5 π. E effet, la foctio arcsi est strictemet croissate et 0 < 5 < < 3 5 <, ce qui doe 0 < arcsi 5 < π 6 < arcsi 3 5 < π, d où l ecadremet 0 + π 6 < arcsi 5 + arcsi 3 5 π 6 + π. Puisque par défiitio o aussi arcsi [ π, π ], il viet e preat le sius : arcsi arcsi 5 + arcsi 3 5 si arcsi 5 + arcsi cos arcsi cos arcsi 3 5 La derière équivalece viet de la formule de sia+b cosasib+cosbsia et de l idetité si arcsiu u E utilisat la formule cosarcsi, o obtiet ue uique solutio : Supposos d abord que est solutio. Remarquos d abord que est écessairemet positif, puisque arcta a le même sige que. Alors, e preat la tagete des deu membres, o obtiet ta arcta+ arcta. E utilisat la formule doat la tagete d ue somme : taa + b taa+tab taatab, o obtiet +, et fialemet qui admet ue uique solutio positive Aisi, si l équatio de départ admet ue solutio, c est écessairemet 0. Or, e posat f arcta + arcta, la foctio f est cotiue sur R. Comme f π et f +π, o sait d après le théorème des valeurs itermédiaires que f pred la valeur π + au mois ue fois et e fait ue seule fois, puisque f est strictemet croissate comme somme de deu foctios strictemet croissates. Aisi l équatio de départ admet bie ue solutio, qui est 0. 7

8 Correctio de l eercice 5 Posos f arcta arcta + + arcta pour tout > 0. La foctio f est dérivable, et f Aisi f est ue foctio costate. Or f arcta0 arcta + arcta 0. Doc la costate vaut 0, d où l égalité cherchée. Alors : S k Aisi S + arcta π. arcta k + k k arcta k k + arcta par l idetité prouvée k k k k arcta k k + arcta k 0 k e posat k k + 0 arcta arcta les sommes se simplifiet arcta car Correctio de l eercice 6. Si > 0, alors y est bie défii et arcta y aussi. Comme r cosθ et y r siθ, o a bie y taθ. Puisque par hypothèse θ ] π,π] et que l o a supposé > 0, alors cosθ > 0. Cela implique θ ] π, π [. Doc θ arctataθ arcta y. Attetio! Il est importat d avoir θ ] π, π [ pour cosidérer l idetité arctataθ θ.. Si θ ] π,π[ alors θ ] π, π [, doc θ arcta ta θ. Or siθ + cosθ cos θ si θ + cos si θ θ cos θ ta θ d où θ arcta ta θ arcta siθ +cosθ. 3. Remarquos que z +iy, supposé o ul, est u ombre réel égatif si et seulemet si r cosθ < 0 et y r siθ 0, c est-à-dire θ π. Par coséquet, dire que z est pas réel égatif ou ul sigifie que θ ] π,π[. O a alors + + y 0 sio, o aurait + y et doc y 0 et 0 et y + + y r siθ r cosθ + r siθ + cosθ. Par la questio précédete : siθ y θ arcta arcta + cosθ +. + y 8

9 Correctio de l eercice 7 Par défiitio des foctios ch et sh, o a ch sh e + e e e e + + e + e e + e Et e utilisat les deu relatios lab la + lb et le o calcule : e + e lch l l l le + e + l l l e + e le l + e l + e l + e d où ch sh lch l + e l + e C est ue epressio de la forme u lu avec u + e : si +, alors u + u, lu + doc lu ; si, alors u + doc d après les relatios de croissaces comparées, u lu. Correctio de l eercice 8. a Remarquos d abord que, par costructio, t ] π, π [, t est doc das le domaie de défiitio de la foctio ta. E preat la tagete de l égalité t arctash o obtiet directemet tat ta arctash sh. b Esuite, cos t + ta t + ta arctash + sh ch. Or la foctio ch e pred que des valeurs positives, et t ] π, π [ doc cost > 0. Aisi cost ch. c Efi, sit tat cost sh ch th.. Puisque t ] π, π [, o a 0 < t + π < π, doc ta t + π est bie défii et strictemet positif. Aisi y l ta t + π est bie défii. Esuite : shy ey e y ta t + π si t + π cos t cos t + π si t + π ta t cos t + π + π + π si t + π car siu cosusiu et cosu cos u si u. Efi, puisque cos t + π sit et si t + π cost, o a shy sit cost tat sh. Puisque la foctio sh est bijective de R das R, o e déduit y. Coclusio : y l ta t + π. 9

10 Correctio de l eercice 9 Puisque ch + sh e et ch sh e, les epressios C + S k ek et C S k e k sot des sommes de termes de suites géométriques, de raiso respectivemet e et e. Si 0, o a directemet C k et S k 0 0. Supposos 0, alors e. Doc C + S e k e e + k e e e e e e e e e e e e + e + e e e e sh sh De même C S k e k ; c est doc la même formule que ci-dessus e remplaçat par. Aisi : C S e + sh sh E utilisat C C +S +C S et S C +S C S, o récupère doc C e + + e + S e + e + sh sh sh sh ch sh + sh sh + sh sh Correctio de l eercice 0 S { ch + chy a sh + shy b ce qui doe, e posat X e et Y e y : { e + e + e y + e y a e e + e y e y b { e + e y a + b e e + e y e y b { e + e y a + b e e y b a { e + e y a + b e + e a b y S { X +Y a + b X + Y a b { X +Y a + b X+Y XY a b { X +Y a + b a+b XY a b 0

11 Or a b puisque par hypothèse, a b. Aisi, S { X +Y a + b XY a+b a b X et Y sot les solutios de z a + bz + a + b a b 0 Remarque : O rappelle que si X,Y vérifiet le système l équatio z Sz + P 0. Or le discrimiat du triôme z a + bz + a+b a b 0 vaut a + b a + b a + b a b a + b a b { X +Y S XY P Il y a doc ue racie double qui vaut a+b, aisi X Y a + b et doc : S e e y a + b, alors X et Y sot les solutios de a + ba b 0 a b O vérifie que a + b 0 car a 0 et b 0 et a + b 0 car a b. Coclusio : le système S admet ue uique solutio, doée par la + b,y la + b. Correctio de l eercice. a O sait que ch u +sh u. Comme de plus la foctio ch est à valeurs positives, chu et doc chargsh + sh argsh +. b Alors thargsh shargsh chargsh. + c Et shargsh chargshshargsh +. + sh u. O pourrait, comme pour la questio précédete, appliquer les formules trigoométriques hyperboliques. Pour chager, o va plutôt utiliser les epressios eplicites des foctios hyperboliques réciproques. Supposos, pour que argch soit bie défii, alors o a la formule à coaître : argch l +. Aisi : shargch eargch e argch Doc thargch shargch chargch.

12 Efi, si u argch : ch3u chu + u chuchu + shushu, où { chu ch u + sh u + shu shuchu Doc ch3argch + 3. Correctio de l eercice La foctio argch est défiie sur [,+ [. Or > 0 doc f est défiie sur ]0,+ [. Soit > 0, alors y + et o sait que argchy ly+ y. Aisi y +, o obtiet f argchy ly + y + l + O a supposé > 0, il suffit doc de distiguer les cas et 0 <. + Si, f l + l. + Si 0 <, f l + l l. Puisque l est positif si et égatif si, o obtiet das les deu cas f l. y + f 0 Correctio de l eercice 3 Soit f argsh + argch. La foctio f est bie défiie, cotiue, et strictemet croissate, sur [,+ [ comme somme de deu foctios cotiues strictemet croissates.

13 y f f 0 a De plus, f + +, doc f atteit eactemet ue fois toute valeur de l itervalle [ f,+ [. Comme par la formule logarithmique f argsh l + < le, o a [ f,+ [. Par le théorème des valeurs itermédiaires l équatio f admet ue uique solutio, que l o otera a. Détermios la solutio : sh shargsha + argcha shargsh a chargch a + shargch a chargsh a a + a a + a + a doc a sh a. E élevat au carré et e simplifiat, o obtiet a +sh sh ch sh. Comme o cherche a positif et que ch > 0, o e déduit a ch sh. Cette valeur est la seule solutio possible de l équatio f, il faudrait ormalemet vérifier qu elle coviet bie, puisqu o a seulemet raisoé par implicatio et pas par équivalece. Or o sait déjà que l équatio admet ue uique solutio : c est doc écessairemet a ch e + e sh, e e 3

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