Digisibles. digisible.

Transcription

1 igisibles ) Essayer chiffre des dizaines, chiffre des unités : : ou encore ou bien )L'idée est d'utiliser le I comme chiffie des milliers. 000 étant divisible par,,8... on cherche à partir des trois chiffres,,8 ; 8 est divisible par 8 (donc ainsi que ) convient. 3) a) Le nombre est divisible par, son chiffre des unités et 0 ou ; seul est possible. b) vec comme chiffre des unités, le nombre est impair, il n'a donc que des diviseur impairs ; tels sont les chiffres de son écriture décimale. c) Les cinq chiffres impairs peuvent-ils figurer dans l'écriture du nombre? Si oui, celui-ci s'écrit xyzt (x, y, z, t étant des chifhes impairs. ela fait vingt-quatre nombre éventuels ; la somme des chiffres valant, aucun n'est divisible par 3. c) Le nombre s'écrit xyz (x, y, z étarrt des chiftes impairs. On cherche le plus grand possible... essayer x = etc... Le plus grand nombre qui puisse êfre écrit, 73 ne convient pas ; puis 7 non plus ; 37 pas plus ; 3 est digisible. 'est le plus grand s'écrivant avec un. )La somme des neuf chiftes vaut. a) S'il y a le, l'écriture du nombre ne compofre pas plus de quatre chiftes. S'il n'y a pas le, avec huit chiffres, la somme des chiffres vaut 0 ; il est impossible que le nombre soit divisible par 3. b) Le nombre s'écrit avec sept chiffres, il n'y a donc pas le. Il y a le. Les huit chifftes éventuels ont une somme valant 0. Quel chiffre ôter pour que cette soûrme soit un multiple de? Il s'agit du chifte. Un nombre digisible s'écrivant avec sept chifhes dont le, comporte exclusivement les chiffres l,, 3,6,7,,. c) Pour la recherche du plus grand digisible, on tente avec le... comme chifte des centaines de mille... Le plus grand nombre qui puisse êûe écrit 8763, n'est pas pair ; puis le plus grand, 8763,n'est pas divisiblepar 7 ; puis 8673 est divisible par l,,3,7,8,. 'est le plus grand nombre digisible.

2 rto, p"o.nu-... Partie I l) et ) On représente le segment IWJ intersection avec le disque de la médiatrice du segment tol. On hachure... noter qrp les points du segment [UV] ne sont pas dans I'ensemble hachuré. 3) Quel est le rapport de I'aire hachurée à celle du disque? L'aire du disque (de rayon R) : nr (l'aire d'un secteur d'angle de mesure 360"). Le secteur angulaire UOV a pour aire le tiers de la précédente. L'aire de la portion hachurée est la somme des deux tiers de l'aire du disque et de l'aire du tiangle OUV; soit : ]nn * l"fm'. 3 La probabi tfté. i+; 80, o/o environ. Partie tr ) I rs La médiatrice du segment [] coupe le segment [] en R et le segment [] en S. Le segment [RS] représente I'ensemble des points du rectangle équidistants du côté [J et du côté t]. Le rectangle RS est I'ensemble des points plus proches du côté [] que du côté []. Son aire est lamoitié de celle du rectangle. Probabilité :! ' :0o/o. La bissectrice de I'angle droit en coupe le segment [] en W. Le segment t$fl représente I'ensemble des points du rectangle équidistants du côté [] et du côté []. Le triangle W (exce,pté le segne,nt tufj) est I'ensemble des points plus proches du côté [] que du côté tl. Son aire :7 cm'. Le rapport de celle-ci à celle du rectangle : a:30%. 0' 3)

3 Les bissectrices de I'angle droit en, de I'angle droit en la médiatrice du segment [] déterminent le quadrilatère d KJ qui est I'ensemble des points plus proches du côté [] que des trois aufes côtés du rectangle (exception faite des côtés [KJ, [KI, [J]. Son aire : 8 cm. Probabilité, L,3%. t' La médiatrice du segment [OE] détermine les points I et L respectivement sur les côtés [] er []. Il semble que la longueur I vaille 8 ; un triangle rectangle (6 sur ) extait du quadrillage sur I'hypoténuse EI ainsi que de même sur OI confirme que le point de tl à cette distance de est équidistant deoetdee. e même L =. L'aire du trapèze IL (ensemble des points plus proches de E que de O (excçtion faite du segment [IL]) vaut: 60 cm'. La probabilité : ;rv,. ' On considère les médiatrices des segments [O], [O], [O] et [O] qui déterminent un hexagone ensemble des points plus proches de O que des sommets,,,. La médiatrice du segment [O] déærmine le point F sw le segment tl. Les médiratrices des segments [O] et [O] déterminent le pointn... situé aussi sur l'axe médian du rectangle (par symétrie du rectangle appliquée aux I' segments générant les médiatrices...). \l ir tl Le quadrilatere FON dont les..ïs\,t diagonales ont pour milieu le pied de la médiatrice est un parallélogramme (c'est un losange). e losange a même centre de symétrie que le rectangle POQ (P et Q milieux respectifs de [] et []). ans cette symétrie centrale : PFNO et NQF se correspondent. L'hexagone, portion du rectangle ensemble des points plus proches de O que des sommets,,,, apour aire la moitié de celle du rectangle... Probabilité : I'; SO Yo. erésultat est independant de la longueur des côt-és du rectangle.

4 orrigé sujets académiques cadémie de esançon olympiades 0 mathématiques EXERIE I Eléments de correction I Un premier algorithme. a) Pour 3, on obtient 3 puis 8 puis 8 et enfin 08. Pour 8, on obtient 8 puis 36 puis 63 et enfin 08. Pour 6, on obtient 6 puis 7 puis 7 et enfin 08. b) onjecture : quel que soit le nombre de départ, on obtient 08 à la fin de l étape.. Entrée : n est un entier naturel Initialisation : onner à a la valeur 0 onner à b la valeur 0 onner à c la valeur 0 Traitement : Tant que n 00 ffecter à a la valeur a + ffecter à n la valeur n - 00 Tant que n 0 ffecter à b la valeur b + ffecter à n la valeur n - 0 ffecter à c la valeur n Sortie : fficher a fficher b fficher c 3. a) abc = a 0 + b 0 + c 0 0. b) Le nombre obtenu après l'étape est : c 0 + b 0 + a 0 0. c) Le nombre obtenu après l'étape est :(c 0 + b 0 + a 0 0 ) (a 0 + b 0 + c 0 0 ) soit (c a). Or, (c a ) a c = (c a) d) Le nombre obtenu après l étape 3 est : (0 + a c) c a et : [(0 + a c) c a ] + [(c a ) a c] = 08 II L algorithme de Kaprekar. a) K(8) = 8 8 = 7 K(37) = = 36 K() = = Page sur

5 b) Entrée : n est un entier naturel Initialisation : onner à a la valeur 0 onner à b la valeur 0 onner à c la valeur 0 Traitement : Tant que n 00 ffecter à a la valeur a + ffecter à n la valeur n - 00 Tant que n 0 ffecter à b la valeur b + ffecter à n la valeur n - 0 ffecter à c la valeur n Si a < b alors Si b < c alors K = (00c + 0b + a) (00a + 0b + c) Si a < c alors K = (00b + 0c + a) (00a + 0c + b) K = (00b + 0a + c) (00c + 0a + b) Si a < c alors K = (00c + 0a + b) (00b + 0a + c) Si b < c alors K = (00a + 0c + b) (00b + 0c + a) K = (00a + 0b + c) (00c + 0b + a) Sortie : fficher K. vec 8, on obtient 7 puis toujours. onjecture : quel que soit le nombre de départ, on obtient après plusieurs itérations. 3. a) Les rôles des variables a, b et c sont symétriques, on peut donc supposer que a < b < c sans perdre de généralité. b) K(n) = (00c + 0b + a) (00a + 0b + c) = (c a). c) c a est un entier compris entre et 8. K(n) peut donc prendre les valeurs 8, 7, 36,,, 63 et 7. Si on applique l algorithme de Kaprekar autant de fois que nécessaire aux entiers précédents, on obtient toujours au bout d un certain nombre d itérations : ; 7 63 ; 36 ; ; ; 63 ; On constate que le nombre est atteint en cinq itérations au maximum. Page sur

6 EXERIE II Eléments de correction Partie ) a) Oui, par exemple avec la marche : b) ou d après l arbre de choix suivant : c) Par généralisation de l arbre ci-contre, les arrivées possibles pour les marches contenant un nombre pair de déplacements sont : et d) Les arrivées possibles pour les marches contenant un nombre impair de déplacements sont : et ) l aide l arbre ci-contre : P( ) = = 3) Nombre de déplacements de la marche Probabilité que la coccinelle arrive en P( ) = d après ) P( ) = P( 3 ) = P( ) = 0 d après ) d) P( ) = 8 probabilité de = car il y a 8 marches possibles de déplacements. haque déplacement a une ( ème justification : Suite à déplacements, il n y a que deux arrivées possibles ou qui sont équiprobables donc ) Partie ) après l arbre ci-contre : a) P( ) = + = b) P( ) = + = ou bien P( ) = P( ) Suite à deux déplacements, on remarque que la probabilité de revenir sur le même sommet est et la probabilité d arriver sur le sommet opposé est Page 3 sur

7 ) L arbre ci-après illustre l ensemble des marches tous les deux déplacements : 6 a) P( ) = = 8 80 b) P( 6 ) = = 7 3) a) En raisonnant toujours tous les deux déplacements, la seule marche possible pour que la coccinelle arrive en en effectuant exactement n déplacements est :. n fois 'est-à-dire que la coccinelle doit se rendre une première fois sur le sommet opposé à, revenir sur le même sommet (n- ) fois et enfin revenir sur le sommet opposé. On obtient donc P( n ) = n - = n - b) P(G n ) = P( ) + P( ) + P( 6 ) +. + P( n ) = n- = +... n - = n- n- = + - = n- c) P(G n ) 0, à partir de n = 6 donc 3 déplacements. Page sur