Révision d algèbre et d analyse

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1 Révision d algèbre et d analyse Chapitre 7 : Intégrales doubles Équipe de Mathématiques Appliquées UTC (Juillet 215)

2 suivant Chapitre 7 Intégrales doubles 7.1 Motivation, définition et calcul de l intégrale double Changement de variables dans les intégrales doubles

3 chapitre section suivante 7.1 Motivation, définition et calcul de l intégrale double Intégrale double, motivation éfinition de l intégrale sur un rectangle Calcul de l intégrale sur un rectangle éfinition de l intégrale double sur un domaine quelconque Calcul pratique de l intégrale double

4 section suivant Intégrale double, motivation Avant de voir comment se calcule une intégrale double essayons de répondre à la question : pourquoi calcule-t-on une intégrale double? On rappelle que l intégrale simple correspond à un calcul d aire. Si f est une fonction de IR dans IR, alors b a f (t)dt est égale à l aire du domaine du plan toy limité par les droites d équations t = a, t = b, y = et par la courbe d équation y = f (t). Si maintenant f est une fonction de IR 2 dans IR, si est un domaine du plan xoy. Que représente I = f (x, y)dx d y? Calcul de volume : I est la mesure du volume limité par le plan xoy, par le cylindre engendré par une droite parallèle à Oz s appuyant sur le contour de et par la surface z = f (x, y), comme le montre la figure Calcul d aire : ( ) Lorsque, en particulier, f (x, y) = 1, (x, y), cette mesure de volume dx d y correspond à l aire de multiplié par 1, ce qui permet de calculer l aire d un domaine quelconque du plan par aire = dx d y. 4

5 section suivant Calcul de masse. Soit une plaque mince dont l épaisseur est négligeable, on peut la représenter par un domaine du plan xoy. Supposons que la masse surfacique est égale à µ(x, y), alors la masse m de la plaque vaut : m = µ(x, y)dx d y. (7.1.1) Calcul des coordonnées du centre de gravité d une plaque. Les coordonnées (x G, y G ) du centre de gravité du domaine précédent sont données par x G = 1 xµ(x, y)dx d y, y G = 1 yµ(x, y)dx d y (7.1.2) m m Calcul d un moment d inertie. Sous les mêmes hypothèses que précédemment le moment d inertie d un domaine par rapport à un axe est défini par I = d(m, ) 2 µ(x, y)dx d y où d(m, ) est la distance du point M(x, y) ( ) à l axe. etc... Intégrale double, motivation 5

6 section suivant Intégrale double, motivation z z=f(x,y) y x FIGURE 7.1.1: Représentation de l intégrale double sur 6

7 précédent section suivant éfinition de l intégrale sur un rectangle : Exercice A.1.1 Exercice A.1.2 On rappelle (voir chapitre 3) que l intégrale d une fonction f : [a,b] IR sur le segment [a,b] est construite par passage à la limite quand N + de I N = h N i=1 f (ξ i ), h = b a N, a + (i 1)h ξ i a + ih, ou, ce qui est équivalent, par passage à la limite quand h de I h = h N i=1 f (ξ i ), N = b a h. Soit f : [a,b] [c,d] IR, on se propose de définir l intégrale de f sur le rectangle = [a,b] [c,d]. La construction de l intégrale simple reposait sur le calcul d une aire, celle de l intégrale double est liée au calcul d une mesure de volume (cela ne veut pas dire que toutes les intégrales doubles servent à calculer des volumes!). 7

8 précédent section suivant Soient N 1 et N 2 deux entiers donnés, soit h 1 = b a N 1, h 2 = d c N 2, h = (h 1,h 2 ) éfinition de l intégrale sur un rectangle et effectuons (voir la figure 7.1.2) un découpage du rectangle en rectangles élémentaires ω i j = [a + (i 1)h 1, a + ih 1 ] [b + (j 1)h 2,b + j h 2 ]. On définit alors I h = N 1 N 2 h 1 h 2 f (ξ i,η j ), (ξ i,η j ) ω i j. (7.1.3) i=1 j =1 éfinition On appelle intégrale double de f sur et on note I = f (x, y)dx d y la limite I = lim h I h. L intégrale double représente la mesure du volume limité par les plans {z = }, {x = a}, {x = b}, {y = c}, {y = d} et la surface d équation z = f (x, y), conformément à la figure

9 précédent section suivant éfinition de l intégrale sur un rectangle d y h 1 η j h 2 c x a b ξ i FIGURE 7.1.2: écoupage du rectangle 9

10 précédent section suivant éfinition de l intégrale sur un rectangle z z=f(x,y) O c d y a x b FIGURE 7.1.3: Intégrale double sur un rectangle 1

11 précédent section suivant Calcul de l intégrale sur un rectangle : Exercice A.1.3 Le volume élémentaire V i j représenté sur la figure peut être approché par un parallélépipède rectangle de volume : h 1 h 2 f (ξ i,η j ). Il suffit en effet de remplacer la surface non plane d équation z = f (x, y), limitant le volume élémentaire dans sa partie supérieure, par la surface plane z = f (ξ i,η j ). Le calcul pratique de l intégrale double f (x, y)dx d y, = [a,b] [c,d], va se ramener au calcul pratique de deux intégrales simples comme on le montre ci-dessous. ( ) N 1 N 2 I h = h 1 h 2 f (ξ i,η j ) soit en passant à la limite quand h = (h 1,h 2 ) tend vers ( ( )) N1 N 2 I = lim I h = lim h 1 lim h 2 f (ξ i,η j ) h h1 h2 i=1 i=1 j =1 j =1 11

12 précédent section suivant z z=f(x,y) Calcul de l intégrale sur un rectangle O c η j d y a x b ξ i h 1 h 2 FIGURE 7.1.4: Volume élémentaire V i j ou, par définition de l intégrale simple, ( N1 ) d I = lim h 1 f (ξ i, y)d y. h1 i=1 c 12

13 précédent section suivant d Si l on pose g (x) = f (x, y)d y, on obtient c I = lim h 1 h1 i=1 N 1 g (ξ i ) = b a g (x)dx Calcul de l intégrale sur un rectangle d où f (x, y)dx d y = b a ( d c ) f (x, y)d y dx. (7.1.4) On pourrait montrer de la même manière, en échangeant le rôle des deux variables, que f (x, y)dx d y = d c ( b a ) f (x, y)dx d y (7.1.5) Cas particulier : ( b )( d ) f 1 (x)f 2 (y)dx d y = f 1 (x)dx f 2 (y)d y. a c Traiter les exercices de T A.2.1 et A

14 précédent section suivant éfinition de l intégrale double sur un domaine quelconque : Exercice A.1.4 Exercice A.1.5 Soit le domaine du plan représenté sur la figure et considérons le domaine h constitué des rectangles R i j qui sont à l intérieur de (voir figures et pour des h différents). Il est clair que si est un rectangle, alors h =. y h 1 h 2 x FIGURE 7.1.5: omaine 14

15 précédent section suivant y h 1 h pavage interieur h 2 éfinition de l intégrale double sur un domaine quelconque x FIGURE 7.1.6: omaine h On définit alors une approximation de f (x, y)dx d y par I h = i,j h 1 h 2 f (ξ i,η j ), où (ξ i,η j ) est un point quelconque de R i j. Chacun des éléments de cette somme représente le "volume" d un parallépipède rectangle dont l aire de la base est h 1 h 2 et dont la hauteur vaut f (ξ i,η j ). On a alors le résultat (non démontré) suivant Théorème Quand h = (h 1,h 2 ) tend vers (,) le domaine h "tend" vers, I h tend vers le réel I, appelé l intégrale double de f sur et notée I = f (x, y)dx d y. 15

16 précédent section suivant éfinition de l intégrale double sur un domaine quelconque y h 1 h 2 x FIGURE 7.1.7: omaine h 16

17 précédent section Calcul pratique de l intégrale double : Exercice A.1.6 Exercice A.1.7 Exercice A.1.8 Exercice A.1.9 : Exemple B.1.1 Lorsque le domaine n est pas un rectangle on peut refaire le raisonnement du paragraphe référencé et ramener le calcul de l intégrale double à celui de deux intégrales simples. La difficulté consiste à trouver les "bonnes" bornes de ces intégrales simples. On peut montrer que d f (x, y)dx d y = F (y)d y (7.1.6) où β(y) F (y) = f (x, y)dx. α(y) Le segment [c,d] est la projection de sur l axe Oy et le segment [α(y),β(y)] est la projection sur l axe x de l intersection de avec la droite parallèle à l axe Ox d ordonnée y, comme le montre la figure On peut dire aussi que les courbes x = α(y) et x = β(y) limitent respectivement le domaine "à gauche" et "à droite". c 17

18 précédent section y d y c Calcul pratique de l intégrale double O α (y) β (y) x FIGURE 7.1.8: Bornes de l intégrale double ans la formule on a commencé à intégrer f par rapport à x avant de l intégrer par rapport à y. On peut échanger les rôles de x et y, ce qui donne : f (x, y)dx d y = b ( δ(x) a γ(x) ) f (x, y)d y dx (7.1.7) Le segment [a,b] est la projection de sur l axe Ox et le segment [γ(x),δ(x)] est la projection sur Oy de l intersection de avec la droite parallèle à l axe Oy d abscisse x comme le montre la figure On peut dire aussi que les courbes y = δ(x) et y = γ(x) limitent respectivement le domaine "en haut" et "en bas". Proposition Si f est une fonction impaire en x, c est à dire f ( x, y) = f (x, y), si est symétrique par rapport à la droite d équation x =, c est à dire Oy, 18

19 précédent section y δ(x) γ(x) Calcul pratique de l intégrale double O a x b x FIGURE 7.1.9: Bornes de l intégrale double alors f (x, y)dx d y =. En effet, si le domaine est symétrique par rapport à Oy, cela signifie que α(y) = β(y), faites une figure. onc f (x, y)dx d y = d ( β(y) c β(y) Traiter les exercices de T A.2.3, A.2.4. ) f (x, y)dx d y = d c d y =. Utiliser les intégrales doubles pour calculer les coordonnées de centres de gravité ou pour calculer un moment d inertie, traiter les exercices de T A.2.5, A

20 section précédente chapitre 7.2 Changement de variables dans les intégrales doubles éterminants jacobiens Calcul des intégrales doubles par changement de variables. 22 2

21 section suivant éterminants jacobiens : Exercice A.1.1 On considère le changement de variables suivant { x = a(u, v), y = b(u, v), (7.2.1) où a et b sont données sur un domaine du plan IR 2. éfinition On appelle matrice jacobienne, la matrice J(u, v) suivante : a a (u, v) J(u, v) = u b b (u, v) u (u, v) v (u, v) v et on appelle déterminant jacobien ou jacobien le déterminant : J(u, v) = détj(u, v) = a u (u, v) b v (u, v) a v, (7.2.2) b (u, v) (u, v). (7.2.3) u 21

22 précédent section Calcul des intégrales doubles par changement de variables : Exercice A.1.11 : ocument C.1.1 : Exemple B.1.2 Cours : Jacobiens Exemple B.1.3 Soit l intégrale double I = f (x, y)dx d y. On suppose que par le changement de variables { x = a(u, v), y = b(u, v), (u, v), est en bijection avec, c est à dire que l on a l équivalence On définit une nouvelle fonction g (u, v) par (x = a(u, v), y = b(u, v)) (u, v). g (u, v) = f (a(u, v),b(u, v)). 22

23 précédent section Théorème En reprenant les notations ci-dessus, on a f (x, y)dx d y = g (u, v) J(u, v) du dv. (7.2.4) Le terme J(u, v) représente la valeur absolue du jacobien. Ceci signifie que cette quantité ne dépend pas de l ordre des variables contrairement au jacobien (vous pouvez en effet facilement vérifier que J(v,u) = J(u, v)). Calcul des intégrales doubles par changement de variables x= a (u,v) y= b (u,v) v δ u y δ v u x FIGURE 7.2.1: Changement de domaine La démonstration repose sur une partition particulière du domaine en éléments qui sont les images par le changement de variables d une partition de en éléments rectangulaires, comme le montre la figure L image d un élément de la partition de peut être approchée par un parallélogramme dont l aire est égale à (voir le document 23

24 précédent section référencé) T u T v = J(u, v) δuδv. On peut comparer la formule avec celle obtenue par changement de variables dans une intégrale simple. En effet soit la fonction t a(t) bijective d un intervalle J sur un intervalle I. Alors f (x)dx = f (a(t)) a (t) dt I J puisque si a est croissante la dérivée a est positive et les bornes de l image de J sont croissantes. Par contre si a est décroissante la dérivée a est négative et les bornes de l image de J sont décroissantes, d où en inversant les bornes on fait apparaître a (t) = a (t). Calcul des intégrales doubles par changement de variables La principale application du changement de variables dans les intégrales doubles concerne les intégrales sur des disques. Par exemple, pour calculer l aire (bien connue! ) d un disque centré en O et de rayon R, on "passe" en coordonnées polaires et le domaine correspondant est le rectangle = [,R] [,2π] : dx d y = r dθ dr = R 2π Le jacobien a été calculé dans le paragraphe référencé. Traiter les exercices de T A.2.7, A.2.8 et A.2.9. r dθ dr = πr 2. 24

25 précédent suivant Annexe A A.1 du chapitre A.2 de T

26 chapitre section suivante A.1 du chapitre 7 A.1.1 Ch7-Exercice A.1.2 Ch7-Exercice A.1.3 Ch7-Exercice A.1.4 Ch7-Exercice A.1.5 Ch7-Exercice A.1.6 Ch7-Exercice A.1.7 Ch7-Exercice A.1.8 Ch7-Exercice A.1.9 Ch7-Exercice A.1.1 Ch7-Exercice A.1.11 Ch7-Exercice

27 section suivant Exercice A.1.1 Ch7-Exercice1 Utiliser la définition pour calculer dx d y où = [a,b] [c,d]. e quel volume estce la mesure? Solution retour au cours 27

28 précédent section suivant Exercice A.1.2 Ch7-Exercice2 Représenter sur une figure le volume V dont l intégrale I représente la mesure. I = (1 + x)dx d y où = [,1] [,2] Calculer, à l aide de volumes connus, la valeur de I. Solution retour au cours 28

29 précédent section suivant Exercice A.1.3 Ch7-Exercice3 Exprimer f 1 (x)f 2 (y)dx d y où = [a,b] [c,d] sous la forme d un produit de deux intégrales simples. En déduire la valeur de I = (1 + x)dx d y où = [,1] [,2]. Solution retour au cours 29

30 précédent section suivant Exercice A.1.4 Ch7-Exercice4 À quelle mesure de volume correspond l intégrale double I = (1 + x)dx d y où = {(x, y), x 1, y 1 x}? Solution retour au cours 3

31 précédent section suivant Exercice A.1.5 Ch7-Exercice5 Quelle est la valeur de l intégrale double I = dx d y pour les domaines suivants : 1. 1 = {(x, y) IR 2, x 2 + y 2 2x 3}, 2. 2 = {(x, y) IR 2, x, y, x + y 1}, 3. 3 = {(x, y) IR 2, y 1 x 2 }. Solution retour au cours 31

32 précédent section suivant Exercice A.1.6 Ch7-Exercice6 1. Calculer I = 1 ( 1 y 2. L intégrale précédente peut sécrire I = 3. Exprimer I sous la forme b ( δ(x) a γ(x) x y 2 d y ) x y 2 dx d y x y 2 dx d y. Représenter le domaine. ) dx Solution retour au cours 32

33 précédent section suivant Exercice A.1.7 Ch7-Exercice7 Montrer que si f est une fonction impaire en y et si est symétrique par rapport à l axe Ox, alors f (x, y)dx d y =. Solution retour au cours 33

34 précédent section suivant Exercice A.1.8 Ch7-Exercice8 Supposons que la plaque représentée par le domaine est homogène, c est à dire que sa masse surfacique est constante (µ(x, y) = k). onner alors la relation entre la masse et l aire de. Solution retour au cours 34

35 précédent section suivant Exercice A.1.9 Ch7-Exercice9 Montrer que si la masse surfacique est constante (µ(x, y) = k) et si le domaine est symétrique par rapport à l axe x (resp. y), l ordonnée (resp. l abscisse) du centre de gravité est nulle. Solution retour au cours 35

36 précédent section suivant Exercice A.1.1 Ch7-Exercice1 Quelle est la matrice jacobienne du changement de variable Quel est le jacobien associé? { x = r cosθ, y = r sinθ? Solution retour au cours 36

37 précédent section Exercice A.1.11 Ch7-Exercice11 Calculer, par changement de variable, l aire de l ellipse centré à l origine et de demiaxes de longueur respective a et b. Solution retour au cours 37

38 section précédente chapitre A.2 de T A.2.1 T7-Exercice A.2.2 T7-Exercice A.2.3 T7-Exercice A.2.4 T7-Exercice A.2.5 T7-Exercice A.2.6 T7-Exercice A.2.7 T7-Exercice A.2.8 T7-Exercice A.2.9 T7-Exercice A.2.1 T7-Exercice

39 section suivant Exercice A.2.1 T7-Exercice1 Soit = [,1] [,2], calculer (1 + 4x yex2 e y 2 )dx d y. Réponse : 2 + (e 1)(e 4 1). Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 39

40 précédent section suivant Exercice A.2.2 T7-Exercice2 Soit = [,π] [,π], calculer y cos(x y)dx d y. Réponse : 1 π (1 cosπ2 ) Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 4

41 précédent section suivant Exercice A.2.3 T7-Exercice3 avec Sur quel domaine intègre-t-on la fonction f (x, y) lorsque l on écrit I = 1 ( δ(x) γ(x) ) f (x, y)d y dx γ(x) = 1 1 x 2, δ(x) = x 2. Aide 1 Aide 2 Aide 3 41

42 précédent section suivant Exercice A.2.4 T7-Exercice4 Calculer le volume du domaine V qui se trouve dans le demi-espace x et qui est limité par le plan xoy, le plan yoz, le cylindre d axe (x =, y = 1) et de rayon 1 et la surface d équation z = x. Réponse : 2 3. Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 42

43 précédent section suivant Exercice A.2.5 T7-Exercice5 Calculer les coordonnées du centre de gravité de la surface qui se trouve dans le demi-plan y et qui est limitée par la courbe y 2 4x =, la droite y = et la droite x = h (h > ). On suppose que la masse surfacique est égale à 1. Réponse : x G = 3 5 h, y G = 3 4 h. Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 43

44 précédent section suivant Exercice A.2.6 T7-Exercice6 Trouver le moment d inertie par rapport à Oy du domaine du plan xoy limité par l ellipse d équation x 2 a 2 + y2 b 2 = 1. On suppose que la masse surfacique est égale à 1. Réponse : a 3 b π 4 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 44

45 précédent section suivant Exercice A.2.7 T7-Exercice7 Calculer les intégrales doubles dx d y et = {(x, y) IR 2, (x 1) 2 + (y 2) 2 4}. Réponse : 4π, 8π. x 2 dx d y où est le disque Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 45

46 précédent section suivant Exercice A.2.8 T7-Exercice8 Reprendre l exercice A.2.4 et le traiter à l aide d un changement de variables. Aide 1 Aide 2 Aide 3 46

47 précédent section suivant Exercice A.2.9 T7-Exercice9 Trouver la masse d une plaque inhomogène définie, en coordonnées polaires, par et dont la masse surfacique est donnée par où k est une constante donnée positive. Réponse : 2kπ 3. = {(r,θ), r 2(1 + cosθ), θ π} µ(r,θ) = k r Aide 1 Aide 2 Aide 3 47

48 précédent section Exercice A.2.1 T7-Exercice1 On considère les trois domaines emboîtés suivants (voir figure A.2.1, R 1 = R,R 2 = R 2) : y C R 1 K R 2 C R2 O FIGURE A.2.1: R 1 R 2 x le quart de disque C R = {(x, y), x, y, x 2 + y 2 R 2 }, le carré K R = [,R] [,R], le quart de disque C R 2 = {(x, y), x, y, x 2 + y 2 2R 2 }. 48

49 précédent section 1. Montrer que 2. Montrer que π 4 ( e (x2 +y 2) R 2 dx d y = e dx) x2. K R ( 1 e R2) ( R < e x2 dx ) 2 < π 4 ( 1 e 2R2). Exercice A.2.1 T7- Exercice1 3. En faisant tendre R vers l infini, en déduire la valeur de l intégrale dite "intégrale de Gauss" + π e x2 dx = 2. Question 1 Aide 1 Aide 2 Question 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Question 3 Aide 1 Aide 2 49

50 précédent suivant Annexe B B.1 du chapitre

51 chapitre B.1 du chapitre 7 B.1.1 Un exemple simple d intégrale double B.1.2 Un exemple d intégrale double où le changement de variables est bien utile B.1.3 Un exemple d intégrale double où le changement de variables est indispensable

52 section suivant Exemple B.1.1 Un exemple simple d intégrale double Soient deux réels a,b > et soit le domaine : T = {(x, y) IR 2 x, y et x a + y b 1} On suppose que la masse surfacique est égale à Représenter T. 2. Calculer l aire de T à l aide d une intégrale double. 3. éterminer les coordonnées (x G, y G ) du centre de gravité G de T à l aide d une intégrale double. Corrigé : 1. Les axes Ox, d équation y =, et Oy, d équation x =, divisent le plan en quatre parties nommées " quadrants " numérotés de 1 à 4 dans le sens trigonométrique comme dans la figure B.1.1. Le domaine T se situe donc dans le premier quadrant. L équation x a + y = 1 est celle d une droite passant par les points A(a,) et B(,b). b La droite divise le plan en deux demi-plans, dans l un x a + y b < 1 et dans l autre x a + y b > 1. Pour déterminer quel est le coté correspondant à T, on considère un point quelconque du plan ne se trouvant pas sur. Les coordonnées de l origine vérifient : = < 1, donc O et T sont dans le même demi-plan. On dit que l origine est du a + b 52

53 section suivant Exemple B.1.1 Un exemple simple d intégrale double FIGURE B.1.1: Les quatre quadrants bon coté. On hachure ce qui ne convient pas et on découvre que T est l intérieur du triangle OAB, voir la figure B On choisit, par exemple, de calculer l intégrale double avec x variable interne. On trace à y fixé le segment d intégration qui est alors horizontal, voir la figure B.1.3. Le segment horizontal balaye donc le domaine T, quand la variable y va de y = à y = b. Pour chaque valeur de y, x varie de x 1 (y) à x 2 (y). Le point (x 1 (y), y) se trouve sur l axe Oy, donc x 1 (y) =. Le point (x 2 (y), y) se trouve sur la droite, donc x 2(y) + y a b = 1, soit x 2(y) = a(1 y b ) 53

54 section suivant Exemple B.1.1 Un exemple simple d intégrale double FIGURE B.1.2: Le omaine T onc A = = T b 1 dx d y = b ( x2 (y) x 1 (y) a(1 y b ) d y = a [ b 2 ) 1 dx d y = ( 1 y ) ] 2 b b b = ab 2. x 2 (y) x 1 (y) d y On retrouve bien l aire du triangle rectangle O AB. 54

55 section suivant Exemple B.1.1 Un exemple simple d intégrale double FIGURE B.1.3: Le Segment d Intégration 3. La masse surfacique vaut 1, on a donc m = A, on a : mx G = = a2 2 T x dx d y = [ b 3 b ( x2 (y) ( 1 y ) ] 3 b b = a2 b 6. ) b [x 2 (y)] 2 x dx d y = d y = a2 2 2 où x G = a2 b 6 2 ab = a 3. x et y jouent des rôles similaires, on obtient donc sans calcul y G = b 3. b ( 1 y b ) 2 d y 55

56 section suivant Néanmoins on peut effectuer ce calcul qui n est pas similaire au précédent : b ( x2 (y) ) my G = y dx d y = y dx d y = T b y x 2 (y) d y = a b y y2 b d y = a ( b 2 ) 2 b3 = ab2 3b 6. Exemple B.1.1 Un exemple simple d intégrale double où y G = b 3. Remarque 1 ans un triangle homogène, le centre de gravité se trouve toujours à l intersection des 3 médianes et au tiers de chacune d elles en partant du côté associé. Ce résultat est valable pour tout triangle (rectangle ou pas ). Cela donne une possibilité de vérifier les calculs. Voir les figures B.1.4 et B.1.5. Remarque 2 ans les calculs, on a utilisé le fait qu une primitive de ( f 1 (y) = 1 y ) b ( est F 1 (y) = C 1 1 y ) 2 b et qu une primitive de ( f 2 (y) = 1 y ) 2 ( est F2 (y) = C 2 1 y ) 3. b b Il suffit de dériver les fonctions F 1 et F 2 pour déterminer les constantes C 1 et C 2 telles que F 1 (y) = f 1(y),F 2 (y) = f 2(y). Ne pas oublier que la dérivée de u(y) n est égale à : n u (y)u(y) n 1. 56

57 section suivant Exemple B.1.1 Un exemple simple d intégrale double FIGURE B.1.4: Le centre de gravité du domaine étudié retour au cours 57

58 section suivant Exemple B.1.1 Un exemple simple d intégrale double FIGURE B.1.5: Le centre de gravité d un triangle quelconque 58

59 précédent section suivant Exemple B.1.2 Un exemple d intégrale double où le changement de variables est bien utile Soient deux réels a et b >, on définit le domaine par : = {(x, y) IR 2 x, y et x2 a 2 + y2 b 2 1} On suppose que la masse surfacique est égale à Représenter. 2. éterminer l aire A de par une intégrale double. 3. Calculer les coordonnées du centre de gravité G de. Corrigé : 1. Si a = b = R, alors ( x a )2 + ( y b )2 = 1 est l équation d un cercle de centre O rayon R. Sinon en faisant un changement d échelle différent selon x et y et en posant X = x a et Y = y b, on obtiendrait X 2 +Y 2 = 1 ce qui est l équation d un cercle de rayon 1. onc on déduit que l équation est celle d un cercle déformé, plus précisément il s agit d une ellipse, cette courbe passe en particulier par les points de coordonnées : (a,),( a,),(,b),(, b). ( x a )2 +( y b )2 1 caractérise le domaine intérieur de l ellipse. Par ailleurs on se trouve dans le premier quadrant, en hachurant ce qui ne convient pas, on obtient le domaine de la figure B

60 précédent section suivant Exemple B.1.2 Un exemple d intégrale double où le changement de variables est bien utile FIGURE B.1.6: Le omaine 2. A = 1 dx d y. On choisit, par exemple, d effectuer le calcul de l intégrale double par deux intégrales successives avec une intégrale interne par rapport à x. On trace donc à y fixé un segment d intégration horizontal voir la figure B.1.7. Le segment horizontal balaye le domaine, lorsque y varie de à b, pour chaque valeur y, x variant de x 1 (y) à x 2 (y) Le point (x 1 (y), y) se trouve sur l axe Oy, donc x 1 (y) =. ( ) x2 (y) 2 ( y ) 2 Le point (x 2 (y), y) se trouve sur l ellipse, donc + = 1, soit : [x2 (y)] 2 = a b 6

61 précédent section suivant Exemple B.1.2 Un exemple d intégrale double où le changement de variables est bien utile FIGURE B.1.7: Le segment d intégration ( y ) ) 2 a (1 2. On sait de plus que sur le domaine, on a x, on obtient finalement x 2 (y) = a 1 b ( y ) 2 b onc : A = 1 dx d y = b ( x2 (y) x 1 (y) ) 1 dx d y = b x 2 (y) x 1 (y) d y = b ( y ) 2 a 1 d y. b Pour calculer cette dernière intégrale simple, on fait un changement de variable, on pose y = b sinθ, d y = b cosθ dθ. Il ne faut pas oublier de changer les bornes : pour 61

62 précédent section suivant y =, on a θ = et pour y = b, on a θ = π 2, on obtient alors : π π 2 A = ab 1 sin 2 2 θ cosθ dθ = ab cosθ cosθ dθ = ab = ab π 2 π 2 cos 2 θ dθ ( car sur l intervalle d intégration cosθ ) ( [ ] π ) 1 + cos2θ π sin2θ dθ = ab = πab 4 4. Si a = b = R, on retrouve bien l aire d un quart de disque πr La masse vaut donc m = A. onc : mx G = = a2 2 b x dx d y = b ( x2 (y) ( y ) 2 a 2 1 d y = (b b3 b 2 3b 2 ) b x dx d y = ) = a2 b (x 2(y)) 2 d y x G = a2 b 3 4 πab = 4a 3π. Pour des raisons de symétrie en échangeant les rôles de x et y on a de même : y G = 4b 3π. On peut cependant faire ce calcul qui différe du calcul précédent et est instructif : b ( x2 (y) ) b b ( y ) 2 my G = y dx d y = y dx d y = y x 2 (y) d y = a y 1 d y b Exemple B.1.2 Un exemple d intégrale double où le changement de variables est bien utile 62

63 précédent section suivant Si on note : u(y) = 1 ( y ) 2. b (On pourrait également faire le changement de variable t = 1 ( y ) 2, b calculer dt, modifier les bornes...) On remarque que : y 1 ( y ) 2 b est, à une constante multiplicative, près de la forme u (y)[u(y)] 1 2 et donc une primitive est de la forme : K [u(y)] 3 2 On détermine facilement cette constante K en redérivant soit : [ ( ( y ) ) 3 ] b my G = a 1 b 3 b2 = ab Exemple B.1.2 Un exemple d intégrale double où le changement de variables est bien utile où y G = 4b 3π. Le calcul effectué dans cet exercice est instructif et il faut savoir le refaire, cependant pour intégrer sur une ellipse ( ou un quart d ellipse), il est préférable d utiliser un changement de variables dans l intégrale double. Si on note : X = x a, Y = y b, on a X 2 + Y 2 1, X, Y. On peut décrire le domaine en posant : [ X = r cosθ, Y = r sinθ, (r,θ) [,1], π ]. 2 d où { x = x(r,θ) = ar cosθ [, y = y(r,θ) = br cosθ, (r,θ) [,1] π ] 2 63

64 précédent section suivant Exemple B.1.2 Un exemple d intégrale double où le changement de variables est bien utile FIGURE B.1.8: Le changement de variables ATTENTION, dans ce cas pour un point M quelconque, θ ne représente pas l angle entre Ox et OM, en effet y x tanθ. Par exemple si y = x, on a tanθ b a = 1, donc si a b, t anθ 1, donc θ π 4, θ 5π 4. [ On calcule le jacobien et on obtient J(r,θ) = abr, on note = [,1], π ], d où : 2 1 π 2 A = 1 dx d y = abr dr dθ = ab r dr dθ = ab 1 2 π 2 = abπ 4. Pour le calcul de x G : mx G = = a 2 b x dx d y = 1 r 2 dr π 2 ar cosθ abr dr dθ = a 2 b r 2 cosθ dr dθ cosθ dθ = a 2 b = a2 b 3. Le calcul pour y G est similaire, les calculs sont donc alors - avec le changement de variables - enfantins. 64

65 précédent section suivant retour au cours Exemple B.1.2 Un exemple d intégrale double où le changement de variables est bien utile 65

66 précédent section Exemple B.1.3 Un exemple d intégrale double où le changement de variables est indispensable Soient trois réels A, R 1 et R 2 avec R 1 R 2 et A [, 2π], soit [Os) la demi-droite telle que ([x),[os)) = A (angle orienté). On définit le domaine : S = {(x, y) IR 2 R 2 1 x2 + y 2 R 2 2 et (x, y) est dans le secteur angulaire ([x),[os)) } On suppose que la masse surfacique est égale à Représenter S. 2. éterminer l aire A de S par une intégrale double avec changement de variables. 3. Calculer les coordonnées du centre de gravité G de S par une intégrale double avec changement de variables. Corrigé : 1. x 2 + y 2 R 2 1 correspond à l extérieur du cercle de rayon R 1. x 2 + y 2 R 2 2 correspond à l intérieur du cercle de rayon R 2. On a donc la représentation suivante donnée sur la figure B On effectue un changement de variables en polaires : { x = x(r,θ) = r cosθ y = y(r,θ) = r cosθ, on a : J(r,θ) = r. 66

67 précédent section Exemple B.1.3 Un exemple d intégrale double où le changement de variables est indispensable FIGURE B.1.9: Le Secteur Annulaire S r varie entre R 1 et R 2, θ varie entre et α, on note le domaine, [R 1,R 2 ] x [,α] voir la figure B.1.1. On obtient : R2 α A = 1 dx d y = r dr dθ = rdr 1dθ = α 2 (R2 2 R2 1 ). S Pour α = 2π on retrouve bien la différence de deux aires de disques. 3. La masse m de S vaut donc A. e plus : mx G = x dx d y = r cosθ r dr dθ = S R 1 R2 R 1 r 2 dr α cosθ dθ = 1 3 (R3 2 R3 1 )sinα. 67

68 précédent section Exemple B.1.3 Un exemple d intégrale double où le changement de variables est indispensable FIGURE B.1.1: Le Changement de Variables et donc : x G = 2 3 R 3 2 R3 1 R 2 2 R2 1 sinα α. my G = S y dx d y = r sinθ r dr dθ = R2 R 1 r 2 dr α sinθ dθ = 1 3 (R3 2 R3 1 )(1 cosα) et donc : y G = 2 3 R 3 2 R3 1 R 2 2 R2 1 1 cosα. α 68

69 précédent section Remarque 1 : les calculs sont très simples car le domaine est un rectangle, et on doit intégrer une fonction qui s écrit alors comme un produit g 1 (r ) g 2 (θ), on obtient donc immédiatement un produit de deux intégrales simples. Sans le changement de variables les calculs en x, y sont - pour α quelconque - inextricables. Remarque 2 : pour R 1 =,R 2 = R et α = π 2, on obtient x G = y G = 2 3 r 2 π = 4R 3π. Exemple B.1.3 Un exemple d intégrale double où le changement de variables est indispensable On retrouve les résultats de l exemple B.1.2 pour a = b = R retour au cours 69

70 précédent Annexe C C.1 du chapitre

71 chapitre C.1 du chapitre 7 C.1.1 Introduction du jacobien dans l intégrale double

72 section ocument C.1.1 Introduction du jacobien dans l intégrale double x= ξ (u,v) y= η (u,v) M 2 M 3 v δ u A A 2 3 y M T v δ v T u M 1 v A A 1 u u FIGURE C.1.1: Changement de variable dans les domaines d intégration La figure C.1.1 montre l image du rectangle (A, A 1, A 3, A 2 ) par le changement de variables { x = a(u, v) x y = b(u, v) On obtient ainsi un élément limité par 4 arcs de courbes. L arc de courbe M M 1 est l image du segment A O A 1 et correspond à la paramétrisation x = a(u, v ), y = b(u, v ) u [u,u + δu]. On approche cet arc de courbe par sa "tangente", ce qui revient à considérer un développement de Taylor au premier ordre de la paramétrisation précédente pour le point 72

73 section M 1 (u + δu, v ) : Les composantes de T u sont donc a(u + δu, v ) a(u, v ) + δu a u (u, v ), b(u + δu, v ) a(u, v ) + δu b u (u, v ). ocument C.1.1 Introduction du jacobien dans l intégrale double δu( a u (u, v ), b u (u, v )). e même on montre que les composantes de T v sont δ v( a v (u, v ), b v (u, v )). L aire de l élément courbe image du rectangle (A, A 1, A 3, A 2 ) est donc approchée par l aire du parallélogramme construit sur les vecteurs T u et T v : T u T v = a u (u, v ) b v (u, v ) a v (u, v ) b u (u, v ), soit T u T v = J(u, v )δuδv. retour au cours 73

74 Index des concepts Le gras indique un grain où le concept est défini ; l italique indique un renvoi à un exercice ou un exemple, le gras italique à un document, et le romain à un grain où le concept est mentionné. I Intégrale double - calcul pratique Intégrale double - domaine quelconque. 14 Intégrale sur un rectangle - calcul Intégrale sur un rectangle - définition... 7 Intégrales doubles - changement de variables 22 J Jacobiens , 22 M Motivation

75 Solution de l exercice A.1.1 On a soit ou N 1 I h = I h = N 2 h 1 i=1 j =1 N 1 N 2 h 1 h 2 i=1 j =1 h 2 = (N 1 h 1 )(N 2 h 2 ) I h = (b a)(d c) et comme I h ne dépend plus alors de h, quand h on a dx d y = I h = (b a)(d c) ce qui représente le volume d un parallépipède rectangle de base et de hauteur 1. Retour à l exercice

76 Solution de l exercice A.1.2 z y FIGURE C.1.2: Volume calculé x Le volume considéré (voir figure C.1.2) est limité par le plan xoy (à la base), le plan z = 1+x (au sommet) et le cylindre "rectangulaire" engendré par une droite parallèle à Oz qui s appuie sur le contour du rectangle. Pour calculer géométriquement ce volume, on le divise en deux domaines dont l un et un parallépipède rectangle et l autre un "demi" parallépipède rectangle. La mesure de ce volume est alors égal à = 3. Retour à l exercice

77 Solution de l exercice A.1.3 On a montré dans le cours que f (x)g (y)dx d y = b a ( d c ) f (x)g (y)d y dx. Or f (x) ne dépendant pas de y peut "sortir" de l intégrale en y, soit et puisque d c b ( d ) f (x)g (y)dx d y = f (x) g (y)d y a c g (y)d y est une constante indépendante de x, d b f (x)g (y)dx d y = g (y)d y f (x)dx. c a Ainsi, si = [,1] [,2] on a (1 + x)dx d y = 1 (1 + x)dx 2 d y = 3. Retour à l exercice

78 Solution de l exercice A.1.4 Le volume considéré est limité par le plan xoy (à la base), le plan z = 1 + x (au sommet) et le cylindre "triangulaire" engendré par une droite parallèle à Oz qui s appuie sur le contour du rectangle. 2 z 1 1 y x FIGURE C.1.3: Volume calculé Retour à l exercice

79 Solution de l exercice A Le domaine 1 représente un disque centré en (1,) et de rayon 2 dont l aire est égal à 4π, 2. Le domaine 2 représente un triangle rectangle dont l aire est égal à 1 2, 3. Le domaine 3 représente le demi-disque supérieur centré en (,) et de rayon 1 dont l aire est égal à π 2. Retour à l exercice

80 Solution de l exercice A I = 1 ( 1 y 2. Le domaine est défini par ) x y 2 dx d y = 1 Il s agit du triangle (O, A,B) tel que A(1,) et B(,1). y 2 [ 1 2 x2 ] x=1 y x= = {(x, y) IR 2, x 1 y, y 1}. 1 1 d y = 2 y2 (1 y) 2 d y = Si l on utilise la deuxième méthode, on voit que [a,b] = [,1] et [γ(x),δ(x)] = [,1 x] et donc I = 1 ( 1 x ) x y 2 d y dx. Ce qui donne soit I = 1 [ ] 1 y=1 x x 3 y3 dx y= 1 1 I = 3 x(1 x)3 d y = 1 6. Retour à l exercice

81 Solution de l exercice A.1.7 Si l on utilise le calcul pratique suivant alors, par hypothèse, γ(x) = δ(x) et f (x, y)dx d y = δ(x) γ(x) b δ(x) a γ(x) f (x, y)d y = f (x, y)d y dx, d après un résultat sur l intégrale simple. En effet l intégrale d une fonction impaire sur un segment [ a, a] est nulle. Retour à l exercice

82 Solution de l exercice A.1.8 m = k aire Retour à l exercice

83 Solution de l exercice A.1.9 La définition de y G est donnée par y G = 1 m ykdx d y = k m b ( δ(x) a γ(x) ) yd y dx = puisque la fonction est impaire en y et le domaine est symétrique par rapport à Ox. (Voir l exercice A.1.7.) Faites un raisonnement semblable dans l autre cas pour être sûr d avoir bien compris. Retour à l exercice

84 Solution de l exercice A.1.1 On a de manière évidente : et ( cosθ r sinθ J(r,θ) = sinθ r cosθ J(r,θ) = r. ) Retour à l exercice

85 Solution de l exercice A.1.11 Le changement de variables est "calqué" sur celui du disque. En effet, on pose alors on a de manière évidente { x = ar cosθ, y = br sinθ J(r,θ) = abr. Le domaine en (r, θ) est le même que celui du disque de rayon R = 1 traité dans le cours. L aire de l ellipse est donc πab. Retour à l exercice

86 Aide 1, Exercice A.2.1 Ecrire l intégrale comme somme de deux intégrales et appliquer les résultats du cours. Retour à l exercice

87 Aide 2, Exercice A.2.1 (1 + 4x ye x2 e y 2 )dx d y = dx d y + 4x ye x2 e y 2 dx d y et dans la deuxième intégrale, il y a un produit de la forme f (x)g (y). Retour à l exercice

88 Aide 3, Exercice A.2.1 (1 + 4x ye x2 e y 2 )dx d y = xe x2 dx 2 2ye y 2 d y Retour à l exercice

89 Aide 4, Exercice A.2.1 Solution : (1 + 4x ye x2 e y 2 )dx d y = 2 + (e 1)(e 4 1) Retour à l exercice

90 Aide 1, Exercice A.2.2 Choisissez bien l ordre des deux intégrales simples. Retour à l exercice

91 Aide 2, Exercice A.2.2 y cos(x y) = sin(x y) x il vaut donc mieux commencer par intégrer en x. Retour à l exercice

92 Aide 3, Exercice A.2.2 y cos(x y)dx d y = π ( π ) y cos(x y)dx d y Retour à l exercice

93 Aide 4, Exercice A.2.2 Solution : soit π [ ] π x=π y cos(x y)dx d y = sin(x y) x= d y = sin(πy)d y y cos(x y)dx d y = 1 π (1 cos(π2 )). Retour à l exercice

94 Aide 1, Exercice A.2.3 Rappelez vous de la définition du segment [γ(x), δ(x)]. Retour à l exercice

95 Aide 2, Exercice A.2.3 y = γ(x) est l équation de la courbe qui limite le domaine "en bas". Pouvez-vous donner l équation de cette courbe? Puis l équation de la courbe qui limite "en haut" le domaine? Retour à l exercice

96 Aide 3, Exercice A.2.3 Solution : Un point y = γ(x)) = 1 1 x 2, est tel que x 2 + (y 1) 2 = 1, avec y 1. Si C est le cercle de centre (,1) et de rayon 1, il s agit donc du demi cercle inférieur (y 1). e même un point y = δ(x) = x 2, est tel que x 2 + (y 1) 2 = 1, avec y 1. Il s agit alors du demi-cercle supérieur de C. Plus précisément (le vérifier avec une figure) puisque x 1, le domaine est donc le demi-disque {x 2 + (y 1) 2 1, x 1}. Retour à l exercice

97 Aide 1, Exercice A.2.4 Faites une figure (approximative) et revoyez le paragraphe Intégrale double - domaine quelconque. Quelle est la projection de V sur le plan xoy? Retour à l exercice

98 Aide 2, Exercice A.2.4 Soit le domaine de l exercice précédent. Montrer que le volume V à calculer correspond à f (x, y)dx d y où vous donnerez la fonction f (x, y). Retour à l exercice

99 Aide 3, Exercice A.2.4 Le volume de V vaut x dx d y et est le domaine de l exercice précédent pour lequel vous connaissez donc les bornes! Retour à l exercice

100 Aide 4, Exercice A.2.4 Solution : = 1 x dx d y = = 1 1 ( ) 1+ 1 x 2 x d y dx 1 1 x 2 2x 1 x 2 dx ( 2x) 1 x 2 dx = 2 [ (1 x 2 ) 3/2] 1 3 = 2 3. Retour à l exercice

101 Aide 1, Exercice A.2.5 Voir le paragraphe Motivation. Retour à l exercice

102 Aide 2, Exercice A.2.5 Représenter le domaine d intégration. Retour à l exercice

103 Aide 3, Exercice A.2.5 Calculer la masse du domaine qui n est autre que sa surface. Bien préciser les bornes des intégrales simples correspondantes. Retour à l exercice

104 Aide 4, Exercice A.2.5 Solution : m = dx d y = h ( ) 2 x d y dx = 4 3 h3/2. L abscisse du centre de gravité est donnée par (on peut utiliser les mêmes intégraqles simples) x G = 1 xdx d y = 3 m 5 h. Pour l ordonnée on peut changer l ordre d intégration y G = 1 m ydx d y = 1 m 2 h ( ) y 2 /4 y dx d y = 3 h. 4 Retour à l exercice

105 Aide 1, Exercice A.2.6 Voir le paragraphe Motivation et tracer le domaine d intégration. Retour à l exercice

106 Aide 2, Exercice A.2.6 Voir que la distance d un point M(x, y) à l axe Oy est égale à x. Retour à l exercice

107 ou Aide 3, Exercice A.2.6 a I = x 2 dx d y = a Pour calculer cette intégrale, on peut poser x = a sinθ. ( +b 1 x 2 x 2 /a 2 b 1 x 2 /a 2 a I = 2b x 2 1 x2 a a 2 dx. d y ) dx Retour à l exercice

108 Aide 4, Exercice A.2.6 Solution : ou π/2 I = 2b a 2 sin 2 θ cosθ a cosθ dθ = 1 π/2 π/2 2 a3 b sin 2 2θ dθ π/2 I = 1 4 a3 b π/2 π/2 (1 cos4θ)dθ = a 3 b π 4. Retour à l exercice

109 Aide 1, Exercice A.2.7 Voir le paragraphe Intégrales doubles - changement de variables. Retour à l exercice

110 Aide 2, Exercice A.2.7 Faire un changement de variables en utilisant les coordonnées polaires. N oubliez pas que le disque n est pas centré à l origine. Retour à l exercice

111 Aide 3, Exercice A.2.7 Poser x = 1+r cosθ et y = 2+r sinθ. Quel est le domaine de variations du couple (r,θ)? Quel est le jacobien? Retour à l exercice

112 Aide 4, Exercice A.2.7 Solution : x 2 dx d y = J(r,θ) = r, = [,2] [,2π]. 2 2π dx d y = r dθ dr = 4π. 2 2π r (1 + r cosθ) 2 dθ dr = 2π 2 r + r 3 dr = 8π. 2 Retour à l exercice

113 Aide 1, Exercice A.2.8 Utiliser les coordonnées polaires x = r cosθ, y = 1 + r sinθ, calculer le jacobien donner les bornes sur r et θ. Retour à l exercice

114 Aide 2, Exercice A.2.8 J = r, r 1, π 2 θ π 2 Retour à l exercice

115 xdx d y = int 1 Aide 3, Exercice A.2.8 π 2 π 2 ( 1 ) ( ) π r 2 cosθdθdr = r 2 2 dr cosθdθ = 2 π 3 2 Retour à l exercice

116 Aide 1, Exercice A.2.9 Voir le paragraphe Motivation. Retour à l exercice

117 Aide 2, Exercice A.2.9 Le domaine est donnée directement en coordonnées polaires et les bornes des intégrales vous sont données dans l énoncé. N oubliez pas le jacobien! Retour à l exercice

118 Aide 3, Exercice A.2.9 Solution : où, tout calcul fait m = µ(r,θ)r dr dθ = π m = k 2 3 π. ( 2(1+cosθ) ) k r 2 dr dθ. Retour à l exercice

119 Aide 1, Question 1, Exercice A.2.1 Voir le paragraphe Intégrale sur un rectangle - définition. Retour à l exercice

120 Aide 2, Question 1, Exercice A.2.1 Solution : ( e (x2 +y 2) R dx d y = K R )( R ) e x2 dx e y 2 d y. Retour à l exercice

121 Aide 1, Question 2, Exercice A.2.1 Comparer les trois domaines de la figure A.2.1. Retour à l exercice

122 Aide 2, Question 2, Exercice A.2.1 Puisque C R K R C R 2 (les inclusions sont strictes) et que la fonction f (x, y) = e (x2 +y 2) est strictement positive, on a f (x, y)dx d y < f (x, y)dx d y < f (x, y)dx d y. C R K R C R 2 Retour à l exercice

123 Aide 3, Question 2, Exercice A.2.1 Calculer les intégrales doubles sur les disques par un changement de variables en coordonnées polaires. N oubliez pas le jacobien! Retour à l exercice

124 Aide 4, Question 2, Exercice A.2.1 Solution : de manière générale on a soit C R e (x2 +y 2) dx d y = π 2 C R e (x2 +y 2) dx d y = π 4 R e r 2 r dr dθ ( 1 e R2). On obtient l intégrale sur C R 2 en remplaçant R par R 2. L intégrale sur K R a été calculée dans la première question. Retour à l exercice

125 Aide 1, Question 3, Exercice A.2.1 On fait tendre R vers l infini dans les trois intégrales. En passant à la limite, les inégalités strictes deviennent des inégalités larges. Retour à l exercice

126 Aide 2, Question 3, Exercice A.2.1 Solution : ( π + ) 2 4 e x2 dx π 4. Puisque les quantités à droite et à gauche sont les mêmes, on en déduit que d où le résultat. ( + ) 2 e x2 dx = π 4 Retour à l exercice

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