Algorithmes pour le Traitement Numérique du Signal. Olivier VENARD ST4-SIG2

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1 Algorithmes pour le Traitement Numérique du Signal Olivier VENARD ST4-SIG2 Année scolaire :

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3 Table des matières I Introduction 7 1 Implantation logicielle et/ou matérielle Critères de qualité Structure d implantation Puissance de calcul Réalisation de systèmes discrets II Filtres Numériques 11 1 Filtres FIR Structure directe Structure symétrique Structure cascade Réalisation récursive Filtres IIR Formes directes Graphe de flot de données Décomposition cascade Structure couplée Algorithme de GOERTZEL Calcul de la réponse impulsionnelle d un résonnateur Amplitude du signal à la sortie du résonnateur III Quantification et Stabilité 27 1 Introduction Modélisation du bruit de quantification Effets de la quantification Quantification des coefficients Position des pôles et des zéros après quantification Quantification et stabilité Variance de fonction de transfert en fonction de la quantification des coefficients Sensibilité des pôles et des zéros à la quantification des coefficients Quantification des données Cycles limites Mise à l échelle et ordonnancement des cellules dans une structure cascade Appariement des pôles et des zéros Facteur d échelle Bruit de calcul dans un filtre récursif Ordonnancement des cellules Rapport signal sur bruit IV Traitement multicadence 43 1 Suréchantillonnage Transformée en Z du signal suréchantillonné Identité remarquable du suréchantillonnage Décomposition polyphase, cas du suréchantillonnage Décimation Transformée en Z du signal décimé Identité remarquable de la décimation

4 2 TABLE DES MATIÈRES 2.3 Décomposition polyphase, cas de la décimation Exemple d application : le convertisseur Sigma-Delta Commutativité de la décimation et du suréchantillonnage Changement de fréquence d échantillonnage Principe général Implantation polyphase Banc de filtres Quelques propriétés de la transformée en Z Banc de filtres à 2 canaux Banc de filtres multicadence à 2 canaux Filtres miroirs en quadrature (QMF) Filtre conjugués en quadrature V Transformée en ondelettes 61 1 Banc de filtres Filtres de Daubechies Calcul des coefficients du filtre demi bande Calcul des coefficients des filtres d analyse et de synthèse Implantation des bancs de filtres Lifting Scheme Principes Décomposition polyphase Exemple de factorisation VI Transformée de Fourier rapide 73 1 Algorithme de COOLEY-TUCKEY Calcul du nombre d opérations Décimation en temps et fréquence TFD de taille Décimation en temps Décimation en fréquence Briques de base Réalisation complète de l algorithme Dérivation algébrique de l algorithme en base 2 avec décimation en temps (P=2 et Q=N/2) ère étape de l algorithme Bruit de calcul Facteur d échelle Rapport signal sur bruit de quantification pour une TFD Influence du facteur d échelle sur le RSB Rapport signal sur bruit de quantification pour une TFR Réalisation de la TFR en virgule flottante par bloc Convolution par traitement par bloc Implantation de l algorithme

5 Table des figures I.1 Structure parallèle I.2 Structure cascade I.3 Briques de base pour les algos de TNS II.1 Structure directe II.2 Étape de réalisation d un filtre à réponse impulsionnelle finie II.3 Multiplieur-accumulateur II.4 Gestion du tableau de données II.5 Étape de réalisation d un filtre à réponse impulsionnelle finie à l aide d un multiplieur accumulateur II.6 Structure symétrique pour un nombre pair de coefficients II.7 Structure cascade II.8 Stucture cascade symétrique II.9 Filtre moyenneur II.10 Forme directe I II.11 Structure directe II II.12 Réseau correspondant à la forme directe II et matrice correspondante II.13 Matrice transposée et Réseau correspondant obtenu (forme directe transposée II) II.14 Forme directe transposée II II.15 Structure directe transposée II.16 Structure couplée II.17 Résonnateur à coefficient complexe II.18 Résonnateur avec partie récusrsive à coefficients réels III.1 Erreur d arrondi III.2 Échantillonnage du plan complexe pour cellule d ordre 2 implantée sous forme directe III.3 Échantillonnage du plan complexe pour une structure couplée III.4 Triangle de stabilité III.5 Sensibilité de la fonction de transfert à la quantification des coefficients en fonction de la structure d implantation 34 III.6 Sources de bruit dans le cas d une structure récursive d ordre III.7 Source de bruit équivalente III.8 Phénomène de bande morte equation (III.27), la réponse idéale est représentée en pointillé III.9 Phénomène de bande morte equation (III.28), la réponse idéale est représentée en noir, la réponse pour une précision de 9 bits est en gris III.10Suppression du phénomène de bande morte en utilisant une troncature vers III.11Circularité de la représentation en complément à III.12Appariement des pôles et des zéros III.13Cellule directe de type II III.14Structure directe de type II avec mise à l échelle IV.1 Structure d un modulateur DQPSK en bande de base IV.2 représentation du suréchantillonnage IV.3 Suréchantillonnage d un facteur 3 dans le domaine temporel IV.4 Suréchantillonnage dans le domaine fréquentiel IV.5 Filtre d interpolation après le suréchantillonnage IV.6 Signal suréchantillonné et interpolé IV.7 Filtre d interpolation idéal et filtre en cosinus surélevé pour un rapport F e /F s = 16 (fréquence d échantillonnage et fréquence symbole) IV.8 Identité remarquable suréchantillonnage

6 4 TABLE DES FIGURES IV.9 Structure polyphase pour le suréchantillonnage IV.10Modèle du commutateur pour l interpolation IV.11Opération de décimation IV.12représentation de la décimation IV.13Étape de la décimation par 3 d un signal dans le domaine temporel IV.14Étape de la décimation d un signal par 3 dans le domaine fréquentiel IV.15Filtre anti-repliement avant décimation IV.16Identité remarquable de la décimation IV.17Décomposition polyphase pour la décimation IV.18Décomposition polyphase pour la décimation après translation de ladécimation vers l entrée IV.19Modèle du commutateur pour la décimation IV.20Filtrage du bruit de quantification pour un convertisseur Σ IV.21Filtres moyenneurs IV.22Structure récursive pour un filtre moyenneur IV.23Filtre moyenneur de longueur M suivi d une décimation par M IV.24Application de l identité remarquable pour la décimation (figiv.16) IV.25Suréchantillonnage IV.26Décimation IV.27Système complet IV.28Structure SFD IV.29Struture DFS IV.301 ère étape IV.31Structure finale IV.32transformation passe-bas passe-haut par modulation IV.33Banc de filtres à 2 canaux IV.34Type de gabarit des filtres du banc IV.35Banc de filtres à 2 canaux multicadence IV.36Banc de filtres miroirs en quadrature IV.37Branche passe-bas IV.38Branche passe-haut IV.39Structure résultante pour le banc d analyse IV.40Banc d analyse et de synthèse V.1 bloc de base de la transformée en ondelettes, algorithme de Mallat V.2 gain de P (z) et P ( z) V.3 Racines de P (z) V.4 racines de H 0 (z) et de F 0 (z) V.5 Gain de H 0 (z) et H 1 (z) dans le cas orthogonal V.6 racines de H 0 (z) et de F 0 (z) dans le cas bi-orthogonal V.7 Gain du banc d analyse et du banc de synthèse dans le cas bi-orthogonal V.8 Gains des filtres du banc d analyse et du banc de synthèse V.9 Propriété remarquable de la décimation V.10 Structure polyphase pour le banc d analyse V.11 Identité remarquable pour l interpolation V.12 Structure polyphase du banc de synthèse V.13 Réseau correspondant à la factorisation de la matrice identité (V.28) V.14 Réseau correspondant à la factorisation de la matrice identité (V.29) V.15 Réseau correspondant à l opération de «lifting» et de «lifting» inverse (V.30) V.16 Structure d un étage de transformée en ondelette 5-3 après factorisation de la matrice polyphase V.17 Dépendance des données pour le banc d analyse V.18 Dépendance des données pour le banc de synthèse VI.1 Algorithme de COOLEY-TUCKEY (P = 3, Q = 2) VI.2 Structure papillon VI.3 Première étape de l algorithme avec une décimation temporelle, N = VI.4 Seconde étape de l algorithme avec une décimation temporelle, N = VI.5 Structure complète avec décimation en temps pour N = VI.6 Première étape de l algorithme avec une décimation fréquentielle, N = VI.7 Seconde étape de l algorithme avec une décimation fréquentielle, N =

7 TABLE DES FIGURES 5 VI.8 Structure complète avec décimation en fréquence pour N = VI.9 Structure papillon pour la décimation en temps VI.10Structure papillon pour la décimation en fréquence VI.11Décomposition complète pour N = VI.12Ordonnancement des données VI.13Organigramme d implantation d une TFR VI.141ère étape de la décomposition VI.15Modèle du bruit de calcul pour l évaluation d une TFR VI.16Contribution des papillons à une sortie X(k) VI.17Convolution Linéaire (Les parties grisées représentent le support de chacune des séquences) VI.18Convolution de deux signaux N périodiques VI.19Convolution circulaire de longueur N VI.20Convolution linéaire à l aide d une convolution circulaire VI.21Représentation de l algorithme «overlap and add» au cours du temps VI.22Algorithme «overlap and add»

8 6 TABLE DES FIGURES

9 Chapitre I Introduction Ce cours porte sur les techniques d implantation numérique de fonction de traitement de signal. Nous étudierons deux types de fonctions, les systèmes linéaires et invariants dans le temps (LIT) et la transformée de FOURIER. Ces deux types de fonctions correspondent à deux des principales classes de traitement que l on peut rencontrer en TNS : Le traitement au fil de l eau, échantillon par échantillon, pour le filtrage numérique. Le temps de traitement nécessaire pour l algorithme doit alors être inférieur à la période d échantillonnage T e. le traitement par bloc, tableau d échantillon par tableau d échantillon, comme la transformée de FOURIER rapide (TFR), par exemple. Dans ce cas la limite supérieure du temps de traitement est N T e si N est la taille du tableau d échantillons. Cette différence de structure d implantation induit un temps de latence 1 différent : Il correspond à la durée du traitement ou plus généralement à une période d échantillonnage dans le cas du traitement au fil de l eau, il est égale à la durée d acquisition d un tableau (N T e ) dans le cas du traitement par bloc. Ces deux principes d implantation ne sont pas hermétiquement cloisonnés et du fait du théorème de convolution on peut se douter qu il sera possible d implanter un algorithme de filtrage sous la forme d un traitement par bloc. 1 Implantation logicielle et/ou matérielle l implantation logicielle conduit «naturellement» à une structure de boucle du type «FOR» ou «WHILE» où les ressources matérielles sont réutilisées et conduit donc à un séquencement des opérations élémentaires alors que l implantation matérielle conduit à une implantation déroulée parallèle ou série. 1.1 Critères de qualité L étude de l implantation d algorithmes conduit à les comparer et donc à avoir des critères de comparaison et de qualité. Les critères qui vont conduire à une modification de l implantation sont : La complexité de calcul, Le coût mémoire, Les effets induits par la quantification (précision finie de la machine de calcul). La minimisation des chemins critiques. Complexité de calcul La complexité de calcul se résume en général au nombre d opérations, toutefois l «unité» de quantification de cette complexité diffère d une cible à l autre et dépendra en quelque sorte de la granularité d opération de celle-ci : Dans le cas d une structure micro-programmée, (Processeur de Traitement du signal, DSP), la granularité correspond à l opération que l on peut réaliser en un cycle machine ; en l occurence, indifférement, une multiplication-accumulation MAC, une multiplication ou une addition. Dans le cas d une implantation circuit, c est la surface silicium qui sera importante. Une multiplication aura un coût beaucoup plus élevé qu une addition, en fonction de l algorithme utilisé pour implanter cette multiplication, de la largeur du chemin de donnée Le temps de latence est le temps entre l arrivée du premier échantillon et la restitution du premier résultat. 7

10 8 Introduction Coût mémoire Le coût mémoire caractérise essentiellement la quantité de mémoire nécessaire à l éxécution d un algorithme, cependant sa technique d accès, différente suivant la cible pourra avoir des conséquences sur le temps de traitement. Du point de vue architecture d accès mémoire on rencontre deux types de DSP. Dans le premier type le bus mémoire accède directement au chemin de données le temps d accès aux données est donc inclus dans le temps d exécution de l opération. Dans le second cas, que l on nomme généralement architecture orienté registre, le chemin de donnée n est accédé qu au travers de registre. Ainsi le temps d accès aux données pourra induire un temps de cycle supplémentaire. longueur finie des mots la longueur finie des mots pour représenter les données en mémoire contraint la dynamique (bits de poids forts) et la précision (bits de poids faibles). Des algorithmes conduisants à des structures équivalentes pour une arithmétique en précision infinie pourront présenter des comportements profondément différents, en terme de sensibilité dans le cas d une arithmétique en précision finie. 1.2 Structure d implantation Outre les critères de «qualité» définis ci-dessus, d autre considérations peuvent être prises en compte dans le choix d un algorithme, notamment l architecture de la cible : Structure parallèle conduisant à une structure d algorithme additive H(z) = H 1 (z) + H 2 (z) + H 3 (z) (figure I.1). Cette approche utilise la technique de décomposition en éléments simples. Structure cascade ou pipeline supposant une forme multiplicative H(z) = H 1 (z) H 2 (z) H 3 (z) (figure I.2). Cette approche repose sur une factorisation. FIGURE I.1 Structure parallèle FIGURE I.2 Structure cascade 1.3 Puissance de calcul La complexité de calcul d un traitement peut être évaluée en fonction de plusieurs paramètres. Le premier concerne la périodicité de calcul T c qui peut correspondre à la période d échantillonnage dans le cas d un traitement au fil de l eau ou à un multiple de celle-ci dans le cas d un traitement par bloc. Le second paramètre concerne le nombre d opération N op nécessaire

11 Introduction 9 à la réalisation de l algorithme. Le troisième correspond au nombre de voie N v qu il est nécessaire de traiter en parallèle. la puissance de calcul P c nécessaire est alors donné par l expression suivante : P c = N v N op T c. (I.1) Si on appelle B la largeur de bande du signal, on doit avoir la fréquence d échantillonnage F e 2B. En introduisant cette inégalité dans (I.1) on obtient la borne inférieure sur la puissance de calcul nécessaire : P c 2B N v N op. Dans le cas d un traitement par bloc pour un tableau de N échantillons, l inégalité devient : (I.2) P c N v N op N T c = 2B N v N op N. (I.3) 2 Réalisation de systèmes discrets Un système LIT est caractérisé par une équation aux différences à coefficients constants : N M y(n) = a k y(n k) + b k x(n k) k=1 qui correspond, après transformée en Z à la fonction de transfert : Y (z) = 1 + k=0 N b k z k k=0 N a k z k À partir de l équation (I.5), on détermine la position des pôles et des zéros de la fonction de transfert qui sont des fonctions des a k et des b k. On détermine la réponse en fréquence du système à partir de la position des pôles et des zéros, en évaluant (I.5) sur le cercle unité (z = e jω ). k=1 (I.4) (I.5) (a) Retard (b) Arc (c) Multiplieur (d) Additionneur FIGURE I.3 Briques de base pour les algos de TNS On réalise l implantation matérielle ou logicielle à partir des équations (I.4) ou (I.5). L équation (I.4), qui représente le déroulement temporel du calcul permettant d évaluer la sortie y(n), peut être reformulée de diffèrentes manières chacune correspondant à une implantation (algorithme) différente. Ces différentes réalisations du système pourront aussi être avantageusement représentée (pour la compréhension) sous forme de diagramme bloc consistant en l interconnection des «briques» de base pour les algorithmes de TNS (figure I.3) que sont : Les retards (ou délais) correspondant à une sortie égale à l entrée retardée de k périodes d échantillonnage que l on note y(n) = x(n k) (cf. figure I.3(a)). Les arcs correspondant à une sortie égale à l entrée, notée y(n) = x(n) (cf. figure I.3(b)). Les multiplieurs avec le cas particulier de la multiplication par une constante scalaire ou complexe, notée y(n) = a x(n) (cf. figure I.3(c)). Et enfin les additionneurs réalisant cette opération arithmétique entre deux, ou plus, entrées, notée z(n) = x(n) + y(n) (cf. figure I.3(d)).

12 10 Introduction

13 Chapitre II Filtres Numériques Dans ce chapitre seront présentées les structures «classiques» des filtres numériques, ainsi que les problèmes de quantification associés. Les structures treillis, moins classiques, seront présentées dans le chapitre suivant. 1 Filtres FIR Un filtre FIR est décrit par une équation aux différences non récursive : ou par sa fonction de transfert en z : y(n) = N 1 k=0 H(z) = b k x(n k) N 1 k=0 b k z k (II.1) (II.2) La réponse impulsionnelle d un filtre FIR est donc identique à ses coefficients. Dans ce chapitre nous présenterons deux techniques d implantation : la structure directe, la structure cascade. 1.1 Structure directe La structure directe (figure II.1) découle directement de l équation aux différences (II.1) ou, de manière équivalente pour un filtre FIR, du produit de convolution : y(n) = N 1 k=0 h(k)x(n k). (II.3) FIGURE II.1 Structure directe Cette structure nécessite N 1 cases mémoire et a une complexité de calcul de N multiplications et N 1 additions par échantillons de sortie. Dans l équation (II.1), y[n] représente la sortie du filtre, x[n] l entrée du filtre et la suite b[] représente les coefficients du filtre. Nous avons ici un filtre d ordre N 1. 11

14 12 Filtres Numériques (a) Chaîne de retards x[n] x[n 1] x[n N + 1] (b) Données fournies par le traitement (c) Produit terme à terme x[n] b 0 x[n 1] b 1 x[n N + 1] b N 1 (d) Données fournies par le traitement (e) Somme des produit terme à terme y[n] = N 1 b[k]x[n k] k=0 (f) Données fournies par le traitement FIGURE II.2 Étape de réalisation d un filtre à réponse impulsionnelle finie L implantation d un filtre numérique dont le comportement est décrit par l équation aux différences (II.1) se fait en implantant les calculs décrit par cette équation. Pour ce faire nous avons besoin d une chaîne de N 1 retards qui permettent de conserver en mémoire les N 1 valeurs de x[] précédent l instant courant n. Cela est réalisé à l aide d une cascade de case mémoire (figure II.2(a)). Chaque case mémoire est représentée par un symbole z 1 qui est la transformée en z d un filtre ayant comme réponse impulsionnelle δ[n 1] c est à dire un filtre correspondant à un retard pur d une période d échantillonnage. Il faut ensuite réaliser le produit scalaire entre la suite de coefficients b[] et la suite de donnée contenue dans la chaîne de retards x[]. Cela se fait en deux étapes, on effectue les produits terme à terme entre la suite de coefficients 1 et la suite de donnée : b[k]x[n k] pour k = 0 N 1, (figure II.2(c)), la multiplication par une constante est représentée par un triangle. On effectue ensuite la somme des produits terme à terme. Pour chaque nouvel échantillon x[n] en entrée, l ensemble de ces opérations est réalisé afin de fournir un nouvel échantillon y[n] en sortie. Cette manière de conduire les calculs suppose pour l étape fig.ii.2(c) que l on ait N multiplieurs en parallèle. Sur les processeurs et notamment les processeurs de traitement du signal on dispose en général d un multiplieur intégré au sein d un structure appelée multiplieur-accumulateur(figure II.3), qui comme son nom l indique permet de réaliser une multiplication d en ajouter le résultat au contenu d un registre appelé accumulateur et de stocker le résultat de cette somme dans ce même accumulateur. Le déroulement des calculs à l aide d une structure «multiplieur-accumulateur» est représenté figure II.5. Les étapes de calculs sont les suivantes : Les coefficients du filtre (la suite b k ) sont contenus dans un tableau de N cases mémoires (mémoire1 par exemple sur la figure II.3). Les données du filtre (la suite x[]) sont contenues dans un tableau de N cases mémoires (mémoire2 par exemple sur la figure II.3). Le calcul est alors conduit de la manière suivante : 1. Le nouvel échantillon x[] est rangé au début du tableau de donnée et l accumulateur est mis à Les coefficients sont eux aussi contenu dans des cases mémoires qui resteront constantes dans le temps

15 Filtres Numériques 13 FIGURE II.3 Multiplieur-accumulateur (a) Vieillisement du tableau de donnée (b) Tableau de donnée après vieillisement FIGURE II.4 Gestion du tableau de données 2. Boucle de traitement sur le nombre de coefficients (N), compteur de coefficients est mis à 0. (a) Multiplication de la donnée et du coefficient courants et accumulation au résultat précédent dans l accumulateur. (b) Si encore des coefficients à traiter, incrémentation du compteur de coefficients et retour à l étape 2a ; sinon aller à l étape Le contenu de l accumulateur est transféré vers la case mémoire devant contenir le résultat du filtrage (y par exemple). 4. Le tableau de données est préparé pour le prochain échantillon x[]. C est l étape de vieillissement des données (figure II.4) : on recopie le contenu de chaque case mémoire dans la case mémoire immédiatement supérieure en partant de l adresse N 1, l adresse 1 se trouve ainsi disponible pour recevoir le prochain échantillon en entrée du filtre. 5. on retourne à l étape 1 en attente du prochain échantillon x[].

16 14 Filtres Numériques (a) premier produit, accumulateur préalablement mis à 0 (b) second produit, accumulation avec le résultat précédent (c) troisième produit, accumulation avec le résultat précédent (d) N ème produit, accumulation avec le résultat précédent FIGURE II.5 Étape de réalisation d un filtre à réponse impulsionnelle finie à l aide d un multiplieur accumulateur

17 Filtres Numériques Structure symétrique Les filtres FIR sont souvent caractérisées par une phase linéaire, propriété qui se traduit par une symétrie ou une antisymétrie des coefficents qu il est possible d exploiter pour réduire le coût en nombre d opérations. Cette propriété s exprime par : h(k) = ±h(n 1 k). Le produit de convolution s écrit alors dans le cas d un nombre pair de coefficients : N 2 1 y(n) = h(k)x(n k) ± h(n 1 k)x(n (N 1 k)). k=0 N 2 1 N 2 1 k=0 = h(k)(x(n k) ± x(n (N 1 k))) k=0 Ce qui conduit à la structure représentée figure II.6 : (II.4) FIGURE II.6 Structure symétrique pour un nombre pair de coefficients. Cette implantation nécessite toujours N 1 cases mémoire mais la complexité de calcul est réduite à N/2 1 multiplications et N additions. De plus la longueur du chemin critique est divisée par 2. Le gain est donc proportionnel à la longueur du filtre qui est souvent importante dans le cas des filtres FIR. 1.3 Structure cascade La structure cascade est directement dérivée de la mise sous forme produit de la fonction de transfert : H(z) = N 1 k=0 b k z k = K H k (z), k=1 (II.5) avec H k (z) = b k0 + b k1 z 1 + b k2 z 2 si les cellules H k sont d ordre 2. On a alors K = N 2 cellules cascadées. Le coefficient b 0 de la fonction de transfert initiale (H(z)), correspondant au gain du filtre peut être réparti sur tout les étages : b 0 = K b k0, k=1 ou affecté à une seule cellule, les autres cellules étant caractérisées par des polynomes normalisés (b k0 = 1). Ce type de décomposition (figure II.7) aboutit donc à K (K = N/2) cellule d ordre 2, demandant chacune 3 multiplications et 2 additions. Soit donc 3K multiplications et 2K additions au lieu de, respectivement 2K et 2K 1 dans le cas de la structure directe. Dans la mise en structure cascade, Il est toujours souhaitable de constituer des cellules du 2 nd ordre en appariant les racines complexes conjuguées, de manière à obtenir des coefficients réels. Cependant une des caractéristiques de certains filtres FIR, la phase linéaire, peut être dégradée par la conjonction de la factorisation en cellule du 2 nd ordre et la représentation en précision finie des coefficients de ces cellules, qui entraîne la perte de la propriété de (anti)symétrie des coefficients (condition nécessaire et suffisante pour une phase linéaire). Dans le cas où le filtre est à phase linéaire, on peut exploiter la (anti)symétrie des coefficients afin d obtenir une brique de base d ordre 4 ayant une (anti)symétrie de coefficients. Cette nouvelle structure a aussi pour conséquence de réduire le nombre d opérations par deux. Soit la fonction de transfert en z d un filtre FIR : H(z) = N 1 k=0 h(k)z k

18 16 Filtres Numériques FIGURE II.7 Structure cascade que l on évalue en z 1 On multiplie chaque côté de l égalité par z (N 1) H(z 1 ) = z (N 1) H(z 1 ) = N 1 k=0 N 1 k=0 h(k)z k. et l on envisage séparement les deux cas, symétrique et anti-symétrique : h(k)z k (N 1) Cas symétrique, h(k) = h(n 1 k) z (N 1) H(z 1 ) = N 1 k=0 Cas anti-symétrique, h(k) = h(n 1 k) h(n 1 k)z N 1 k (N 1) = z (N 1) H(z 1 ) = z (N 1) H(z 1 ) = N 1 k=0 N 1 k=0 N 1 k=0 h(n 1 k)z k, h(k)z k = H(z). h(n 1 k)z N 1 k (N 1), N 1 z (N 1) H(z 1 ) = h(k)z k = H(z). k=0 Dans le cas d un filtre à (anti)symétrie de coefficients, un zéro de H(z) est aussi un zéro de H(z 1 ). Si z 0 et z0 sont des racines complexes conjuguées de H(z), elles le sont aussi de H(z 1 ), de même bien sûr que 1 1 z 0 et z. On peut alors constituer une 0 cellule d ordre 4 ayant ces quatre racines, possédant une (anti)symétrie de coefficients, donc une phase linéaire : ) H k (z) = c k0 (1 z k z 1 )(1 zkz 1 ) (1 )(1 z 1 z 1 = c k0 + c k1 z 1 + c k2 z 2 + c k1 z 3 + c k0 z 4. z k z k

19 Filtres Numériques 17 En adoptant la structure exploitant la (anti)symétrie des coefficients (figure II.8), on obtient pour chaque cellule 3 multiplications et 4 additions. Soit un filtre d ordre N avec N = 4K et K = K/2, on a alors (3K)/2 multiplications et 2K additions. Ce qui divise par deux le nombre d opérations nécessaires par rapport à la structure où l on n exploite pas la (anti)symétrie des coefficients (figure II.7). Cela permet en plus de préserver la linéarité de la phase. FIGURE II.8 Stucture cascade symétrique 1.4 Réalisation récursive Le cas des filtres moyenneurs où tous les coefficients sont égaux en général à 1 permet une réalisation récursive d un filtre FIR. Soit le filtre moyenneur dont la transformée en z est donnée par : H(z) = 1 N N 1 k=0 z k (II.6) La structure directe de ce filtre est représentée figure II.9(a) (a) Structure directe (b) Structure récursive FIGURE II.9 Filtre moyenneur En exprimant la somme discrète sous forme rationnelle on obtient : H(z) = 1 N 1 z N, (II.7) 1 z 1 ce qui aboutit à une structure comportant une partie directe et une partie récursive. Le diagramme bloc correspondant est représentée figure II.9(b). Cette transformation permet de passer N 1 additions à 2 additions, par contre elle induit 2 cases mémoires supplémentaires : N dans la branche directe et 1 dans la branche récursive au lieu de N 1 dans la structure directe. L autre gros avantage de cette structure est d avoir un nombre d opération indépendant de l ordre du filtre.

20 18 Filtres Numériques 2 Filtres IIR 2.1 Formes directes La fonction rationnelle en z qui caractérise un filtre IIR est donné par H(z) = 1 + M b k z k k=0, N a k z k k=1 (II.8) et peut être décomposée en deux systèmes cascades H(z) = H 1 (z)h 2 (z) avec H 1 (z) comportant les zéros de H(z), M H 1 (z) = b k z k, k=0 et H 2 (z) comprenant les pôles de H(z), 1 H 2 (z) =. N 1 + a k z k k=1 En ayant H 2 (z) en cascade avec H 1 (z) on obtient la forme directe I (figure II.10). Dans cette structure nous avons N +M +1 FIGURE II.10 Forme directe I multiplications, M + N additions et M + N cases mémoires. Si maintenant on place en cascade H 1 (z) après H 2 (z), on obtient une structure qui utilise moins de mémoire. Dans ce cas la partie récursive correspond à l équation aux différences : w(n) = x(n) N a k w(n k), w(n) devient l entrée de H 1 (z), la sortie y(n) correspond alors à l équation aux différences y(n) = k=1 N b k w(n k). k=0 Nous aboutissons ainsi à la structure directe II (figure II.11). On a toujours M + N + 1 multiplications et M + N additions, mais seulement max{m, N} cases mémoires au lieu de M + N. Nous verrons par la suite que les structures directes peuvent être extrêmement sensible à la quantification des coefficients.

21 Filtres Numériques 19 FIGURE II.11 Structure directe II 2.2 Graphe de flot de données Il peut être intéressant pour manipuler les réseaux et notamment les transformer sans changer la relation entrée-sortie d utiliser les techniques et les méthodes de transformation associées aux graphes de flot de données. C est ainsi que peuvent être dérivées les structures transposées. La transposition d un graphe opère les transformations suivantes : L entrée devient la sortie et la sortie devient l entrée, Les directions des branches sont inversées et conservent la même transmittance, Les additions deviennent des nœuds, Les nœuds deviennent des additions. Le théorème TELLENGEN nous dit alors que la fonction de transfert entrée-sortie demeure inchangée. Cette transformation peut aussi s obtenir en partant d une description matricielle du graphe de donnée. Cette matrice est construite de la manière suivante : Les entrées correspondant aux numéros de ligne correspondent aux numéros de nœud de l entrée d un arc du graphe de flot de données, Les entrées correspondant aux numéros de colonne correspondent aux numéros de nœud de la sortie d un arc du graphe de flot de donnée, L entrée de la matrice correspondant à ces coordonnées correspond à la transmittance de l arc du graphe de flot de donnée. En transposant cette matrice et en en déduisant la graphe correspondant, on obtient la même structure transposée que celle obtenue par la méthode précédente b 0 0 z a 1 0 b 1 0 z a 2 0 b 2 FIGURE II.12 Réseau correspondant à la forme directe II et matrice correspondante En appliquant cette transformation à la forme directe II (figure II.11, on obtient la forme directe tranposée II (figure II.14). Si on écrit les équations aux différences régissant ce système pour N = M = 2 on obtient : En remplaçant w 1 (n) et w 2 (n) par leurs valeurs il vient : y(n) = w 1 (n 1) + b 0 x(n), w 1 (n) = b 1 x(n) a 1 y(n) + w 2 (n 1), w 2 (n) = b 2 x(n) a 2 y(n). y(n) = 2 b k x(n k) k=0 2 a k y(n k), k=1

22 20 Filtres Numériques b a z b a z b 2 FIGURE II.13 Matrice transposée et Réseau correspondant obtenu (forme directe transposée II) FIGURE II.14 Forme directe transposée II qui est l équation aux différences de départ. La relation entrée-sortie est donc bien inchangée. Cette transposition peut aussi avoir lieu pour les filtres FIR, on aboutit alors au diagramme bloc représenté figure II.15. FIGURE II.15 Structure directe transposée 2.3 Décomposition cascade La décomposition cascade consiste comme pour les filtres FIR à décomposer la fonction de transfert H(z) en un produit de fonction de transfert H k (z) généralement du second ordre dans le cas de racines complexes conjuguées. avec et H(z) = K H k (z). k=1 H k (z) = b k0 + b k1 z 1 + b k2 z a k1 z 1 + a k2 z 2, b 0 = b 10 b b K0. Chaque bloc du second ordre peut être réalisé par une structure directe I ou II ou par une structure transposée II. La manière d ordonner les cellules sera abordé dans le chapitre suivant. (II.9)

23 Filtres Numériques 21 3 Structure couplée La structure couplée s applique à des cellules d ordre 2, donc après factorisation de la fonction de transfert globale (II.9). H(z) = b 0 + b 1 z 1 + b 2 z a 1 z 1 + a 2 z 2 = b 0z 2 + b 1 z + b 2 z 2 + a 1 z + a 2 La démarche consiste ensuite à décomposer (II.10) en éléments simples, sous la forme : H(z) = b 0 + A z ρ + A z ρ (II.10) (II.11) où ( ) correspond au complexe conjugué, ρ et ρ sont les poles complexes conjugués de (II.10). A = d 0 2 j d 0α 1 + d 1 2α 2 d 0 = b 1 b 0 a 1, avec d 1 = b 2 b 0 a 2, ρ = α 1 + jα 2. La TZ de la sortie y(n) en fonction de l entrée x(n) s exprime alors par On pose qui correspond à l équation aux différences on a de même Y (z) = H(z)X(z) = b 0 X(z) + S(z) = A z ρ X(z) + A z ρ X(z) A z ρ X(z), s(n + 1) = ρs(n) + Ax(n), s (n + 1) = ρ s (n) + A x(n) en exprimant s(n), ρ et A sous forme complexe : s(n) = v 1 (n) + jv 2 (n), ρ = α 1 + jα 2, A = q 1 + jq 2. (II.12) (II.13) On obtient pour s(n + 1) : (v 1 (n + 1) + jv 2 (n + 1)) = (α 1 v 1 (n) α 2 v 2 (n)) + j (α 1 v 2 (n) + α 2 v 1 (n)) + (q 1 + jq 2 ) x(n), que l on peut formuler sous forme matricielle : [ ] [ ] [ ] v1 (n + 1) α1 α = 2 v1 (n) v 2 (n + 1) α 1 v 2 (n) α 2 [ ] q1 + x(n). q 2 (II.14) En utilisant (II.12) et (II.13) la sortie temporelle du système devient : y(n) = b 0 x(n) + s(n) + s (n) = b 0 x(n) + 2R{s(n)} (II.15) qui peut là encore s écrire sous forme matricielle : y(n) = [ 2 0 ] [ ] v 1 (n) + b v 2 (n) 0 x(n) (II.16) La représentation sous forme de bloc diagramme du système définit par l équation d état (II.14) et l équation de sortie (II.16) est donné figure II.16. L intérêt de la structure couplée réside dans sa robustesse à la quantification des coefficients qui est obtenue au prix d un coût légèrement supérieur en nombre d opération par rapport à une structure directe d ordre 2 : 7 multiplications (et non 8, la multiplication par 2 pouvant être effectuée par un simple décalage)et 5 additions au lieu de 5 multiplications et 4 additions.

24 22 Filtres Numériques FIGURE II.16 Structure couplée 4 Algorithme de GOERTZEL L algorithme de GOERTZEL correspond à une application de détection de fréquence, quand on ne s intéresse pas à l ensemble du spectre, mais seulement à quelques raies fréquentielles du signal comme dans le cas des signaux DTMF 2. Cet algorithme va permettre de détecter une fréquence à l aide d un filtre résonnateur IIR. Son équation aux différences est dérivée à partir de l équation de la transformée de FOURIER discrète : X(k) = = N 1 n=0 N 1 n=0 x(n)e j2 π N kn x(n)w nk N, (II.17) avec W N = e j 2π N donc W Nk N = 1. On peut donc introduire ce terme unitaire en facteur dans l expression (II.17) : N 1 X(k) = WN Nk x(n)w nk N, = N 1 n=0 n=0 x(n)w (N n)k N. (II.18) Si on note X(k) = y k (m) avec m = N l équation (II.18) se réécrit : y k (m) = N 1 n=0 x(n)w k(m n) N, (II.19) qui est l expression du produit de convolution entre un signal de durée finie x(n), et un filtre de réponse impulsionnelle h k (n) = W kn N u(n) 3. Ce filtre a pour transformée en Z : H k (z) = + n=0 WN nk z n 1 = 1 WN k (II.20) z 1 avec comme rayon de convergence, z > 1. Cette transformée en Z correspond à un filtre récursif ayant un pôle en ω k = 2πk/N qui a pour équation aux différences : qui correspond à la structure représentée figure II numérotation téléphonique à fréquence vocale 3. u(n) est la fonction échelon. y k (n) = W k Ny k (n 1) + x(n), (II.21)

25 Filtres Numériques 23 FIGURE II.17 Résonnateur à coefficient complexe Pour obtenir un dénominateur à coefficients réels, on le multiplie par un polynome ayant pour racine W k N : 1 W k N H k (z) = ( z 1 1 W k N z 1) ( 1 W k N z 1) 1 W k N = z cos(2πk/n) z } {{ } 1 + z 2. (=α k ) (II.22) L équation aux différences pour la partie récursive est donc : w(n) = x(n) + α k w(n 1) w(n 2), (II.23) et pour la partie directe : y k (n) = w(n) W k N w(n 1). (II.24) Comme on ne s intéresse qu à la valeur finale du calcul, la partie directe ne sera calculée que lors de la dernière itération, c est à dire pour n = N 1, alors que la partie récursive est évaluée pour n = 0 N 1. On obtient donc la valeur correspondant à FIGURE II.18 Résonnateur avec partie récusrsive à coefficients réels X(k) (II.17) en évaluant la partie directe de l équation aux différences (II.24) à l instant n = N 1 : X(k) = y k (N 1) = w(n 1) W k N w(n 2). (II.25) Ce type d algorithme est en général utilisé quand on cherche à détecter un seuil d énergie à une fréquence donnée, pour cela on calculera X(k) 2 : X(k) 2 = w(n 1) 2 + w(n 2) 2 α k w(n 1)w(N 2) (II.26) En terme de complexité, cet algorithme demande N multiplications et 2N 2 additions pour la partie récursive ainsi que 4 multiplications et 2 additions pour le calcul de (II.26). Un algorithme de tranformée de Fourier rapide a une complexité de 2N log 2 (N) multiplications réelles. L algorithme de GOERTZEL restera donc avantageux tant que l on cherchera à évaluer l énergie pour un nombre de fréquence M 2 log 2 (N).

26 (z z i )H(z)z n 1 z=zi 24 Filtres Numériques 4.1 Calcul de la réponse impulsionnelle d un résonnateur On s intéresse ici à la réponse impulsionnelle de la partie récursive (II.23) dont l équation aux différences est de la forme : y(n) = x(n) + 2 cos θ k y(n 1) y(n 2), (II.27) et dont la transformée en Z est donnée par : H(z) = Y (z) X(z) = cos θ k z 1 + z 2 1 = (1 e jθ k z 1 ) (1 e jθ k z 1 ). (II.28) On pose z 0 = e jθ k et z 0 complexe conjugué de z 0, on obtient alors comme expression pour la transformée en Z : H(z) = = 1 (1 z 0 z 1 ) (1 z 0 z 1 ) z 2 (z z 0 ) (z z 0 ) (II.29) On obtient la réponse impulsionnelle en utilisant le théorème des résidus : h(n) = 1 H(z)z n 1 dz = Res [ H(z)z n 1]. (II.30) 2πj C z i C z=zi On choisit un contour d intégration C qui inclut le cercle unité et donc les deux pôles, on obtient alors l expression suivante pour la réponse impulsionnelle : h(n) = i. (II.31) On remplace H(z) dans cette équation par son expression (II.29) et on développe la somme : h(n) = (z 0 z 0 ) = ejθ k(n+1) 2j sin θ k z0z 2 0 n 1 (z 0 z 0 ) (z 0 z 0 ) + ( z z 0 2 z 0 n 1 0 z 0 ) ( z 0 z 0 ) ( z 0 z 0 ) ejθk(n+1) 2j sin θ k = sin (θ k(n + 1)) sin θ k. (II.32) 4.2 Amplitude du signal à la sortie du résonnateur Nous allons maintenant étudier la dynamique du signal de sortie, afin d éviter tout risque de saturation dans le cas d une implantation concrète. Le maximum en valeur absolue de la réponse à ce filtre (II.27) est : N 1 N 1 y(n) = x(n k)h(k) x(n k) h(k). n=0 Si on considère que x(n) x max, alors cette équation se réécrit : n=0 N 1 y(n) x max n=0 h(k). (II.33) Pour que y(n) 1 on doit donc avoir la condition : x max Nous allons maintenant étudier les cas extrêmes. N 1 n=0 1 h(k) = N 1 n=0 1 sin (θ k (n + 1)) sin θ k. (II.34)

27 Filtres Numériques 25 Cas le plus favorable Cette situation se produit pour θ k = π/2. On a alors : on doit donc avoir : N 1 n=0 sin (π/2(n + 1)) sin π/2 N N 1 = 2 1 sin (π/2(n + 1)) = sin (π/2(2n + 1)) = N 2, n=0 x max 2 N n=0 (II.35) (II.36) Cas le moins favorable Ce cas survient pour θ k = {0, π}. Si θ k = 0, alors : sin (θ k (n + 1)) lim = (n + 1) cos (θ k(n + 1)) θ k 0 sin θ k cos θ k = n + 1. (II.37) θk =0 On a alors : en remarquant que : on obtient : on doit alors avoir : N 1 n=0 n + 1 = N, N 1 [ N] + [N + (N 1) + + 1] = N(N + 1) = 2 n + 1, sin (θ k (n + 1)) lim = θ k 0 sin θ k x max 2 N(N + 1). n=0 N(N + 1). (II.38) 2 (II.39)

28 26 Filtres Numériques

29 Chapitre III Quantification et Stabilité 1 Introduction L implantation effective de filtre sur une structure va se heurter à un problème de précision finie. En effet quand on calcul une fonction de transfert, les coefficients obtenus sont représentés avec une précision infinie. Les DSP ou les circuits intégrés spécifiques n auront pas cette capacité à représenter les nombres avec une précision infinie. Les coefficients du filtre à implanter se trouveront codés dans des registres de longueur finie. Le codage pourra être en virgule fixe ou en virgule flottante, dans la suite nous ne nous intéresserons uniquement au cas de la représentation virgule fixe. Nous verrons comment le bruit de quantification peut être représenté, quel effet il a quand il est appliqué sur les coefficients et sur les données. 2 Modélisation du bruit de quantification Suivant le type de cible matérielle le bruit de quantification interviendra à des endroits différents. Dans le cas d un DSP le résultat d une multiplication est transféré dans l accumulateur sans quantification, par contre ce dernier subira une quantification lors du stockage en mémoire. On ne conservera que les bits de poids forts en calcul fractionnaire simple précision. Dans le cas d un circuit intégré spécifique, la quantification du résultat interviendra en général après la multiplication puisqu alors seul les bits de poids forts seront implantés en hardware. On aura donc, pour les DSP, une source de bruit de quantification à chaque stockage en mémoire alors que dans le cas des circuits intégrés spécifiques on aura une source de quantification à chaque multiplication. La quantification est une opération non linéaire qui ramène un intervalle continu de valeur à une valeur discrète. Pour évaluer les effets de la distorsion apportés au signal par ce type de non linéarité, on est amené à élaborer un modèle linéarisé du bruit de quantification. Ce modèle repose sur une représentation statistique de l erreur introduite par la quantification. Le signal quantifié est alors vu comme la somme du signal initial x(n) et d une erreur de quantification e(n) correspondant à la distance entre la valeur initiale du signal avant quantification et la valeur de celui-ci (x q (n)) à la sortie de la non linéarité : x q (n) = x(n) + e(n) (III.1) Dans la suite on ne considérera que le bruit de quantification introduit par une technique d arrondi qui correspond à l opération suivante : x q (n) = a si a 2 x(n) < a + 2, avec a une valeur discrète représentée sur b bits (pouvant donc prendre 2 b valeurs) et = 2 b représentant l intervalle de quantification. Pour pouvoir évaluer quantitativement les effets du bruit de quantification on est amené on considérer le bruit de quantification e(n) comme un signal aléatoire sur lequel on émet les hypothèses suivantes : e(n) est uniformément distribué sur l intervalle [ 2, + [ 2, e(n) est blanc (ie. non corrélé), les différentes sources de bruit sont indépendantes, x(n) et e(n) sont indépendants. La qualité d un algorithme en précision finie s évaluera notamment par son rapport Signal sur Bruit de quantification (SQNR) : ( ) σ 2 SQNR = 10 log x. (III.3) où σ 2 x est la variance du signal quantifié et σ 2 e la variance du bruit de quantification. σ 2 e (III.2) 27

30 28 Quantification et Stabilité FIGURE III.1 Erreur d arrondi Si l on appelle l intervalle de quantification, la variance du bruit de quantification sera σe 2 = 2 12 sous les hypothèses ci-dessus. Si l on considère une dynamique normalisée du signal d entrée x(n) comprise dans l intervalle [ 1, 1] et que l on a b bits pour le quantifier ; l intervalle de quantification sera alors = 2 2 b b, le rapport signal sur bruit de quantification devient alors ( ) SQNR(dB) = 10 log(σx) log, 12 = 10 log(σ 2 x) b. Cette relation fait apparaître que l on gagne 6dB de rapport signal sur bruit de quantification pour chaque bit de quantification supplémentaire. (III.4) 3 Effets de la quantification La quantification dans un filtre numérique intervient à deux niveaux : Les coefficients du filtre vont être représentés en précision finie et donc ne correspondront pas à ceux effectivement calculé en précision infinie. Les coefficients alors implantés réaliseront un filtre dont la fonction de transfert subira une pertubation du fait de la modification des coefficients induite par leur quantification. Les données seront représentées en mémoire en précision finie, elles seront donc quantifiées tout au long de l algorithme soit en sortie des multiplieurs, soit au moment de l écriture en mémoire. Cette quantification des données entraînera une dégradation du rapport signal sur bruit de l algorithme la quantification des coefficients entraîne une pertubation statique de la fonction de transfert, alors que la quantification des données entraîne une pertubation dynamique sur les données. 4 Quantification des coefficients La quantification des coefficients va avoir un effet de pertubation sur la fonction de transfert synthétisée. Dans le cas d une précision infinie, on part d une infinité de possibilité quant aux fonctions de transfert réalisable, puisque les coefficients peuvent prendre une infinité de valeur. À partir du moment où ils ne peuvent prendre leurs valeurs que dans un ensemble fini, il est évident que l on ne pourra réaliser qu un ensemble fini de fonctions de transfert. Celles-ci seront plus ou moins éloignées des fonctions de tranfert initiale en fonction du nombre de bits disponibles pour coder les coefficients. Nous allons présenter dans la suite l effet de la quantification des coefficients sur le comportement du filtre. Dans un premier temps nous verrons quelles sont les contraintes sur les pôles et les zéros dues à la quantification. Puis nous caractériserons la pertubation sur la fonction de transfert induite. Et enfin nous aborderons le problème de la sensiblité à la quantification. 4.1 Position des pôles et des zéros après quantification Nous avons dit dans l introduction que le nombre de fonction de transfert réalisable était fini puisque le nombre de valeur que pouvait prendre les coefficients était fini. Pour appréhender ce fait nous considérerons une fonction de transfert d ordre 2 ayant

31 Quantification et Stabilité 29 des racines complexes conjuguées re ±jθ, que l on peut donc écrire sous la forme d un produit de deux polynomes d ordre 1 : D(z) = ( 1 re jθ z 1) ( 1 re jθ z 1), = 1 2r cos θ z 1 + r 2 z 2, = 1 + a 1 z 1 + a 2 z 2, (III.5) où a 1 et a 2 seront les coefficients quantifiés. La quantification est représentée par l opérateur Q( ). Après quantification on aura donc : r = Q(a 2 ), (III.6) r cos θ = Q(a 1). (III.7) 2 Où r et θ sont le module et l argument des racines complexes conjuguées après quantification des coefficients. En introduisant (III.6) dans (III.7) on obtient cos θ = Q(a 1) 2 (III.8) Q(a 2 ) La quantification implique un nombre de positions fini pour les racines du polynome D(z). Si celui-ci correspond au dénominateur, on aura un nombre fini de positions possibles pour les pôles, si il correspond au numérateur, on aura alors un nombre fini positions possibles pour les zéros. On aura donc un nombre fini de fonctions de transfert possibles. Le coefficient a 1 correspond au double de la partie réelle, le coefficient a 2 correspond au carré du module de la racine (III.6). Si ils sont quantifiés avec un pas. Alors la partie réelle de la racine est quantifiée uniformément avec un pas de /2. La quantification du module de la racine est non uniforme, du fait que le coefficient quantifié correspond à son carré. Les modules possibles pour les racines sont égales à a 2. la discrétisation du cercle est alors non uniforme et la densité des positions possibles est beaucoup plus faible pour des filtres ayant des pôles et des zéros autour de 0 et π que pour ceux ayant leurs racines autour de π/2 ou π/2. La position des zéros sur le cercle unitaire sera assurée pour une cellule d ordre 2 du fait que dans ce cas le coefficient b 2 est égal à 1. L équation aux différences correspond alors à y(n) = x(n) + b 1 x(n 1) + x(n 2). (III.9) La seule pertubation due à la quantification aura lieu sur la partie réelle de la racine qui correspond au cosinus de la pulsation discrète θ. Il y aura donc un zéro de transmission, seule sa position fréquentielle sera affecté par le processus de quantification. La structure couplée, qui est une représentation sous forme d état de la fonction de transfert d ordre 2 présente l avantage d introduire une discrétisation uniforme du cercle unité. Cette structure est définie par l équation d état : et l équation d observation [ v1 (n + 1) v 2 (n + 1) ] [ α1 α = 2 α 2 α 1 y(n) = [ 2 ] [ v1 (n) v 2 (n) ] + [ q1 q 2 ] x(n). (III.10) 0 ] [ ] v 1 (n) + b v 2 (n) 0 x(n) (III.11) où α 1 et α 2 correspondent aux coordonnées rectangulaires des racines qui sont donc discrétisées uniformément avec un pas de. Pour cette structure la position des racines autour de 0 et π est plus importante que dans le cas précédent. Par contre dans cette structure le cercle unité ne correspond plus par construction à une discrétisation du module comme dans le cas précédent. Si les valeurs α 1 et α 2 sont arrondies, la racine résultante peut donc se retrouver en dehors du cercle unité et rendre le filtre instable. 4.2 Quantification et stabilité Le processus de quantification peut donc entraîner des problèmes d instabilités dans l implantation d un filtre récursif. Test de stabilité de SCHÜR-COHN Cette méthode nous renseigne sur le fait que qu un polynome H(z) aura ses racines à l intérieur du cercle unité si les coefficients de réflexion associés sont inférieurs à 1. Pour une structure récursive on a alors la condition suivante : H(z) = 1 D(z) est stable si K i < pour i = 1 N. (III.12)

32 30 Quantification et Stabilité (a) (b) FIGURE III.2 Échantillonnage du plan complexe pour cellule d ordre 2 implantée sous forme directe (a) (b) FIGURE III.3 Échantillonnage du plan complexe pour une structure couplée Étude pour une cellule d ordre 2 Soit D(z) = A 2 (z) = 1 + a 1 z 1 + a 2 z 2 et B 2 (z) = z 2 A 2 ( z 1 ). On initialise le calcul des coefficients de réflexion en posant : puis on calcul le polynome A 1 (z) tel que : on a alors K 1 = a 1 /(1 + a 2 ). La condition de stabilité s exprime par : K 2 = a 2, A 1 (z) = A 2(z) K 2 B 2 (z) 1 K 2 2 K 2 < 1 a 2 < 1, K 1 < 1 a a 2 < 1. = 1 + a a 2 z 1, La condition sur K 1 définit une borne supérieure et inférieure sur a 1 en fonction de a 2. Le test sur les coefficients de réflexion fournit donc quatre conditions : { 1 < a 2 < 1, a 1 1 < a 2 < a 1 1.

33 Quantification et Stabilité 31 En traçant le domaine correspondant à ces quatre contraintes dans le plan (a 1, a 2 ) on obtient le triangle de stabilité (figure III.4). FIGURE III.4 Triangle de stabilité On peut aussi déduire du couple des coordonnées du point (a 1, a 2 ), le type de racines (complexes ou réelles) du polynome D(z). Il a pour discriminant : = a 2 1 4a 2, si a 2 = a 2 1/4, alors = 0 et D(z) a deux racines réelles identiques, si a 2 < a 2 1/4, > 0 et il y a deux racines réelles distinctes, si a 2 > a 2 1/4, < 0 et il y a deux racines complexes conjuguées. exemple de système instable Calcul des pôles Soit H(z) = 1/D(z) = 1/ ( z z 2), le discriminant de D(z) est = = les racines sont donc : ρ 1 = ρ 2 = Il y a un pôle en dehors du cercle unité, donc le filtre et instable. = = 1.395, Test SCHÜR-COHN En utilisant la méthode développé ci-dessus on en déduit la valeur du premier coefficient de réflexion K 2 = 0.1, qui est bien inférieur à 1. Le deuxième coefficient de réflexion est donné par K 1 = 1.9/1.1 = 1.73 qui est supérieur à 1, donc le filtre est instable. Ce test peut être étendu à un filtre d ordre quelquonque. On peut effet calculer les coefficients de réflexion manière récursive. Au premier qui est supérieur à 1, le filtre est instable. Triangle de stabilité Ce test peut être utilisé dans le cas d une structure d ordre 2. Si le point de coordonnée (a 1, a 2 ) appartient au triangle de stabilité, ce qui n est pas le cas de cet exemple, alors le filtre est stable. 4.3 Variance de fonction de transfert en fonction de la quantification des coefficients On peut exprimer la variance de la réponse en fréquence en fonction de la variance du bruit de quantification. Si chaque coefficient est arrondi à b bits, l erreur de quantification e(n) introduite est alors comprise dans l intervalle la valeur des coefficients quantifiés peut donc s écrire : 2 (b+1) e(n) 2 (b+1), h(n) = h(n) + e(n).

34 32 Quantification et Stabilité En effectuant la transformée de FOURIER de cette expression et du fait que cette transformation est linéaire, l erreur introduite par la quantification sur la fonction de transfert s exprime par : E(ω) = M 1 n=0 e(n)e iωn. On remarque que le bruit de quantification introduit par la technique d arrondi est à moyenne nulle, La composante continue de la fonction de transfert de bruit sera donc elle aussi nulle. E{e(n)} = 0 E(0) = 0. En supposant le bruit de quantification e(n) non corrélé et en appelant sa variance σe, 2 la variance de la fonction de tranfert de bruit peut s écrire : on a alors, soit un écart-type : σ 2 E = σ 2 E = 2 2b 12 M 1 n=0 σ 2 e = M σ 2 e, M = 2 2(b+1) 3 σ E = 2 (b+1) 3 M. Ainsi si la longueur du filtre est multiplié par 4, on doit rajouter un bit de quantification pour maintenir le même écart-type sur la fonction de transfert de bruit : Soit M = 4 M et b = b + 1, l écart-type de la fonction de transfert du filtre de longueur m s écrit alors : σ E = 2 (b +1) 3 M M, = 2 (b+2) 3 2 M = 2 (b+1) 3 M = σe. Ainsi la sensibilité de la fonction de transfert à la quantification des coefficients est proportionnelle à la longueur du filtre. Plus le filtre sera long, plus on aura besoin de bits pour coder les coeffcients afin de ne pas trop distordre la réponse en fréquence du filtre. 4.4 Sensibilité des pôles et des zéros à la quantification des coefficients Nous avons vu dans la partie précédente que la pertubation introduite sur la fonction de transfert était fonction de la longueur du filtre. Nous allons dans cette partie étudier la sensibilité des racines (pôles ou zéros) à la quantification des coefficients. Soit un filtre de transformée en Z (II.8) et les coefficients quantifiés {ā k } et { b k } définis par : ā k = a k + a k, bk = b k + b k, (III.13) où a k et b k représentent les erreurs de quantification. Dans la suite on ne s intéresse qu au dénominateur, l étude étant similaire en ce qui concerne le numérateur. En mettant le dénominateur sous forme produit, on obtient : le dénominateur quantifié devient alors : N N D(z) = 1 + a k z k ( = 1 pk z 1), (III.14) k=1 D(z) = k=1 N ( 1 pk z 1), (III.15) k=1 où les p k sont les pôles issus du processus de quantification des coefficients. On a donc p k = p k + p k avec p k l erreur induite par l ensemble des a k c est à dire l ensemble des erreurs de quantification a k sur les coefficients a k.

35 Quantification et Stabilité 33 Dans la section précédente nous avons mis en évidence que pour un nombre de bits donnés, plus le filtre était long, plus la fonction de transfert serait pertubée par le processus de quantification. Nous allons maintenant montrer que cette pertubation dépend aussi de la position des pôles les uns par rapport aux autres. Nous avons déjà dit que les p k dépendaient de l ensemble des a k. Ce que nous pouvons écrire par : p i = N k=1 p i a k a k. (III.16) Nous allons maintenant déterminer la dérivée partielle p i / a k pour k = 1, 2,..., N. Elle peut s obtenir à partir de la dérivation partielle de la fonction de transfert pour z = p i : D(z) = D(z) p i. (III.17) a k z a k on obtient alors : On a pour le numérateur : et pour le dénominateur : D(z) z D(z) a k z=pi p i a k = D(z) a k D(z) z z=pi. z=pi (III.18) = z k z=pi = p k i, (III.19) z=pi = z=pi z N ( 1 pk z 1) k=1 on rappelle que la dérivée d un produit de fonction est donnée par : La dérivée partielle au dénominateur s écrit donc : i f i x = i f i x f j. j i z=p i, (III.20) D(z) z = z=pi = N N p k z 2 k=1 N p k p 2 k=1 i N l=1 l k l=1 l k ( 1 pl z 1), z=p i ( 1 p l p i ). (III.21) Dans le terme de droite de (III.21) le terme produit est non nul seulement pour k = i. En effet pour k i on a : N l=1 l k ( 1 p ) l p i = ( 1 p i p 1 i ) N l=1 l k l i ( 1 p ) l = 0. p i En conséquence (III.21) devient : D(z) z z=pi = 1 p i N l=1 l i = 1 p i N = 1 p N i l=1 l i ( 1 p ) l p i 1 p i (p i p l ) N (p i p l ). l=1 l i (III.22)

36 34 Quantification et Stabilité En introduisant (III.19) et (III.22) dans (III.18), la dérivée partielle des pôles par rapport aux coefficients est alors donnée par : p i a k = p N k i N (p i p l ) l=1 l i. (III.23) L effet de la quantification de l ensemble des coefficients sur un pôle p i s obtient en introduisant (III.23) dans (III.16) : p i = N k=1 p N k i a k. N (p i p l ) l=1 l i (III.24) Le dénominateur de (III.22) représente la distance du pôle p i dont on étudie la sensibilité aux autres pôles p k du filtre. Plus cette distance sera faible plus la dérivée partielle sera importante, cette expression nous renseigne aussi sur le fait que plus le filtre aura de pôle (plus il sera d ordre élevé) plus cette dérivée partielle sera importante. Cette première expression nous enseigne l effet de la quantification d un seul coefficent sur chacun des pôles. L effet global de la quantification est donné par le terme somme de l ensemble des pertubations (III.24) qui en représente donc l effet cumulé. La conclusion est la suivante : pour que la dérivée partielle (III.22) soit la plus faible possible, il faut que les pôles du filtre soit le plus éloigné possible entre eux. Pour que l effet cumulé de la quantification des coefficients soit la plus petite possible, il faut qu il y ait le moins de coefficients possible. Ces deux contraintes font converger vers le même type de solutions : On implantera de préférence un filtre sous la forme de cellule d ordre le plus faible possible, soit des cellules d ordre 2. La figure III.5 illustre la plus faible sensibilité à la quantification des coefficients obtenue avec une structure cascade. (a) Structure directe (b) Structure cascade FIGURE III.5 Sensibilité de la fonction de transfert à la quantification des coefficients en fonction de la structure d implantation 5 Quantification des données La quantification des données peut intervenir à deux endroits dans un algorithme, soit après les multiplications, soit au moment de l écriture en mémoire. Dans les deux cas le bruit introduit peut être modélisé par un bruit additif (dans le cas du codage en virgule fixe). Pour une structure récursive d ordre 2, on peut se ramener dans les deux cas à une source de bruit équivalent en entrée. La transformée en Z de la sortie en fonction des entrées est donc : La puissance du bruit en sortie sera donc : Y (z) = 1 (X(z) + E(z)) 1 az 1 σ 2 es = σ 2 e 1 F e Fe 2 Fe 2 = σ 2 e h 2 (k), H ( e j2πft e ) 2 df

37 Quantification et Stabilité 35 (a) bruit après la multiplication (b) bruit à l écriture en mémoire FIGURE III.6 Sources de bruit dans le cas d une structure récursive d ordre 2 (a) quantification après la multiplication (b) quantification à l écriture en mémoire FIGURE III.7 Source de bruit équivalente en appliquant le théorème de PARSEVAL. Ici on a h(k) = a k donc : La source de bruit est donc filtrée (donc atténuée) par le filtre. Pour un filtre purement récursif du 2 nd ordre on trouve : σ 2 es = σ 2 e σes 2 = σe 2 a 2k = σe a 2. ( 1 + r 2 1 r 2 1 r r 2 cos θ On voit dans cette dernière expression que plus le pôle sera proche du cercle unité, plus le gain introduit sur le bruit de quantification sera important. 5.1 Cycles limites La quantification des données est un phénomène non linéaire. Pour évaluer la pertubation qu elle introduit sur les données on utilise un modèle linéaire additif, en la modélisant par un bruit supposé blanc uniforme et non corrélé avec les données. Ce modèle linéaire permet d apprécier la dégradation sous la forme d un rapport signal sur bruit de quantification. Cependant le phénomène non linéaire introduit des comportements particuliers qui ne peuvent être modélisé par un modèle linéaire. Ces comportements concerne ce que l on appelle les cycles limites. Cycles limites de petite amplitude Soit un filtre d équation aux différences : y(n) = x(n) + 0.9y(n 1), ).

38 36 Quantification et Stabilité la réponse impulsionnelle de ce filtre est h(n) = 0.9 n. Si on applique en entrée de ce filtre une impulsion d amplitude 10. La séquence correspondant à la sortie sera On suppose que l on ne peut représenter que la partie entière des données, la sortie du filtre est donc quantifiée en supprimant la partie fractionnaire. La séquence en sortie est alors : entrée sortie sortie quantifiée la sortie devient constante et égale à 5 pour une entrée nulle! Si le coefficient du filtre n est plus 0.9 mais 0.9, on a alors en sortie la séquence suivante : entrée sortie sortie quantifiée Dans le premier cas la sortie est une composante continue d amplitude 5 et dans le second un signal oscillant de fréquence F e /2 et d amplitude crête 5. On a donc un système qui «fournit» de l énergie alors que l entrée n est plus excitée. La quantification a donc pour effet de créer un système résonnant qui aura son pôle sur l axe réel soit à droite dans le premier cas soit à gauche dans le second. Cas général Cellule du 1 er ordre On considère que les valeurs sont codés sur b bits, dont 1 bit de signe. Q[ ] représente l opérateur non linéaire de quantification. Pour une entrée nulle l équation de récurrence du filtre se ramène après quantification à y(n) = Q[a y(n 1)], l erreur introduite par la quantification est bornée et est inférieure à q/2 avec q = 2 b. Si on a l égalité : Q[a y(n 1] = y(n 1) (III.25) l équation de récurrence devient y(n) = y(n 1) ou y(n) = y(n 1), suivant le signe du coefficient a. Ainsi la non linéarité a introduit un pôle sur le cercle unitaire en 1 ou 1. On obtient l égalité (III.25) quand on a la condition : y(n 1) Q[a y(n 1)] q 2, qui est vérifiée quand y(n 1) 0.5 q 1 a. (III.26) Cette dernière relation définit ce que l on appelle l intervalle de bande morte, qui correspond à la zone de valeur qui peuvent être présentes en sortie pour une entrée nulle. Dans l exemple numérique présenté en introduction on avait q = 1 et a=0.9, l intervalle de bande morte est donné, en utilisant la relation (III.26), par [ 5, 5]. La dynamique de cet intervalle dépend du nombre de bits disponibles pour représenter les données. la figure III.8 illustre le phénomène de bande morte pour une résolution respectivement de 7, 9 et 11 bits. cette figure représente la réponse impulsionnelle d un filtre correpondant à l équation aux différences : y(n) = x(n) y(n 1). y(n) = x(n) 0.988y(n 1). (III.27) (III.28)

39 Quantification et Stabilité 37 FIGURE III.8 Phénomène de bande morte equation (III.27), la réponse idéale est représentée en pointillé. FIGURE III.9 Phénomène de bande morte equation (III.28), la réponse idéale est représentée en noir, la réponse pour une précision de 9 bits est en gris. Cellule du 2 nd ordre sur le cercle unité si : Dans le cas des cellules du 2 nd ordre, on obtient après quantification des données, l apparition de pôles y(n 2) Q[a 2 y(n 2)] q 2, (III.29) qui est vérifiée si on a la condition : y(n 2) 0.5q 1 a 2. La fréquence des oscillations sera alors contrôlé par la valeur apparente du coefficient a 1. Il est possible de supprimer l effet des cycles limites de petites amplitudes en utilisant à la place d un arrondi, une troncature vers 0 avant le stockage en mémoire. La puissance du bruit de quantification est alors multiplié par 2, mais le phénomène de bande morte disparait (figure III.10). Cycles limites de grandes amplitudes Un autre phénomène peut intervenir du fait des «surtensions» si on utilise un additionneur en mode débordement. Ce phénomène provient de l opération de modulo du au codage en complément à deux des données. On considère dans l exemple qui suit que la dynamique des données est limitée à [ 3, 2]. Soit l équation de récurrence : y(n) = 1.1 y(n 1) 0.9 y(n 2), avec les conditions initiales : y(n 1) = 2 et y(n 2) = 2. à l instant n la sortie vaut : y(n) = = 4 2,

40 38 Quantification et Stabilité (a) Troncature vers 0 (b) la RI idéale est en gris, celle correspondant à une quantification sur 9 bits est en noir. FIGURE III.10 Suppression du phénomène de bande morte en utilisant une troncature vers 0. à l instant n + 1 : y(n + 1) = = 4 2, Ce phénomène se comprend mieux en observant la figure III.11 où on a représenté sur un cercle les valeurs correspondant au codage de l intervalle. L oscillation en sortie est causé par le phénomène de débordement dans l accumulateur, la solution FIGURE III.11 Circularité de la représentation en complément à 2 consiste alors à utiliser l accumulateur dans un mode où le débordement se traduira par une saturation et non un débordement. 6 Mise à l échelle et ordonnancement des cellules dans une structure cascade On a vu que si on veut minimiser la sensibilité des coefficients à la quantification, on a intérêt à implanter le filtre sous forme de structure cascade d ordre le plus faible possible (On choisira un ordre 2 qui est l ordre le plus faible permettant d avoir des racines complexes conjuguées). 6.1 Appariement des pôles et des zéros Le premier problème à résoudre est de fixer le critère d appariement des pôles et des zéros pour associer tel numérateur avec tel dénominateur. l objectif est d obtenir des cellules du 2 nd ordre ayant une surtension la plus faible possible. L appariement des pôles et des zéros va donc suivre la règle suivante : On choisit la paire de pôles complexes conjugués qui est la plus proche du cercle unité, donc celle qui provoque la surtension la plus importante. pour atténuer au maximum cette surtension, on l associe avec la paire de zéros complexes conjugués qui en est le proche en fréquence.

41 Quantification et Stabilité 39 Puis on prend les pôles suivants les plus proches du cercle unité et on les associe avec les zéros qui en sont les plus proches en fréquence, etc... FIGURE III.12 Appariement des pôles et des zéros 6.2 Facteur d échelle L implantation d une structure récursive va poser des problèmes de dynamique du fait de la surtension. Si on choisit une implantation sous forme directe de type II (figure III.13) L équation de récurrence pour le nœud v1(n) (figure III.13) est FIGURE III.13 Cellule directe de type II et la fonction de transfert v 1 (n) = x(n) + a 1 y(n 1) + a 2 y(n 2), V 1 (z) X(z) = 1 1 a 1 z 1 a 2 z 2. Au nœud v 1 (n) seul le dénominateur contribut à la sortie. Il y a donc risque de saturation, puisque la surtension ne sera pas atténuée par le zéro de transmission associé. Si on associe au filtre défini ci-dessus la réponse impulsionnelle h(n), on peut représenter la sortie par le produit de convolution : avec v 1 (n) = h(k)x(n k). k=0 n sin[(n + 1)θ] h(n) = r sin θ pour n 0

42 40 Quantification et Stabilité et a 1 = 2r cos θ, a 2 = r 2. Si la dynamique disponible est M. Pour qu il n y ait pas saturation, on doit avoir v 1 (n) < M on en déduit la condition : v 1 (n) h(k) x(n k). En majorant x(n k) par M, on obtient : d où on déduit la condition de mise à l échelle k=0 v 1 (n) M h(k), k=0 h(k) 1. Le facteur d échelle à appliquer sur les données x(n) pour éviter les situations de débordement est donné par α : k=0 α = 1. h(k) k=0 Cette approche revient à appliquer une contrainte très sévère qui peut énormément diminuer la dynamique de l entrée. Le bruit de quantification restant lui constant, puisque lié à la résolution, cela entraîne une diminution du rapport signal sur bruit de quantification. Mise à l echelle suivant une norme L p On peut utiliser d autres critères moins sévères, qui même s ils n excluent pas totalement les risques de saturation, les rendent peu probables. Ces contraintes sont dérivées de la norme L p définie dans le domaine de FOURIER par : H p = [ 1 2π 2π 0 ] 1 H(ω) p p dω. La norme L 1 correspond à la valeur moyenne de H(ω), La norme L 2, à sa valeur efficace, La norme L, à sa valeur crête : H = max H(ω). On a de plus la suite d inégalités : h(n) H 1 H 2 H h(n). la mise à l échelle suivant le choix d une norme L p, se fait en tenant compte de la relation : v 1 (n) H p X q avec n=0 1 p + 1 q = 1. (III.30) (III.31) Norme L Soit x(n) un signal déterministe dont la norme L 1 satisfait : alors qui est maximisé par v 1 (n) = 1 2π X 1 M, 2π v 1 (n) H(ω) 1 2π On doit donc introduire sur les données un facteur d échelle 0 H(ω)X(ω) e jω dω, 2π H(ω) X(ω) 1 H(ω) M. 0 α = 1 H. X(ω) e jω dω

43 Quantification et Stabilité 41 Norme L 2 On considère x(n) un signal déterministe d énergie finie X 2 2 = E. On en déduit la condition de mise à l échelle : X 2 = E M. Les relations (III.31) et (III.32) nous indiquent qu il n y aura pas débordement si on a la condition : (III.32) H 2 1. Dans le cas de signaux aléatoires dont la variance est connue, cela nous permet de dire que la variance ou la puissance moyenne du signal de sortie sera la même que celle du signal d entrée. Cela se traduit donc par le fait que la probabilité de débordement en sortie est la même qu en entrée. Ce type de mise à l échelle convient mieux à des signaux large bande, alors que le choix précédent (norme L de la fonction de transfert) est mieux adapté à des signaux bande étroite. 6.3 Bruit de calcul dans un filtre récursif Le synoptique d une cellule correspondant à la structure directe de type II avec mise à l échelle de l entrée est représentée figure III.14 avec α 0 α 1 = 1 la source équivalente de bruit de quantification est filtrée par la cellule entière. la puissance B du FIGURE III.14 Structure directe de type II avec mise à l échelle bruit issu de la quantification en sortie est donnée par : B = q2 12 α H(f) 2 df = q α H(f) 2 df. Dans le cas d une mise en cascade de plusieurs cellules pour réaliser un filtre d ordre supérieur à 2. Le bruit de quantification introduit à la première cellule est filtré par l ensemble des cellules, celui introduit à la seconde est filtré par cette cellule et toute les suivantes etc... Par exemple si on a trois cellules en cascade, la puissance totale du bruit de quantification en sortie est donné par : B = q q q α 2 1α 2 2α 2 3 H 1 (f) 2 H 2 (f) 2 H 3 (f) 2 df α 2 2α 2 3 H 2 (f) 2 H 3 (f) 2 df α 2 3 H 3 (f) 2 df (III.33) (III.34) (III.35) Dans le terme (III.35), α 3 correspond au facteur multiplicatif placé en sortie de la dernière cellule pour compenser l ensemble des facteurs d échelle introduit dans les étages précédents. Dans le terme (III.34), α 2 correspond au facteur d échelle qui permet d éviter ou de limiter les saturations dans le 3 ème et dernier étage. et ainsi de suite. La forme générale pour un nombre quelquonque de cellules est : B = q2 12 N j= α i H i (f) 2 df i=j (III.36)

44 42 Quantification et Stabilité 6.4 Ordonnancement des cellules Le problème de l ordonnancement des cellules peut recevoir plusieurs réponses. En analogique, on cascade les cellules du 2 nd ordre par ordre de surtension croissante pour minimiser les problèmes de saturation locale, mais on ne rencontre pas de problème de bruit de quantification. En numérique l ordonnancement des cellules dépend du type de norme que l on cherche à minimiser pour le bruit de quantification et du type de norme adoptée pour le calcul du facteur d échelle. On retiendra les règles suivantes : Si la mise à l échelle est faite suivant la norme L 2 et que l on souhaite minimiser la norme L du bruit de quantification, alors les cellules devront être ordonnées par ordre de surtension décroissante. Si la mise à l échelle est faite suivant la norme L et que l on souhaite minimiser la norme L 2 du bruit de quantification, alors les cellules seront ordonnées par ordre de surtension croissante. Si on choisit pour les 2 critères la même norme, L 2 ou L, La norme du bruit de quantification sera peu sensible à l ordonnancement des cellules. 6.5 Rapport signal sur bruit Si on considère une cellule d ordre 2 ayant en entrée un bruit blanc de variance σx, 2 le rapport signal sur bruit de quantification en sortie est donné par : q 2 12 σ 2 x 1 α H(f 2 df H(f) 2 df = σ2 x q α 2 0. (III.37) Plus la cellule aura une surtension importante, plus petit sera le facteur d échelle appliquée sur les données. Cela entraînera une dégradation du rapport signal sur bruit de quantification.

45 Chapitre IV Traitement multicadence Le traitement multicadence, traitement qui implique plusieurs fréquences d échantillonnage, peut avoir plusieurs motivations. Il peut être le fruit de contraintes liées à une application dans laquelle les flux de signaux numériques à traiter et à générer doivent l être à des fréquences d échantillonnage différentes. Cette situation peut se rencontrer par exemple dans les applications audio où co-existent plusieurs fréquences d échantillonnage : 32kHz, 44.1kHZ,, 48kHz, 96kHZ,... Cette approche peut aussi permettre d améliorer les caractéristiques d implantation d un algorithme en adoptant pour chacune de ses étapes un échantillonnage que l on appelle critique dans le sens où la fréquence de traitement est choisie égale à la fréquence de NYQUIST. Ainsi la chaîne de traitement correspondant à l émetteur bande de base d un modulateur DPQSK représentée figure IV.1, où l on a trois fréquences de traitement : la fréquence bit, la fréquence symbole et la fréquence d échantillonnage. Les frontières entre chaque domaine de fréquence de traitement doit gérer le changement correspondant. FIGURE IV.1 Structure d un modulateur DQPSK en bande de base Dans ce chapitre nous aborderons les changements de fréquence d échantillonnage entier ou rationnel, c est à dire pouvant se décomposer en une étape de suréchantillonnage par un facteur entier et une étape de décimation, là encore d un facteur entier. 1 Suréchantillonnage Le suréchantillonnage d un signal d un facteur L consiste à insérer L 1 échantillons à zéro entre chaque échantillon du signal d entrée. Cette opération correspond à l équation aux différences : y(m) = { x(n) si m = nl, 0 sinon. (IV.1) Cette opération de suréchantillonnage se représente par le diagramme bloc figure IV.2. 43

46 44 Traitement multicadence FIGURE IV.2 représentation du suréchantillonnage 1.1 Transformée en Z du signal suréchantillonné La transformée en Z du signal suréchantillonné est donné par : Y (z) = = + m= + n= y(m)z m = + n= x(n)(z L ) n = X(z L ). y(nl)z nl (avec m = nl) (IV.2) Si on évalue cette transformée en Z sur le cercle unité, en notant F e la fréquence d échantillonnage après le suréchantillonnage, on obtient : Y (z) = X ( z L) ( = X e j2π f L) ) ( ) z=e j2π f Fe = X (e j2π f Fe/L = X e j2π f F e. (IV.3) Fe Ceci illustre que y(n) et de x(n) ont le même spectre, seul change la fréquence d échantillonnage. Ceci n a rien de surprenant dans la mesure où le suréchantillonnage introduit seulement des échantillons à zéro, donc aucune information, dans le signal de départ et maintient un écart uniforme entre les échantillons significatifs (y(nl)). L opération de suréchantillonnage par un facteur L fait passer du signal représenté figure IV.3.a au signal représenté figure IV.3.b. (a) signal original (b) signal suréchantilloné par 3 FIGURE IV.3 Suréchantillonnage d un facteur 3 dans le domaine temporel La fréquence d échantillonnage du signal original est F e = F e /L, son spectre est représenté figure IV.4.a, il est F e périodique. Après suréchantillonnage, sa forme reste la même (figure IV.4.b)(aucune énergie n a été ajoutée au signal), mais la fréquence d échantillonnage est maintenant de F e. Si on considère les fréquences entre F e et F e, le suréchantillonnage fait apparaître ce que l on appelle des spectres miroirs autour des fréquences k Fe L pour k = 1 L 1. Pour obtenir une signal dont la forme temporelle correspondrait au signal x(n) que l on aurait échantillonné à une fréquence F e, il faut supprimer ces spectres miroirs et donc filtrer passe-bas le signal suréchantillonné y(m) avec un filtre ayant une bande atténuée à partir de Fe 2L, comme illustré sur le synoptique IV.5. Dans le domaine temporel ce filtre est simplement un filtre d interpolation. Les échantillons du signal de sortie x L (m) sont égaux aux échantillons du signal d entrée x(n) pour m = nl, sinon ils sont égaux à une combaison linéaire de l ensemble du signal d entrée (produit de convolution). Le filtre d interpolation idéal a pour gabarit : y(m) = + p= x L (m)h(p m) ( H k F ) { e 1 si k F e = L Fe 2L, L 0 sinon. (IV.4) (IV.5)

47 Traitement multicadence 45 (a) spectre du signal original (b) spectre du signal suréchantillonné d un facteur 3 FIGURE IV.4 Suréchantillonnage dans le domaine fréquentiel et pour réponse impulsionnelle h(n) = 1 L sinc ( ) n L. Ainsi en utilisant un tel filtre on aurait xl (m) = x(n) L pour m = nl. Le filtre d interpolation idéal doit donc avoir un gain de L dans la bande passante et répondre au gabarit : ( H L k F ) { e L si k F e = L F e 2L, L 0 sinon. Après interpolation du signal suréchantillonné on obtient le signal temporel représenté figure IV.6.a dont le spectre est représenté figure IV.6.b. (IV.6) FIGURE IV.5 Filtre d interpolation après le suréchantillonnage (a) domaine temporel (b) domaine fréquentiel FIGURE IV.6 Signal suréchantillonné et interpolé Filtres L ème de bande Les filtres dits L ème de bande répondent aux critères ci-dessus. Deux filtres particuliers sont le filtre ayant comme réponse impulsionnelle le sinus cardinal (filtre d interpolation idéal) et le filtre en cosinus surélevé Un filtre L ème de bande a les caractéristiques temporelles suivantes : { h(0) = 1 (IV.7) h(nl) = 0 n 0. Ces filtres ont comme propriété particulière : L 1 H (zwl n ) = L. n=0 (IV.8)

48 46 Traitement multicadence FIGURE IV.7 Filtre d interpolation idéal et filtre en cosinus surélevé pour un rapport F e /F s = 16 (fréquence d échantillonnage et fréquence symbole) 1.2 Identité remarquable du suréchantillonnage la propriété remarquable du traitement multicadence dans le cas du suréchantillonnage, figure IV.8. FIGURE IV.8 Identité remarquable suréchantillonnage La transformée en Z correspondant à la partie gauche de la figure IV.8 est le produit de la transformée en Z d un signal x(n) suréchantillonné d un facteur L et d un filtre ayant pour transformée en Z R(z L ) : Y (z) = X(z L )R(z L ). La transformée en Z correspondant au schéma bloc de la partie droite de la figure IV.8 est le suréchantillonnage du produit de la transformée en Z d un signal x(n) et d un filtre de transformée en Z R(z). W (z) =X(z)R(z), Y (z) =W (z L ) = X(z L )R( L ). Les deux systèmes représentés sur la figure IV.8 ont la même transformée en Z et sont donc équivalents. 1.3 Décomposition polyphase, cas du suréchantillonnage La décomposition polyphase est obtenue en effectuant le changement de variable n = ml + (L k 1) avec N = ll, k = 0 L 1 et m = 0 l 1. On obtient alors : avec Q(z) = N 1 n=0 k=0 q(n)z n = L 1 l 1 k=0 m=0 m=0 q(ml + L k 1)z (ml+l k 1), L 1 l 1 = z (L 1 k) q(ml + (L k 1))(z L ) m, L 1 Q(z) = z (L 1 k) R k (z L ). k=0 Rk(z) = l 1 m=0 r k (m)z m et r k (m) = q(ml + (L k 1)). (IV.9) (IV.10) Le diagramme bloc correspondant à l équation (IV.9) est représenté figure IV.9.a. En appliquant la propriété remarquable (figure IV.8), on obtient le synoptique figure IV.9.b.

49 Traitement multicadence 47 (a) Structure polyphase I (b) Structure polyphase II FIGURE IV.9 Structure polyphase pour le suréchantillonnage A chaque instant d échantillonage en sortie du système représenté sur la partie droite de la figure IV.9, une seule composante polyphase est non nulle. Cela conduit au modèle du commutateur représenté figure IV.10, où on ne considère à chaque instant d échantillonnage que la composante non nulle. Cette figure représente aussi la charge de calcul associée. FIGURE IV.10 Modèle du commutateur pour l interpolation 2 Décimation La décimation par M d un signal consiste à ne conserver en sortie qu un échantillon sur M du signal d entrée. Il s agit donc d une opération d échantillonnage sur un signal numérique et en tant que telle, elle doit respecter la règle de NYQUIST concernant la fréquence de ce nouvel échantillonnage afin de ne pas introduire de distorsion par repliement spectral dans le signal de sortie. Cette opération de décimation se représente par le diagramme bloc figure IV.12 et elle correspond à l équation aux différences : { x(n) si n = mm, y(m) = (IV.11) 0 sinon. que l on peut aussi écrire : y(m) = x(mm). (IV.12)

50 48 Traitement multicadence FIGURE IV.11 Opération de décimation FIGURE IV.12 représentation de la décimation L opération de décimation correspond donc à une opération d échantillonnage dans le domaine discret : y(m) = + m= x(n)δ(n mm), (IV.13) on note p(n) = δ(n mm), un peigne de kronecker de période M donc développable en série de FOURIER 1 : p(n) = 1 M M 1 k=0 P (k)e j2π k M n, avec P (k) les coefficients du développement en série de FOURIER, que l on obtient de la manière suivante : P (k) = 1 M M 1 + n=0 m= δ(n mm) e j2π k M n. (IV.14) (IV.15) avec δ(n mm) 0 pour n = mm, mais on a n {0, M 1}. Donc δ(n mm) 0 seulement pour n = 0. On a donc : et p(n) = 1 M P (k) = 1 M, M 1 k=0 e j2π k M n En introduisant (IV.17) dans (IV.13), on obtient sachant la relation n = mm : ( n ) M 1 1 y(m) = y = x(n) M M k=0 e j2π k M n (IV.16) (IV.17) (IV.18) que l on peut réécrire : y(m) = 1 M x(n) + 1 M 1 M x(n) k=1 e j2π k M n, (IV.19) où le terme de droite fait apparaître les versions modulées du signal initial autour de la nouvelle fréquence d échantillonnage 2π M et de ses multiples k 2π M. 2.1 Transformée en Z du signal décimé La transformée en Z du signal décimé est donné par : Y (z) = + m= y(m)z m, (IV.20) 1. Somme de POISSON.

51 Traitement multicadence 49 (a) signal non décimé (b) signal dont 2 échantillons sur 3 sont mis à zéro (c) signal décimé FIGURE IV.13 Étape de la décimation par 3 d un signal dans le domaine temporel donc Y (z) = = + n= + n= = 1 M = 1 M ( n ) y z n M M [ M 1 x(n) + k=0 n= M 1 k=0 X ] M 1 1 e j2π k M n z n M M x(n) k=0 ( z 1 M e j2π k M ( z 1 M e j2π k M ). ) n (IV.21) On note, avec W M = e j 2π M : Y (z) = 1 M M 1 k=0 ) X (z 1 M W k M (IV.22) La transformée en Z du signal décimé est donc : L évaluation de Z sur le cercle unité faire ressortir le changement de fréquence d échantillonnage : on a donc la relation : Y (z) = 1 M 1 M X(z 1 1 ) M ) + X (z 1 M W k M M k=1 (IV.23) ( ) z = e j2π f F e, avec F e la fréquence d échantillonnage après décimation, nous permet de z 1 M z=e j2π f F e = e j2π f MF e = e j2π f Fe, (IV.24) F e = MF e, qui montre bien que la fréquence d échantillonnage initiale est M fois supérieure à la fréquence d échantillonnage du signal décimé. Les figures IV.13 et IV.14 représentent le processus de décimation dans le domaine temporel et dans le domaine fréquentiel. Le signal initial dont le spectre est représenté à gauche, figure IV.14 est échantillonné à la fréquence d échantillonnage F e. Après décimation d un facteur M ce qui revient à mettre à zéro M 1 échantillons tout les M échantillons (voir figure centrale IV.13), le spectre se trouve périodisé à la fréquence F e /M (partie centrale de la figure IV.14). On ne conserve que les échantillons significatifs (non mis à zéro) pour obtenir le signal représenté sur la partie droite de la figure IV.13, dont le spectre est périodisé à la nouvelle fréquence d échantillonnage F e. On peut observer la partie centrale de la figure IV.14 à la lumière de l équation (IV.23). On retrouve bien autour de la fréquence nulle le spectre du signal initial pondéré d un facteur 1/M. Puis à tout les multiples positifs et négatifs de F e /M.

52 50 Traitement multicadence (a) spectre du signal non décimé (b) spectre du signal dont 2 échantillons sur 3 sont mis à zéro (c) spectre signal décimé FIGURE IV.14 Étape de la décimation d un signal par 3 dans le domaine fréquentiel Cette périodisation du spectre peut entraîner un repliement de spectre dans le signal décimé si aucune précaution n est prise. Pour pouvoir décimer un signal sans introduire de distorion due au repliement de spectre il est nécessaire que le signal décimé soit strictement à bande limité F e /2M. Pour cela l opération de décimation doit souvent être précédée d un filtre passe-bas (figure IV.15). FIGURE IV.15 Filtre anti-repliement avant décimation 2.2 Identité remarquable de la décimation Une propriété remarquable de la décimation est que la sortie d un système composé par un filtre suivi d un décimateur est la même que celle d un décimateur suivi d un filtre figure IV.16. L intérêt de cette transformation est que dans le second cas le filtre est évalué à la fréquence d échantillonnage la plus faible. FIGURE IV.16 Identité remarquable de la décimation Sur la partie gauche de la figure IV.16, une entrée x(n) est filtrée par un filtre de fonction de transfert H(z M ). La transformée en Z de la sortie v(n) du filtre est donnée par : V (z) = X(z)H(z M ), qui devient en sortie du sortie du décimateur (IV.22) : Y (z) = 1 M = 1 M = 1 M M 1 k=0 M 1 k=0 M 1 k=0 ) V (z 1 M W k M ) ( ( ) ) M X (z 1 M W k M H z 1 M W k M ) X (z 1 M W k M H (z). k=0 (IV.25) Sur la partie droite de cette figure, l entrée x(n) est d abord décimée, la transformée en Z de la sortie v(n) du décimateur est donc : V (z) = 1 M 1 ) X (z 1 M W k M M,

53 Traitement multicadence 51 puis la sortie du décimateur est filtrée par un filtre de fonction de transfert H(z). La transformée en Z de la sortie y(n) est donc : Y (z) = V (z)h(z) = 1 M M 1 k=0 ) X (z 1 M W k M H (z). (IV.26) Cette dernière équation est strictement identique à (IV.25). Les deux structures représentées figure IV.16 sont donc équivalentes. 2.3 Décomposition polyphase, cas de la décimation Si on considère un filtre FIR de longueur N ayant pour réponse impulsionnelle h(n), dont la transformée en Z est donnée par : H M (z) = N 1 n=0 h(n)z n, (IV.27) si N = mm (ce qui est toujours possible en rallongeant la séquence h avec des zéros), soit le changement de variable n = lm +k que l on introduit dans (IV.27), on obtient alors : avec H M (z) = E k (z) = = = M 1 k=0 M 1 k=0 M 1 k=0 m 1 l=0 N M 1 h(lm + k)z (lm+k) l=0 z k N M 1 h(lm + k) ( z M ) l l=0 z k E k (z M ) e k (l)z l = m 1 l=0 h(lm + k)z l. Ce qui nous permet de passer de la figure IV.15 à la structure représentée figure IV.17. (IV.28) (IV.29) FIGURE IV.17 Décomposition polyphase pour la décimation Puis en appliquant l identité remarquable de la décimation (figure IV.16), on obtient la structure figure IV Exemple d application : le convertisseur Sigma-Delta Le modulateur Σ d ordre 1 a pour fonction de transfert : Y (z) = X(z)z 1 + E(z)(1 z 1 ) (IV.30) En évaluant sur le cercle unité : ( ( 2πf H e (f) 2 = 2 1 cos F e )) ( ) 2 2πf (IV.31) si f F e. Le spectre de ce filtre de mise en forme est représenté figure 2.4 pour des modulateurs d ordre 1 et 2. F e

54 52 Traitement multicadence FIGURE IV.18 Décomposition polyphase pour la décimation après translation de ladécimation vers l entrée FIGURE IV.19 Modèle du commutateur pour la décimation FIGURE IV.20 Filtrage du bruit de quantification pour un convertisseur Σ 3 Commutativité de la décimation et du suréchantillonnage Les opérateurs de décimation et de suréchantillonnage sont commutatifs si le rapport de décimation (M) et le rapport de suréchantillonnage (L) sont premiers entre eux. 4 Changement de fréquence d échantillonnage 4.1 Principe général On souhaite changer numériquement la fréquence d échantillonnage d un signal x(n) et passer d une fréquence d échantillonnage F 1 à une fréquence d échantillonnage F 2 où F2 F 1 = L M est un rationnel. Cela conduit donc à suréchantillonner le signal