UNE ÉVALUATION EMPIRIQUE DE LA NOUVELLE TARIFICATION DE L'ASSURANCE AUTOMOBILE (1992) AU QUÉBEC * par. Georges Dionne 1,2 Charles Vanasse 2

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1 UNE ÉVALUATION EMPIRIQUE DE LA NOUVELLE TARIFICATION DE L'ASSURANCE AUTOMOBILE (992) AU QUÉBEC * par Georges Donne,2 Charles Vanasse 2 * Cee recherche a éé rendu possble grâce en pare au Fonds pour la formaon de chercheurs e l'ade à la recherche (F.C.A.R.), à la Socéé de l'assurance auomoble du Québec (SAAQ) e au mnsère des Transpors du Québec (M.T.Q.) dans le cadre du programme d'acon concerée de souen à la recherche sur la sécuré rouère. Une premère verson a éé présenée au congrès de la Socéé canadenne de scence économque de 996, au sémnare Dela-Théma sur l'économe de l'assurance à Pars e au déparemen de scences économques de l'unversé de Monréal. Nous remercons P.A. Chappor, B. Forn, C. Gouréroux, A. Monfor, C. Monmarquee, P. Ouellee, M. Poevn, P. Pcard, J. Rober e P. Vala pour leurs commenares e R. Marshall e A.-M. Lemre de la Drecon de la sasque à la SAAQ, pour leur collaboraon rès effcace dans la préparaon de la banque de données. Les conclusons de cee éude n'engagen que les aueurs. 2 Chare de geson des rsques, H.E.C.-Monréal, 3000 chemn de la Côe-Se-Caherne, Monréal (Québec) Canada H3T 2A7 Cenre de recherche sur les ranspors, Unversé de Monréal, C.P. 628, succursale Cenrevlle, Monréal (Québec) Canada H3C 3J7

2 RÉSUMÉ Le bu de cee recherche éa d'évaluer l'effe du changemen de arfcaon de 992 sur la sécuré rouère au Québec. Nos résulas ndquen que le changemen de arfcaon à rédu les nombres d'nfracons e les nombres d'accdens, deux varables qu mesuren ndrecemen la non-prévenon rouère. De plus, nos résulas ndquen que le nombre de pons d'napude accumulés au cours d'une pérode de deux ans es un bon prédceur du nombre d'accdens de la pérode suvane de deux ans ce qu suppore la polque de arfcaon de la SAAQ. En effe, cee polque en plus d'ncer plus de prudence, fa payer des conrbuons d'assurance proporonnelles aux rsques ndvduels. En d'aures ermes, le changemen de 992 a rénrodu une arfcaon des rsques plus équable au sens acuarel en fasan payer aux rsques élevés des conrbuons d'assurance plus élevés. Mos clés: sécuré rouère, arfcaon publque de l'assurance auomoble, Québec, accdens de la roue, nfracon, pons d'napude, Posson, Bnomale négave, panel, effes aléaores, effes fxes. ABSTRACT The goal of hs research was o evaluae he effecs of he 992 change n he auomoble nsurance prcng by he Socéé de l'assurance auomoble du Québec (SAAQ, he publc nsurer for bodly njures) on road safey. Our resuls ndcae ha he new prcng sysem reduced nfracons and accdens whch means ha ncreased road safey. Moreover, our resuls show ha he oal number of demer pons accumulaed over wo years s a good predcor for road accdens n he nex wo years perod whch suppors he prcng formula of he SAAQ. Fnally, we oban ha hs prcng polcy nroduces more farness n acuaral erms by chargng hgher prema o hgher rsks. Key words: Road Safey, publc prcng of auomoble nsurance, Québec, road accdens, nfracons, demer pons, Posson model, negave Bnomal model, panel, random effecs, fxed effecs.

3 . Inroducon En mars 978 le Gouvernemen du Québec a ms sur ped un nouveau régme d'assurance auomoble. A cee époque, le double objecf éa de compenser oues les vcmes d'accden e de rédure les délas de réparaon pour les dommages corporels e d'amélorer le conrôle des coûs des dommages maérels ou en augmenan la vesse de compensaon des dommages maérels. Afn d'aendre ces objecfs, un plan d'assurance oblgaore sans responsablé a éé ms sur ped pour les dommages corporels; ce plan es fnancé prncpalemen par des revenus des dros d'mmarculaon e des perms de condure e compense 90% des peres de revenus (jusqu'à un maxmum) de oues les vcmes d'accden auomoble. Ce plan es publc e es admnsré par la Socéé d'assurance Auomoble du Québec (SAAQ). La noon de responsablé a éé manenue pour les dommages maérels e la couverure pour responsablé cvle es devenue oblgaore. Seule l'assurance pour collson es demeurée faculave. Le seceur prvé qu es responsable des dommages maérels, a ms sur ped un sysème de compensaon drece où chaque assureur compense les dommages de ses clens selon le degré de responsablé éabl d'un commun accord par les assureurs mplqués. Des compensaons enre les assureurs son éables en foncon des degrés de responsablé de leurs clens respecfs. Selon cee enene admnsrave, l n'y a plus de poursues permses enre assureurs mas un assuré non sasfa des compensaons reçues peu poursuvre son assureur ou oue pare qu'l cro responsable. Ces arrangemens admnsrafs on éé ms sur ped pour rédure les délas de compensaon e les coûs admnsrafs, deux objecfs vsés par la réforme de 978 (Boyer e Donne (987), Flue e Lefebvre (990)). Une crque du régme de 978 oucha la arfcaon de l'assurance. Le seceur prvé a manenu une arfcaon radonnelle basée sur la classfcaon des rsques e la prse en compe de l'expérence passée des ndvdus. Cee double dmenson perme d'éablr les prmes en foncon des rsques ndvduels (équé e an-sélecon) e d'ncer les conduceurs à la prudence (rsque moral) (Donne, Vanasse (992), Lemare (996), Chassagnon, Chappor (996), Donne, Gouréroux, Vanasse (995)). Par conre, la arfcaon publque mse en place en 978, éa unforme, ndépendane des rsques ndvduels e non ncave (Boyer e Donne (987), Devln (992) e Gaudry (992)). En décembre 992, la SAAQ a nrodu une nouvelle arfcaon de l'assurance publque basée sur les pons d'napude accumulés e les révocaons de perms de condure. Un el sysème de arfcaon amélorera la sécuré rouère s'l nce les ndvdus à êre plus prudens. Déjà, Boyer e Donne (989) on monré que les pons d'napude accumulés sur deux ans éaen sgnfcafs pour prédre les accdens de l'année courane à l'ade d'un modèle prob. Ils on auss vérfé que le nombre de suspensons de perms accumulées sur l'année précédan le renouvellemen de perms éa sgnfcaf pour explquer les nombres d'accdens duran l'année suvane. Ces résulas on éé confrmés par des éudes uléreures, en parculer par Boyer, Donne e Vanasse (992) qu on monré que les résulas éaen robuses à l'ulsaon de dfférens

4 modèles économérques don ceux de la famlle des modèles de compage. (Vor égalemen Donne e al. (996) pour une applcaon aux nouveaux conduceurs). L'nérê de ces premers résulas es qu'ls permeen de vérfer une condon nécessare à l'éablssemen d'un sysème de arfcaon basé sur l'expérence passée. En effe, s les pons d'napudes e les révocaons suspensons accumulés ne représenen pas une sasque suffsane pour approxmer les acvés de prévenon couranes, ls ne peuven pas êre ulsés comme varables de arfcaon. Par conre, ces résulas ne permeen pas de conclure sur l'effcacé d'une elle nervenon sur la sécuré rouère. En effe, ls n'ndquen pas qu'une polque de arfcaon parculère va modfer le comporemen de condue des déeneurs de perms. L'objecf de nore recherche es d'évaluer l'effe du changemen de arfcaon de 992 sur la sécuré rouère. Nous voulons auss vérfer s la nouvelle arfcaon es plus équable dans le sens qu'elle fxe les prmes d'assurance ndvduelles en foncon des rsques ndvduels. Fnalemen nous voulons vérfer l'aspec non-lnéare du sysème de arfcaon. En effe, le sysème acuel prévo qu'un déeneur de perms de condure aura une révocaon de son perms s'l accumule qunze pons (au leu de douze avan 990). De plus, la arfcaon d'assurance de la SAAQ augmene de façon sgnfcave les prmes en foncon des pons accumulés. Il es donc rasonnable d'ancper qu'un conduceur ayan accumulé dx pons, par exemple, devenne plus pruden pour éver ces pénalés supplémenares. Ce ype d'ancpaon devra mplquer que la pene de la relaon accdens-pons d'napudes ne so pas une consane. Nore arcle a la srucure suvane. Après avor présené un modèle de comporemen opmal d'un assureur ype en présence de rsque moral, la secon 3 dscue des dffculés méhodologques assocées à nore proje. La secon 4 présene les données e les varables alors que la secon 5 propose dfférens modèles économérques qu permeen de enr compe de l'aspec panel des données ulsées. La secon 6 dscue des prncpaux résulas e une concluson es donnée à la secon Modèle héorque de comporemen opmal de l'assureur Nous consdérons un marché d'assurance composé d'un monopoleur publc e d'un grand nombre d'agens dfférens. L'assurance es oblgaore ce qu élmne le problème de l'ansélecon (Donne e Dohery, 992). Par conre, le rsque moral es poenellemen présen éan donné que l'assureur ne peu observer les acvés de prévenon d'accdens des assurés (Arno (992) e Wner (992)). De plus, les caracérsques non observables des assurés peuven affecer leurs comporemens de prévenon opmal (Chassagnon e Chappor, 995). Dans cee recherche nous nous lmons au rsque moral ex-ane, c'es-à-dre celu assocé aux acvés de prévenon des accdens. L'objecf de cee secon es de monrer qu'une polque de arfcaon de l'assurance en foncon de l'expérence passée augmene les ncaons à la prévenon comparavemen à une polque de arfcaon e de compensaon qu consdèren ous les rsques comme éan denques. Ce exercce es une exenson des modèles de rsque 2

5 moral avec un nombre fn de pérodes (Lamber (983) e Rogerson (985)) qu monren que l'ulsaon de la mémore augmene le ben-êre dans une relaon conracuelle de long erme avec plen engagemen du prncpal (l'assureur) au conra. Il es auss connu que s nous enons compe des acvés d'épargne des agens, les gans nes d'écrre des relaons de long erme peuven êre nuls ou même négafs. Par conre, sous l'hypohèse de plen engagemen du prncpal au conra e s, comme dans nore envronnemen, les problèmes d'épargne ne son pas rop mporans (ce qu peu revenr à supposer que les agens on une foncon d'ulé CARA), des conras de long erme avec mémore peuven permere d'aendre le même nveau de ben-êre que celu correspondan à une sére de conras de cour erme opmaux (Chappor e al. 994). Nore objecf es de comparer l'allocaon des ressources d'un conra de long erme ayan ces caracérsques d'opmalé (après 992) à l'allocaon des ressources d'un conra de long erme non-opmal ou sans mémore (avan 992). Consdérons un modèle smple sur deux pérodes qu peu êre généralsé à un nombre fn de pérodes faclemen. À chaque pérode l'agen (ou l'assuré) demande une converure d'assurance e produ de la prévenon conre les accdens. Lmons-nous, pour fns d'exposon à deux éas de la naure j = A,N pour chaque pérode =,2 où A es ulsé pour "accden" e N pour "nonaccden". À chaque pérode, l'assuré fa face à une varable aléaore l j qu peu prendre deux valeurs. Nous supposons qu'l y a un engagemen de l'assureur à respecer les ermes du conra nal. Au débu de la premère pérode l propose un conra sur deux pérodes e l'assuré répond en chosssan le nveau d'effor appropré ou opmal. Dans l'éa de la naure accden, l'assuré a une pere monéare l A = l > 0 qu'l peu couvrr par une quané d'assurance 0 q l. Ce éa a une probablé p A où a es une varable qu mesure les acvés de prévenon de l'assuré. Les acvés de prévenon ne son pas parfaemen observables par l'assureur. L'éa non-accden a donc une probablé p N ou ( p A) e es caracérsé par une pere monéare nulle : l = 0. L'acon de l'assuré (prévenon) rédu la probablé d'accden ( p < ) N A 0 e augmene celle de non-accden p N > 0. Par ses acvés de prévenon l'assuré rédu son espérance ( ) mahémaque de pere. Il s'ag donc d'un changemen de premer ordre classque dans la léraure sur le rsque moral (Holmsrom (979), Shavell (979), Pauly (974)). De plus, nous supposons que l'assuré ne peu affecer le suppor de la dsrbuon ce qu empêche le prncpal (ou l'assureur) de déermner parfaemen l'acon effecuée en observan les réalsaons des éas de la naure (Mrrless (974)). À chaque pérode l'assuré pae une prme acuarelle P. Pusque nous nous néressons à modélser un comporemen de arfcaon opmal de l'assurance en foncon de l'expérence passée de l'assuré, la prme à la deuxème pérode sera donc foncon du nombre d'accdens accumulés P l es une varable aléaore qu peu prendre deux duran la premère pérode. Ex-ane, 2( j ) valeurs : P 2 ( l ) e P 2 ( 0 ). Nore objecf es d'éuder l'évoluon de P 2 ( l ) e P 2 ( ) 0 par rappor à P en présence de rsque moral. Sans rsque moral (a observable), les caracérsques du modèle P = P l = P ou que la arfcaon n'es pas une foncon de l'expérence mplquen que ( ) ( ) passée. De plus l'agen a la plene assurance à chaque pérode ( ) q = l. Cee soluon peu êre 3

6 obenue drecemen en soluonnan le Problème sans les conranes d'ncaons qu ne son plus nécessares car le prncpal peu fxer l'effor de l'agen au nveau désré à chaque pérode. Le problème de l'assureur avec rsque moral consse donc à : Problème max P p A( a) q + δ p j ( a) P2 ( j ) p2 A( a2) q2( j ) P, q, P2, q2, a, a2 l l j + λ { p N ( a) U( W P ) + p A( a) U( W P l + q) c( a) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( l ) l ( l )) + µ { p A( a) [ U( W P l + q) U( W P )] c ( a) δ p j ( a) p2 N ( a2) U( W P2 ( l j )) p2 A( a2 ) U( W P2 ( l j ) l2 q2( l j )) j ( ) j A( ) ( ( l j ) l ( l j )) ( ( l j )) [ ] ( ) ] } + δ p j a p2 N a2 U W P2 l j + p2 A a2 U W P2 j 2 + q2 j c a2 U j [ ] } [ ] ( ) µ δ p a p a U W P + q U W P c a j Cee formalsaon suppose mplcemen que l'assureur es neure au rsque (foncon d'ulé > U < 0. Elle suppose égalemen que nous ( ) lnénare) e que l'assuré es rscophobe U ( ) 0 e ( ) sommes dans un cadre prncpal-agen classque en présence de rsque moral c'es-à-dre que le prncpal maxmse ses profs sous conrane que l'agen accepe le conra (conrane de parcpaon avec le mulplcaeur λ) e es effcace dans la producon de la prévenon (deux conranes d'ncaon avec les mulplcaeurs µ e µ 2 ). Ces conranes son exprmées sous forme de condons de premer ordre évaluées à un conra donné. Il es mporan de soulgner que le chox d'effor opmal duran la premère pérode en compe des ancpaons des effes de la réalsaon de la varable l j (accden, non-accden) pour évaluer les bénéfces oaux de prévenon. Nous supposons que oues les condons nécessares à leur ulsaon son respecées (Rogerson, 985; Jew, 988; Arno, 992). Fnalemen, la formalsaon du problème suppose égalemen que l'épargne n'affece pas les ncaons. Pour des condons suffsanes sur les foncons U( ) permean d'applquer cee hypohèse vor Chappor e al. (994). [ Pour compléer la noaon : δ es un faceur d'acualsaon; U es l'ulé de réserve de l'agen sur deux pérodes. Elle correspond au nveau de ben-êre avec auo-assurance e prévenon opmale sans assurance. c( a ) es la foncon de coû de l'effor en erme d'ulé. Elle es srcemen crossane en a, ( ) > 0 e non srcemen concave c ( a ) 0. Nous ulsons l'hypohèse classque ( c a ) ( ) (Holmsrom (979)) que la foncon de ben-êre de l'agen es addvemen séparable enre la rchesse e le coû de l'effor. 4

7 Les condons de premer ordre sur les paramères du conra p e P donnen: U U ( A ) ( N ) = λ + µ = λ + µ p p A A p p N N. Ce qu correspond aux condons classques de permer ordre en présence de rsque moral ex-ane (Holmsrom, (979)). De ces deux condons nous vérfons que U ( A ) > U ( N ), c'es-à-dre une couverure opmale avec U ( A ) U ( W l + q P ) e U ( N ) U ( N P ) d'assurance nféreure à la pere monéare ( q l) * <. Éan donné que duran sa premère année de conra l'assuré peu affecer sa probablé d'accden, une couverure parelle d'assurance l'nce à rédure cee probablé à un nveau mnmal opmal. Mas sa prévenon à la premère pérode peu égalemen affecer sa prme d'assurance à la seconde pérode. Nous pouvons le vérfer en éudan les condons de premer ordre qu donnen les valeurs opmales de q 2 ( l j ) pour j A N U U ( A2 j ) ( N 2 j ) p2 A 2 = λ + µ 2 + µ p 2 A 2 p2 N 2 = λ + µ 2 + µ p 2 N 2 p p j j j p p j e de P 2 ( l j ) : =, où A2 A W l2 + q2 P2 ( l) N 2 A W P2 ( 0) A2 N = W l2 + q2 P2 ( 0) ( ) N W P l. 2 A 2, e En enan compe des sx condons de premer ordre de façon smulanée, en supposan que l = l e en ulsan la noaon * pour désgner les valeurs opmales, nous obenons que : 2 * * * Résula a) P2 ( l) > P > P2 ( 0) * * * b) ( ) ( 0) q l < q < q < l Les résulas a) e b) son obenues drecemen des méhodes radonnelles de preuve du modèle prncpal-agen (Holmsrom (979), Lamber (983)). Il es vérfé que µ e µ 2 son des mulplcaeurs posfs. Parce que l'assureur veu que l'assuré produse un nveau de prévenon élevé, l nrodu un mécansme ncaf opmal relan la prme e la couverure d'assurance de la deuxème pérode à la performance observée à la premère pérode mesurée c par le nombre d'accdens. Le résula correspond au bonus-malus souven observé dans dfférens marchés don celu de l'assurance auomoble. Le résula b) es mons observé, mas cerans assureurs ajusen les franchses offeres en foncon des accdens passés ce qu es explqué par le modèle présené 5

8 dans cee secon. Il es mporan de soulgner que ces formes de conra n'élmnen pas les problèmes d'ncaon lorsque le nombre de pérodes es fn. La SAAQ n'ajuse par les aux de couverure en foncon des accdens passés mas, depus 992, ajuse les prmes à la pérode en foncon des pons d'napude accumulés à la pérode ( - ). Cee nouvelle polque de arfcaon va dans la même drecon que le résula a) à l'excepon que les pons d'napudes son ulsés à l'enconre des accdens. Ce qu mplque que ces pons (ou les nfracons qu y son raachées) son consdérés comme des mesures ndreces des acvés de prévenon au même re que les accdens passés. Nous pouvons donc réécrre le Problème en supposan que les nfracons au Code de la sécuré rouère à la pérode, x k, peuven prendre des valeurs enères posves 0,, 2,..., avec une dsrbuon de probablés g k (a ), une foncon des acvés de prévenons. Il es à noer que les x k peuven êre égalemen nerpréés comme des pons d'napude accumulés. Nous pouvons donc réécrre le Problème de la façon suvane: Problème 2 max P ( ) ( ) ( [ ) ( ) ( p A a q + δ gk a P2 xk p2 A a2 q2 xk ) k + λ { p N ( a) U( W P ) + p A( a) U( W P l + q) c( a) [ ( ) ( ) ( ( ) ( ))] ( ) } + δ gk a p2 N a2 U W P2 xk + p2 A a2 U W P2 xk l2 + q2 xk c a2 U k ( ) ( ) ( ) + µ { p A( a) [ U( W P l + q) U( W P )] c ( a) δ p p U W P k 2 N 2 2( ) + + [ ( x ) p U( W P ( x ) l q ( x k 2 A 2 2 k 2 2 k ))] } ( ) ( ( ) + k [ [ ] ( ) )] + δ µ g k a p A a U W P x k l + q x k U W P x k c a k ( ) ( ) ( ) ( ) Les condons de premer ordre correspondanes se lsen : U U ( A ) ( N ) = λ + µ = λ + µ p p A A p p N N U U ( A ) 2k ( N ) 2k p2 A 2 = λ + µ 2 + µ p 2 A 2 p2 N 2 = λ + µ 2 + µ p 2 N 2 g g k k g g k k ( ) 6

9 où A2k W l2 + q ( 2 xk ) P2 ( xk ) e N 2k W P2 ( xk ) =. Ces condons permeen de dérver drecemen le deuxème résula héorque mporan pour nore applcaon emprque: Résula 2 * a) P 2 ( x k ) es une foncon crossane de x k. q x < l es une foncon décrossane de x k. * b) 2( k ) La preuve de ce résula es présenée dans Donne e Vanasse (997). Nous vérfons que l'accumulaon d'nfracons au Code de la sécuré rouère à la premère pérode affece la couverure d'assurance e la prme à la seconde pérode. La Socéé d'assurance Auomoble du Québec (SAAQ) n'ajuse pas les couverures d'assurance en foncon des nfracons accumulées à la pérode précédene. Par conre, la conrbuon d'assurance sur les perms de condure es foncon de l'expérence passée. Le résula héorque 2a nous ndque que cee forme de arfcaon es opmale pour ncer les conduceurs à êre g k ( a) prudens s le rao n'es pas une consane. g k Éan donné que a n'es pas observable, l es dffcle de vérfer drecemen cee condon. Par conre, nous pouvons vérfer le caracère ncaf de la nouvelle arfcaon en comparan l'évoluon des nfracons accumulées avan e après la réforme de 992. En effe, nous pouvons vérfer s l'nroducon de la arfcaon acuelle a affecé l'accumulaon du nombre d'nfracons ndvduelles. Nous pouvons auss vérfer s la nouvelle arfcaon a affecé la dsrbuon des accdens. En d'aures ermes, es-ce que le len sasque nfracons-accdens proposé dans nore modélsaon es sgnfcave. En nrodusan le Problème 2, nous avons subsué gk ( a) à pk parce que la SAAQ n'ulse pas les accdens passées pour ajuser les prmes mas les pons d'napude. Il es donc mporan de vérfer s cee subsuon es accepable du pon de vue sasque. Une façon d'y arrver es de vérfer s le changemen de arfcaon de 992 a eu un mpac sur les dsrbuons ndvduelles d'accdens e d'nfracons. Fnalemen, nous éuderons l'aspec équable de cee nouvelle arfcaon qu consse à fare payer des dros d'assurance plus élevés à ceux qu représenen des rsques plus élevés. Pour mesurer les rsques des assurés au débu de la pérode nous avons ulsé le nombre de pons d'napude accumulés à la pérode ( - ). 3. Dffculés méhodologques 3. Conrôle de l'envronnemen 7

10 Une premère dffculé méhodologque consse à soler l'effe du changemen de réglemenaon sur le comporemen des conduceurs. Nore échanllon es représenaf de ous les déeneurs de perms de condure au Québec avan e après la réforme. Mas, pluseurs observaons (non nécessaremen oues à la fos, car l s'ag d'un panel avec enrées e sores) peuven êre nfluencées (de façons dfférenes) par d'aures faceurs ou réglemenaons duran la pérode éudée. Par exemple, la réglemenaon des nouveaux conduceurs a éé modfée au Québec en 99. Elle affece le comporemen de ous les nouveaux conduceurs duran leurs deux premères années de condue (Donne e al., 996). En effe, les nouveaux conduceurs qu obennen leur permer perms de condure après 99 on un perms probaore. La prncpale caracérsque de ce perms es que la lme pour se vor révoquer son perms es de dx (0) pons au leu de qunze (5). Les nouveaux conduceurs peuven donc êre de melleurs conduceurs après 992 e pour oues les années subséquenes. Ce exemple llusre ben la nécessé de conrôler les dfférenes formes de réglemenaon de l'assurance prvée e publque duran la pérode éudée. Un aure exemple es le passage de la lme de 2 à 5 pons pour ous les conduceurs en janver 990. En fa, ous les prncpaux changemens de réglemenaon ouchan la sécuré rouère devron êre prs en compe, de même que des faceurs d'exposon des rsques agrégés qu affecen l'envronnemen de condue auomoble. Un aure résula de la recherche sur les nouveaux conduceurs (Donne e al., 996) es que le aux de chômage affece négavemen les aux d'accdens mensuels des nouveaux conduceurs mâles e que le nveau de vene de carburan affece posvemen les aux d'accdens de ous les nouveaux conduceurs. Ces résulas ndquen ben que la conjoncure économque nfluence égalemen les aux d'accdens. Elle devra donc êre conrôlée, même s nore base de données es échanllonale. Fnalemen, on peu s'nerroger sur le caracère exogène du changemen de réglemenaon de 992. En effe, l'ulsaon d'une varable muee pour mesurer un changemen de réglemenaon ne représene par de problèmes méhodologques s ce changemen es exogène aux parcpans du marché. Éan donné que nous avons des données ndvduelles d'assurés don les pars de marché son rès pees, nous pouvons faclemen supposer que, pour les assurés éudés, le changemen de 992 éa parfaemen exogène. 3.2 Mesure des ncaons Un objecf mporan de cee recherche consse à mesurer commen la nouvelle arfcaon affece les ncaons à la prudence. En présence de rsque moral, ces acvés de prévenon rouère ne son pas observables. Nore hypohèse de raval consse à ulser les nfracons e les accdens comme mesures ndreces des acvés de prévenon. Pour accumuler des nfracons l fau commere une dévaon au code de la sécuré rouère qu conen une sére de règles à suvre pour êre un conduceur pruden. Donc obenr des pons d'napude c'es ndquer que l'on effecue des acons de non prévenon à ceranes daes. Une premère hypohèse mplce es que la dsrbuon des nfracons, ou comme celle des accdens, es foncon des acons de prévenon des conduceurs. 8

11 So G( x; a) la dsrbuon (connue c pour smplfer l'exposé) du nombre d'nfracons pour un nveau de prévenon a ayan une densé g( x; a) ; so P( y; a) la dsrbuon connue du nombre d'accdens pour un nveau d'acon a ayan comme densé p( y; a) e so H( x, y; a) la dsrbuon jone de x e de y avec densé h( x, y; a). Un héorème mporan de Holmsrom (979) d que les nfracons pourron êre ulsées comme sgnal e amélorer la relaon conracuelle prncpalagen seulemen s la relaon suvane es fausse ( ) = ( ) ( ) h x, y, a f x, y g y; a, où de façon équvalene, en ulsan le rao de vrasemblance monoone, seulemen s la relaon suvane es fausse ha ( x, y; a) = k ( y; a) h x, y, a ( ) c'es-à-dre s la dsrbuon de x n'a pas de valeur nformaonnelle sur a. En d'aures ermes la varable y es une sasque suffsane pour la pare (x,y) par rappor à a : elle donne oues les nformaons nécessares pour nférer l'acon a e x n'ajoue par d'nformaon. Donc une condon nécessare pour que la varable x pusse êre ulsée comme sgnal es qu'elle génère de l'nformaon sur a. Par exemple, s x e y son deux varables aléaores ndépendanes h( x, y, a) peu êre réécre h x, y; a = g x; a p y; a, ( ) ( ) ( ) ce qu génère h ( x, y; a) (, ; ) h x y a ( x; a) ( ; ) ( y; a) ( ; ) g p = +. g x a p y a a a a (2) Cee relaon peu êre comparée drecemen à celles ulsées pour calculer les paramères opmaux du conra d'assurance dans la secon précédene. En effe s on ne en pas compe des mulplcaeurs de Lagrange (µ e µ 2 ) e s on adape la noaon de foncons de densé connues à celle de probablés dscrèes, les relaons () e (2) conennen des ermes communs rès proches. Dans ce cas x ne donnera pas d'nformaon sur a s e seulemen s g a /g es une consane. S g es foncon de a ( g a 0 ) alors les nfracons peuven êre ulsés pour approxmer a e amélorer la arfcaon de l'assurance auomoble. Il es néressan de remarquer que x e y n'on pas à êre sasquemen dépendans pour obenr le résula désré. Éan donné que a n'es pas observable, nous ne pourrons pas eser g a 0 n même f a 0. Nous devons le poser comme hypohèse. Par conre, nous pouvons eser s le changemen exogène de réglemenaon affece la dsrbuon (G) du nombre de pons d'napude accumulés e la dsrbuon (P) du nombre d'accdens. Ce es es semblable à un es de laboraore s nous supposons que l'envronnemen légal e économque es ben conrôlé. En effe, avec le changemen de 992, le régme d'assurance publc 9

12 es passé d'un sysème de arfcaon ne conenan pas de mesure ncave à la prudence à un régme ncaf par la prse en compe des pons d'napude pour arfer l'assurance, ou en lassan les couverures d'assurance nchangées. Le changemen de polque de arfcaon de 992 aura donc un effe sgnfcaf sur la sécuré rouère s e seulemen s l rédu les accdens e les nfracons accumulées à chaque pérode, les deux varables éan consdérées comme des mesures de rsque rouer des ndvdus. Par conséquen nore premère hypohèse emprque se résume à vérfer: Hypohèse emprque : Le changemen de arfcaon de 992 affece négavemen le nombre d'accdens e le nombre d'nfracons accumulés duran une pérode parce qu'l nrodu des relaons conracuelles de long erme qu mémorsen les pons d'napudes pour arfer. L'effe sur les accdens es une mesure drece sur la sécuré rouère, alors que l'effe sur les nfracons accumulées perme de eser s l'ulsaon des pons d'napude comme mesure d'nsécuré rouère es valable. Nous devons manenan aborder l'aspec "dynamque" du modèle. En fa, la SAAQ n'ulse pas les pons d'napude accumulés duran la pérode courane mas ceux accumulés au cours de la pérode précédene. Nous sommes en présence d'une arfcaon bonus-malus avec les pons d'napude accumulés comme ndcaeurs de l'expérence passée pluô que les accdens accumulés. Ce aspec supplémenare perme de eser s la arfcaon acuelle (après 992) es équable du pon de vue acuarel. En effe, es-ce que l'ulsaon des pons d'napude accumulés à la pérode précédene perme de mesurer adéquaemen les rsques des ndvdus à la pérode courane. Nous écrvons donc comme seconde hypohèse à vérfer emprquemen: Hypohèse emprque 2 : La nouvelle arfcaon de l'assurance de la SAAQ es équable du pon de vue acuarel s le nombre de pons d'napude accumulés à la pérode précédene affece de façon crossane e sgnfcave les accdens à la pérode courane. 4. Données e varables 4. Données Afn de réalser la pare emprque de nore éude, nous avons créé une nouvelle banque de données en collaboraon avec la Socéé d'assurance Auomoble du Québec (SAAQ). Cee banque de données comprend des nformaons ndvduelles emporelles. En fa, l s'ag d'un panel couvran la pérode du er avrl 983 au 3 mars 994. Le panel es ncomple car des enrées e sores de l'échanllon son permses. Un premer groupe de déeneurs de perms de condure on éé échanllonés aléaoremen, par la SAAQ de la populaon des déeneurs de perms du Québec du er avrl 983. La méhode d'échanllonnage sysémaque a éé ulsée ce qu nous a perm d'obenr un 0

13 échanllon représenaf de la populaon des déeneurs de perms au er avrl 983. Ensue, afn de pouvor conserver une srucure d'âge comprenan suffsammen de jeunes conduceurs, un échanllon aléaore de 000 jeunes nouveaux conduceurs a éé ajoué à l'échanllon nal de 983, à chaque année subséquene. Pour chaque déeneur de perms échanllonné nous avons des nformaons (dépersonnalsées) provenan de cnq fchers (ou domanes) gérés ndépendammen à la SAAQ: nformaons sur les perms de condure de l'année courane e des nformaons sur les accdens, les vcmes, les nfracons au Code de la sécuré rouère e les sancons qu y son raachées pour l'année courane e pour les deux années précédanes. Donc pour chaque observaon ulsée, nous connassons les caracérsques couranes du perms de condure e des nformaons sur les accdens (connus à la SAAQ) e les nfracons duran l'année courane e duran les deux années précédenes ce qu es nécessare pour éuder les effes du sysème de arfcaon. Une caracérsque mporane de la mse en forme des données pour des fns de recherche es la déermnaon des daes-charnères. Afn de respecer au meux le fonconnemen de la SAAQ, nous avons ulsé la dae de nassance pour le débu de chaque pérode ndvduelle e l'année de nassance (pare-mpare) pour les renouvellemens à chaque 2 ans, ce qu veu dre que pour chaque observaon nous avons deux pérodes: la pérode courane de deux années e la pérode passée qu correspond égalemen à deux années cvles. Chaque perms (à l'excepon du premer perms pour cerans ndvdus) es renouvelé selon le nombre par ou mpar de l'année de nassance: ceux qu son nés à des années pares son renouvelés à des années pares. Les journées de non valdé du perms on éé enlevées. Fnalemen des données de Sasque Canada on éé ulsées pour enr compe de l'acvé économque. Cee façon de procéder a généré un échanllon oal de observaons pour nore recherche: perms ou ndvdus son présens au mons une pérode de deux ans; 4 44 ndvdus son présens sur plus d'une pérode de deux ans. En moyenne, un ndvdu fa pare de l'échanllon 6.4 pérodes ( mn =, max =7 ). Une observaon es donc un déeneur de perms valde pour une pérode de deux ans ou mons commençan le jour de son annversare à l'année de renouvellemen (ou le jour d'obenon du premer perms pour un nouveau conduceur) e se ermnan le jour précédan l'annversare à l'année du renouvellemen. Il s'ag d'un panel don les débus e fns des pérodes varen selon les observaons avec des sores aléaores e des enrées sysémaques à chaque année. 4.2 Varables Les varables explcaves ulsées dans les dfférens modèles économérques esmés son les suvanes. Leur nerpréaon es donnée en foncon des deux dsrbuons esmées so celle des nfracons au Code de la sécuré rouère e celle des accdens.

14 Dans ce arcle nous avons chos d'analyser la dsrbuon des nfracons au Code de la sécuré rouère pluô que celle des pons d'napude afn de lmer la présenaon e l'ulsaon des modèles économérques de panel à des modèles de compage. Par conre, des résulas (dsponbles sur demande) obenus d'un modèle Prob ordonné pour la dsrbuon des pons d'napudes son semblables à ceux présenés dans ce arcle. Varables de perms de condure Sexe du déeneur de perms : varable dchoomque prenan la valeur s le conduceur es du sexe masculn. En général, les hommes on plus d'accdens que les femmes parculèremen lorsque l'exposon au rsque n'es pas conrôlée. Un sgne posf es donc préd pour la varable homme dans la régresson explquan la dsrbuon du nombre d'accdens duran une pérode. La même prédcon es reenue pour la régresson sur le nombre d'nfracons accumulées duran une pérode. Âge au débu de la pérode : 7 classes d'âge dfférenes varan de la classe 6 ans à celle 65 ans e plus e avec la classe 7 à 9 ans comme classe de référence. Les jeunes conduceurs de mons de 20 ans on en général plus d'accdens e plus d'nfracons que ceux plus âgés. Un sgne posf es préd pour ces groupes d'âge dans les deux modèles. Régon de résdence au momen du renouvellemen de perms : 6 régons admnsraves du Québec avec la régon de Monréal comme régon de référence. Cee varable en compe de l'envronnemen de condue e d'aures faceurs qu peuven nfluencer l'accumulaon d'accdens e d'nfracons. Nous n'avons pas de prédcon parculère pour ce groupe de varables mas l es connu que les grandes vlles (ou les agloméraons urbanes) son des endros propces à générer beaucoup de pes accdens e plus d'nfracons. Expérence mesurée par le nombre d'années (mos) depus l'obenon du premer perms : La caégore 3 à 5 ans d'expérence es ulsée comme caégore de référence. Plus d'expérence, à groupe d'âge donné, devra générer mons d'accdens e mons d'nfracons. Classe de perms : classes non muuellemen exclusves. Ceranes classes peuven êre assocés à plus d'exposon au rsque (véhcules lourds, axs,...) e générer plus d'accdens e plus d'nfracons. Varables de conjoncure e d'exposon (ndrece) au rsque Nombre de jours de valdé du perms à l'néreur d'une année cvle : cee varable conrôle l'exposon au rsque ndvduelle e les caracérsques agrégées de l'année. Taux de chômage : moyennes mobles de aux mensuels québécos non-désasonnalsés selon le sexe e les groupes d'âges des déeneur de perms. Plus de chômage devra générer mons d'acvé économque e mons d'accdens e d'nfracons. (Source Sasque Canada SDDS 370 STC (7-00)). 2

15 Venes d'essence sans plomb : moyennes mobles des venes mensuelles d'essence sans-plomb au Québec. Un effe posf es préd pour les deux varables explquées. (Source Sasque Canada SDDS 250 STC (45-004)). Varables pour changemens de réglemenaon e de arfcaon Appren : Varable ndcarce prenan la valeur après le 4 novembre 99 e la valeur 0 auremen. Elle es nrodue pour enr compe du fa qu'après cee dae, les nouveaux conduceurs on une pérode d'apprenssage avec un maxmum de 0 pons au leu de 5 pour avor son perms de condure révoqué. Gazee : Varable ndcarce qu prend la valeur duran les pérodes succédan l'annonce, dans la Gazee offcelle (en ma 992), de la nouvelle polque de arfcaon de la SAAQ. Un sgne négaf es préd dans les deux régressons s la nouvelle arfcaon à un mpac posf sur la sécuré rouère. L'annonce ndqua que la nouvelle arfcaon, qu enra en vgeur en décembre 992, ulsera, à parr de cee dae, le nombre de pons d'napude accumulés au cours des deux dernères années pour arfer l'assurance auomoble prvée. Il es donc apparu évden aux déeneurs de perms qu'l leur resa neuf mos pour amélorer leur dosser. Par conséquen, nous prédsons que le coeffcen de cee varable aura un sgne négaf dans l'équaon du nombre d'nfracons ce qu mplque égalemen un sgne négaf dans l'équaon du nombre d'accdens, s les nfracons son de bons ndcaeurs des accdens. Lo : Varable ndcarce qu prend la valeur pour ceux qu renouvellen leurs perms duran les pérodes succédan l'enrée en vgueur de la nouvelle arfcaon en décembre 992. Un sgne négaf dans les deux équaons permera de eser le modèle héorque. Ce modèle ndque qu'une arfcaon qu prend en compe l'expérence passée des conduceurs es plus ncave à la prudence rouère qu'une polque qu n'en en pas compe. Par conséquen, la nouvelle polque devra rédure le nombre de pons accumulés duran les pérodes qu la suven e, par conséquen, devra rédure le nombre d'accdens comparavemen à l'ancenne polque de arfcaon qu éa mons ncave. Janver 990 : Varable ndcarce qu prend la valeur pour les pérodes succédan le er janver 990, dae à laquelle le nombre oal de pons pour avor son perms de condure révoqué es passé de 2 à 5 pons. Pons d'napude accumulés : Nous voulons auss eser le caracère prédcf du nombre de pons accumulés à la pérode - sur le nombre d'accdens à la pérode éan donné que c'es l'nsrumen ulsé par la SAAQ. En 992, on a décdé d'ulser les pons pluô que les accdens parce que le régme d'assurance publc es sans responsablé, ce qu mplque que l'nformaon sur les accdens passés devra êre mons précse que celle sur les pons d'napude. En effe, des pons son rems lorsqu'une nfracon es commse alors qu'un conduceur peu êre mplqué dans des accdens sans avor comms des nfracons au code de la sécuré rouère. La varable es défne selon les caégores ulsées par la SAAQ à des fns de arfcaon. La caégore de référence es 0-3 pons accumulés sur une pérode de deux ans. Il es préd que les 3

16 aures caégores auron un coeffcen avec sgne posf e crossan avec le nombre de pons accumulés. Il es mporan d'ajouer que cee forme de arfcaon peu conenr égalemen un élémen d'équé dans le sens qu'elle fa payer des prmes d'assurance plus élevées aux ndvdus qu représenen des rsques plus élevés. Nous parlons ben sûr d'équé acuarelle e non nécessaremen d'équé socale. Comme nous l'avons déjà soulgné, l'ansélecon n'es pas présene dans ce marché car l'assurance es oblgaore. Donc des coeffcens pour les caégores de pons d'napude supéreures à 0-3, ayan des sgnes posfs e crossans avec le nombre de pons accumulés ndqueraen que la nouvelle polque de arfcaon es plus équable, au sens acuarel, qu'une polque de arfcaon qu chargera la même prme à ous les conduceurs quelque so les rsques qu'ls représenen. Suspensons de perms : Fnalemen nous avons ajoué la varable nombre de suspensons ou de révocaons du perms sue à des nfracons au code crmnel accumulées duran l'année précédan le renouvellemen. Un sgne posf es égalemen préd pour cee varable. 5. Les modèles économérques pour les panels de varables dscrèes Nos données formen un panel. Ce panel es ncomple: les ndvdus ne son pas ous présens dans l'échanllon un même nombre de pérodes. Il y a des sores de l'échanllon arbuables à des mgraon nerprovncales, à des décès ou à des non renouvellemen de perms pour oues sores d'aures causes. Il y a auss des enrées de nouveaux ulares de perms. Les enrées e sores de l'échanllon son consdérées c aléaores afn d'éver l'épneux problème du bas de sélecon. 5. Les modèles de Posson La plupar des modèles économérques desnés aux varables dscrèes (ou de compage) on k P Y = k = exp λ λ k!, pour pon de dépar la dsrbuon de Posson elle que ( ) ( ) (k=0,,2,...), où λ = exp ( Z ), les ndces "" représenen l'observaon correspondan à la pérode de l'ndvdu, Y es le nombre d'accdens, Z es un veceur de varables explcaves e Π es un veceur (de dmenson approprée) de paramères. Alors, par défnon de la lo de E Y Var Y Y on peu esmer le veceur de Posson, ( ) ( ) = = λ. S Y es ndépendan de ( ) paramères Π par maxmum de vrasemblance. La Log-vrasemblance d'un échanllon composé de N ndvdus sera N T (3) + Y Z Π ln Y. = = ( ) λ où T es le nombre maxmal de pérodes où l'ndvdu fa pare de l'échanllon. Dans ce qu su, afn de ne pas alourdr la noaon, T sera remplacé par T. Cee Log-vrasemblance es globalemen concave e l'esmaon des paramères qu la maxmsen es drece. La marce de varance-covarance des paramères peu-êre obenue à parr de la marce des dérvées secondes 4

17 de (3) évaluée en Π $. Pusque E( Yj ) = j = ( Z j ) forme d'héérogénéé : s Z j Z j ( j j ) alors E( Yj ) E( Yj ) λ exp Π, le modèle de Posson perme une cerane. Touefos, lorsque le processus éudé es hauemen aléaore, l es fréquen de consaer que le modèle de Posson s'ajuse mal E Y = V Y s'avère quelques fos rop resrcve. ( ) aux données e l'hypohèse d'équdsperson ( ) ( ) L'ndépendance enre les dfférenes observaons es une condon nécessare à l'esmaon de (3) par maxmum de vrasemblance. Avec des données de panel, l es fréquen que cee hypohèse ne so pas respecée. (Vor Hsao (986) e Balag (995) pour le raemen des panels en général e Hausman, Hall and Grlches (984) pour les panels de varables dscrèes). En effe, avec ce ype de données, l es possble de rerouver des effes (modélsés ou non) propres au emps (mespecfc effecs) ou propres au ndvdus (ndvdual-specfc effecs). Les premers sous-enenden la non-ndépendance, pour une même pérode, enre les ndvdus e les seconds mplquen une possble dépendance enre les observaons d'un même ndvdu. La prse en compe e la modélsaon de ces effes spécfques es dcée par la forme du panel (vor Hsao 986). Dans nore cas, N es grand e T es pe. Cec sous-enend la possblé d'une modélsaon explce des effes emporels. Les effes propres aux ndvdus ne peuven cependan pas êre modélsés enèremen explcemen; T éan "pe", la "qualé" de l'esmaon de N effes spécfques es doueuse (ncdenal parameer problem). Par analoge avec la ermnologe des modèles lnéares de panels, on peu envsager des méhodes où les effes ndvduels spécfques son consdérés comme fxes e/ou aléaores. Les modèles qu suven son dérvés de Hausman, Hall e Grlches (984). Défnssons les effes ndvduels comme éan, pour un ndvdu, consans dans le emps. Ces effes ndvduels peuven êre propres à un ndvdu (spécfques) ou communs à un ceran nombre d'ndvdus. Par exemple, le sexe es consan dans le emps mas pas unque à un ndvdu en parculer. À la condon qu'l y a un nombre suffsan d'ndvdus de chaque sexe, ce effe ndvduel consan peu êre modélsé explcemen. 5.2 Modèle à effes spécfques aléaores Posons λ = ( β + X β + Wθ) exp 0 où β 0 es un erme consan, X es un veceur de varables explcaves observé (e pouvan varer) au emps pour l'ndvdu, W es un veceur de varables (caracérsques) explcaves nvaranes dans le emps pour un ndvdu mas non-spécfques à celu-c, (l'nroducon de W n'es pas essenelle, ouefos, elle permera une clarfcaon mporane dans les secons suvanes), β e θ son des veceurs de paramères de dmensons approprées. Posons auss λ = λ α où α es un effe ndvduel spécfque supposé aléaore. Condonnellemen à α, X e W, P( Y k X W ) e λ λ = α,, = k! k, (k = 0,,2,...). 5

18 Supposons le erme aléaore α dsrbué selon une lo Gamma de paramère ( δ, δ) de elle sore que E( α ) = e V( α ) = δ, e que α so srcemen ndépendan de X e W, alors λ e λ (, Z, K, 2, K,, ) = f ( α ) P Y Y Y X X X W T Γ Y = = Γ ( δ ) + δ λ δ Y! δ + λ où Γ( ) es la foncon gamma elle que Γ( z) (, W ) = λ ( + λ δ ) V Y X donc la sur-dsperson V( Y) E( Y) 0 δ Y! δ + XT Z = e d 0 Y dα. Ans, E( Y X W ) T (4), = λ e. Le modèle de Posson avec effecs spécfques aléaores perme ( ) >. Pour le modèle de Posson à effes aléaores, la logvrasemblance de l'échanllon es N LLF = Y + ln Γ δ ( ) ( ) Y ln Γ δ + δ ln δ δ + ln δ + λ = T = [ ln( λ ) ln ( Y!)] Les esmaons obenus par la maxmsaon (sur β, θ e δ de (5) ne seron valables que s α es srcemen exogène (.e.: f ( α X W ) f ( α ), = ). + (5) 5.3 Modèle de Posson à effes fxes Revenons à la sécfcaon de la secon précédene où λ = λ α en supposan α fxe. Les (N) paramères α ne peuven êre esmés drecemen pusque T es pe e fn e N es grand. Hausman, Hall e Grlches (984) proposen un esmaeur de maxmum de vrasemblance condonnel pour le modèle de Posson à effes fxes. Ce esmaeur es condonnel à proven de P Y, Y 2, K, Y Y = T = (, 2, K, Y ) P Y Y T T P Y Pusque Y su une lo de Posson de paramère λ = λ α, paramère T λ =. Ans, =. T Y T = T Y =, e suvra une lo de Posson de 6

19 T P Y, Y 2, K, Y Y = T = e e λ λ Y! y ( λ ) ( Y ) Y Y T λ! Y =! λ! T λ Y (6) T T Pusque λ T = exp( β 0 + X Tβ + Wθ) α, e λ = α exp( β 0 + W θ) exp( X β) réécrre (6) comme su: = =, on peu P Y, K, Y Y Y = T ( Y!)! exp exp ( X β) ( X β) (7) On remarque alors que la dsrbuon conjone des Y ( T) =, condonnellemen à Y ne fa pas nervenr les effes fxes, spécfques ou non: dans (7), ( α W e β ), 0 n'nervennen pas dans la caracérsaon de la dsrbuon. La vrasemblance qu découle de (7) es smlare à celle d'un modèle log mulnomal où la varable dépendane sera la proporon annuelle du oal des accdens sur T pérodes. Les $ β esmés à parr d'un el modèle son convergens mas perden en effcacé pusque ce son des esmaeurs condonnels. Cependan, l n'es plus nécessare dans ce cas de fare des hypohèses sur la dsrbuon de α. Il es alors possble de juger de l'adéquaon de l'hypohèse d'exogénéé des α en comparan les $ β obenus va le modèle à effes fxes e le modèle à effes aléaores par un es de Hausman (978). 5.4 Le modèle bnomale négave Le modèle de Posson smple présené à la secon 5. mposa l'équdsperson ou en permean λ λ s X X. Le modèle de Posson à effes fxes une cerane forme d'héérogénéé ( j j ) mpose lu auss l'équdsperson. Le modèle de Posson à effes aléaores perme la sur-dsperson. Cependan, lorsque les processus éudés son hauemen aléaores, l es possble que l'héérogénéé modélsée (explquée) par ces processus possonnens ne so pas suffsane. Par analoge avec le modèle de Posson, nous présenerons c le modèle bnomale négave "général" avan d'exposer ses varanes de panel. Posons λ = ( β + X β + Wθ ) dsrbué selon une lo gamma de paramères ( λ, ω), el que E( ) = exp( 0 + X + W ) exp 0 le paramère de la lo de Posson e supposons que λ es λ β β θ ω 7

20 λ β β θ ω, λ peu varer dans le emps pour un même ndvdu en plus de pouvor varer d'un ndvdu à l'aure. Alors e Var( ) = exp( 0 + X + W ) 2. Ans, même s X = X ( ) ( ) = f ( λ ) P Y S f ( λ ) 0 e λ ω = ( λ + Y ) ( λ ) Y! Y λ! Y λ λ ωλ λ e Γ ( λ ) Γ ω Y P( Y ) = ( + ω). Γ + ω (8) 2 Cee dsrbuon es une lo bnomale négave de moyenne λ T ω e de varance λ ( + ω) ω. Dfférens aueurs présenen des paramérsaons dfférenes mas équvalenes de la dsrbuon bnomale négave. Touefos, cee paramérsaon ulsée par Hausman e al. (984) facle la dérvaon des modèles à effes fxes e à effes aléaores pour les panels. (Vor Gouréroux, Monfor e Trognon (984) e Cameron e Trved (986) pour dfférenes paramérsaons.) Il y a alors sur-dsperson e la dsrbuon de Posson de la secon 5. es un cas parculer de (8) lorsque ω. Ce modèle de Posson smple fasa en sore que pour des X consans, λ éa consan. Le modèle de Posson à effes aléaore lu ndqua que s X = X ( T T ) alors λ λ = e s X = X j, λ λ. Le modèle bnomale négave perme une source supplémenare d'héérogénéé pusque, pour un même ndvdu, λ vare aléaoremen dans le emps même s X = X ( ). Les paramères ( β β θ ω) 0 λ dλ. alors,,, de (8) peuven êre esmés par maxmum de vrasemblance. Touefos, ces esmaeurs requèren la srce ndépendance des observaons. S'l y a présence d'effes ndvduels spécfques enraînan une corrélaon enre les observaons propres aux ndvdus, ces esmaeurs ne seron pas valables. 5.5 Le modèle bnomale négave à effes fxes Pour les rasons menonnées en 5.3, on ne peu esmer drecemen par maxmum de vrasemblance un modèle à effes spécfques fxes. Cependan, on peu monrer (Hausman e al. T (984)) que condonnellemen à Y, la dsrbuon de ( Y, Y 2, K, Y ) es = Γ P Y, Y 2, K, YT Y = T Γ ( λ + Y ) ( λ ) Y! Γ λ T Γ λ T Y T + Y Cee dsrbuon condonnelle fa dsparaîre les effes spécfques. Les paramères de cee dsrbuon peuven êre esmés drecemen en maxmsan la vrasemblance assocée à (9). T!. (9) 8