0utils mathematiques pour Sciences Physiques

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "0utils mathematiques pour Sciences Physiques"

Transcription

1 0utils mathematiques pour Sciences Physiques NorbertGarnier October29,2004 1

2 Contents 1 Nombrescomplexes Denition Proprietesdesnombrescomplexes Operationssurlesnombrescomplexes Addition/Soustraction Multiplication Division Representationtrigonometrique Representationexponentielle Exemplesd'application Fonctionsusuelles Fonctionscirculaires Formuleselementaires Fonctionscirculairesd'unesommeoud'unedierence Formulespourl'angledouble Formulesdelinearisation Formulesdefactorisation Fonctionslogarithmiquesetexponentielles Exponentiellecomplexe Derivation Denition Operationssurlesderivees Deriveeduproduitd'unefonctionparunscalaire Deriveed'unesomme/dierencededeuxfonctions Deriveed'unproduitdedeuxfonctions Deriveedel'inversed'unefonction Deriveed'unquotientdedeuxfonctions Deriveedelacompositiondedeuxfonctions

3 3.2.7 Deriveed'unefonctionreciproque Deriveesdefonctionsusuelles Dierentielledefonctionsauneouplusieursvariables Denition Exemplesdecalculdedierentielle ApplicationenPhysique Calculsd'erreursoucalculsd'incertitude Notiond'incertitude Calculsd'incertitudes Exemplesdecalculd'incertitude PrimitivesetIntegrales Primitivesconnuesouusuelles Reglesdecalcul Integrationparparties Changementdevariable Casdesfonctionstrigonometriques Lesfractionsrationnelles Application Developpementslimites Denition Developpementslimitesen Developpementslimitesen0defonctionsusuelles SeriedeFourier Formereelle Calculdescoecients Formecomplexe Calculdescoecients Application Developpementsousformereelle

4 7.3.2 Developpementsousformecomplexe TransformationdeFourier Denition DenitiondeladistributiondeDirac CalculdelatransformeedeFourierd'unefonction Applications Casd'unedistributiongaussienne Methodesderesolutiondecertaines equationsdierentielles Resolutiond'equationsdierentiellesacoecientsconstants Equationdierentielledupremierordreacoecientsconstantssanssecondmembre Equationdierentielledupremierordreacoecientsconstantsavecsecondmembreconstant Application Equationdierentielledusecondordreacoecientsconstantsetavec secondmembre Application Systemesdecoordonnees Coordonneescartesiennes Coordonneescylindriques Coordonneesspheriques Application

5 1 Nombres complexes 1.1 Denition L'ensembleCdesnombrescomplexesaeteintroduitdefaconapouvoirresoudrelesequations algebriquesdelaforme: anxn+an 1xn 1+::::::+a1x+a0=0 (1) Sil'onconsidereparexemplel'equationsuivante: ax2+bx+c=0 (2) Lasolutiondecetteequationestdonneepar: x1;2= 2a b p b2 2a 4ac (3) Orsilaquantiteb2 4ac<0cetteequationn'admetpasdesolutionreelle.Pourqu'unetelle solutionexiste,ilfaut^etrecapablededeterminerlaracinecarreed'unnombrereelnegatif.on denitalorsdesnombresdontlecarrepeut^etrenegatif;cesnombressontappeleslesnombres complexes. Unnombrecomplexezseradeniapartirdedeuxunitesdierentes: uneunitereelle(1)etuneuniteimaginaire(i)ayantlaproprietei2= 1.Cenombrecomplexe s'ecrirasouslaforme z=x+iy; x;y2r (4) ouxestappelelapartiereelledezetylapartieimaginairedez. x=<(z) ; y==(z) (5) 1.2 Proprietesdesnombrescomplexes Deuxnombrescomplexessontegauxsietseulementsileurspartiesreellessontegalesetleurs partiesimaginairessontegales. z 1=x1+iy1 ; z2=x2+iy2 z1=z2 5

6 x1=x2 ; y1=y2 Lesnombrescomplexesdontlapartiereelleestnullesontappelesnombresimaginairespurs. Pourchaquenombrecomplexe zondenitlenombrecomplexe zappelenombrecomplexe conjuguedezparlarelationsuivante: z=x {y; x;y2r 1.3 Operationssurlesnombrescomplexes Addition/Soustraction z 1 z2=(x1+iy1) (x2+iy2) =(x1 x2)+i(y1 y2) Multiplication z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2) =(x1x2 y1y2)+i(x1y2+y1x2) Division z2=x1+iy1 z1 =(x1+iy1)(x2 x2+iy2 iy2) (x2+iy2)(x2 iy2) =x1x2+y1y2 x2+y2 +iy1x2 x2+y2 x1y2 1.4 Representationtrigonometrique Onassocieaucomplexez=x+iylepointPdecoordonnees(x;y)denitsurlagure1. Ladistancer(distancedePaO)estdonneeparlarelation: r= p x2+y2etestl'angle positifquefaitopavecl'axehorizontal.onpeutalorsecrire: x=rcos y=rsin d'ou: z=r(cos+isin) 6

7 c'estcequel'onappelelaformetrigonometrique(ouformepolaire)dunombrecomplexez. r= p x2+y2=pzz estappelelemoduledezetl'argumentdez.verielesrelationssuivantes: x=rcos y=rsin tan=y etdeuxdecesrelationspermettentdedeniraunmultiplede2pres. x 1.5 Representationexponentielle Onpeutegalementrepresenterlenombrecomplexezsousuneformediteexponentielle,soit: z=rexp({) Cetterepresentationdesnombrescomplexesestparticulierementutiliseepourlamultiplication etladivision.eneet,soientlesdeuxnombrescomplexesz1etz2: z1=r1exp({1) ; z2=r2exp({2) z1z2=[r1exp({1)][r2exp({2)] =r1r2exp({[1+2]) z1 z2=r1exp({1) r2exp({2) =r1 r2exp({[1 2]) Elleestegalementemployeelorsdelaresolutiond'equationdierentiellecomportantunsecond membredetypesinusoidal. 7

8 1.6 Exemplesd'application Exemple1: Exprimerlescomplexes(a)1+i,(b) p3+isousformetrigonometrique. Reponses: 1+i=p2 cos 4 +isin 4 ; p3+i=2 cos5 6 +isin5 6 Exemple2: Exprimerlescomplexes(a)1,(b) 1,(c)i,(d) isousformeexponentielle. Reponses: 1=exp(i2k) ; 1=exp(i(2k+1)) i=exp i 2 +2k ; i=exp i k 8

9 2 Fonctions usuelles Lesfonctionslespluscouremmentrencontreessontlesfonctionscirculairesoutrigonometriques, commelesinus,lecosinus,latangente,etlesfonctionslogarithmiquesetexponentielles.certainesdeleursproprietessontrappeleesci-dessous. 2.1 Fonctionscirculaires Lafonctioncosinusestpaire,soitcos( x)=cosx. Lesfonctionssinusettangentesontimpaires,ellesverientalorslesrelations:sin( x)= sinx ettan( x)= tanx Formuleselementaires cos2x+sin2x=1;tanx=sinx cosx;1+tan2x= 1 cos2x Fonctionscirculairesd'unesommeoud'unedierence sin(x y)=sinxcosy cosxsiny cos(x y)=cosxcosy sinxsiny tan(x y)= 1 tanxtany tanx tany Formulespourl'angledouble sin(2x)=2sinxcosx cos(2x)=cos2x sin2x tan(2x)= 2tanx 1 tan2x 9

10 2.1.4 Formulesdelinearisation Cesformulessontsouventutiliseespourlecalculdeprimitive. Apartirdesrelationsprecedentes,onpeutobtenirlesformulesdelinearisationsuivantes: sinxcosy=1 (sin(x+y)+sin(x y)) cosxsiny=1 (sin(x+y) sin(x y)) cosxcosy=1 (cos(x+y)+cos(x y)) sinxsiny=1 2 (cos(x y) cos(x+y)) Formulesdefactorisation Cesformulessontsouventutiliseespoursimplieruneequation. cosx+cosy=2cos(x+y 2 )cos(x 2 y) cosx cosy= 2sin(x+y 2 )sin(x 2 y) sinx+siny=2sin(x+y )cos(x sinx siny=2cos(x+y 2 )sin(x 2 y) 2.2 Fonctionslogarithmiquesetexponentielles Lafonctionexponentielleestdeniepar: 8x2R; x!ex Safonctionreciproque,asavoirlafonctionlogarithmeneperienestdeniepar: 8x2]0;1[; x!lnx Cesfonctionsontcertainesproprietes: 8x et 8y2]0;1[; ln(xy)=lnx+lny ln x y =lnx lny ln(xn)=nlnx 10

11 8x et 8y2R; exey=ex+y ex ey=ex y (ex)n=enx 6 5 exp(x) 4 exp(1) 3 2 ln x exp(1) Figure1:Fonctionexponentielleetlogarithmique 11

12 2.3 Exponentiellecomplexe Denition:Onappelleexponentiellecomplexelafonctionquiaz2Cassocielaquantite: ez= 1 X n=0 z n n! Pourz={y,y2Ronalarelation: e{y=cosy+{siny Eneet,onpeutecrire: e {y= 1 X n=0 ({y) n n! = 1 X n=0 ({) 2n(2n)!+({)2n+1 y2n 1 y2n+1 X n=0 (2n+1)! = 1 X n=0 ( 1) n(2n)!+{ y2n 1 X n=0 ( 1) n y2n+1 (2n+1)! =cosy+{siny D'autrepartlafonctionexponentielleestperiodiquedeperiode2{. Eneet,onpeutecrire: ez+{2k=eze{2k =ez 12

13 3 Derivation 3.1 Denition Unefonctionfaunevariableestderivableenunpointx0desondomainededenitionsile nombrederivedelafonctionencepoint,notef0(x0),existeetestni. Cenombrederiveest donnepar: f0(x0)=lim!0 f(x 0+) f(x0) Sifestderivablesursondomainededenitionalorslafonctionderiveedefestdeniepar: f0:x! f0(x) 3.2 Operationssurlesderivees Deriveeduproduitd'unefonctionparunscalaire (f(x))0=f0(x) Deriveed'unesomme/dierencededeuxfonctions (f(x) g(x))0=f0(x) g0(x) Deriveed'unproduitdedeuxfonctions (f(x)g(x))0=f0(x)g(x)+f(x)g0(x) Deriveedel'inversed'unefonction 1 f(x) 0 = (f(x))2 f0(x) f(x) g(x) 0 =f0(x)g(x) (g(x))2 f(x)g0(x) Deriveed'unquotientdedeuxfonctions Deriveedelacompositiondedeuxfonctions (fg(x))0=f0g(x) g0(x) 13

14 3.2.7 Deriveed'unefonctionreciproque Soientfunefonctionderivabled'undomaineIsurundomaineJetf 1lafonctionreciproque associee. Silafonctionfestderivableenunpointx2I(avecf0(x)6=0),alorslafonction reciproquef 1estderivableaupointy=f(x)2Jetverielarelation: (f 1)0(y)= f0(x) 1 Enparticuliersilafonctionfestderivabled'undomaineIsurundomaineJalorslafonction reciproquef 1estderivableentoutpointdeJetverielarelation: 8x2J; (f 1)0(x)= f0(f 11(x)) Remarque1:ilsutd'intervertiryetxdansl'equationprecedente. Remarque2:cetteexpressionestutiliseepourlacalculdeladeriveedelafonctionarctanx. 3.3 Deriveesdefonctionsusuelles fonctionf(x) deriveef0(x) xn nxn 1 un(x) nu0(x)un 1(x) sinx cosx cosx sinx tanx cos2(x)=1+tan2x 1 ln(u(x)) u0(x) exp(u(x)) u0(x)exp(u(x)) u(x) arctanx 1 1+x2 14

15 4 Dierentielle de fonctions a une ou plusieurs variables Consideronsunefonctionscalairefaplusieursvariablesreelles(x1;x2;::::;xn)soitlafonction f(x1;x2;::::;xn). 4.1 Denition Ondenitladierentielledecettefonctionfparlagrandeur: ouencore: aunevariableonobtient: df=f(x1+dx1; x2+dx2; ; xn+dxn) f(x1; x2; ; xn) df=f(~r+d~r) f(~r) df=f(x+dx) f(x) =f0(x)dx representeladeriveepartielledelafonctionfparrapportalaiemevariable Laderiveepartiellerepresenteletauxdevariationdelafonctiondansunedirectiondonnee. Exemple f(u f(u 0;v0+) f(u0;v0) 15

16 4.2 Exemplesdecalculdedierentielle Exemple1: SoitT laperioded'oscillationd'unpendulesimpledanslecasdespetitesoscillations. T = 2(lg)1 2 avec et @l g1= l 1=2 =2l1=2( 2 1)g 3=2 = l1=2 g3=2 dt= (lg)1=2dl l1=2 g3=2dg Calculerladierentielledelafonctionscalaireadeuxvariablessuivante: f(r; )=Kcos Reponse: r2 df= 2Kcos r3 dr Ksin r2 d 16

17 4.3 ApplicationenPhysique Calculsd'erreursoucalculsd'incertitude Notiond'incertitude Laphysiqueestunescienceoul'onestsouventameneaeectuerdesmesures(laphysique estdependantedemesures).cesmesuressontdoncentacheesd'erreursd'originesdiverses.il yadeserreursduesal'environnementdelagrandeurmesuree,d'autresduesal'utilisation d'unappareildemesure,deserreursdelecturesurl'appareilutiliseetegalementdeserreurs aleatoires. Unresultatestgeneralementpresentesouslesformes: x=x0 x ou x0 xxx0+ x x0estuneestimationdelavaleurexacte(donneeparlamoyennesurquelquesmesures)et x estl'incertitudeabsolueestimeeparl'experimentateurentenantcomptedesdierentessources d'erreurs. xdeniegalementledegredeconancedelamesure. Ilesttelquelaprobabilitepourque x2[x0 x;x0 x]soitlapluseleveepossible. Onintroduitegalementlanotiond'incertituderelative u juj appeleeegalementprecision Calculsd'incertitudes Onvamaintenants'interesseraunproblemedierent. SoitunegrandeurphysiqueA(pour s'impliernonmesurable)denieparuneformulefaisantintervenird'autresgrandeursphysiques (a1;a2;::::;an)mesurablesetdontlesincertitudesontetedetermineesparunexperimentateur. Leproblemeestdedeterminerl'incertitudesurcettegrandeurA,soit A.Pourcelaoncalcule ladierentielledeaenprenantsoinderegroupertouslestermesayantlem^emefacteur dai ndan 17

18 n an 4.4 Exemplesdecalculd'incertitude Exemple1: L'angleAd'unprismeconstitued'unmateriaud'indice netleminimumdmdel'anglede deviationdsontliesparlarelationsuivante: 2 n=sina+dm sina2 OnmesureA=60,Dm=32aveclesincertitudes A= Dm=10: Determinationdel'expressionanalytiqueetdelavaleurnumeriquedel'incertituderelativesur lagrandeurn. Onutiliseraunemethodeclassique(calculdeladierentielle)etlamethodedeladierentielle logarithmique. Methodedeladierentiellelogarithmique. Reponse: n n =1 2 1 lnn=ln sina+dm 2 dn n =d sina+dm sina+dm 1 2 tana+dm 2 ln sina 2 d sina2 2 sina2 tana2 A tana+dm Dm Attention,lesangless'exprimentenradians. Application numerique: n n =2;5:

19 5 Primitives et Integrales Enphysiqueonestsouventameneacalculerdesintegralesetdoncadeterminerdesprimitives. Onneparleraiciqued'integralesdefonctionaunevariable. Pourcalculer I,ilfautpouvoir trouverunefonctionf(x)dontladeriveepremieresoitlafonctionf(x). I= Z b a f(x)dx=[f(x)]ba=f(b) F(a) Malheureusementcen'estpastoujourstressimpleetdansungrandnombredecascelareste m^emeimpossibleanalytiquement. Faceauncalculd'integraledeuxcasdegurepeuventsepresenter:soitlaprimitive F(x)de lafonctionf(x)estconnue,soitellenel'estpasetdanscecasondisposedecertainesregles decalcul. 5.1 Primitivesconnuesouusuelles fonctionf(x) primitivef(x) xn n+1xn+1 1 u0(x)un(x) n+1un+1(x) 1 1x u0(x) lnx u(x) lnu(x) exp(nx) 1nexp(nx) cosx sinx sinx cosx sinhx coshx coshx sinhx 5.2 Reglesdecalcul Integrationparparties Prenonsparexemplelecalculdel'integralesuivante: Zb a xlnxdx 19

20 Laprimitivedelafonction f(x)=xlnxn'estpasuneprimitiveconnueouusuelle. Pour calculercetteintegralenousallonsutiliserl'integrationparpartie.cettemethodeestbaseesur laformulesuivante: (uv)0=u0v+uv0 Apartirdecetteequationonpeutecrire: Zb a u0(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]ba Z b a u(x)v0(x)dx Cetteformuleserautiliseesilaprimitivedutermededroiteestplussimpleadeterminerque celledutermedegauche. Pournotreexempleilfautprocederdelafaconsuivante: u0(x)=x )u(x)=x2 2 v(x)=lnx )v0(x)=1 Enappliquantlaformuled'integrationparpartieonpeutecrire: x Zb 2 lnx b a Z b 2x 1dx a xlnxdx= x2 = x2 a x 2 b 4 a 2 lnx x2 Autreexempled'application,lecalculdel'integrale: Zb a xexp(x)dx=[xexp(x)]ba Z b a exp(x)dx =[(x 1)exp(x)]ba Changementdevariable Soitl'integralesuivanteacalculer: Zb a xpx 1dx Laprimitivedelafonctionf(x)=xpx 1n'estpasuneprimitiveconnueouusuelle. Pour calculercetteintegralenousallonsutiliserunemethodequiconsisteaeectuerunchangement devariabledefaconapouvoirdeniruneprimitive. L'ideeestderemplacerlaracinecarree parunefonctionlineaire.pourcelaonvaeectuerlechangementdevariablesuivant: t=px 1 20

21 Onobtientainsi: L'integrales'ecritalorssouslaforme: x=t2+1 )dx=2tdt Zb a xpx 1dx= pb Z 1 pa 1(t2+1)t2tdt = 2 5 t5+2 3 t3 pb pa 1 Laprimitivedelafonctionf(x)=xpx 1est 25(x 1)5=2+23(x 1)3= Casdesfonctionstrigonometriques Pourlecalculdesprimitivesetintegralesdefonctionstrigonometriquesilexisteplusieurs methodescommel'utilisationducosinusdel'angledouble,ladecompositiond'unproduiten somme(linearisation)ouencoreenfaisantapparaitredestermesdutype P(cosx)sinxou P(sinx)cosx. 1: Exemple Onutiliselarelationsuivante: I= Z sin2xdx cos2x=cos2x sin2x )sin2x=1 =1 2sin2x cos2x 2 )I= 1 2 x 1 4 sin2x I= Z cosxcos3xcos5xdx 2: Exemple Ondecomposejusqu'an'avoirplusquedestermeslineaires. cosxcos3x=1 2 [cos(x+3x)+cos(x 3x)] =1 2 [cos4x+cos2x] cosxcos3xcos5x=1 2 cos4xcos5x+1 2 cos2xcos5x =1 4 [cos9x+cos7x+cos3x+cosx] 21

22 Ennonobtient: I= sin9x+1 7 sin7x+1 3 sin3x+sinx 3: I= Exemple Z cos3xdx avec: cos3x=cosxcos2x =cosx(1 sin2x) I= sinx 3 1sin3x Lesfractionsrationnelles Unefractionrationnelleestdeniecommeetantlequotientdedeuxpolyn^omes. Pourcalculerlesprimitivesdecesfonctions,ilfaututiliserunetechniquebienparticuliere,que l'onappelleladecompositionenelementssimples. Onselimiteraiciaucasouledegredunumerateureststrictementinferieuraudegredu denominateur. Lamethodeutiliseeestillustreeparlesdeuxexemplessuivants: 1:Ondesiredetermineruneprimitivedelafonctionfsuivante: Exemple f(x)= x(x+1)2 1 Pourcelaondecomposelafonctionfenelementssimples,soit: f(x)=a x + (x+1)+ B (x+1)2 C LecalculpermetdedeterminerlavaleurdestroiscoecientsA,BetC. A=1;B=C= 1. Onpeutalorsecrirelafonctionfsouslaforme: f(x)=1 x + (x+1)+ 1 (x+1)2 1 Lesprimitivesdechacundestroistermessontsimplesadeterminer.SoitF(x)laprimitivede f(x): F(x)=lnjxj lnjx+1j+ (x+1) 1 22

23 2:Soitlafonctionsuivante: Exemple f(x)= (x2+1)(x x 1) Letermex2+1n'ayantpasderacinesreelles,onvaecrirefsouslaforme: f(x)= (x A1)+(Bx+C) (x2+1) LecalculpermetdedeterminerlavaleurdestroiscoecientsA,BetC. A=C=1=2;B= 1=2. Onpeutalorsecrirelafonctionfsouslaforme: f(x)=1 2 1 (x 1) 1 2 (x2+1) 1) LaprimitiveF1(x)dupremiertermeestsimpleadetermineretvaut: F1(x)=1 2 lnjx 1j Parcontreladeterminationdelaprimitive F2(x)dusecondtermeestmoinsimmediatea determiner.pourcelaonprocedeendeuxetapes: 1.Lapremiereconsisteafaireapparaitreaunumerateurladeriveedudenominateur.Pour celailsutd'ecrire: 1 2 (x2+1)= 1122x 2 (x2+1) 1 LaprimitivedupremiertermeestF2;1(x)etestdenieparl'expression: F2;1(x)= 1 4 ln(x2+1) 2.LasecondeetapeconsisteadetermineruneprimitiveF2;2(x)de: 1 2 (x2+1) 1 Cetteprimitiveestdonneepar: F2;2(x)=1 2 arctan(x) 23

24 5.2.5 Application Calculerlesprimitivessuivantes: a) Z cos2xdx= Z 1+cos2x 2 dx= x sin2x b) Z tanxdx= Z cosxdx=[ sinx lnjcosxj] c) Z cos2xdx=sinx(1 sin3x cos2x) cos2x dx= cosx+cosx 1 d) Z (a2+x2)3=2;(onposex=atant);= dx a 12[sint] e) Z p1+ax2 x dx; (delaformeu0(x)un(x));= a 1(1+ax2)1=2 f) Z x(1+ax2)3=2dx; (delaformeu0(x)un(x));= 5a 1(1+ax2)3=2 g) Z (x+1)3 x dx; (decompositionenelementssimples);= x (x+1)2 1 h) Z xsin(2x)dx; (integrationparpartie);= 1 2 xcos(2x) 1 2 sin(2x) i) Z x3 5x+2 5x2+4xdx; (decompositionenelementssimples);=1 2 lnjxj 3 7lnjx 1j+11 6 lnjx 4j 24

25 6 Developpements limites 6.1 Denition Soitunefonctionreelled'uneseulevariablereelle xdeniesurunintervallededenitioni. Soitx02I. Onditquelafonctionfpossedeundeveloppementlimited'ordren(n2N)au pointx0siilexisten+1nombresreels(c0;c1;:::;cn)telsquel'onpuisseecrirelarelation suivante: f(x)=c 0+c1(x x0)+:::+cn(x x0)n+(x x0)n(x); x!x0(x)=0 lim Silafonctionfestnfoisderivableenx0,onpeutalorsreecrirelarelationprecedentesousla forme: f(x)=f(x0)+f0(x0) 1! (x x0)+f00(x0) 2! (x x0)2+:::+f(n)(x0) n! (x x0)n+(x x0)n(x); x!x0(x)=0 lim 6.2 Developpementslimitesen0 f(x)=f(0)+f0(0) 1! x+f00(0) 2! x2+:::+f(n)(0) n! xn+xn(x); x!0(x)=0 lim 6.3 Developpementslimitesen0defonctionsusuelles ex=1+x+x2 3!+ +xn 2!+x3 n!+xn(x) ln(1+x)=x x2 2 +x ( 1)n 1xn n +xn(x) 1+x=1 1 x+x2 x3+ +( 1)nxn+xn(x) cosx=1 x2 2!+x4 4!+ +( 1)n(2n)!+x2n(x) sinx=x x3 3!+ +( 1)n+1 x2n 1 (2n 1)!+x2n(x) (1+x)m=1+mx+m(m 2! 1) x2+ +m(m 1) (m n! n+1) xn+xn(x) 25

26 7 Serie de Fourier 7.1 Formereelle Onconsidereunefonctionf(t)delavariablereelletetdeperiodeT. Cettefonctionverie donclarelation: f(t+nt)=f(t); avecn2z Souscertainesconditionsdedenitiondelafonctionetdecontinuitedecettederniereainsique desaderiveepremiere(conditionsdedirichlet),ilestalorspossiblederepresenterlafonction f(t)paruneseriedelaforme: f(t)=a X n=1 a ncos(n!0t)+ 1 X n=1 b nsin(n!0t) (6) danslaquellea0; an etbnsontdescoecientsindependantsdelavariable tet!0=2=t representeunepulsation. Cetteseries'appelleledeveloppementenseriedeFourierdelafonctionf(t). Pourdeterminercompletementcetteserie,ilfautdenirsescoecients Calculdescoecients ZT ZT ZT Pourdeterminercescoecients,nousallonsutiliserlesrelationssuivantes: cos(m!0t)cos(n!0t)dt=t 0 2 (m;n+m; n) sin(m!0t)sin(n!0t)dt=t 0 2 (m;n m; n) 0 cos(m!0t)sin(n!0t)dt=0 oum;nestlesymboledekroneckerdenipar: m;n=1m=n 0m6=n Pourcalculerlapremiereintegrale,oncommenceparunelinearisation. cos(m!0t)cos(n!0t)=1 2 (cos(m+n)!0t+cos(m n)!0t) (8) 26 (7)

27 onobtientalors: ZT cos(m!0t)cos(n!0t)dt=1 sin((m+n)!0t) 0 2 (m+n)!0 +sin((m n)!0t) T (m n)!0 0 (9) Cetteintegraleestnullesaufdanslescasoum= netm=n. Danscescasnousavons: Z T cos2(n!0t)dt=1 ZT (1+cos(2n!0t))dt =1 2 t+sin(2n!0t) T =T 0 (10) 2 Lesdeuxautresrelationssontdeniesenutilisantuncalculanalogueauprecedent. MultiplionsmaintenantlesdeuxmembresdelaseriedeFourier(enrenommantlesindices desommationn!mparcos(n!0t)etintegronsentre0ett. Onobtientalors: ZT 0 f(t)cos(n!0t)dt= Z T " 0 a0 2 + m=1 1 X a mcos(m!0t)+ m=1 1 X b msin(m!0t) # cos(n!0t)dt Touteslesintegralesdusecondmembresontnullesal'exceptionduterme: ZT 0 1X m=1 a mcos(m!0t)cos(n!0t)dt quiestnonnulpourm=netvautdanscecast=2. Onobtientalors: an=2 ZT T 0 f(t)cos(n!0t)dt (11) Paruncalculanalogue,ontrouve: bn=2 ZT T 0 f(t)sin(n!0t)dt (12) a0=2 T ZT 0 f(t)dt (13) 27

28 7.2 Formecomplexe SoitledeveloppementenseriedeFourierdelafonctionf(t): f(t)=a X n=1 a ncos(n!0t)+ 1 X n=1 b nsin(n!0t) Enutilisantlesrelationssuivantes: cos(n!0t)=exp({n!0t)+exp( 2 {n!0t) sin(n!0t)=exp({n!0t) exp( {n!0t) onpeutreecrirecedeveloppementsouslaforme: 2{ f(t)=a X n=1 (a n 2{bn) exp({n!0t)+ 1 X n=1 (a n+{bn) 2 exp( {n!0t) =a X n=1 (a n 2{bn) exp({n!0t)+ n= 1 X 1 (a n+{b 2 n) exp({n!0t) soitencore f(t)= 1 X 1 f nexp({n!0t) (14) avec fn=(an f0=a0 2 2{bn) pourn1 fn=(a n+{b 2 n) =f n pourn Calculdescoecients ZT Pourcalculerlescoecientsfnonutilelarelationsuivante: 0 exp({m!0t)exp( {n!0t)dt=tmn Apresavoirrenommerlesindicesdesommation(n!m)del'expressiondudeveloppementen seriedefourierdelafonctionf(t)soussaformecomplexe,multiplionslesdeuxmembrespar laquantiteexp( {n!0t)etintegronsentre0ett. Onobtientalors: ZT 0 f(t)exp( {n!0t)dt= Z T 0 1X 1 f mexp({m!0t)exp( {n!0t)dt 28

29 Leseultermenonnulestceluicorrespondantaucasoum=netsavaleurvautT.Onobtient ainsil'expressiondescoecientsrecherches,asavoir: fn=1 ZT T 0 f(t)exp( {n!0t)dt Onpeutensuitedeterminerlescoecientsanetbn. a0=2f0; b0=0 an=(fn+f n)=2<(fn); bn=f n { fn= 2=(fn) 29

30 7.3 Application Soitlafonctionfdelavariablereelletdeniepar: f(t)=10tt 2 0T 2tT avect=10. OndesireecrireundeveloppementenseriedeFourierdecettefonction. OncommencepardenirlapulsationassocieealeperiodeT,soit!0== Developpementsousformereelle Onchercheadeterminerlescoecientsa0; anetbn. Calcul dea0 a0=2 ZT T Calcul dean 0 f(t)dt =2 ZT=2 T 0 dt a0=1 an=2 ZT T 0 f(t)cos(n!0t)dt =2 ZT T 0 f(t)cos n2 T t dt =2 ZT=2 T 0 cos n2 T t dt an=0 30

31 Calcul debn an=2 ZT T 0 f(t)sin(n!0t)dt =2 ZT T 0 f(t)sin n2 T t dt =2 ZT=2 T 0 sin n2 T t dt T t dt T=2 0 = n 1 n2 = 1 cos n [cos(n) cos(0)] Deuxcassepresente: 1.sinestpair,alorsbn=0 2.sinestimpairalorsbn=2=(n) LedeveloppementenseriedeFourierdelafonctionfpermetd'ecrire: f(t)=1 2 + X nimpair 2 nsin n2 T t 31

32 7.3.2 Developpementsousformecomplexe Onchercheadeterminerlescoecientsfn. Calcul def0 f0=1 ZT T Calcul defn Deuxcassepresente: 1.sinestpair,alorsfn=0 2.sinestimpairalorsfn= {=(n) 0 f(t)dt =1 ZT=2 T 0 dt f0=1 2 a0=2f0 =1 fn=1 ZT T 0 f(t)exp {n2 T t dt =1 ZT=2 T 0 exp {n2 T t dt 2n[exp( {n) exp(0)] = { 2n[cos(n) 1] Onpeutalorsmaintenantdeterminerlescoecientsanetbndelaformereelle. Pournpair,ona: Pournimpair,ona: an=2<(fn) bn= 2=(fn) =0 =0 an=2<(fn) bn= 2=(fn) =0 = 2 n 32

33 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 f(t) n=0 n=3 n= ,2 Figure2:DeveloppementenseriedeFourierdelafonctionf(t) 33

34 8 Transformation de Fourier LatransformeedeFourierintervientdansdenombreuxdomainesdelaphysique(optique, traitementdusignal,cristallographie)etdelachimie(spectroscopieinfrarougepartransformee defourier,resonancemagnetiquenucleaire). LatransformeedeFourierpermetl'analysed'unsignalnonpasenfonctiondutempsmaisdans l'espacedesfrequencesoupulsations.onparlealorsducontenufrequentiel. 8.1 Denition ApartirdudeveloppementenseriedeFourierd'unefonctionf(t)periodique(deperiodeT)et enutilisantladerivationheuristique,ondenitlatransformeedefourier ~f(!)delafonction f(t)parlarelationsuivante: ~f(!)= Z +1 1 f(t)exp( {!t)dt Delam^emefacononpeutdenirlatransformeedeFourierinversede ~f(!)par: f(t)= 2 1 Z+1 1 ~f(!)exp({!t)d! 8.2 DenitiondeladistributiondeDirac Enappliquantsuccessivementlestransformationsf(t)!~f(!)et ~f(!)!f(t)oneectueune operationneutre.celapermetdedenirladistributiondedirac: (t)= 2 1 Z+1 1 exp({!t)d! quialaproprietesuivante: Z+1 1 f(t0)(t t0)dt0=f(t) 34

35 8.3 CalculdelatransformeedeFourierd'unefonction Consideronsunefonctionf delaseulevariablereellet. Onpeuttoujoursdeveloppercette fonctionenunepartiepairefpaireetunepartieimpairefimpaire. f(t)=f(t)+f( 2 t) +f(t) 2f( t) f(t)=fpaire(t)+fimpaire(t) LatransformeedeFourierdelafonctionfs'ecritalors: ~fpaire(!)= Z +1 ~f(!)=~fpaire(!)+~fimpaire(!) (f(t)+f( t)) 1 2 exp( {!t)dt =1 Z f(t)exp( {!t)dt+1 Z f( t)exp( {!t)dt =1 2 ~f(!)+1 2 Z 1 +1 ( f(t))exp({!t)dt =1 2 ~f(!)+1 2 Z+1 1 f(t)exp( {(!)t)dt =1 2 ~f(!)+1 2 ~f(!) Onobtientainsilesrelationssuivantes: ~fpaire(!)= ~f(!)+~f(!) 2 et ~fimpaire(!)= ~f(!) ~f( 2!) ~f(!)= Z +1 1 f(t)exp({!t)dt =~f(!) 35 Silafonctionf(t)estreelle,onpeutmontrerque:

36 NousobtenonsalorsquelatransformeedeFourierd'unefonctionpaireestellem^emeune fonctionpaireetunefonctionreelle. InversementlatransformeedeFourierd'unefonction impaireestunefonctionimpaireetimmaginairepure. Cecipeut^etreresumeparlesdeux equationssuivantes: ~fpaire(!)=< ~f(!) ~fimpaire(!)={= ~f(!) 36

37 8.4 Applications Casd'unedistributiongaussienne Soitladistributiongaussienneg(t)normaliseeetdelargeuramihauteur. g(t)= p22exp 1 22 t2 avec Z+1 1 g(t)dt=1 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, t Figure3:Distributiongaussienneavec=1:0;0:3 37

38 CalculonslatransformeedeFourierdecettedistributiongaussienne. ~g(!)= Z +1p22exp t exp( {!t)dt = p22 1 Z +1 1 exp t2+2{2!t 22 dt = p22 1 Z +1 1 exp (t+{2!)2+!24 22 dt =exp!22 2 p22 1 Z +1 1 exp (t+{2!)2 22 dt ~g(!)=exp!22 2 Remarque: LatranformeedeFourierd'unegaussiennedelargeur estunegaussiennede largeurinverse 1. 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, ω 15 Figure4:TranformeesdeFourierdesdistributionsgaussiennesavec=1:0;0:3 38

39 9 Methodes de resolution de certaines equations dierentielles Soitunefonctionyd'uneseulevariablereellex. 9.1 Resolutiond'equationsdierentiellesacoecientsconstants Equationdierentielledupremierordreacoecientsconstantssanssecond membre Soitl'equation: dy dx+ay=0 (15) avecaconstant2r Cetteequationpeut^etrereecritesouslaforme: dy y = adx soitenintegrant: )lny= ax+c )exp(lny)=exp( ax+c) )y=exp(c)exp( ax) )y(x)=kexp( ax) K est appelee constante d'integration et sera determinee a partir d'une condition initiale (x0;y0) Equationdierentielledupremierordreacoecientsconstantsavecsecond membreconstant Soitl'equation: dy dx+ay=b (16) 39

40 avecaetbdesconstantes2r Lasolutionydecetteequationestlasommededeuxsolutions: y1ety2,soit: y(x)=y1(x)+y2(x) y1estlasolutiongeneraledel'equationdierentiellesanssecondmembreetdoitdoncverier l'equation: dy1 dx+ay1=0 y2estlasolutionparticuliereetdoitverierl'equation: dy2 dx+ay2=b D'aprescequel'onavuprecedemment,lasolutiony1estdonneepar: y1(x)=kexp( ax) Lasolutionparticuliere y2estrechercheesouslam^emeformemathematiquequelesecond membre,soitdansnotrecassouslaformed'uneconstantey2=c2etdoitdoncverierl'equation: dy2 dx+ay2=b soit )ac2=b )C2=b )y2(x)=b a Lasolutionydel'equation(7)peutalorss'ecriresouslaforme: a y(x)=kexp( ax)+b a LaconstanteKseradetermineeapartirdesconditionsinitiales Application Lavitessevd'uncorpsponctueldemasseconstante menchutelibredansl'air(resistance K~vavecK=constante)obeital'equationdierentiellesuivante: dv dt +K m v=g 40

41 Sachantqu'autempst=t1lavitessevautv(t=t1)=v1,determinerl'expressiondelavitesse enfonctiondutemps. Reponse: v(t)=mg K + v1 mg K exp K m (t t1) 41

42 9.1.4 Equationdierentielledusecondordreacoecientsconstantsetavecsecondmembre Soitl'equation: ad2y dx2+bdy dx+cy=f (17) aveca,betcdesconstantes2retfunefonctiondex. Laresolutiondecetteequationdierentiellecomportedeuxetapes. consisteadeterminerlasolutiongeneraley1del'equationdierentielle sanssecondmembre.cettesolutiondoitverierl'equation: La premiere etape ad2y1 dx2 +bdy1 dx+cy1=0 Onprocededelafaconsuivante:onrecherchelasolutiony1souslaformey1(x)=Aexp(rx). Onobtientalorsl'equationcaracteristiquesuivante: ar2+br+c=0 dontlesracinesvontpermettrededeterminerlasolutiongeneraley1(x). Soit =b2 4aclediscriminentdel'equationcaracteristique.Selonlavaleuretlesignede nousobtiendronsdierentstypesdesolutions. Premier cas: Si >0,l'equationcaracteristiqueadmetdeuxsolutionsreellesdistinctes r1etr2deniespar: r1;2= b pb2 4ac Lasolutiongeneraley1(x)seraalorsdelaforme: 2a y1(x)=a1exp(r1x)+a2exp(r2x) aveca1eta2desconstantes2r. Second cas: Si = 0, l'equationcaracteristiqueadmetalorsuneracinedoublereelle r deniepar: r= 2a b Danscecas,lasolutiongeneraley1(x)s'ecrirasouslaforme: y1(x)=(a1x+a2)exp(rx) 42

43 aveca1eta2desconstantes2r. Troisieme cas: Si <0,l'equationcaracteristiquepossededeuxracinescomplexesconjugueesr1etr2deniespar: r1;2= b {p Lasolutiongeneraley1(x)seraalorsdelaforme: 2a y1(x)=a1exp(r1x)+a2exp(r2x) = A1exp { p 2a x +A2exp { p 2a x exp 2a bx etpourraegalements'exprimersouslesformes: y1(x)= A01cos p 2a x +A02sin p 2a x exp 2a bx ou y1(x)=a0cos p x+ exp 2a 2a bx a determiner une solution particuliere y2 veriant l'equation dierentielleavecsecondmembre.cettesolutionestrechercheesouslam^emeformemathematique quelesecondmembref. Ennlasolutiondel'equationdierentielle(8)estdeniepar: y(x)=y1(x)+y2(x) La seconde etape consiste 43

44 9.1.5 Application Resolutiondel'equationdierentielled'unoscillateurunidimensionelharmoniqueamortiet forceparuntermesinusoidal. Soitl'equation: my+h_y+ky=f0cost Lasolutiony(t)decetteequationdierentielleestdeniepar: y(t)=y1(t)+y2(t) ou y1(t)estlasolutiongeneraledel'equationdierentiellesanssecondmembreet y2(t)la solutionparticuliaire.suivantlavaleurdescoecients,lasolutiony1(t)estdonneeparundes troiscasdenisprecedemment. Ilrestealorsadeterminerlasolutionparticuliairey2(t). Cettesolutionestrechercheesousla m^emeformemathematiquequelesecondmembre,soitsouslaforme: y2(t)=acos(t+ ) Pourdeterminery2(t)ilnousfautdenirAet. Pourcelanousallonsutiliserlanotationcomplexequiconsisteaassocieraureel y2(t)un complexey2(t)dontlapartiereelleestegaleay2(t),soit: y2(t)=aexp[i(t+ )] Onobtientalorsl'equationdierentiellequedoitveriery2(t),soit: my2+h_y2+ky2=f0exp(it) Onpeutalorsecrirelarelationsuivante: Aexp(i )= (k m2)+ih F0 quivanouspermettrededenirdansunpremiertempslasolution y2(t)puislasolution y2(t)=<(y2(t))apartirdeladeterminationde A()et (). Enecrivantlecomplexea droitedel'egalitesousformeexponentielle,onobtient: A()= p(k m2)2+2h2 F0 ()= arctan(k h m2) 44

Mathématiques Exercices pour le soutien

Mathématiques Exercices pour le soutien Mathématiques 5-6 Exercices pour le soutien Ma9 UVSQ Exercice. Exercice 6. Calculer les dérivées des fonctions suivantes : f : x 3x g : x 4 x +x h : x x x+ k : x (3x +) 9 m : x 3 x +4 j : x 5(x )(x ) l

Plus en détail

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Terminale S3 Année 2009-2010 Table des matières I Les fonctions. 4 1 Les limites (suite du cours) 5 IV Limites par comparaison....................................... 5 V Fonctions

Plus en détail

Département Licence Sciences et Technologies Année 2013-2014. Exercices MAT11a: analyse mathématique pour les sciences

Département Licence Sciences et Technologies Année 2013-2014. Exercices MAT11a: analyse mathématique pour les sciences Université Joseph Fourier, Parcours BIO, CHB, SVT Département Licence Sciences et Technologies Année 23-24 Exercices MATa: analyse mathématique pour les sciences Chapitre A Fondements Exercice On se donne

Plus en détail

Chapitre 6 La dérivation

Chapitre 6 La dérivation Capitre 6 La dérivation A) Nombre dérivé et tangente 1) Tangente en un point à une courbe et nombre dérivé Soit f(x) la fonction dont la courbe est représentée ci-dessus, et prenons deux points A et B

Plus en détail

Dérivation Primitives

Dérivation Primitives Cours de Terminale STI2D Giorgio Chuck VISCA 27 septembre 203 Dérivation Primitives Table des matières I La dérivation 3 I Rappels 3 I. exemple graphique............................................. 3

Plus en détail

Université Joseph Fourier Premier semestre 2009/10. Licence première année - MAT11a - Groupe CHB-1. Contrôle Continu 1, le 9/10/2009

Université Joseph Fourier Premier semestre 2009/10. Licence première année - MAT11a - Groupe CHB-1. Contrôle Continu 1, le 9/10/2009 Université Joseph Fourier Premier semestre 9/ Licence première année - MATa - Groupe CHB- Contrôle Continu, le 9//9 Le contrôle dure heure. Questions de cours. ) Soit f :]a, b[ ]c, d[ unefonctionbijectiveetdérivabletelleque,pourtoutx

Plus en détail

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7.

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7. Mathématiques pour l informatique IMAC première année - Soutien - Nombres complexes Rappels. Un nombre complexe z admet plusieurs représentations : représentation vectorielle z = (a, b) où a, b R représentation

Plus en détail

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 Voici une fiche contenant 100 exercices de difficulté raisonable, plutôt techniques, qui recouvrent l ensemble du programme étudié cette année. A raison

Plus en détail

Exercices de mathématiques MPSI et PCSI

Exercices de mathématiques MPSI et PCSI Exercices de mathématiques MPSI et PCSI par Abdellah BECHATA www.mathematiques.ht.st Table des matières Généralités sur les fonctions 2 2 Continuité 3 3 Dérivabilité 4 4 Fonctions de classes C k 5 5 Bijections

Plus en détail

Département Licence Sciences et Technologies Année 2013-2014. Exercices MAT11a: analyse mathématique pour les sciences

Département Licence Sciences et Technologies Année 2013-2014. Exercices MAT11a: analyse mathématique pour les sciences Université Joseph Fourier, Parcours BIO, CHB, SVT Département Licence Sciences et Technologies Année 3-4 Exercices MATa: analyse mathématique pour les sciences Chapitre Manipulations algébriques et logiques

Plus en détail

Intégration et probabilités (cours + exercices corrigés) L3 MASS, Université de Nice-Sophia Antipolis 2009-2010. Sylvain Rubenthaler

Intégration et probabilités (cours + exercices corrigés) L3 MASS, Université de Nice-Sophia Antipolis 2009-2010. Sylvain Rubenthaler Intégration et probabilités (cours + exercices corrigés) L3 MASS, Université de Nice-Sophia Antipolis 9- Sylvain ubenthaler Table des matières Introduction iii Dénombrement (rappels). Ensembles dénombrables...............................

Plus en détail

COURS L1 PREPA AGRO VETO 2012. Claire CHRISTOPHE

COURS L1 PREPA AGRO VETO 2012. Claire CHRISTOPHE COURS L PREPA AGRO VETO 202 Claire CHRISTOPHE 8 avril 203 2 Table des matières I ANALYSE 5 Fonctions numériques de la variable réelle 7. Complément sur l étude des fonctions..................................

Plus en détail

Cours de Mathématiques. BTS Bio-analyses et contrôles

Cours de Mathématiques. BTS Bio-analyses et contrôles Cours de Mathématiques BTS Bio-analyses et contrôles 1ère année Ph Griffiths 1 2008/2009 Lycée Alexis de Tocqueville F-06130 Grasse 1. Philippe.Griffiths@ac-nice.fr ii Lycée Alexis de Tocqueville Table

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

M42. Compléments d analyse (résumé).

M42. Compléments d analyse (résumé). Université d Evry-Val-d Essonne. Année 2008-09 D. Feyel M42. Compléments d analyse (résumé). Table. I. Rappels sur les suites. Limites supérieure et inférieure. II. Topologie élémentaire. III. Fonctions

Plus en détail

TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MFI. Informatique 3A MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES POUR L INFORMATIQUE. 2014-2015, Automne. Jérôme Bastien

TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MFI. Informatique 3A MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES POUR L INFORMATIQUE. 2014-2015, Automne. Jérôme Bastien TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MFI Informatique 3A MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES POUR L INFORMATIQUE 24-25, Automne Jérôme Bastien Document compilé le 23 septembre 24 Ce document est mis à disposition selon les

Plus en détail

Fiche de révisions de première année pour une rentrée en PSI en toute sérénité!

Fiche de révisions de première année pour une rentrée en PSI en toute sérénité! PSI Septembre 0 MATHEMATIQUES Fiche de révisions de première année pour une rentrée en PSI en toute sérénité! Table des matières Nombres complexes 3. Cours...................................... 3. Exercices

Plus en détail

Cahier de vacances. Exercices PCSI - PC, Lycée Dupuy de Lôme

Cahier de vacances. Exercices PCSI - PC, Lycée Dupuy de Lôme Cahier de vacances Exercices PCSI - PC, Lycée Dupuy de Lôme Votre année de PCSI a été bien remplie et il est peu probable que l année de PC qui arrive vous paraisse plus facile. C est pourquoi, je vous

Plus en détail

Equations dierentielles

Equations dierentielles Equations dierentielles Université Mohammed I Faculté des Sciences Département de Mathématiques Oujda. Plan 1 Introduction 2 3 Résponsable du cours : Pr. NAJIB TSOULI. 1 Introduction 2 3 Introduction Une

Plus en détail

Exercices corrigés, tome 04 : les énoncés

Exercices corrigés, tome 04 : les énoncés Exercices corrigés, tome 4 : les énoncés Table des matières : 1. Applications linéaires, p.2. 2. Variables aléatoires, p.6. 3. Intégrales, p.12. 4. Polynômes, p.16. 1 1 Applications linéaires Exercice

Plus en détail

147 exercices de mathématiques pour Terminale S

147 exercices de mathématiques pour Terminale S 5 décembre 05 47 exercices de mathématiques pour Terminale S Stéphane PASQUET Sommaire Disponible sur http: // www. mathweb. fr 5 décembre 05 I Continuité & dérivabilité............................. I.

Plus en détail

Exercices et corrigés Mathématique générale Version β

Exercices et corrigés Mathématique générale Version β Université libre de Bruxelles Années académiques 2008-2050 Université catholique de Louvain Exercices et corrigés Mathématique générale Version β Laurent Claessens Nicolas Richard Dernière modification

Plus en détail

Outils Mathe matiques pour les Sciences. COURS et EXERCICES

Outils Mathe matiques pour les Sciences. COURS et EXERCICES 14-15 Portail SI 1e re anne e Outils Mathe matiques pour les Sciences COURS et EXERCICES Responsable U.E. : pascale.senechaud@unilim.fr OMPS-Faculte des Sciences et Technique-Limoges Planning des séances

Plus en détail

9. Équations différentielles

9. Équations différentielles 63 9. Équations différentielles 9.1. Introduction Une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées. L'ordre d'une équation différentielle correspond

Plus en détail

Développements limités

Développements limités Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Développements limités Bernard Ycart Les développements limités sont l outil principal d approximation locale des fonctions. L objectif de ce chapitre

Plus en détail

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Licence MIMP Semestre 1 Math 12A : Fondements de l Analyse 1 http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Septembre 2013 Table des matières Chapitre I. Les nombres réels et les suites numériques 1 1

Plus en détail

Mathématiques I. Recueil d exercices #2. Analyse II

Mathématiques I. Recueil d exercices #2. Analyse II FACULTE DES SCIENCES ECONOMIQUES ET SOCIALES Sections des sciences économiques et des hautes études commerciales Mathématiques I Cours du professeur D. Royer Recueil d exercices #2 Analyse II Semestre

Plus en détail

Premiers pas avec Mathematica

Premiers pas avec Mathematica Premiers pas avec Mathematica LP206 : Mathématiques pour physiciens I Année 2010/2011 1 Introduction Mathematica est un logiciel de calcul formel qui permet de manipuler des expressions mathématiques symboliques.

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

Option Maths Année 2015-2016 PLAN

Option Maths Année 2015-2016 PLAN Option Maths Année 5-6 PLAN Table des matières Nombres et fonctions - Quantifier, identifier, suivre 3. nombres et opérations élémentaires............................. 3.. ensemble des entiers naturels

Plus en détail

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables.

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables. EXAMEN CORRIGE ANALYSE IV 9-6-9 informations: http://cag.epfl.ch sections IN + SC Prénom : Nom : Sciper : Section : Informations () L épreuve a une durée de 3 heures et 45 minutes. () Les feuilles jaunes

Plus en détail

Les travaux doivent être remis sous forme papier.

Les travaux doivent être remis sous forme papier. Physique mathématique II Calendrier: Date Pondération/note nale Matériel couvert ExercicesSérie 1 : 25 septembre 2014 5% RH&B: Ch. 3 ExercicesSérie 2 : 23 octobre 2014 5% RH&B: Ch. 12-13 Examen 1 : 24

Plus en détail

Cours de mathématiques pour la Terminale S

Cours de mathématiques pour la Terminale S Cours de mathématiques pour la Terminale S Savoir-Faire par chapitre Florent Girod 1 Année scolaire 2015 / 2016 1. Externat Notre Dame - Grenoble Table des matières 1) Suites numériques.................................

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Fonctions de plusieurs variables Bernard Ycart Ce chapitre contient des techniques que vous utiliserez très souvent en physique, mais les justifications

Plus en détail

1 Outils mathématiques pour la Physique

1 Outils mathématiques pour la Physique Licence 3 Sciences de la Terre, de l Univers et de l Environnement Université Joseph-Fourier TUE 302 : Outil Physique et Géophysique 1 Outils mathématiques pour la Physique k Daniel.Brito@ujf-grenoble.fr

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

La fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien La fonction logarithme népérien La fonction exponentielle est continue strictement croissante sur R à valeurs dans ]0; + [. Elle définit donc une bijection de R sur ]0; + [, c est-à-dire que quel que soit

Plus en détail

Consignes d été en Mathématiques

Consignes d été en Mathématiques MPSI-PCSI Consignes d été 4-5 Classes préparatoires MPSI-PCSI, Lycée Châtelet, Douai Rentrée de Septembre 5 Consignes d été en Mathématiques Vous trouverez dans ce document trois rubriques :. Le mot du

Plus en détail

Mathématiques Terminale S. Tout ce qu il faut savoir. Paul Milan

Mathématiques Terminale S. Tout ce qu il faut savoir. Paul Milan Mathématiques Terminale S Tout ce qu il faut savoir Paul Milan Table des matières 1 Rappels sur les suites 4 1 Définition....................................... 4 Variation........................................

Plus en détail

Lois normales, cours, terminale S

Lois normales, cours, terminale S Lois normales, cours, terminale S F.Gaudon 6 mai 2014 Table des matières 1 Variables centrées et réduites 2 2 Loi normale centrée et réduite 2 3 Loi normale N (µ, σ 2 ) 4 1 1 Variables centrées et réduites

Plus en détail

Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné :

Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné : Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Plans tangents à un graphe, différentiabilité Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point

Plus en détail

EXERCICES MPSI A9 ESPACES EUCLIDIENS R. FERRÉOL 13/14

EXERCICES MPSI A9 ESPACES EUCLIDIENS R. FERRÉOL 13/14 EXERCICES MPSI A9 ESPACES EUCLIDIENS R. FERRÉOL 3/4 PRODUIT SCALAIRE. : Dire si chacune des applications suivantes est un produit scalaire surr : x x x x y y = symétrique? bilinéaire? = positif? défini?

Plus en détail

Formes bilinéaires, produits scalaires Pour s entraîner...

Formes bilinéaires, produits scalaires Pour s entraîner... Formes bilinéaires, produits scalaires Pour s entraîner... I Savoir reconnaître un produit scalaire Les applications ci-dessous sont-elles des formes bilinéaires? Si oui sont-elles symétriques? Définies?

Plus en détail

MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités

MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités Pascal Floquet Xuân Meyer Première Année à Distance Septembre 006 Jean-Claude Satge Table des matières

Plus en détail

Mathématiques I Section Architecture, EPFL

Mathématiques I Section Architecture, EPFL Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même

Plus en détail

Pour réussir en Prépa HEC (voie économique) A. RIDARD

Pour réussir en Prépa HEC (voie économique) A. RIDARD Pour réussir en Prépa HEC (voie économique) A. RIDARD 2 Table des matières Préface................................ 7 I Espaces vectoriels............................. 9 1. Pour montrer qu un sous ensemble

Plus en détail

Espaces vectoriels normés

Espaces vectoriels normés Espaces vectoriels normés Essaidi Ali 19 octobre 2010 K = R ou C. E un K-espace vectoriel. 1 Normes et distances : 1.1 Normes et distances : Définition : On appelle semi-norme sur E toute application N

Plus en détail

Feuilles de TD du cours d Algèbre S4

Feuilles de TD du cours d Algèbre S4 Université Paris I, Panthéon - Sorbonne Licence M.A.S.S. 203-204 Feuilles de TD du cours d Algèbre S4 Jean-Marc Bardet (Université Paris, SAMM) Email: bardet@univ-paris.fr Page oueb: http://samm.univ-paris.fr/-jean-marc-bardet-

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Calcul intégral. II Intégrale d une fonction 4

Calcul intégral. II Intégrale d une fonction 4 BTS DOMOTIQUE Clcul intégrl 8- Clcul intégrl Tble des mtières I Primitives I. Définitions............................................... I. Clculs de primitives.........................................

Plus en détail

Institut Polytechnique de Grenoble. PRÉCIS de MATHÉMATIQUES

Institut Polytechnique de Grenoble. PRÉCIS de MATHÉMATIQUES Institut Polytechnique de Grenoble GRENOBLE INP PRÉCIS de MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTS DE COURS ET RAPPELS INDISPENSABLES Version 2012 Maryse BÉGUIN Maryse.Beguin@imag.fr Université de Grenoble-Alpes ii iii

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE ANNÉE 2006 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée : 2 Heures Coefficient : 1 Ce sujet comporte (dans l énoncé d origine, pas

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

Correction du BAC BLANC TECHNOLOGIQUE - Epreuve E4 MATHEMATIQUES ET TECHNOLOGIES INFORMATIQUES ET MULTIMEDIA

Correction du BAC BLANC TECHNOLOGIQUE - Epreuve E4 MATHEMATIQUES ET TECHNOLOGIES INFORMATIQUES ET MULTIMEDIA Correction du BAC BLANC TECHNOLOGIQUE - Epreuve E4 MATHEMATIQUES ET TECHNOLOGIES INFORMATIQUES ET MULTIMEDIA Exercice 1 (4 points) Dans une classe de terminale STAV de 5 élèves, chaque élève possède une

Plus en détail

Exercices classés par thèmes

Exercices classés par thèmes Hypokhâgne B/L 0/0 Exercices classés par thèmes Avec extraits de sujets et quelques corrigés... Introduction Table des matières Fonctionnement du document III Fonctions de R dans R 4 Table des matières

Plus en détail

Développements limités usuels en 0

Développements limités usuels en 0 Développements limités usuels en 0 e x sh x ch x sin x cos x = + x! + x! + + xn n! + O ( x n+) = x + x3 3! + + xn+ (n + )! + O ( x n+3) = + x! + x4 4! + + xn (n)! + O ( x n+) = x x3 3! + + ( )n xn+ (n

Plus en détail

Exercices corrigés. Université de Poitiers, Guilhem Coq. TD2 : fonctions mesurables, propriétés des mesures

Exercices corrigés. Université de Poitiers, Guilhem Coq. TD2 : fonctions mesurables, propriétés des mesures Université de Poitiers, Guilhem Coq Année 29-2 L3 6L2 : théorie de la mesure xercices corrigés TD2 : fonctions mesurables, propriétés des mesures xercice Soit f :, T R, BR une application mesurable et

Plus en détail

k i MA i = 0. OM = n OM = 1 (a OA + b f( u + v ) = f( u ) + f( v ) i=1 i=1

k i MA i = 0. OM = n OM = 1 (a OA + b f( u + v ) = f( u ) + f( v ) i=1 i=1 (, ) (, ) (D, ) D () (D) = D (, ) (, ) (, ) k v (, ) k v (, ) () = k (, ) ( i ) i 1 n (k i ) i k i M n k i M i = 0. i=1 O M 1 n OM = n i=1 k k ioi i a b M OM = 1 (a O + b a+b O) (, a) (, b) (, c) (, a)

Plus en détail

Outils mathématiques pour la physique et la chimie. Introduction. 1.1 Espaces vectoriels. Nicolas Chéron : nicolas.cheron@ens-lyon.

Outils mathématiques pour la physique et la chimie. Introduction. 1.1 Espaces vectoriels. Nicolas Chéron : nicolas.cheron@ens-lyon. Nicolas Chéron : nicolas.cheron@ens-lyon.fr Tél : 87 14 Outils mathématiques pour la physique et la chimie Introduction Ce document est un rappel de notions de mathématiques de base (i.e. niveau L1/L).

Plus en détail

Chapitre 6 : Estimation d erreurs numériques

Chapitre 6 : Estimation d erreurs numériques Chapitre 6 : Estimation d erreurs numériques Puisque les réels ne sont représentés en machine que sous la forme de flottants, ils ne sont connus que de manière approchée. De plus, la somme ou le produit

Plus en détail

Introduction. aux équations différentielles. et aux dérivées partielles

Introduction. aux équations différentielles. et aux dérivées partielles Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr

Plus en détail

1.8 Exercices. Analyse d'erreurs 43

1.8 Exercices. Analyse d'erreurs 43 1.8 Exercices Analyse d'erreurs 43 1. Tous les chires des nombres suivants sont signicatifs. Donner une borne supérieure de l'erreur absolue et estimer l'erreur relative. a) 0,1234 b) 8,760 c) 3,14156

Plus en détail

Mathématique - Cours

Mathématique - Cours Mathématique - Cours Filière PRO 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : partie seconde PRO partie première PRO partie terminale PRO Sommaire

Plus en détail

... donc le SUP est atteint. Cours de mathématiques SUP

... donc le SUP est atteint. Cours de mathématiques SUP ... donc le SUP est atteint Cours de mathématiques SUP Par : L. PETIT [loic.petit@gmail.com] D après les cours de : H. CHAKROUN Date : avril 5 Ce document est une reproduction des cours de Mr Chakroun

Plus en détail

Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières

Plus en détail

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ELEVES PILOTES DE LIGNE EPREUVE DE MATHEMATIQUES

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ELEVES PILOTES DE LIGNE EPREUVE DE MATHEMATIQUES ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE ANNEE 2009 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ELEVES PILOTES DE LIGNE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Durée : 2 Heures Coefficient : 1 Ce sujet comporte : 1 page de garde, 2 pages

Plus en détail

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables et changements de variables

Fonctions de plusieurs variables et changements de variables Notes du cours d'équations aux Dérivées Partielles de l'isima, première année http://wwwisimafr/leborgne Fonctions de plusieurs variables et changements de variables Gilles Leborgne juin 006 Table des

Plus en détail

Chapitre 9 Les équations différentielles

Chapitre 9 Les équations différentielles Chapitre 9 Les équations différentielles A) Généralités Une équation différentielle est une équation dont l inconnue est une fonction et dans laquelle apparaissent une ou plusieurs dérivées de cette fonction.

Plus en détail

TD 1 : Introduction à Maple

TD 1 : Introduction à Maple TD 1 : Septembre-Octobre 2011 Maple, qu est-ce que c est? Maple est - en gros - une calculatrice très évoluée. Au contraire de vos petites machines portables, il sait non seulement manipuler les nombres,

Plus en détail

Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy

Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy V. Latocha PACES UHP septembre 2010 remerciements à D. Schmitt et V. Ries V. Latocha (PACES UHP) Cours mathématiques Paces septembre 2010 1 / 48 1 Fonctions d une variable

Plus en détail

Calcul différentiel et intégral

Calcul différentiel et intégral Chapitre 27. Calcul différentiel et intégral 27 Limites... 27 2 Limite en un point fini... 27 2 Limite à droite ou à gauche... 27 2 Limite à l infini... 27 2 Utilisation de conditions... 27 2 Dérivation...

Plus en détail

Formules de Taylor et développements limités

Formules de Taylor et développements limités Chapitre 4 Formules de Taylor et développements limités 4. Taylor-Lagrange Si a, b R, on note Int(a, b) l intervalle ouvert dont les bornes sont a et b, c est-à-dire Int(a, b) =]a, b[ si a b et Int(a,

Plus en détail

Exercices d interrogations orales en MPSI. Alexandre Popier

Exercices d interrogations orales en MPSI. Alexandre Popier Exercices d interrogations orales en MPSI Alexandre Popier 8 janvier 5 TABLE DES MATIÈRES Table des matières Analyse 3. Ensembles et applications........................... 3. Ensembles usuels de nombres.........................

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

Exo7. Formes différentielles

Exo7. Formes différentielles Exo7 Formes différentielles Fiche de A. Gammella-Mathieu (IUT de Mesures Physiques de Metz Université de Lorraine) Exercice 1 éterminer si les formes différentielles suivantes sont exactes et dans ce cas,

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie

Plus en détail

Intégrales doubles et triples - M

Intégrales doubles et triples - M Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL

BACCALAUREAT GENERAL ACCALAUREAT GENERAL Session 2009 MATHÉMATIQUES - Série ES - Enseignement de Spécialité Liban EXERCICE 1 1) 2) C 3) C 4) A Explication 1. Chacun des logarithmes existe si et seulement si x > 4 et x > 2

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES

RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES RAPPELS DE MATHEMATIQUES ORTHOPHONIE Première année 27 28 Dr MF DAURES 1 RAPPELS DE MATHEMATIQUES I - LES FONCTIONS A - Caractéristiques générales des fonctions B - La fonction dérivée C - La fonction

Plus en détail

EXERCICES MATHEMATIQUE. UNIVERSITE DE LIEGE Faculté des Sciences F.BASTIN J.-P. SCHNEIDERS. Septembre 1992 EDITION PROVISOIRE

EXERCICES MATHEMATIQUE. UNIVERSITE DE LIEGE Faculté des Sciences F.BASTIN J.-P. SCHNEIDERS. Septembre 1992 EDITION PROVISOIRE UNIVERSITE DE LIEGE Faculté des Sciences EXERCICES d ANALYSE MATHEMATIQUE Notes du cours de la seconde candidature en sciences mathématiques et en sciences physiques F.BASTIN J.-P. SCHNEIDERS Septembre

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. Terminales ES (Spécialité)

BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. Terminales ES (Spécialité) BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES Terminales ES (Spécialité) Vendredi 7 février 0 8h - h coefficient : 7 Les calculatrices sont autorisées Le sujet est composé de exercices indépendants. Le candidat

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Cours de mathématiques.

Cours de mathématiques. Orsay 008-009 IFIPS S Mathématiques (M160). Cours de mathématiques. 1. Equations différentielles linéaires du second ordre. La fonction C : x cos x est indéfiniment dérivable sur R, et C (x) = S(x), avec

Plus en détail

ŒUVRES DE LAURENT SCHWARTZ

ŒUVRES DE LAURENT SCHWARTZ ŒUVRES DE LAURENT SCHWARTZ LAURENT SCHWARTZ Généralisation de la notion de fonction et de dérivation, théorie des distributions Ann. Télécommun., 3 (1948), p. 135-140. Extrait des Œuvres de Laurent Schwartz

Plus en détail

Corrigé Pondichéry 1999

Corrigé Pondichéry 1999 Corrigé Pondichéry 999 EXERCICE. = 8 = i ). D'où les solutions de l'équation : z = + i et z = z = i. a. De manière immédiate : z = z = b. Soit θ la mesure principale de arg z : cos θ = Par suite arg z

Plus en détail

Équations aux Dérivées Partielles. Pedro Ferreira et Sylvie Mas-Gallic

Équations aux Dérivées Partielles. Pedro Ferreira et Sylvie Mas-Gallic Équations aux Dérivées Partielles Pedro Ferreira et Sylvie Mas-Gallic 11 décembre 21 Table des matières 1 Introduction 3 1.1 Exemple d une équation aux dérivées partielles........... 3 1.2 Rappels sur

Plus en détail

MATHEMATIQUES APPLIQUEES Equations aux dérivées partielles Cours et exercices corrigés

MATHEMATIQUES APPLIQUEES Equations aux dérivées partielles Cours et exercices corrigés MATHEMATIQUES APPLIQUEES Equations aux dérivées partielles Cours et exercices corrigés Département GPI 1ère année Avril 2005 INPT-ENSIACET 118 route de Narbonne 31077 Toulouse cedex 4 Mail : Xuan.Meyer@ensiacet.fr

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

MPSI PCSI PTSI. Julien Freslon polytechnicien, professeur agrégé de mathématiques en classe préparatoire au lycée Dessaignes de Blois.

MPSI PCSI PTSI. Julien Freslon polytechnicien, professeur agrégé de mathématiques en classe préparatoire au lycée Dessaignes de Blois. Mathématiques Exercices incontournables MPSI PCSI PTSI Julien Freslon polytechnicien, professeur agrégé de mathématiques en classe préparatoire au lycée Dessaignes de Blois. Jérôme Poineau polytechnicien,

Plus en détail