0utils mathematiques pour Sciences Physiques

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "0utils mathematiques pour Sciences Physiques"

Transcription

1 0utils mathematiques pour Sciences Physiques NorbertGarnier October29,2004 1

2 Contents 1 Nombrescomplexes Denition Proprietesdesnombrescomplexes Operationssurlesnombrescomplexes Addition/Soustraction Multiplication Division Representationtrigonometrique Representationexponentielle Exemplesd'application Fonctionsusuelles Fonctionscirculaires Formuleselementaires Fonctionscirculairesd'unesommeoud'unedierence Formulespourl'angledouble Formulesdelinearisation Formulesdefactorisation Fonctionslogarithmiquesetexponentielles Exponentiellecomplexe Derivation Denition Operationssurlesderivees Deriveeduproduitd'unefonctionparunscalaire Deriveed'unesomme/dierencededeuxfonctions Deriveed'unproduitdedeuxfonctions Deriveedel'inversed'unefonction Deriveed'unquotientdedeuxfonctions Deriveedelacompositiondedeuxfonctions

3 3.2.7 Deriveed'unefonctionreciproque Deriveesdefonctionsusuelles Dierentielledefonctionsauneouplusieursvariables Denition Exemplesdecalculdedierentielle ApplicationenPhysique Calculsd'erreursoucalculsd'incertitude Notiond'incertitude Calculsd'incertitudes Exemplesdecalculd'incertitude PrimitivesetIntegrales Primitivesconnuesouusuelles Reglesdecalcul Integrationparparties Changementdevariable Casdesfonctionstrigonometriques Lesfractionsrationnelles Application Developpementslimites Denition Developpementslimitesen Developpementslimitesen0defonctionsusuelles SeriedeFourier Formereelle Calculdescoecients Formecomplexe Calculdescoecients Application Developpementsousformereelle

4 7.3.2 Developpementsousformecomplexe TransformationdeFourier Denition DenitiondeladistributiondeDirac CalculdelatransformeedeFourierd'unefonction Applications Casd'unedistributiongaussienne Methodesderesolutiondecertaines equationsdierentielles Resolutiond'equationsdierentiellesacoecientsconstants Equationdierentielledupremierordreacoecientsconstantssanssecondmembre Equationdierentielledupremierordreacoecientsconstantsavecsecondmembreconstant Application Equationdierentielledusecondordreacoecientsconstantsetavec secondmembre Application Systemesdecoordonnees Coordonneescartesiennes Coordonneescylindriques Coordonneesspheriques Application

5 1 Nombres complexes 1.1 Denition L'ensembleCdesnombrescomplexesaeteintroduitdefaconapouvoirresoudrelesequations algebriquesdelaforme: anxn+an 1xn 1+::::::+a1x+a0=0 (1) Sil'onconsidereparexemplel'equationsuivante: ax2+bx+c=0 (2) Lasolutiondecetteequationestdonneepar: x1;2= 2a b p b2 2a 4ac (3) Orsilaquantiteb2 4ac<0cetteequationn'admetpasdesolutionreelle.Pourqu'unetelle solutionexiste,ilfaut^etrecapablededeterminerlaracinecarreed'unnombrereelnegatif.on denitalorsdesnombresdontlecarrepeut^etrenegatif;cesnombressontappeleslesnombres complexes. Unnombrecomplexezseradeniapartirdedeuxunitesdierentes: uneunitereelle(1)etuneuniteimaginaire(i)ayantlaproprietei2= 1.Cenombrecomplexe s'ecrirasouslaforme z=x+iy; x;y2r (4) ouxestappelelapartiereelledezetylapartieimaginairedez. x=<(z) ; y==(z) (5) 1.2 Proprietesdesnombrescomplexes Deuxnombrescomplexessontegauxsietseulementsileurspartiesreellessontegalesetleurs partiesimaginairessontegales. z 1=x1+iy1 ; z2=x2+iy2 z1=z2 5

6 x1=x2 ; y1=y2 Lesnombrescomplexesdontlapartiereelleestnullesontappelesnombresimaginairespurs. Pourchaquenombrecomplexe zondenitlenombrecomplexe zappelenombrecomplexe conjuguedezparlarelationsuivante: z=x {y; x;y2r 1.3 Operationssurlesnombrescomplexes Addition/Soustraction z 1 z2=(x1+iy1) (x2+iy2) =(x1 x2)+i(y1 y2) Multiplication z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2) =(x1x2 y1y2)+i(x1y2+y1x2) Division z2=x1+iy1 z1 =(x1+iy1)(x2 x2+iy2 iy2) (x2+iy2)(x2 iy2) =x1x2+y1y2 x2+y2 +iy1x2 x2+y2 x1y2 1.4 Representationtrigonometrique Onassocieaucomplexez=x+iylepointPdecoordonnees(x;y)denitsurlagure1. Ladistancer(distancedePaO)estdonneeparlarelation: r= p x2+y2etestl'angle positifquefaitopavecl'axehorizontal.onpeutalorsecrire: x=rcos y=rsin d'ou: z=r(cos+isin) 6

7 c'estcequel'onappelelaformetrigonometrique(ouformepolaire)dunombrecomplexez. r= p x2+y2=pzz estappelelemoduledezetl'argumentdez.verielesrelationssuivantes: x=rcos y=rsin tan=y etdeuxdecesrelationspermettentdedeniraunmultiplede2pres. x 1.5 Representationexponentielle Onpeutegalementrepresenterlenombrecomplexezsousuneformediteexponentielle,soit: z=rexp({) Cetterepresentationdesnombrescomplexesestparticulierementutiliseepourlamultiplication etladivision.eneet,soientlesdeuxnombrescomplexesz1etz2: z1=r1exp({1) ; z2=r2exp({2) z1z2=[r1exp({1)][r2exp({2)] =r1r2exp({[1+2]) z1 z2=r1exp({1) r2exp({2) =r1 r2exp({[1 2]) Elleestegalementemployeelorsdelaresolutiond'equationdierentiellecomportantunsecond membredetypesinusoidal. 7

8 1.6 Exemplesd'application Exemple1: Exprimerlescomplexes(a)1+i,(b) p3+isousformetrigonometrique. Reponses: 1+i=p2 cos 4 +isin 4 ; p3+i=2 cos5 6 +isin5 6 Exemple2: Exprimerlescomplexes(a)1,(b) 1,(c)i,(d) isousformeexponentielle. Reponses: 1=exp(i2k) ; 1=exp(i(2k+1)) i=exp i 2 +2k ; i=exp i k 8

9 2 Fonctions usuelles Lesfonctionslespluscouremmentrencontreessontlesfonctionscirculairesoutrigonometriques, commelesinus,lecosinus,latangente,etlesfonctionslogarithmiquesetexponentielles.certainesdeleursproprietessontrappeleesci-dessous. 2.1 Fonctionscirculaires Lafonctioncosinusestpaire,soitcos( x)=cosx. Lesfonctionssinusettangentesontimpaires,ellesverientalorslesrelations:sin( x)= sinx ettan( x)= tanx Formuleselementaires cos2x+sin2x=1;tanx=sinx cosx;1+tan2x= 1 cos2x Fonctionscirculairesd'unesommeoud'unedierence sin(x y)=sinxcosy cosxsiny cos(x y)=cosxcosy sinxsiny tan(x y)= 1 tanxtany tanx tany Formulespourl'angledouble sin(2x)=2sinxcosx cos(2x)=cos2x sin2x tan(2x)= 2tanx 1 tan2x 9

10 2.1.4 Formulesdelinearisation Cesformulessontsouventutiliseespourlecalculdeprimitive. Apartirdesrelationsprecedentes,onpeutobtenirlesformulesdelinearisationsuivantes: sinxcosy=1 (sin(x+y)+sin(x y)) cosxsiny=1 (sin(x+y) sin(x y)) cosxcosy=1 (cos(x+y)+cos(x y)) sinxsiny=1 2 (cos(x y) cos(x+y)) Formulesdefactorisation Cesformulessontsouventutiliseespoursimplieruneequation. cosx+cosy=2cos(x+y 2 )cos(x 2 y) cosx cosy= 2sin(x+y 2 )sin(x 2 y) sinx+siny=2sin(x+y )cos(x sinx siny=2cos(x+y 2 )sin(x 2 y) 2.2 Fonctionslogarithmiquesetexponentielles Lafonctionexponentielleestdeniepar: 8x2R; x!ex Safonctionreciproque,asavoirlafonctionlogarithmeneperienestdeniepar: 8x2]0;1[; x!lnx Cesfonctionsontcertainesproprietes: 8x et 8y2]0;1[; ln(xy)=lnx+lny ln x y =lnx lny ln(xn)=nlnx 10

11 8x et 8y2R; exey=ex+y ex ey=ex y (ex)n=enx 6 5 exp(x) 4 exp(1) 3 2 ln x exp(1) Figure1:Fonctionexponentielleetlogarithmique 11

12 2.3 Exponentiellecomplexe Denition:Onappelleexponentiellecomplexelafonctionquiaz2Cassocielaquantite: ez= 1 X n=0 z n n! Pourz={y,y2Ronalarelation: e{y=cosy+{siny Eneet,onpeutecrire: e {y= 1 X n=0 ({y) n n! = 1 X n=0 ({) 2n(2n)!+({)2n+1 y2n 1 y2n+1 X n=0 (2n+1)! = 1 X n=0 ( 1) n(2n)!+{ y2n 1 X n=0 ( 1) n y2n+1 (2n+1)! =cosy+{siny D'autrepartlafonctionexponentielleestperiodiquedeperiode2{. Eneet,onpeutecrire: ez+{2k=eze{2k =ez 12

13 3 Derivation 3.1 Denition Unefonctionfaunevariableestderivableenunpointx0desondomainededenitionsile nombrederivedelafonctionencepoint,notef0(x0),existeetestni. Cenombrederiveest donnepar: f0(x0)=lim!0 f(x 0+) f(x0) Sifestderivablesursondomainededenitionalorslafonctionderiveedefestdeniepar: f0:x! f0(x) 3.2 Operationssurlesderivees Deriveeduproduitd'unefonctionparunscalaire (f(x))0=f0(x) Deriveed'unesomme/dierencededeuxfonctions (f(x) g(x))0=f0(x) g0(x) Deriveed'unproduitdedeuxfonctions (f(x)g(x))0=f0(x)g(x)+f(x)g0(x) Deriveedel'inversed'unefonction 1 f(x) 0 = (f(x))2 f0(x) f(x) g(x) 0 =f0(x)g(x) (g(x))2 f(x)g0(x) Deriveed'unquotientdedeuxfonctions Deriveedelacompositiondedeuxfonctions (fg(x))0=f0g(x) g0(x) 13

14 3.2.7 Deriveed'unefonctionreciproque Soientfunefonctionderivabled'undomaineIsurundomaineJetf 1lafonctionreciproque associee. Silafonctionfestderivableenunpointx2I(avecf0(x)6=0),alorslafonction reciproquef 1estderivableaupointy=f(x)2Jetverielarelation: (f 1)0(y)= f0(x) 1 Enparticuliersilafonctionfestderivabled'undomaineIsurundomaineJalorslafonction reciproquef 1estderivableentoutpointdeJetverielarelation: 8x2J; (f 1)0(x)= f0(f 11(x)) Remarque1:ilsutd'intervertiryetxdansl'equationprecedente. Remarque2:cetteexpressionestutiliseepourlacalculdeladeriveedelafonctionarctanx. 3.3 Deriveesdefonctionsusuelles fonctionf(x) deriveef0(x) xn nxn 1 un(x) nu0(x)un 1(x) sinx cosx cosx sinx tanx cos2(x)=1+tan2x 1 ln(u(x)) u0(x) exp(u(x)) u0(x)exp(u(x)) u(x) arctanx 1 1+x2 14

15 4 Dierentielle de fonctions a une ou plusieurs variables Consideronsunefonctionscalairefaplusieursvariablesreelles(x1;x2;::::;xn)soitlafonction f(x1;x2;::::;xn). 4.1 Denition Ondenitladierentielledecettefonctionfparlagrandeur: ouencore: aunevariableonobtient: df=f(x1+dx1; x2+dx2; ; xn+dxn) f(x1; x2; ; xn) df=f(~r+d~r) f(~r) df=f(x+dx) f(x) =f0(x)dx representeladeriveepartielledelafonctionfparrapportalaiemevariable Laderiveepartiellerepresenteletauxdevariationdelafonctiondansunedirectiondonnee. Exemple f(u f(u 0;v0+) f(u0;v0) 15

16 4.2 Exemplesdecalculdedierentielle Exemple1: SoitT laperioded'oscillationd'unpendulesimpledanslecasdespetitesoscillations. T = 2(lg)1 2 avec et @l g1= l 1=2 =2l1=2( 2 1)g 3=2 = l1=2 g3=2 dt= (lg)1=2dl l1=2 g3=2dg Calculerladierentielledelafonctionscalaireadeuxvariablessuivante: f(r; )=Kcos Reponse: r2 df= 2Kcos r3 dr Ksin r2 d 16

17 4.3 ApplicationenPhysique Calculsd'erreursoucalculsd'incertitude Notiond'incertitude Laphysiqueestunescienceoul'onestsouventameneaeectuerdesmesures(laphysique estdependantedemesures).cesmesuressontdoncentacheesd'erreursd'originesdiverses.il yadeserreursduesal'environnementdelagrandeurmesuree,d'autresduesal'utilisation d'unappareildemesure,deserreursdelecturesurl'appareilutiliseetegalementdeserreurs aleatoires. Unresultatestgeneralementpresentesouslesformes: x=x0 x ou x0 xxx0+ x x0estuneestimationdelavaleurexacte(donneeparlamoyennesurquelquesmesures)et x estl'incertitudeabsolueestimeeparl'experimentateurentenantcomptedesdierentessources d'erreurs. xdeniegalementledegredeconancedelamesure. Ilesttelquelaprobabilitepourque x2[x0 x;x0 x]soitlapluseleveepossible. Onintroduitegalementlanotiond'incertituderelative u juj appeleeegalementprecision Calculsd'incertitudes Onvamaintenants'interesseraunproblemedierent. SoitunegrandeurphysiqueA(pour s'impliernonmesurable)denieparuneformulefaisantintervenird'autresgrandeursphysiques (a1;a2;::::;an)mesurablesetdontlesincertitudesontetedetermineesparunexperimentateur. Leproblemeestdedeterminerl'incertitudesurcettegrandeurA,soit A.Pourcelaoncalcule ladierentielledeaenprenantsoinderegroupertouslestermesayantlem^emefacteur dai ndan 17

18 n an 4.4 Exemplesdecalculd'incertitude Exemple1: L'angleAd'unprismeconstitued'unmateriaud'indice netleminimumdmdel'anglede deviationdsontliesparlarelationsuivante: 2 n=sina+dm sina2 OnmesureA=60,Dm=32aveclesincertitudes A= Dm=10: Determinationdel'expressionanalytiqueetdelavaleurnumeriquedel'incertituderelativesur lagrandeurn. Onutiliseraunemethodeclassique(calculdeladierentielle)etlamethodedeladierentielle logarithmique. Methodedeladierentiellelogarithmique. Reponse: n n =1 2 1 lnn=ln sina+dm 2 dn n =d sina+dm sina+dm 1 2 tana+dm 2 ln sina 2 d sina2 2 sina2 tana2 A tana+dm Dm Attention,lesangless'exprimentenradians. Application numerique: n n =2;5:

19 5 Primitives et Integrales Enphysiqueonestsouventameneacalculerdesintegralesetdoncadeterminerdesprimitives. Onneparleraiciqued'integralesdefonctionaunevariable. Pourcalculer I,ilfautpouvoir trouverunefonctionf(x)dontladeriveepremieresoitlafonctionf(x). I= Z b a f(x)dx=[f(x)]ba=f(b) F(a) Malheureusementcen'estpastoujourstressimpleetdansungrandnombredecascelareste m^emeimpossibleanalytiquement. Faceauncalculd'integraledeuxcasdegurepeuventsepresenter:soitlaprimitive F(x)de lafonctionf(x)estconnue,soitellenel'estpasetdanscecasondisposedecertainesregles decalcul. 5.1 Primitivesconnuesouusuelles fonctionf(x) primitivef(x) xn n+1xn+1 1 u0(x)un(x) n+1un+1(x) 1 1x u0(x) lnx u(x) lnu(x) exp(nx) 1nexp(nx) cosx sinx sinx cosx sinhx coshx coshx sinhx 5.2 Reglesdecalcul Integrationparparties Prenonsparexemplelecalculdel'integralesuivante: Zb a xlnxdx 19

20 Laprimitivedelafonction f(x)=xlnxn'estpasuneprimitiveconnueouusuelle. Pour calculercetteintegralenousallonsutiliserl'integrationparpartie.cettemethodeestbaseesur laformulesuivante: (uv)0=u0v+uv0 Apartirdecetteequationonpeutecrire: Zb a u0(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]ba Z b a u(x)v0(x)dx Cetteformuleserautiliseesilaprimitivedutermededroiteestplussimpleadeterminerque celledutermedegauche. Pournotreexempleilfautprocederdelafaconsuivante: u0(x)=x )u(x)=x2 2 v(x)=lnx )v0(x)=1 Enappliquantlaformuled'integrationparpartieonpeutecrire: x Zb 2 lnx b a Z b 2x 1dx a xlnxdx= x2 = x2 a x 2 b 4 a 2 lnx x2 Autreexempled'application,lecalculdel'integrale: Zb a xexp(x)dx=[xexp(x)]ba Z b a exp(x)dx =[(x 1)exp(x)]ba Changementdevariable Soitl'integralesuivanteacalculer: Zb a xpx 1dx Laprimitivedelafonctionf(x)=xpx 1n'estpasuneprimitiveconnueouusuelle. Pour calculercetteintegralenousallonsutiliserunemethodequiconsisteaeectuerunchangement devariabledefaconapouvoirdeniruneprimitive. L'ideeestderemplacerlaracinecarree parunefonctionlineaire.pourcelaonvaeectuerlechangementdevariablesuivant: t=px 1 20

21 Onobtientainsi: L'integrales'ecritalorssouslaforme: x=t2+1 )dx=2tdt Zb a xpx 1dx= pb Z 1 pa 1(t2+1)t2tdt = 2 5 t5+2 3 t3 pb pa 1 Laprimitivedelafonctionf(x)=xpx 1est 25(x 1)5=2+23(x 1)3= Casdesfonctionstrigonometriques Pourlecalculdesprimitivesetintegralesdefonctionstrigonometriquesilexisteplusieurs methodescommel'utilisationducosinusdel'angledouble,ladecompositiond'unproduiten somme(linearisation)ouencoreenfaisantapparaitredestermesdutype P(cosx)sinxou P(sinx)cosx. 1: Exemple Onutiliselarelationsuivante: I= Z sin2xdx cos2x=cos2x sin2x )sin2x=1 =1 2sin2x cos2x 2 )I= 1 2 x 1 4 sin2x I= Z cosxcos3xcos5xdx 2: Exemple Ondecomposejusqu'an'avoirplusquedestermeslineaires. cosxcos3x=1 2 [cos(x+3x)+cos(x 3x)] =1 2 [cos4x+cos2x] cosxcos3xcos5x=1 2 cos4xcos5x+1 2 cos2xcos5x =1 4 [cos9x+cos7x+cos3x+cosx] 21

22 Ennonobtient: I= sin9x+1 7 sin7x+1 3 sin3x+sinx 3: I= Exemple Z cos3xdx avec: cos3x=cosxcos2x =cosx(1 sin2x) I= sinx 3 1sin3x Lesfractionsrationnelles Unefractionrationnelleestdeniecommeetantlequotientdedeuxpolyn^omes. Pourcalculerlesprimitivesdecesfonctions,ilfaututiliserunetechniquebienparticuliere,que l'onappelleladecompositionenelementssimples. Onselimiteraiciaucasouledegredunumerateureststrictementinferieuraudegredu denominateur. Lamethodeutiliseeestillustreeparlesdeuxexemplessuivants: 1:Ondesiredetermineruneprimitivedelafonctionfsuivante: Exemple f(x)= x(x+1)2 1 Pourcelaondecomposelafonctionfenelementssimples,soit: f(x)=a x + (x+1)+ B (x+1)2 C LecalculpermetdedeterminerlavaleurdestroiscoecientsA,BetC. A=1;B=C= 1. Onpeutalorsecrirelafonctionfsouslaforme: f(x)=1 x + (x+1)+ 1 (x+1)2 1 Lesprimitivesdechacundestroistermessontsimplesadeterminer.SoitF(x)laprimitivede f(x): F(x)=lnjxj lnjx+1j+ (x+1) 1 22

23 2:Soitlafonctionsuivante: Exemple f(x)= (x2+1)(x x 1) Letermex2+1n'ayantpasderacinesreelles,onvaecrirefsouslaforme: f(x)= (x A1)+(Bx+C) (x2+1) LecalculpermetdedeterminerlavaleurdestroiscoecientsA,BetC. A=C=1=2;B= 1=2. Onpeutalorsecrirelafonctionfsouslaforme: f(x)=1 2 1 (x 1) 1 2 (x2+1) 1) LaprimitiveF1(x)dupremiertermeestsimpleadetermineretvaut: F1(x)=1 2 lnjx 1j Parcontreladeterminationdelaprimitive F2(x)dusecondtermeestmoinsimmediatea determiner.pourcelaonprocedeendeuxetapes: 1.Lapremiereconsisteafaireapparaitreaunumerateurladeriveedudenominateur.Pour celailsutd'ecrire: 1 2 (x2+1)= 1122x 2 (x2+1) 1 LaprimitivedupremiertermeestF2;1(x)etestdenieparl'expression: F2;1(x)= 1 4 ln(x2+1) 2.LasecondeetapeconsisteadetermineruneprimitiveF2;2(x)de: 1 2 (x2+1) 1 Cetteprimitiveestdonneepar: F2;2(x)=1 2 arctan(x) 23

24 5.2.5 Application Calculerlesprimitivessuivantes: a) Z cos2xdx= Z 1+cos2x 2 dx= x sin2x b) Z tanxdx= Z cosxdx=[ sinx lnjcosxj] c) Z cos2xdx=sinx(1 sin3x cos2x) cos2x dx= cosx+cosx 1 d) Z (a2+x2)3=2;(onposex=atant);= dx a 12[sint] e) Z p1+ax2 x dx; (delaformeu0(x)un(x));= a 1(1+ax2)1=2 f) Z x(1+ax2)3=2dx; (delaformeu0(x)un(x));= 5a 1(1+ax2)3=2 g) Z (x+1)3 x dx; (decompositionenelementssimples);= x (x+1)2 1 h) Z xsin(2x)dx; (integrationparpartie);= 1 2 xcos(2x) 1 2 sin(2x) i) Z x3 5x+2 5x2+4xdx; (decompositionenelementssimples);=1 2 lnjxj 3 7lnjx 1j+11 6 lnjx 4j 24

25 6 Developpements limites 6.1 Denition Soitunefonctionreelled'uneseulevariablereelle xdeniesurunintervallededenitioni. Soitx02I. Onditquelafonctionfpossedeundeveloppementlimited'ordren(n2N)au pointx0siilexisten+1nombresreels(c0;c1;:::;cn)telsquel'onpuisseecrirelarelation suivante: f(x)=c 0+c1(x x0)+:::+cn(x x0)n+(x x0)n(x); x!x0(x)=0 lim Silafonctionfestnfoisderivableenx0,onpeutalorsreecrirelarelationprecedentesousla forme: f(x)=f(x0)+f0(x0) 1! (x x0)+f00(x0) 2! (x x0)2+:::+f(n)(x0) n! (x x0)n+(x x0)n(x); x!x0(x)=0 lim 6.2 Developpementslimitesen0 f(x)=f(0)+f0(0) 1! x+f00(0) 2! x2+:::+f(n)(0) n! xn+xn(x); x!0(x)=0 lim 6.3 Developpementslimitesen0defonctionsusuelles ex=1+x+x2 3!+ +xn 2!+x3 n!+xn(x) ln(1+x)=x x2 2 +x ( 1)n 1xn n +xn(x) 1+x=1 1 x+x2 x3+ +( 1)nxn+xn(x) cosx=1 x2 2!+x4 4!+ +( 1)n(2n)!+x2n(x) sinx=x x3 3!+ +( 1)n+1 x2n 1 (2n 1)!+x2n(x) (1+x)m=1+mx+m(m 2! 1) x2+ +m(m 1) (m n! n+1) xn+xn(x) 25

26 7 Serie de Fourier 7.1 Formereelle Onconsidereunefonctionf(t)delavariablereelletetdeperiodeT. Cettefonctionverie donclarelation: f(t+nt)=f(t); avecn2z Souscertainesconditionsdedenitiondelafonctionetdecontinuitedecettederniereainsique desaderiveepremiere(conditionsdedirichlet),ilestalorspossiblederepresenterlafonction f(t)paruneseriedelaforme: f(t)=a X n=1 a ncos(n!0t)+ 1 X n=1 b nsin(n!0t) (6) danslaquellea0; an etbnsontdescoecientsindependantsdelavariable tet!0=2=t representeunepulsation. Cetteseries'appelleledeveloppementenseriedeFourierdelafonctionf(t). Pourdeterminercompletementcetteserie,ilfautdenirsescoecients Calculdescoecients ZT ZT ZT Pourdeterminercescoecients,nousallonsutiliserlesrelationssuivantes: cos(m!0t)cos(n!0t)dt=t 0 2 (m;n+m; n) sin(m!0t)sin(n!0t)dt=t 0 2 (m;n m; n) 0 cos(m!0t)sin(n!0t)dt=0 oum;nestlesymboledekroneckerdenipar: m;n=1m=n 0m6=n Pourcalculerlapremiereintegrale,oncommenceparunelinearisation. cos(m!0t)cos(n!0t)=1 2 (cos(m+n)!0t+cos(m n)!0t) (8) 26 (7)

27 onobtientalors: ZT cos(m!0t)cos(n!0t)dt=1 sin((m+n)!0t) 0 2 (m+n)!0 +sin((m n)!0t) T (m n)!0 0 (9) Cetteintegraleestnullesaufdanslescasoum= netm=n. Danscescasnousavons: Z T cos2(n!0t)dt=1 ZT (1+cos(2n!0t))dt =1 2 t+sin(2n!0t) T =T 0 (10) 2 Lesdeuxautresrelationssontdeniesenutilisantuncalculanalogueauprecedent. MultiplionsmaintenantlesdeuxmembresdelaseriedeFourier(enrenommantlesindices desommationn!mparcos(n!0t)etintegronsentre0ett. Onobtientalors: ZT 0 f(t)cos(n!0t)dt= Z T " 0 a0 2 + m=1 1 X a mcos(m!0t)+ m=1 1 X b msin(m!0t) # cos(n!0t)dt Touteslesintegralesdusecondmembresontnullesal'exceptionduterme: ZT 0 1X m=1 a mcos(m!0t)cos(n!0t)dt quiestnonnulpourm=netvautdanscecast=2. Onobtientalors: an=2 ZT T 0 f(t)cos(n!0t)dt (11) Paruncalculanalogue,ontrouve: bn=2 ZT T 0 f(t)sin(n!0t)dt (12) a0=2 T ZT 0 f(t)dt (13) 27

28 7.2 Formecomplexe SoitledeveloppementenseriedeFourierdelafonctionf(t): f(t)=a X n=1 a ncos(n!0t)+ 1 X n=1 b nsin(n!0t) Enutilisantlesrelationssuivantes: cos(n!0t)=exp({n!0t)+exp( 2 {n!0t) sin(n!0t)=exp({n!0t) exp( {n!0t) onpeutreecrirecedeveloppementsouslaforme: 2{ f(t)=a X n=1 (a n 2{bn) exp({n!0t)+ 1 X n=1 (a n+{bn) 2 exp( {n!0t) =a X n=1 (a n 2{bn) exp({n!0t)+ n= 1 X 1 (a n+{b 2 n) exp({n!0t) soitencore f(t)= 1 X 1 f nexp({n!0t) (14) avec fn=(an f0=a0 2 2{bn) pourn1 fn=(a n+{b 2 n) =f n pourn Calculdescoecients ZT Pourcalculerlescoecientsfnonutilelarelationsuivante: 0 exp({m!0t)exp( {n!0t)dt=tmn Apresavoirrenommerlesindicesdesommation(n!m)del'expressiondudeveloppementen seriedefourierdelafonctionf(t)soussaformecomplexe,multiplionslesdeuxmembrespar laquantiteexp( {n!0t)etintegronsentre0ett. Onobtientalors: ZT 0 f(t)exp( {n!0t)dt= Z T 0 1X 1 f mexp({m!0t)exp( {n!0t)dt 28

29 Leseultermenonnulestceluicorrespondantaucasoum=netsavaleurvautT.Onobtient ainsil'expressiondescoecientsrecherches,asavoir: fn=1 ZT T 0 f(t)exp( {n!0t)dt Onpeutensuitedeterminerlescoecientsanetbn. a0=2f0; b0=0 an=(fn+f n)=2<(fn); bn=f n { fn= 2=(fn) 29

30 7.3 Application Soitlafonctionfdelavariablereelletdeniepar: f(t)=10tt 2 0T 2tT avect=10. OndesireecrireundeveloppementenseriedeFourierdecettefonction. OncommencepardenirlapulsationassocieealeperiodeT,soit!0== Developpementsousformereelle Onchercheadeterminerlescoecientsa0; anetbn. Calcul dea0 a0=2 ZT T Calcul dean 0 f(t)dt =2 ZT=2 T 0 dt a0=1 an=2 ZT T 0 f(t)cos(n!0t)dt =2 ZT T 0 f(t)cos n2 T t dt =2 ZT=2 T 0 cos n2 T t dt an=0 30

31 Calcul debn an=2 ZT T 0 f(t)sin(n!0t)dt =2 ZT T 0 f(t)sin n2 T t dt =2 ZT=2 T 0 sin n2 T t dt T t dt T=2 0 = n 1 n2 = 1 cos n [cos(n) cos(0)] Deuxcassepresente: 1.sinestpair,alorsbn=0 2.sinestimpairalorsbn=2=(n) LedeveloppementenseriedeFourierdelafonctionfpermetd'ecrire: f(t)=1 2 + X nimpair 2 nsin n2 T t 31

32 7.3.2 Developpementsousformecomplexe Onchercheadeterminerlescoecientsfn. Calcul def0 f0=1 ZT T Calcul defn Deuxcassepresente: 1.sinestpair,alorsfn=0 2.sinestimpairalorsfn= {=(n) 0 f(t)dt =1 ZT=2 T 0 dt f0=1 2 a0=2f0 =1 fn=1 ZT T 0 f(t)exp {n2 T t dt =1 ZT=2 T 0 exp {n2 T t dt 2n[exp( {n) exp(0)] = { 2n[cos(n) 1] Onpeutalorsmaintenantdeterminerlescoecientsanetbndelaformereelle. Pournpair,ona: Pournimpair,ona: an=2<(fn) bn= 2=(fn) =0 =0 an=2<(fn) bn= 2=(fn) =0 = 2 n 32

33 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 f(t) n=0 n=3 n= ,2 Figure2:DeveloppementenseriedeFourierdelafonctionf(t) 33

34 8 Transformation de Fourier LatransformeedeFourierintervientdansdenombreuxdomainesdelaphysique(optique, traitementdusignal,cristallographie)etdelachimie(spectroscopieinfrarougepartransformee defourier,resonancemagnetiquenucleaire). LatransformeedeFourierpermetl'analysed'unsignalnonpasenfonctiondutempsmaisdans l'espacedesfrequencesoupulsations.onparlealorsducontenufrequentiel. 8.1 Denition ApartirdudeveloppementenseriedeFourierd'unefonctionf(t)periodique(deperiodeT)et enutilisantladerivationheuristique,ondenitlatransformeedefourier ~f(!)delafonction f(t)parlarelationsuivante: ~f(!)= Z +1 1 f(t)exp( {!t)dt Delam^emefacononpeutdenirlatransformeedeFourierinversede ~f(!)par: f(t)= 2 1 Z+1 1 ~f(!)exp({!t)d! 8.2 DenitiondeladistributiondeDirac Enappliquantsuccessivementlestransformationsf(t)!~f(!)et ~f(!)!f(t)oneectueune operationneutre.celapermetdedenirladistributiondedirac: (t)= 2 1 Z+1 1 exp({!t)d! quialaproprietesuivante: Z+1 1 f(t0)(t t0)dt0=f(t) 34

35 8.3 CalculdelatransformeedeFourierd'unefonction Consideronsunefonctionf delaseulevariablereellet. Onpeuttoujoursdeveloppercette fonctionenunepartiepairefpaireetunepartieimpairefimpaire. f(t)=f(t)+f( 2 t) +f(t) 2f( t) f(t)=fpaire(t)+fimpaire(t) LatransformeedeFourierdelafonctionfs'ecritalors: ~fpaire(!)= Z +1 ~f(!)=~fpaire(!)+~fimpaire(!) (f(t)+f( t)) 1 2 exp( {!t)dt =1 Z f(t)exp( {!t)dt+1 Z f( t)exp( {!t)dt =1 2 ~f(!)+1 2 Z 1 +1 ( f(t))exp({!t)dt =1 2 ~f(!)+1 2 Z+1 1 f(t)exp( {(!)t)dt =1 2 ~f(!)+1 2 ~f(!) Onobtientainsilesrelationssuivantes: ~fpaire(!)= ~f(!)+~f(!) 2 et ~fimpaire(!)= ~f(!) ~f( 2!) ~f(!)= Z +1 1 f(t)exp({!t)dt =~f(!) 35 Silafonctionf(t)estreelle,onpeutmontrerque:

36 NousobtenonsalorsquelatransformeedeFourierd'unefonctionpaireestellem^emeune fonctionpaireetunefonctionreelle. InversementlatransformeedeFourierd'unefonction impaireestunefonctionimpaireetimmaginairepure. Cecipeut^etreresumeparlesdeux equationssuivantes: ~fpaire(!)=< ~f(!) ~fimpaire(!)={= ~f(!) 36

37 8.4 Applications Casd'unedistributiongaussienne Soitladistributiongaussienneg(t)normaliseeetdelargeuramihauteur. g(t)= p22exp 1 22 t2 avec Z+1 1 g(t)dt=1 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, t Figure3:Distributiongaussienneavec=1:0;0:3 37

38 CalculonslatransformeedeFourierdecettedistributiongaussienne. ~g(!)= Z +1p22exp t exp( {!t)dt = p22 1 Z +1 1 exp t2+2{2!t 22 dt = p22 1 Z +1 1 exp (t+{2!)2+!24 22 dt =exp!22 2 p22 1 Z +1 1 exp (t+{2!)2 22 dt ~g(!)=exp!22 2 Remarque: LatranformeedeFourierd'unegaussiennedelargeur estunegaussiennede largeurinverse 1. 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, ω 15 Figure4:TranformeesdeFourierdesdistributionsgaussiennesavec=1:0;0:3 38

39 9 Methodes de resolution de certaines equations dierentielles Soitunefonctionyd'uneseulevariablereellex. 9.1 Resolutiond'equationsdierentiellesacoecientsconstants Equationdierentielledupremierordreacoecientsconstantssanssecond membre Soitl'equation: dy dx+ay=0 (15) avecaconstant2r Cetteequationpeut^etrereecritesouslaforme: dy y = adx soitenintegrant: )lny= ax+c )exp(lny)=exp( ax+c) )y=exp(c)exp( ax) )y(x)=kexp( ax) K est appelee constante d'integration et sera determinee a partir d'une condition initiale (x0;y0) Equationdierentielledupremierordreacoecientsconstantsavecsecond membreconstant Soitl'equation: dy dx+ay=b (16) 39

40 avecaetbdesconstantes2r Lasolutionydecetteequationestlasommededeuxsolutions: y1ety2,soit: y(x)=y1(x)+y2(x) y1estlasolutiongeneraledel'equationdierentiellesanssecondmembreetdoitdoncverier l'equation: dy1 dx+ay1=0 y2estlasolutionparticuliereetdoitverierl'equation: dy2 dx+ay2=b D'aprescequel'onavuprecedemment,lasolutiony1estdonneepar: y1(x)=kexp( ax) Lasolutionparticuliere y2estrechercheesouslam^emeformemathematiquequelesecond membre,soitdansnotrecassouslaformed'uneconstantey2=c2etdoitdoncverierl'equation: dy2 dx+ay2=b soit )ac2=b )C2=b )y2(x)=b a Lasolutionydel'equation(7)peutalorss'ecriresouslaforme: a y(x)=kexp( ax)+b a LaconstanteKseradetermineeapartirdesconditionsinitiales Application Lavitessevd'uncorpsponctueldemasseconstante menchutelibredansl'air(resistance K~vavecK=constante)obeital'equationdierentiellesuivante: dv dt +K m v=g 40

41 Sachantqu'autempst=t1lavitessevautv(t=t1)=v1,determinerl'expressiondelavitesse enfonctiondutemps. Reponse: v(t)=mg K + v1 mg K exp K m (t t1) 41

42 9.1.4 Equationdierentielledusecondordreacoecientsconstantsetavecsecondmembre Soitl'equation: ad2y dx2+bdy dx+cy=f (17) aveca,betcdesconstantes2retfunefonctiondex. Laresolutiondecetteequationdierentiellecomportedeuxetapes. consisteadeterminerlasolutiongeneraley1del'equationdierentielle sanssecondmembre.cettesolutiondoitverierl'equation: La premiere etape ad2y1 dx2 +bdy1 dx+cy1=0 Onprocededelafaconsuivante:onrecherchelasolutiony1souslaformey1(x)=Aexp(rx). Onobtientalorsl'equationcaracteristiquesuivante: ar2+br+c=0 dontlesracinesvontpermettrededeterminerlasolutiongeneraley1(x). Soit =b2 4aclediscriminentdel'equationcaracteristique.Selonlavaleuretlesignede nousobtiendronsdierentstypesdesolutions. Premier cas: Si >0,l'equationcaracteristiqueadmetdeuxsolutionsreellesdistinctes r1etr2deniespar: r1;2= b pb2 4ac Lasolutiongeneraley1(x)seraalorsdelaforme: 2a y1(x)=a1exp(r1x)+a2exp(r2x) aveca1eta2desconstantes2r. Second cas: Si = 0, l'equationcaracteristiqueadmetalorsuneracinedoublereelle r deniepar: r= 2a b Danscecas,lasolutiongeneraley1(x)s'ecrirasouslaforme: y1(x)=(a1x+a2)exp(rx) 42

43 aveca1eta2desconstantes2r. Troisieme cas: Si <0,l'equationcaracteristiquepossededeuxracinescomplexesconjugueesr1etr2deniespar: r1;2= b {p Lasolutiongeneraley1(x)seraalorsdelaforme: 2a y1(x)=a1exp(r1x)+a2exp(r2x) = A1exp { p 2a x +A2exp { p 2a x exp 2a bx etpourraegalements'exprimersouslesformes: y1(x)= A01cos p 2a x +A02sin p 2a x exp 2a bx ou y1(x)=a0cos p x+ exp 2a 2a bx a determiner une solution particuliere y2 veriant l'equation dierentielleavecsecondmembre.cettesolutionestrechercheesouslam^emeformemathematique quelesecondmembref. Ennlasolutiondel'equationdierentielle(8)estdeniepar: y(x)=y1(x)+y2(x) La seconde etape consiste 43

44 9.1.5 Application Resolutiondel'equationdierentielled'unoscillateurunidimensionelharmoniqueamortiet forceparuntermesinusoidal. Soitl'equation: my+h_y+ky=f0cost Lasolutiony(t)decetteequationdierentielleestdeniepar: y(t)=y1(t)+y2(t) ou y1(t)estlasolutiongeneraledel'equationdierentiellesanssecondmembreet y2(t)la solutionparticuliaire.suivantlavaleurdescoecients,lasolutiony1(t)estdonneeparundes troiscasdenisprecedemment. Ilrestealorsadeterminerlasolutionparticuliairey2(t). Cettesolutionestrechercheesousla m^emeformemathematiquequelesecondmembre,soitsouslaforme: y2(t)=acos(t+ ) Pourdeterminery2(t)ilnousfautdenirAet. Pourcelanousallonsutiliserlanotationcomplexequiconsisteaassocieraureel y2(t)un complexey2(t)dontlapartiereelleestegaleay2(t),soit: y2(t)=aexp[i(t+ )] Onobtientalorsl'equationdierentiellequedoitveriery2(t),soit: my2+h_y2+ky2=f0exp(it) Onpeutalorsecrirelarelationsuivante: Aexp(i )= (k m2)+ih F0 quivanouspermettrededenirdansunpremiertempslasolution y2(t)puislasolution y2(t)=<(y2(t))apartirdeladeterminationde A()et (). Enecrivantlecomplexea droitedel'egalitesousformeexponentielle,onobtient: A()= p(k m2)2+2h2 F0 ()= arctan(k h m2) 44

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

Université Joseph Fourier Premier semestre 2009/10. Licence première année - MAT11a - Groupe CHB-1. Contrôle Continu 1, le 9/10/2009

Université Joseph Fourier Premier semestre 2009/10. Licence première année - MAT11a - Groupe CHB-1. Contrôle Continu 1, le 9/10/2009 Université Joseph Fourier Premier semestre 9/ Licence première année - MATa - Groupe CHB- Contrôle Continu, le 9//9 Le contrôle dure heure. Questions de cours. ) Soit f :]a, b[ ]c, d[ unefonctionbijectiveetdérivabletelleque,pourtoutx

Plus en détail

Développements limités

Développements limités Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Développements limités Bernard Ycart Les développements limités sont l outil principal d approximation locale des fonctions. L objectif de ce chapitre

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Exercices et corrigés Mathématique générale Version β

Exercices et corrigés Mathématique générale Version β Université libre de Bruxelles Années académiques 2008-2050 Université catholique de Louvain Exercices et corrigés Mathématique générale Version β Laurent Claessens Nicolas Richard Dernière modification

Plus en détail

Premiers pas avec Mathematica

Premiers pas avec Mathematica Premiers pas avec Mathematica LP206 : Mathématiques pour physiciens I Année 2010/2011 1 Introduction Mathematica est un logiciel de calcul formel qui permet de manipuler des expressions mathématiques symboliques.

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Fonctions de plusieurs variables Bernard Ycart Ce chapitre contient des techniques que vous utiliserez très souvent en physique, mais les justifications

Plus en détail

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables.

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables. EXAMEN CORRIGE ANALYSE IV 9-6-9 informations: http://cag.epfl.ch sections IN + SC Prénom : Nom : Sciper : Section : Informations () L épreuve a une durée de 3 heures et 45 minutes. () Les feuilles jaunes

Plus en détail

Les travaux doivent être remis sous forme papier.

Les travaux doivent être remis sous forme papier. Physique mathématique II Calendrier: Date Pondération/note nale Matériel couvert ExercicesSérie 1 : 25 septembre 2014 5% RH&B: Ch. 3 ExercicesSérie 2 : 23 octobre 2014 5% RH&B: Ch. 12-13 Examen 1 : 24

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

Mathématiques I Section Architecture, EPFL

Mathématiques I Section Architecture, EPFL Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même

Plus en détail

Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné :

Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné : Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Plans tangents à un graphe, différentiabilité Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Développements limités usuels en 0

Développements limités usuels en 0 Développements limités usuels en 0 e x sh x ch x sin x cos x = + x! + x! + + xn n! + O ( x n+) = x + x3 3! + + xn+ (n + )! + O ( x n+3) = + x! + x4 4! + + xn (n)! + O ( x n+) = x x3 3! + + ( )n xn+ (n

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables et changements de variables

Fonctions de plusieurs variables et changements de variables Notes du cours d'équations aux Dérivées Partielles de l'isima, première année http://wwwisimafr/leborgne Fonctions de plusieurs variables et changements de variables Gilles Leborgne juin 006 Table des

Plus en détail

Introduction. aux équations différentielles. et aux dérivées partielles

Introduction. aux équations différentielles. et aux dérivées partielles Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr

Plus en détail

Formules de Taylor et développements limités

Formules de Taylor et développements limités Chapitre 4 Formules de Taylor et développements limités 4. Taylor-Lagrange Si a, b R, on note Int(a, b) l intervalle ouvert dont les bornes sont a et b, c est-à-dire Int(a, b) =]a, b[ si a b et Int(a,

Plus en détail

Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières

Plus en détail

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.

Plus en détail

Calcul différentiel et intégral

Calcul différentiel et intégral Chapitre 27. Calcul différentiel et intégral 27 Limites... 27 2 Limite en un point fini... 27 2 Limite à droite ou à gauche... 27 2 Limite à l infini... 27 2 Utilisation de conditions... 27 2 Dérivation...

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL

BACCALAUREAT GENERAL ACCALAUREAT GENERAL Session 2009 MATHÉMATIQUES - Série ES - Enseignement de Spécialité Liban EXERCICE 1 1) 2) C 3) C 4) A Explication 1. Chacun des logarithmes existe si et seulement si x > 4 et x > 2

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

Intégrales doubles et triples - M

Intégrales doubles et triples - M Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Corrigé Pondichéry 1999

Corrigé Pondichéry 1999 Corrigé Pondichéry 999 EXERCICE. = 8 = i ). D'où les solutions de l'équation : z = + i et z = z = i. a. De manière immédiate : z = z = b. Soit θ la mesure principale de arg z : cos θ = Par suite arg z

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

Maple: premiers calculs et premières applications

Maple: premiers calculs et premières applications TP Maple: premiers calculs et premières applications Maple: un logiciel de calcul formel Le logiciel Maple est un système de calcul formel. Alors que la plupart des logiciels de mathématiques utilisent

Plus en détail

MATHEMATIQUES APPLIQUEES Equations aux dérivées partielles Cours et exercices corrigés

MATHEMATIQUES APPLIQUEES Equations aux dérivées partielles Cours et exercices corrigés MATHEMATIQUES APPLIQUEES Equations aux dérivées partielles Cours et exercices corrigés Département GPI 1ère année Avril 2005 INPT-ENSIACET 118 route de Narbonne 31077 Toulouse cedex 4 Mail : Xuan.Meyer@ensiacet.fr

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

INTRODUCTION. 1 k 2. k=1

INTRODUCTION. 1 k 2. k=1 Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions :

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions : Probabilités I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : 1- Définitions : Ω : Ensemble dont les points w sont les résultats possibles de l expérience Des évènements A parties de Ω appartiennent à A une

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................

Plus en détail

CHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.

CHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées. CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

DUT Techniques de commercialisation Mathématiques et statistiques appliquées

DUT Techniques de commercialisation Mathématiques et statistiques appliquées DUT Techniques de commercialisation Mathématiques et statistiques appliquées Francois.Kauffmann@unicaen.fr Université de Caen Basse-Normandie 3 novembre 2014 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat

Plus en détail

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique : Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

Licence de Mathématiques 3

Licence de Mathématiques 3 Faculté des sciences et techniques Département de mathématiques 2004-2005 Licence de Mathématiques 3 M62 : Fonctions réelles de plusieurs variables Laurent Guillopé www.math.sciences.univ-nantes.fr/~guillope/m62/

Plus en détail

Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles

Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles Université de Nice-Sophia Antipolis Mémoire de Master 1 de Mathématiques Année 2006-2007 Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles Auteurs : Clémence MINAZZO - Kelsey RIDER Responsable

Plus en détail

Compte rendu des TP matlab

Compte rendu des TP matlab Compte rendu des TP matlab Krell Stella, Minjeaud Sebastian 18 décembre 006 1 TP1, Discrétisation de problèmes elliptiques linéaires 1d Soient > 0, a R, b 0, c, d R et f C([0, 1], R). On cerce à approcer

Plus en détail

Chapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul

Chapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul DERIVEES ET REGLES DE CALCULS 69 Chapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul Prérequis: Généralités sur les fonctions, Introduction dérivée Requis pour: Croissance, Optimisation, Études de fct.

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail

ce n est pas un livre auto-suffisant (il est loin d être exhaustif )!

ce n est pas un livre auto-suffisant (il est loin d être exhaustif )! L MASS 1/13 Aide-mémoire et exercices corrigés. USTV MS41 Optimisation I Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 Limites et continuité 13 3 Dérivabilité et différentiabilité, fonctions

Plus en détail

Onveutetudierl'equationdierentiellesuivante

Onveutetudierl'equationdierentiellesuivante Quelques resultats sur l'equation des ondes Onveutetudierl'equationdierentiellesuivante (Ondes) @tu xu=f surr Rd: C'est dratique une equation +jj designature(;d).cettenoteestorganiseedela hyperbolique

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Lois de probabilité à densité Loi normale

Lois de probabilité à densité Loi normale DERNIÈRE IMPRESSIN LE 31 mars 2015 à 14:11 Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières 1 Lois à densité 2 1.1 Introduction................................ 2 1.2 Densité de probabilité

Plus en détail

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements

Plus en détail

Fonctions Analytiques

Fonctions Analytiques 5 Chapitre Fonctions Analytiques. Le plan complexe.. Rappels Soit z C, alors!(x,y) IR 2 tel que z = x + iy. On définit le module de z comme z = x 2 + y 2. On peut aussi repérer z par des coordonnées polaires,

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires 2MA01-Licence de Mathématiques Espaces vectoriels Exercice 1 Soit E un espace vectoriel. Pour x, y E et λ, µ K, montrer

Plus en détail

Manuel de l utilisateur

Manuel de l utilisateur Manuel de l utilisateur Traduit par Arnaud Collet Pour en savoir plus sur les graphes de fonctions, le tracé des tableaux de valeurs, la résolution des équations, les transformations, et plus encore! Si

Plus en détail

Equations différentielles linéaires à coefficients constants

Equations différentielles linéaires à coefficients constants Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I

Plus en détail

TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires

TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires I ) Ecrire l'expression analytique des signaux représentés sur les figures suivantes à l'aide de signaux particuliers. Dans le cas du signal y(t) trouver

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 : Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1

Plus en détail

Tout ce qu il faut savoir en math

Tout ce qu il faut savoir en math Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion

Plus en détail

Introduction aux inégalités

Introduction aux inégalités Introduction aux inégalités -cours- Razvan Barbulescu ENS, 8 février 0 Inégalité des moyennes Faisons d abord la liste des propritétés simples des inégalités: a a et b b a + b a + b ; s 0 et a a sa sa

Plus en détail

Tutorat 2 de Mathématiques (1ère année)

Tutorat 2 de Mathématiques (1ère année) Tutorat 2 de Mathématiques (ère année) 9//200 Transformée de Radon et Tomographie par Rayons X Compte-rendu à déposer svp le casier de mon bureau. N hésitez pas à me contacter en cas de difficultés majeures

Plus en détail

Chapitre III : Fonctions réelles à une variable réelle. Notion de Limite (ses variantes) et Théorèmes d'analyse

Chapitre III : Fonctions réelles à une variable réelle. Notion de Limite (ses variantes) et Théorèmes d'analyse Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014 Rabat, Maroc Filière DEUG : Sciences Mathématiques et Informatique (SMI) et

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

C1 : Fonctions de plusieurs variables

C1 : Fonctions de plusieurs variables 1er semestre 2012/13 CPUMP 3 U 11 : Abrégé de cours Compléments Analyse 3 : fonctions analytiques Les notes suivantes, disponibles à l adresse http://www.iecn.u-nancy.fr/~bertram/, contiennent les définitions

Plus en détail

Analyse Numérique : SMA-SMI S4 Cours, exercices et examens

Analyse Numérique : SMA-SMI S4 Cours, exercices et examens Analyse Numérique : SMA-SMI S4 Cours, exercices et examens Boutayeb A, Derouich M, Lamlili M et Boutayeb W. Table des matières Résolution numérique de systèmes linéaires AX = B 5. Méthodes directes de

Plus en détail

Quelques contrôle de Première S

Quelques contrôle de Première S Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Quantification Scalaire et Prédictive

Quantification Scalaire et Prédictive Quantification Scalaire et Prédictive Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 7 Décembre 2012 M. Cagnazzo Quantification Scalaire et Prédictive 1/64 Plan Introduction

Plus en détail

Équations non linéaires

Équations non linéaires Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et

Plus en détail

Université de Nice-Sophia Antipolis. Département de Mathématiques

Université de Nice-Sophia Antipolis. Département de Mathématiques é Université de Nice-Sophia Antipolis Département de Mathématiques Chaînes De Markov Décision Théorie des jeux Optimisation DEUG MASS :OPTION année 4-5 D.SOUBIRAN-ZONE ANALYSE de la DECISION année - Cours

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Fonctions analytiques

Fonctions analytiques CHAPITRE Fonctions analytiques Les principaux résultats à retenir : soit U un ouvert de C et f : U C. f est analytique sur U si et seulement si f est développable en série entière au voisinage de chaque

Plus en détail

Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)

Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008) Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut

Plus en détail

3. Caractéristiques et fonctions d une v.a.

3. Caractéristiques et fonctions d une v.a. 3. Caractéristiques et fonctions d une v.a. MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v2) MTH2302D: fonctions d une v.a. 1/32 Plan 1. Caractéristiques d une distribution 2. Fonctions

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

Chapitre 0 Introduction à la cinématique

Chapitre 0 Introduction à la cinématique Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Cours d Analyse I et II

Cours d Analyse I et II ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres

Plus en détail

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes

Plus en détail

Mais comment on fait pour...

Mais comment on fait pour... Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

Fonctions de deux variables. Mai 2011

Fonctions de deux variables. Mai 2011 Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs

Plus en détail

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 mat231-exo-03.tex (29 septembre 2008) Feuille d exercices n o 3 Exercice 3.1 Soit K un corps commutatif et soit {P 0, P 1,... P n } une famille de polynômes de

Plus en détail

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B EXERCICE 1 (12 points) Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d une équation différentielle On considère

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Préparation à l'examen écrit de maturité Mathématiques 2013

Préparation à l'examen écrit de maturité Mathématiques 2013 Wechter Loïc Mturité 2013 Mthémtiques Cours de M. Flcoz 2013 Préprtion à l'exmen écrit de mturité Mthémtiques 2013 1.Primitives et intégrles 1.1Primitives (CRM pp.77-80) Une primitive pourrit se définir

Plus en détail