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1 0utils mathematiques pour Sciences Physiques NorbertGarnier October29,2004 1

2 Contents 1 Nombrescomplexes Denition Proprietesdesnombrescomplexes Operationssurlesnombrescomplexes Addition/Soustraction Multiplication Division Representationtrigonometrique Representationexponentielle Exemplesd'application Fonctionsusuelles Fonctionscirculaires Formuleselementaires Fonctionscirculairesd'unesommeoud'unedierence Formulespourl'angledouble Formulesdelinearisation Formulesdefactorisation Fonctionslogarithmiquesetexponentielles Exponentiellecomplexe Derivation Denition Operationssurlesderivees Deriveeduproduitd'unefonctionparunscalaire Deriveed'unesomme/dierencededeuxfonctions Deriveed'unproduitdedeuxfonctions Deriveedel'inversed'unefonction Deriveed'unquotientdedeuxfonctions Deriveedelacompositiondedeuxfonctions

3 3.2.7 Deriveed'unefonctionreciproque Deriveesdefonctionsusuelles Dierentielledefonctionsauneouplusieursvariables Denition Exemplesdecalculdedierentielle ApplicationenPhysique Calculsd'erreursoucalculsd'incertitude Notiond'incertitude Calculsd'incertitudes Exemplesdecalculd'incertitude PrimitivesetIntegrales Primitivesconnuesouusuelles Reglesdecalcul Integrationparparties Changementdevariable Casdesfonctionstrigonometriques Lesfractionsrationnelles Application Developpementslimites Denition Developpementslimitesen Developpementslimitesen0defonctionsusuelles SeriedeFourier Formereelle Calculdescoecients Formecomplexe Calculdescoecients Application Developpementsousformereelle

4 7.3.2 Developpementsousformecomplexe TransformationdeFourier Denition DenitiondeladistributiondeDirac CalculdelatransformeedeFourierd'unefonction Applications Casd'unedistributiongaussienne Methodesderesolutiondecertaines equationsdierentielles Resolutiond'equationsdierentiellesacoecientsconstants Equationdierentielledupremierordreacoecientsconstantssanssecondmembre Equationdierentielledupremierordreacoecientsconstantsavecsecondmembreconstant Application Equationdierentielledusecondordreacoecientsconstantsetavec secondmembre Application Systemesdecoordonnees Coordonneescartesiennes Coordonneescylindriques Coordonneesspheriques Application

5 1 Nombres complexes 1.1 Denition L'ensembleCdesnombrescomplexesaeteintroduitdefaconapouvoirresoudrelesequations algebriquesdelaforme: anxn+an 1xn 1+::::::+a1x+a0=0 (1) Sil'onconsidereparexemplel'equationsuivante: ax2+bx+c=0 (2) Lasolutiondecetteequationestdonneepar: x1;2= 2a b p b2 2a 4ac (3) Orsilaquantiteb2 4ac<0cetteequationn'admetpasdesolutionreelle.Pourqu'unetelle solutionexiste,ilfaut^etrecapablededeterminerlaracinecarreed'unnombrereelnegatif.on denitalorsdesnombresdontlecarrepeut^etrenegatif;cesnombressontappeleslesnombres complexes. Unnombrecomplexezseradeniapartirdedeuxunitesdierentes: uneunitereelle(1)etuneuniteimaginaire(i)ayantlaproprietei2= 1.Cenombrecomplexe s'ecrirasouslaforme z=x+iy; x;y2r (4) ouxestappelelapartiereelledezetylapartieimaginairedez. x=<(z) ; y==(z) (5) 1.2 Proprietesdesnombrescomplexes Deuxnombrescomplexessontegauxsietseulementsileurspartiesreellessontegalesetleurs partiesimaginairessontegales. z 1=x1+iy1 ; z2=x2+iy2 z1=z2 5

6 x1=x2 ; y1=y2 Lesnombrescomplexesdontlapartiereelleestnullesontappelesnombresimaginairespurs. Pourchaquenombrecomplexe zondenitlenombrecomplexe zappelenombrecomplexe conjuguedezparlarelationsuivante: z=x {y; x;y2r 1.3 Operationssurlesnombrescomplexes Addition/Soustraction z 1 z2=(x1+iy1) (x2+iy2) =(x1 x2)+i(y1 y2) Multiplication z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2) =(x1x2 y1y2)+i(x1y2+y1x2) Division z2=x1+iy1 z1 =(x1+iy1)(x2 x2+iy2 iy2) (x2+iy2)(x2 iy2) =x1x2+y1y2 x2+y2 +iy1x2 x2+y2 x1y2 1.4 Representationtrigonometrique Onassocieaucomplexez=x+iylepointPdecoordonnees(x;y)denitsurlagure1. Ladistancer(distancedePaO)estdonneeparlarelation: r= p x2+y2etestl'angle positifquefaitopavecl'axehorizontal.onpeutalorsecrire: x=rcos y=rsin d'ou: z=r(cos+isin) 6

7 c'estcequel'onappelelaformetrigonometrique(ouformepolaire)dunombrecomplexez. r= p x2+y2=pzz estappelelemoduledezetl'argumentdez.verielesrelationssuivantes: x=rcos y=rsin tan=y etdeuxdecesrelationspermettentdedeniraunmultiplede2pres. x 1.5 Representationexponentielle Onpeutegalementrepresenterlenombrecomplexezsousuneformediteexponentielle,soit: z=rexp({) Cetterepresentationdesnombrescomplexesestparticulierementutiliseepourlamultiplication etladivision.eneet,soientlesdeuxnombrescomplexesz1etz2: z1=r1exp({1) ; z2=r2exp({2) z1z2=[r1exp({1)][r2exp({2)] =r1r2exp({[1+2]) z1 z2=r1exp({1) r2exp({2) =r1 r2exp({[1 2]) Elleestegalementemployeelorsdelaresolutiond'equationdierentiellecomportantunsecond membredetypesinusoidal. 7

8 1.6 Exemplesd'application Exemple1: Exprimerlescomplexes(a)1+i,(b) p3+isousformetrigonometrique. Reponses: 1+i=p2 cos 4 +isin 4 ; p3+i=2 cos5 6 +isin5 6 Exemple2: Exprimerlescomplexes(a)1,(b) 1,(c)i,(d) isousformeexponentielle. Reponses: 1=exp(i2k) ; 1=exp(i(2k+1)) i=exp i 2 +2k ; i=exp i k 8

9 2 Fonctions usuelles Lesfonctionslespluscouremmentrencontreessontlesfonctionscirculairesoutrigonometriques, commelesinus,lecosinus,latangente,etlesfonctionslogarithmiquesetexponentielles.certainesdeleursproprietessontrappeleesci-dessous. 2.1 Fonctionscirculaires Lafonctioncosinusestpaire,soitcos( x)=cosx. Lesfonctionssinusettangentesontimpaires,ellesverientalorslesrelations:sin( x)= sinx ettan( x)= tanx Formuleselementaires cos2x+sin2x=1;tanx=sinx cosx;1+tan2x= 1 cos2x Fonctionscirculairesd'unesommeoud'unedierence sin(x y)=sinxcosy cosxsiny cos(x y)=cosxcosy sinxsiny tan(x y)= 1 tanxtany tanx tany Formulespourl'angledouble sin(2x)=2sinxcosx cos(2x)=cos2x sin2x tan(2x)= 2tanx 1 tan2x 9

10 2.1.4 Formulesdelinearisation Cesformulessontsouventutiliseespourlecalculdeprimitive. Apartirdesrelationsprecedentes,onpeutobtenirlesformulesdelinearisationsuivantes: sinxcosy=1 (sin(x+y)+sin(x y)) cosxsiny=1 (sin(x+y) sin(x y)) cosxcosy=1 (cos(x+y)+cos(x y)) sinxsiny=1 2 (cos(x y) cos(x+y)) Formulesdefactorisation Cesformulessontsouventutiliseespoursimplieruneequation. cosx+cosy=2cos(x+y 2 )cos(x 2 y) cosx cosy= 2sin(x+y 2 )sin(x 2 y) sinx+siny=2sin(x+y )cos(x sinx siny=2cos(x+y 2 )sin(x 2 y) 2.2 Fonctionslogarithmiquesetexponentielles Lafonctionexponentielleestdeniepar: 8x2R; x!ex Safonctionreciproque,asavoirlafonctionlogarithmeneperienestdeniepar: 8x2]0;1[; x!lnx Cesfonctionsontcertainesproprietes: 8x et 8y2]0;1[; ln(xy)=lnx+lny ln x y =lnx lny ln(xn)=nlnx 10

11 8x et 8y2R; exey=ex+y ex ey=ex y (ex)n=enx 6 5 exp(x) 4 exp(1) 3 2 ln x exp(1) Figure1:Fonctionexponentielleetlogarithmique 11

12 2.3 Exponentiellecomplexe Denition:Onappelleexponentiellecomplexelafonctionquiaz2Cassocielaquantite: ez= 1 X n=0 z n n! Pourz={y,y2Ronalarelation: e{y=cosy+{siny Eneet,onpeutecrire: e {y= 1 X n=0 ({y) n n! = 1 X n=0 ({) 2n(2n)!+({)2n+1 y2n 1 y2n+1 X n=0 (2n+1)! = 1 X n=0 ( 1) n(2n)!+{ y2n 1 X n=0 ( 1) n y2n+1 (2n+1)! =cosy+{siny D'autrepartlafonctionexponentielleestperiodiquedeperiode2{. Eneet,onpeutecrire: ez+{2k=eze{2k =ez 12

13 3 Derivation 3.1 Denition Unefonctionfaunevariableestderivableenunpointx0desondomainededenitionsile nombrederivedelafonctionencepoint,notef0(x0),existeetestni. Cenombrederiveest donnepar: f0(x0)=lim!0 f(x 0+) f(x0) Sifestderivablesursondomainededenitionalorslafonctionderiveedefestdeniepar: f0:x! f0(x) 3.2 Operationssurlesderivees Deriveeduproduitd'unefonctionparunscalaire (f(x))0=f0(x) Deriveed'unesomme/dierencededeuxfonctions (f(x) g(x))0=f0(x) g0(x) Deriveed'unproduitdedeuxfonctions (f(x)g(x))0=f0(x)g(x)+f(x)g0(x) Deriveedel'inversed'unefonction 1 f(x) 0 = (f(x))2 f0(x) f(x) g(x) 0 =f0(x)g(x) (g(x))2 f(x)g0(x) Deriveed'unquotientdedeuxfonctions Deriveedelacompositiondedeuxfonctions (fg(x))0=f0g(x) g0(x) 13

14 3.2.7 Deriveed'unefonctionreciproque Soientfunefonctionderivabled'undomaineIsurundomaineJetf 1lafonctionreciproque associee. Silafonctionfestderivableenunpointx2I(avecf0(x)6=0),alorslafonction reciproquef 1estderivableaupointy=f(x)2Jetverielarelation: (f 1)0(y)= f0(x) 1 Enparticuliersilafonctionfestderivabled'undomaineIsurundomaineJalorslafonction reciproquef 1estderivableentoutpointdeJetverielarelation: 8x2J; (f 1)0(x)= f0(f 11(x)) Remarque1:ilsutd'intervertiryetxdansl'equationprecedente. Remarque2:cetteexpressionestutiliseepourlacalculdeladeriveedelafonctionarctanx. 3.3 Deriveesdefonctionsusuelles fonctionf(x) deriveef0(x) xn nxn 1 un(x) nu0(x)un 1(x) sinx cosx cosx sinx tanx cos2(x)=1+tan2x 1 ln(u(x)) u0(x) exp(u(x)) u0(x)exp(u(x)) u(x) arctanx 1 1+x2 14

15 4 Dierentielle de fonctions a une ou plusieurs variables Consideronsunefonctionscalairefaplusieursvariablesreelles(x1;x2;::::;xn)soitlafonction f(x1;x2;::::;xn). 4.1 Denition Ondenitladierentielledecettefonctionfparlagrandeur: ouencore: aunevariableonobtient: df=f(x1+dx1; x2+dx2; ; xn+dxn) f(x1; x2; ; xn) df=f(~r+d~r) f(~r) df=f(x+dx) f(x) =f0(x)dx representeladeriveepartielledelafonctionfparrapportalaiemevariable Laderiveepartiellerepresenteletauxdevariationdelafonctiondansunedirectiondonnee. Exemple f(u f(u 0;v0+) f(u0;v0) 15

16 4.2 Exemplesdecalculdedierentielle Exemple1: SoitT laperioded'oscillationd'unpendulesimpledanslecasdespetitesoscillations. T = 2(lg)1 2 avec et @l g1= l 1=2 =2l1=2( 2 1)g 3=2 = l1=2 g3=2 dt= (lg)1=2dl l1=2 g3=2dg Calculerladierentielledelafonctionscalaireadeuxvariablessuivante: f(r; )=Kcos Reponse: r2 df= 2Kcos r3 dr Ksin r2 d 16

17 4.3 ApplicationenPhysique Calculsd'erreursoucalculsd'incertitude Notiond'incertitude Laphysiqueestunescienceoul'onestsouventameneaeectuerdesmesures(laphysique estdependantedemesures).cesmesuressontdoncentacheesd'erreursd'originesdiverses.il yadeserreursduesal'environnementdelagrandeurmesuree,d'autresduesal'utilisation d'unappareildemesure,deserreursdelecturesurl'appareilutiliseetegalementdeserreurs aleatoires. Unresultatestgeneralementpresentesouslesformes: x=x0 x ou x0 xxx0+ x x0estuneestimationdelavaleurexacte(donneeparlamoyennesurquelquesmesures)et x estl'incertitudeabsolueestimeeparl'experimentateurentenantcomptedesdierentessources d'erreurs. xdeniegalementledegredeconancedelamesure. Ilesttelquelaprobabilitepourque x2[x0 x;x0 x]soitlapluseleveepossible. Onintroduitegalementlanotiond'incertituderelative u juj appeleeegalementprecision Calculsd'incertitudes Onvamaintenants'interesseraunproblemedierent. SoitunegrandeurphysiqueA(pour s'impliernonmesurable)denieparuneformulefaisantintervenird'autresgrandeursphysiques (a1;a2;::::;an)mesurablesetdontlesincertitudesontetedetermineesparunexperimentateur. Leproblemeestdedeterminerl'incertitudesurcettegrandeurA,soit A.Pourcelaoncalcule ladierentielledeaenprenantsoinderegroupertouslestermesayantlem^emefacteur dai ndan 17

18 n an 4.4 Exemplesdecalculd'incertitude Exemple1: L'angleAd'unprismeconstitued'unmateriaud'indice netleminimumdmdel'anglede deviationdsontliesparlarelationsuivante: 2 n=sina+dm sina2 OnmesureA=60,Dm=32aveclesincertitudes A= Dm=10: Determinationdel'expressionanalytiqueetdelavaleurnumeriquedel'incertituderelativesur lagrandeurn. Onutiliseraunemethodeclassique(calculdeladierentielle)etlamethodedeladierentielle logarithmique. Methodedeladierentiellelogarithmique. Reponse: n n =1 2 1 lnn=ln sina+dm 2 dn n =d sina+dm sina+dm 1 2 tana+dm 2 ln sina 2 d sina2 2 sina2 tana2 A tana+dm Dm Attention,lesangless'exprimentenradians. Application numerique: n n =2;5:

19 5 Primitives et Integrales Enphysiqueonestsouventameneacalculerdesintegralesetdoncadeterminerdesprimitives. Onneparleraiciqued'integralesdefonctionaunevariable. Pourcalculer I,ilfautpouvoir trouverunefonctionf(x)dontladeriveepremieresoitlafonctionf(x). I= Z b a f(x)dx=[f(x)]ba=f(b) F(a) Malheureusementcen'estpastoujourstressimpleetdansungrandnombredecascelareste m^emeimpossibleanalytiquement. Faceauncalculd'integraledeuxcasdegurepeuventsepresenter:soitlaprimitive F(x)de lafonctionf(x)estconnue,soitellenel'estpasetdanscecasondisposedecertainesregles decalcul. 5.1 Primitivesconnuesouusuelles fonctionf(x) primitivef(x) xn n+1xn+1 1 u0(x)un(x) n+1un+1(x) 1 1x u0(x) lnx u(x) lnu(x) exp(nx) 1nexp(nx) cosx sinx sinx cosx sinhx coshx coshx sinhx 5.2 Reglesdecalcul Integrationparparties Prenonsparexemplelecalculdel'integralesuivante: Zb a xlnxdx 19

20 Laprimitivedelafonction f(x)=xlnxn'estpasuneprimitiveconnueouusuelle. Pour calculercetteintegralenousallonsutiliserl'integrationparpartie.cettemethodeestbaseesur laformulesuivante: (uv)0=u0v+uv0 Apartirdecetteequationonpeutecrire: Zb a u0(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]ba Z b a u(x)v0(x)dx Cetteformuleserautiliseesilaprimitivedutermededroiteestplussimpleadeterminerque celledutermedegauche. Pournotreexempleilfautprocederdelafaconsuivante: u0(x)=x )u(x)=x2 2 v(x)=lnx )v0(x)=1 Enappliquantlaformuled'integrationparpartieonpeutecrire: x Zb 2 lnx b a Z b 2x 1dx a xlnxdx= x2 = x2 a x 2 b 4 a 2 lnx x2 Autreexempled'application,lecalculdel'integrale: Zb a xexp(x)dx=[xexp(x)]ba Z b a exp(x)dx =[(x 1)exp(x)]ba Changementdevariable Soitl'integralesuivanteacalculer: Zb a xpx 1dx Laprimitivedelafonctionf(x)=xpx 1n'estpasuneprimitiveconnueouusuelle. Pour calculercetteintegralenousallonsutiliserunemethodequiconsisteaeectuerunchangement devariabledefaconapouvoirdeniruneprimitive. L'ideeestderemplacerlaracinecarree parunefonctionlineaire.pourcelaonvaeectuerlechangementdevariablesuivant: t=px 1 20

21 Onobtientainsi: L'integrales'ecritalorssouslaforme: x=t2+1 )dx=2tdt Zb a xpx 1dx= pb Z 1 pa 1(t2+1)t2tdt = 2 5 t5+2 3 t3 pb pa 1 Laprimitivedelafonctionf(x)=xpx 1est 25(x 1)5=2+23(x 1)3= Casdesfonctionstrigonometriques Pourlecalculdesprimitivesetintegralesdefonctionstrigonometriquesilexisteplusieurs methodescommel'utilisationducosinusdel'angledouble,ladecompositiond'unproduiten somme(linearisation)ouencoreenfaisantapparaitredestermesdutype P(cosx)sinxou P(sinx)cosx. 1: Exemple Onutiliselarelationsuivante: I= Z sin2xdx cos2x=cos2x sin2x )sin2x=1 =1 2sin2x cos2x 2 )I= 1 2 x 1 4 sin2x I= Z cosxcos3xcos5xdx 2: Exemple Ondecomposejusqu'an'avoirplusquedestermeslineaires. cosxcos3x=1 2 [cos(x+3x)+cos(x 3x)] =1 2 [cos4x+cos2x] cosxcos3xcos5x=1 2 cos4xcos5x+1 2 cos2xcos5x =1 4 [cos9x+cos7x+cos3x+cosx] 21

22 Ennonobtient: I= sin9x+1 7 sin7x+1 3 sin3x+sinx 3: I= Exemple Z cos3xdx avec: cos3x=cosxcos2x =cosx(1 sin2x) I= sinx 3 1sin3x Lesfractionsrationnelles Unefractionrationnelleestdeniecommeetantlequotientdedeuxpolyn^omes. Pourcalculerlesprimitivesdecesfonctions,ilfaututiliserunetechniquebienparticuliere,que l'onappelleladecompositionenelementssimples. Onselimiteraiciaucasouledegredunumerateureststrictementinferieuraudegredu denominateur. Lamethodeutiliseeestillustreeparlesdeuxexemplessuivants: 1:Ondesiredetermineruneprimitivedelafonctionfsuivante: Exemple f(x)= x(x+1)2 1 Pourcelaondecomposelafonctionfenelementssimples,soit: f(x)=a x + (x+1)+ B (x+1)2 C LecalculpermetdedeterminerlavaleurdestroiscoecientsA,BetC. A=1;B=C= 1. Onpeutalorsecrirelafonctionfsouslaforme: f(x)=1 x + (x+1)+ 1 (x+1)2 1 Lesprimitivesdechacundestroistermessontsimplesadeterminer.SoitF(x)laprimitivede f(x): F(x)=lnjxj lnjx+1j+ (x+1) 1 22

23 2:Soitlafonctionsuivante: Exemple f(x)= (x2+1)(x x 1) Letermex2+1n'ayantpasderacinesreelles,onvaecrirefsouslaforme: f(x)= (x A1)+(Bx+C) (x2+1) LecalculpermetdedeterminerlavaleurdestroiscoecientsA,BetC. A=C=1=2;B= 1=2. Onpeutalorsecrirelafonctionfsouslaforme: f(x)=1 2 1 (x 1) 1 2 (x2+1) 1) LaprimitiveF1(x)dupremiertermeestsimpleadetermineretvaut: F1(x)=1 2 lnjx 1j Parcontreladeterminationdelaprimitive F2(x)dusecondtermeestmoinsimmediatea determiner.pourcelaonprocedeendeuxetapes: 1.Lapremiereconsisteafaireapparaitreaunumerateurladeriveedudenominateur.Pour celailsutd'ecrire: 1 2 (x2+1)= 1122x 2 (x2+1) 1 LaprimitivedupremiertermeestF2;1(x)etestdenieparl'expression: F2;1(x)= 1 4 ln(x2+1) 2.LasecondeetapeconsisteadetermineruneprimitiveF2;2(x)de: 1 2 (x2+1) 1 Cetteprimitiveestdonneepar: F2;2(x)=1 2 arctan(x) 23

24 5.2.5 Application Calculerlesprimitivessuivantes: a) Z cos2xdx= Z 1+cos2x 2 dx= x sin2x b) Z tanxdx= Z cosxdx=[ sinx lnjcosxj] c) Z cos2xdx=sinx(1 sin3x cos2x) cos2x dx= cosx+cosx 1 d) Z (a2+x2)3=2;(onposex=atant);= dx a 12[sint] e) Z p1+ax2 x dx; (delaformeu0(x)un(x));= a 1(1+ax2)1=2 f) Z x(1+ax2)3=2dx; (delaformeu0(x)un(x));= 5a 1(1+ax2)3=2 g) Z (x+1)3 x dx; (decompositionenelementssimples);= x (x+1)2 1 h) Z xsin(2x)dx; (integrationparpartie);= 1 2 xcos(2x) 1 2 sin(2x) i) Z x3 5x+2 5x2+4xdx; (decompositionenelementssimples);=1 2 lnjxj 3 7lnjx 1j+11 6 lnjx 4j 24

25 6 Developpements limites 6.1 Denition Soitunefonctionreelled'uneseulevariablereelle xdeniesurunintervallededenitioni. Soitx02I. Onditquelafonctionfpossedeundeveloppementlimited'ordren(n2N)au pointx0siilexisten+1nombresreels(c0;c1;:::;cn)telsquel'onpuisseecrirelarelation suivante: f(x)=c 0+c1(x x0)+:::+cn(x x0)n+(x x0)n(x); x!x0(x)=0 lim Silafonctionfestnfoisderivableenx0,onpeutalorsreecrirelarelationprecedentesousla forme: f(x)=f(x0)+f0(x0) 1! (x x0)+f00(x0) 2! (x x0)2+:::+f(n)(x0) n! (x x0)n+(x x0)n(x); x!x0(x)=0 lim 6.2 Developpementslimitesen0 f(x)=f(0)+f0(0) 1! x+f00(0) 2! x2+:::+f(n)(0) n! xn+xn(x); x!0(x)=0 lim 6.3 Developpementslimitesen0defonctionsusuelles ex=1+x+x2 3!+ +xn 2!+x3 n!+xn(x) ln(1+x)=x x2 2 +x ( 1)n 1xn n +xn(x) 1+x=1 1 x+x2 x3+ +( 1)nxn+xn(x) cosx=1 x2 2!+x4 4!+ +( 1)n(2n)!+x2n(x) sinx=x x3 3!+ +( 1)n+1 x2n 1 (2n 1)!+x2n(x) (1+x)m=1+mx+m(m 2! 1) x2+ +m(m 1) (m n! n+1) xn+xn(x) 25

26 7 Serie de Fourier 7.1 Formereelle Onconsidereunefonctionf(t)delavariablereelletetdeperiodeT. Cettefonctionverie donclarelation: f(t+nt)=f(t); avecn2z Souscertainesconditionsdedenitiondelafonctionetdecontinuitedecettederniereainsique desaderiveepremiere(conditionsdedirichlet),ilestalorspossiblederepresenterlafonction f(t)paruneseriedelaforme: f(t)=a X n=1 a ncos(n!0t)+ 1 X n=1 b nsin(n!0t) (6) danslaquellea0; an etbnsontdescoecientsindependantsdelavariable tet!0=2=t representeunepulsation. Cetteseries'appelleledeveloppementenseriedeFourierdelafonctionf(t). Pourdeterminercompletementcetteserie,ilfautdenirsescoecients Calculdescoecients ZT ZT ZT Pourdeterminercescoecients,nousallonsutiliserlesrelationssuivantes: cos(m!0t)cos(n!0t)dt=t 0 2 (m;n+m; n) sin(m!0t)sin(n!0t)dt=t 0 2 (m;n m; n) 0 cos(m!0t)sin(n!0t)dt=0 oum;nestlesymboledekroneckerdenipar: m;n=1m=n 0m6=n Pourcalculerlapremiereintegrale,oncommenceparunelinearisation. cos(m!0t)cos(n!0t)=1 2 (cos(m+n)!0t+cos(m n)!0t) (8) 26 (7)

27 onobtientalors: ZT cos(m!0t)cos(n!0t)dt=1 sin((m+n)!0t) 0 2 (m+n)!0 +sin((m n)!0t) T (m n)!0 0 (9) Cetteintegraleestnullesaufdanslescasoum= netm=n. Danscescasnousavons: Z T cos2(n!0t)dt=1 ZT (1+cos(2n!0t))dt =1 2 t+sin(2n!0t) T =T 0 (10) 2 Lesdeuxautresrelationssontdeniesenutilisantuncalculanalogueauprecedent. MultiplionsmaintenantlesdeuxmembresdelaseriedeFourier(enrenommantlesindices desommationn!mparcos(n!0t)etintegronsentre0ett. Onobtientalors: ZT 0 f(t)cos(n!0t)dt= Z T " 0 a0 2 + m=1 1 X a mcos(m!0t)+ m=1 1 X b msin(m!0t) # cos(n!0t)dt Touteslesintegralesdusecondmembresontnullesal'exceptionduterme: ZT 0 1X m=1 a mcos(m!0t)cos(n!0t)dt quiestnonnulpourm=netvautdanscecast=2. Onobtientalors: an=2 ZT T 0 f(t)cos(n!0t)dt (11) Paruncalculanalogue,ontrouve: bn=2 ZT T 0 f(t)sin(n!0t)dt (12) a0=2 T ZT 0 f(t)dt (13) 27

28 7.2 Formecomplexe SoitledeveloppementenseriedeFourierdelafonctionf(t): f(t)=a X n=1 a ncos(n!0t)+ 1 X n=1 b nsin(n!0t) Enutilisantlesrelationssuivantes: cos(n!0t)=exp({n!0t)+exp( 2 {n!0t) sin(n!0t)=exp({n!0t) exp( {n!0t) onpeutreecrirecedeveloppementsouslaforme: 2{ f(t)=a X n=1 (a n 2{bn) exp({n!0t)+ 1 X n=1 (a n+{bn) 2 exp( {n!0t) =a X n=1 (a n 2{bn) exp({n!0t)+ n= 1 X 1 (a n+{b 2 n) exp({n!0t) soitencore f(t)= 1 X 1 f nexp({n!0t) (14) avec fn=(an f0=a0 2 2{bn) pourn1 fn=(a n+{b 2 n) =f n pourn Calculdescoecients ZT Pourcalculerlescoecientsfnonutilelarelationsuivante: 0 exp({m!0t)exp( {n!0t)dt=tmn Apresavoirrenommerlesindicesdesommation(n!m)del'expressiondudeveloppementen seriedefourierdelafonctionf(t)soussaformecomplexe,multiplionslesdeuxmembrespar laquantiteexp( {n!0t)etintegronsentre0ett. Onobtientalors: ZT 0 f(t)exp( {n!0t)dt= Z T 0 1X 1 f mexp({m!0t)exp( {n!0t)dt 28

29 Leseultermenonnulestceluicorrespondantaucasoum=netsavaleurvautT.Onobtient ainsil'expressiondescoecientsrecherches,asavoir: fn=1 ZT T 0 f(t)exp( {n!0t)dt Onpeutensuitedeterminerlescoecientsanetbn. a0=2f0; b0=0 an=(fn+f n)=2<(fn); bn=f n { fn= 2=(fn) 29

30 7.3 Application Soitlafonctionfdelavariablereelletdeniepar: f(t)=10tt 2 0T 2tT avect=10. OndesireecrireundeveloppementenseriedeFourierdecettefonction. OncommencepardenirlapulsationassocieealeperiodeT,soit!0== Developpementsousformereelle Onchercheadeterminerlescoecientsa0; anetbn. Calcul dea0 a0=2 ZT T Calcul dean 0 f(t)dt =2 ZT=2 T 0 dt a0=1 an=2 ZT T 0 f(t)cos(n!0t)dt =2 ZT T 0 f(t)cos n2 T t dt =2 ZT=2 T 0 cos n2 T t dt an=0 30

31 Calcul debn an=2 ZT T 0 f(t)sin(n!0t)dt =2 ZT T 0 f(t)sin n2 T t dt =2 ZT=2 T 0 sin n2 T t dt T t dt T=2 0 = n 1 n2 = 1 cos n [cos(n) cos(0)] Deuxcassepresente: 1.sinestpair,alorsbn=0 2.sinestimpairalorsbn=2=(n) LedeveloppementenseriedeFourierdelafonctionfpermetd'ecrire: f(t)=1 2 + X nimpair 2 nsin n2 T t 31

32 7.3.2 Developpementsousformecomplexe Onchercheadeterminerlescoecientsfn. Calcul def0 f0=1 ZT T Calcul defn Deuxcassepresente: 1.sinestpair,alorsfn=0 2.sinestimpairalorsfn= {=(n) 0 f(t)dt =1 ZT=2 T 0 dt f0=1 2 a0=2f0 =1 fn=1 ZT T 0 f(t)exp {n2 T t dt =1 ZT=2 T 0 exp {n2 T t dt 2n[exp( {n) exp(0)] = { 2n[cos(n) 1] Onpeutalorsmaintenantdeterminerlescoecientsanetbndelaformereelle. Pournpair,ona: Pournimpair,ona: an=2<(fn) bn= 2=(fn) =0 =0 an=2<(fn) bn= 2=(fn) =0 = 2 n 32

33 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 f(t) n=0 n=3 n= ,2 Figure2:DeveloppementenseriedeFourierdelafonctionf(t) 33

34 8 Transformation de Fourier LatransformeedeFourierintervientdansdenombreuxdomainesdelaphysique(optique, traitementdusignal,cristallographie)etdelachimie(spectroscopieinfrarougepartransformee defourier,resonancemagnetiquenucleaire). LatransformeedeFourierpermetl'analysed'unsignalnonpasenfonctiondutempsmaisdans l'espacedesfrequencesoupulsations.onparlealorsducontenufrequentiel. 8.1 Denition ApartirdudeveloppementenseriedeFourierd'unefonctionf(t)periodique(deperiodeT)et enutilisantladerivationheuristique,ondenitlatransformeedefourier ~f(!)delafonction f(t)parlarelationsuivante: ~f(!)= Z +1 1 f(t)exp( {!t)dt Delam^emefacononpeutdenirlatransformeedeFourierinversede ~f(!)par: f(t)= 2 1 Z+1 1 ~f(!)exp({!t)d! 8.2 DenitiondeladistributiondeDirac Enappliquantsuccessivementlestransformationsf(t)!~f(!)et ~f(!)!f(t)oneectueune operationneutre.celapermetdedenirladistributiondedirac: (t)= 2 1 Z+1 1 exp({!t)d! quialaproprietesuivante: Z+1 1 f(t0)(t t0)dt0=f(t) 34

35 8.3 CalculdelatransformeedeFourierd'unefonction Consideronsunefonctionf delaseulevariablereellet. Onpeuttoujoursdeveloppercette fonctionenunepartiepairefpaireetunepartieimpairefimpaire. f(t)=f(t)+f( 2 t) +f(t) 2f( t) f(t)=fpaire(t)+fimpaire(t) LatransformeedeFourierdelafonctionfs'ecritalors: ~fpaire(!)= Z +1 ~f(!)=~fpaire(!)+~fimpaire(!) (f(t)+f( t)) 1 2 exp( {!t)dt =1 Z f(t)exp( {!t)dt+1 Z f( t)exp( {!t)dt =1 2 ~f(!)+1 2 Z 1 +1 ( f(t))exp({!t)dt =1 2 ~f(!)+1 2 Z+1 1 f(t)exp( {(!)t)dt =1 2 ~f(!)+1 2 ~f(!) Onobtientainsilesrelationssuivantes: ~fpaire(!)= ~f(!)+~f(!) 2 et ~fimpaire(!)= ~f(!) ~f( 2!) ~f(!)= Z +1 1 f(t)exp({!t)dt =~f(!) 35 Silafonctionf(t)estreelle,onpeutmontrerque:

36 NousobtenonsalorsquelatransformeedeFourierd'unefonctionpaireestellem^emeune fonctionpaireetunefonctionreelle. InversementlatransformeedeFourierd'unefonction impaireestunefonctionimpaireetimmaginairepure. Cecipeut^etreresumeparlesdeux equationssuivantes: ~fpaire(!)=< ~f(!) ~fimpaire(!)={= ~f(!) 36

37 8.4 Applications Casd'unedistributiongaussienne Soitladistributiongaussienneg(t)normaliseeetdelargeuramihauteur. g(t)= p22exp 1 22 t2 avec Z+1 1 g(t)dt=1 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, t Figure3:Distributiongaussienneavec=1:0;0:3 37

38 CalculonslatransformeedeFourierdecettedistributiongaussienne. ~g(!)= Z +1p22exp t exp( {!t)dt = p22 1 Z +1 1 exp t2+2{2!t 22 dt = p22 1 Z +1 1 exp (t+{2!)2+!24 22 dt =exp!22 2 p22 1 Z +1 1 exp (t+{2!)2 22 dt ~g(!)=exp!22 2 Remarque: LatranformeedeFourierd'unegaussiennedelargeur estunegaussiennede largeurinverse 1. 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, ω 15 Figure4:TranformeesdeFourierdesdistributionsgaussiennesavec=1:0;0:3 38

39 9 Methodes de resolution de certaines equations dierentielles Soitunefonctionyd'uneseulevariablereellex. 9.1 Resolutiond'equationsdierentiellesacoecientsconstants Equationdierentielledupremierordreacoecientsconstantssanssecond membre Soitl'equation: dy dx+ay=0 (15) avecaconstant2r Cetteequationpeut^etrereecritesouslaforme: dy y = adx soitenintegrant: )lny= ax+c )exp(lny)=exp( ax+c) )y=exp(c)exp( ax) )y(x)=kexp( ax) K est appelee constante d'integration et sera determinee a partir d'une condition initiale (x0;y0) Equationdierentielledupremierordreacoecientsconstantsavecsecond membreconstant Soitl'equation: dy dx+ay=b (16) 39

40 avecaetbdesconstantes2r Lasolutionydecetteequationestlasommededeuxsolutions: y1ety2,soit: y(x)=y1(x)+y2(x) y1estlasolutiongeneraledel'equationdierentiellesanssecondmembreetdoitdoncverier l'equation: dy1 dx+ay1=0 y2estlasolutionparticuliereetdoitverierl'equation: dy2 dx+ay2=b D'aprescequel'onavuprecedemment,lasolutiony1estdonneepar: y1(x)=kexp( ax) Lasolutionparticuliere y2estrechercheesouslam^emeformemathematiquequelesecond membre,soitdansnotrecassouslaformed'uneconstantey2=c2etdoitdoncverierl'equation: dy2 dx+ay2=b soit )ac2=b )C2=b )y2(x)=b a Lasolutionydel'equation(7)peutalorss'ecriresouslaforme: a y(x)=kexp( ax)+b a LaconstanteKseradetermineeapartirdesconditionsinitiales Application Lavitessevd'uncorpsponctueldemasseconstante menchutelibredansl'air(resistance K~vavecK=constante)obeital'equationdierentiellesuivante: dv dt +K m v=g 40

41 Sachantqu'autempst=t1lavitessevautv(t=t1)=v1,determinerl'expressiondelavitesse enfonctiondutemps. Reponse: v(t)=mg K + v1 mg K exp K m (t t1) 41

42 9.1.4 Equationdierentielledusecondordreacoecientsconstantsetavecsecondmembre Soitl'equation: ad2y dx2+bdy dx+cy=f (17) aveca,betcdesconstantes2retfunefonctiondex. Laresolutiondecetteequationdierentiellecomportedeuxetapes. consisteadeterminerlasolutiongeneraley1del'equationdierentielle sanssecondmembre.cettesolutiondoitverierl'equation: La premiere etape ad2y1 dx2 +bdy1 dx+cy1=0 Onprocededelafaconsuivante:onrecherchelasolutiony1souslaformey1(x)=Aexp(rx). Onobtientalorsl'equationcaracteristiquesuivante: ar2+br+c=0 dontlesracinesvontpermettrededeterminerlasolutiongeneraley1(x). Soit =b2 4aclediscriminentdel'equationcaracteristique.Selonlavaleuretlesignede nousobtiendronsdierentstypesdesolutions. Premier cas: Si >0,l'equationcaracteristiqueadmetdeuxsolutionsreellesdistinctes r1etr2deniespar: r1;2= b pb2 4ac Lasolutiongeneraley1(x)seraalorsdelaforme: 2a y1(x)=a1exp(r1x)+a2exp(r2x) aveca1eta2desconstantes2r. Second cas: Si = 0, l'equationcaracteristiqueadmetalorsuneracinedoublereelle r deniepar: r= 2a b Danscecas,lasolutiongeneraley1(x)s'ecrirasouslaforme: y1(x)=(a1x+a2)exp(rx) 42

43 aveca1eta2desconstantes2r. Troisieme cas: Si <0,l'equationcaracteristiquepossededeuxracinescomplexesconjugueesr1etr2deniespar: r1;2= b {p Lasolutiongeneraley1(x)seraalorsdelaforme: 2a y1(x)=a1exp(r1x)+a2exp(r2x) = A1exp { p 2a x +A2exp { p 2a x exp 2a bx etpourraegalements'exprimersouslesformes: y1(x)= A01cos p 2a x +A02sin p 2a x exp 2a bx ou y1(x)=a0cos p x+ exp 2a 2a bx a determiner une solution particuliere y2 veriant l'equation dierentielleavecsecondmembre.cettesolutionestrechercheesouslam^emeformemathematique quelesecondmembref. Ennlasolutiondel'equationdierentielle(8)estdeniepar: y(x)=y1(x)+y2(x) La seconde etape consiste 43

44 9.1.5 Application Resolutiondel'equationdierentielled'unoscillateurunidimensionelharmoniqueamortiet forceparuntermesinusoidal. Soitl'equation: my+h_y+ky=f0cost Lasolutiony(t)decetteequationdierentielleestdeniepar: y(t)=y1(t)+y2(t) ou y1(t)estlasolutiongeneraledel'equationdierentiellesanssecondmembreet y2(t)la solutionparticuliaire.suivantlavaleurdescoecients,lasolutiony1(t)estdonneeparundes troiscasdenisprecedemment. Ilrestealorsadeterminerlasolutionparticuliairey2(t). Cettesolutionestrechercheesousla m^emeformemathematiquequelesecondmembre,soitsouslaforme: y2(t)=acos(t+ ) Pourdeterminery2(t)ilnousfautdenirAet. Pourcelanousallonsutiliserlanotationcomplexequiconsisteaassocieraureel y2(t)un complexey2(t)dontlapartiereelleestegaleay2(t),soit: y2(t)=aexp[i(t+ )] Onobtientalorsl'equationdierentiellequedoitveriery2(t),soit: my2+h_y2+ky2=f0exp(it) Onpeutalorsecrirelarelationsuivante: Aexp(i )= (k m2)+ih F0 quivanouspermettrededenirdansunpremiertempslasolution y2(t)puislasolution y2(t)=<(y2(t))apartirdeladeterminationde A()et (). Enecrivantlecomplexea droitedel'egalitesousformeexponentielle,onobtient: A()= p(k m2)2+2h2 F0 ()= arctan(k h m2) 44

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