Onveutetudierl'equationdierentiellesuivante

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1 Quelques resultats sur l'equation des ondes Onveutetudierl'equationdierentiellesuivante xu=f surr Rd: C'est dratique une equation +jj designature(;d).cettenoteestorganiseedela hyperbolique dont le symbole est la forme qua- manieresuivante: Table des matieres.. Preliminaires Solutionfondamentaleendimension d= 3. Solutionfondamentaleendimension d= 4. Solutionfondamentaleendimension d= Quelquesproprietesdel'equationdesondes 76. Preliminaires Denition unedistribution. Une ED0(Rd+)solutionde solution fondamentale de l'equation des ondes est xe=: ondes:enpassantalatransformeedefourierdanslavariablespatiale, Onchercheadeterminerunesolutionfondamentaledel'equationdes ^E+jj^E=(t) sin(tjj).onutilisealorsunevariationdesconstantes dontl'equationhomogeneassocieeapourbasedesolutionscos(tjj)et a(t)cos(tjj)+b(t)sin(tjj) aveclacondition a 0(t)cos(tj)+b0(t)sin(tjj)=0 cequidonnel'autreequation a0(t)jjsin(tjj)+b0(t)jjcos(tjj)=(t) etdonc a 0(t)= (t)sin(tjj) jj =0; b0(t)=(t)cos(tjj) jj = (t) jj :

2 Finalementonpeutchoisira(t)=0etb(t)=H(t)soit ^E+=H(t)sin(tjj) jj cette distribution expression E = represente E+ est egalement une distribution une solution temperee. fondamentale De m^eme, de la l'equationdesondes.onvientdoncdedemontrerleresultatintermediaire suivant: ladistributiontempereedonneeparlatransformeedefourierinverse Theoreme. Unesolutionfondamentaledel'equationdesondesest danslavariable xrd E+=H(t)F!x sin(tjj) jj S 0(R Rd): s'agitdoncdefairelecalculdelatransformeedefourierprecedente. Pourdeterminerlasolutionfondamentaledel'equationdesondes,il resultatestunefonctionlloc,etaucasdeladimensiond=3,oul'on Nous nous limiterons aux cas de dimension d = et d = ou le obtientunemesure.endimensionsuperieure,onobtientegalementdes distributions.. Solution fondamentale en dimension d= Endimensiond=,ona sin(tjj) jj = sin(t) : Theoreme dimension(spatiale) 3. Une solution d=estdonneepar fondamentale de l'equation des ondes en E+(t;x)= H(t jxj): RemarquonsqueE+estunefonctionLloc.Deplus,ladistribution E = E= H(t+jxj) estegalement fondamentalese+ uneete solution sontsupporteesrespectivementdansledemi fondamentale, chacune des deux solutions c^onet>jxjett< jxj.

3 3 Preuve. Rappelonsque F sin() = [ ;](x) parconsequentgr^aceaunchangementdevariable E+(t;x)=H(t)F sin(t) = H(t)[ t;t](x): Cequidonneleresultat. 3. Solution fondamentale en dimension d= unfacteurdeconvergencedanslatransformeedefourierinverse. Commenconsparapprocherlasolutionfondamentaleenintroduisant Lemme 4. La transformee de Fourier inverse de la fonction L\L!e "jjsin(tjj)=jjendimensiond=estdonneepar p t jxjh(t jxj)+o(") si"estassezpetit. Preuve. CalculonslatransformeedeFourierinverse F sin(tjj) jj e "jj Z = +Z () 0 S e "rsin(rt)eirx!d!dr 4 enpassantencoordonneespolaires.l'integralesurlecerclerepresente la tributionasupportcompact)aupoint transformee de Fourier de la mesure sur rx;cettetransformeeestune le cercle (qui est une dis- fonctionradiale cd!( rx)= Z Seirx!d!= Z 0 eirjxjcosd: Eneet,l'integrale Z r sinx r x e dx= Z r ix sinx 0 x cos(x)dx= Z r(+) sinx r( ) x dx tendvers Onpeutecrirexsouslaformex=jxjAe [ ;] ()lorsquer!+. duplan(dependantduvecteur x,cequidonnex oue!= =(;0)etAestunerotation jxje changementdevariable! A!,etenfaisantle t! par rotation, on obtient l'integrale A!quinemodienilamesurenilecercle,invariant ZSe t irjxj!d!= Z 0 eirjxj cos d:

4 4 AinsilatransformeedeFourierinverse()est-elleegalea 4 Z +Z 0 0 e "rsin(rt)eirjxjcosddr ouencoreapresquelquescalculs Z + 0 e "reir(t+jxjcos)drd {z } entenantcomptede(3).ceciterminelecalculsionutiliselelemme quisuit(aveca=tetb=jxj). Lemme 5. Soienta;b>0etsi">0estassezpetitalorsona Z d 0 a+bcos+i"d= 8 >< p > a b+o(") lorsquea>b>0 : i p b a+o(") lorsque0<a<b : Preuve. Cetteintegralepeut^etreecritecommeuneintegralecurviligne3 I dz i jzj= bz+az+b+i" quel'onpeutcalculeral'aidedutheoremedesresidus.lesp^olesdela fractionsontdonnespar z = a b p a b i"b b 4Im Z 0 = i t+jxj cos +i" ou dehorsdelademi-droite la branche consideree==4deplus,leresidudelafractionaux de la racine est par exemple celle denie en p^olesestdonneepar res bz+az+b+i" = b z+ z = z=z p a b i"b : Enn,remarquonsque jz+z j=+i" b =+" b > 3 des La fonctions preuve holomorphes de ce lemme n'a est pas parfaitement ete etudiee hors en MACS. programme Elle puisque est donnee la theorie purement indicatif. a titre

5 5 ce disqueunite.enoutre,ona qui implique que les deux p^oles ne peuvent ^etre a l'interieur du z+= a b + p a b b i" a b b =+i {z }: )+O(") Lorsquea>b>0,onendeduit "b (a b jz+j= a p a b b {z b 0 < } +O(")< etlorsque0<a<b jz+j= a " b p b a + a {z } b < sil'onsuppose"assezpetit. 0 <a b etparconsequentlep^ole z a l'exterieurz+ jz estal'interieurdudisqueunite j >, seul le residu au p^ole z+ jz+j< unecontributional'integralecurviligne.letheoremedesresidusdonne apporte donc I dz jzj= bz+az+b+i" = p i a b i"b Danslecas0<a<b,celapermetd'armerque : Z d 0 a+bcos+i"d= i p b a i" a b b cequidonneleresultatapresundeveloppementlimite.dem^emedans lecas0<b<a,celadonne Z d 0 a+bcos+i"d= p a b +i" b b a cequidonneleresultatapresundeveloppementlimite. Theoreme dimension(spatiale) 6. Une solution d=estdonneepar fondamentale de l'equation des ondes en E+(t;x)= H(t jxj) p t jxj: RemarquonsqueE+estunefonctionLlocpuisque ZZ jtj<a je+(t;x)jdtdx= Z a 0 Z t r 0 p t rdrdt= Z a 0 tdt<+

6 6 Preuve. Ilestclairque sin(tjj) jj e "jj! sin(tjj) jj danss0(rd+) lorsque"tendvers0,doncilsutdecalculer E+=lim "!0H(t)F sin(tjj) jj e "jj danss 0(Rd+): OrpourtoutefonctiondanslaclassedeSchwartz,ona ZZ t>jxj p t jxj+o(") '(t;x)dtdx! ZZ t>jxj p t jxj'(t;x)dtdx cequiterminelapreuve. 4. Solution fondamentale en dimension d=3 OnrappellelecalculdelatransformeedeFourierdelaGaussienne Z (3) + e e itdt= p e : t Donnons mationdelasolutionfondamentale. l'analogue du lemme 4 qui permet de calculer une approxi- Lemme 7. La transformee de Fourier inverse de la fonction L\L!e "jj=sin(tjj)=jjendimensiond=3estdonneepar 4jxjp " e (t+jxj) Preuve. Commeauparavant,onpasseencoordonneespolaires F sin(tjj) Z jj e = +Z (4) 0 S e sin(rt)eirx!d!dr 83 et mesuresurlaspherequel'onpeutcalculerexplicitement l'integrale sur la sphere represente la transformee de Fourier de la cd!( rx)= Z eirjxjcossind=sin(rjxj) 0 rjxj : AussilatransformeedeFourierinverse(4)est-elleegalea 4jxj Z + 0 e sin(rt)sin(rjxj)dr "jj "r " e (t "r jxj) "

7 7 ouencorepuisqueleproduitdesdeuxsinusestegala (sin(rt+rjxj)+ sin(rt rjxj)) 8jxjIm Z + e e ir(t jxj)dr+ Z + e e ir(t+jxj)dr cequidonneleresultatdesireentenantcomptede(3). Theoreme dimension(spatiale) 8. Une solution d=3estdonneeparladistribution fondamentale de l'equation des ondes en he+;'i= Z +Z 4 0 St'(t;t!)d!dt: Preuve. Puisque sin(tjj) jj e sin(tjj) jj danss0(rd+) lorsque"tendvers0,doncilsutdecalculer E+=lim "!0H(t)F sin(tjj) jj e danss 0(Rd+): Orona 4 Z Z + 0 '(t;x) p " e (t+jxj) jxj) dt dx " jxj = Z +Z SZ '(t;r!) p " e rdrd!dt (t+r) "! Z +Z 4 0 St'(t;t!)d!dt cequiachevelapreuve. 5. Quelques proprietes de l'equation des ondes initiales Remarquonsquelaresolutiondel'equationdesondesavecdonnees 8 xu=f surr Rd u(0;x)=u0 se l'autreadonneesinitialesnulles decompose en la resolution des deux equations, l'une homogene, 8< tv v(0;x)=u0 xv=0 tw (5) w(0;x)=0 "r! "jj " e "jj (t "r

8 8 puisquelasolutiondesondesestdonneeparu=v+w.cettedecomposition quivientdelalinearitedel'equationpeuts'avererutile. resoudrelorsqueu0=0,eneetsivj De plus, pour resoudre equation homogene, estsolutionde il sut de savoir la 8< tvj vj(0;x)=0 alors et dev plus = est solution = u(x) de l'equation des= ondes xv(0;x)+ homogene De m^eme pour resoudre l'equation inhomogene, il 8 ~w(0;s;x)=0 ~w etlasolutioncorrespondantal'equationinhomogeneestdonneeparla formulededuhamel Z w(t;x)= t 0 ~w(t s;s;x)ds: Ainsipeut-onserameneralaresolutiondel'equationhomogeneavec donneesinitialesu0=0etu. faits Revenons dans laa section l'equation preliminaire des ondes(passage generale. a En la transformee reprenant lesde calculs rier dans la variable spatiale, variation de la double constante dans Fou- l'equationordinaireobtenue)onvoitque Z tsin((t s)jj) ^f(s;)ds+cos(tjj)^u0()+sin(tjj) 0 jj jj ^u() estsolutiondel'equationordinaireobtenueapartirdel'equationdes ondesenpassantalatransformeedefourier.parconsequentsionnote E=E+ E =F (sin(tjj) ),ona u= Z t 0 E(t s; ) f(s; )ds+@ te(t; ) u0+e(t; ) u Lessolutionsfondamentalescalculeesjusqu'apresentverientlapropriete suppe f(t;x)r Rd:jtj>jxjg= ceciimpliqueleprincipedehuygens.

9 9 Theoreme des ondes avec 9 (Principe donnees de initiales Huygens). u0;u SiuE0(Rd) est solution supportees de l'equation bouleb(0;r)alors dans la suppub(0;r+jtj): Autrementdit,lapropagationdesondessefaitavitessenie. dehuygensfort. Onpeutameliorerceresultatendimensionimpaire:c'estleprincipe del'energied'unesolution l'equation des ondes homogene u(t;x)dansh(rd+)(ouc(r;h(rd))) commeetantlaquantite est conservee : on denit l'energie E[u](t)= Z jr(t;x)u(t;x)jdx: Alorsona ddt E[u](t)=Re tu@tudx+ Z ru r@tudx =Re Z (@ tu xu)@tudx =0: Theoreme unesolutiondel'equationdesondeshomogene.alorsl'energie 0 (Conservation de l'energie). Soit u C(R;H(Rd)) estunefonctionconstantedutemps. E[u](t)