Holographie numérique dans l axe en éclairage divergent : application à la mesure tridimensionnelle de vitesse

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1 Congrès Francophon d Tchniqus Lasr, CFTL 010, Vandouvr-lès-Nancy, sptmbr 010 Holographi numériqu dans l ax n éclairag divrgnt : application à la msur tridimnsionnll d vitss Mokran MALEK 1, Danil ALLANO 1, Brtrand LECORDIER 1, Frdric CORBIN 1, Gills GODARD 1, Dnis LEBRUN 1. 1: UMR 6614 CORIA, Tchnopol du Madrillt, Saint-Etinn du Rouvray, FRANCE autur corrspondant : dnis.lbrun@coria.fr Résumé Nous avons utilisé un systèm d holographi dans l ax avc rstitution numériqu pour msurr ls déplacmnts 3D d microparticuls transportés dans ls écoulmnts. Ls champs 3D d particuls sont rstitués plan par plan n calculant la Transformation n Ondltts (TO) d l hologramm. La sourc d éclairag provint d un diod lasr fibré. La courbur d l ond lié à la divrgnc du faiscau st xploité pour améliorr la résolution spatial du dispositif. Dans l cadr d ctt étud, l grandissmnt transvrsal d l ordr d 4 prmt d visualisr ls imags d gouttltts d à 5 µm s déplaçant à ds vitsss d l ordr d 1 m/s. Ctt configuration d nrgistrmnt nécssit la connaissanc précis du rayon d courbur d la sourc d lumièr. Pour cla, un méthod original, prmttant l stimation d c paramètr, st présnté dans c papir. Nous montrons qu ls imags d particuls puvnt êtr localisés avc ds précisions statistiqus d 1µm suivant la position transvrsal t d 0µm suivant l ax optiqu. Ls résultats xpérimntaux sont présntés dans l cas d un écoulmnt laminair nsmncé par d fins gouttltts d huil. L nrgistrmnt ds hologramms st réalisé n mod doubl-xposition. Cla prmt, après rstitution t localisation tridimnsionnll ds imags, d idntifir ls gouttltts t ainsi d accédr à lurs vitsss. 1 Introduction L holographi numériqu dans l'ax st courammnt utilisé pour caractérisr ds écoulmnts nsmncés par d microparticuls. Cs drnièrs sont éclairés par un sourc d lumièr cohérnt t ls figurs d diffraction sont dirctmnt nrgistrés par un captur CCD [1-6]. La rconstruction ds imags d particuls st souvnt réalisé n appliquant l intégral d Frsnl aux figurs d diffraction nrgistrés [7] ou n utilisant un Transformation d Fourir Fractionnair [8]. En champ lointain, ctt rconstruction put êtr vu comm un Transformation n Ondltts (TO) [9]. L'atout principal d ctt tchniqu st son faibl ncombrmnt lié à la simplicité du dispositif optiqu. Ctt propriété prmt sa mis n œuvr dans ds configurations où l'accès optiqu st difficil. Enfin, la configuration dans l'ax nous autoris à utilisr ds sourcs lasrs d faibl puissanc tlls qu ds diods lasr modulabls. Dans ctt communication, nous montrons ls prformancs d l'holographi numériqu dans l ax pour la msur d vitss 3D d micro-particuls dans ds volums d l ordr du mm 3. C travail s inscrit dans l cadr du projt ANR-VIVE3D (Vélocimétri Instantané Volumiqu pour ls Ecoulmnts Tridimnsionnls). L objctif d c projt consist à répond à l un ds défis n mécaniqu ds fluids qui st la connaissanc d la vitss au voisinag d un paroi (couch limit). La sourc d éclairag provint d un diod lasr fibré. La courbur d l ond lié à la divrgnc du faiscau ntrain un étalmnt d la figur d intrférnc. Ctt propriété prmt d réduir la distanc ntr l objt t l captur CCD t ainsi d augmntr la résolution spatial du systèm. L grandissmnt transvrsal d l ordr d 4 prmt d traitr ds imags d gouttltts d taills infériurs à 5 µm, s déplaçant à ds vitsss d nviron 1 m/s. C dispositif d nrgistrmnt

2 Congrès Francophon d Tchniqus Lasr, CFTL 010, Vandouvr-lès-Nancy, sptmbr 010 nécssit donc un étap d étalonnag d la position axial t du grandissmnt lié à la courbur d l ond d éclairag. Nous commnçons par rapplr ls bass théoriqus utilisés dans ls rstitutions numériqus t montrr n particulir ls rlations d corrspondanc xistant ntr la configuration d nrgistrmnt n ond divrgnt t cll d nrgistrmnt n faiscau lasr collimaté (ond plan). Dans la sction 3, nous présntons la méthod élaboré pour étalonnr l systèm nrgistrmnt-rstitution n utilisant ds objts étalons d dimnsions connus. Dans la mêm sction, ls précisions d localisation transvrsal t axial, d un tll configuration, sont présntés. La sction 4 st consacré à la présntation d un application d la méthod pour l xtraction ds champs instantanés d vcturs vitsss dans un volum d étud. Ds résultats xpérimntaux concrnant quatr nrgistrmnts (i.. réglags différnts d vitss t d concntration n particuls) d un jt laminair confirmnt qu un tll approch st adapté pour la msur d la vitss d microparticuls transportés dans ds écoulmnts gazux. Bass théoriqus : nrgistrmnt d hologramm par un sourc d lumièr divrgnt L princip d nrgistrmnt n holographi dans l ax (Gabor) st schématisé sur la Figur 1. Un sourc luminus t cohérnt éclair un particul d diamètr d situé dans l plan objt (X, Y ) à un distanc du plan du captur CCD (X, Y ). Y X Y X Sourc s Figur 1 : Princip d nrgistrmnt n ond divrgnt : systèm d coordonnés La distanc ntr la sourc t l captur CCD st noté par s. En champ lointain (i.. π ( X + Y ) << 1 ) t pour un ond sphériqu, s st aussi l rayon d courbur d l ond λ incidnt au nivau du captur. Dans cs conditions, l intnsité du champ diffracté nrgistré sur la caméra à la distanc axial st donné par [10]: I q ( X ', Y ') 1 λ q r sin π λ q F dq q λ 1 λ ( r) + F ( r) q = (1) dq q λ En applant Gh l grandissmnt holographiqu, nous définissons ls variabls : q = Gh, d = q Ghd, s Gh =, r = X ' + Y '. s

3 Congrès Francophon d Tchniqus Lasr, CFTL 010, Vandouvr-lès-Nancy, sptmbr 010 Pour un objt circulair : F ( r) d q λ q πd = q πdqr J 1 λ q. πd r q λ Où λ st la longuur d ond du lasr t F ( r) transmittanc objt aux fréquncs spatials q dq q λ X λ la transformé d Fourir d la fonction ' / q t / q fonction objt O X, Y ) put êtr xprimé par l xprssion suivant : ( X ' λ. Dans l plan X, ), la ( Y O( X 1,, Y ) = 0, si( X,Y ) st contnu dans aillurs l'objt; () L xprssion (1) t calculé n appliquant l princip d Huygns-Frsnl n diffraction scalair. L prmir trm corrspond à l ond d référnc, l duxièm décrit ls intrférncs ntr l ond d référnc t l ond diffracté par l objt t l troisièm trm traduit la diffraction produit par un ouvrtur d mêm dimnsion qu cll d l objt. C drnir trm st négligabl dans l cadr d l approximation d Fraunhofr [11]. L intnsité du champ diffracté donné par l xprssion (1) montr qu l nrgistrmnt n ond sphériqu put êtr modélisé par un configuration d nrgistrmnt n ond plan (voir Figur ). L équivalnc ntr ls dux configurations s obtint n appliquant un trm multiplicatif s ( Gh = ) aux paramètrs d t. s Y Y λ X X d q =G h d z q =G h Figur : Princip d nrgistrmnt holographiqu d Gabor n ond plan : équivalnc avc la configuration n ond sphériqu d la Figur 1. D par ctt équivalnc, tout s pass comm si l hologramm formé par un particul d diamètr d, éclairé par un ond divrgnt, t situé à un distanc du captur était dû à un particul d diamètr G h d, éclairé par un ond plan, t situé à un distanc G h d la caméra. L contrast ds figurs d diffraction croît proportionnllmnt au factur G h. C résultat signifi qu ls hologramms nrgistrés n ond divrgnt puvnt êtr traités xactmnt comm s ils étaint nrgistrés par un ond plan. Ls caractéristiqus du montag (ouvrtur angulair, position d nrgistrmnt) puvnt êtr xprimés dans un spac équivalnt fonction du paramètr d grandissmnt holographiqu G h, lié au rayon d courbur d

4 Congrès Francophon d Tchniqus Lasr, CFTL 010, Vandouvr-lès-Nancy, sptmbr 010 l ond divrgnt. En particulir, ctt rlation d homothéti s appliqu à l invarianc d la répons impulsionnll xprimé dans la référnc [1]. La figur 3 illustr l amélioration obtnu par ctt configuration d nrgistrmnt n trm d limit d séparation d dux objts. Ond plan (λ) G h d G h d G h a G h CCD Ond divrgnt (λ) d d a CCD s Figur 3 : Princip d l amélioration d la limit d résolution dans la configuration d nrgistrmnt n ond divrgnt. Ls xprssions suivants montrnt la corrspondanc ntr ls coordonnés (X, Y, ), dans l spac objt, t (X r, Y r, r ) dans l spac d rconstruction : X Y = X r G = Yr Gh = r G h h, avc G + r s h = (3) s Dans notr cas, la rstitution numériqu ds hologramms st basé sur la Transformation n Ondltts (voir ls détails d la méthod dans [11]). Un volum d étud st rconstruit plan par plan n calculant, pour différnts échlls, la TO d la figur d diffraction nrgistré par la caméra. 3 Méthod d étalonnag Dans la pratiqu, il st difficil d connaitr par un msur dirct la distanc ntr l captur t la sourc d lumièr (i.. s ). Il st donc nécssair d l stimr avc précision par un étalonnag approprié. Dans un prmir tmps, nous procédons par l nrgistrmnt ds figurs d diffraction d objts étalons d dimnsions connus à différnts positions axials. Chaqu position st fixé à l aid d un translation micrométriqu n déplaçant l objt d un quantité position axial d référnc 0 à détrminr. autour d un L objctif d ctt méthod st d stimr la valur d s n imposant un rlation linéair ntr ls positions msurés t ls déplacmnts imposés (i.. = A +B). La valur stimé d s st obtnu itérativmnt n faisant convrgr (par régrssion linéair) A vrs l unité.

5 Congrès Francophon d Tchniqus Lasr, CFTL 010, Vandouvr-lès-Nancy, sptmbr 010 Afin d apprécir la résolution spatial du systèm, nous avons utilisé un mir d étalonnag comportant 9 disqus opaqus déposés sur un plaqu d vrr. La disposition t ls diamètrs d cs disqus sont montrés sur la figur 4 a. Un xmpl d rconstruction ds imags ds disqus st montré sur la figur 4 b. Cs imags sont obtnus par l traitmnt d l hologramm nrgistré à la position d référnc. Ls profils d intnsités du disqu P6, suivant ls axs X r t r, sont rprésntés rspctivmnt sur la figur 4 c t 4 d. Cs profils sont xploités pour xtrair ls coordonnés 3D ds imags comm dans [11]. L problèm généralmnt soulvé n holographi numériqu st clui d la détrmination du plan d mis au point ( r ). Comm l illustr la figur 4 d, nous intrrogons un volum d épaissur 4mm par intrvall d 0,5mm. Un fonction d intrpolation gaussinn appliqué au profil d intnsité axial prmt d ffctur la mis au point sur l imag d un particul avc ls précisions montrés sur la figur 5. Ctt procédur st réalisé d manièr automatiqu sur chaqu imag d particul. a) b) c) d) Figur 4 : Princip d étalonnag d la résolution spatial du systèm a) Mir d étalonnag, b) Exmpl d rstitution ds imags ds disqus étalons à r = 464,75mm. c) t d) Distribution d intnsité d l imag du disqu P6 suivant ls axs X r t r. La figur 5 a, montr l histogramm ds rrurs d msur d position δ, suivant. L histogramm ds rrurs d localisation transvrsal, δx t δy, st rprésnté sur la figur 5 b. Pour ct étalonnag, nous avons nrgistré 1 hologramms rstitués sur 10 plans. Comm l montrnt cs histogramms, ls valurs moynns ds écarts quadratiqus sont évalués à 7,6µm suivant l ax optiqu t à 1,6µm suivant ls dirctions X t Y.

6 Congrès Francophon d Tchniqus Lasr, CFTL 010, Vandouvr-lès-Nancy, sptmbr 010 Figur 5 : Histogramms ds rrurs d localisation spatial d un particul. a) Errurs suivant l ax t b) rrur sur la position transvrsal (X t Y ). Par aillurs, nous avons vérifié xpérimntalmnt au moyn d la mir d étalonnag qu l modèl théoriqu, dévloppé dans la sction, prmt d xprimr simplmnt l grandissmnt transvrsal G à l aid du factur G h. La figur 6 réalisé avc un nsmbl d positions 3D ds disqus étalons valid ctt hypothès avc un rrur d 0,3%. Figur 6 : Rlation ntr l grandissmnt transvrsal (G) t l grandissmnt holographiqu (G h ) lié au rayon d courbur d l ond d référnc. 4 Résultats xpérimntaux 4.1 Montag xpérimntal Pour réalisr ds msurs d vitsss, nous avons utilisé l montag xpérimntal rprésnté sur la figur 7. La sourc d lumièr divrgnt st obtnu par l utilisation d un fibr optiqu dont l un ds xtrmités st couplé à un diod lasr (CUBE 640-5FP) d longuur d ond λ=640nm. En mod continu, ctt diod délivr un puissanc maximal d 5mW t un signal analogiqu st utilisé pour modulr l intnsité lasr n synchronisation avc l acquisition ds imags. Ls figurs d diffractions sont nrgistrés par la caméra (HAMAMATSU C9300) sous form d imags d pixls (7,4µm) codés sur 1 bits. Dans ctt xpérinc, l systèm d nrgistrmnt a été configuré pour nrgistrr ls figurs d diffraction n doubl-xposition. C mod d fonctionnmnt prmt d cummulr sur un mêm hologramm l information d diffraction généré par ds particuls à dux instant différnts. L écoulmnt étudié st un jt d air laminair d 8 mm d diamètr (D). C jt, produit à la sorti d un porux, st nsmncé n fins gouttltts d huil d 1 à 5µm. Il st protégé d l nvironmnt xtériur par un jt d air filtré coaxial d 100 mm d dimètr t d faibl vitss pour vitr principalmnt ls particuls parasits (poussièr) lors ds nrgistrmnts.

7 Congrès Francophon d Tchniqus Lasr, CFTL 010, Vandouvr-lès-Nancy, sptmbr 010 Jt laminair Y Air filtré 8mm Air filtré X CCD Porux Air + gouttltts d huil 100mm Figur 7 : Systèm d nrgistrmnt n ond divrgnt. Nous avons procédé à l étalonnag du montag n utlisant la méthod décrit dans la sction 3. La distanc ntr la sourc d lumièr t l captur CCD st stimé à s = 15mm ntraînant ainsi un grandissmnt holographiqu G h compris ntr 3 t 5. Avc un tll configuration, l volum d étud st d nviron mm Msur d vitss 3D Pour tstr ls potntialités d la méthod pour la msur d vitss d fin gouttltts d huil, nous avons procédé à l nrgistrmnt d plusiurs hologramms avc différnts réglags d vitss t d concntration. Dans ctt xpérinc, l tmps d xposition d la caméra a été fixé à 110µs pour réduir l fft du fond continu du lasr. L intrvall ntr ls dux impulsions t la duré d chaqu impulsion sont fixés, rspctivmnt, fixés à 10µs t 1µs. Un xmpl d imag rstitué st montré sur la figur 8 a. La parti ncadré d ctt imag st rprésnté sur la figur 8 b t montr dux pairs d particuls qui sont utilisés pour évalur dux vcturs vitss. Figur 8 : a) Exmpl d rstitution d un hologramm nrgistré n doubl xposition. b) Détail d l imag a) : Ls imags sont localisés à un distanc =98mm d la caméra. Dans ctt xpérinc, ls hologramms sont utilisés pour msurr la vitss ds gouttltts suivant l ax Y. La vitss V y /V ymax obtnu avc l traitmnt d 4 hologramms st rprésnté

8 Congrès Francophon d Tchniqus Lasr, CFTL 010, Vandouvr-lès-Nancy, sptmbr 010 sur la figur 9 n fonction d la position axial /D. L profil d vitss t la position axial sont normalisés rspctivmnt par l maximum d vitss (i.. V ymax ) t l diamètr du jt (i.. D=8mm). La suprposition ds profils normalisés montr la cohérnc ds msurs d vitss dans l jt laminair réalisé dans différnts conditions d vitss t d concntration. Figur 9 : Evolution d la vitss normalisé suivant l ax Y (V y /V ymax ) n fonction d la position normalisé suivant ( /D). C résultat st obtnu avc l traitmnt d quatr hologramms. 5 Conclusion L holographi numériqu dans l ax avc un faiscau divrgnt, issu d un fibr optiqu couplé à un diod lasr, a été adapté pour l nrgistrmnt ds hologramms d microparticuls. La haut résolution spatial du systèm st obtnu par l augmntation d l ouvrtur du systèm prmis par l rayon d courbur d l ond d référnc. La rstitution numériqu par transformation n ondltts, utilisé pour localisr ls positions 3D ds particuls, t l utilisation d la configuration d nrgistrmnt n doubl-xposition, prmt d xtrair un champ instantané d vcturs vitss 3D. Ctt méthod st validé dans l cas d un jt laminair nsmncé par ds gouttltts d huil d diamètrs infériurs à 5µm t d vitsss d nviron 1m/s. Cci constitu un avancé significativ dans l cadr d l holographi numériqu dans l ax, où la taill ds particuls-tracurs st souvnt supériur à 10µm pour obtnir ds figurs d diffraction avc un visibilité suffisant. Ls résultats xpérimntaux, obtnus sur un jt laminair sont n bon accord avc nos prévisions t montrnt ls potntialités d ctt méthod pour l évaluation ds champs instantanés d vitss dans un volum d l ordr du mm 3. 6 Référncs [1] Shng J; Malkil E; Katz J (008), Using digital holography microscopy for simultanous masurmnts of 3D nar wall vlocity ans wall shar strss in a turbulnt boundary layr, Exp. Fluids, Vol. 45, p [] Salah N; Godard G; Lbrun D; Paranthiën P; Allano D; Coëtmllc S (008), Application of multipl xposur digital in-lin holography to particl tracking in a Bénard-von Kármán vortx flow, Mas. Sci. Tchnol., Vol. 19, p [3] Malk M; Lbrun D; Allano D (008), Digital in lin holography systm for thrdimnsional-thr componnts (3D-3C) Particl Tracking Vlocimtry, Eds. A Schrödr andc EWillr : Particl Imag Vlocimtry, Topics Appl. Physics 1, Vol. 15, pp [4] Cao L; Pan G; Woodward S; Mng H (007), Hybrid digital holography imaging systm for 3D Dns Particls fild masurmnt, 7th Intrnational Symposium on Particl Imag Vlocimtry (PIV 07), Rom, Smptmbr

9 Congrès Francophon d Tchniqus Lasr, CFTL 010, Vandouvr-lès-Nancy, sptmbr 010 [5] Dubois F; Joanns L; Lgros JC (1999), Improvd thr-dimnsional imaging with a digital holography microscop with a sourc of partial spatial cohrnc, Appl Opt 38: [6] Fournir C; Ducottt C; and Fournl T, (004), Digital Holographic Particl Imag Vlocimtry: 3D vlocity fild xtraction using corrlation, Journal of Flow Visualization and Imag Procssing, vol. 11, pp. 1-0,. [7] Xu W; Jricho M H; and Kruzr H. J (003), Tracking particls in four dimnsions with in-lin holographic microscopy, Opt. Lttrs, Vol. 8, p [8] Coëtmllc S; Lbrun D; Özkul C, (00), Charactrization of diffraction pattrns dirctly from in-lin holograms with th fractional Fourir transform, Appl. Opt [9] Onural L (1993), Diffraction from a wavlt point of viw, Opt. Ltt., Vol. 18, p [10] Vikram C S; Billt M L (1988), Som salint faturs if in-lin Fraunhofr holography with divrgnt bams, Optik, 78, [11] Buraga-Lfbvr C; Coëtmllc S; Lbrun D; Özkul C (000), Application of wavlt transform to hologram analysis: thr-dimnsional location of particls, Opt. and Lasrs Eng [1] Malk M; Coëtmllc S; Allano D; Lbrun D (003), Formulation of in-lin holography procss by a linar shift invariant systm: application to th masurmnt of fibr diamtr, Opt. Comm., 3, Rmrcimnts C travail a été financé par l'agnc National d la Rchrch (ANR) dans l cadr du programm VIVE3D (ANR ) «Vélocimétri Instantané Volumiqu pour ls Ecoulmnts Tridimnsionnls».