Calcul mental. Dominique Verdenne IUFM centre Val de Loire site de Blois

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1 Calcul mental Dominique Verdenne IUFM centre Val de Loire site de Blois 1

2 Détour historique En 1909: «Les exercices de calcul mental figureront à l emploi du temps et ne devront pas être sacrifiés à des occupations considérées comme plus importantes» En 1970: «Il est essentiel, et cela à tous les niveaux, que les élèves calculent mentalement [ ]. La valeur éducative des exercices de calcul mental réside tout autant dans la manière de conduire le calcul que dans sa rapidité». En 2002: «Automatisé ou réfléchi, le calcul mental doit occuper la place principale à l école élémentaire et faire l objet d une pratique régulière, dès le cycle 2» 2

3 Avril 2007: Au cycle 3, dans la rubrique «calcul»: «Calcul approché: il doit être utilisé dans des situations où les élèves peuvent lui donner du sens, par exemple: contrôle d un résultat obtenu par récrit ou à l aide d une calculatrice.» NB: attention, les programmes de 2002 mentionnaient déjà la nécessité de travailler le calcul approché au cycle 3! Juin 2008: «L entraînement quotidien au calcul mental (portant sur les quatre opérations) permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés.» 3

4 Le point de vue des experts «Il (le calcul mental) est une façon privilégiée de lier calcul et raisonnement, en mettant en jeu les propriétés des nombres et des opérations. Il n est bien sûr pas question de viser l apprentissage systématique de techniques ad hoc de calcul mental, comme on peut en trouver dans certains manuels d arithmétique. Il s agit d utiliser les caractéristiques du calcul mental: pour susciter la réflexion sur le calcul, pour mettre en évidence la diversité des façons possibles d aborder généralement un calcul, comparer leur coût, les connaissances qui les fondent, pour susciter des formulations, des généralisations et des preuves». Commission de réflexion sur l enseignement des mathématiques (CREM), dite commission Kahane 4

5 La question du calcul La diffusion généralisée d outils de calcul instrumenté amène à repenser les objectifs généraux de l enseignement du calcul: Le calcul mental Le calcul instrumenté Le calcul écrit (techniques opératoires) 5

6 Les fonctions du calcul mental Une fonction sociale: Moyen efficace en l absence de support ou d instrument: calcul d usage Nécessité de recourir au calcul approché 6

7 Une fonction pédagogique: Construction des premières connaissances relatives à la structuration arithmétique des entiers naturels. Enrichissement les conceptions numériques des élèves. Utilisation implicite des propriétés des opérations (commutativité, associativité, distributivité); Importance pour la mise en place de certaines notions mathématiques: Proportionnalité, fractions, Opérations sur les relatifs, calcul algébrique Développement des capacités de raisonnement: élaboration de procédures originales 7

8 Des enjeux à long terme Au collège: «L habileté en calcul est une aide à la conceptualisation. En travaillant dans un domaine où les calculs peuvent être réalisés mentalement et rapidement, les élèves peuvent s approprier plus aisément des nouveaux savoirs [ ] en centrant leur attention sur ce qui est nouveau. Un déficit de compétences en calcul mental constitue un handicap majeur pour de nombreux élèves en collège». «Le calcul numérique au collège», projet de document d accompagnement Exemple: Factoriser (13,4x + 6,7); 28 = 2 7; simplifier 112/70 8

9 Au lycée «Étendre le répertoire des résultats mémorisés, automatisés aux résultats sur les limites, sur les dérivées Construire chez l élève une confiance en lui dans le domaine du calcul mental.» Actes de l université d été, St Flour, 2006 Seconde: «Une certaine aisance est indispensable pour manipuler avec profit sommes, produits, quotients : une telle aisance libère ensuite la pensée pour une réflexion plus profonde ou pertinente. Première S: «Lors de l étude d une notion, (dérivée), un certain niveau de maîtrise de calcul est indispensable [ ]. Dans le registre du calcul automatisé: il faut d abord ANTICIPER quelque peu le calcul» Extraits des documents d accompagnement 9

10 Calcul mental :quelle définition? Opposition calcul mental, calcul écrit (posé, techniques opératoires,)? Calcul automatisé (résultats, algorithmes mémorisés) Calcul réfléchi ou raisonné 10

11 Calcul automatisé Résultats mémorisés Algorithme (technique opératoire) ou calculette On opère sur les chiffres Mise en œuvre identique à tous les individus Procédures standard Calcul «impersonnel» - Pas «d intuition» des nombres - Pas d ordre de grandeur 11

12 Calcul réfléchi (raisonné) Diversité des stratégies On opère sur les nombres: «intuition» des nombres Procédures personnelles - Raisonnement: choix d une stratégie, élaboration d une procédure Résolution de problèmes (type problèmes ouverts) Explicitation et confrontation des procédures - Calcul exact Calcul approché Cycle 3 -Complémentarité calcul exact, calcul réfléchi 12

13 Les différents aspects du calcul mental AUTOMATISMES Résultats mémorisés Procédures automatisées REFLEXION Résultats construits Procédures personnelles 13

14 Calcul automatisé 14

15 Qu est-ce que connaître ses tables? «La récitation des tables dans l ordre croissant peut constituer une gêne pour une mémorisation efficace.» Document d accompagnement des programmes 2002 Connaître ses tables, c est: Dire instantanément n importe quel résultat. Être capable d exploiter rapidement cette connaissance pour donner un résultat connexe. Exemple: connaître 7 + 6, c est: Répondre rapidement «13» Combien de 7 pour aller à 13? 13 6? 13 7? 6 + 7? 15

16 Conditions de mémorisation Compréhension de l opération en jeu: Représentations mentales du calcul à effectuer Prise de conscience de la nécessité d un répertoire: Recenser les résultats connus Compléter et organiser le répertoire Capacité à élaborer les résultats connus pour en construire d autres: Points d appui: étape décisive dans la mémorisation Entraînement des résultats mémorisés: Diversité des représentations mises en jeu Disponibilité des résultats 16

17 Points d appui pour la mémorisation Même s il est indispensable, l entraînement n est pas le seul ressort de la mémorisation! 17

18 Points d appui pour la mémorisation Importance de la représentation des nombres: Représentations imagées: constellations, dés, doigts Représentations symboliques: numération chiffrée, numération verbale De l importance de la représentation des nombres Représentations des nombres imagées : Dés, dominos, jeux de cartes, figurations avec les doigts Importance de consolider les images mentales des «petits nombres» Mise en relation des nombres (entre 5 et 10) et leurs décompositions Relations des nombres entre-eux: Chaîne verbale Structuration écrite chiffrée 18

19 Points d appui pour la mémorisation Points d appui pour le répertoire additif: Utilisation de la suite numérique, surcomptage Appui sur les doubles Utilisation de la commutativité Passage à la dizaine Début de cycle 3: Restitution instantanée de tous les résultats: tables addition, différences, compléments associés La mémorisation des résultats (additifs et multiplicatifs) est favorisée par une bonne maîtrise des deux rythmes (numération écrite chiffrée, numération avec motsnombres) 19

20 Points d appui pour la mémorisation (suite) Points d appui pour le répertoire multiplicatif: Connaître les résultats des tables de 2 et de 5 Retrouver un résultat à partir d un résultat connu:comptage de n en n Utiliser la commutativité Connaître les carrés (souvent bien maîtrisé) Multiplier par 4, c est ; multiplier par 6, c est S appuyer sur les particularités de certaines tables: 2;5; 9; des régularités repérées dans la table de Pythagore Fin cycle 3: Mémorisation totale des produits des tables Utilisation pour répondre à: Combien de fois 7 dans 56? 56 divisé par 7 Décomposer 56 sous forme d un produit de deux nombres inférieurs à 10 20

21 Calcul réfléchi 21

22 Calcul réfléchi diversité des procédures Représentations du nombre mobilisées: Numération écrite chiffrée Numération «orale» 25 x 12 P1: calcul séparé de 25x10 et 25x2, puis somme des résultats partiels (utilisation distributivité) P2: décomposition de 12 en 4x3, calcul de 25x4 puis de 100x3 P3:utilisation du fait que 25 est le quart de 100, en divisant 12 par 4, en multipliant le résultat par

23 25x19 P4: calcul de 25x20 (directement ou non), puis soustraction de 25 au résultat (distributivité) P5: calcul de 19x20 (19x2x10), puis de 5x19 (nouveau calcul réfléchi: somme de 5x9 et de 9x10) Conclusion: aucune procédure ne s impose, plusieurs sont possibles, nécessité de prendre des décisions personnelles pour élaborer une procédure spécifique. 23

24 L aisance en calcul réfléchi dépend De la capacité à jouer avec les nombres De la capacité à changer de procédures en fonction des nombres De la qualité de mémorisation de certains résultats Du nombre et de la nature des situations proposés aux élèves pour apprendre à calculer 24

25 Quand? Mise en œuvre Dès qu il permet de répondre plus rapidement et plus efficacement qu avec les opérations ou la calculette Moments spécifiques: chaque jour! Combien de temps? Entretien et contrôle des résultats mémorisés: cinq à dix minutes («séquences brèves»)!! Calcul réfléchi: «les séquences peuvent être nettement plus longues»: un quart à une demi-heure!!! 25

26 Comment? Résultats automatisés Consigne orale Procédé La Lamartinière et d autres Calcul réfléchi Nécessité d un temps de recherche Confrontation des procédures Possibilité de recourir à l écrit Organisation? Grand groupe / petits groupes / ateliers 26

27 Quels contextes? Contexte numérique seul: Des «petits»problèmes: «Pierre avait 17 billes, il en gagne 23. Combien en a-t-il maintenant?» Moyen efficace d aider les élèves à progresser dans la maîtrise du sens des opérations. 27

28 Calcul mental et calcul instrumenté Passer d un nombre à un autre en utilisant un nombre minimum de touches : A partir de 35, faire afficher 25 (sans effacer 35) A partir de 40, faire afficher 36. Jeu à deux: un élève tape une séquence de calcul:8 [+] 7 l autre élève annonce le résultat Le premier élève tape [=] Affichage sous contraintes: Faire afficher 16 en tapant sur [+] ou sur [x] Faire afficher 16 sans taper ni 1 ni 6 Faire afficher 85 en trois étapes Production de suites (1 en 1; 5 en 5; 10 en 10) 28

29 20 minutes en CE1 Entretien connaissance du répertoire additif: A l oral: 6+5; 9+6; 3+9; 4+8; pour aller à 11; 4 pour aller à 10 8 pour aller à 15; 5 pour aller à ; 7-2; 12-5; 16-8; 14-9 Le meilleur calcul pour un produit: Quatre produits écrits au tableau Cahier de brouillon Trouver le plus rapidement possible le résultat: 50x4; 8x5; 9x10; 100x7 Confrontation des procédures 29

30 30 minutes en CE1 (Cap Maths) Problèmes proposés à l oral, les enfants peuvent noter les informations, l énoncé peut être relu, correction après chaque problème: Un groupe de 20 enfants est parti en classe de neige. En arrivant, ils décident de faire des bonshommes de neige. Pour cela, ils se mettent par deux. Combien y aura-t-il de bonshommes de neige? Le lendemain, 12 enfants décident de faire du ski. Les autres choisissent de faire de la luge. Combien d enfants font de la luge? Un autre jour, ils partent en randonnée. Il faut emporter quelques barres chocolatées pour tenir le coup. Le moniteur qui les accompagne emporte trois barres pour chaque enfant. Combien de barres chocolatées doit-il mettre dans son sac? En route, ils rencontrent un autre groupe de quinze enfants. Ensemble, ils organisent une grande bataille de boules de neige.combien y a-t-il d enfants pour cette grande bataille? 30

31 20 minutes en CE2 Entretien connaissance du répertoire additif: A l oral (5min): 7+4; 9+6; 8+6; 3+8; 9+9; pour aller à 11; 4 pour aller à 10 8 pour aller à 15; 9 pour aller à ; 7-2; 12-5; 16-8; 14-9 «Le bon compte»(15min): Nombre à atteindre: 64 Nombres à utiliser: 2; 4; 6; 7; 8; 10 Travail : cahier de brouillon ou ardoise Idem: nombre à atteindre: 55 nombres à utiliser: 4; 5; 6; 7; 10; 15 31

32 15 minutes en CM1 (Cap Maths) Problèmes proposés à l oral, les enfants peuvent noter les informations, l énoncé est lu deux fois, correction après chaque problème: Sophie a ramassé 60 coquillages. Elle en donne la moitié à son petit frère. Combien lui reste-t-il de coquillages? Alfred a planté quatre rangées de salades en mettant autant de salades dans chaque rangée. Il a planté en tout 60 salades. Combien a-t-il planté de salades dans chaque rangée? Dans son album photos, Brice peut coller 60 photos. Il en a déjà collé 45. Combien peut-il encore en coller? Le directeur de l école dispose de 60 euros pour acheter des dictionnaires. Un dictionnaire coûte 20 euros. Combien le directeur peut-il acheter de dictionnaires? Franck fabrique des petits objets. Il lui faut 5 minutes pour fabriquer un objet. Il travaille 60 minutes sans s arrêter. Combien a-t-il fabriqué d objets? 32

33 Calcul mental et autres apprentissages mathématiques L apprentissage de la division, activités d accompagnement: Approximation de quotients Trouver mentalement une valeur plausible pour«350 divisé par 82», puis vérifier par la multiplication à la calculette. Procédure attendue: 82 proche 80, diviser 350 par 80 se ramène à 35 par 8 Ordre de grandeur du quotient: «Partager pièces d or entre 5 personnes de manière à ce que chacun en reçoive autant, choisissez vous d en donner à chacun: 1000, 2000, 3000, 4000,, 9000?» 33

34 Calcul mental et autres apprentissages mathématiques L apprentissage de l heure Le furet des heures: Les élèves disent chacun leur tour un horaire, un intervalle de durée étant donné: Pour intervalle d une durée de quinze minutes, à partir de 9 heures Autour des décompositions de 60: Mémory «60»: 60; 30; 30; 20; 20; 20; 15; 15; 15; 15; 10; 10; 10; 10; 10; 10 Établir le répertoire des décompositions additives de «60» Avec dix cartes: 1; 2; 3; 4; 6; 10; 20; 30; 60; (12; 5): établir le répertoire multiplicatif de «60» 34

35 Autour de la table de Pythagore Remplissages et coloriages: Table de Pythagore: remplir et colorier la colonne et la ligne de la table de «2» Même tâche pour la table de «5» (couleur différente) Même tâche pour les tables de «3 et de «8» Poursuivre avec les tables de 10; 6 et 9 Terminer avec la table de 7 Observations, constats 35

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37 Déplacements: A partir d une règle de déplacement, observer les suites de nombres rencontrés: Déplacement ligne ou colonne: 8;16;24;32 Déplacement en diagonale: 1;4;9;16 : ce sont les «carrés»; on passe d un nombre à l autre en ajoutant successivement la suite des nombres impairs La suite: 4;10;18;28;40;54 :on passe d un nombre à l autre en ajoutant?? 37

38 Les puzzles Quels sont les morceaux qui peuvent être placés dans la table de Pythagore? Comment les reconnaître? Comment décrire les autres tableaux? Reconstituer la table de Pythagore 38

39 Tables de Pythagore à compléter Compléter si c est possible des extraits de table de Pythagore («classique» ou «prolongée») Comment passe-t-on d un nombre à l autre verticalement? horizontalement? en diagonale? D après Ermel CM1 39

40 Autour de la table de Pythagore encore! Matériel: la table de Pythagore (2 à 12), les cases de la diagonale principale sont grisées 121 jetons qui sont destinés à être placés sur les cases de la table Pour «12»: 4 jetons: 4x3; 3x4; 2x6; 6x2 Pour «16»: 3 jetons: 4x4; 2x8; 8x2 Etc Les jetons sont mélangés. Les joueurs tirent 2 jetons et les placent sur la case qui convient. Chacun prend ensuite 20 jetons, le reste constitue la pioche Un carton ne peut être posé que sur une case adjacente à un carton déjà placé. 40

41 Autres activités Tic-boum (Ermel): Le but du jeu est reconnaître les nombres entiers dont l écriture comporte le chiffre 7 et les multiples de 7. Les joueurs énoncent successivement la suite des nombres; lorsqu un nombre comporte le chiffre 7 dans son écriture décimale, le joueur ne prononce pas ce nombre mais dit «tic»; lorsque le nombre est un multiple de 7, le joueur dit «boum»: 1; 2; 3; 4; 5; 6; tic; 8; 9; 10; 11; 12; 13; boum; 15, 16, tic, 18; 19; 20; boum; 22; 23; 24; 25; 26; tic; boum;..; tic-boum (70); Tic-tic-boum (77!) 41

42 La boîte noire du CP au CM2: Je pense à un nombre, je lui ajoute 2, je trouve 7, quel est ce nombre? Il faut découvrir la règle qui permet de passer de: 4 à 9; 10 à 21; 30 à 61 Formulation: «Je prends un nombre, je le double et j ajoute 1» 42

43 Encore quelques exemples Il s agit, à partir, d un nombre donné, d atteindre un nombre cible, en respectant certaines contraintes: Nombre de départ: 12 Nombre cible: 53 Contraintes: ajouter des «7», retrancher des «4» Nombres affichés: 10; 20; 43; 35 A partir de ces nombres, trouver le plus de nombres possibles: Utilisation de l addition et de la soustraction, Utilisation d un nombre une seule fois par calcul. Le compte est bon: classique mais toujours pertinent! 43

44 Pénélope (Ermel CE2) On part d un nombre (ici 24), on lui applique les règles de transformations suivantes: à chaque ligne, le produit doit contenir un nombre de plus qu à la ligne précédente. Lorsqu on est sûr de ne plus pouvoir continuer, alors, le produit doit contenir un nombre de moins que celui de la ligne précédente et on ne doit pas retrouver une décomposition déjà écrite 24 3 x 8 3 x 2 x 4 3 x 2 x 2 x 2 6 x 2 x 2 12 x

45 Terminer les affiches suivantes: x 36 3 x 24 4 x 18 6 x 12 8 x 9 Prolongement: Voici un nombre qui a été écrit au cours du jeu de Pénélope, il est écrit sous la forme du produit: 2 x 5 x 3 x 7. Trouver toutes les écritures de ce nombre qui pourraient se situer sur la ligne suivante. 45

46 Et pour terminer une balade numérique!

47 Et pour terminer une balade numérique!

48 Bibliographie Les documents d accompagnement des programmes: le calcul mental à l école élémentaire, p32 (ce n est plus une référence institutionnelle, mais c est toujours une valeur sûre pour la conception des apprentissages!) Les ouvrages de la série Ermel (du CP au CM2), Hatier Plusieurs ouvrage de Fr.Boule: Jeux de calcul, Armand Colin, 1996 Le calcul à l école élémentaire, IREM Bourgogne, Faites vos jeux à l école, Didier, 2005 Butlen D., Calcul mental, calcul rapide, IREM Paris VII, 1987 Kuntzmann J., Calcul mental de 10 à 99 ans, IREM Grenoble, 1997 Lethielleux C., Le calcul mental, (2 vol), A.Colin, Peltier M.L., Activités de calcul mental, Hatier,