SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS

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1 SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS (Partie 1 & 2) L étude détaillée se limite aux systèmes de bases, c est à dire aux systèmes du premier ordre et du second ordre. En effet l étude des autres systèmes se construit à partir des résultats issus des premiers et seconds ordres. 1 Généralités - Rappels 1.1 Fonctions de transfert Considérons le schéma bloc d un asservissement : E( p ) + Ap S( p ) - S'( p ) B( p ) Définition des fonctions sur le schéma bloc usuel : E est l entrée du système ou encore la consigne donnée au système. est la sortie du système ou encore la réponse système. S est l image de la sortie. est l erreur (ou écart) constatée entre l entrée E( p ) et l image de la sortie S. Définition de la FTBF et de la FTBO : Fonction de Transfert en Boucle Fermée (abrégé sous la forme FTBF) : FTBF H E Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (abrégé sous la forme FTBO) : S FTBO Calcul de la FTBF et de la FTBO dans le cas de la boucle d asservissement classique représentée ci-dessus : S FTBO ApBp Page 1 Emmanuel FARGES EduKlub S.A.

2 Ap Ap [ E S Ap [ E B [ + 1 ApBp ApEp Soit la fonction de transfert en boucle fermée : Ce qui peut encore se présenter sous la forme : Ap FTBF H H E 1 + ApBp A FTBF H 1 + FTBO Chaque fonction de transfert étant un rapport polynomial, peut donc s écrire : m α :classedusystème p 1 K z K :gainstatiquedusystème H i 1 i où : n:ordredusystème p α n p p :(zérosdudénominateur)polesdelafonctiondetransfert 1 j p j 1 j z :(zérosdunumérateur)zérosdelafonctiondetransfert i 1.3 Analyse fréquentielle Réponse harmonique On étudie la réponse du système soumis à une entrée harmonique, c est à dire sinusoïdale : et () E sin( t). On démontre qu une des caractéristiques des systèmes linéaires continus invariants est qu ils présentent une réponse en régime établi (solution particulière de l équation différentielle) de la même forme que l entrée, c est à dire sinusoïdale mais déphasée et d amplitude st () S sin t + ϕ différente : Page 2 Emmanuel FARGES EduKlub S.A.

3 E Signal d entrée : et () E sin t Signal de sortie : st () S sin t + ϕ S Déphasage ϕ S On étudie alors le rapport d amplitude sortie sur entrée et le déphasage ϕ en fonction de E la pulsation du signal d entrée. On montre que le rapport des amplitudes est égal au module de la fonction de transfert avec p j et que le déphasage est égal à l argument de la fonction de transfert avec p j. Conclusion : L étude fréquentielle d un système de fonction de transfert H consiste donc à éffectuer p j dans l expression de la fonction de transfert et à étudier le complexe H( j ) souvent par son module (alors exprimé en décibels : ) et son argument ( ϕ( ) Arg[ H( j) H( j) 2 Log H( j) partie réelle et sa partie imaginaire. ) ou bien par sa Représentation fonctionnelle Représentation dans le plan de Black : Diagramme de Black : On représente le gain exprimé en décibels en fonction de la phase en degré pour une même pulsation. On obtient donc une courbe paramétrée par. Cette représentation est très utilisée pour concevoir la correction d un système. Elle est aussi assez souvent rencontrée dans les sujets de SI en Classe Préparatoire aux Grandes Ecoles. H( j) H ( ) Page 3 Emmanuel FARGES EduKlub S.A.

4 H 1 H 2 ϕ ( 2 ) ϕ ( 1 ) ϕ Représentation dans le plan de Bode : Diagrammes de Bode On représente le gain du système en fonction de la pulsation sur une courbe avec une échelle logarithmique en abscisse (voir exemple ci-dessous). On représente la phase du système en fonction de la pulsation sur une autre courbe avec toujours l échelle logarithmique pour les pulsations (voir exemple ci-dessous). H ( ) Page 4 Emmanuel FARGES EduKlub S.A.

5 4 Droite de pente -2/décade correspondant à lafonction de transfert : 1,c est à dire au p gain : H ( ) 2Log 1 ( rad s ) ϕ 1 décade 1 décade Droite horizontale à -9 correspondant à la phase de la fonction de transfert 1 p, c est à dire ϕ ( rad s ) Représentation dans le plan de Nyquist: On trace la courbe paramétrée par la pulsation avec en abscisse, la partie réelle du complexe H( j ) et en ordonnée la partie imaginaire du complexe H( j ). Page 5 Emmanuel FARGES EduKlub S.A.

9 Tracé des diagrammes de Bode

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