Stéphane Adjemian Le 27 juin 2016 à 15:06

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1 CROISSANCE (CORRECTION DE LA FICHE DE TD N 2) Stéphane Adjemian Le 27 juin 2016 à 15:06 EXERCICE 1 (1) Nou avon déjà montré dan la fiche de travaux dirigé n 1 que la dynamique du tock de capital par tête et caractériée par l équation différentielle uivante : k(t) = k(t) α ()k(t) À l état tationnaire le variable par tête ont contante. Noton k le niveau d état tationnaire du tock de capital par tête. L état tationnaire et olution de l équation uivante : k α = ()k À l état tationnaire l invetiement par tête doit être égal à la dépréciation du capital par tête. Cette équation admet deux olution en k. La olution la plu évidente et k = 0. Si le tock de capital et nul alor a dépréciation et néceairement nulle, par ailleur, lorque le tock de capital et nul la production et donc l invetiement par tête ont nul (puique l invetiement et une fraction de la production). Nou écarton cette olution, car l économie erait alor réduite à néant, et nou cherchon une olution trictement poitive pour k. En diviant le deux membre de la dernière égalité par k, nou obtenon : k α 1 = () À l état tationnaire, l invetiement par unité de capital doit être égal au taux de dépréciation. Nou obtenon finalement : k = ( ) 1 On déduit directement l état tationnaire de la production par tête, en ubti- Univerité du Maine, Gain. tephane DOT adjemian AT univ DASH leman DOT fr 1

2 tuant ce réultat dan la fonction de production intenive 1 : y = k α = ( ) α Enfin la conommation par tête à l état tationnaire et donnée par : ( ) α c = (1 )y = (1 ) (2) Une augmentation permanente du taux d épargne induit une augmentation de l état tationnaire du tock de capital phyique par tête. En effet, nou avon : dk d = 1 1 α dk d = 1 1 α ( 1 ( 1 ) 1 1 ) α > 0 puique, par l hypothèe de rendement marginal poitif et décroiant du capital phyique, nou avon 0 < α < 1. Puique la production par tête et une fonction monotone croiante du tock de capital par tête, l augmentation permanente du taux d épargne induit néceairement une augmentation de la production par tête à l état tationnaire. En effet, en utiliant le dérivée en chaîne, nou obtenon : dy d = α k α 1 dk d > 0 Le conéquence ur le niveau à l état tationnaire de la conommation ont moin évidente. En effet, l augmentation induite de la production par tête, y, accompagne d une diminution de la part conommée du revenu, (1 ). Pour conclure il faut peer l augmentation de la production avec la baie de la propenion à conommer. Nou devon donc comparer deux pente : la pente de la part de la production conommée, contante et égale à -1, avec la pente de la production, qui dépend du niveau de et et donnée par la dernière équation. Une augmentation du taux d épargne induit une augmentation de la conommation à l état tationnaire i et eulement i la pente de la production et upérieure à un (c et-à-dire la valeur abolue de la pente de la part conommée de la production). Nou donneron une répone plu précie en répondant à la quetion uivante. 1. Celle-ci exprime la production par tête en fonction du tock de capital par tête. En effet nou avon : Y = K α L En diviant le deux membre par la population : Y L = Kα L α en utiliant le définition de variable par tête, on a de façon équivalente : y = k α 2

3 L augmentation permanente du taux d épargne induit une augmentation de k et de y. Si l économie e itue initialement ur un état tationnaire aocié à un taux d épargne k α plu faible, alor l accroiement du taux d épargne va générer une dynamique de tranition pour amener k α l économie ver le nouvel état tationnaire. Durant cette tranition le tock de capital par tête et la production augmentent. Au moment de k(0) k l augmentation du taux d épargne, le niveau de la conommation par tête FIGURE 1 Tranition uite à une augmentation du taux d épargne chute, puique le ménage épargnent plu alor que la production commence tout jute à ajuter, certe à la haue, ver le nouvel état tationnaire. Pui, en uivant la croiance de la production, la conommation par tête augmente de façon continue pour rejoindre on nouvel état tationnaire, dont on ne peut dire pour l intant i il era plu élevé ou moin élevé que la condition initiale de la conommation. (3) La conommation à l état tationnaire et une fonction du taux d épargne : ( ) α c () = (1 ) On vérifie facilement que la conommation de long terme (le niveau d état tationnaire) et nulle i le taux d épargne et nul. En effet, i le taux d épargne et nul, alor le tock de capital phyique par tête à long terme et nul (en l abence d invetiement, le tock évapore, du fait de la dépréciation, juqu à ce que le tock diparaie) et donc la production à long terme et nulle. Puique la conommation et une fraction contante de la production, la conommation et forcément nulle à long terme dan ce ca. Dan le ca oppoé d un taux d épargne égal à un, on atteint certe le niveau de long terme le plu élevé poible pour le tock de capital phyique par tête ou la production par tête (voir le répone à la quetion 2), mai il agit d une économie où le ménage conomment une part nulle de la production! Encore une foi la conommation à long terme et nulle. On peut tout aui facilement vérifier, dan ce deux ca polaire, que i on augmente (en partant de zéro) ou diminue (en partant de un) marginalement le taux c () 0 or = α 1 FIGURE 2 Taux d épargne de la règle d or d épargne alor on obtient néceairement une augmentation de la conommation par tête à long terme. Entre ce deux ca polaire, nou cherchon une 3

4 valeur du taux d épargne telle que le niveau de long terme de la conommation par tête et maximal. Si ce niveau optimal exite, alor il doit être tel qu en ce point la dérivée de la conommation à l état tationnaire par rapport à et nulle. La dérivée de c par rapport à et donnée par : dc ( d = ( = ) α + (1 ) α ) α [ α 1 α α ] 1 ( ) α 1 Le taux d épargne de la règle d or or, qui maximie la conommation par tête à long terme doit être tel que : c et-à-dire, en implifiant : dc ( or ) d = 0 On trouve finalement : α 1 or = 1 1 α or or = α Le taux d épargne de la règle d or et égal à l élaticité de la production par rapport au capital phyique. Montron qu il agit bien de l unique maximum. La dérivée de c par rapport à peut écrire ou la forme : dc [ ] α d = 1 y () 1 1 α en utiliant la définition de l état tationnaire de la production par tête. De façon équivalente, en factoriant 1 /(), on a : oit par définition de or : dc d = y () [(1 )α (1 α)] (1 α) = y () [α ] (1 α) dc d = y () (1 α) [ or ] Puique la dérivée de c par rapport à et poitive (négative) i et eulement i < or (repectivement > or ), or = α et bien l unique valeur du taux d épargne qui maximie le niveau de la conommation à l état tationnaire. (4) Si le taux d épargne effectif et différent du taux d épargne de la règle d or, alor on ait qu en incitant le ménage à épargner une fraction or de la production on amènera l économie dan une ituation où la conommation par tête et plu importante à long terme. On pourrait donc pener, i le but et de 4

5 maximier le niveau de la conommation par tête à long terme, que l on aurait toujour intérêt à choiir un taux d épargne égal à l élaticité de la production par rapport au capital. Mai il ne faut pa omettre le conéquence ur le niveau de conommation par tête à court terme, pendant la tranition qui amène l économie ver l état tationnaire de la règle d or. On ditinguera deux ituation : le ca où l économie et initialement en ur accumulation (dan le en où le taux d épargne effectif et upérieur à celui de la règle d or) et le ca où l économie et initialement en ituation de ou accumulation (dan le en où le taux d épargne effectif et inférieur à celui de la règle d or). Dan le deux ca, on uppoe que l économie et initialement à l état tationnaire (aocié à un taux d épargne non optimal). Sur accumulation Il agit du ca le plu imple. En effet i le taux d épargne et initialement trop élevé, il faut le diminuer pour atteindre le taux d épargne de la règle d or. Puique la part épargnée de la production baie, dè le paage de à or la conommation augmente (elle aute). Enuite le niveau de la conommation par tête ajute à la baie juqu à atteindre on état tationnaire. En effet, puique le paage au taux d épargne de la règle d or exige une baie du taux c or c(0) t c(t) FIGURE 3 Tranition de la conommation (ur accumulation) d épargne il entraîne aui une baie de l état tationnaire du capital par tête et donc de la production par tête. L économie doit rejoindre un nouvel état tationnaire où le ménage conomment plu alor que la production et plu faible. Le long de la tranition ver ce nouvel état tationnaire, le tock de capital par tête, la production par tête et donc la conommation par tête baient. Aini le paage de à or et toujour profitable, à court terme et à long terme le niveau de conommation obtenu uite à la baie du taux d épargne et toujour upérieur à ce qu il était initialement : c(t) > c(0) = c () t > 0. Sou accumulation Si taux d épargne et initialement trop faible, par rapport à l optimum, alor nou devrion augmenter celui-ci. Cela aure c or c(t) un niveau de conommation par tête plu élevé à l état tationnaire, mai cela entraîne mécaniquement une baie de la conommation initialement. Au même intant que c(0) l augmentation du taux d épargne, la conommation chute pui adopte un 0 T t profil croiant pour rejoindre l état tationnaire de la règle d or. En effet, l augmentation du taux d épargne FIGURE 4 Tranition de la conommation (ou accumulation) augmente l état tationnaire du tock de capital par tête. Le long de la dyna- 5

6 mique de tranition ver le nouvel état tationnaire, le tock de capital par tête, la production par tête et donc la conommation par tête augmentent. Pendant une première période, t [0, T [, uite à l augmentation du taux d épargne, le niveau de conommation par tête demeure ou a condition initiale (c(0) = c ()), avant de le dépaer définitivement. Il faut donc mettre en balance le bénéfice à long terme avec le coût à court terme pour décider il et intéreant d adopter le taux d épargne de la règle d or. Le choix dépendra de la préférence pour le préent de ménage. Si le ménage accordent beaucoup plu de poid au préent qu au futur, c et-à-dire plu de poid à la perte en terme de conommation entre 0 et T qu aux gain entre T et, il trouveront peu intéreant le paage de à or. EXERCICE 2 (1) L indice technologique, A(t), et uppoé croître à taux contant. Nou avon donc : A(t) A(t) = x t L introduction du progrè technique et néceaire dan le modèle de Solow, car an cette ource exogène de croiance le taux de croiance de variable par tête et nul à long terme. Par exemple, le modèle de Solow an progrè technique prédit que l hypothèe de rendement marginal du capital phyique réulte à long terme en un taux de croiance nul pour la production par tête. Cette prédiction contredit l obervation. (2) Par définition du tock de capital par tête efficace, ˆk, nou avon : ˆk = d K dt AL = K(AL) K(AL) (AL) 2 = K(AL) K AL KA L (AL) 2 = K AL ˆk A A ˆk L L = K (x + n)ˆk AL En ubtituant la loi d évolution du tock de capital phyique agrégé, il vient : ˆk = Kα (AL) δk AL (x + n)ˆk En exploitant le fait que la fonction de production oit homogène de degré un (rendement d échelle contant), on a finalement : ˆk = ˆk α (x + )ˆk (3) À l état tationnaire, l invetiement par tête efficace doit être égal au taux de dépréciation du tock de capital par tête efficace, de orte que la variation du tock de capital par tête efficace oit nul. L état tationnaire ˆk doit donc être la olution de : ˆk α (x + )ˆk 6

7 En excluant la olution nulle, on obtient : ( ˆk = n + x + δ ) 1 On peut déduire l état tationnaire de autre variable à partir de ce réultat. Noton que nou n aurion pa pu identifier un état tationnaire pour le tock de capital par tête ou le tock de capital dan ce modèle, puique le équation différentielle dictant l évolution de ce deux variable ne ont pa autonome (ie le lien entre la variation et le niveau dépend du temp). Clairement, puique 1/ > 0, une augmentation permanente du taux d épargne induit une augmentation de l état tationnaire du capital par tête efficace et donc aui une augmentation du niveau de long terme de la production par tête efficace. (4) Le taux de croiance du tock de capital par tête et donné par : gˆk = ˆk α 1 (x + ) En notant, à partir de l expreion de l état tationnaire donnée plu haut, qu il et poible d exprimer le taux de dépréciation du capital par tête efficace (n + x + δ) en fonction de l état tationnaire : n + x + δ = ˆk α 1 En ubtituant dan l équation du taux de croiance et en factoriant il vient : (ˆkα 1 α 1) gˆk = ˆk oit encore : gˆk = ˆk α 1 ( ) α 1 ˆk 1 ˆk Clairement, puique α 1 < 0 à caue de rendement décroiant du capital, i ˆk/ˆk et inférieur à un, c et-à-dire i le tock de capital par tête efficace et inférieur à on niveau de long terme, le taux de croiance et poitif. Au fur et à meure que le tock de capital par tête efficace augmente, le ratio ˆk/ˆk e rapproche de un et le taux de croiance e rapproche de zéro. Ce réultat repoe ur l hypothèe de rendement décroiant, α < 1. Au fur et à meure que l économie e rapproche de l état tationnaire en augmentant on niveau de capital, le rendement de l invetiement devient de plu en plu faible et, puique l épargne et une fraction contante de la production, l invetiement net de la dépréciation et de plu en plu faible ce qui réulte en une diminution du taux de croiance. (5) Le taux de croiance du tock de capital par tête et : g k = gˆk + x Le taux de croiance du tock de capital et : g K = gˆk + x + n On établit ce réultat facilement en e rappelant que le taux de croiance du produit de deux variable et la omme de taux de croiance de ce deux 7

8 variable. Le taux de croiance de la production par tête efficace et proportionnel au taux de croiance du capital par tête efficace car la technologie de production (qui tranforme le capital en produit) et à élaticité contante : gŷ = αgˆk En effet : dt ˆk α gŷ = ŷ d ŷ = ˆk α = αˆk α 1 ˆk ˆk α = α ˆk ˆk Le taux de croiance de la production par tête et : = αgˆk g y = gŷ + x Puique x > 0, le taux de croiance du produit par tête et néceairement poitif i le taux de croiance du produit par tête efficace et poitif. Dan l autre en, i le taux de croiance du produit par tête efficace et négatif, alor le taux de croiance du produit par tête n et pa néceairement négatif. 8

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