Corrigé de CCP 2015 Math PC

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Corrigé de CCP 2015 Math PC"

Transcription

1 Corrigé d CCP 5 Math PC Problèm : Aalys t probabilités Parti I : Aalys..a. Pour N, f st dérivabl sur R + t, pour t, f (t) = t t ( t).! f st doc croissat sur [; ], décroissat sur [; + [ t f () = = lim f (t), f () =. t +! Par coséqut, l maximum d f sur R + st, attit.!.b. Grâc à la formul d Stirlig, f () π t doc, simplifiat f (). π /.c. Ls dux qustios précédts motrt qu, pour tout N, f f st boré sur R + t lim f f = : la suit d foctios (f ) N covrg uiformémt vrs f sur R a. Pour x R, o cosidèr la foctio g x : t t t x. Pour tout x R, g x st défii t cotiu par morcaux sur R +. g x st à valurs positivs doc l itégral t t x dt st covrgt si t sulmt si g x itégrabl sur R +. Pour tout x R, par croissac comparé, quad t td vrs l ifii, g x (t) = o ( ) t t > doc gx st itégrabl sur [; + [. E O +, g x (t) t doc g x x st itégrabl sur ]; ] si t sulmt si x < soit x >. O put alors coclur qu D =] ; + [ ; D cotit bi R +..b. Soit x R +. O pos h : t (l t) t t x. h st cotiu par morcaux sur ]; + [. Pour t >, t h(t) = l t t tx+3 t doc, par croissac comparé, h(t) = o(/t ) : h st itégrabl sur [; + [. Pour t, h(t) l t t l st itégrabl sur ]; ] doc h aussi. h st doc itégrabl sur ]; + [ c qui prouv la covrgc d l itégral (l t) t t x dt..c. Soit g : (x, t) t t x. D après la qustio.a., pour tout x R +, t g(x, t) st cotiu par morcaux t itégrabl sur ]; + [. Pour tout t > t x R +, g(x, t) = t x l t doc x g(x, t) st d class C sur R + t, g (x, t) = x (l t) t t x. Pour tout x R +, t g (x, t) st cotiu par morcaux sur ]; + [. x Soit [a; b] u sgmt iclus das R +. Pour tout x [a; b], si t, t x t b t si < t, t x doc g (x, t) x l(t) t t b + l t t. ϕ : t l(t) t t b + l t t st la somm d dux foctios cotius par morcaux t itégrabls doc ϕ l st aussi. D après l théorèm d dérivabilité ds itégrals à paramètr, la foctio x class C sur R +. st t t x dt st d

2 .d. Si N, D doc f (t)dt st aussi covrgt. t t dt st covrgt. Par liéarité,.. Pour N, o cosidèr la propositio P() : f (t)dt = [ t ] + = doc P() st vrai. f (t)dt =. Soit N. O suppos P() vrai. Pour t, o pos u(t) = t +, v (t) = t t u (t) = ( + )t, v(t) = t. Par croissac comparé, uv a ds limits fiis t + t u, v sot d class C sur R + doc, par itégratio par partis, t + t dt = [ ( + )t t ] + + ( + ) t t dt E divisat par ( + )! t utilisat l hypothès d récurrc, o déduit P( + ) st vrai. Par récurrc, o put alors coclur qu, pour tout N, 3. 3.a. Soit x R + t N. D après la rlatio d Chasls, 3.b. Soit N. f st cotiu sur R + doc f (t)dt + x H (x) = f (t)dt =. f (t)dt = ; o déduit f (t)dt f + (t)dt = : f (t)dt st u primitiv d f sur R +. Par coséqut H st dérivabl sur R + t, pour x R +, H (x) = f (x). f état cotiu, H st d class C sur R +. 3.c. Soit N. H st particulir cotiu sur R + doc lim H (x) = H () =. x Par défiitio d itégral gééralisé covrgt, 3.d. Soit x R +. Pour tout N, f lim H (x) =. x + st cotiu sur [; x] t la suit d foctios (f ) covrg uiformémt vrs f sur R + doc sur [; x] ; o déduit qu lim + f (t)dt = f(t)dt =. Par coséqut, lim H (x) = a. f attit so maximum doc la rpréstatio graphiqu d f st C a, cll d f 5 st C c. 4.b. Quad augmt l maximum d f st d plus plus ptit (graphiqumt : l poit d plus haut ordoé st d plus plus bas). L air sous chacu ds courbs st égal à. 5.5.a. Pour t R +, la séri xpotill t! covrg t a pour somm t doc la séri f (t) covrg : la séri d foctios f covrg simplmt sur R +. 5.b. Soit a R +. Pour N t t [; a], f (t) a! ( t t t t st croissat sur R +. D plus la séri a! covrg doc la séri d foctios f covrg ormalmt sur [; a]. 5.c. D après la qustio.b. t par comparaiso aux séris d Rima, f,r + divrg doc la séri d foctios f covrg pas ormalmt sur R +.

3 Parti : Probabilité..a. Par hypothès, S = X suit u loi d Poisso d paramètr. Soit N. O suppos qu S suit u loi d Poisso d paramètr. S + = S + X +, S suit u loi d Poisso d paramètr, X + suit u loi d Poisso d paramètr t S, X + sot idépdats (résultat admis das l éocé) doc S + suit u loi d Poisso d paramètr +. Par récurrc, o déduit qu, pour tout N, S suit u loi d Poisso d paramètr. Par coséqut, E(S ) = V (S ) =..b. Par liéarité d l spérac, E(S) =. Pour u variabl aléatoir admttat u variac, V (ax + b) = a V (X) doc V (S) =..c. Soit N. doc P (S ) = P (S ) = P (S = k) t, par défiitio d la loi d Poisso, P (S ) =. Soit N. O appliqu la formul d Taylor avc rst itégral à la foctio f = xp qui d class C + sur R + avc ls bors a = t b =. Pour tout k N, f (k) = f t f() = doc k = k! + t t dt! 3. 3.a. O multipli la rlatio précédt par : = k k! + t t dt! Doc, avc ls qustios II..c. t I.3.a., P (S ) = H (). 3.b. Soit N. La qustio précédt puis la rlatio d Chasls ous dot : k= k= k= k= k k! P (S ) P (S + ) = = t t! dt t t! dt t t + ( + )! dt t t + ( + )! dt t t + ( + )! dt Das la dièr itégral, o pos v (t) = t, u(t) = t+ ( + )! t v(t) = t, u (t) = t!. u t v sot d class C sur [; + [ t uv a u limit fii (ull) + doc, par itégratio par partis, P (S ) P (S + ) = t, après simplificatio, t t! dt + P (S ) P (S + ) = 3.c. O a doc P (S ) P (S + ) = t t + + dt ( + )! ( + )! t t + + dt ( + )! ( + )! t t! dt f + (t)dt f + () t f + st croissat sur [; +] doc, pour tout t [; + ], f + (t) f + () t, itégrat sur [; + ], 3

4 P (S ) P (S + ). Cci état pour tout tir N, o déduit qu la suit (P (S )) N aillurs ll st mioré par (suit d probabilités) doc ll covrg. st décroissat. Par 4. Pour tout N, l P (S ) P (S ) doc, passat à la limit, l H (). H () = f (t)dt avc f cotiu positiv o idtiqumt ull sur [; ] doc H () <. O déduit qu l [; [. 3.d. Méthod umériqu : o utilis la qustio.c. pour u valur d assz grad. Avc l programm : df approx(): p,f,s=,, for k i rag(,+): p=p* f=f*k s=s+p/f rtur(s*xp(-)) t =, o obtit viro, 5. Méthod probabilist : Comm o put pas dirctmt simulr u loi d Poisso, o utilis u loi biomial d paramètrs N t avc N assz grad. O déduit ds valurs qui suivt u N loi proch d la loi d Poisso d paramètr. Esuit, o costruit S puis S. O calcul alors la fréquc d obttio d S sur u grad ombr d réalisatios. from math import sqrt from radom import radom df bio(,p): s= for k i rag(): if radom()<=p: s=s+ rtur(s) df S(,N): s= for k i rag(): s=s+bio(n,/n) rtur(s) df St(,N): rtur((s(,n)-)/sqrt()) df stimatio(m,,n): s= for k i rag(m): if St(,N)<=: s=s+ rtur(s/m) t voici ls résultats obtus sur réalisatios prat m = = N = : [.55,.6,.48,.5,.47,.49,.5,.59,.5,.5] L problèm st qu o dispos pas d cotrôl sur la précisio d os résultat (pas d stimatio du rst das la méthod umériqu t aucu rsigmt pour la méthod probabilist). 4.a. Pour N t t R, G S (t) = + k= (t)k. Ctt séri covrg puisqu il s agit d u séri k! 4

5 xpotill t G S (t) = (t ) 4.b. Soit t R + t N. t S = (t / ) S = (t / ) S t t, par liéarité d l spérac, t S admt u spérac t E(t S ) = G S (t / ) xp ( (t / ) ) 4.c. Avc ls dux qustios précédts, E(t S ) =. Quad u td vrs, u = + u + u + o(u ) doc t / = + l t (l t) + + o( ) t (t/ ) = (l t) l t + + o(). Par coséqut, avc t = xp( (l t) l t), E(t S ) = xp( + o()). ( ) Par cotiuité d la foctio xpotill, lim + E(tS (l t) ) = xp. Problèm : Algèbr ( ) ( ). O put choisir A = t A =.. Tous ls cofficits d A 3 sot das { ; } doc A 3 B 3. 3 A T 3 A 3 = 3 doc A 3 st pas das H 3. 3 O calcul l détrmiat d A 3 ajoutat C 3 à C : dt(a 3 ) = t, dévloppat par rapport à la prmièr colo, dt(a 3) = 4 doc A 3 G a. Tous ls cofficits d A 4 sot das { ; } doc A 4 B 4. E ffctuat l produit matricil, o trouv A T 4 A 4 = 4I 4 doc A 4 H 4. 3.b. A 4 st u matric symétriqu doc A 4 = 4I 4 t S = I 4. O a doc ϕ = id R 4 t ϕ st u symétri. Soit λ u valur propr d ϕ t x u vctur propr associé. ϕ(x) = x doc ϕ (x) = λ x t x = λ x. x st u vctur propr doc x st o ul t λ =. Par coséqut Sp(S) { ; }. Si st pas valur propr d S, alors S I 4 st ivrsibl t, comm S I 4 = (S I 4 )(S + I 4 ) =, S + I 4 =. Cci st absurd doc st valur propr d S. O démotr d mêm qu st valur propr d S. Par doubl iclusio, o a doc Sp(S) = { ; }. 3.c. A 4 st u matric symétriqu réll doc A 4 st diagoalisabl. Comm A 4 = S, χ A4 (X) = dt(xi 4 S) = 4 χ S ( X ) t Sp(A 4) = { ; }. (pour λ R, χ A4 (λ) = si t sulmt si λ { ; }). 3.d. Il faut trouvr ls sous spacs proprs d A 4 qui sot ls mêms qu cux d S. Comm la trac d A 4 st ull, ls dux sous spacs proprs sot d dimsio. Pour obtir ls colos d P, o chrch u bas orthoormal d chaqu sous spac propr (o put par xmpl chrchr u bas puis l orthoormalisr avc l procédé d Schmit). 4. Soit A H. st o ul doc AT A = I c qui prouv qu A st ivrsibl, d ivrs AT. Par coséqut H G. Par défiitio o a aussi G B doc fialmt H G B. O put cosidérr qu B st l smbl ds -lists d élémts pris das { ; } doc B st u smbl fii d cardial. t t 5

6 5. Soit A B. O suppos i). Pour tous i t j tr t, (A T A) i,j = C i (A) T C j (A) (produit par blocs) doc, si i st différt d j, C i (A) T C j (A) = : la famill (C j (A)) j st orthogoal. O a doc l implicatio i) = ii). O suppos ii). O ot, pour j tr t, C j = C j ( A). Par hypothès (C,, C ) st orthogoal. Comm ls cofficits d A sot das { ; }, la orm d C j (A) st ( la orm d C j st. O déduit qu ls colos d la matric A st u matric orthogoal. O a motré l implicatio ii) = iii). O suppos iii). A ij = i= = ) t doc A formt u bas orthoormal d M, (R) t doc Alors A = A st orthogoal doc A T A = I t, multipliat par, A T A = I : A H (A st das B ). O a doc iii) = i). O put alors coclur qu ls trois propositios sot équivalts a. Pour i tr t, o multipli L i (A) par A, doc dt(a ) = A, dt(a). 6.b. Pour i tr t t j tr t, A i,j = A, A i,j A i, A,j. Pour j =, o a doc A i,j = t pour j, A i,j st la différc d dux ombrs qui sot égaux à ou doc st égal à, ou. A, A, A, Par coséqut, A =. B avc B matric carré d taill dot tous ls cofficits sot das {,, }. A st alors triagulair par blocs doc dt(a ) = A, dt(b ) avc A ivrsibl t A, o ul doc dt(b ) : B st ivrsibl. 6.c. E utilisat la liéarité du détrmiat par rapport à chaqu colo, dt(b ) = dt(b ) où B st u matric dot tous ls cofficits sot das { ; ; }. Par coséqut dt(a ) st u multipl d. Comm dt(a ) t dt(a) sot égaux au sig près (A, vaut ou ), dt(a) st aussi u multipl d. 6.d. A H t dt(a T ) = dt(a) doc dt(a) = dt(i ) =. Aisi, dt(a) = /. D après la qustio précédt, divis / doc o put écrir = p : dt(a) = (p) p t p divis p p p p divis p p ; particulir divis p. O déduit qu st u multipl d a. Soit x = (x,, x r ), y = (y,, y r ) dux élémts d R r t λ R. τ r (x + λy) = τ r (x + λy,, x r + λy r ) = (x + λy, x + λy, x 3 + λy 3,, x r + λy r ) = (x, x, x 3,, x r ) + λ(y, y, y 3,, y r ) = τ r (x) + λτ r (y) τ r st doc u domorphism d R r. D plus, si τ r (x) =, alors x = doc τ r st ijctif. U domorphism ijctif dimsio fii 6 i=

7 st bijctif doc τ r st u automorphism d R r. 7.b. τ r (,,, ) = (,,,, ), τ r (,,,, ) = ( (,, ), ) t, si( i, ) τ r ( i ) = i ( i ièm A vctur d la bas caoiqu). Par coséqut, T r = où A =. I r 7.c. T r st la matric d u automorphism doc T r st ivrsibl t A aussi. Ls opératios élémtairs, L i L L i modifit pas l rag d la matric doc A st ivrsibl. La prmièr colo d A st., sur la prmièr lig d A, il y a qu ds. Soit i t j supériurs ou égaux à. Si (T r ) i,j =, alors A i,j = = t si (T r ) i,j =, alors A i,j =. O put alors coclur qu A G. 8. O prd r = 4 das c qui précèd. O rommat A la matric A d la qustio 7. : A =. A st das G 6 mais pas das H 6 car ss dux prmièrs colos sot pas orthogoals a. λ st u valur propr d A doc o put cosidérr u vctur propr associé X =. alors AX = λx t doc, pour tout i tr t, A i,j x j = λx i. j= x x. O a { x i ; i [ ; ]} st u parti fii o vid d R doc o put cosidérr so plus grad élémt m. il xist k tr t tl qu x k = m. Comm X st pas ul, x k t, par défiitio d m, pour tout j tr t, x j x k. 9.b. O a particulir λ x k = A kj x j t, d après l iégalité triagulair, λ x k A kj x j. j= A kj vaut ou doc A kj = t, pour tout j, x j x k doc λ x k x k t, comm x k st o ul, λ. 9.c. C qui précèd prouv qu l sup xist t st ifériur ou égal à. Pour motrr l égalité, il suffit d trouvr u matric A B qui admt comm valur propr. O put choisir la matric A dot tous ls cofficits sot égaux à. Alors A B t si U st la colo dot tous ls cofficits sot égaux à, alors AU = U t U st pas ul doc st valur propr d A. O a doc l égalité : sup (({ λ tl qu λ Sp(A) t A B }) = j= 7

corrigé BAC MATHEMATIQUES - mai LIBAN

corrigé BAC MATHEMATIQUES - mai LIBAN corrigé B MTHEMTIQUES - mai - LIBN Ercic (4 poits) Qustio La propositio d) st vrai par élimiatio : la a) st fauss car ls vcturs dircturs sot pas coliéairs, b) st fauss car il y a pas d poit d itrsctio

Plus en détail

Fiche d exercices 7 : Intégrales et primitives

Fiche d exercices 7 : Intégrales et primitives Fich d rcics 7 : Itégrals t primitivs Itégrals t propriétés Ercic O cosidèr ls foctios f ( ) + t f ( ). E utilisat la défiitio d u itégral, calculr : Ercic (a) f ( ) d (c) f ( ) (b) g ( ) d (d) g ( ) 5

Plus en détail

EXERCICES SUR LES SUITES NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

EXERCICES SUR LES SUITES NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako EXERCICE : I) ; ; r t S EXERCICES SR LES SITES NMÉRIQES Sit MathsTICE d Adama Traoré Lycé Tchiqu Bamako désigat rspctivmt l prmir trm, l ièm trm, la raiso t la somm ds prmir trms d u suit arithmétiqu,

Plus en détail

LE TRANSFORMATEUR DE TENSION

LE TRANSFORMATEUR DE TENSION LE TRANSFORMATEUR DE TENSION. Dscriptio rapid L trasformatur put êtr cosidéré comm u covrtissur altratif altratif. Il st costruit afi d'adaptr ls tsios tr dux résaux ayat ds caractéristiqus différts. Ls

Plus en détail

EXERCICES ET PROBLÈMES SUR LA FONCTION EXPONENTIELLE Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako. e = 4 ; 4 ) e x+3 e x 2 = e 3

EXERCICES ET PROBLÈMES SUR LA FONCTION EXPONENTIELLE Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako. e = 4 ; 4 ) e x+3 e x 2 = e 3 EXERCICES ET PROBLÈMES SUR LA FONCTION EXPONENTIELLE Sit MathsTICE d Adama Traoré Lycé Tchiqu Bamako Ercic I résoudr das R ls équatios t iéquatios suivats : ) 5+ 3+ 3 ; ) + ; 3 ) 4 ; 4 ) +3 3 5 5 ) ; 6

Plus en détail

Eléments de correction du BAC Amérique du Nord -30 mai 2013

Eléments de correction du BAC Amérique du Nord -30 mai 2013 Elémts d corrctio du BAC Amériqu du Nord -3 mai 3 Ercic A, B t C sot pas aligés si t sulmt si ls vcturs AB t AC sot pas coliéairs O a AB ; ; t AC ; 5; 3 poits A, B t C sot las aligés or 5 a Comm A, B t

Plus en détail

Terminale S Pondichéry, Avril 2009 Sujets de Bac

Terminale S Pondichéry, Avril 2009 Sujets de Bac D PINEL, Sit Mathmitc : http://mathmitcfrfr/idphp Trmial S Podichéry, Avril 009 Sujts d Bac D PINEL, Sit Mathmitc : http://mathmitcfrfr/idphp Trmial S Podichéry, Avril 009 Sujts d Bac D PINEL, Sit Mathmitc

Plus en détail

Fonctions exponentielles

Fonctions exponentielles Foctios potills I Foctios potills d bas. Foctio :, avc > 0 La suit ( u ) d trm gééral u st u suit géométriu d raiso. La octio potill déii par ( ) st l prologmt d ctt suit géométriu. La courb rpréstativ

Plus en détail

EXERCICES PRIMITIVES ET CALCUL INTÉGRAL Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako ; 16 )

EXERCICES PRIMITIVES ET CALCUL INTÉGRAL Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako ; 16 ) EXERCCES PRMTVES ET CALCUL NTÉGRAL Sit MathsTCE d Adama Traoré Lycé Tchiqu Bamako EXERCCE : Trouvr u primitiv d chacu ds foctios f défiis par ) f () 6 ; ) f () ) f () 9 ; ) f () 7 ) f () ( )( ) ; 6 ) f

Plus en détail

des nombres complexes

des nombres complexes Esmbl ds ombrs complxs I. Form algébriqu d u ombr complx. Théorèm Il xist u smbl, oté,d ombrs applés ombrs complxs, tl qu : cotit ; st mui d u additio t d u multiplicatio pour lsqulls ls règls d calcul

Plus en détail

Chapitre n 10 : Intégration Exercices BAC

Chapitre n 10 : Intégration Exercices BAC Chapitr : Itégratio Ercics BAC Ercic : Polyési Sptmr - 6 poits Ercic : La Réuio 6 poits 3 Ercic 3 : Ctrs Etragrs 6 poits 4 Ercic 4 : Frac 7 poits 5 Ercic 5 : Asi 5 poits 7 Ercic 6 : Podichéry Avril : 6

Plus en détail

3 f x, or pour x [3, [, f '( x) 0 car

3 f x, or pour x [3, [, f '( x) 0 car Foctio potill Ercics corrigés Fsic 996, rcic Soit f la foctio défii sur * par f( ) t C sa courb rpréstativ 3 3 a f st u bijctio d * sur ; 7 b La droit ( ) d équatio 3 st a d symétri d la courb C O t ll

Plus en détail

Exo7. Applications linéaires continues, normes matricielles. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.

Exo7. Applications linéaires continues, normes matricielles. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france. Exo7 Applicatios liéaires cotiues, ormes matricielles Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr Exercice * * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile

Plus en détail

Corrigé. f(k)dt = f(k) =

Corrigé. f(k)dt = f(k) = Baqu PT 0 sporiss.luci@orag.fr Epruv d Mahémaiqus C Corrigé Prélimiair Soi u ir aurl o ul f u focio à valurs posiivs, coiu par morcaux hypohès oublié par l éocé), décroissa sur [,+ [. { [, +] f +) f) f)

Plus en détail

SESSION DE 2004 CA/PLP

SESSION DE 2004 CA/PLP SESSION DE 4 CA/PLP CONCOURS EXTERNE Sectio : MATHÉMATIQUES SCIENCES PHYSIQUES COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L usage des calculatrices de poche est autorisø (coformømet au directives de

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL Corrigé du baccalauréat Polyésie 6 jui 4 STID STL spécialité SPCL EXERCICE 4 poits Cet eercice est u questioaire à choi multiples. Pour chacue des questios suivates, ue seule des quatre réposes proposées

Plus en détail

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3 LES SUITES. Défiitio.. Défiitio Ue suite umérique est ue foctio de das, défiie à partir d'u certai rag 0. La otatio (u ) désige la suite e tat qu'objet mathématique et u désige l'image de l'etier (appelé

Plus en détail

Fonction exponentielle

Fonction exponentielle Foctio potill I. Crctéristios d l foctio potill., Défiitios. Déf : Il ist u uiqu foctio dérivl sur R qui st égl à s dérivé t qui prd l vlur 0 : ctt foctio st oté p t vérifi : pour tout ЄR, p (p( t p(0).

Plus en détail

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008 Sup Galilée - Maths pour l Igéieur Corrigé du Partiel du 9 Novembre 008 Étude d ue suite récurrete Soit u 0 ]0, [ O cosidère la suite (u ) défiie par u + u 3 u ) Justifier que la suite u est borée O motre

Plus en détail

et arctanx + arctan 1 x = sgn(x)π 2. 3. Application à la statue de la liberté : haute de 46 mètres avec un piédestal de 47 mètres.

et arctanx + arctan 1 x = sgn(x)π 2. 3. Application à la statue de la liberté : haute de 46 mètres avec un piédestal de 47 mètres. Eo7 Foctios circulaires et hyperboliques iverses Correctios de Léa Blac-Ceti. Foctios circulaires iverses Eercice Vérifier arcsi + arccos π et arcta + arcta sgπ. Idicatio Correctio Vidéo [00075] Eercice

Plus en détail

INF582 : Cryptologie Attaque de clés RSA par la méthode de Wiener

INF582 : Cryptologie Attaque de clés RSA par la méthode de Wiener INF58 : Cryptologie Attaque de clés RSA par la méthode de Wieer Nicolas DOUZIECH - Thomas JANNAUD - X005 9 mars 008 Table des matières Quelques rappels sur le cryptosystème RSA Pricipe de l attaque de

Plus en détail

Euler. Cette égalité est la relation d Euler.

Euler. Cette égalité est la relation d Euler. Vdoui Trmial S Chapitr 3 Du ouvlls foctios : l potill & l logarithm Rappls L tau d accroissmt d u foctio f tr a t a h st égal à : f ( a h) f ( a) h U foctio st dérivabl a si l tau d accroissmt d ctt foctio

Plus en détail

Séries entières. Chap. 09 : cours complet.

Séries entières. Chap. 09 : cours complet. Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee Théorème : lemme d Abel Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série

Plus en détail

Corrigé : EM Lyon 2005

Corrigé : EM Lyon 2005 Corrigé : EM Lyo 5 Optio écoomique Eercice :. Par défiitio de E, la famille (I,J,K) est ue famille géératrice de E. Cette famille est-elle libre? O cherche tous les réels a, b et c tels que : ai +bj +ck

Plus en détail

Séries numériques. Chap. 02 : cours complet.

Séries numériques. Chap. 02 : cours complet. Séris méris Cha : cors comlt Séris d réls t d comlxs Défiitio : séri d réls o d comlxs Défiitio : séri corgt o dirgt Rmar : iflc ds rmirs trms d séri sr la corgc Théorèm : coditio écssair d corgc Théorèm

Plus en détail

fonctions logarithme et exponentielle : propriétés analytiques

fonctions logarithme et exponentielle : propriétés analytiques Lycé Juls Sigfrid - L Hvr - Mrc Bizt - Clss d Trmil STID foctios logrithm t potill : propriétés lytiqus. Trsformr u produit u somm Cosidéros u foctio f tll qu pour tous réls strictmt positifs t b, f (

Plus en détail

1 Programme de l agrégation interne

1 Programme de l agrégation interne Séries umériques Programme de l agrégatio itere Partie 0b : Séries de ombres réels ou complexes Séries à termes positifs La série coverge si et seulemet si la suite des sommes partielles est borée Étude

Plus en détail

Août 2016 (2 heures et 30 minutes)

Août 2016 (2 heures et 30 minutes) 1 a) Soit IN 0 \ {1} Déiir : boul ouvrt d IR sous-smbl compact d Août 016 ( hurs t 0 miuts) IR (1 pt) b) Démotrr qu l produit cartési d smbls rmés d IR st u smbl rmé d IR (15 pt) c) Détrmir t rpréstr avc

Plus en détail

Master 1ère année spécialité IMIS et Mathématiques Contrôle continu de "Processus Stochastiques"

Master 1ère année spécialité IMIS et Mathématiques Contrôle continu de Processus Stochastiques Master ère aée spécialité IMIS et Mathématiques Cotrôle cotiu de "Processus Stochastiques" 8 octobre 00 - Durée h Calculatrices et documets autorisés Exercice Jacques va tous les jours à so travail e emprutat

Plus en détail

ESPACES VECTORIELS APPLICATIONS LINEAIRES

ESPACES VECTORIELS APPLICATIONS LINEAIRES SPACS VCTORILS APPLICATIONS LINAIRS xercices Les exercices précédés de ce symbole e serot pas traités e classe (U corrigé sera mis sur le site) XRCIC : O ote M3 l espace vectoriel des matrices carrées

Plus en détail

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5 Correctio du devoir surveillé de mathématiques o 5 Exercice 1 1. Soit g la foctio défiie sur R par g(x) = (x 1)e x. (a) Détermier les ites de g e et +. Limite e. O a ue forme idétermiée. E développat,

Plus en détail

Équations différentielles - Cours no 6 Approximation numérique

Équations différentielles - Cours no 6 Approximation numérique Équatios différetielles - Cours o 6 Approximatio umérique 1 Itroductio De très ombreux problèmes scietifiques sot mis e équatio à l aide d u système d équatios différetielles ẋt) = ft, xt)) voir par exemple

Plus en détail

- Partie A - Échantillonnage -

- Partie A - Échantillonnage - ÉCHANTILLONNAGE - ESTIMATION - Parti A - Échatilloag - L'objctif d ctt parti st d répodr à la problématiqu suivat : commt, à partir d'iformatios (coupl moy-écart-typ ou proportio) cous sur u populatio,

Plus en détail

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN Das ce qui suit, o utilisera des argumets élémetaires et o e suppose aucue coaissace des foctios exp et l Ce qui suit sert à les défiir comme

Plus en détail

CHAPITRE 15 : PUISSANCES D EXPOSANTS REELS - FONCTIONS PUISSANCES - CROISSANCES COMPAREES

CHAPITRE 15 : PUISSANCES D EXPOSANTS REELS - FONCTIONS PUISSANCES - CROISSANCES COMPAREES Croisscs comprés Cours CHAPITRE 5 : PUISSANCES D EXPOSANTS REELS - FONCTIONS PUISSANCES - CROISSANCES COMPAREES. Puisscs d posts réls b.. L ottio Défiitio b R, R, o ot l rél + b bl Propriété b R, b' R

Plus en détail

1- z 2. e ) sous la forme e i. i 3

1- z 2. e ) sous la forme e i. i 3 SERIE DE MATHEMATIQUES CLASSE : IEME SCIENCES EXPERIMENTALES THEME : NOMBRES COMPLEXES LYCEE D INDEPENDANCE OUED ELLIL ANNEE SCOLAIRE :0-0 Prof : bllassoud mohamd EXERCICE Mttr sous form algébrqus ls ombrs

Plus en détail

Partie A : z x. z =( z ) = 4 = - 4 donc z est aussi solution de (E) Partie C :

Partie A : z x. z =( z ) = 4 = - 4 donc z est aussi solution de (E) Partie C : Corrigé baccalauréat S Polyésie 200 (raiateabac.blogspot.com) EXERCICE (5 poits) Pré-requis : z a + bi et _ z a bi Partie A : a ) E posat z a + bi et z a + b i o obtiet : z x z (a + bi) ( a + b i) aa bb

Plus en détail

6.1 Modèle multiplicatif de mortalité excédentaire (proportional

6.1 Modèle multiplicatif de mortalité excédentaire (proportional 6 Tests d hypothèse (Klei 6.3, Lawless 10.2 et 10.3, Klugma 13.4) 6.1 Modèle multiplicatif de mortalité excédetaire (proportioal hazard) O veut comparer la mortalité d u groupe sous étude avec celle d

Plus en détail

f(t)dt = 0. On pose a = min f et b = max f. 0 1 + x 2 dx = 3 + 1 7 π. 2) En déduire un encadrement de π (meilleur que celui d'archimède).

f(t)dt = 0. On pose a = min f et b = max f. 0 1 + x 2 dx = 3 + 1 7 π. 2) En déduire un encadrement de π (meilleur que celui d'archimède). #4 Itégrale de Riema Khôlles - Classes prépa Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel Exercice Soit f ue foctio cotiue sur [, ] telle que Motrer que f ab f(t)dt = O pose a = mi f et b = max f Exercice x ) Motrer

Plus en détail

Fonction Logarithmes Exercices

Fonction Logarithmes Exercices Trmial S Foctio Logarithms Ercics Itroductio d L STL Frac, Jui 006 3 STL, Frac, spt 004 4 STL, Frac, jui 005 ( poits) 3 5 ROC+costructio géo, La Réuio 007 4 6 ROC+ Étud, Atills-Guya, spt 00, 7 pts 5 7

Plus en détail

Exercice 2 (Séries de fonctions - 7 points)

Exercice 2 (Séries de fonctions - 7 points) INSA Toulouse, STPI, IMACS 2 mercredi 18 décembre 212 Correctio exame d'aalyse I (coquilles probables) Exercice 1 (Séries etières - 5 poits) Calculer le rayo de covergece et le domaie de covergece simple

Plus en détail

Corrigé de l'épreuve de maths 2 - e3a - MP

Corrigé de l'épreuve de maths 2 - e3a - MP Corrigé de l'épreuve de maths 2 - e3a - MP - 207 Partie I L'applicatio ϕ est liéaire et P R [X], ϕ(p R [X] doc ϕ iduit sur R [X] u edomorphisme 2 ϕ( = et i, ϕ(x i = X i ix i O e déduit la matrice de ϕ

Plus en détail

Corrigé de Mathématique éco HEC

Corrigé de Mathématique éco HEC Corrigé de Mathématique éco HEC EXERCICE Hypothèses. M 3 R est l espace vectoriel des matrices carrées d ordre 3 à coefficiets réels. A M 3 R : s A 3 A,j, s A 3 A,j, s 3 A 3 somme des coefficiets des liges

Plus en détail

Correction feuille TD 3 : probabilités conditionnelles, indépendance

Correction feuille TD 3 : probabilités conditionnelles, indépendance Univrsité d Nic-Sophia Antipolis -L2 MASS - Probabilités Corrction fuill TD 3 : probabilités conditionnlls, indépndanc Exrcic Dans ct xrcic, nous supposons pour simplir qu ls yux d'un êtr humain sont soit

Plus en détail

Racine nième Corrigés d exercices

Racine nième Corrigés d exercices Racie ième Corrigés d eercices Page 9 : N 8, 8, 8, 86, 88, 89, 9, 9, 9, 97 Page 6 : N, Page 6 : N Page 67 : N 8 Page 6 : N N 8 page 9 6 6 6 6 6 ( ) = = = = = = = = ( ) = = = = = = ( ) 8 = 8 = = = = = =

Plus en détail

2 Exercice 15 : les intégrales de Wallis

2 Exercice 15 : les intégrales de Wallis Exercice sur les itégrles Exercice 5 : les itégrles de Wllis O pose si xdx ) Clculer I et I ) Motrer que l suite ( ) coverge 3) Etblir ue formule de récurrece etre et 4) Motrer que le produit ( + ) + est

Plus en détail

TS Fonction exponentielle (1)

TS Fonction exponentielle (1) TS Foctio potill () I Costructio d l potill ) Itroductio O démotr physiqu das l étud d la radioactivité (abordé èr ) qu si N(t) désig l ombr d oyau désitégrés à l istat t, o a : N(t) = N(t) où désig u

Plus en détail

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3.

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3. T ale S Correctio Exercices type bac de Probabilités. Mars Exercice : Ue ure cotiet au départ 0 boules blaches et 0 boules oires idiscerables au toucher. O tire au hasard ue boule de l ure : Si la boule

Plus en détail

CORRECTION DU BAC 2007

CORRECTION DU BAC 2007 ORRTION U B 7 Trmal S mérqu du Nord rcc Sot (P l pla dot u équato st : + y z + = lors, d coordoés ( ; ;, st u vctur ormal d (P omm H st l projté orthogoal d sur (P, alors H t sot coléars Il st H = k H

Plus en détail

P(n) : quelque soit n entier naturel : n 3 = ( n) 2. P(n 0 ) est vraie (initialisation).

P(n) : quelque soit n entier naturel : n 3 = ( n) 2. P(n 0 ) est vraie (initialisation). T ale S Chapitre. Résumé page 3.. Pricipe de récurrece. a. Exemple. 3 + 3 = + 8 = 9 = ( + ) 3 + 3 + 3 3 = + 8 + 7 = 36 = ( + + 3) O voudrait démotrer la propriété géérale : P() : quelque soit etier aturel

Plus en détail

Septembre 2011 CPI 317. Exercices. Agnès Bachelot

Septembre 2011 CPI 317. Exercices. Agnès Bachelot Septembre 2 CPI 37 Exercices Agès Bachelot Table des matières - Séries Numériques.......................................... 3 - Séries à termes positifs.................................... 3-2 Séries quelcoques......................................

Plus en détail

Exercices résolus de mathématiques. ANA 24 EXANA240 EXANA249. Jacques Collot Benoit Baudelet Steve Tumson.

Exercices résolus de mathématiques. ANA 24 EXANA240 EXANA249.  Jacques Collot Benoit Baudelet Steve Tumson. Ercics résolus d mathématiqus. ANA 4 EXANA4 EXANA49 http://www.mathu.b.tf Jacqus Collot Boit Baudlt Stv Tumso Novmbr 8 www.mathu.b.tf - ANA 4 - - EXANA4 FACS ULBL Brulls, sptmbr 8. L arêt latéral d u cô

Plus en détail

Fonction exponentielle

Fonction exponentielle Chapitr 7 Fonction ponntill Sommair 7. Activités......................................................... 04 7.. Eponntill................................................... 04 7.. Qulqus propriétés d

Plus en détail

Chapitre 4. Lois de Probabilité. Sommaire. 1. Introduction. 4. 2. Lois discrètes..4

Chapitre 4. Lois de Probabilité. Sommaire. 1. Introduction. 4. 2. Lois discrètes..4 Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) Chapitre 4 Lois de Probabilité Sommaire. Itroductio. 4. Lois discrètes..4.. Loi uiforme..4... Défiitio...4... Espérace et variace..5..

Plus en détail

Introduction aux tests statistiques

Introduction aux tests statistiques Itroductio aux tests statistiques Philippe Boeau 27 septembre 2006 Chapitre 1 Élémets de probabilités Exercice 1 O ote E l esemble des etiers aturels iférieurs ou égaux à 12 et A (respectivemet B et C)

Plus en détail

Reconnaissance des formes: Fenêtre de Parzen

Reconnaissance des formes: Fenêtre de Parzen Préom Nom Recoaissace des formes: Feêtre de Parze Pricipes de l'appretissage o paramétrique Estimatio o paramétrique de la desité Feêtres de Parze vs. k plus proches voisis Feêtres de Parze Réseau de euroes

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES. Mardi 3 mai : 14 h - 18 h. Les calculatrices sont interdites

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES. Mardi 3 mai : 14 h - 18 h. Les calculatrices sont interdites SESSION 216 PCMA2 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES Mardi 3 mai : 14 h - 18 h N.B. : le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio de la rédactio.

Plus en détail

CORRIGÉ DE LA FEUILLE 2

CORRIGÉ DE LA FEUILLE 2 CORRIGÉ DE LA FEUILLE. Exercice Soiet u et v deux séries à termes positifs.. Si ue des séries est divergete, alors la série de terme gééral u + v est divergete C est vrai. E effet, supposos que la série

Plus en détail

Théorie de l information et codage 2010/2011. Cours 3 1 er mars

Théorie de l information et codage 2010/2011. Cours 3 1 er mars Théori d l iformatio t codag 200/20 Cours 3 r mars Esigat: Marc Llarg Scrib: Guilhm Gamard Pour iformatio http://www.di.s.fr/~llarg/ifo.html 3. Codag d sourc uivrsl O chrch maitat à trouvr u codag pour

Plus en détail

Fluctuation et estimation

Fluctuation et estimation Fluctuatio et estimatio Table des matières I Idetificatio de la situatio........................................ II Échatilloage, itervalle de fluctuatio asymptotique........................ II. Itervalle

Plus en détail

Convergence de suites réelles

Convergence de suites réelles DOMAINE : No olympique AUTEUR : Nicolas SÉGARRA NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Motpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices Covergece de suites réelles I) Rappels et otios de base. Défiitio 1. Ue suite

Plus en détail

E(X i ) par linéarité de l espérance.

E(X i ) par linéarité de l espérance. Statistiques appliquées. L3 Iterrogatio Questios de cours. 3 poits 1) Eocer le théorème cetral limite (1 pt). Si (X ) est ue suite de v.a. idépedates et de même loi, admettat des momets d ordre u et deux

Plus en détail

= P (X k)p (Y k) = (1 α) k (1 β) k = [(1 α)(1 β)] k.

= P (X k)p (Y k) = (1 α) k (1 β) k = [(1 α)(1 β)] k. Aée 25/26 Semaie 2 Classe de PC*, lycée Louis le Grad Exercice Soiet (Ω, F, P ) u espace probabilisé, X et Y deux variables idépedates suivat des lois géométriques (à valeurs das N) de paramètre α et β

Plus en détail

9 0 6 Variables aléatoires discrètes

9 0 6 Variables aléatoires discrètes BCPST2 9 5 0 6 Variables aléatoires discrètes Exercice 1: Loi de Poisso 1 ) Soit X ue variable aléatoire discrète. O ote XΩ) = {x ; N}. O pose, pour tout de N : p = PX = x ) et s = p k. O découpe l'itervalle

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse UNIVERSITÉ MOHAMMED V - AGDAL Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques Filière Scieces de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Aalyse (S4) Cours d Aalyse Séries umériques Suites et Série

Plus en détail

MICROECONOMIE APPROFONDIE ET CALCUL INTERTEMPOREL

MICROECONOMIE APPROFONDIE ET CALCUL INTERTEMPOREL 3èm aé r smstr II Alcatos à la gsto d ortfull. L modèl CAPM. a. Préfércs tr tmorlls t otmsato sur érods.. rdmt d actf t rsqu. msur sml du rdmt d u actf r avc d + d rx du ttr à la f d la érod cosdéré rx

Plus en détail

Correction DEVOIR COMMUN TS (3 heures)

Correction DEVOIR COMMUN TS (3 heures) Corrcto DVOIR COMMUN TS hrs) rcc 6 pots) O cosdèr plsrs sacs d blls S, S, S,, S, tls q : L prmr sac S cott blls jas t vrts ; Chac ds sac svats S, S,, S, cott blls jas t vrts L bt d ct rcc st d étdr l évolto

Plus en détail

Baccalauréat S Métropole 20 juin 2013

Baccalauréat S Métropole 20 juin 2013 Baccalauréat S Métropol 0 juin 0 EXERCICE Commun à tous ls candidats 4 points Puisqu l choix d l arbr s fait au hasard dans l stock d la jardinri, on assimil ls proportions donnés à ds probabilités.. a.

Plus en détail

Correction concours général maths 2015

Correction concours général maths 2015 Correctio cocours gééral maths 2015 Problème I Petits poids 1) a) 3 = 3, 3 + 5 = 8, 3 + 5 6 = 2, 3 + 5 6 8 = 6, 3 + 5 6 8 + 2 = 4 doc poids(3,5, 6, 8,2) = 8 b) poids(1,2,3,,2015, 2015, 2014,.., 1) = 1

Plus en détail

STATISTIQUE : ESTIMATION

STATISTIQUE : ESTIMATION STATISTIQUE : ESTIMATION Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 202-203 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Estimatio poctuelle 5. Défiitios 5 2. Critères de comparaiso d estimateurs 6 3. Exemples

Plus en détail

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001 Exercice 1 : ( 12 poits ) Les parties A et B peuvet être traitées idépedammet l ue de l autre. O se propose d étudier l évolutio e foctio du temps des températures d u bai et d u solide plogé das ce bai.

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2004

Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2004 Corrigé du baccalauréat S Amériqu du Sud novmbr 200 EXERCICE 7points Parti A. a. Pour tout x, f (x) = x x = x.or lim =+ donc lim = 0. x x + x x + x x x Donc lim f (x) = 0. x + b. La fonction f produit

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

D- Convergence de variables aléatoires

D- Convergence de variables aléatoires D-1 Notatios O cosidère ( ) N (évetuellemet (Y ) N ) ue suite de variables aléatoires défiies sur l espace probabilisé (Ω, A, ) et X (évetuellemet Y ) ue variable aléatoire défiie sur le même espace. O

Plus en détail

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin MVA101 - Aalyse et calcul matriciel 2012 2013 T. Horsi (thierry.horsi@cam.fr) Attetio: Ce documet est ue base de travail qui peut coteir des coquilles. Les zoes e bleus sot, de loi, hors programme, et

Plus en détail

( ) ( 2) = x +. La fonction est la somme d une fonction linéaire (dérivable pour tout réel) et de la. 2x². 1 :lim. Bac blanc n 1 TS : correction :

( ) ( 2) = x +. La fonction est la somme d une fonction linéaire (dérivable pour tout réel) et de la. 2x². 1 :lim. Bac blanc n 1 TS : correction : Bc lc TS : corrcto : E : octo st l somm d octo lér dérl por tot rél t d l octo rs dérl s doc st dérl sr ] ; [ mértr st polôm s scod dgré q por rcs rélls : t sl post st l scod t : s O ott doc l tl st :

Plus en détail

c) représentation graphique T est la tangente à C exp au point A d abscisse 0. Une équation de T est de la forme : y = x + 1.

c) représentation graphique T est la tangente à C exp au point A d abscisse 0. Une équation de T est de la forme : y = x + 1. Chapitre VI : Foctio expoetielle I. La foctio expoetielle a) Défiitio La foctio expoetielle, otée exp, est la foctio défiie sur! par exp(x) = e x, e x état l uique ombre réel strictemet positif dot le

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

CONVERGENCE ET APPROXIMATION

CONVERGENCE ET APPROXIMATION 11-2- 2010 J.F.C. Cov. p. 1 CONVERGENCE ET APPROXIMATION I CONVERGENCE EN PROBABILITÉ 1. Défiitio 2. Ue coditio suffisate de covergece e probabilité 3. La loi faible des grads ombres 4. Ue coséquece de

Plus en détail

Terminale ES DS n 4 Vendredi 14 décembre 2012

Terminale ES DS n 4 Vendredi 14 décembre 2012 Trminal ES DS n Vndrdi décmbr Ercic. Sur points Ls qustions sont indépndants.. Résoudr ls équation t inéquation suivants. a) b). Etudir l sign d a) b). Pour chacun ds fonctions suivants, calculr sa fonction

Plus en détail

Centre Régional des Métiers de l Éducation et de la Formation MARRAKECH

Centre Régional des Métiers de l Éducation et de la Formation MARRAKECH R O Y A U M E D U M A R O C Miistère de l Educatio Natioale et de la Formatio Professioelle Cetre Régioal des Métiers de l Éducatio et de la Formatio Académie Régioale de l Éducatio et de la Formatio Marrakech-Tesift

Plus en détail

Correction du baccalauréat S (obligatoire) Polynésie 10 juin 2011

Correction du baccalauréat S (obligatoire) Polynésie 10 juin 2011 Corrction du baccalauréat S (obligatoir Polynési 0 juin 0 Exrcic Commun à tous ls candidats points Méthod : L dssin suggèr d considérr la rotation d cntr A t d angl π Son écritur complx st : z z A = i

Plus en détail

Oscillations forcées

Oscillations forcées Oscillatios forcés I 5 Microscop à forc atoiqu (Ctral PC ) ) Approch d l'origi d la forc atoiqu L'itractio tr dux atos o liés par u liaiso d covalc t distats d r put êtr décrit par u érgi pottill d Lard-Jos

Plus en détail

Terminale S (2014-2015) Suites numériques

Terminale S (2014-2015) Suites numériques Termiale S (04-05) Suites umériques Raisoemet par récurrece. Itroductio E Mathématiques, u certai ombre de propriétés dépedet d u etier aturel. Par exemple, la ( + ) somme des etiers aturels de à est égale

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES Ercic. FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES ) Eprimr foctio d l ls ombrs suivats : A l8 B l 6 ) Eprimz foctio d l t l ls réls suivats : a l b l C l6 8 c l 9 D l ) Ecrir ls ombrs A t B à l'aid

Plus en détail

Partie I : Résultats généraux sur les matrices stochastiques - Illustrations

Partie I : Résultats généraux sur les matrices stochastiques - Illustrations 8-8- JFC p EM LYON S JF COSSUTTA Lycée Marceli BERTHELOT SAINT-MAUR jea-fracoiscossutta@waadoofr PROBLÈME Partie I : Résultats gééraux sur les matrices stochastiques - Illustratios Remarque Das la suite

Plus en détail

Statistiques à deux variables

Statistiques à deux variables Statistiques à deux variables. Approche des séries statistiques à deux variables.. Nuage de poits Sur ue classe de BTSA, le professeur a relevé les moyees de élèves e mathématiques et e agroomie. Les otes

Plus en détail

Baccalauréat S Polynésie juin 2012

Baccalauréat S Polynésie juin 2012 Baccalauréat S Polynési juin 1 EXERCICE 1 L plan st rapporté à un rpèr orthonormal On considèr ls points B 1 ; 1 t C 5 ; O ; i ; j. 5 t la droit D d équation y = x. On not f la fonction défini sur R dont

Plus en détail

Correction du devoir de vacances Les suites dans plusieurs situations

Correction du devoir de vacances Les suites dans plusieurs situations L.E.G.T.A. L Chsnoy TB2 21-211 D. Blottièr Mathématiqus Corrction du dvoir d vacancs Ls suits dans plusiurs situations Exrcic 1 : Un pas vrs ls fractals On considèr un carré F 1 d côté d longuur 1. Au

Plus en détail

Loi de Bernoulli et loi binomiale, cours, première S

Loi de Bernoulli et loi binomiale, cours, première S Loi de Beroulli et loi biomiale, cours, classe de première S Loi de Beroulli et loi biomiale, cours, première S 1 Loi de Beroulli Déitio : Soit p u ombre réel tel que p [0; 1]. Soit X ue variable aléatoire.

Plus en détail

Chapitre Rappels sur les suites

Chapitre Rappels sur les suites Chapitre Séries umériques. Rappels sur les suites Défiitio.. (i) Ue suite (a ) N de réels (ou de complexes) est covergete vers ue limite a si pour tout ε > 0, il existe 0 N tel que pour tout 0, o a a a

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

Vitesses de recouvrement et lois de Chung-Mogulskii dans pour le processus empirique

Vitesses de recouvrement et lois de Chung-Mogulskii dans pour le processus empirique Vitesses de recouvremet et lois de Chug-Mogulskii das pour le processus empirique Davit VARRON Laboratoire de Statistiques et Modélisatio, 6 rue Blaise Pascal, 3517 Bruz Résumé: E cotiuatio des travaux

Plus en détail

Concours Communs Polytechniques - Session 2011 Corrigé de l épreuve d analyse- Filière MP

Concours Communs Polytechniques - Session 2011 Corrigé de l épreuve d analyse- Filière MP Cocours Commus Polytechiques - Sessio 11 Corrigé de l épreuve d aalyse- Filière MP Séries etières, équatios différetielles et trasformée de Laplace Corrigé par M.TRQI http://alkedy.1.m Eercice 1 1. La

Plus en détail

Automates 1 Présentation

Automates 1 Présentation Automates Présetatio Présetatio d u automate 2 Ue maière de désiger l automate de l exemple 3 Défiitio géérale 4 U exemple d automate 5 Mot costruit sur l alphabet C 6 L esemble de tous les mots das u

Plus en détail

6.1. Les fonctions exponentielles x q n avec q>0

6.1. Les fonctions exponentielles x q n avec q>0 6. Foctios potills L foctio 6.. Ls foctios potills vc >0. Défiitio : st foctio défii sr. S cor rprésttiv st ot rlit pr li coti t rélièr ls poits d coordoés ( ) foctio st pplé foctio potill d s. Cs > Cs

Plus en détail

Loi Gamma, loi du 2 et loi de Student

Loi Gamma, loi du 2 et loi de Student Loi Gmm, loi du t loi d Studt A. Foctio Gmm A.. Défiitio L foctio Gmm st défii pour ls réls positifs pr l itégrl : () t t dt pour A. Rltio d récurrc Cosidéros (+) : ( ) t t dt E itégrt pr prti ous otos

Plus en détail

n² n b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant u n? Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grand?

n² n b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant u n? Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grand? Exercice : Détermier la limite de chaque suite (u ). a) u = si π b) u = () c) u = + d) 0,5 + cos(π) Exercice 2 : la costate d Apéry Pour tout etier, u = 3 + + 2 3 +. + 3 ) Doer u miorat de cette suite.

Plus en détail