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1 corrigé du Sujet PT - SI A - 5 "ROBOT POUR LA CHIRURGIE ENDOSCOPIQUE" - ANALYSE FONCTIONNELLE Question. : Compléter la description fonctionnelle sous forme SADT d un «axe» du robot chirurgical en remplissant les 3 cases vides des grandeurs physiques et les 4 cases vides des fonctions, sur le tableau «Réponse» du document réponses. G Energie électrique F Console Paramètres opérateur G Energie électrique Paramètres de réglage du robot Energie électrique Grandeurs physiques : Carte de commande d axe (préactionneur) G Mouvements (consignes) du chirurgien F4 G Informations électriques (consignes) Moteur et chaîne cinématique G3 Informations électriques (consignes) traitées Un «axe» du robot esclave G4 Energie électrique G5 Mouvements de l'instrument chirurgical + effort Fonctions : F Transformer les mouvements du chirurgien en informations électriques (consignes) F Traiter les informations (consignes) électriques F3 Distribuer l énergie électrique en fonction des consignes F4 Transformer l énergie électrique en énergie mécanique pour générer les mouvements de l instrument Question. : Proposer des solutions techniques qui permettent de réaliser ce système à retour d'effort ; - Compléter la figure R en mettant en place les blocs fonctionnels ; - Donner dans les cases prévues sous la figure R, la désignation des grandeurs physiques transformées, les moyens proposés pour réaliser les transformations, et les fonctions décrivant ces transformations (le nombre de lignes utiles de ces tableaux n est pas imposé). F Dispositif de traitement Programme G3 F3 G4 G5 Moyens : M Capteur d effort M Dispositif de traitement M3 Préactionneur électrique (carte de commande) M4 Actionneur électrique Grandeurs physiques : G Signal électrique (information) G Signal électrique traité G3 Energie électrique Fonctions : F Transformer l effort exercé sur l outil en signal électrique (information) F Traiter le signal électrique F3 Distribuer l énergie électrique F4 Transformer l énergie électrique en effort Effort exercé sur l'outil chirurgical F M Energie électrique G F M G F3 M3 G3 F4 M4 Effort exercé sur la main du chirurgien Question 3. : Proposer une expression de la fonction de service qui définit la relation entre l instrument chirurgical et la plaque d extrémité (figure -7) du bras du robot esclave ; proposer trois critères que vous jugez importants pour quantifier cette fonction de service. FS : permettre la fixation de l instrument chirurgical sur la plaque d extrémité ; Critères : résistance aux efforts ; précision du positionnement ; rapidité de montage/démontage ; liberté de fonctionnement des poussoirs ; adaptabilité aux formes d instruments. Corrigé PT SIA 5 page /7

2 3- RESPECT DES CRITERES ASSOCIES A LA FONCTION DE SERVICE "FS " 3- Traitement du problème d hyperstatisme Question 4. : Figure 3-3 Déterminer γ, le «nombre cyclomatique» ou nombre de cycles indépendants de la structure étudiée. γ Nliaisons Nsolides cycles Question 5. : Mettre en place le système des 6 équations de cinématique qui correspond à la fermeture de la chaîne de solides ( ) et aux liaisons en A, B, D, C. Les torseurs cinématiques seront pour cela exprimés au point A et dans la base (X, Y, Z). Equation de fermeture de chaîne : V 3 /5 + V5/4 + V4/6 + V6/3 { } { } { } { } { } Ecriture des torseurs : { V3/5} { V5/4} { V4/6} p35 p54 p46 A( x, y, z) B( x, y, z) D( x, y, z) p54 l p54 sinθ l p54 cosθ A( x, y, z) r r r r r r r car : VA, 5/4 VB,5/4+ AB^Ω5/4 l y^ p x l p z p46 p46( c l sinθ) l p46 cosθ A( x, y, z) r r r r r r r r r car : VA, 4/6 VD,4/6+ AD^Ω4/6 ( l y+ c z)^ p x l p z+ c p y p63 p63 { 6/3} 63 V c p C( x, y, z) A( x, y, z) r r r r r r r car : VA, 6/3 VC,6/3+ AC^Ω6/3 c z^ p63x c p63 y Ecriture du système d équations : Projection des vecteurs rotation : sur X : p 35+ p54+ p46+ p63 () sur Y : () sur Z : (3) Projection des vecteurs vitesse : sur X : (4) sur Y : l p54 sinθ + p46( c l sinθ) + c p63 (5) sur Z : l p54 cosθ l p46 cosθ (6) Question 6. : Déterminer le rang «rc» du système des équations de fermeture de chaînes cinématiques qui correspondent à la structure étudiée (figure 3-3) - vérifier à partir de ce résultat la mobilité «m c» de la structure ; - déduire son degré d hyperstatisme «h». Corrigé PT SIA 5 page /

3 les équations (), (3), (4), (8), (9), () ne sont pas linéairement indépendantes ; donc rc -6 6 alors : mc Nc rc 8 6 ce qui est correspond aux deux paramètres de position λ et θ. Et h 6γ - rc 6x 6 6 Question 7. : On souhaite éviter les effets néfastes de l hyperstatisme en ajoutant des mobilités dans les liaisons de la structure. On choisit de modifier les liaisons 5/4 et 4/6 (respectivement point B et point D sur la figure 3-3). Proposer une liste de mobilités judicieusement choisies permettant de répondre au problème, et donner la nouvelle écriture des torseurs cinématiques de ces deux liaisons. Les mobilités à ajouter devront permettre d augmenter le rang du système des équations de cinématique et donc intervenir sur les équations (), (3), (4), (8), (9), () ; il s agit donc des 6 mobilités suivantes : q 54, r 54, u 54, q 46, r 46, u 46. (on vérifie facilement que le nouveau système d équations est un système de équations linéairement indépendantes). Les torseurs des deux liaisons modifiées s écrivent : p r 54 { V5/4} q ; { V4/6} u54 B( x, y, z) p46 u46 q46 ; r46 D( x, y, z) 3- Traitement du problème géométrique et cinématique 3-- Phase de mise en position Question 8. : Ecrire la relation vectorielle qui traduit que, dans la position d initialisation (λ), le point T est centre instantané de rotation du mouvement de l instrument (solide 8) par rapport au repère R (réalisation du critère associé à la fonction de service FS). r V T,8/ r Question 9. : Dériver le vecteur position OT r pour en déduire : - la valeur de la dimension e à respecter, en fonction de certaines dimensions du robot ; - la valeur de la cote d initialisation λ, en fonction de la dimension «f» de l instrument chirurgical. r r r r r r r r r OT O A+ AE+ ET d y+ λ z v y + w z z r e y f V r r T,8/ d ( OT ) (d y λ z ) dt dt d r r r r + d r r + ( e y f z ) d z λ θ y dt r r θ ( (d-e ) z+ ( f λ) y) r r VT,8/ e d et λ f ce sont des liaisons «sphère-cylindre» (ou linéaires annulaires) θ e θ z+ f θ y r r Question. : Déterminer en fonction des grandeurs dimensionnelles caractéristiques du robot (tableau 3-4), la valeur des cotes "E T " et "H T ". r r r r r r r r r r OT OT O A+ AE+ ET d y+ λ z v y + w z z r r r e y f v y + w z r E T OT y r r v et HT OT z r w Question. : r r Exprimer le vecteur VA,5/ en fonction de θ et λ, dans la base y, z ) ( ; Corrigé PT SIA 5 page 3/7

4 Démontrer que le solide (5) est animé d'un mouvement de translation par rapport à (), puis donner l'expression de V E,8/, en fonction de θ r r, λ et des grandeurs dimensionnelles, dans la base y, z ) ( r r d VA, 5/ ( O A) (d y (λ ) z ) dt dt d r r r r r + λ d θ z (λ λ) θ y λ z r r r r r d, 5/ ( ) d VB O B ( O A+ AB) d ( ) d r r r O A + ( l y) d ( O A) VA,5/ dt dt dt dt dt les points A et B du solide (5) ont même vecteur vitesse ; (5) est donc en translation. r r r r r r Alors VE, 8/ VE,5/ VA,5/ d θ z (λ λ) θ y λ z Question. : Exprimer V r r r dans la base y, z ), et vérifier que le résultat respecte le critère associé à la fonction de service FS. T,8/ ( r r r r On a e f z d y z ( ) y r r r r r r r TE TT + T E λ z + + λ z + + λ λ λ z + d y r r r r r r r r r r V, 8/ VE,8/+ TE^Ω8/ d θ z (λ λ) θ y λ z ( λ) z+ d y ^θ x λ z r r r VT, 8/ y ; le critère associé à la fonction de service FS est donc respecté. T +[ λ ]. 4- RESPECT DES CRITERES ASSOCIES A LA FONCTION DE SERVICE "FS 3" 4-- Vérification de la vitesse de rotation maximum du motoréducteur. Question 3. : Déterminer la vitesse nominale de translation du coulisseau (4) ; vérifier la conformité avec le cahier des charges. O V nom N nom.. π / 6. Φ / 6,8. 9,8. -3,4 m / s Conformité car V nom >, m / s. 4-- Vérification du temps t de mise en vitesse Question 4. : Isoler l ensemble { rotor et pignons du moto-réducteur () + poulies-courroie () + arbre intermédiaire (3) + pignon (3 ) + coulisseau à crémaillère (4) + partie supérieure du robot + tambour (3 ) + câble (5) + renvoi (6) + contre-poids (7) }. Faire le bilan, sans détailler les éléments de réduction des torseurs, des actions extérieures et intérieures à l ensemble isolé et préciser si les puissances correspondantes sont nulles ou non nulles. Isolons l ensemble { rotor et pignons du moto-réducteur + poulies-courroie + arbre intermédiaire (3)+ pignon-crémaillère + partie supérieure du robot + tambour-câble + contre-poids}, Bilan des actions mécaniques extérieures : Actions mécaniques extérieures Expression du torseur Puiss. galiléenne ( ou ) Justifications {T (Bâti 3) } P(B 3 / B ) - pas de frottements - la liaison ne se déplace pas Corrigé PT SIA 5 page 4/7

5 {T (Bâti 6) } P(B 6 / B ) - pas de frottements - la liaison ne se déplace pas {T (Bâti 4) } P(B 4 / B ) - frottements dans la liaison {T (Pesanteur 7) } P(Pes. 7 / B ) - déplacement vertical de 7 {T (Pesanteur 4) } P(Pes. 4 / B ) - déplacement vertical de 4 {T(Bât.+st. Rot.+pign.)} P(B Rot.+pign. / B ) - puissance du moto-red. Actions mécaniques intérieures Expression du torseur Puiss. inter-efforts ( ou ) Justifications {T (5 6) } P (5 6 ) - pas de glissement câble/poulie {T ( poulies) } P ( poulies ) - pas de glissement courroie/poulies - courroie inextensible {T (5 3 ) } P (5 3 ) - pas de glissement câble/poulie {T (3 4) } P (3 4 ) - pas de frottement Question 5. : Exprimer la somme des puissances des actions de pesanteur sur l ensemble isolé ; montrer que cette somme est nulle lorsque le contre-poids (7) et le tambour (3 ) d enroulement du câble sont correctement dimensionnés (critère d équilibrage statique associé à la fonction de service FS5). Exprimer littéralement la somme des puissances pendant la phase de montée, en fonction de C red, ω red, Z gliss, Φ et M. Expression de la vitesse de déplacement du contre-poids : Vc - Φ / 4. ω red - λ /. Expression de la puissance des actions de pesanteur sur l ensemble isolé : P(Pes. (7+4) / B ) -. M. g. Φ / 4. ω red + M. g. Φ /. ω red Pext + Pint (en montée) C red. ω red - Z gliss. ω red. Φ / Question 6. : Exprimer littéralement l énergie cinétique galiléenne instantanée de l ensemble isolé, en fonction de ω red, J, J, Φ et M. En déduire l expression littérale du moment d inertie équivalent J équ, à toutes les pièces en mouvement, ramené à l arbre de sortie du réducteur. Faire l application numérique (trois chiffres significatifs sont attendus). Expression littérale de l énergie cinétique galiléenne instantanée : Ec tot ½ [ J + J + M. Φ / 4 +. M. Φ / 6 ]. ω red ½ [ J + J + 3. M. Φ / 8 ]. ω red On en déduit l expression littérale du moment d inertie équivalent : J équ [ J + J + 3. M. Φ / 8 ] Application numérique : J équ , J équ 6, kg. m² Question 7. : Ecrire littéralement le théorème de l énergie cinétique pendant la phase d accélération en montée, en fonction de J équ, C red, Z gliss, Φ et ω red d ω red /dt. En déduire l expression de l accélération angulaire ω red pendant cette phase. Expression littérale du théorème de l énergie cinétique : [ J + J + 3. M. Φ / 8 ]. ω red. ω red C red. ω red - Z gliss. Φ /. ω red On en déduit l expression de l accélération angulaire : ω red [ C red - Z gliss. Φ / ] / J équ Question 8. : Faire l application numérique lorsque C red C nom,4 N.m. En déduire le temps t pour que le moteur atteigne la vitesse de rotation nominale N nom et vérifier sa conformité du système par rapport au critère du cahier des charges (t <, s). Application numérique : ω red (,4. 9,. -3 ) / 6, rd / s On en déduit le temps t pour que le moteur atteigne la vitesse de rotation nominale N nom 6 tr/mn ω red 8. t donc t 6. π / 6 / 8,35 s Conformité du système par rapport au critère du cahier des charges t <, s. Corrigé PT SIA 5 page 5/7

6 Question 9. : Lorsque la partie supérieure du robot s élève, en phase d accélération, on souhaite vérifier que le câble est toujours tendu : exposer la démarche du raisonnement en précisant le système isolé, le bilan des actions, le théorème utilisé, l équation de projection utile et le résultat avec application numérique. Vérifions que le câble est toujours tendu : On isole le contre-poids + brin de câble ; Bilan des A. M. Ext : Poids et Tension du câble ; P. F. D. : équation de la résultante en projection sur l axe Z : -. M. g + T -. M. Φ / 4. ω red T. M. ( g - Φ / 4. ω red ). (9,8 8. 9,6. -3 ). 8,8 89 N T est positif donc le câble est toujours tendu Evaluation de la fonction de transfert du moto-réducteur Question. : Transformer les équations temporelles ci-dessus. Remplir sous forme littérale les blocs du schéma figure R du document réponses. Exprimer les grandeurs physiques entre chaque bloc. Transformation des équations temporelles : U(- E( (R + L. I( ; E( K c. Ω m.r. ( ; C m ( k c. I( C m ( C r ( f v. Ω m.r. ( J équ. p. Ω m.r. ( Remplissons sous forme littérale les blocs : Question. : Exprimer littéralement sous forme canonique la fonction de transfert du moto-réducteur Ωred( M(. U( Expression littérale de la fonction de transfert du moto-réducteur : kc Ωmoto red( ( R+ L( Jequ p+ fv) kc M( U( kc k e R+ Lp Jequ p+ fv + kc k e + ( )( ) LJ ( R+ L( Jequ p+ fv) M( LJequ Rfv+ kc k e c Rf + k v kc k e ( RJequ+ fvl) p² + p+ Rfv+ kc k e equ p² + ( RJ equ kc + fvl) p+ Rfv+ kc k e Question. : Après avoir analysé cette courbe, expliquer sur le document réponses sous la figure R pourquoi on peut négliger l inductance L. M( est du second ordre. Or, la courbe de réponse ne présente pas de tangente horizontale à l origine (sauf si on fait un zoom), ce qui est caractéristique d un système du premier ordre. Le temps de réponse à 5% qui vaut 3 fois la constante de temps est une autre justification possible. D autre part, Lω est très faible devant R, ce qui permet, en négligeant sa valeur, de dire que M( est du premier ordre. Corrigé PT SIA 5 page 6/7

7 Question 3. : Justifier analytiquement la réponse précédente à partir de l expression de M ( lorsque l on envisage une étude fréquentielle : on précisera la valeur du pôle dominant, l autre (faisant intervenir la valeur de L) étant rejeté. Justification analytique de la réponse précédente à partir de l expression de M ( : Le dénominateur de M ( s écrit : (+4,8. -3.(+,. -3 Le dénominateur de M ( s écrit : 3,4. -6 (p+7)(p+4545) la valeur du pôle dominant est : -7, l autre pôle (- 4545) est très loin de l origine du plan complexe, et n a aucune influence sur le comportement du système. Question 4. : Ωred( Exprimer littéralement, sous forme canonique, la fonction de transfert du moto-réducteur M p Gs ( ). U( + Tp Donner les valeurs numériques de Gs et de T à partir de l expression de M ( et des réponses apportées à la question 3 (3 chiffres significatifs sont attendus). Expression littérale de la fonction de transfert du moto-réducteur : Rf k v+ kc ke M ( RJequ + p Rfv+ kc k e c, x,4+,x, c Gs,4366rd/ V v c e T RJ Rfv+ kc k.7..,4+,., Rf + k k k 3 equ,455. e s Question 5. : Déterminer les valeurs de Gs et T, à partir de la courbe de tension image de ω réd ( figure R (expliquer les démarches sous la figure et comparer avec les résultats de la question 3). Valeurs de Gs et T : à partir de la courbe de tension image de ω réd ( : On mesure T. - s et Gs,75.6/4,437 rd/v Respect du critère de marge de phase Question 6. : Donner la fonction de transfert du bloc B( et la valeur du coefficient du bloc C en incr./rad. Exprimer numériquement, en fonction de k, la fonction de transfert en boucle ouverte. H( Fonction de transfert du bloc : B( / p ; Valeur du coefficient du bloc C / π 865 inc. / rd. Expression numérique de la fonction de transfert en boucle ouverte H p k,436 k 5 ( ) 865 +,455. p p (+,455. p ). p Question 7. : Tracer sur le document réponses figure R 7, les diagrammes de Bode du système en boucle ouverte pour k. Le système est-il stable en boucle fermée pour cette valeur de k? Répondre au bas du document réponse 7 en justifiant. Diagrammes de Bode du système en boucle ouverte pour k. Corrigé PT SIA 5 page 7/7

8 5-5 GAIN PHAS Stabilité en boucle fermée pour cette valeur de k : On relève une amplitude de db pour ω 3 rd / s. La phase est de 67 donc la marge de phase est Mφ 3. Le système est stable, mais cette stabilité est insuffisante car cette marge est inférieure à PULS Question 8. : Quelle est l influence de la prise en compte de L sur la stabilité en boucle fermée? (répondre sur le document réponses sous la figure R8). L hypothèse consistant à négliger L est-elle vérifiée? Déterminer, et expliquer à partir de constructions faites sur le diagramme de Black document réponses figure R8, la valeur k 45 de k qui permet d obtenir la marge de phase de 45 spécifiée dans le cahier des charges. Influence de la prise en compte de L sur la stabilité en boucle fermée : GAIN ,3 db PHAS Lorsque L n est pas négligée, la marge de phase reste de 3, la diminution de phase provoquée par la présence de L se manifeste dans les pulsations beaucoup plus hautes que 3 rd/s. L hypothèse consistant à négliger L est vérifiée. Valeur k 45 de k qui permet d obtenir la marge de phase de 45 : La marge de phase de 45 est obtenue pour ω 68,6 rd / s, l amplitude est alors de,3 db au lieu de db. La valeur de k 45 est donc de -,3/, Etude de la précision de la boucle d asservissement de position angulaire Question 9. : Calculer, pour la valeur k 45 de k établie précédemment, l écart statique ε cons en incréments lorsque la consigne est un échelon de position : Cons(.u(. Ecart statique pour une consigne en échelon : cet écart est nul car il y a une intégration dans la boucle d asservissement. Corrigé PT SIA 5 page 8/7

9 Question 3. : Calculer, pour la valeur k 45 de k établie précédemment, l écart statique ε pert en incréments entre la consigne et la mesure lorsque la perturbation est l échelon de couple résistant C r.u( induit par les frottements secs. La chaîne cinématique de transmission est telle qu il faut 5 incréments pour que la crémaillère se déplace de mm, quelle est l incidence de cet écart sur la position de l instrument? Conclure par rapport aux exigences du cahier des charges. Proposer une modification du bloc K qui annulerait cet écart. Ecart statique pour un échelon de perturbation : il n y a pas d intégration en amont de la perturbation donc :,436. R/ kc ε. Cr,436./,., pert inc. kamont,436.,77 Ecart de position sur l instrument : ε instr /5,8 mm. Il y a conformité avec le cahier des charges car ε instr <, mm. Pour annuler cet écart, il faut placer une intégration dans le bloc K mais cela n est pas nécessaire ici. 4-3 Vérification des performances de la chaîne de positionnement de l instrument 4-3- Analyse du déplacement en translation de la crémaillère Question 3. : Exprimer le coefficient du bloc H ; préciser l unité. Valeur du coefficient du bloc H Φ / 9,. -3 m / rd. Question 3. : Quelle relation doit vérifier le produit P des gains des blocs C, H, H? Justifier. Exprimer le coefficient c en incréments par mètre du bloc C. Le produit des gains des blocs C.H.H doit être égal à pour avoir les mêmes échelles de variation des déplacements de la main et de la crémaillère. P 49.,35. 9,. -3. Cette condition est vérifiée ici. Valeur du coefficient c 865 / (9,. -3 ) 49 inc. / m. Question 33. : Exprimer le nouveau coefficient c du bloc C ainsi que le nouveau produit P. Valeur du nouveau coefficient c c / 49 inc. / m. Le nouveau produit des gains est P, Analyse du déplacement de l instrument chirurgical par rapport à la crémaillère Question 34. : Etablir, à partir de cette figure R34, l expression de la fonction de transfert H3( ; déterminer les valeurs caractéristiques : Gain statique, coefficient d amortissement et pulsation propre. Fonction de transfert H 3 ( : Le premier dépassement relatif est D /,55 donc ξ,. Le temps de réponse à 5 % est de,55 s et pour ξ, on lit : tr 5%. ω 5 donc ω 7 rd / s. Le gain statique est Gs. Dinstrum( La fonction de transfert est : H3( Dcrém(, p ²,5,4 ² 7 ( 7)² + + p + p+ p Question 35. : Le critère de la bande passante de 4 Hz à 3 db est-il satisfait? répondre et justifier sur le document réponses. Corrigé PT SIA 5 page 9/7

10 Bande passante à 3 db : pour un système du second ordre, la pulsation de coupure à 3 db se situe au voisinage de ω ω 7 rd/s soit f 7/6,8 4,3 Hz. Le critère de la bande passante de 4 Hz est respecté. Question 36. : Le solide S est dans la position d équilibre ; écrire l équation d équilibre. On isole S, il est soumis à l action de la pesanteur et à celle du ressort. Equation d équilibre : le PFS en projection sur z donne : -m.g - k.a. Question 37. : Le solide S est déplacé de sa position d équilibre puis abandonné à son propre poids. Déterminer l équation différentielle du mouvement autour de la position d équilibre. Après avoir mis l équation différentielle du mouvement sous forme canonique : A z( + B z( + z(, exprimer le coefficient d amortissement ζ 3 et la pulsation propre ω 3 du mouvement en fonction de k, f, m. Equation du mouvement autour de la position d équilibre : Le PFD en projection sur z donne : -m.g - k.(a + z) f.dz/dt m.d²z/dt² soit, d après la condition d équilibre, m.d²z/dt² + f.dz/dt + k.z et sous forme canonique : m d z f. +. dz+ z k dt² k dt Pulsation propre : ω 3 m k ; Coeff d amortissement : f ζ 3.. ω. f. k k. m Question 38. : Pour la valeur de ω 3 calculée précédemment, déterminer la valeur minimale de la raideur k (en N/m) qui permettrait de respecter le critère de la bande passante à 3 db de 4 Hz. (On notera que ω -3dB > ω 3 ). Valeur minimale de la raideur du ressort : f3.. π m k donc k 4. π ². m. f 4.9,87.,6.6 N/ m Analyse du déplacement de l instrument par rapport au déplacement de la main. Question 39. : Mettre en évidence sur le document réponses et donner les valeurs numériques : de l écart dynamique maximal ; de l écart de traînage (ou de vitesse) ε v en régime établi, du retard de traînage. Le cahier des charges est-il satisfait pour ce dernier critère? Déplacement de l instrument par rapport à la main. Déplacements (m).5.4, s,5 m Ecart dynamique maximal :,5 m Ecart de traînage :,5 m Retard de traînage :, s.3 Conformité par rapport au cahier des..,5 m TEMPS (s) charges? Respect du CDCF quant au retard de traînage Corrigé PT SIA 5 page /7

11 Question 4. : Déterminer à partir de cette courbe, l amplitude du mouvement pris par l instrument. Quelle est la conséquence de ce mouvement sur la plaie chirurgicale? Amplitude du mouvement de l instrument : Le gain mesuré pour une période de,5 s soit une pulsation de 5, rd / s est de 8,5 db soit 8,5/,66. L amplitude est plus que doublée, le patient risque de ne pas apprécier mais heureusement, il dort pendant l opération Amélioration des performances dynamiques. Question 4. : Tracer sur le document réponses figure R4, les trois courbes asymptotiques d amplitude de ces filtres avec des couleurs différentes. Sachant que les mouvements dont la période est inférieure à s ne doivent pas être atténués de plus de db, choisir le numéro, ou 3 du filtre qui atténue de 8 à db le tremblement de la main de période,5s. Tracer sur cette figure, dans une autre couleur, l allure de la courbe d amplitude corrigée par ce filtre. Le niveau de 4 Hz, de la bande passante à 3dB du critère de rapidité est-il toujours respecté? Tracé des diagrammes asymptotiques d amplitude des filtres : N T N T N 3 T3 8,5 db 3 H( et 6,8 rd/s 5 rd/s Choix du filtre : Le N coupe à /,4 5 rd / s donc ne supprime pas le pic à 8,5 db : il ne convient pas ; Le N 3 coupe à /,5 rd / s donc en dessous de 6,8 rd / s ( Hz) : il ne convient pas ; Le N coupe à /, rd / s et élimine à peu près correctement le pic à 8,5 db. Corrigé PT SIA 5 page /7

12 Voici la courbe de gain réelle après filtrage : GAIN PULS 5- RESPECT DES CRITERES ASSOCIES A LA FONCTION DE SERVICE "FS 4 : 5- Etude de résistance Les caractéristiques mécaniques du matériau sont : - Module d'élasticité longitudinal : E 3 N.mm - - Contrainte de limite élastique : Re 7 N.mm - - Masse volumique : 55 kg.m -3 Question 4. : Comparer l'utilisation de ce matériau par rapport à un tube de même section en acier S35? (On comparera la raideur et la résistance) ; La comparaison de la raideur s effectue à partir du module d élasticité longitudinal E : E acier N.mm - donc la raideur du matériau utilisé est plus faible que celle de l acier, d un facteur,6. La comparaison de la résistance s effectue à partir de la contrainte de limite élastique Re : Re acier 35 N.mm - donc la résistance du matériau utilisé est 7 fois plus élevée que celle de l acier. Figure 5-3 Question 43. : Donner l'expression littérale du moment quadratique "ISy", de la section de tube par rapport à l'axe Sy et calculer sa valeur en mm 4 De Z. Isy π ( De4 Di ) mm 4 Di S diamètre extérieur : De mm ; diamètre intérieur : Di mm. Surface : St 34,6 mm. Corrigé PT SIA 5 page /7 Y

13 On suppose que chacun des quatre tubes de longueur "Lt" 6 mm, est sollicité équitablement sous l'effet de l'action "Fop" exercée par l'opérateur sur la plaque EE J J. Question 44. : Tracer le diagramme du moment de flexion le long d'un tube et calculer la valeur maximale de celui-ci. (On utilisera le repère (X,Z) de la figure 5-4 dans lequel l axe de la poutre est porté par X). Figure 5-4 X Mf(x) Z Mf maxi Lt x Fop/4 5 Nm Fop/4 Lt 6 O Question 45. : Déterminer la contrainte normale maximale dans un tube ; Conclure par rapport au cahier des charges. σ maxi Mf ISy maxi De 7 N.mm - (ou Mpa) Le coefficient de sécurité est s 7 / 7 D où conformité par rapport au cahier des charges qui impose Etude des déformations Question 46. : Déterminer l'expression littérale, puis donner la valeur numérique de la raideur " K Z S " de la structure à 4 tubes (figure 5-). La raideur d un tube est 3 E ISY 3 ; la raideur des 4 tubes placés en parallèle est 4 fois plus grande : Lt K Z S E ISY 3 3,8 N mm - Lt 5-- Evolution de la structure du bras inférieur (E, F) : Une structure en treillis triangulaire (E, F, H), constitués de tubes est utilisée pour Figure 5-7 augmenter la rigidité du bras inférieur (E, F) (voir la figure 5-6). E Hypothèse de travail : on considère que l assemblage entre les tubes au point E d'une 9 Fz inf part, et entre les tubes et le reste de la structure aux points F et H d'autre part, se comporte comme une liaison rotule ; le modèle d'étude est donné figure 5-7. Tous les calculs seront effectués pour un effort N. F Z inf 6 F H Z Y Question 47. : Déterminer la nature et la valeur numérique des sollicitations existant dans le tube EF, puis dans le tube EH (un raisonnement rigoureux est exigé) ; Effectuons l inventaire des actions exercées sur le nœud E : - l action Fzinf ; Corrigé PT SIA 5 page 3/7

14 - l action de la poutre EF : c est une force portée par la direction EF (par isolement de la poutre EF qui n est soumise qu à deux actions, et application du principe fondamental de la statique). - L action de la poutre EH : c est une force portée par le direction EH (même raisonnemen Traçons le triangle des forces : FEF E Ceci montre : La poutre EF en compression : a Fz inf La poutre EH en extension. FEH E Et on a les efforts normaux : N EF - F EF - Fz inf / tg(a) N N EH + F EH + Fz inf / sin(a) N (avec tg(a),5) Question 48. : Déterminer les valeurs numériques (en mm) des allongements tubes EF et EH. δ FE et δ HE (valeurs algébriques) des FE δ FE l E St N FE -,889 mm et δ HE HE l E St N HE,99 mm Question 49. : Donner l'expression (algébrique) en mm du déplacement vertical δ Z inf de l'extrémité E de la partie de la structure triangulaire en fonction de δ FE et δ HE. Calculer numériquement δ ; En déduire la raideur " " de cette partie de structure triangulaire. Z inf K Z inf Après déformation, la position du point E est située à l intersection des deux cercles : - cercle de centre F et de rayon R l FE+ δ FE 599,9 mm - cercle de centre H et de rayon R l HE+ δ HE 66,83 mm Ecrivons l équation de chaque cercle dans le repère (F,Y,Z ) (avec hhf9 mm): y z R et y + ( z+ h ) R + et résolvons le système ainsi constitué ; on obtient : z ( ) R R h h l application numérique nous donne : δ,38 mm donc Kzinf 7,5 N.mm - Z inf 5-- Evolution de la structure du bras supérieur (J, L) : L'utilisation d'un logiciel de calcul par éléments finis a permis d'obtenir, sous l'effet d'un effort F N, Z sup la déformée proposée sur la figure 5-8 Figure 5-8 N J M L Z Y les réactions suivantes aux appuis, sur la structure : δ Zsup Fz sup Point M Point L Résultante / y - 98 N 98 N Résultante / z - 5 N - 5 N Moment / x 5 Nm 5 Nm Question 5. : Tracer le long des poutres (N, M) et (J, L), les diagrammes de l'effort normal, de l'effort tranchant et du moment fléchissant. (on travaillera avec la convention du torseur de cohésion qui utilise les actions exercées par la partie située à Corrigé PT SIA 5 page 4/7

15 droite de la section fictive, sur la partie située à gauche de celle-ci). En déduire une figure qui précise les actions (forces et moments orientés, avec les valeurs numériques) exercées aux points J et N par les tubes, sur le tronçon JN. N N Poutre (N,M) : Poutre (J, L) : tronçon JN : Effort normal Effort normal 98 N M J L - 98 N Effort tangentiel Effort tangentiel M L J -98N -5 Nm N -5N - 5 N Moment fléchissant 5 Nm - 5 N Moment fléchissant 5 Nm -5N J 98N - 5 Nm N M J L - 5 Nm - 5 Nm Le logiciel a aussi donné le déplacement F Z sup l'effet d'un effort N. δ Z sup 3,4 mm de l'extrémité J de la partie de la structure rectangulaire sous Question 5. : En déduire la raideur " " de cette partie de structure rectangulaire, ainsi que la raideur " " de la structure K Z sup K Z S complète (comprenant deux parties supérieures rectangulaires et deux parties inférieures triangulaires). On déduit la raideur K Z sup 7,46 N.mm - (Nota : on observe qu elle est fois plus faible que celle de la structure triangulée HEF) ; La raideur totale est la somme des deux raideurs, et multipliée par du fait de la double structure. - Donc ( 7,46 + 7,5) 6 N.mm K Z S Nota : les résultats de la question 38 conduisaient à un besoin d une raideur de N.mm - pour une bande passante de 4 Hz ; celle-ci pourra donc être nettement améliorée. 6- OPTIMISATION DE LA COMMANDE Question 5. : La relation R est une relation causale (ou «unilatérale» ou «orientée») ; expliquer pourquoi, en exprimant la grandeur de sortie en fonction de la grandeur d entrée ; préciser comment s effectue la transformation d énergie dans le système concerné. T La relation est causale car on exprime la grandeur de sortie : V (T) V () (Fa( + Fr() dt m par une fonction intégrale des grandeurs d entrée (la grandeur de sortie est fonction uniquement des valeurs présentes et passées des grandeurs d entrée). On peut aussi dire que la relation R est causale car l ordre de dérivation de la grandeur de sortie (V) est supérieur à l ordre de dérivation de la grandeur d entrée (F). Il y a accumulation d énergie sous forme cinétique. Corrigé PT SIA 5 page 5/7

16 Question 53. : Les relations R6 et R7 sont des relations dites «rigides» ou «non strictement causales» ; expliquer pourquoi. φ Les relations R6 : V( ω réd( et R7 : Car( φ Far ( t ) sont dites «rigides» car elles peuvent être inversées par ω réd( V ( et F ar( Car( tout en respectant le principe de causalité (la φ φ grandeur de sortie est fonction uniquement des valeurs présentes et passées des grandeurs d entrée). Question 54. : Donner l expression de la relation R qui décrit le comportement de l amortisseur ; indiquer la nature (causale ou rigide) de cette relation. Relation R : Fa ( f V( ; c est une relation rigide. Question 55. : Donner la relation R qui décrit le comportement du ressort ; indiquer la nature (causale ou rigide) de cette relation ; préciser comment s effectue la transformation d énergie dans le système concerné. Relation R : Fr( Fr() + k(z ( Z () ou encore : Fr( T) Fr() + k V( dt ; c est une relation causale ; il y a accumulation d énergie sous forme potentielle. T Question 56. : Le processeur associé aux relations R6 et R7 est un élément de couplage de type «modulateur» ; que peut-on dire de la forme prise par l énergie de part et d autre de cet élément? Les énergies de part et d autre sont de même nature (mécanique). Question 57. : Le processeur associé aux relations R et R3 est un élément de couplage de type «gyrateur» ; que peut-on dire de la forme prise par l énergie de part et d autre de cet élément? Les énergies de part et d autre sont de nature différente : mécanique et électrique. Corrigé PT SIA 5 page 6/7

17 7- RESPECT DES CRITERES ASSOCIES A LA FONCTION DE SERVICE "FS 6" Question 58. : Après avoir analysé le principe de fonctionnement du capteur inductif et du codeur, établir sur la figure R58 du document réponses, le grafcet de prise d origine (graphe POM) selon un point de vue partie commande, relatif au mouvement de translation de l outil Grafcet de prise d origine : Fin du corrigé. Corrigé PT SIA 5 page 7/7

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