Correction de l épreuve de mathématiques du CRPE 2015 du sujet du PG1

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1 Correction de l épreuve de mathématiques du CRPE 015 du sujet du PG1 Denis Vekemans Première partie : problème A. Calcul de l aire d un polygone de Pick sur un exemple A(X) désigne l aire en unités d aires de l objet X. Ainsi, A(ABCDEF) = A(ABF)+A(BCDF)+A(DEF) = = 95 B. Utilisation de la formule de Pick sur un exemple 1. Pour le polygone ABCDEF, b = 3 et i = 37 (par comptage), et la formule A(ABCDEF) = i+ b 1 donne A(ABCDEF) = = 95.. Pour le polygone ABCDF, b = 18 et i = 7, et la formule A(ABCDF) = i+ b 1 donne A(DEF) = = 35. Pour le polygone DEF, b = 15 et i = 6, et la formule A(DEF) = i + b 1 donne A(DEF) = = 5. On vérifie aisément que A(ABCDEF) = A(ABCDF) + A(DEF). C. Quelques conséquences de la formule de Pick 1. Si b est pair, on peut trouver un entier naturel k tel que b = k. Par suite, l aire donnée par la formule de Pick devient i+ b 1 = i+ k 1 = i+k 1 et est entier naturel. Conclusion : il n est donc pas possible, lorsque b est pair, que l aire d un polygone de Pick soit 7,5 car 7,5 n est pas entier naturel.. D après la formule de Pick, A(X) = i+ b 1 = 15, pour un polygone de Pick dont l aire vaut 15. Cependant, i 0 car i N, donc b 1 15, puis b 17 et enfin b 17.. Université du Littoral Côte d Opale ; Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699; 6 8 Calais cedex ; France 1

2 CRPE PG1 015 Voici un exemple d un tel polygone pour lequel b = 17 et i = 0, parmi tant d autres D après la formule de Pick, A(X) = i+ b 1 = 15, pour un polygone X de Pick dont l aire vaut 15. Cependant, i = 1, donc 1+ b 1 15, puis b 15 et enfin b = 15. Voici un exemple d un tel polygone, parmi tant d autres D après la formule de Pick, A = A(X) = i+ b 1, pour un polygone X de Pick. Cependant, i 0 car i N, donc b 1 A, puis b A+1 et enfin b A+. D. Démonstration de la formule de Pick dans le cas d un rectangle l 1 L 1 L l 1 L 1 l 1. b = (l+l) et i = (l 1) (L 1).. L aire A du rectangle est l L et i+ b (l+l) 1 = (l 1) (L 1)+ 1 = l L L l+1+l+l 1 = l L = A Denis Vekemans /10 Mathématiques

3 CRPE PG1 015 Deuxième partie : exercices Exercice 1 A N et B N. Traitement de l information : 111 est multiple de A. Les diviseurs de 111 sont 1, 3, 37 et 111. Ainsi, A {1,3,37,111}. On traite les différents cas... Si A = 1, comme A B 0 on déduit que soit B = 0, soit B = 1. Mais, comme A B est divisible par 10, on déduit B = 1 (B = 0 est exclu car 1 0 n est pas divisible par 10). Enfin, comme B = 1 est le cube de 1, A = B = 1 est solution du problème. Si A = 3, comme A B 0 on déduit que soit B = 0, soit B = 1, soit B =, soit B = 3. Mais, comme A B est divisible par 10, on déduit B = 3 (B = 0, B = 1 et B = sont exclus car 3 0, 3 1, et 3 ne sont pas divisibles par 10). Comme B = 3 n est pas le cube d un entier, ce cas ne fournit pas de solution au problème. Si A = 37, comme A B 0 on déduit que soit B = 0, soit B = 1, soit..., soit B = 37. Mais, comme A B est divisible par 10, on déduit B = 7 ou B = 17 ou B = 7 ou enfin B = 37 (les autres cas sont exclus car 37 0, 37 1,... et ne sont pas divisibles par 10). Comme B = 7 est le cube de 3, A = 37 et B = 7 est solution du problème. Et, comme B = 7, B = 17 et B = 37 ne sont cubes d un entier, ce cas ne fournit pas d autre solution au problème. Si A = 111, comme A B 0 on déduit que soit B = 0, soit B = 1, soit..., soit B = 111. Mais, comme A B est divisible par 10, on déduit B = 1 ou B = 11 ou B = 1 ou B = 31 ou B = 41 ou B = 51 ou B = 61 ou B = 71 ou B = 81 ou B = 91 ou B = 101 ou enfin B = 111 (les autres cas sont exclus car 111 0, 111,... et ne sont pas divisibles par 10). Comme B = 1 est le cube de 1, A = 111 et B = 1 est solution du problème. Et, comme B = 11, B = 1, B = 31, B = 41, B = 51, B = 61, B = 71, B = 81, B = 91, B = 101 et B = 111 ne sont cubes d un entier, ce cas ne fournit pas d autre solution au problème. Exercice 1. Avec 7 litres d eau, on obtient environ 7,5 litres de glace (lecture graphique).. Avec environ 8,3 litres d eau (lecture graphique), on obtient 9 litres de glace. 3. Le volume de glace semble proportionnel au volume d eau au vu de la représentation graphique : une droite passant par l origine (absence d eau correspond à absence de glace). 4. Si 10 l d eau donnent 10,8 l de glace, on déduit que 100 l d eau donnent 108 l de glace. Cela représente une augmentation de volume de 8% (i.e. de 8 l pour les 100 l de départ). 5. La ville fournit un volume de 0 m 3 d eau par jour. Remarque : on suppose qu on conserve le coefficient de proportionnalité donné à la question précédente car une lecture graphique est impossible pour 0 m 3 d eau (problème d échelle graphique), mais cela Denis Vekemans 3/10 Mathématiques

4 CRPE PG1 015 méritait d être indiqué. Cette production d eau provient de 1,08 0 m 3 = 1,6 m 3 de glace par jour. Pour trente jours, cette production provient de 30 1,6 m 3 = 648 m 3 = l de glace. Exercice 3 1. La figure demandée... E 3 A P 14 M F 9 B 9 G. On a EM + M G EG, d après l inégalité triangulaire. Et, d un autre côté, comme P est un point du segment [EG], on a EG = EP +PG, ce qui permet de conclure que EM +MG EP +PG. Denis Vekemans 4/10 Mathématiques

5 CRPE PG1 015 Autrement dit, EM +MG est minimale lorsque M est un point du segment [EG] (i.e. en P), d après le cas d égalité de l inégalité triangulaire. B est milieu du segment [EG] car E et G sont symétriques par rapport au point B. De plus, la droite (AB) est perpendiculaire à la droite (EG). Par conséquent, la droite (AB) est médiatrice du segment [EG] (comme droite perpendiculaire au segment et passant par son milieu). Comme M est un point de (AB), il est donc équidistant de F et de G (par définition de la médiatrice comme ensemble des points équidistants de E et de G) et MF = MG. Au final, EM +MG = EM +MF est minimale lorsque M est en P. 3. (a) En considérant les droites (AB) et (EG), sécantes en P et les parallèles (AE) et (BG) (ces deux droites sont bien parallèles car toutes deux perpendiculaires à la droite (AB)), le théorème de Thalès dans la configuration dite du papillon, donne : ( ) PE PA PG = PB = EA GB. On utilise ensuite AP +PB = AB (car P est un point du segment [AB]) qui permet d obtenir PB = AB AP = 14 AP ; puis, BF = GB (car B est milieu du segment [EG]) qui donne GB = 9 ; et on remplace pour obtenir PA 14 PA = 3 9. (b) Le produit en croix donne 9 PA = 3 (14 PA) = 4 3 PA. Il s ensuit que 1 PA = 4 puis PA = 4 1 = Il a déjà été vu que la valeur minimale de EM +MF est EP +PF. Dans le triangle AEP rectangle en A, le théorème de Pythagore donne et donc EP = 85. EP = EA +AP ( ) 7 = 3 + = = De même, dans le triangle BGP rectangle en B, le théorème de Pythagore donne GP = GB +BP ( = ) = = et donc GP = 765 = 3 Par somme, EP +PF = = 4 85 = 85 18,4. Denis Vekemans 5/10 Mathématiques

6 CRPE PG ) Troisième partie : didactique SITUATION 1 : Extrait du manuel "Outils pour les maths" CM1 Magnard (édition 1. Première différence : le format des nombres! Dans la question, tous les nombres sont exprimés sous forme de fractions décimales, et de surcroît, toutes ces fractions décimales ont le même dénominateur, ce qui n est pas le cas de la question 3 (où les écritures sont mélangées tantôt à virgule, tantôt sous forme de fraction ; et où deux échelles sont à traiter simultanément, celle des dixièmes et celle des centièmes). On peut penser que le rôle de cette question est de mettre en avant le fait que, quand les nombres sont au même format, ils sont facilement identifiables sur la droite graduée et d induire ainsi une procédure de résolution de la question 3 via la "mise au format". Une alternative à cette procédure est de gérer sur deux lignes différentes les deux échelles, celle des dixièmes et celle des centièmes et ainsi renforcer les liens entre les formats de nombres. Deuxième différence : la tâche de l élève "associer un placement ou réellement placer"! Dans la question, les emplacements des nombres sont déjà proposés, ce qui n est pas le cas dans la question 3. Un effet de ces deux différences portant sur le format des nombres et la tâche de l élève est que, dans la question, l exercice peut se résumer à ceci : ranger des nombres entiers (les numérateurs des fractions décimales) et il suffit bien de ranger car les emplacements sont déjà proposés par l énoncé. Troisème différence : la tâche de l élève "reproduire la droite graduée ou pas"! Dans la question 3, on demande à l élève de reproduire la graduation (sans doute parce que les auteurs ont mal agi en positionnant sur une même ligne donc des nombres de formats différents, des dixièmes et des centièmes voir alternative dans le format des nombres ), ce qui n est pas le cas dans la question. et Cela induit donc des contraintes : bien prendre dix centimètres comme écart entre 3 et 4 et ne pas se tromper dans le comptage des centimètres. De plus, cela augmente le temps de traitement d une question et risque de décourager certains élèves (ceux dont on dit qu ils veulent tout et tout de suite et si possible sans effort). On aurait également pu parler du fait que la graduation de la question démarre comprend le zéro ( permet donc le comptage pour placer), ce qui n est pas le cas dans la question 3 ( ne permet plus le comptage pour placer ou requiert le surcomptage). Remarque. Pour la question b, la rédaction de la question est étrange : "Écris chaque fraction sous la forme d un nombre décimal" permet d écrire les fractions sans les modifier car ces fractions sont des nombres décimaux. On préfèrerait "Représente chaque fraction décimale en utilisant l écriture à virgule".. Il est impossible de définir un nombre décimal comme un nombre qui peut s écrire avec un nombre fini de chiffres dans son écriture à virgule car le caractère "fini" n a aucun sens pour l élève de CM. Denis Vekemans 6/10 Mathématiques

7 CRPE PG1 015 Tout au plus, on doit pouvoir donner quelques exemple comme 3 = }{{} =3, }{{} = =6,9 41 }{{} 100 = }{{} =3,00 = }{{} =6,90 = =4, } 1{{ 000 } = 3 000, } 1{{ 000} =3,000 = 6 900, } 1{{ 000} =6,900 = 4 10, } 1{{ 000} =4,10 = =13 456, en espérant que par une multitude d exemples l élève de CM puisse avoir une idée de ce qu est réellement un nombre décimal. Remarque. Il est aussi impossible de définir les nombres décimaux comme zéro et ceux possédant exactement deux développements décimaux distincts (0, = 1 et 1 possède exactement deux développements décimaux donc 1 est décimal). SITUATION : Extrait du manuel scolaire "Tribu des maths" CM Magnard (édition 010)... Remarque. Quel pourrait être l objectif visé? Au vu des écritures des nombres, il semblerait que l ambition soit de travailler sur les nombres décimaux Cependant, au vu des objets étudiés (longueur d un segment), on serait plutôt sur les nombres réels que sur les nombres décimaux... Et enfin ce que dit Fatou porte sur la propriété d intercalation, alors que la justification de Max porte sur la comparaison! Pour dire que Fatou a raison, il suffit que les longueurs données soient différentes pour que l on puisse trouver un segment d une longueur comprise strictement entre les deux premières (entre deux réels, on peut toujours intercaler un réel distinct des deux premiers; entre deux décimaux, on peut toujours intercaler un réel distinct des deux premiers; mais aussi, entre deux décimaux, on peut toujours intercaler un décimal distinct des deux premiers). Ainsi, une façon de conclure que Fatou a raison, est de proposer une longueur comprise strictement entre et , elle peut avoir un segment de exemple., =,6, par Toujours pour comparer les répliques de Fatou et de Max : Fatou parle de trouver une longueur entre et , ce qui induit que les nombres jouent un rôle symétrique (i.e. c est la même chose que de trouver une longueur entre et ), alors que Max tente de répondre négativement au fait que la première longueur puisse être plus petite que la seconde, ce qui nie le fait que ces nombres puissent jouer un rôle symétrique. Denis Vekemans 7/10 Mathématiques

8 CRPE PG1 015 Au vu de ce qui précède, je pense qu il s agit d une situation a-didactique 1, mais ceci ne facilite pas la compréhension du sujet par le candidat. 1. Lara commet deux erreurs d écriture. La première erreur tient dans le fait que vaut 100 et non pas (erreur répétée pour ). L erreur peut être une étourderie (après les unité, les dixièmes, les centièmes, viennent les millièmes)... Outre le fait que Lara soit maintenant en présence de millièmes au lieu de centièmes, la seconde erreur vient de 0,5 = 5, ce qui est évidemment faux, mais on peut supposer que l élève voulait exprimer "0,5 = 5 millièmes" sans avoir trouvé la forme adéquate (erreur répétée pour 0,61). Cependant, cette élève a mis en évidence par là que pour comparer deux nombres décimaux au même format (en millièmes), il suffit de comparer les nombres de millièmes (qui sont des nombres entiers).. Fatou associe correctement l écriture à virgule d un nombre décimal à l écriture de ce nombre comme addition de fractions décimales dont les numérateurs ne comportent qu un seul chiffre : U,dc (10) où U est le nombre d unités, d le chiffre des dixièmes et c le chiffre des centièmes U + d 10 + c La règle que Léonie utilise implicitement pour comparer deux décimaux est la suivante (ordre lexicographique) : Pour comparer deux décimaux, on regarde d abord les unités, puis les dixièmes, puis les centièmes, puis les millièmes,... Si les parties entières sont différentes, le nombre le plus petit est celui qui a la plus petite partie entière (par exemple, 1, 34 < 56, 7) ; si les parties entières sont égales, on considère le chiffre des dixièmes,... si maintenant les chiffres des dixièmes sont différents, le nombre le plus petit est celui qui a le plus petit chiffre des dixièmes (par exemple, 0,51 < 0,7) ; si les chiffres des dixièmes sont égaux, on considère le chiffre des centièmes,... si maintenant les chiffres des centièmes sont différents, le nombre le plus petit est celui qui a le plus petit chiffre des centièmes (par exemple, 666,143 < 666,15) ; si les chiffres des centièmes sont égaux, on considère le chiffre des millièmes, et ainsi de suite. Une absence de chiffre dans une classe est traitée comme un zéro (par exemple, 4, < 4,13). }{{} =4,0 SITUATION 3 : (d après ERMEL CM, Hatier) 1. P relève d une division exacte. P 1 et P 3 relève d une division euclidienne. P est un problème de division partition (on connaît le nombre de CD à acheter et on distribue équitablement le coût total de 150= sur chacun d eux). P 1 et P 3 sont des problèmes de division quotition (on connaît le quota de 8 cl et on cherche le nombre de quotas que l on peut intégrer dans 1. Une situation a-didactique est une situation construite de façon à ce que le résultat souhaité ne puisse être obtenu que par la mise en oeuvre des connaissances visées mais que l élève ne soit pas conscient de l intention d enseigner du professeur. Le professeur peut tester l adhésion des élèves quant à leur recherche dans une voie donnée (source : http ://publimath.irem.univmrs.fr/glossaire/si001.htm) Denis Vekemans 8/10 Mathématiques

9 CRPE PG1 015 les 150 cl de départ ; on connaît le quota de 8 élèves pour une table et on cherche le nombre de quotas que l on peut intégrer dans les 150 élèves de départ). En ce qui concerne les deux divisions euclidiennes, pour P 1, la solution est le quotient (quel que soit le reste), mais pour P 3, la solution est le quotient augmenté de 1 parce que le reste est non nul (cette solution dépend donc à la fois du reste et du quotient).. Remarque. C est n importe quoi de vouloir ordonner des problèmes quand on ne connaît pas les objectifs et de surcroît quand on ne donne pas les critères selon lesquels on doit les ranger! Je considère qu il faut essayer de les classer par ordre croissant de difficulté dans la résolution (ni dans la difficulté de comprendre l énoncé, ni...). Au vu des remarques précédentes, P 3 est plus complexe que P 1. P est différent, et il est difficile de dire s il est plus simple ou plus complexe que l un des autres problèmes. Je fais donc le choix d ordonner comme suit : P, puis P 1, puis P 3. Je justifie cela en disant que j autorise les élèves à utiliser la calculatrice car il s agit de travailler sur des compétences de la résolution de problèmes et non pas sur des compétences de calcul, puis que la calculatrice fournit les quotients exacts (150 8 = 18,75), mais pas forcément les quotients euclidiens (dans la division euclidienne de 150 par 8, le quotient est 18 et le reste est 6). SITUATION 4 : Technique opératoire de la division 1. La production d Anaïs est conforme à une étape de la progression sur la division euclidienne qui vise à faire comprendre l algorithme aux élèves : diviser par 37, c est réaliser des paquets de 37 et à chaque fois qu on réalise un paquet, on soustrait 37 (soustraction itérée) du dividende, et plus généralement, à chaque fois qu on réalise n paquets, on soustrait n paquets (soustraction itérée de paquets) du dividende, et enfin, comme certains paquets sont plus simples à soustraire que d autres, on peut se limiter à réaliser c 10 k paquets (où c est un chiffre et où k est un entier naturel). C est ici que se situe la production d Anaïs : la table des c 37 est décrite intégralement et elle soustrait du dividende successivement , 1 480, puis 96 qui réalisent respectivement 1 000, 40, puis 8 paquets, soit un total de paquets. Avantages de cette procédure : elle est proche de la situation, elle est sûre (l élève ne risque pas d omettre un 0 de position dans le quotient lorsque l on abaisse successivement chiffres dans dividende, comme dans la procédure d Adama), elle n impose pas que chaque étape fournisse un chiffre du quotient (on peut très bien soustraire 1 000, 30, 10, 6, puis paquets). Inconvénient de cette procédure : l écriture de tous les c 37 n est pas forcément utile (1 37, 37, 4 37 et 8 37 auraient pu suffire). Denis Vekemans 9/10 Mathématiques

10 CRPE PG1 015 Remarque : l apparence un peu longue de la rédaction est largement compensée par le fait que cette méthode est sûre. La production d Adama correspond à ce qui est considéré comme étant la forme usuelle de l algorithme. Par rapport à la production d Anaïs, elle requiert soit d avoir été automatisée (ne nécessitant donc plus de réflexion dans son usage), soit de bonnes connaissances dans le domaine de la numération : les premiers "37" soustraits du dividende représentent en fait ou 37 milliers,... Avantages de cette procédure : elle est très succincte au niveau de l écriture, elle est vue principalement sous cette forme au collège. Inconvénient de cette procédure : elle est moins sûre que la procédure d Anaïs (comme le montre la production de Marie qui omet un 0 lorsqu elle abaisse successivement deux chiffres du dividende), comme elle impose que chaque étape fournisse un chiffre, si un chiffre n est pas bien évalué (par exemple, lorsqu on s aperçoit qu un reste partiel est supérieur à 37) il faut barrer et recommencer.. Marie a omis un 0 (de position) dans le quotient lorsqu elle a abaissé successivement deux chiffres du dividende. Kévin, d abord, calcule mal son dernier reste car donne 53 et non pas 63, puis son dernier reste est supérieur au diviseur, ce qui aurait du l obliger à revoir le calcul du dernier chiffre du quotient : de 31, il aurait du soustraire 8 paquets de 37 et non pas 7 paquets de 37. Denis Vekemans 10/10 Mathématiques