Correction feuille TD 3 : probabilités conditionnelles, indépendance

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1 Univrsité d Nic-Sophia Antipolis -L2 MASS - Probabilités Corrction fuill TD 3 : probabilités conditionnlls, indépndanc Exrcic Dans ct xrcic, nous supposons pour simplir qu ls yux d'un êtr humain sont soit d coulur blu soit d coulur marron. L gèn d la coulur blu st supposé récssif : il faut avoir êtr hérité ds dux parnts pour qu'il soit ctivmnt xprimé. L génotyp corrspondant s'écrit bb. Ls autrs s'écrivnt Mb t MM. La sour d François Pignon a ls yux blus, mais ss parnts ls yux marrons. Qull st la probabilité qu François Pignon ait ls yux blus? Ls parnts ont au moins un gèn M, t au moins un gèn b puisqu'ils n ont transmis un à lur ll. Donc ils sont tous dux "Mb". François Pignon a donc ls yux blus avc proba /4, chacun d ss parnts ayant un proba /2 d lui transmttr un gèn b. Exrcic 2 On lanc dux dés. Qull st la probabilité qu'au moins l'un d'ntr ux donn 6 sachant qu ls dux dés achnt ds résultats diérnts? On dénit ls événmnts S=au moins un dé donn 6; t D="ls dés donnnt ds résultats diérnts". P(S D) = P(S D) P(D) = 0/36 30/36 = 3 Exrcic 3 Un lot d 00 dés contint 25 dés pipés dont la probabilité d sorti du 6 st /2. Un dé st choisi au hasard t lancé : il donn 6. Qull st la probabilité qu'il soit pipé? On dénit ls événmnts P =l dé st pipé; S=l dé donn 6. On utilis la formul d Bays : P(P S) = P(S P )P(P ) P(S) = /2 /4 /2 /4 + /6 3/4 = 2 Exrcic 4 Considérons l'nsmbl {, 2, 3, 4} muni d la probabilité uniform t ls événmnts A = {, 2}, B = {2, 3}, C = {, 3}. Montrr qu A t B sont indépndants, B t C sont indépndants, A t C sont indépndants, mais qu A, B t C n sont pas indépndants. P(A) = P(B) = P(C) = 2 ; P(A B) = 4 : P(A C) = 4 ; P(B C) = 4 : P(A B C) = 0 On n déduit ls r±ultats dmandés à l'aid d la dénition d l'indépndanc d'événmnts. Exrcic 5 : Soit (Ω, P) un spac d probabilité au plus dénombrabl muni d X t Y variabls aléatoirs indépndants d loi d Brnoulli d paramètrs p ]0, [ t q ]0, [. Calculr la loi du produit

2 XY. Z = XY prnd ls valurs 0 ou. Z vaut uniqumnt si X t Y valnt. Donc P(Z = ) = P((X = ) (Y = )) = pq On a utilisé l'indépndanc d X t Y. D plus : P(Z = 0) = pq XY suit donc un loi d Brnoulli d paramètr pq. Exrcic 6 : Dans un boît il y a 0 bouls : 6 bouls noirs t 4 bouls blanchs. On ctu un tirag d'un boul au hasard puis sans rmttr la boul tiré, on fait un scond tirag d'un boul. On not X la variabl aléatoir prnant la valur si l prmir tirag donn un boul noir t la valur 2 si l prmir tirag donn un boul blanch. On not Y la variabl aléatoir prnant la valur si l scond tirag donn un boul noir t la valur 2 si l scond tirag donn un boul blanch.. Détrminr la loi d probabilité d X. Loi d X : x 2 P(X = x) 3/5 2/5 2. Détrminr la loi du coupl (X, Y ). Présntr ls résultats sous form d tablau. X Y Donnr la loi d la variabl aléatoir Z égal au produit XY. Loi d Z = XY : z 2 4 P(Z = z) /3 8/5 2/5 Exrcic 7 Un compagni d'assuranc répartit ss assurés n trois catégoris : conductur à faibl risqu, conductur à risqu moyn t conductur à haut risqu. Ls statistiqus d la compagni indiqunt qu la probabilité d'accidnt sur un périod d un an st 0,05, 0,5 t 0,30 slon la catégori. Par aillurs, la répartition ds assurés st la suivant : 20% sont à bas risqu, 50% à risqu moyn t 30% à haut risqu. Un assuré st choisi au hasard : qull st la probabilité qu'il ait un accidnt au cours d l'anné? Sachant qu l'assuré n'a pas u d'accidnt lors d l'anné écoulé, qull st la probabilité qu'il soit à faibl risqu? On dénit ls événmnts A=l conductur a u un accidnt; F, M, H=l conductur st à faibl. moyn, haut risqu rspctivmnt. On a (formul ds probabilités totals) : P(A) = P(A F )P(F ) + P(A M)P(M) + P(A H)P(H) = = On not A c l complémntair d A (i "pas d'accidnt"). La formul d Bays donn P(F A c ) = P(Ac F )P(F ) P(A c ) = Exrcic 8 Un banqu révis sa politiqu d cart d crédit avc un rappl d'un parti d clls-ci. Par

3 l passé, nviron 5% ds détnturs d'un cart d crédit ont été insolvabls t la banqu a été incapabl d rcouvrr ls solds impayés. Par conséqunt, la dirction a stimé égal à 0,05 la probabilité qu'un détntur d cart d crédit soit insolvabl. La banqu a égalmnt découvrt qu la probabilité d n pas honorr un paimnt mnsul st d 0,2 pour ls clints solvabls. Bin ntndu, la probabilité d n pas honorr un paimnt mnsul pour ls clints insolvabls st d.. Sachant qu'un clint n'a pas honoré un paimnt mnsul, calculr la probabilité a postriori qu l clint soit insolvabl. On dénit ls événmnts I= clint insolvabl; D=un paimnt mnsul non honoré. La formul d Bays donn 0.05 P(I D) = La banqu voudrait rprndr sa cart d crédit si la probabilité qu'un clint soit insolvabl st supériur à 0,20. La banqu dvrait-ll rprndr sa cart d crédit si l clint n'honor pas un paimnt mnsul? Pourquoi? 5/24 > 0.2, donc la banqu dvrait rprndr la cart d crédit si un clint n'honor pas un paimnt mnsul. Exrcic 9 : Dans un famill d dux nfants, qull st la probabilité qu l cadt soit un ll sachant qu l'aîné st un garçon? Sachant qu l'un ds dux st un garçon, qull st la probabilité qu l'autr soit un ll? On considèr ls événmnts A G ="l'aîné st un garçon"; C F ="la cadtt st un ll"; G="il y a au moins un garçon" t F ="il y a au moins un ll". On not ls congurations (ordonnés) d la fratri GG, GF, F G, F F, avc ds notations évidnts (l'aîné n prmir). Cs 4 congurations sont équiprobabls, d proba /4. On chrch donc d'abord P(C F A G ), puis P(F G). P(C F A G ) = P(C F A G ) = /4 P(A G ) /2 = 2 P(F G) = C résultat n'st pas vraimnt intuitif... P(F G) P(G) = /2 3/4 = 2 3 Exrcic 0 : (On pourra utilisr l'xrcic précédnt.) Lorsqu l téléphon sonn dans un famill d dux nfants composé xactmnt d'un ll t un garçon, la ll répond, n l'absnc ds parnts, avc probabilité p. Ls Castagnir ont dux nfants. Ils ls ont laissés suls pour la soiré. L téléphon sonn. Un ll décroch l'apparil. Qull st la probabilité qu l'autr nfant soit un garçon? On dénit ls événmnts F F : ls C. ont dux lls (proba /4); F G : ls C. ont un ll t un garçon (proba /2); GG : ls C. ont dux garçons (proba /4); T F : un ll répond au téléphon. On chrch la proba d l'événmnt F G sacahnt qu T F s réalis. Formul d Bays : P(F G T F ) = P(T F F G)P(F G) P(T F ) On calcul P(T F ) à l'aid d la formul ds probabilités totals : P(T F ) = P(T F GG)P(GG) + P(T F F G)P(F G) + P(T F F F )P(F F ) = 2 p + 4

4 Donc P(F G T F ) = Exrcic Considérons l lancr d dux dés t ls événmnts : p 2 2 p + 4 A = {,..., 6} {, 2, 5}, B = {,..., 6} {4, 5, 6}, C = {(i, j) {,..., 6} 2 : i + j = 9}. Montrr qu P(A B C) = P(A)P(B)P(C) mais qu A t B n sont pas indépndants, B t C n sont pas indépndants, t qu A t C n sont pas indépndants. P(A) = 2 ; P(B) = 2 ; P(C) = 9 D plus, A B = {,..., 6} {5}, donc P(A B) = 6 ; B C = {(5, 4), (4, 5), (3, 6)} donc P(B C) = 2 ; A C = {(4, 5)} donc P(A C) = 36 ; A B C = {(4, 5)} donc P(A B C) = 36. Exrcic 2 Soit (Ω, P) un spac d probabilité au plus dénombrabl muni d trois événmnts A, B t C indépndants. Montrr qu A st indépndant d B C. On a la rlation (fair un dssin par xmpl) A (B C) = (A B) (A C) En trm dévénmnts : A d'un part, t B ou C d'autr part s réalisnt si soit A t B s réalisnt, soit A t C (soit ls dux). Alors P(A (B C)) = P((A B) (A C)) = P(A B) + P(A C) P((A B) (A C)) = P(A)P(B) + P(A)P(C) P(A B C) = P(A)P(B) + P(A)P(C) P(A)P(B)P(C) On a utilisé l'indépndanc d A t B, cll d A t C, t cll d A, B t C. D plus P(A)P(B C) = P(A) [P(B) + P(C) P(B C)] = P(A) [P(B) + P(C) P(B)P(C)] = P(A)P(B) + P(A)P(C) P(A)P(B)P(C) On a utilisé l'indépndanc d B t C. EN comparant ls dux égalités obtnus, on conclut. Exrcic 3 Un signal st transmis l long d n rlais montés n séri. Pour simplir, l signal st réduit

5 à un 0 ou un. Chaqu rlais transmt l signal avc probabilité 0 < p < t l déform n 0 ou 0 n avc probabilité p. Ls rlais fonctionnnt indépndammnt ls uns ds autrs.. On not p (k) c (p (k) ) la proba qu l signal à la sorti du rlais k soit corrct (incorrct). Montrr qu p (k+) c = pp (k) c + ( p)p (k) p (k+) = ( p)p c (k) + pp (k) La proba qu l signal soit corrct après l rlais k + st égal à la proba qu l signal soit corrct après l rlais k t soit transmis corrctmnt par l rlais k +, plus la proba qu l signal soit incorrct après l rlais k, t soit transformé par l rlais k +. Cla donn la formul ci-dssus pour p (k+) c. Pour p (k+), on put raisonnr d la mêm façon, ou écrir p (k+) = p (k+) c. 2. Montrr qu c résultat put s mttr sous la form où t T qu matric 2 2 qu l'on précisra. p (k+) = p (k+) = T p (k) p (k) = ( p (k) c p (k) ( p p p p ) ) ( p (k) c p (k) 3. Calculr sous form matricill la proba qu l signal à la sorti ds n rlais soit corrct. Pour k = 0 (i avant l prmir rlais), l signal st corrct avc proba. Donc ( ) p (n) = T n 0 Exrcic 4 : Dux jouurs jount au ju suivant : un dé à six facs st lancé suivi d'un pièc à pil ou fac. L jouur A gagn, n uro, l résultat du dé si la pièc tomb sur pil t prd, n uro, l résultat du dé si la pièc tomb sur fac. Modélisr l'xpérinc t donnr la loi du gain du jouur A. On not G la v.a gain d A. G prnd ls valurs 6, 5,...,,, En supposant qu la pièc t l dé sont équilibrés, t qui ls lancrs sont indépndants, touts ls valurs possibls pour A sont équiprobabls, d proba /2. Exrcic 5 : On choisit au hasard un salarié d'un sctur d'activité. On not X la variabl aléatoir sx, qui put prndr ls valurs H ou F, t Y la variabl aléatoir nivau d salair, qui put prndr ls valurs faibl, intrmédiair, élvé. On sait qu'il y a dans c sctur 60% d fmms. Qu 40% ds salariés ou un salair faibl, t 40% égalmnt un salair intrmédiair.. On suppos qu ls variabls aléatoirs X t Y sont indépndants. Construir l tablau donnant la loi du coupl dans c cas. X Y faibl intrm. élvé homm fmm )

6 2. En réalité, la loi du coupl (X, Y ) st donné par l tablau suivant : X Y faibl intrm. élvé homm fmm Donnr la loi d Y sachant qu X =homm, t la loi d Y sachant qu X =fmm. Commntr. Loi d Y sachant qu X =homm : Loi d Y sachant qu X =fmm : y faibl intrm. élvé P(Y = y X = homm) y faibl intrm. élvé P(Y = y X = fmm) Dans c sctur d'activité, ls salairs ds fmms sont n moynn moins élvés qu cux ds homms.

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