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1 Béton armé et précontraint I FLEXION COMPOSEE DIAGRAMME INTERACTION Jean Marc JAEGER Setec TPI E.N.P.C. module B.A.E.P.1 ENPC Module BAEP1 Séance 4 1

2 ENPC Module BAEP1 Séance 4 2

3 12. FLEXION COMPOSEE - DEFINITION g = 130 KN/ml et q = 30 KN/ml 12.0m 0.3m 1.20 m Poutre 0,60 x 1.10 ht Σ Appareil d appui 300x m Σ 6m Σ M N G N e G Semelle 2m x 1m x 0,8m Poteau 0,60 x m 2m ENPC Module BAEP1 Séance 4 3

4 Flexion composée - Définitions Le portique représenté ci-dessus est constitué d une traverse supérieure encastrée dans un piédroit. La section droite Σ d encastrement du piédroit dans la traverse est soumise à un effort normal de compression N et à un moment de flexion M, ces sollicitations sont calculées par rapport au centre de gravité G de la section Σ. Cette section est soumise à une flexion composée. L effort normal peut être un effort de compression, c est le cas le plus courant en béton armé, ou un effort de traction. Le torseur (N,M) est équivalent à celui créé par un unique effort normal N appliqué en un point nommé centre de pression. L excentricité e du centre de pression C est déterminée par l expression e=m/n. En Résistance des Matériaux (RdM), le noyau central d une section droite est le lieu des centres de pression tels que un point du contour de cette section droite soit soumis à une contrainte nulle. Si le centre de pression se trouve à l intérieur du noyau central la section est soit totalement comprimée soit totalement tendue, dans le cas contraire la section est partiellement comprimée et partiellement tendue. En béton armé, l utilisation du noyau central est tout à fait justifiée en E.L.S. dans le cas d une flexion composée avec compression mais ne s applique plus dans le cas de traction dans la mesure ou le béton tendu est négligé. Dans ce dernier cas la position du centre de pression par rapport aux nappes d armatures sera l élément déterminant. ENPC Module BAEP1 Séance 4 4

5 12. FLEXION COMPOSEE : NOYAU CENTRAL y SECTION RECTANGULAIRE b x h 1 Aire de la section droite Ω=bh Inertie de flexion I z = bh 3 /12 Inertie de flexion I y = hb 3 /12 h h/3 C 2 C 1 z AXE NEUTRE A l axe 1 correspond le centre de pression C 1 (-h/3,0) A l axe 2 correspond le centre de pression C 2 (h/3,0) b/3 2 NOYAU CENTRAL Un losange de dimensions h/3 et b/3 b ENPC Module BAEP1 Séance 4 5

6 Noyau central Le noyau central est la zone à l intérieure de laquelle doit se trouver le centre de pression pour que la section soit entièrement soumise à une contrainte normale de même signe. Un point, centre de pression de coordonnées y 0,z 0, de son contour est caractérisé par le fait que l axe neutre qui lui correspond est tangent au contour de la section. Dans le cas général d une section soumise à des sollicitations N, My, Mz l équation de l axe neutre en fonction de (y 0,z 0 ) est la suivante: Contrainte normale au point(y,z) selon les conventions de signes usuelles RdM N σ ( y, z) = Ω Mz My y0 = z0 = N N Equation de l'axe neutre (lieu des points tels que σ(y,z) yy0 Iz zz0 + Iy + y 1 + Ω Mz Iz Centre de pression = 0 + z My Iy = 0) Dans le cas d une section rectangulaire le noyau central est un losange de hauteur égale au tiers de la hauteur de la section, on parle du «tiers central». ENPC Module BAEP1 Séance 4 6

7 12. FLEXION COMPOSEE : Différents états de la section Selon les valeurs de M et de N la section peut être : - totalement tendue, - partiellement comprimée, - totalement comprimée. ENPC Module BAEP1 Séance 4 7

8 Flexion composée Différents états de la section Selon que la section est soumise à une flexion composée avec traction ou avec compression et selon la position du centre de pression C la section peut être soit : - Entièrement tendue : l effort normal est un effort de traction, l axe neutre se trouve à l extérieur du contour de la section et toute la section est tendue; par hypothèse le béton tendu est négligé donc seules les deux nappes d acier hautes et basses vont équilibrer les sollicitations N et M, - Partiellement comprimée : l axe neutre partage la section en deux zones, la zone comprimée constituée du béton comprimé et des armatures comprimées se trouvant dans cette zone, et la zone tendue où seules les armatures tendues seront prises en compte, - Entièrement comprimée : l effort normal est un effort de compression, l axe neutre se trouve à l extérieur du contour de la section et toute la section est comprimée ; toute la section béton et les deux nappes d armatures hautes et basses vont participer à équilibrer les sollicitations N et M. La détermination des armatures à mettre en œuvre sera effectuée selon des principes différents en fonction de ces trois états. ENPC Module BAEP1 Séance 4 8

9 12. FLEXION COMPOSEE : Sollicitations de calcul Flexion composée avec traction SOLLICITATIONS CALCULEES SELON LES : combinaisons caractéristiques et quasi-permanentes en ELS combinaisons fondamentales en ELU Flexion composée avec compression en ELU : vérification selon l ÉTAT LIMITE DE STABILITE DE FORME (flambement) [l Eurocode propose une méthode générale et deux méthodes forfaitaires] en ELS : combinaisons caractéristiques et quasi-permanentes ENPC Module BAEP1 Séance 4 9

10 Flexion composée Combinaisons de calcul En flexion composée avec traction les justifications sont à faire aux états limites ultimes et aux états limites de service. Les critères de justifications sont les mêmes que ceux exposés pour la flexion simple. En flexion composée avec compression la justification doit prendre en compte la vérification selon les états limites de stabilité de forme ou la vérification du non flambement. Sous l effet des efforts appliqués une pièce élancée en béton armé peut être amenée à se déformer et à subir des sollicitations supplémentaires dites de second ordre, induites par ces déformations. Ces sollicitations supplémentaires augmentent les déformations, si le processus converge vers un état d équilibre la stabilité de forme est vérifiée et ne l est pas dans le cas contraire. ENPC Module BAEP1 Séance 410

11 12. FLEXION COMPOSEE : Section totalement tendue L effort normal est un effort de traction et le centre de pression est situé entre les aciers Equations d'équilibre N N st1 st1 +.e N a1 st2 - N = N st2.e a2 = 0 Résolution A A 1 2 N = σ = st N σ st e e a1 a1 ea2 + e ea 1 + e a2 a2 ENPC Module BAEP1 Séance 4 11

12 Flexion composée Section entièrement tendue La section est entièrement tendue quand l effort normal est un effort de traction et quand le centre de pression est situé entre les deux nappes d armatures hautes et basses. En notant d une part, v la distance entre le centre de gravité G et la fibre supérieure, et v la distance entre le centre de gravité et la fibre inférieure ; et d autre part c la distance entre le barycentre des armatures inférieures et la fibre inférieure et c la distance entre le barycentre des armatures supérieures et la fibre supérieure ; cette condition s écrit: -(v -c ) e (v-c). L excentricité du centre de pression e = M/N, ces deux sollicitations internes étant calculées par rapport au centre de gravité G. En positionnant le centre de pression C entre les deux nappes d acier basses et hautes par les deux valeurs e a1 et e a2 un simple calcul barycentrique donne l effort de traction à équilibrer par ces deux nappes. ENPC Module BAEP1 Séance 412

13 12. FLEXION COMPOSEE : Section partiellement comprimée Flexion composée avec traction Le centre de pression est à l extérieur de l emprise des deux nappes d armatures extrêmes A1 et A2 Flexion composée avec compression en ELS : Le centre de pression est à l extérieur du noyau central A 2 A 1 x x C C en ELU : Le moment de flexion calculé par rapport aux aciers tendus M ua =N*e a est inférieur au moment équilibré par un diagramme de déformation passant simultanément par les pivots B et C x Pivot B x Pivot C ENPC Module BAEP1 Séance 413

14 Flexion composée Section partiellement comprimée La section peut être partiellement comprimée aussi bien en flexion composée avec traction qu en flexion composée avec compression. Dans le cas de flexion composée avec traction, si le centre de pression est à l extérieur des deux nappes d acier hautes et basses, la section est partiellement comprimée ; il faut noter que la zone comprimée est alors à l opposé du centre de pression par rapport à la section. Dans le cas de flexion composée avec compression la situation diffère en E.L.S. et en E.L.U. : - En état limite de service, si le centre de pression est à l extérieur du noyau central, la section est partiellement comprimée; il faut noter que la zone comprimée est alors située du côté du centre de pression. - En état limite ultime la section sera partiellement comprimée si le moment de flexion calculé par rapport aux aciers tendus M ELU/At est inférieur au moment équilibré par un diagramme de déformation qui passe à la fois par le pivot B et le pivot C. ENPC Module BAEP1 Séance 414

15 12. FLEXION COMPOSEE : Centre de pression flexion composée avec compression e = excentricité du centre de pression par rapport au centre de gravité : flexion composée avec traction e = M N e a = excentricité du centre de pression par rapport aux aciers tendus ENPC Module BAEP1 Séance 415

16 Flexion composée Excentricité du centre de pression par rapport aux aciers tendus Les deux diagrammes ci-dessus représentent deux cas de sections partiellement comprimées : - Un cas en flexion composée avec compression ou le centre de pression est situé au-dessus du contour de la section, la zone comprimée se trouve du côté du centre de pression, l excentricité du centre de pression par rapport aux aciers tendus a pour valeur e a = (v -c ) + e, - Un cas en flexion composée avec traction ou le centre de pression est également situé au-dessus du contour de la section, la zone comprimée se trouve du côté opposé au centre de pression et les armatures tendues sont situées du côté du centre de pression par rapport à la section ; l excentricité du centre de pression par rapport aux aciers tendus a pour valeur e a = e (v-c). ENPC Module BAEP1 Séance 416

17 12. FLEXION COMPOSEE : Section partiellement comprimée Méthode par assimilation à la flexion simple Equations N = N 0 = N M M A 0 = N A b b = N b + = N + N + A' σ b b z + N A' z b d' équilibre sous l'action de N en C sc -N sc sc + N N ( A + σ sc ( d sc st = N ( d d') A b d') + A' σ st st ) σ st sc - Aσ Equations d' équilibre en flexion simple sous l'action de M σ σ st A ENPC Module BAEP1 Séance 417

18 Section partiellement comprimée calcul des armatures La détermination des armatures dans le cas d une section partiellement comprimée en flexion composée s effectue en se ramenant à l étude d une flexion simple par identification de deux systèmes d équations. D une part les deux équations d équilibre exprimant que le torseur des sollicitations internes (N,M /A ) appliqué au point A barycentre des aciers tendus est égal au torseur des efforts internes béton armé (N c résultante des contraintes de compression dans le béton, N st résultante des contraintes de traction dans les aciers tendus et N sc résultante des contraintes de compression dans les aciers comprimés) au même point A. D autre part les deux équations d équilibre exprimant l équilibre de la même section soumise à une flexion simple est caractérisée par le moment M /A = Ne a. Ces deux systèmes étant équivalents le calcul des armatures procède des étapes suivantes : - Calcul du moment par rapport aux acier tendus M /A = Ne a, - Calcul en flexion simple des sections d acier à mettre en place en zone tendue A st et en zone comprimée A sc, - Calcul final de la section à mettre en place en zone tendue A st = A st - N/σ st. A noter qu en flexion avec compression N est positif et qu il est négatif en cas de flexion composée avec traction. ENPC Module BAEP1 Séance 418

19 12. FLEXION COMPOSEE : Section partiellement comprimée Le théorème de superposition permet de retrouver les équations précédentes ENPC Module BAEP1 Séance 419

20 Section partiellement comprimée calcul des armatures Une autre manière plus directe permettant de comprendre cette assimilation à la flexion simple consiste à décomposer l état de flexion composé en la somme de deux états : un premier état ou la section n est soumise qu à l effort normal mais appliqué au droit des aciers tendus et un second état où la section n est soumise qu à une flexion simple caractérisée par le moment M /A. La somme des sollicitations (N,M) exprimées par rapport à G dans ces deux états redonne bien les sollicitations de l état de flexion composé. Par exemple en flexion composée avec compression : N = N (état 1) + 0 (état 2) M /G = -N (v -c ) (état 1) + M /A (état 2) = -N (v -c ) + N e a = Ne en effet en flexion composée avec compression e a = (v -c ) + e. ENPC Module BAEP1 Séance 420

21 12. FLEXION COMPOSEE : Section totalement comprimée Section totalement comprimée en ELS : Le centre de pression est dans le noyau central en ELU : Le moment de flexion calculé par rapport aux aciers tendus M ua =N*e a est supérieur au moment équilibré par un diagramme de déformation passant simultanément par les pivots B et C Méthode de calcul Méthode d assimilation à la flexion simple ou utilisation du diagramme d interaction ENPC Module BAEP1 Séance 421

22 Section totalement comprimée calcul des armatures La section est totalement comprimée en flexion composée avec compression et en état limite de service si le centre de pression se trouve dans le noyau central de la section. En état limite ultime, une section soumise à une flexion composée avec compression est entièrement comprimée si le moment de flexion calculé par rapport aux aciers tendus M /A est supérieur au moment équilibré par un diagramme de déformation qui passe à la fois par le pivot B et le pivot C. Le calcul des aciers dans ce cas se fait soit par assimilation à la flexion simple, soit par utilisation du diagramme d interaction qui est l outil le plus efficace pour étudier une flexion composée. ENPC Module BAEP1 Séance 422

23 13. DIAGRAMME D INTERACTION : PIVOTS A, B et C Traction pure Pivot B Pivot AB Pivot C Pivot BC Compression pure Pivot A 45 0 Section ENPC Module BAEP1 Séance 423

24 Diagramme d interaction Pivots A, B et C Le diagramme d interaction d une section en béton armé est le lieu des points (N,M) correspondants à un état limite ultime de la section. Pour construire ce diagramme on envisage les diagrammes de déformation relative sur la hauteur de la section qui passent par l un des trois pivots : A, B ou C. Le pivot A correspond à l atteinte, par l acier passif tendu situé en partie basse d une section soumise à un moment de flexion positif, de sa limite de déformation relative en traction, en se rappelant que celle-ci n est limitée qu avec la branche inclinée du diagramme contrainte déformation à ε ud = 45. Le pivot B correspond à l atteinte, par le béton comprimé situé en fibre supérieure de la section, de sa limite de déformation relative en compression ε cu2 = 3,5. Le pivot C correspond à la limite de déformation relative du béton en compression pure; il s obtient en faisant l intersection des deux diagrammes [ε csup = 3,5, ε cinf = 0] et [ε c (y)= 2 ]. ENPC Module BAEP1 Séance 424

25 13. DIAGRAMME D INTERACTION Quand le diagramme des déformations élémentaires tourne successivement autour des trois pivots le point (M,N) correspondant décrit le diagramme d interaction. ENPC Module BAEP1 Séance 425

26 Diagramme d interaction Construction du diagramme Un diagramme de déformation relative sur la hauteur de la section est défini par deux valeurs : ε c raccourcissement du béton et ε st allongement des aciers (ou ε cinf déformation relative de la fibre inférieure en pivot C). La donnée de ces deux valeurs permet de trouver la position de l axe neutre [α= ε c /(ε c + ε st )] et de définir la zone comprimée. La variation des contraintes de compression sur la hauteur de la zone comprimée résulte directement de l application du diagramme contrainte-déformation du béton, de même les contraintes dans les aciers tendus et comprimés sont données par la loi contrainte-déformation des aciers passifs. L intégration de ces états de contrainte sur les aires de béton ou d armatures concernées permet d aboutir aux résultantes N et M correspondant à un point (N,M) du diagramme d intégration. Celui-ci est construit en envisageant successivement les diagrammes de déformations limites qui tournent autour du pivot A [ε st = 45 et ε c 3,5 ] en commençant par un diagramme vertical [ε(y) = 45 ] et en terminant par le diagramme passant par les pivots A et B puis les diagrammes qui tournent autour du pivot B [ε st 45 et ε c = 3,5 ] jusqu à atteindre le diagramme passant par B et C [ε csup = 3,5 et ε cinf = 0] et en terminant par les diagrammes qui tournent autour du pivot C. Le dernier diagramme est vertical et correspond à [ε c (y)= 2 ]. Le problème est symétrisé en supposant ensuite la fibre supérieure tendue. L intérieur du diagramme d interaction correspond au domaine réglementaire respectant les limites admissibles et l extérieur n est pas autorisé. ENPC Module BAEP1 Séance 426

27 13. DIAGRAMME D INTERACTION Poteau 60*60 C50 A c = 14,01cm² ε c = 3.5 ε sc = 2.0 F b = 2,24MN F sc = 0,59MN A t = 14,01cm² ε st = 10 Diagramme d'interaction - Section rectangulaire - EC F st = 0,64MN section d'acier At 14,041 ferraillage pratique Ac 3HA25 At 3HA25 3. Diagramme d'interaction allongement acier epsst -0,0100 raccourcissement béton epsb 0,0035 hauteur de béton comprimé hx 0,1400 raccourcissement acier comprimés epssc 0,0020 contrainte béton 33,33 contrainte acier tendus -434,78 contrainte aciers comprimés 400,00 M (MNm) effort de compression béton Fb 2,240 bras de levier 0,244 moment béton Mb 0,547 effort de compression Ac Fsc 0,589 bras de levier 0,240 moment Ac Msc 0,141 effort de traction At Fst -0,640 bras de levier -0,240 moment At Mst 0,154 effort resultant N 2,189 moment resultant M 0, N (MN) ENPC Module BAEP1 Séance 427

28 Diagramme d interaction Exemple Considérons un poteau en béton C50 de 60cm x 60cm armé par 3 HA25 sur chacune de ses deux faces hautes et basses avec un barycentre à 6cm du parement. Une simple feuille de calcul permet de constituer point par point le diagramme d interaction de ce poteau. Après les lignes de données concernant la géométrie de la section, les matériaux utilisés et les sections d acier mises en place deux cellules contiennent la valeur du raccourcissement du béton et de l allongement de l acier inférieur pour un état limite de déformation donné (ε c = 3,5 ε st = 10 ) La hauteur de béton comprimé αd = ε c /(ε c + ε st ), d est égal à 3,5/13,5*0,53=0,137m. Le raccourcissement des aciers comprimés a pour valeur ε sc =(αd-c )/ αd*3,5 =2. La contrainte béton a pour valeur σ c =50/1,5MPa, celle des aciers tendus σ st =435MPa (aciers plastifiés ; branche horizontale) et celle des aciers comprimés σ sc =400MPa (aciers en phase élastique ; σ= E ε) La résultante des compressions dans le béton F b =0,8 αdb σ c = 2,24MN située à 0,4αd de la fibre supérieure soit 0,056m, le moment résultant au CdG vaut M=Fb(h/2-0,4 αd)= 0,55MNm. La résultante des compressions dans les aciers comprimés a pour valeur A c σ sc =0,59MN, elle est située à 6cm de la fibre supérieure d où un moment M sc =0,14MNm. La résultante des tractions dans les aciers tendus a pour valeur A s σ st =0,64MN, elle est située à 6cm de la fibre inférieure d où un moment résultant au CdG M st =0,15MNm. L effort normal équilibré par la section a pour valeur N = 2,24+0,59-0,64= 2,19MN. Le moment de flexion a pour valeur M=0,55+0,14+0,15=0,84MNm. Le point (N=2,19MN et M=0,84MNm) est un point du diagramme d interaction. En modifiant les cellules contenant ε c et ε st on détermine les autres points du diagramme. ENPC Module BAEP1 Séance 428

29 13. DIAGRAMME D INTERACTION EXEMPLE 1 (fin) Diagramme d'interaction - Section rectangulaire - EC b = h = d = A inf = c = A sup = c' = 0.60 m 0.60 m 0.54 m cm² m cm² m 0.50 f ck = MPa f cd = 33.3 MPa ε cu2 = ε c1 = M (MNm) f yk = MPa f yd = MPa ε ud = k-1 = N ELU = M ELU = 3.00 MN MN N (MN) ENPC Module BAEP1 Séance 429

30 13. DIAGRAMME D INTERACTION - EXEMPLE 1.50 Diagramme d'interaction - Section rectangulaire - EC2 b = h = d = 0.50 m 0.70 m 0.64 m 1.00 A inf = c = A sup = c' = cm² m 0.00 cm² m 0.50 f ck = MPa f cd = 33.3 MPa ε cu2 = ε c1 = M (MNm) f yk = MPa f yd = MPa ε ud = k-1 = N ELU = M ELU = 0.60 MN MN N (MN) ENPC Module BAEP1 Séance 430

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