CHAPITRE 4 LA VAR MONTE CARLO... 2

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1 CHAPITRE 4 LA VAR MONTE CARLO... I. PRINCIPE... A. Quel modèle uiliser?... B. Algorihme de simulaion... 3 II. EXEMPLE D APPLICATION... 4 A. Travail préliminaire... 4 B. Simulaion des rajecoires... 6 Algorihme... 6 Résula obenu... 7

2 Chapire 4 La VaR Mone Carlo I. Principe Nous avons défini précédemmen la Value-a-Risk comme la pere poenielle maximale sur un ire ou un porefeuille, sur un horizon de emps avec un degré de confiance. La méhode de calcul de la VaR Mone Carlo es uilisée en général quand le porefeuille conien des produis dérivés. Le principe de cee méhode consise à simuler un grand nombre N de rajecoires possibles d un acif financier donné. Pour obenir la Value-a-Risk pour un niveau de confiance de (00 α)%, il suffi ensuie de sélecionner le α% N pire scénario, i.e. la α% N ième plus mauvaise valeur. Pour prévoir les différenes rajecoires possibles d un acif financier donné, on sui en général les rois éapes suivanes:. Choisir un modèle suscepible de décrire l évoluion de l acif d une manière assez fiable,. Déerminer les paramères de ce modèle, 3. Simuler le nombre de rajecoires voulu du processus choisi avec les paramères déerminés précédemmen. A. Quel modèle uiliser? Dès qu il s agi d acions, d indices acions ou de maières premières, le processus uilisé es le mouvemen brownien géomérique. Soi S le cours de l acif à la dae, l évoluion du cours de l acif es donnée par le modèle suivan :: où S + = S exp μ σ μ moyenne empirique de la disribuion de l acif σ écar-ype empirique de la disribuion de l acif ε sui une loi normale N 0, + σε

3 B. Algorihme de simulaion Supposons qu on veuille déerminer la VaR 95% sur une durée de 5 jours d un porefeuille P donné. L algorihme es le suivan:. Valoriser le porefeuille à la dae =0, P 0. Générer une rajecoire des différens acifs composans le porefeuille à la dae = 5 jours, 3. Réévaluer le porefeuille à la dae = 5 jours, P 5. On obien ainsi : ΔP = P 5 P Répéer les éapes e 3 auan de fois que souhaié. Si on réalise par exemple simulaions, la VaR à 95% es la 500 ème plus faible valeur de ΔP.

4 II. Exemple d applicaion A. Travail préliminaire On considère un porefeuille consisé de : 50% DOW JONES 50% S&P 500 La première éape consise à élécharger les cours de ces indices sur Yahoo finance par exemple. Dans nore exemple, on élécharge donc les cours journaliers du DOW JONES e du S&P500 du 3 décembre 969 au er janvier 006. La Value-a-Risk éan calculée à parir de la disribuion des rendemens, on ransforme ces données afin d obenir les rendemens quoidiens de ces indices du er janvier 970 au er janvier 006. Soi P le cours de l indice à la dae, le rendemen quoidien de ce indice à la dae es défini par : R = P P On obien ainsi disribuions de rendemens : R R la disribuion des rendemens quoidiens du DOW JONES la disribuion des rendemens quoidiens du S&P 500 Afin d obenir les paramères de la disribuion du porefeuille nous avons besoin de calculer : Le coefficien de corrélaion linéaire enre les disribuions R e R La moyenne e l écar-ype empiriques de chacune des disribuions Soien : μ la moyenne empirique de la disribuion R μ la moyenne empirique de la disribuion R σ l écar-ype empirique de la disribuion R σ l écar-ype empirique de la disribuion R r le coefficien de corrélaion linéaire enre les disribuions R e R

5 La moyenne e l écar-ype empirique μ P e σ P de la disribuion des rendemens quoidiens du porefeuille son définis par : μ P = μ + μ σ P = σ + σ + r σ σ Les valeurs numériques obenues à parir des données son regroupées dans les deux ableaux ci-dessous : Coefficien de corrélaion DJ SP500 0,96 Paramères DJ SP500 Porefeuille Moyenne 0,0003 0,0003 0,0003 Ecar-ype 0,0080 0,0078 0,007

6 B. Simulaion des rajecoires Nous disposons mainenan de ous les paramères nécessaires pour simuler le processus P décrivan les rendemens du porefeuille défini par : P + = P exp μ P σ P + σ P ε La valeur iniiale P 0 n a pas d imporance, éan donné qu on ravaille direcemen sur les disribuions de rendemens. On prend donc P 0 =. On cherche la Value-a-Risk à an sur ce porefeuille pour un niveau de confiance de 99%. On considère une disribuion de rendemens quoidiens, donc on prend = 5. En effe, les places boursières son fermées les week-ends e les jours fériés, donc en compan 9 jours fériés, on obien = 5 jours. Algorihme On désire effecuer 000 simulaions. La procédure à suivre sur Excel es la suivane : ) On génère un veceur ε i i=,,000 de variables aléaoires suivan une loi normale N 0, Foncion Excel : LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(ALEA()) sur 000 cellules ) Pour chaque valeur de ε i on calcule le rendemen du porefeuille dans an noé P i an P i an = exp μ P σ P 5 + σ P ε i 5 3) Pour i =,,000 on calcule la variaion du rendemen du porefeuille : P i = P i an P 0 = P i an 4) On obien la Value-a-Risk sur ce porefeuille pour un niveau de confiance de 99% e un horizon d an en sélecionnan le 0 ème plus faible rendemen Foncion Excel : CENTILE(J6:J005;0,0) où J6:J005 es la marice conenan les valeurs P i i=,,000

7 Résula obenu ε P 0 P an P -0, , , , , ,599438, , , , , , , , , ,054585, , ,996456, , , , , , , , , , , , , , , , , ,77354, , , , , , , , ,874363, , , , , , , , , , , ,868846, , , , , , , , , , , , , ,00876 Value-a-Risk(99%,an) -8,07%

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