Comment calculer les puissances d un nombre? Christophe.Troestler@umh.ac.be
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1 Comment calculer les puissances d un nombre? Christophe.Troestler@umh.ac.be
2 1. Première idée x 0 = 1 x 1 = x x 2 = x x x 3 = x 2 x = x x x x 4 = x 3 x = x x x x Donc, pour calculer, disons, x 5, on va «accumuler» des produits de x en nombre suffisant : x x x x x. x n = x n 1 x = x x x x } {{ } n fois
3 1. Première idée x 0 = 1 x 1 = x x 2 = x x x 3 = x 2 x = x x x x 4 = x 3 x = x x x x Donc, pour calculer, disons, x 5, on va «accumuler» des produits de x en nombre suffisant : }{{} x x x x x R. x n = x n 1 x = x x x x } {{ } n fois
4 1. Première idée x 0 = 1 x 1 = x x 2 = x x x 3 = x 2 x = x x x x 4 = x 3 x = x x x x Donc, pour calculer, disons, x 5, on va «accumuler» des produits de x en nombre suffisant : }{{} x x x x x R. x n = x n 1 x = x x x x } {{ } n fois
5 1. Première idée x 0 = 1 x 1 = x x 2 = x x x 3 = x 2 x = x x x x 4 = x 3 x = x x x x Donc, pour calculer, disons, x 5, on va «accumuler» des produits de x en nombre suffisant : x } {{ x x} x x R. x n = x n 1 x = x x x x } {{ } n fois
6 1. Première idée x 0 = 1 x 1 = x x 2 = x x x 3 = x 2 x = x x x x 4 = x 3 x = x x x x Donc, pour calculer, disons, x 5, on va «accumuler» des produits de x en nombre suffisant : x } x {{ x x} x R. x n = x n 1 x = x x x x } {{ } n fois
7 1. Première idée x 0 = 1 x 1 = x x 2 = x x x 3 = x 2 x = x x x x 4 = x 3 x = x x x x Donc, pour calculer, disons, x 5, on va «accumuler» des produits de x en nombre suffisant : x x x x x } {{ } R. x n = x n 1 x = x x x x } {{ } n fois
8 1. Première idée x 0 = 1 x 1 = x x 2 = x x x 3 = x 2 x = x x x x 4 = x 3 x = x x x x. x n = x n 1 x = x x x x } {{ } n fois Donc, pour calculer, disons, x 5, on va «accumuler» des produits de x en nombre suffisant : x x x x x } {{ } R Écrivez un programme qui utilise cette idée pour calculer (x, n) x n. Prouvez que votre programme est correct.
9 Le programme a comme données x R et n N : R 1 R = 1 = x 0 Pour i = 1,..., n faire puiss 1 (x, n) : R R x R = x i R = x n Remarquez que ce programme marche si n = 0.
10 2. Deuxième idée Plutôt que de multiplier x trois fois pour avoir x 4, on peut aller plus vite en remarquant que x 4 = (x 2 ) 2 ce qui donne deux multiplications (une pour x 2 = x x, une pour (x 2 ) 2 = x 2 x 2 ). Essayons d exploiter cette idée de manière générale : x 9 = x 8 x x 2 = x x x 10 = x 8 x 2 x 3 = x 2 x x 11 = x 8 x 2 x x 4 = (x 2 ) 2 x 12 = x 8 x 4 x 5 = x 4 x x 13 = x 8 x 4 x x 6 = x 4 x 2 x 14 = x 8 x 4 x 2 x 7 = x 4 x 2 x x 15 = x 8 x 4 x 2 x x 8 = (x 4 ) 2 x 16 = (x 8 ) 2 Quelle est la relation : exposant décomposition?
11 n ((x 2 ) 2 ) 2 (x 2 ) 2 x 2 x
12 n ((x 2 ) 2 ) 2 (x 2 ) 2 x 2 x Cette table résulte du fait général : x n = x a a a 1 2+a 0 = ( (x 4 ) 2) a3 ((x 2 ) 2) a2 (x 2 ) a1 x a 0 Voyez-vous pourquoi? Comment trouver les a i à partir de n?
13 2.1. Écriture binaire des nombres Réponse à la question précédente : n = a p 2 p + a p 1 2 p a a a 0 où a i {0, 1} pour tout i = 0, 1,..., p. Le terme x 2i apparaît dans x n si et seulement si a i = 1. Une telle décomposition existe-t-elle toujours? Est-elle unique? Regardons a 0. Essayez pour n = 4, n = 5, n = 6 et n = 7...
14 2.1. Écriture binaire des nombres Réponse à la question précédente : n = a p 2 p + a p 1 2 p a a a 0 où a i {0, 1} pour tout i = 0, 1,..., p. Le terme x 2i apparaît dans x n si et seulement si a i = 1. Une telle décomposition existe-t-elle toujours? Est-elle unique? Regardons a 0. Puisque n = (a p 2 p a a 1 )2 + a 0, on a : a 0 = 0 si n est pair et a 0 = 1 si n est impair. Autrement dit : Qu en est-il pour a 1? a 0 = n mod 2.
15 2.1. Écriture binaire des nombres Réponse à la question précédente : n = a p 2 p + a p 1 2 p a a a 0 où a i {0, 1} pour tout i = 0, 1,..., p. Le terme x 2i apparaît dans x n si et seulement si a i = 1. Une telle décomposition existe-t-elle toujours? Est-elle unique? Regardons a 0. Puisque n = (a p 2 p a a 1 )2 + a 0, on a : a 0 = 0 si n est pair et a 0 = 1 si n est impair. Autrement dit : a 0 = n mod 2. Comme a p 2 p a a 1 = n div 2, on a a 1 = (n div 2) mod 2.
16 EXEMPLE : 11 = n = + a a a a 0 pour quels a i?. a 0 = n mod 2 = 11 mod 2 = 1 a 0 = 1 n 0 := + a a a 1 = n div 2 = 11 div 2 = 5
17 EXEMPLE : 11 = n = + a a a a 0 pour quels a i?. a 0 = n mod 2 = 11 mod 2 = 1 a 0 = 1 n 0 := + a a a 1 = n div 2 = 11 div 2 = 5 a 1 = n 0 mod 2 = 5 mod 2 = 1 a 1 = 1 n 1 := + a a 2 2 = n 0 div 2 = 5 div 2 = 2
18 EXEMPLE : 11 = n = + a a a a 0 pour quels a i?. a 0 = n mod 2 = 11 mod 2 = 1 a 0 = 1 n 0 := + a a a 1 = n div 2 = 11 div 2 = 5 a 1 = n 0 mod 2 = 5 mod 2 = 1 a 1 = 1 n 1 := + a a 2 2 = n 0 div 2 = 5 div 2 = 2 a 2 = n 1 mod 2 = 2 mod 2 = 0 a 2 = 0 n 2 := + a a 2 = n 1 div 2 = 2 div 2 = 1
19 EXEMPLE : 11 = n = + a a a a 0 pour quels a i?. a 0 = n mod 2 = 11 mod 2 = 1 a 0 = 1 n 0 := + a a a 1 = n div 2 = 11 div 2 = 5 a 1 = n 0 mod 2 = 5 mod 2 = 1 a 1 = 1 n 1 := + a a 2 2 = n 0 div 2 = 5 div 2 = 2 a 2 = n 1 mod 2 = 2 mod 2 = 0 a 2 = 0 n 2 := + a a 2 = n 1 div 2 = 2 div 2 = 1 a 3 = n 2 mod 2 = 1 mod 2 = 1 a 3 = 1 n 3 := + a 3 = n 2 div 2 = 2 div 2 = 0 En conclusion 11 = On appelle 1011 l écriture binaire de 11.
20 EXEMPLE : 11 = n = + a a a a 0 pour quels a i?. a 0 = n mod 2 = 11 mod 2 = 1 a 0 = 1 n 0 := + a a a 1 = n div 2 = 11 div 2 = 5 a 1 = n 0 mod 2 = 5 mod 2 = 1 a 1 = 1 n 1 := + a a 2 2 = n 0 div 2 = 5 div 2 = 2 a 2 = n 1 mod 2 = 2 mod 2 = 0 a 2 = 0 n 2 := + a a 2 = n 1 div 2 = 2 div 2 = 1 a 3 = n 2 mod 2 = 1 mod 2 = 1 a 3 = 1 n 3 := + a 3 = n 2 div 2 = 2 div 2 = 0 En conclusion 11 = On appelle 1011 l écriture binaire de 11. Pouvez-vous généraliser ce procédé en écrivant un algorithme de calcul des a i?
21 Soit n = a p 2 p + a p 1 2 p a a a 0. Mathématique Algorithmique N n N = a 0 = a 1 = a 2 =. 1 n
22 Soit n = a p 2 p + a p 1 2 p a a a 0. Mathématique Algorithmique N n a 0 = n mod 2 a 0 N mod N = n a 0 = n mod 2 a 1 = a 2 =.
23 Soit n = a p 2 p + a p 1 2 p a a a 0. Mathématique Algorithmique N n a 0 = n mod 2 a 0 N mod 2 n 0 = n div 2 N N div N = n n 0 a 0 = n mod 2 a 1 = a 2 =.
24 Soit n = a p 2 p + a p 1 2 p a a a 0. Mathématique Algorithmique N n a 0 = n mod 2 a 0 N mod 2 n 0 = n div 2 N N div 2 a 1 = n 0 mod 2 a 1 N mod N = n n 0 a 0 = n mod 2 a 1 = n 0 mod 2 a 2 =.
25 Soit n = a p 2 p + a p 1 2 p a a a 0. Mathématique Algorithmique N n a 0 = n mod 2 a 0 N mod 2 n 0 = n div 2 N N div 2 a 1 = n 0 mod 2 a 1 N mod 2 n 1 = n 0 div 2 N N div N = n n 0 n 1 a 0 = n mod 2 a 1 = n 0 mod 2 a 2 =.
26 Soit n = a p 2 p + a p 1 2 p a a a 0. Mathématique Algorithmique N n a 0 = n mod 2 a 0 N mod 2 n 0 = n div 2 N N div 2 a 1 = n 0 mod 2 a 1 N mod 2 n 1 = n 0 div 2 N N div 2 a 2 = n 1 mod 2 a 2 N mod N = n n 0 n 1 a 0 = n mod 2 a 1 = n 0 mod 2 a 2 = n 1 mod 2.
27 Soit n = a p 2 p + a p 1 2 p a a a 0. Mathématique Algorithmique N n a 0 = n mod 2 a 0 N mod 2 n 0 = n div 2 N N div 2 a 1 = n 0 mod 2 a 1 N mod 2 n 1 = n 0 div 2 N N div 2 a 2 = n 1 mod 2 a 2 N mod 2 n 2 = n 1 div 2. N N div N = n n 0 n 1 n 2 a 0 = n mod 2 a 1 = n 0 mod 2 a 2 = n 1 mod 2.
28 Réécrivez le tableau précédent à l aide d une boucle. Quel est le test qui décide de l arrêt de la boucle?
29 Réécrivez le tableau précédent à l aide d une boucle. Quel est le test qui décide de l arrêt de la boucle? Un programme de calcul des digits binaires a i d un entier n N est : digits(n) : N n; i 0 Tant que N > 0 faire { ai N mod 2 N N div 2 i i + 1 si i = 0, c est que n = 0 ; sinon, n = 0 j<i a j2 j
30 Réécrivez le tableau précédent à l aide d une boucle. Quel est le test qui décide de l arrêt de la boucle? Un programme de calcul des digits binaires a i d un entier n N est : digits(n) : N n; i 0 Tant que N > 0 faire { ai N mod 2 N N div 2 i i + 1 si i = 0, c est que n = 0 ; sinon, n = 0 j<i a j2 j REMARQUE : L algorithme ci-dessus montre que les a i existent toujours. La manière dont on a déduit l algorithme montre que les a i sont uniques. On appelle a p a p 1... a 2 a 1 a 0 l écriture binaire de n.
31 2.2. Revenons au calcul de x n... Repartons de : x n = x a a a 1 2+a 0 = ( (x 4 ) 2) a3 ((x 2 ) 2) a2 (x 2 ) a1 x a 0 Il y a deux ingrédients : les puissances de x : x, x 2, x 4 = (x 2 ) 2, x 8 = (x 4 ) 2,... ; le terme x 2i est présent dans le produit de x n ssi a i = 1. Comment construire x n à partir des remarques ci-dessus en «accumulant» le nécessaire dans une variable R initialisée à 1?
32 2.2. Revenons au calcul de x n... Repartons de : x n = x a a a 1 2+a 0 = ( (x 4 ) 2) a3 ((x 2 ) 2) a2 (x 2 ) a1 x a 0 Il y a deux ingrédients : les puissances de x : x, x 2, x 4 = (x 2 ) 2, x 8 = (x 4 ) 2,... ; le terme x 2i est présent dans le produit de x n ssi a i = 1. On peut voir le calcul de x n comme suit : R 1 Si a 0 = 1 alors R R x R = x a 0 Si a 1 = 1 alors R R x 2 R = (x 2 ) a 1 xa 0 = xa 12+a 0 Si a 2 = 1 alors R R x 4. R = (x 4 ) a 2 (x2 ) a 1 xa 0 = xa a 1 2+a 0. Comment calculer x 2, x 4,...?
33 R 1 Algorithme Contenu des variables X = 1 R = 1
34 R 1 X x Algorithme X = x Contenu des variables 1 2 X = x R = 1
35 Algorithme Contenu des variables R 1 X x X = x Si a 0 = 1 alors R R X R = x a 0 X = x R = 1 x a 0
36 Algorithme R 1 X x X = x Si a 0 = 1 alors R R X R = x a 0 X X X X = x 2 Contenu des variables X = x x 2 R = 1 x a 0
37 Algorithme Contenu des variables R 1 X x X = x Si a 0 = 1 alors R R X R = x a 0 X X X X = x 2 Si a 1 = 1 alors R R X R = (x 2 ) a 1 xa 0 = xa 12+a X = x x 2 R = 1 x a 0 x a 12+a 0
38 Algorithme Contenu des variables R 1 X x X = x Si a 0 = 1 alors R R X R = x a 0 X X X X = x 2 Si a 1 = 1 alors R R X R = (x 2 ) a 1 xa 0 = xa 12+a 0 X X X X = x X = x x 2 x 4 R = 1 x a 0 x a 12+a 0
39 Algorithme Contenu des variables R 1 X x X = x Si a 0 = 1 alors R R X R = x a 0 X X X X = x 2 Si a 1 = 1 alors R R X R = (x 2 ) a 1 xa 0 = xa 12+a 0 X X X X = x 4 Si a 2 = 1 alors R R X. R = (x 4 ) a 2 (x2 ) a 1 xa 0 = xa a 1 2+a X = x x 2 x 4... R = 1 x a 0 x a 12+a 0 x a a 1 2+a 0 Écrivez cet algorithme à l aide d une boucle.
40 En conclusion, en supposant qu on ai calculé l expansion binaire a p... a 1 a 0 de n, on trouve le programme : puiss 3 (x, n) : Comment éviter de calculer préalablement a p... a 1 a 0 de n? R 1; X x Pour { tout i = 0,..., p faire Si ai = 1 alors R R X X X X On pense que R = x n l expansion binaire
41 En conclusion, en supposant qu on ai calculé l expansion binaire a p... a 1 a 0 de n, on trouve le programme : puiss 3 (x, n) : R 1; X x Pour { tout i = 0,..., p faire Si ai = 1 alors R R X X X X On pense que R = x n Comment éviter de calculer préalablement l expansion binaire a p... a 1 a 0 de n? Notons qu à une étape donnée, on n a besoin que d un a i... Comparons le programme de calcul de de x n et celui de calcul des a i.
42 Calcul de x n Calcul des a i R 1; X x N n; i 0 Pour tout i = 0,..., p faire Tant que N > 0 faire { a Si ai = 1 alors R R X i N mod 2 N N div 2 X X X i i + 1 De ceci, quelles remarques peut-on faire, en particulier au sujet des a i, et en particulier de l indice i? du critère de terminaison de la boucle?
43 Calcul de x n Calcul des a i R 1; X x N n; i 0 Pour tout i = 0,..., p faire Tant que N > 0 faire { a Si ai = 1 alors R R X i N mod 2 N N div 2 X X X i i + 1 De ceci, on peut conclure que : Le a i du programme de droite est celui nécessaire dans le programme de gauche. Il faut donc «synchroniser» les deux boucles ; On n a besoin que d un a i à la fois (donc on peut utiliser une variable non indicée, disons A) et on n a pas besoin de l indice i ; Si les boucles sont synchronisées, i variera de 0 à p tant que N > 0, p étant atteint lorsque N = 0. Comme on n a pas besoin de i, le critère qui nous intéresse est «N > 0». Écrivez un algorithme qui «fond» ces deux programmes en un seul. Simplifiez le autant que possible.
44 Le programme correspondant est : puiss 4 (x, n) : R 1; X x; N n Tant { que N > 0 faire Si N impair, R R X N N div 2 X X X A-t-on bien R = x n? Les questions suivantes sont cruciales : Cet algorithme se termine-t-il pour n importe quelles données x R et n N? Ce programme est-il correct? puiss 4 est-il vraiment plus rapide que le procédé «naïf»? Si oui, dans quelle mesure peut-on le quantifier?
45 2.3. Terminaison puiss 4 (x, n) : R 1; X x; N n Tant que N > 0 faire { Si N impair, R R X N N div 2 X X X Le résultat est dans R À chaque tour de boucle, la valeur de N est divisée par 2. Les valeurs de N forment donc une suite strictement décroissante de naturels. Forcément, il arrivera un moment où N = 0 et la boucle s arrêtera.
46 2.4. Invariant de boucle puiss 4 (x, n) : R 1; X x; N n x n = X N R Tant que N > 0 faire Si N impair, R R X N N div 2 X X X x n = X N R N = 0 (fin de boucle), donc R = x n
47 2.5. Complexité En comparant puiss 4 avec puiss 3, on voit que, si n = (a p... a 1 a 0 ) 2, on a R 1; X x; N n; i 0 Tant que N > 0 i = 0,..., p faire Si N impair a i = 1, R R X puiss 4 (x, n) : N N div 2 X X X i i + 1 Le résultat est dans R Que peut-on en déduire sur le nombre d opérations effectuées par puiss 4?
48 2.5. Complexité En comparant puiss 4 avec puiss 3, on voit que, si n = (a p... a 1 a 0 ) 2, on a R 1; X x; N n; i 0 Tant que N > 0 i = 0,..., p faire Si N impair a i = 1, R R X puiss 4 (x, n) : N N div 2 X X X i i + 1 Le résultat est dans R On fait p + 1 tours de boucle et, à chaque tour, toujours 2 opérations, plus une troisième si a i = 1. Le nombre total d opérations est donc p p 3 + (p + 1)2 + a i = 5 + 2p + a i 6 + 3p i=0 2 p n < 2 p+1 p log 2 n < p + 1 p = log 2 n i=0
49 En rouge, n n En vert, n log 2 n. puiss 1 puiss 4 n n log 2 n k 2 k k
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