Chapitre 4. Comportement du béton en flexion simple

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1 Dr. Ir. P. Boeraeve Cour de Béton armé 1 Chapitre 4. Comportement du béton en flexion imple 4.1 Convention/notation Signe : + compreion - traction Notation : voir tableau Unité : 1 MegaPacal = 10 6 Pacal = 10 6 N/m² = 1 MPa = 1 N/mm² 4. Poutre en béton non armé Fig. 4.1 Soit une poutre en béton non armé, de ection droite rectangulaire b x h, franchiant une portée L. La poutre et ollicitée par on eul "poid propre", g, charge uniformément répartie, exprimée en kn par "mètre linéaire" de poutre. Elle "travaille" en flexion "imple". A mi portée, le moment de flexion et maximum, il a pour intenité : Mmax = g.l² /8 Si on admet une ditribution plane de contrainte normale agiant ur le béton de la ection droite à mi-portée, le contrainte maximale valent σbc = - σbt = 6.Mmax/(bh²) Le béton ayant une réitance en traction de l ordre du 1/10è de a réitance en compreion, i l'intenité de σbt rete inférieure à la réitance à la traction du béton, notée ftj, il n'y a pa rique de rupture Exercice : Avec cette hypothèe de ditribution de contrainte, déterminer la portée maximum L d une poutre en béton non armé ne upportant que on propre poid (γ = 5 kn/m³ ). Et de dimenion : b = 30cm, h =60cm, et de réitance à la traction ftj = MPa, On peut aui repréenter le force réultante de compreion et de traction Nbc et Nbt Leur intenité repective repréente le volume de prime de compreion et de traction de la Fig.4.1. Soit Dernière impreion le 6/01/010 15:35:00

2 Dr. Ir. P. Boeraeve Cour de Béton armé Nbc = σbc.(h/). b/ = 6.Mmax(h.b/4) /(bh²).= 3 Mmax/(h) = Nbt ou Mmax = Nbc (/3).h = Nbt (/3).h On parle de "couple de force intérieure", de "bra de levier" Z = (/3)h et de moment égal au moment de flexion maximum. Fig. 4. Si on fait croître le moment de flexion en appliquant à la poutre non armée une charge d exploitation, notée q, en kn par ml, la rupture brutale e produit i on atteint σbt = ftj La rupture e produit évidemment dan la zone où règne le moment de flexion maxi. Pour compener la faible réitance en traction du béton qui limiterait trop fort le chargement de la poutre, l'idée et de dipoer, préalablement à la mie en ervice, une (ou pluieur) barre d'acier ("armature") parallèlement à la direction et capable d équilibrer l fort de traction. On peut alor imaginer d armer ou de «précontraindre» le béton. 4.3 Poutre en béton et armature dan un fourreau Imaginon pour commence qu une armature et dipoée dan un fourreau dan la zone tendue de la ection. Au début du chargement de la poutre, le béton de la partie inférieure de la poutre e met en traction et donc e fibre allongent. La barre qui et dan un fourreau, elle ne allonge pa : il y a donc gliement relatif entre la barre et le béton. La barre conerve a longueur initiale et ne reprend aucun fort en traction. Cette dipoition ne peut donc convenir : il faut obliger la barre à allonger comme le béton. 4.4 Poutre en béton avec plaque d appui empêchant le gliement de l armature et écrou ur tige filetée Dernière impreion le 6/01/010 15:35:00

3 Dr. Ir. P. Boeraeve Cour de Béton armé Poutre en béton armé (l armature adhère au béton). Cette olution et la plu économique. 4.6 Poutre en béton précontraint Ce type de précontrainte et dite par pot-tenion. Mai dan le domaine du bâtiment, le élément préfabriqué précontraint par fil adhérent ont plu couramment utilié (exemple : le hourdi). Il agit de couler du béton autour de câble initialement tendu par de vérin. Lorque le béton atteint la réitance voulue, le vérin ont relâché, et par adhérence le câble vont précontraindre le béton. Lor de l'étude d'une tructure en béton armé, il va donc être néceaire de connaître l'origine et l'intenité de ollicitation de traction : un fort normal de traction, un moment de flexion, un moment de torion, un fort tranchant, induient de contrainte de traction dan le béton ; ce ont le plu facile à exprimer et à quantifier à l'aide de méthode de la Réitance de Matériaux adaptée au matériau béton armé, mixte et hétérogène. le fet du retrait du béton, de la température (choc thermique, gradient de température), de taement différentiel éventuel de ol de fondation, de choc, de Dernière impreion le 6/01/010 15:35:00

4 Dr. Ir. P. Boeraeve Cour de Béton armé 4 éime, de exploion, de la grande hypertaticité de ouvrage de bâtiment, ont connu mai difficile à quantifier. On 'en prémunit en repectant de dipoition contructive et en prévoyant de armature minimale réglementaire. 4.7 Action, Combinaion, Etat Limite Le différente étape d'un projet de béton armé ont le uivante: 1. Analye de la tructure, modéliation. Détermination de action ou bilan de charge 3. Decente de charge et combinaion d'action 4. Sollicitation (N, V et M) 5. Dimenionnement 6. Plan de coffrage et plan de ferraillage Une tructure en béton bien conçue doit atteindre pluieur objectif: L'oature ne doit pa 'fondrer La tructure doit être durable La tructure ne doit pa e déformer exceivement pour de raion ethétique ou pour ne pa créer de dommage (carrelage ou cloion fiurée) L'enemble doit reter en équilibre lorque de charge ont appliquée, Le béton et l'acier ne doivent pa e rompre Le élément ne doivent pa flamber Limitation de l'ouverture de fiure, enrobage et qualité de béton uffiant, Limitation de flèche Le action ont le charge appliquée à la tructure, on ditingue : Action permanente G Poid propre de upertructure et de équipement fixe (cloion, revêtement de ol) Action variable Q W S Action accidentelle FA Séime Feu Charge d exploitation Vent Neige Le valeur numérique de ce action ont définie réglementairement. Ce valeur caractéritique correpondent à de valeur dont la probabilité d'être fectivement dépaée et fixée à l'avance. Comme ce action peuvent e cumuler, on parle de combinaion d'action. On additionne le valeur pondérée de différente action (voir cour de calcul de tructure) 4.8 Etat limite La conception de ouvrage en béton e fait elon la théorie de Etat Limite. On ditingue: Le Etat Limite de Service ou E.L.S Ce ont le condition qu'il faut repecter pour que l'exploitation normale et la durabilité de la Dernière impreion le 6/01/010 15:35:00

5 Dr. Ir. P. Boeraeve Cour de Béton armé 5 contruction oient aurée. Le état limite de ervice préentent deux domaine: 1. Un domaine qui néceite de calcul : par exemple, vérifier que de contrainte ou de déformation ont admiible. Un domaine qui ne néceite aucun calcul : c'et l'enemble de dipoition contructive qui doivent être aurée Le Etat Limite Ultime ou E.L.U. Il font référence aux condition de rupture. Il 'agit de 'aurer que le rique de ruine et trè faible en prenant diver coficient de écurité (ur le matériaux) et de pondération (ur le charge). En fet le ource d'erreur ont le uivante : - Le matériaux peuvent être moin réitant que prévu. - Le charge appliquée peuvent être plu évère que prévu. - Le méthode de calcul et le hypothèe peuvent ne pa correpondre exactement à la réalité. Le manuel de calcul (MC) reprend, au point 7, le coficient de écurité partiel à appliquer aux combinaion de charge permanente et variable, aini que ceux à appliquer à la réitance caractéritique du béton(mc-11.1.) et à la limite élatique caractéritique de l acier de armature(mc-11.). 4.9 Ca de charge favorable et défavorable courbe enveloppe Selon que le différente travée peuvent être chargée ou déchargée par la charge d exploitation, différent ca de charge doivent être étudié. Dan le ca d une poutre ur deux appui imple prolongée par un porte-à-faux on peut ditinguer le 5 ca uivant : Dernière impreion le 6/01/010 15:35:00

6 Dr. Ir. P. Boeraeve Cour de Béton armé 6 Dernière impreion le 6/01/010 15:35:00

7 Dr. Ir. P. Boeraeve Cour de Béton armé Matériaux : diagramme contrainte-déformation Béton Le diagramme réel du béton et non-linéaire. On admet toutoi différent diagramme implifié de calcul. Troi diagramme ont admi pour le calcul de ection de élément en BA : le plu imple et le diagramme rectangulaire. (MC-11.1.). f ctm 0.ε cu3 f cd = 0.85 f ck /γ c (f ck 50 MPa) ε cu3 = (MC-11.1.) γ c = coficient de écurité partiel du béton = Acier de armature γ = coficient de écurité partiel de l acier de armature = 1.15 Pour implifier le calcul, on prend un diagramme avec palier horizontal. Le barre à haute adhérence (HA) ont généralement en S500 (f yk =500 MPa), donc f yd = 500/1.15 = 435 MPa. Dernière impreion le 6/01/010 15:35:00

8 Dr. Ir. P. Boeraeve Cour de Béton armé Eai de flexion (Source : CALCRETE, The Concrete Centre) Dernière impreion le 6/01/010 15:35:00

9 Dr. Ir. P. Boeraeve Cour de Béton Armé Meure de déformation De jauge de déformation (train gauge) ont été collée, dan une ection de la poutre en béton, ur la face extérieure, aini que ur le armature. Le réultat de meure, alor que la poutre et fiurée, et reproduit ur la figure uivante : On peut conclure de ce meure : que le déformation ont alignée elon une droite, donc que le ection droite retent plane au cour de la déformation, que le déformation meurée ur l armature et ur le béton itué au même niveau ont identique, donc il y a compatibilité de déformation (Cela veut dire qu il n y a pa de gliement relatif entre le béton et l armature adjacente : c et pour cela que le armature ont crénelée (armature à haute adhérence)) 4.13 Analye mathématique du comportement en flexion d une poutre de ection rectangulaire en béton armé an armature comprimée Phae 1 : tade élatique non fiuré Le béton n étant pa encore fiuré, toute le fibre de béton reprennent de contrainte. La ection et contituée de deux matériaux. Dan le cour de Réitance de Matériaux, on a montré que l on peut calculer la poition du centre de gravité, l inertie et le contrainte en tranformant la ection mixte en une ection homogène équivalente (ici l acier va être tranformé en béton équivalent). Le béton équivalent à A doit tranmettre le même fort, or a déformation et ε. E Nc = Ac, équivσ c = Ac, équivecε = A Eε A, = A = n. A E c équiv c Par conéquent, pour tranformer l acier en béton équivalent il faut multiplier la ection d acier par n=e/ec. Dr Ir P. Boeraeve janvier 007

10 Dr. Ir. P. Boeraeve Cour de Béton Armé 10 Par ailleur, là où e trouvent le armature, il n y a pa de béton! béton Axe neutre x = - + béton béton A acier A = - + béton A n = E /E c Béton équivalent n.a On réalie alor un tableau comme celui-ci, en prenant comme origine de x la fibre upérieure de la ection : Ai xi x i Ai I x i - x (x i - x ) Ai Béton bh h/ bh / bh 3 /1 (h/-x ) (h/- x ) bh Acier (n-1)a d d(n-1)a --- (d- x ) (d- x ) (n-1)a Pui on calcule la poition du CG et l inertie de la ection homogénéiée en béton équivalent : bh x ( 1) ia + n A d i x = = A bh + n 1 A i ( ) 3 bh h I = Ii + ( xi x ) Ai = + x bh + ( d x ) ( n 1) A 1 Le calcul de contrainte dan le béton en tade élatique non fiuré, ou un moment M obtient directement par : M. x fibre upérieure : fc = et I fibre inférieure : f ct M.( h x ) = I Pour le calcul de contrainte dan l armature, il faut retranformer le béton équivalent de armature en acier : M.( d x ) contrainte dan le béton équivalent au niveau de armature : f c = E c. εc = I Or la déformation dan le béton adjacent aux armature = déformation de armature : εc=ε Donc, la contrainte dan le armature vaut : f = E. ε =E. f c /E c = n. f c Dr Ir P. Boeraeve janvier 007

11 Dr. Ir. P. Boeraeve Cour de Béton Armé 11 b ε c f c = E c. ε c x h d Contrainte dan le béton f ε E f c = E c. ε f = E. ε =E. f c /E c n = E /E c f E c = n. f c f c ε ε f M.( d x ) = n. I Calcul implifié Le ection d acier étant faible, on obtient en général un trè bon calcul approché en négligeant celle-ci et en ne conidérant que la ection de béton brute. On a alor : x = h/ et I = b.h³/1 Et le contrainte dan le béton : f c = f t = 6.M /(b.h²) Phae : tade élatique fiuré f c = E c. ε c x C = bx. f c f = E. ε T = f A La ection et fiurée. Pour implifier, on conidère que tout le béton en traction ne reprend aucune contrainte (on néglige la zone en traction où la contrainte de traction et comprie entre 0 et f ctm ). Dr Ir P. Boeraeve janvier 007

12 Dr. Ir. P. Boeraeve Cour de Béton Armé 1 Par conéquent, la ection n étant oumie qu à flexion pure, la réultante de fort de compreion doit équilibrer la réultante de fort de traction repri par le eule armature. x b T = C f A = fc Par hypothèe, le béton en compreion et l acier ont toujour élatique. Donc, on a : f c = E c. ε c et f = E. ε Donc, en remplaçant dan l expreion précédente : ε c E A na Ou encore : = = ε E c x b x b Ecε c Eε A = x b D autre part, comme nou l avon vu au 4.5 : le ection retent plane, il y a compatibilité de déformation entre le armature et le béton qui le entoure. Par conéquent, le diagramme de déformation nou permet d appliquer la règle de triangle emblable : ε ε c = d x x x na Donc : = d x x b ce qui peut être réécrit na na x + x d = 0 b b Utilion le rapport de la ection d acier à la ection de béton ( pourcentage d armature). A ρ = bd x + nρd x nρd = 0 x x + nρ nρ = 0 d d Cette équation du econd degré en x /d admet comme racine : ( ) x nρ ± nρ + 8nρ = dont la valeur poitive et la eule qui et réalite : d x = ( nρ) + nρ nρ d L inertie de la ection fiurée e calcule alor par : 3 3 bx x bx = + + = + ( ) ( ) I bx d x na d x na 1 3 Dr Ir P. Boeraeve janvier 007

13 Dr. Ir. P. Boeraeve Cour de Béton Armé 13 Et le contrainte dan la fibre upérieure de béton et dan l armature : M. x M.( d x ) fc = f = n. I I Phae 3 : tade platique Ce domaine n et intéreant que par on tade ultime : la rupture Phae 4 : rupture L Eurocode définit ur la Figure 6.1 le valeur limite de déformation relative admiible dan le béton et le armature d une ection en béton armé à l état limite ultime. Dan le ca de la flexion pure, le diagramme de déformation extrême pae par le point A et B. La déformation maximale en compreion dan le béton (voir 4.3.1) vaut ε cu3 = pour de béton de clae de réitance inférieure ou égale à C50/60. La déformation maximale en traction dan l armature et en principe infinie quand on choiit un diagramme implifié conforme au 4.3., mai et limitée à en pratique. La figure uivante montre le diagramme de déformation et de contrainte réelle dan la ection, aini que le diagramme idéalié rectangulaire limité à 80% de la hauteur comprimée (voir 4.3.1). ε= Dr Ir P. Boeraeve janvier 007

14 Dr. Ir. P. Boeraeve Cour de Béton Armé 14 Avec le diagramme rectangulaire implifié, et en uppoant l armature platifiée (f =f yd ), ce qui et toujour préférable pour avoir une ruine ductile qui «prévient», on peut calculer le moment réitant M rd de la poutre. En fet, comme la poutre et oumie à flexion pure, on a : C=T (équilibre de tranlation), M rd =T.z=C.z (équilibre moment). La première équation conduit à : A fyd xu = 0.8bfcd Et la econde à : M rd = T( d 0.4x u ) fyd Vérification que le armature ont bien platifiée : il fautε > ε y = =435/00000= E xu (1 ) ε ε c ( d xu ) Or : = ε d = = d x x u xu xu u d Pour aurer une ductilité uffiante, l EC impoe, en flexion imple, une limite au rapport x u /d : (x u /d) 0,45 pour de béton de clae de réitance C35/45 et (x u /d) 0,35 pour de béton de clae de réitance C40/50. Même dan le ca (x u /d) 0,35, on a ε =0.0065> , donc le armature ont toujour platifiée i on repecte cette condition de l Eurocode Référence 1. Reinforced Concrete - Mechanic and Deign, J. MacGregor and J. Wight, 4th Edition, Prentice Hall Dr Ir P. Boeraeve janvier 007

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