LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3

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1 LES SUITES. Défiitio.. Défiitio Ue suite umérique est ue foctio de das, défiie à partir d'u certai rag 0. La otatio (u ) désige la suite e tat qu'objet mathématique et u désige l'image de l'etier (appelé ecore terme d'idice de la suite (u )), terme que l'o pourrait oter u() mais l'usage e a voulu autremet. Exemples : Suite défiie e foctio du rag (du type u = ƒ()) : u =, pour O obtiet : u = ; u = ; u 3 = 3 etc... Suite défiie e foctio de terme(s) précédet(s) (suite récurrete) : O obtiet : u0 = u + = u ( u ) u = u 0 ( u 0 ) = ; u = 6 ; u 3 = 4 etc. Exercice : détermier le rag à partir duquel la suite (u ) suivate est défiie : u = 3. Suites arithmétiques.. Défiitio Ue suite (u ) est dite arithmétique lorsqu'o passe de chaque terme au suivat e ajoutat toujours le même ombre r : u + = u + r pour tout idice Ce ombre r s'appelle la raiso de la suite (u ). M : commet vérifier qu'ue suite (u ) est arithmétique? O calcule, pour tout idice, la différece de deux termes cosécutifs u + u. Si obtiet ue quatité costate r, alors la suite est arithmétique de raiso r. Si o obtiet ue quatité variable (dépedate de ), alors la suite 'est pas arithmétique. Exemples : les suites suivates sot elles arithmétiques? ) u = 3. Pour tout idice, o a : u + u = 3( + ) 3 + = = 3 La suite (u ) est arithmétique de raiso r = 3. ) u = +. Pour tout idice, o a : u + u = ( + ) + ( + ) = + + = +. Suites Page G. COSTANTINI

2 Suite o arithmétique. Notos que cette coclusio est immédiate à la vue des premiers termes (u = = u 0 +, u = 5 = u + 3) Remarque : toute suite défiie par ue relatio du type u = a + b est arithmétique de raiso a car pour tout : u + u = a( + ) + b a b = a. Réciproquemet, peut-o dire que toute suite arithmétique de raiso a peut s'écrire sous la forme u = a + b? La répose est das ce qui suit. M : commet calculer u terme quelcoque d'ue suite arithmétique? O utilise l'ue des relatios suivates : u = u 0 + r ou u = u p + ( p)r (pour tous etiers p et ) Exemples : Calculer u 6 das les deux cas suivats : ) u 0 = 6 et r = 5 : u 6 = u 0 + 6r = = 36 ) u 0 = 3 et r = : u 6 = u 0 + 6r = ( ) = 9 Exercice : démotrer que toute suite arithmétique (u ) peut s'écrire : u = a + b. E effet, si o ote r la raiso de la suite, o a, d'après M : u = u 0 + r Il suffit de choisir a = r et b = u 0 pour avoir le résultat demadé. M3 : commet calculer la somme S de N termes cosécutifs d'ue suite arithmétique? O utilise la relatio suivate : S = N( P+ D) où N = ombre de termes de la somme, P = premier terme de la somme et D = derier terme de la somme. Exemples : calculer les sommes suivates : ) S = Nous avos affaire à la somme de termes d'ue suite arithmétique de raiso r = et de premier terme u =. Mais combie de termes comporte cette somme? Notos u = 99 où désige le ombre de termes de la somme. D'après M, o a : u = u + ( )r. C'est-à-dire : 99 = u + ( ) = + ( ) =. D'où = 50. Il y a doc 50 termes das cette somme. Ce qui doe, d'après M3 : S = ) S = ( + 99) = 500 Somme des termes d'ue suite arithmétique de raiso r =, de premier terme P = et de derier terme D =, d'où : S = ( +) Suites Page G. COSTANTINI

3 Exercice : e s'ispirat de la méthode de l'exemple, démotrer que le ombre de termes N d'ue somme S de termes cosécutifs d'ue suite arithmétique de raiso r, de premier terme P, et derier terme D, est doé par la formule : N = D P r E déduire que, das la somme u p u q (où p q), il y a N = q p + termes. Quelques démostratios : M : évidet, les relatios u + u = r et u + = u + r sot équivaletes. M : soit (u ) ue suite arithmétique de raiso r. O cosidère la propriété () défiie pour par : + () : u = u 0 + r Si = 0, la propriété est clairemet vérifiée doc (0) est vraie. Motros que pour tout : () ( + ) Supposos doc, que l'o ait (), c'est-à-dire : u = u 0 + r D'après la défiitio d'ue suite arithmétique, o a : u + = u + r Mais comme o a supposé (), cela doe : u + = u 0 + r + r = u 0 + (+)r O obtiet la relatio de récurrece au rag +, à savoir ( + ). O a doc bie, pour tout : () ( + ) Le raisoemet ci-cotre est appelé raisoemet "par récurrece" Résumos : si la propriété est vraie à u certai rag, elle est vraie au rag suivat. Comme elle est vraie au rag 0, elle est doc vraie à tout rag. E coclusio, pour tout, o a : u = u 0 + r E remplaçat par p, o obtiet égalemet : u p = u 0 + pr Et par différece des deux derières relatios : u u p = ( p)r D'où : u = u p + ( p)r M3 : soit à calculer : S = P + (P + r) (D r) + D (somme compreat N termes) Cette somme S peut ecore s'écrire : S = D + (D r) (P + r) + P (o a chagé l'ordre des termes) Si bie que, e additioat : S = (P + D) + (P + D) (P + D) + (P + D) (somme compreat toujours N termes égaux!) D'où : S = N(P +D) S = N( P+ D) Suites Page 3 G. COSTANTINI

4 3. Suites géométriques (de raiso strictemet positive) 3.. Défiitio Ue suite (u ) est dite géométrique lorsqu'o passe de chaque terme au suivat e multipliat toujours par le même ombre q : u + = q u Ce ombre q s'appelle la raiso de la suite (u ). M4 : commet vérifier qu'ue suite est géométrique? Après s'être assuré que u 'est jamais ul, o calcule, pour tout idice, le rapport de deux termes cosécutifs u +. Si o obtiet ue quatité costate q, alors la suite est géométrique de raiso q. Si o u obtiet ue quatité variable, alors la suite 'est pas géométrique. Variate (permettat d'éviter de raisoer avec u rapport et redat les calculs mois lourds) : o motre qu'il existe u réel q tel que, pour tout idice, o ait u + = qu. Exemples : les suites suivates sot elles géométriques? ) u = 0,. O a, pour tout idice : u 0 et Suite géométrique de raiso q =,0. u + = 0, u 0, + =,0 Avec la variate de de M4, il suffit d'écrire que pour tout idice : ) u = (pour ). O a pour tout idice : Suite o géométrique. u + =,0 + =,0,0 =,0u u 0 et u + = ( + ) u Notos que cette coclusio est immédiate à la vue des premiers termes (u = 4 = u 4, u 3 = 9 = u 4 9 ) Remarque : toute suite défiie par ue relatio du type u = λ a (pour 0 et a > 0) est géométrique de raiso a car pour tout, o a : u + = a u a Réciproquemet, peut-o dire que toute suite géométrique de raiso q peut s'écrire sous la forme u = λ a? La répose est das ce qui suit. + = a M5 : commet calculer u terme quelcoque d'ue suite géométrique? O utilise l'ue des relatios suivates : u = q u 0 ou u = q p u p (pour p ) Exemples : Calculer u 7 das les deux cas suivats : ) u 0 = 4 et q = : u 7 = q 7 u 0 = 7 4 = 5 = 3 ) u 4 = 8 et q = 3 : u 7 = q 7 4 u 4 = 3 8 = 3 3 Suites Page 4 G. COSTANTINI

5 Exercice : démotrer que toute suite géométrique (u ) peut s'écrire : u = λ a. E effet, si o ote q la raiso de la suite, o a, d'après M5 : u = q u 0 Il suffit de choisir a = q et λ = u 0 pour avoir le résultat demadé. M6 : commet calculer la somme S de N termes cosécutifs d'ue suite géométrique de raiso q? Si q, o peut utiliser la relatio suivate : N S = P ( q ) q où N = ombre de termes de la somme, P = premier terme de la somme et q = raiso de la suite. Si q = alors S = N P. Exemples : calculer les sommes suivates : ) S = Nous avos affaire à ue somme de termes d'ue suite géométrique de premier terme u 0 = et de raiso q =. Se pose ecore le problème du ombre de termes de cette somme. Pour cela, il suffit d'écrire les termes de la somme S à l'aide d'exposats : S = O e déduit que la somme S comporte 3 termes. D'après M6, o obtiet : S = ( ) = 3 = 89 + ) S = + x + x + x x = x x 3 (pour x, sio S = + ) Note : la formule de la somme de termes d'ue suite géométrique (M6) pred parfois d'autres aspects : + S = u 0 + u + u u = u 0( q ) q ou ecore S = u + u u = u ( q )... q Efi, la somme S des termes d'ue suite géométrique de raiso q, de premier terme P et derier terme D, peut ecore se calculer avec la formule suivate : S = P Dq q Preuve : comme D = Pq N, il viet P( q N ) = P Pq N = P Dq. Quelques démostratios : M4 : évidet, les relatios u + = q et u + = q u état équivaletes dès lors que u 0. u M5 : soit (u ) ue suite géométrique de raiso q. Si q = 0 ou si u 0 = 0 alors (u ) est la suite ulle est la relatio u = q u 0 est triviale. Supposos maiteat q 0 et u 0 0. Motros, par récurrece (sur ), la propriété : () : u = q u 0 Si = 0, la propriété est clairemet vérifiée doc (0) est vraie. Motros que, pour tout : () ( + ) Suites Page 5 G. COSTANTINI

6 Supposos doc, que l'o ait (), c'est-à-dire : u = q u 0 D'après la défiitio d'ue suite géométrique, o a : u + = qu D'après l'hypothèse de récurrece (), cela doe : u + = q q u 0 = q + u 0 O obtiet la relatio de récurrece au rag +, à savoir ( + ). O a doc bie pour tout : () ( + ). E coclusio, pour tout, o a : u = q u 0 E remplaçat par p, o obtiet égalemet : u p = q p u 0 O a doc : u q p u 0 = u p q u 0 Et comme u 0 0 et q 0 : u = q p u p M6 : soit à calculer la somme : S = P + qp q P (somme compreat N = + termes) Remarquos que : S qs = P + qp q P (qp + q P +... q P + q + P) = P Pq + D'où : S( q) = P( q + ) Si bie que si q : S = P ( q ) q Remarque : si q =, alors S = P + qp q P = P + P P = ( + )P = NP. N 4. Représetatio graphique d'ue suite 4.. Défiitio O se place das u repère (O ; i, j ). La représetatio graphique d'ue suite (u ) est l'esemble des poits de coordoées ( ; u ). Exemple : Soit (u ) la suite défiie par u = pour. Sa représetatio graphique est l'esemble des poits isolés ( ; ), ( ; ), ( ; ) etc... 3 u Suites Page 6 G. COSTANTINI

7 4.. Théorème Si (u ) est ue suite arithmétique, alors sa représetatio graphique est costituée de poits aligés. Exemple : Représeter graphiquemet la suite arithmétique de premier terme u 0 = 5 et de raiso r =. Équatio de la droite obteue? y = rx + u 0 Ce théorème est ue coséquece immédiate du fait que toute suite arithmétique peut s'écrire sous la forme : u = a + b Aisi les poits de coordoées (, u ) sot situés sur la droite d'équatio y = ax + b Ses de variatio (ou mootoie) 5.. Défiitio Soit (u ) ue suite de ombres réels. O dit que la suite (u ) est : croissate (à partir du rag 0 ) lorsque u u + pour tout etier 0. décroissate (à partir du rag 0 ) lorsque u u + pour tout etier 0. mootoe (à partir du rag 0 ) si elle est croissate ou décroissate (à partir du rag 0 ) statioaire lorsque u = u + pour tout 0. costate si statioaire et défiie à partir du rag 0. O défiit la stricte croissace (ou décroissace) à l'aide de l'iégalité stricte u < u + (u > u + ). Notatio : les itervalles d'etiers sot souvet otés à l'aide de crochets doubles. Par exemple : ;5 = { ; 3 ; 4 ; 5} Si bie qu'o pourra écrire, par exemple, qu'ue suite est croissate sur 0 ; +. M7 : commet vérifier qu'ue suite est croissate (ou décroissate)? O calcule, pour tout idice, la différece de deux termes cosécutifs u + u. Si o obtiet ue quatité positive, alors la suite (u ) est croissate. Si o obtiet ue quatité égative, alors la suite (u ) est décroissate. Si o obtiet ue quatité de sige variable alors la suite 'est i croissate, i décroissate. Exemple : u = + si. Étudios, pour tout etier, le sige de la différece de deux termes cosécutifs : u + u = ( + ) + si( + ) si = + si( + ) si Or si( + ) et si, doc si( + ) si, par coséquet : u + u 0 la suite (u ) est doc croissate. Suites Page 7 G. COSTANTINI

8 Cas d'ue suite arithmétique : 5.. Théorème Soit (u ) est ue suite arithmétique de raiso r : Si r > 0 alors (u ) est strictemet croissate Si r = 0 alors (u ) est costate Si r < 0 alors (u ) est strictemet décroissate. Démostratio : Comme (u ) est arithmétique, o a pour tout etier : u + u = r D'où le résultat e utilisat la défiitio 5.. Cas d'ue suite géométrique : O a vu précédemmet que toute suite (u ) défiie par u = a est géométrique. Quel est so ses de variatio? 5.3. Théorème Soit (u ) ue suite défiie par : u = a (avec a > 0) Si a > alors (u ) est strictemet croissate Si a = alors (u ) est costate Si 0 < a < alors (u ) est strictemet décroissate. Démostratio : O a, pour tout : u + u = au u = (a )u Comme (u ) est positive (puisque a l'est), le ses de variatio e déped que du sige a. O coclut e utilisat la défiitio 5.. Exemple : Soit (u ) ue suite géométrique défiie avec u 0 = 8 et q =. D'après M5 : u = u 0 q = 8 Posos v =. La suite (v ) est géométrique de raiso. Puisque 0 < <, la suite (v ) est strictemet décroissate : D'où : Or, u = 8v, d'où : La suite (u ) est doc strictemet croissate. v > v + pour tout 8v < 8v + pour tout u < u + pour tout Autre méthode, e utilisat M7 : u + u = u 0 q + u 0 q = u 0 q (q ) Or, q > 0 et q < 0 (puisque q = ). Et comme u 0 < 0 (car u 0 = 8), o e déduit que : La suite (u ) est doc strictemet croissate. u + u > 0 Suites Page 8 G. COSTANTINI

9 Cas des suites du type u = ƒ() : 5.4. Théorème Où l'o utilise ue foctio associée Soit (u ) la suite défiie par u = ƒ() où ƒ est ue foctio défiie sur u itervalle du type ][ a ; + [ où a +. Si la foctio ƒ est mootoe sur ][ a ; + [ alors la suite (u ) est mootoe sur Ea+ ( ) ; + et possède le même ses de variatio que ƒ. Démostratio : Supposos ƒ croissate sur ][ a ; + [. (Les autres cas se prouvet de maière aalogue) Pour tout Ea+ ( ) ; +, o a alors : Doc (u ) est croissate sur Ea+ ( ) ; +. u + u = ƒ( + ) ƒ() 0 Exemple : soit (u ) la suite défiie, pour, par : u = cos π Notos ƒ la foctio défiie sur [ ; + [ par : ƒ(x) = cos x π O a e dérivat : ƒ'(x) = π π si x x Or, si x π 0 pour tout x de [ ; + [ puisque x π ]0 ; π[. Doc ƒ est croissate sur [ ; + [. La suite (u ) est doc croissate. 6. Limite d'ue suite 6.. Défiitio O dit qu'ue suite admet ue limite l (ou coverge vers l) lorsque : Tout itervalle ouvert cetré e l cotiet tous les termes de la suite à partir d'u certai idice Graphiquemet, cela se traduit aisi : Quelle que soit la largeur de la bade horizotale choisie, il existe u rag (ou u idice) à partir duquel tous les poits de la représetatio graphique de la suite sot situés das cette bade. De maière plus formelle : Pour tout réel ε strictemet positif, il existe u rag N tel que pour tout idice, o ait : N u l ε Suites Page 9 G. COSTANTINI

10 Illustratio avec la suite (u ) défiie par : u = 3 + ( ) u l O Rag à partir duquel tous les poits sot das la bade choisie Sur cet exemple, le graphique permet de cojecturer que la suite (u ) coverge vers 3. L'utilisatio directe de cette défiitio 'est pas toujours commode. Heureusemet, ous disposos de théorèmes (voir ci-dessous) pour prouver la covergece d'ue suite dot l'emploi est bie plus aisé que cette défiitio. Cette défiitio sera surtout utile das la démostratio de certais théorèmes (comme le théorème des gedarmes par exemple). Notos qu'il existe des suites qui e coverget pas (o dit alors qu'elles diverget). Il y e a de deux types : Celles qui ot ue limite ifiie : par exemple u =. Celles qui 'ot pas de limite : par exemple u = ( ). (u p = et u p+ = ) Suites Page 0 G. COSTANTINI

11 Techiques pour motrer qu'ue suite est covergete : ) Cas des suites du type u = ƒ() : les théorèmes éocés sur les limites de foctios s'appliquet Si lim ƒ(x) = l alors lim u = l x + + E coséquece, o récupère tous les théorèmes sur les opératios algébriques aisi que les théorèmes de comparaiso. Exemples : Avec le théorème des "gedarmes" Soit : u = Étudios la limite de la suite (u ). + pour O a : < + E outre, + < ( + ). (E effet, ( + ) = + + > + car > > 0) O a doc l'ecadremet suivat : < + < ( + ) Par passage à la racie (tous les membres sot positifs), il viet : < + < + Puis e divisat par (positif) : < u < + Comme lim ( + ) =, o e déduit (théorème des gedarmes) que lim u =. + + Avec les théorèmes de comparaiso Soit : u = 4 (cos ) Étudios la limite de la suite (u ) : Comme cos, o a : 3 cos, doc u 4. Or lim ( 4 ) =, d'où lim u =. (O dit alors que la suite (u ) diverge vers ) + + Exemple : détermier la limite de la suite (v ) défiie par : v = 3 + ( ) Posos, pour * : u = 3 et w = 3 + Les suites (u ) et (w ) coverget vers 3. De plus, pour tout * : u v w. D'après le théorème des gedarmes, o a doc : lim + v = 3 ) Cas des suites récurretes : voir les exercices où des idicatios serot doées. Suites Page G. COSTANTINI

12 3) Cas particulier des suites géométriques 6.. Théorème Soit (u ) ue suite défiie par : u = a (avec a > 0) Si a [0 ; [ alors (u ) est covergete vers 0 Si a = alors (u ) est costate (doc covergete vers ) Si a ] ; + [ alors (u ) est divergete (vers + ). Démostratio : Nous allos utiliser le résultat suivat : 6.3. Lemme Iégalité de Beroulli Pour tout réel x positif et tout etier aturel, o a : ( + x) + x Démostratio du lemme : Soit x +. O cosidère la propriété () défiie pour tout par : () : ( + x) + x Remarque : o peut étedre cette iégalité à x ], + [ O a (0) puisque ( + x) 0 + 0x pour tout x +. Motros que, pour tout : () ( + ) Soit. Supposos () : ( + x) + x Comme x > 0, o a aussi + x > 0. E multipliat l'iégalité ci-dessus par ( + x), o obtiet : ( + ) + x ( + x)( + x) Or : ( + x)( + x) = + x + x + x = + ( + )x + x Comme x 0, o a : ( + x)( + x) + ( + )x D'où : ( + ) Ce qui est ( + ). + x + ( + )x Bila : o a (0) et pour tout de : () ( + ) Doc, pour tout de, o a : () ( + x) + x Prouvos maiteat le théorème 6.. : Supposos a ] ; + [. Posos x = a. Alors x ]0 ; + [. D'après l'iégalité de Beroulli : a = ( + x) + x Or, lim + x = +. Par comparaiso, o e déduit : + lim + a = + La suite (u ) diverge doc vers +. Supposos maiteat a [0 ; [. Suites Page G. COSTANTINI

13 Si a = 0, le résultat est évidet. Si a 0, posos : Alors : D'après le résultat précédet : Par passage à l'iverse, ous obteos : a' = a a' ] ; + [ lim + lim + a = + a = 0 La suite (u ) coverge doc vers 0. Efi, si a =, le résultat est évidet. 7. Complémet : suites arithmético-géométriques Ce sot les suites (u ) de la forme u + = au + b où a et b sot des réels. Si a =, alors la suite (u ) est arithmétique de raiso b. Si a, o pose alors ω = b a seule limite possible pour la suite (u )). (ω est la solutio de l'équatio X = ax + b ; o a doc ω = aω + b ; ω est la O défiit alors ue ouvelle suite (v ) par : v = u ω, pour tout. (Écart etre la suite (u ) et sa limite évetuelle) O vérifie que cette ouvelle suite (v ) est géométrique. E effet, pour tout, o a : v + = u + ω = au + b ω = a(v + ω) + b ω = av + aω + b ω = av La suite (v ) est doc bie géométrique de raiso a. O a doc, pour tout : d'où : v = v 0 a (Si a < alors la suite (v ) coverge vers 0, si a = ou a > alors la suite (v ) diverge) u = v + ω = v 0 a + ω = (u 0 ω)a + ω (Si a < alors la suite (u ) coverge vers ω, si a = ou a > alors la suite (u ) diverge) Exemple : u + = u + 3, avec u 0 =. Calculer u 00. Das ce cas, o a : a =, b = 3 et ω = 3 d'où u = 4 3 = + 3, d'où u 00 = 0 3 et (u ) diverge. Suites Page 3 G. COSTANTINI

14 8. Exercices résolus Exercice Calculer les sommes suivates : S = et S = Exercice La suite (u ) est arithmétique de raiso r. O sait que u 50 = 406 et u 00 = Calculer la raiso r et u 0.. Calculer la somme S = u 50 + u u 00. Exercice 3 Ue etreprise décide de verser à ses igéieurs ue prime auelle de 500. Pour e pas se dévaluer, il est prévu que chaque aée la prime augmete de % par rapport à l'aée précédete. O ote (u ) la suite des primes avec u = Calculer u puis u 3 (c'est-à-dire la prime versée par l'etreprise la ème aée et la 3 ème aée). Exprimer u + e foctio de u. E déduire la ature de la suite (u ). U igéieur compte rester 0 as das cette etreprise à partir du momet où est versée la prime. 3. Calculer la prime qu'il touchera la 0 ème aée (c'est-à-dire u 0 ) 4. Calculer la somme totale S des primes touchées sur les 0 aées (c'est-à-dire S = u + u + u u 0 ) Exercice 4 O cosidère les deux suites (u ) et (v ) défiies, pour tout, par : u = et v = Soit (w ) la suite défiie par w = u + v. Démotrer que (w ) est ue suite géométrique.. Soit (t ) la suite défiie par t = u v. Démotrer que (t ) est ue suite arithmétique. 3. Démotrer que : u = (w + t ) 4. Exprimer la somme suivate e foctio de : S = u 0 + u u Exercice 5 u0 = 3 O cosidère la suite (u ) défiie par : u = + pour tout etier aturel. + u. Calculer u et u. La suite (u ) est-elle arithmétique? Géométrique?. Démotrer, par récurrece, que pour tout etier aturel, o a : 0 u O cosidère la suite (v ) défiie pour tout etier aturel par : v = u u + a) Calculer v 0, v et v. Démotrer que la suite (v ) est géométrique. b) Exprimer v e foctio de. c) Exprimer u e foctio de v. Que vaut u 0? Suites Page 4 G. COSTANTINI

15 SOLUTIONS Exercice Rappelos que pour tout * o a : = ( +). O e déduit immédiatemet : S = = = S + S = = = d'où S = S = Exercice ) Calcul de la raiso r : O a : u = u p + ( p)r D'où, lorsque p : r = u u p Avec = 00 et p = 50, cela doe : r = u 00 u 50 = Calcul de u 0 : O a : p u 00 = u r D'où : u 0 = u 00 00r = = 6 ) Rappelos que das la somme S = u p u, il y a N = p + termes. La somme S = u 50 + u u 00 cotiet doc N = = 5 termes. E outre, S est ue somme de termes cosécutifs d'ue suite arithmétique de raiso r = 8. Nous pouvos doc utiliser la formule : S = N( P+ D) Avec P = u 50 = 406 et D = u 00 = 806, ous obteos : Exercice 3 S = = ( + 806) = Rappelos qu'ue augmetatio de t% se traduit par ue multiplicatio par + t 00. E particulier, le coefficiet multiplicateur associé à ue augmetatio de % est,0. ) u = u + 00 u = ( + 00 )u =,0u =,0 500 = 50. De même, u 3 =,0u =,0 50 = 50,. La deuxième aée, l'igéieur touche ue prime de 50 et la troisième aée ue prime de 50,0. ) La prime u + s'obtiet de la prime u par augmetatio de % doc : u + =,0 u pour tout etier O e déduit, par défiitio, que la suite (u ) est géométrique de raiso q =,0. 3) Calcul de u 0 : comme (u ) est ue suite géométrique, o a : u = q u E particulier, avec = 0, q =,0 et u = 500, cela doe : u 0 =, ,4 (à 0 près) La vigtième aée, l'igéieur touchera ue prime 78,4 (au cetime d'euro près). Suites Page 5 G. COSTANTINI

16 4) S = u + u + u u 0 est ue somme de N = 0 termes cosécutifs d'ue suite géométrique de raiso q =,0. Nous pouvos doc utiliser la formule : S = P ( q ) q Ce qui, das otre cas (P = u = 500), doe : N S = 0 500( 0, ) 48,69 à 0 près 0, La somme totale des primes touchées par l'igéieur sur les 0 aées est : 49 (à u euro près) Exercice 4 ) O a : w = u + v = = 3 La suite (w ) est du type w = ba avec b = 3 et a =. C'est doc ue suite géométrique de raiso q = a =. E effet, les termes de (w ) sot clairemet o uls et pour tout etier, o a : w + = 3 = w 3 ) O a : t = u v = = La suite (t ) est du type t = a + b avec a = 4 et b = 3. C'est ue suite arithmétique de raiso r = a = 4. E effet, pour tout etier, o a : 3) O a, pour tout etier : + t + t = 4( + ) + 3 ( 4 + 3) = 4 (w + t ) = (u + v + u v ) = u = u 4) D'après la questio 3), chaque terme u k (0 k ) de la somme S peut s'écrire : u k = (w k + t k ) Aisi : S = (w 0 + t 0 ) + (w + t ) (w + t ) E factorisat par et e regroupat les termes de la suite (w ) et ceux de la suite (t ), o obtiet : S = [(w 0 + w w ) + (t 0 + t t )] Or, d'après la questio, la suite (w ) est géométrique de raiso q =. O a doc : w 0 + w w = P q N ( ) = w + 0( ) = 3( + ) q Et d'après la questio, la suite (t ) est arithmétique de raiso r = 4. O a doc : t 0 + t t = N( P+ D) ( + )( t0 + t ) = = ( + )( ) = ( + )(3 ) Fialemet : S = [3(+ ) + ( + )(3 )] = 3 + Suites Page 6 G. COSTANTINI

17 Exercice 5 ) u 0 = 3 ; u = + u = 0 ; u = + u = 4 3 O a : u u 0 = 5 et u u = 5 6. Comme u u 0 u u, o e déduit immédiatemet que la suite (u ) 'est pas arithmétique. O a : u u = 6 et u = u 8 3. Comme u u 0 géométrique. ) Cosidéros la propriété () = "0 u 3" défiie pour tout. Comme 0 u 0 3, o a (0). Motros : () ( + ) pour tout. Supposos () : 0 u 3 Ajoutos : + u 4 La foctio iverse état décroissate sur ]0 ; + [, o déduit : 0 u, o e déduit immédiatemet que la suite (u ) 'est pas u + u 4 Multiplios par : + u D'où : u + Or : 3 et 0, d'où : 3 u + 0 O a doc ( + ). Du pricipe de récurrece, o déduit () pour tout, c'est-à-dire : 0 u 3 pour tout 3) a) v 0 = u u = 5 ; v = u u + = 5 ; v = u u + = 0. La suite (v ) semble géométrique de raiso q =. Démotros-le ; pour cela, ous allos exprimer v + e foctio de v. Pour tout, o a : u+ v + = u + + = + u + u + = u + u = ( + u) + u u = ( + u ) v Nota : il 'y a pas "d'accidets" das toutes ces fractios puisque u et u (questio ). Ce qui prouve que la suite (v ) est géométrique de raiso q =. b) Exprimos v e foctio de. Puisque (v ) est ue suite géométrique, ous avos : Suites Page 7 G. COSTANTINI

18 v = q v 0 = 5 c) Exprimos u e foctio de v. Pour cela, o utilise la relatio : v = u u + E multipliat par u + 0 : v (u + ) = u Factorisos par u : Divisos par v 0 : u (v ) = v u = v v = + v v Calculos u 0 : u 0 = + v v Or, v 0 = 0 5 = 0 5 = D'où : u 0 = = = ,007 (à 0 5 près) 9 5 Suites Page 8 G. COSTANTINI

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