LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3"

Transcription

1 LES SUITES. Défiitio.. Défiitio Ue suite umérique est ue foctio de das, défiie à partir d'u certai rag 0. La otatio (u ) désige la suite e tat qu'objet mathématique et u désige l'image de l'etier (appelé ecore terme d'idice de la suite (u )), terme que l'o pourrait oter u() mais l'usage e a voulu autremet. Exemples : Suite défiie e foctio du rag (du type u = ƒ()) : u =, pour O obtiet : u = ; u = ; u 3 = 3 etc... Suite défiie e foctio de terme(s) précédet(s) (suite récurrete) : O obtiet : u0 = u + = u ( u ) u = u 0 ( u 0 ) = ; u = 6 ; u 3 = 4 etc. Exercice : détermier le rag à partir duquel la suite (u ) suivate est défiie : u = 3. Suites arithmétiques.. Défiitio Ue suite (u ) est dite arithmétique lorsqu'o passe de chaque terme au suivat e ajoutat toujours le même ombre r : u + = u + r pour tout idice Ce ombre r s'appelle la raiso de la suite (u ). M : commet vérifier qu'ue suite (u ) est arithmétique? O calcule, pour tout idice, la différece de deux termes cosécutifs u + u. Si obtiet ue quatité costate r, alors la suite est arithmétique de raiso r. Si o obtiet ue quatité variable (dépedate de ), alors la suite 'est pas arithmétique. Exemples : les suites suivates sot elles arithmétiques? ) u = 3. Pour tout idice, o a : u + u = 3( + ) 3 + = = 3 La suite (u ) est arithmétique de raiso r = 3. ) u = +. Pour tout idice, o a : u + u = ( + ) + ( + ) = + + = +. Suites Page G. COSTANTINI

2 Suite o arithmétique. Notos que cette coclusio est immédiate à la vue des premiers termes (u = = u 0 +, u = 5 = u + 3) Remarque : toute suite défiie par ue relatio du type u = a + b est arithmétique de raiso a car pour tout : u + u = a( + ) + b a b = a. Réciproquemet, peut-o dire que toute suite arithmétique de raiso a peut s'écrire sous la forme u = a + b? La répose est das ce qui suit. M : commet calculer u terme quelcoque d'ue suite arithmétique? O utilise l'ue des relatios suivates : u = u 0 + r ou u = u p + ( p)r (pour tous etiers p et ) Exemples : Calculer u 6 das les deux cas suivats : ) u 0 = 6 et r = 5 : u 6 = u 0 + 6r = = 36 ) u 0 = 3 et r = : u 6 = u 0 + 6r = ( ) = 9 Exercice : démotrer que toute suite arithmétique (u ) peut s'écrire : u = a + b. E effet, si o ote r la raiso de la suite, o a, d'après M : u = u 0 + r Il suffit de choisir a = r et b = u 0 pour avoir le résultat demadé. M3 : commet calculer la somme S de N termes cosécutifs d'ue suite arithmétique? O utilise la relatio suivate : S = N( P+ D) où N = ombre de termes de la somme, P = premier terme de la somme et D = derier terme de la somme. Exemples : calculer les sommes suivates : ) S = Nous avos affaire à la somme de termes d'ue suite arithmétique de raiso r = et de premier terme u =. Mais combie de termes comporte cette somme? Notos u = 99 où désige le ombre de termes de la somme. D'après M, o a : u = u + ( )r. C'est-à-dire : 99 = u + ( ) = + ( ) =. D'où = 50. Il y a doc 50 termes das cette somme. Ce qui doe, d'après M3 : S = ) S = ( + 99) = 500 Somme des termes d'ue suite arithmétique de raiso r =, de premier terme P = et de derier terme D =, d'où : S = ( +) Suites Page G. COSTANTINI

3 Exercice : e s'ispirat de la méthode de l'exemple, démotrer que le ombre de termes N d'ue somme S de termes cosécutifs d'ue suite arithmétique de raiso r, de premier terme P, et derier terme D, est doé par la formule : N = D P r E déduire que, das la somme u p u q (où p q), il y a N = q p + termes. Quelques démostratios : M : évidet, les relatios u + u = r et u + = u + r sot équivaletes. M : soit (u ) ue suite arithmétique de raiso r. O cosidère la propriété () défiie pour par : + () : u = u 0 + r Si = 0, la propriété est clairemet vérifiée doc (0) est vraie. Motros que pour tout : () ( + ) Supposos doc, que l'o ait (), c'est-à-dire : u = u 0 + r D'après la défiitio d'ue suite arithmétique, o a : u + = u + r Mais comme o a supposé (), cela doe : u + = u 0 + r + r = u 0 + (+)r O obtiet la relatio de récurrece au rag +, à savoir ( + ). O a doc bie, pour tout : () ( + ) Le raisoemet ci-cotre est appelé raisoemet "par récurrece" Résumos : si la propriété est vraie à u certai rag, elle est vraie au rag suivat. Comme elle est vraie au rag 0, elle est doc vraie à tout rag. E coclusio, pour tout, o a : u = u 0 + r E remplaçat par p, o obtiet égalemet : u p = u 0 + pr Et par différece des deux derières relatios : u u p = ( p)r D'où : u = u p + ( p)r M3 : soit à calculer : S = P + (P + r) (D r) + D (somme compreat N termes) Cette somme S peut ecore s'écrire : S = D + (D r) (P + r) + P (o a chagé l'ordre des termes) Si bie que, e additioat : S = (P + D) + (P + D) (P + D) + (P + D) (somme compreat toujours N termes égaux!) D'où : S = N(P +D) S = N( P+ D) Suites Page 3 G. COSTANTINI

4 3. Suites géométriques (de raiso strictemet positive) 3.. Défiitio Ue suite (u ) est dite géométrique lorsqu'o passe de chaque terme au suivat e multipliat toujours par le même ombre q : u + = q u Ce ombre q s'appelle la raiso de la suite (u ). M4 : commet vérifier qu'ue suite est géométrique? Après s'être assuré que u 'est jamais ul, o calcule, pour tout idice, le rapport de deux termes cosécutifs u +. Si o obtiet ue quatité costate q, alors la suite est géométrique de raiso q. Si o u obtiet ue quatité variable, alors la suite 'est pas géométrique. Variate (permettat d'éviter de raisoer avec u rapport et redat les calculs mois lourds) : o motre qu'il existe u réel q tel que, pour tout idice, o ait u + = qu. Exemples : les suites suivates sot elles géométriques? ) u = 0,. O a, pour tout idice : u 0 et Suite géométrique de raiso q =,0. u + = 0, u 0, + =,0 Avec la variate de de M4, il suffit d'écrire que pour tout idice : ) u = (pour ). O a pour tout idice : Suite o géométrique. u + =,0 + =,0,0 =,0u u 0 et u + = ( + ) u Notos que cette coclusio est immédiate à la vue des premiers termes (u = 4 = u 4, u 3 = 9 = u 4 9 ) Remarque : toute suite défiie par ue relatio du type u = λ a (pour 0 et a > 0) est géométrique de raiso a car pour tout, o a : u + = a u a Réciproquemet, peut-o dire que toute suite géométrique de raiso q peut s'écrire sous la forme u = λ a? La répose est das ce qui suit. + = a M5 : commet calculer u terme quelcoque d'ue suite géométrique? O utilise l'ue des relatios suivates : u = q u 0 ou u = q p u p (pour p ) Exemples : Calculer u 7 das les deux cas suivats : ) u 0 = 4 et q = : u 7 = q 7 u 0 = 7 4 = 5 = 3 ) u 4 = 8 et q = 3 : u 7 = q 7 4 u 4 = 3 8 = 3 3 Suites Page 4 G. COSTANTINI

5 Exercice : démotrer que toute suite géométrique (u ) peut s'écrire : u = λ a. E effet, si o ote q la raiso de la suite, o a, d'après M5 : u = q u 0 Il suffit de choisir a = q et λ = u 0 pour avoir le résultat demadé. M6 : commet calculer la somme S de N termes cosécutifs d'ue suite géométrique de raiso q? Si q, o peut utiliser la relatio suivate : N S = P ( q ) q où N = ombre de termes de la somme, P = premier terme de la somme et q = raiso de la suite. Si q = alors S = N P. Exemples : calculer les sommes suivates : ) S = Nous avos affaire à ue somme de termes d'ue suite géométrique de premier terme u 0 = et de raiso q =. Se pose ecore le problème du ombre de termes de cette somme. Pour cela, il suffit d'écrire les termes de la somme S à l'aide d'exposats : S = O e déduit que la somme S comporte 3 termes. D'après M6, o obtiet : S = ( ) = 3 = 89 + ) S = + x + x + x x = x x 3 (pour x, sio S = + ) Note : la formule de la somme de termes d'ue suite géométrique (M6) pred parfois d'autres aspects : + S = u 0 + u + u u = u 0( q ) q ou ecore S = u + u u = u ( q )... q Efi, la somme S des termes d'ue suite géométrique de raiso q, de premier terme P et derier terme D, peut ecore se calculer avec la formule suivate : S = P Dq q Preuve : comme D = Pq N, il viet P( q N ) = P Pq N = P Dq. Quelques démostratios : M4 : évidet, les relatios u + = q et u + = q u état équivaletes dès lors que u 0. u M5 : soit (u ) ue suite géométrique de raiso q. Si q = 0 ou si u 0 = 0 alors (u ) est la suite ulle est la relatio u = q u 0 est triviale. Supposos maiteat q 0 et u 0 0. Motros, par récurrece (sur ), la propriété : () : u = q u 0 Si = 0, la propriété est clairemet vérifiée doc (0) est vraie. Motros que, pour tout : () ( + ) Suites Page 5 G. COSTANTINI

6 Supposos doc, que l'o ait (), c'est-à-dire : u = q u 0 D'après la défiitio d'ue suite géométrique, o a : u + = qu D'après l'hypothèse de récurrece (), cela doe : u + = q q u 0 = q + u 0 O obtiet la relatio de récurrece au rag +, à savoir ( + ). O a doc bie pour tout : () ( + ). E coclusio, pour tout, o a : u = q u 0 E remplaçat par p, o obtiet égalemet : u p = q p u 0 O a doc : u q p u 0 = u p q u 0 Et comme u 0 0 et q 0 : u = q p u p M6 : soit à calculer la somme : S = P + qp q P (somme compreat N = + termes) Remarquos que : S qs = P + qp q P (qp + q P +... q P + q + P) = P Pq + D'où : S( q) = P( q + ) Si bie que si q : S = P ( q ) q Remarque : si q =, alors S = P + qp q P = P + P P = ( + )P = NP. N 4. Représetatio graphique d'ue suite 4.. Défiitio O se place das u repère (O ; i, j ). La représetatio graphique d'ue suite (u ) est l'esemble des poits de coordoées ( ; u ). Exemple : Soit (u ) la suite défiie par u = pour. Sa représetatio graphique est l'esemble des poits isolés ( ; ), ( ; ), ( ; ) etc... 3 u Suites Page 6 G. COSTANTINI

7 4.. Théorème Si (u ) est ue suite arithmétique, alors sa représetatio graphique est costituée de poits aligés. Exemple : Représeter graphiquemet la suite arithmétique de premier terme u 0 = 5 et de raiso r =. Équatio de la droite obteue? y = rx + u 0 Ce théorème est ue coséquece immédiate du fait que toute suite arithmétique peut s'écrire sous la forme : u = a + b Aisi les poits de coordoées (, u ) sot situés sur la droite d'équatio y = ax + b Ses de variatio (ou mootoie) 5.. Défiitio Soit (u ) ue suite de ombres réels. O dit que la suite (u ) est : croissate (à partir du rag 0 ) lorsque u u + pour tout etier 0. décroissate (à partir du rag 0 ) lorsque u u + pour tout etier 0. mootoe (à partir du rag 0 ) si elle est croissate ou décroissate (à partir du rag 0 ) statioaire lorsque u = u + pour tout 0. costate si statioaire et défiie à partir du rag 0. O défiit la stricte croissace (ou décroissace) à l'aide de l'iégalité stricte u < u + (u > u + ). Notatio : les itervalles d'etiers sot souvet otés à l'aide de crochets doubles. Par exemple : ;5 = { ; 3 ; 4 ; 5} Si bie qu'o pourra écrire, par exemple, qu'ue suite est croissate sur 0 ; +. M7 : commet vérifier qu'ue suite est croissate (ou décroissate)? O calcule, pour tout idice, la différece de deux termes cosécutifs u + u. Si o obtiet ue quatité positive, alors la suite (u ) est croissate. Si o obtiet ue quatité égative, alors la suite (u ) est décroissate. Si o obtiet ue quatité de sige variable alors la suite 'est i croissate, i décroissate. Exemple : u = + si. Étudios, pour tout etier, le sige de la différece de deux termes cosécutifs : u + u = ( + ) + si( + ) si = + si( + ) si Or si( + ) et si, doc si( + ) si, par coséquet : u + u 0 la suite (u ) est doc croissate. Suites Page 7 G. COSTANTINI

8 Cas d'ue suite arithmétique : 5.. Théorème Soit (u ) est ue suite arithmétique de raiso r : Si r > 0 alors (u ) est strictemet croissate Si r = 0 alors (u ) est costate Si r < 0 alors (u ) est strictemet décroissate. Démostratio : Comme (u ) est arithmétique, o a pour tout etier : u + u = r D'où le résultat e utilisat la défiitio 5.. Cas d'ue suite géométrique : O a vu précédemmet que toute suite (u ) défiie par u = a est géométrique. Quel est so ses de variatio? 5.3. Théorème Soit (u ) ue suite défiie par : u = a (avec a > 0) Si a > alors (u ) est strictemet croissate Si a = alors (u ) est costate Si 0 < a < alors (u ) est strictemet décroissate. Démostratio : O a, pour tout : u + u = au u = (a )u Comme (u ) est positive (puisque a l'est), le ses de variatio e déped que du sige a. O coclut e utilisat la défiitio 5.. Exemple : Soit (u ) ue suite géométrique défiie avec u 0 = 8 et q =. D'après M5 : u = u 0 q = 8 Posos v =. La suite (v ) est géométrique de raiso. Puisque 0 < <, la suite (v ) est strictemet décroissate : D'où : Or, u = 8v, d'où : La suite (u ) est doc strictemet croissate. v > v + pour tout 8v < 8v + pour tout u < u + pour tout Autre méthode, e utilisat M7 : u + u = u 0 q + u 0 q = u 0 q (q ) Or, q > 0 et q < 0 (puisque q = ). Et comme u 0 < 0 (car u 0 = 8), o e déduit que : La suite (u ) est doc strictemet croissate. u + u > 0 Suites Page 8 G. COSTANTINI

9 Cas des suites du type u = ƒ() : 5.4. Théorème Où l'o utilise ue foctio associée Soit (u ) la suite défiie par u = ƒ() où ƒ est ue foctio défiie sur u itervalle du type ][ a ; + [ où a +. Si la foctio ƒ est mootoe sur ][ a ; + [ alors la suite (u ) est mootoe sur Ea+ ( ) ; + et possède le même ses de variatio que ƒ. Démostratio : Supposos ƒ croissate sur ][ a ; + [. (Les autres cas se prouvet de maière aalogue) Pour tout Ea+ ( ) ; +, o a alors : Doc (u ) est croissate sur Ea+ ( ) ; +. u + u = ƒ( + ) ƒ() 0 Exemple : soit (u ) la suite défiie, pour, par : u = cos π Notos ƒ la foctio défiie sur [ ; + [ par : ƒ(x) = cos x π O a e dérivat : ƒ'(x) = π π si x x Or, si x π 0 pour tout x de [ ; + [ puisque x π ]0 ; π[. Doc ƒ est croissate sur [ ; + [. La suite (u ) est doc croissate. 6. Limite d'ue suite 6.. Défiitio O dit qu'ue suite admet ue limite l (ou coverge vers l) lorsque : Tout itervalle ouvert cetré e l cotiet tous les termes de la suite à partir d'u certai idice Graphiquemet, cela se traduit aisi : Quelle que soit la largeur de la bade horizotale choisie, il existe u rag (ou u idice) à partir duquel tous les poits de la représetatio graphique de la suite sot situés das cette bade. De maière plus formelle : Pour tout réel ε strictemet positif, il existe u rag N tel que pour tout idice, o ait : N u l ε Suites Page 9 G. COSTANTINI

10 Illustratio avec la suite (u ) défiie par : u = 3 + ( ) u l O Rag à partir duquel tous les poits sot das la bade choisie Sur cet exemple, le graphique permet de cojecturer que la suite (u ) coverge vers 3. L'utilisatio directe de cette défiitio 'est pas toujours commode. Heureusemet, ous disposos de théorèmes (voir ci-dessous) pour prouver la covergece d'ue suite dot l'emploi est bie plus aisé que cette défiitio. Cette défiitio sera surtout utile das la démostratio de certais théorèmes (comme le théorème des gedarmes par exemple). Notos qu'il existe des suites qui e coverget pas (o dit alors qu'elles diverget). Il y e a de deux types : Celles qui ot ue limite ifiie : par exemple u =. Celles qui 'ot pas de limite : par exemple u = ( ). (u p = et u p+ = ) Suites Page 0 G. COSTANTINI

11 Techiques pour motrer qu'ue suite est covergete : ) Cas des suites du type u = ƒ() : les théorèmes éocés sur les limites de foctios s'appliquet Si lim ƒ(x) = l alors lim u = l x + + E coséquece, o récupère tous les théorèmes sur les opératios algébriques aisi que les théorèmes de comparaiso. Exemples : Avec le théorème des "gedarmes" Soit : u = Étudios la limite de la suite (u ). + pour O a : < + E outre, + < ( + ). (E effet, ( + ) = + + > + car > > 0) O a doc l'ecadremet suivat : < + < ( + ) Par passage à la racie (tous les membres sot positifs), il viet : < + < + Puis e divisat par (positif) : < u < + Comme lim ( + ) =, o e déduit (théorème des gedarmes) que lim u =. + + Avec les théorèmes de comparaiso Soit : u = 4 (cos ) Étudios la limite de la suite (u ) : Comme cos, o a : 3 cos, doc u 4. Or lim ( 4 ) =, d'où lim u =. (O dit alors que la suite (u ) diverge vers ) + + Exemple : détermier la limite de la suite (v ) défiie par : v = 3 + ( ) Posos, pour * : u = 3 et w = 3 + Les suites (u ) et (w ) coverget vers 3. De plus, pour tout * : u v w. D'après le théorème des gedarmes, o a doc : lim + v = 3 ) Cas des suites récurretes : voir les exercices où des idicatios serot doées. Suites Page G. COSTANTINI

12 3) Cas particulier des suites géométriques 6.. Théorème Soit (u ) ue suite défiie par : u = a (avec a > 0) Si a [0 ; [ alors (u ) est covergete vers 0 Si a = alors (u ) est costate (doc covergete vers ) Si a ] ; + [ alors (u ) est divergete (vers + ). Démostratio : Nous allos utiliser le résultat suivat : 6.3. Lemme Iégalité de Beroulli Pour tout réel x positif et tout etier aturel, o a : ( + x) + x Démostratio du lemme : Soit x +. O cosidère la propriété () défiie pour tout par : () : ( + x) + x Remarque : o peut étedre cette iégalité à x ], + [ O a (0) puisque ( + x) 0 + 0x pour tout x +. Motros que, pour tout : () ( + ) Soit. Supposos () : ( + x) + x Comme x > 0, o a aussi + x > 0. E multipliat l'iégalité ci-dessus par ( + x), o obtiet : ( + ) + x ( + x)( + x) Or : ( + x)( + x) = + x + x + x = + ( + )x + x Comme x 0, o a : ( + x)( + x) + ( + )x D'où : ( + ) Ce qui est ( + ). + x + ( + )x Bila : o a (0) et pour tout de : () ( + ) Doc, pour tout de, o a : () ( + x) + x Prouvos maiteat le théorème 6.. : Supposos a ] ; + [. Posos x = a. Alors x ]0 ; + [. D'après l'iégalité de Beroulli : a = ( + x) + x Or, lim + x = +. Par comparaiso, o e déduit : + lim + a = + La suite (u ) diverge doc vers +. Supposos maiteat a [0 ; [. Suites Page G. COSTANTINI

13 Si a = 0, le résultat est évidet. Si a 0, posos : Alors : D'après le résultat précédet : Par passage à l'iverse, ous obteos : a' = a a' ] ; + [ lim + lim + a = + a = 0 La suite (u ) coverge doc vers 0. Efi, si a =, le résultat est évidet. 7. Complémet : suites arithmético-géométriques Ce sot les suites (u ) de la forme u + = au + b où a et b sot des réels. Si a =, alors la suite (u ) est arithmétique de raiso b. Si a, o pose alors ω = b a seule limite possible pour la suite (u )). (ω est la solutio de l'équatio X = ax + b ; o a doc ω = aω + b ; ω est la O défiit alors ue ouvelle suite (v ) par : v = u ω, pour tout. (Écart etre la suite (u ) et sa limite évetuelle) O vérifie que cette ouvelle suite (v ) est géométrique. E effet, pour tout, o a : v + = u + ω = au + b ω = a(v + ω) + b ω = av + aω + b ω = av La suite (v ) est doc bie géométrique de raiso a. O a doc, pour tout : d'où : v = v 0 a (Si a < alors la suite (v ) coverge vers 0, si a = ou a > alors la suite (v ) diverge) u = v + ω = v 0 a + ω = (u 0 ω)a + ω (Si a < alors la suite (u ) coverge vers ω, si a = ou a > alors la suite (u ) diverge) Exemple : u + = u + 3, avec u 0 =. Calculer u 00. Das ce cas, o a : a =, b = 3 et ω = 3 d'où u = 4 3 = + 3, d'où u 00 = 0 3 et (u ) diverge. Suites Page 3 G. COSTANTINI

14 8. Exercices résolus Exercice Calculer les sommes suivates : S = et S = Exercice La suite (u ) est arithmétique de raiso r. O sait que u 50 = 406 et u 00 = Calculer la raiso r et u 0.. Calculer la somme S = u 50 + u u 00. Exercice 3 Ue etreprise décide de verser à ses igéieurs ue prime auelle de 500. Pour e pas se dévaluer, il est prévu que chaque aée la prime augmete de % par rapport à l'aée précédete. O ote (u ) la suite des primes avec u = Calculer u puis u 3 (c'est-à-dire la prime versée par l'etreprise la ème aée et la 3 ème aée). Exprimer u + e foctio de u. E déduire la ature de la suite (u ). U igéieur compte rester 0 as das cette etreprise à partir du momet où est versée la prime. 3. Calculer la prime qu'il touchera la 0 ème aée (c'est-à-dire u 0 ) 4. Calculer la somme totale S des primes touchées sur les 0 aées (c'est-à-dire S = u + u + u u 0 ) Exercice 4 O cosidère les deux suites (u ) et (v ) défiies, pour tout, par : u = et v = Soit (w ) la suite défiie par w = u + v. Démotrer que (w ) est ue suite géométrique.. Soit (t ) la suite défiie par t = u v. Démotrer que (t ) est ue suite arithmétique. 3. Démotrer que : u = (w + t ) 4. Exprimer la somme suivate e foctio de : S = u 0 + u u Exercice 5 u0 = 3 O cosidère la suite (u ) défiie par : u = + pour tout etier aturel. + u. Calculer u et u. La suite (u ) est-elle arithmétique? Géométrique?. Démotrer, par récurrece, que pour tout etier aturel, o a : 0 u O cosidère la suite (v ) défiie pour tout etier aturel par : v = u u + a) Calculer v 0, v et v. Démotrer que la suite (v ) est géométrique. b) Exprimer v e foctio de. c) Exprimer u e foctio de v. Que vaut u 0? Suites Page 4 G. COSTANTINI

15 SOLUTIONS Exercice Rappelos que pour tout * o a : = ( +). O e déduit immédiatemet : S = = = S + S = = = d'où S = S = Exercice ) Calcul de la raiso r : O a : u = u p + ( p)r D'où, lorsque p : r = u u p Avec = 00 et p = 50, cela doe : r = u 00 u 50 = Calcul de u 0 : O a : p u 00 = u r D'où : u 0 = u 00 00r = = 6 ) Rappelos que das la somme S = u p u, il y a N = p + termes. La somme S = u 50 + u u 00 cotiet doc N = = 5 termes. E outre, S est ue somme de termes cosécutifs d'ue suite arithmétique de raiso r = 8. Nous pouvos doc utiliser la formule : S = N( P+ D) Avec P = u 50 = 406 et D = u 00 = 806, ous obteos : Exercice 3 S = = ( + 806) = Rappelos qu'ue augmetatio de t% se traduit par ue multiplicatio par + t 00. E particulier, le coefficiet multiplicateur associé à ue augmetatio de % est,0. ) u = u + 00 u = ( + 00 )u =,0u =,0 500 = 50. De même, u 3 =,0u =,0 50 = 50,. La deuxième aée, l'igéieur touche ue prime de 50 et la troisième aée ue prime de 50,0. ) La prime u + s'obtiet de la prime u par augmetatio de % doc : u + =,0 u pour tout etier O e déduit, par défiitio, que la suite (u ) est géométrique de raiso q =,0. 3) Calcul de u 0 : comme (u ) est ue suite géométrique, o a : u = q u E particulier, avec = 0, q =,0 et u = 500, cela doe : u 0 =, ,4 (à 0 près) La vigtième aée, l'igéieur touchera ue prime 78,4 (au cetime d'euro près). Suites Page 5 G. COSTANTINI

16 4) S = u + u + u u 0 est ue somme de N = 0 termes cosécutifs d'ue suite géométrique de raiso q =,0. Nous pouvos doc utiliser la formule : S = P ( q ) q Ce qui, das otre cas (P = u = 500), doe : N S = 0 500( 0, ) 48,69 à 0 près 0, La somme totale des primes touchées par l'igéieur sur les 0 aées est : 49 (à u euro près) Exercice 4 ) O a : w = u + v = = 3 La suite (w ) est du type w = ba avec b = 3 et a =. C'est doc ue suite géométrique de raiso q = a =. E effet, les termes de (w ) sot clairemet o uls et pour tout etier, o a : w + = 3 = w 3 ) O a : t = u v = = La suite (t ) est du type t = a + b avec a = 4 et b = 3. C'est ue suite arithmétique de raiso r = a = 4. E effet, pour tout etier, o a : 3) O a, pour tout etier : + t + t = 4( + ) + 3 ( 4 + 3) = 4 (w + t ) = (u + v + u v ) = u = u 4) D'après la questio 3), chaque terme u k (0 k ) de la somme S peut s'écrire : u k = (w k + t k ) Aisi : S = (w 0 + t 0 ) + (w + t ) (w + t ) E factorisat par et e regroupat les termes de la suite (w ) et ceux de la suite (t ), o obtiet : S = [(w 0 + w w ) + (t 0 + t t )] Or, d'après la questio, la suite (w ) est géométrique de raiso q =. O a doc : w 0 + w w = P q N ( ) = w + 0( ) = 3( + ) q Et d'après la questio, la suite (t ) est arithmétique de raiso r = 4. O a doc : t 0 + t t = N( P+ D) ( + )( t0 + t ) = = ( + )( ) = ( + )(3 ) Fialemet : S = [3(+ ) + ( + )(3 )] = 3 + Suites Page 6 G. COSTANTINI

17 Exercice 5 ) u 0 = 3 ; u = + u = 0 ; u = + u = 4 3 O a : u u 0 = 5 et u u = 5 6. Comme u u 0 u u, o e déduit immédiatemet que la suite (u ) 'est pas arithmétique. O a : u u = 6 et u = u 8 3. Comme u u 0 géométrique. ) Cosidéros la propriété () = "0 u 3" défiie pour tout. Comme 0 u 0 3, o a (0). Motros : () ( + ) pour tout. Supposos () : 0 u 3 Ajoutos : + u 4 La foctio iverse état décroissate sur ]0 ; + [, o déduit : 0 u, o e déduit immédiatemet que la suite (u ) 'est pas u + u 4 Multiplios par : + u D'où : u + Or : 3 et 0, d'où : 3 u + 0 O a doc ( + ). Du pricipe de récurrece, o déduit () pour tout, c'est-à-dire : 0 u 3 pour tout 3) a) v 0 = u u = 5 ; v = u u + = 5 ; v = u u + = 0. La suite (v ) semble géométrique de raiso q =. Démotros-le ; pour cela, ous allos exprimer v + e foctio de v. Pour tout, o a : u+ v + = u + + = + u + u + = u + u = ( + u) + u u = ( + u ) v Nota : il 'y a pas "d'accidets" das toutes ces fractios puisque u et u (questio ). Ce qui prouve que la suite (v ) est géométrique de raiso q =. b) Exprimos v e foctio de. Puisque (v ) est ue suite géométrique, ous avos : Suites Page 7 G. COSTANTINI

18 v = q v 0 = 5 c) Exprimos u e foctio de v. Pour cela, o utilise la relatio : v = u u + E multipliat par u + 0 : v (u + ) = u Factorisos par u : Divisos par v 0 : u (v ) = v u = v v = + v v Calculos u 0 : u 0 = + v v Or, v 0 = 0 5 = 0 5 = D'où : u 0 = = = ,007 (à 0 5 près) 9 5 Suites Page 8 G. COSTANTINI

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite Eseigemet spécifique Chapitre 1. Les suites umériques Pricipe de récurrece Limite d ue suite I. Rappels sur les suites umériques 1. géérale Ue suite umérique est ue foctio défiie de N vers R, elle peut

Plus en détail

Limites de suites et de fonctions

Limites de suites et de fonctions TermS Limites de suites et de foctios I ] Suites ) Défiitio : Ue suite réelle est ue foctio de! das!, défiie à partir d'u certai rag 0. Notatio : u = lire "u idice " = terme d'idice, ou de rag = terme

Plus en détail

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako I Gééralité sur les suites: - Pricipe du raisoemet par récurrece : Soit la propriété P() dépedat de l idice Si les propositios ()

Plus en détail

Convergence de suites réelles

Convergence de suites réelles DOMAINE : No olympique AUTEUR : Nicolas SÉGARRA NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Motpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices Covergece de suites réelles I) Rappels et otios de base. Défiitio 1. Ue suite

Plus en détail

n² n b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant u n? Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grand?

n² n b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant u n? Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grand? Exercice : Détermier la limite de chaque suite (u ). a) u = si π b) u = () c) u = + d) 0,5 + cos(π) Exercice 2 : la costate d Apéry Pour tout etier, u = 3 + + 2 3 +. + 3 ) Doer u miorat de cette suite.

Plus en détail

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako I Gééralité sur les suites: - Pricipe du raisoemet par récurrece : Soit la propositio P() dépedat de l etier () la propositio est

Plus en détail

SUITES NUMERIQUES. Archimède a défini dans les années 220 avant J.-C. deux suites permettant d'obtenir de très bonnes valeurs approchées de π.

SUITES NUMERIQUES. Archimède a défini dans les années 220 avant J.-C. deux suites permettant d'obtenir de très bonnes valeurs approchées de π. Quelques repères historiques SUITES NUMERIQUES Archimède a défii das les aées 220 avat J.-C. deux suites permettat d'obteir de très boes valeurs approchées de π. Héro d'alexadrie au premier siècle après

Plus en détail

SUITES DE NOMBRES RÉELS

SUITES DE NOMBRES RÉELS SUITES DE NOMBRES RÉELS. Défiitio d'ue suite.. Défiitio Ue suite umérique est ue foctio de das, défiie à partir d'u certai rag 0. La otatio (u ) désige la suite e tat qu'objet mathématique (que l'o ote

Plus en détail

Chapitre 1 METHODES SUR LES SUITES

Chapitre 1 METHODES SUR LES SUITES Chapitre 1 METHODES SUR LES SUITES Nous allos voir commet : 1) Cojecturer le comportemet d ue suite ) Raisoer par récurrece 3) Utiliser les suites arithmétiques et géométriques 4) Étudier le comportemet

Plus en détail

et arctanx + arctan 1 x = sgn(x)π 2. 3. Application à la statue de la liberté : haute de 46 mètres avec un piédestal de 47 mètres.

et arctanx + arctan 1 x = sgn(x)π 2. 3. Application à la statue de la liberté : haute de 46 mètres avec un piédestal de 47 mètres. Eo7 Foctios circulaires et hyperboliques iverses Correctios de Léa Blac-Ceti. Foctios circulaires iverses Eercice Vérifier arcsi + arccos π et arcta + arcta sgπ. Idicatio Correctio Vidéo [00075] Eercice

Plus en détail

P(n) : quelque soit n entier naturel : n 3 = ( n) 2. P(n 0 ) est vraie (initialisation).

P(n) : quelque soit n entier naturel : n 3 = ( n) 2. P(n 0 ) est vraie (initialisation). T ale S Chapitre. Résumé page 3.. Pricipe de récurrece. a. Exemple. 3 + 3 = + 8 = 9 = ( + ) 3 + 3 + 3 3 = + 8 + 7 = 36 = ( + + 3) O voudrait démotrer la propriété géérale : P() : quelque soit etier aturel

Plus en détail

( ) soit vraie, et on démontre ( ) elle est vraie. ( ) est vraie pour tout entier naturel n n 0

( ) soit vraie, et on démontre ( ) elle est vraie. ( ) est vraie pour tout entier naturel n n 0 Chapitre 1 : Les suites umériques I. Le raisoemet par récurrece 1. Présetatio Soit P( ) la propriété : «7 + 2 est divisible par 3». O veut vérifier que cette propriété est vraie pour tout etier aturel.

Plus en détail

1 + t = t. a 6 n ln 1 + a. Suite a : On utilise une relation de Chasles (même terme mais sur des ensembles d indices distincts) ! 1 # 1. 1 k.

1 + t = t. a 6 n ln 1 + a. Suite a : On utilise une relation de Chasles (même terme mais sur des ensembles d indices distincts) ! 1 # 1. 1 k. PHEC Correctio feuille d exercices 00-006 correctio de l exercice t. 8t R + ; + t 6 l( + t) 6 t : Pour cela, o itroduit les foctios f : t 7 l( + t) t et g : t 7 t l( + t) + t dé ies sur [0; +[ et o étudie

Plus en détail

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES. UHA MULHOUSE L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM Chapitre 2 Séries etières Cotets. Gééralités sur les séries etières 2.. Défiitio

Plus en détail

Cours 4 SUITES DE NOMBRES RÉELS

Cours 4 SUITES DE NOMBRES RÉELS Cours 4 SUITES DE NOMBRES RÉELS A/ GÉNÉRALITÉS 1. Défiir ue suite de ombres réels Ue suite u de ombres réels, est ue foctio défiie sur N qui, à chaque etier aturel, associe u ombre oté u. Ce ombre u s

Plus en détail

SUITES et SERIES DE FONCTIONS

SUITES et SERIES DE FONCTIONS UE7 - MA5 : Aalyse SUITES et SERIES DE FONCTIONS I Suites de foctios à valeurs das È ou  Etat doé u esemble E, ue suite de foctios umériques défiies sur E est la doée, pour tout etier, d'ue applicatio

Plus en détail

«J'aimais et j'aime encore les mathématiques pour elles-mêmes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d'aversion» (Stendhal)

«J'aimais et j'aime encore les mathématiques pour elles-mêmes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d'aversion» (Stendhal) Lycée Stedhal (Greoble) Niveau : Termiale S Titre Cours : Chapitre 0 : Les suites Aée : 204-205 «J'aimais et j'aime ecore les mathématiques pour elles-mêmes comme 'admettat pas l'hypocrisie et le vague,

Plus en détail

Etude d une limite de suite

Etude d une limite de suite Etude d ue ite de suite I) Limites de suite usuelle ) Suites de référece de ites fiies + + + = 0 = 0 2 = 0 et plus gééralemet o a : + p = 0 avec p N 2) Suites de référece de ites ifiies = + + = + + + 2

Plus en détail

Correction Exercices sur les suites. Correction. un+1 = 0,2u n +0,6 u 0 = 1

Correction Exercices sur les suites. Correction. un+1 = 0,2u n +0,6 u 0 = 1 Correctio Exercice 1 O cosidère la suite (v ) défiie par v 0 = 3 et pour tout 1, v +1 = v 2 3v +4. 1. Démotrer que la suite est croissate. v +1 v = v 2 4v +4 = (v 2) 2 0 quelque soit etier. Doc (v ) est

Plus en détail

Comportement d une suite

Comportement d une suite CHAPITRE 6 Comportemet d ue suite ACTIVITÉS Activité L aire ajoutée (celle d u carré compese exactemet l aire elevée a p 6 ; p 5 ; p 6 6 b La suite (p est géométrique de raiso car la logueur de la lige

Plus en détail

question-type-bac.fr

question-type-bac.fr BAC S 4 Mathématiques - Frace métropole Eseigemet spécifique et de spécialité Ce documet est bie plus qu u simple corrigé de sujet de baccalauréat. Grâce aux solutios claires et détaillées, aux démarches

Plus en détail

Auteur : Simplice TANKOUA Activités de mise en place de la leçon.

Auteur : Simplice TANKOUA Activités de mise en place de la leçon. Auteur : Simplice TANKOUA (stakoua@yahoofr) Cours SUITES NUMÉRIQUES Leço : GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES Activités de mise e place de la leço Activité : (formule explicite) Exercice O cosidère la liste ordoée

Plus en détail

Suites numériques. I/ Définition, propriétés globales Résumé du cours de MPSI

Suites numériques. I/ Définition, propriétés globales Résumé du cours de MPSI Ξ 2 Suites umériques 2016-2017 Résumé du cours de MPSI I/ Défiitio, propriétés globales 1/ Défiitio Ue suite de complexes u est ue applicatio de N das C Notatios : L'image d'u etier par u se ote u( ou

Plus en détail

Chapitre 2. Rappels sur les suites arithmétiques et les suites géométriques

Chapitre 2. Rappels sur les suites arithmétiques et les suites géométriques Chapitre Rappels sur les suites arithmétiques et les suites géométriques Nous allos ici rappeler les différets résultats sur les suites de ombres réels qui sot des suites arithmétiques ou des suites géométriques

Plus en détail

Correction concours général maths 2015

Correction concours général maths 2015 Correctio cocours gééral maths 2015 Problème I Petits poids 1) a) 3 = 3, 3 + 5 = 8, 3 + 5 6 = 2, 3 + 5 6 8 = 6, 3 + 5 6 8 + 2 = 4 doc poids(3,5, 6, 8,2) = 8 b) poids(1,2,3,,2015, 2015, 2014,.., 1) = 1

Plus en détail

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008 Sup Galilée - Maths pour l Igéieur Corrigé du Partiel du 9 Novembre 008 Étude d ue suite récurrete Soit u 0 ]0, [ O cosidère la suite (u ) défiie par u + u 3 u ) Justifier que la suite u est borée O motre

Plus en détail

TD 2 : Suites numériques réelles

TD 2 : Suites numériques réelles Uiversité Paris-Est Mare-la-Vallée Licece L Maths/Ifo d semestre 0/0 Aalyse TD : Suites umériques réelles Exercice Cours) Motrer que si ue suite réelle u ) N coverge, alors toute sous-suite de u ) coverge

Plus en détail

Exercices sur les suites v 0 = 1 On considère la suite numérique ( v n ) définie pour tout entier naturel n par 9.

Exercices sur les suites v 0 = 1 On considère la suite numérique ( v n ) définie pour tout entier naturel n par 9. Liba 13 v 0 = 1 O cosidère la suite umérique ( v ) défiie pour tout etier aturel par 9 v +1 = 6 v Partie A 1 O souhaite écrire u algorithme affichat, pour u etier aturel doé, tous les termes de la suite,

Plus en détail

Suites arithmétiques et géométriques

Suites arithmétiques et géométriques «I» : Suites arithmétiques 1/ Défiitio Suites arithmétiques et géométriques La suite (u ) est arithmétique de raiso r sigifie que : Pour tout etier aturel : u +1 = u + r Exemple : La suite ( ; 5 ; 8 ;

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k SÉRIES NUMÉRIQUES K désige le corps R ou C. Gééralités. Défiitios Défiitio. Série Soit (u ) 0 ue suite umérique (i.e. à valeurs das K). O appelle série de terme gééral u la suite (S ) 0 où 0, S = u k Cette

Plus en détail

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES 1 Etudier la mootoie des suites a ) 0 défiies par : a) a = b) a = + 1) + ) + ) c) a =! d) a = α + 1) α réel positif) Soit a, la suite de terme gééral a = 3 + 1 3 + Trouver

Plus en détail

pour 1. b) si ( ) converge, alors 567 =l avec l réel,

pour 1. b) si ( ) converge, alors 567 =l avec l réel, Exercices aales corrigés : Suites Sujet atioal septembre 007 ( bac blac 008) La suite u est défiie par : = et = pour tout etier aturel a O a représeté das u repère orthoormé direct du pla doé ci-dessous,

Plus en détail

Révisions d analyse (corrigé des indispensables).

Révisions d analyse (corrigé des indispensables). Révisios d aalyse (corrigé des idispesables). Limites des foctios de variable réelle à valeurs das ou.. a. La foctio f est le produit d e foctio borée sur ( a si ) et d e foctio qui ted vers 0 e 0 ( a

Plus en détail

Suites. =3v n pour = 5.

Suites. =3v n pour = 5. Suites 1 Gééralités 11 Défiitio Défiitio : O appelle suite ue foctio sur N ou sur ue partie de N das R Exemples: Les foctios: u : +1 ; v : sot des suites Notatio : Soit u ue suite défiie sur D partie de

Plus en détail

Séries entières. Chap. 09 : cours complet.

Séries entières. Chap. 09 : cours complet. Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee Théorème : lemme d Abel Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série

Plus en détail

SUITES NUMERIQUES. q n. pour q. n + Une suite numérique est une fonction associant à tout nombre entier naturel n, un nombre réel u(n) : u :

SUITES NUMERIQUES. q n. pour q. n + Une suite numérique est une fonction associant à tout nombre entier naturel n, un nombre réel u(n) : u : SUITES NUMERIQUES Coteus : Capacités attedues : Commetaires : Suites Limite d ue suite défiie par so terme gééral Notatio lim u Suites géométriques : - somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique

Plus en détail

4. Calculer en utilisant une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

4. Calculer en utilisant une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 1S DS o 1 Durée : h Exercice 1 ( 7 poits ) 1. La suite (u ) est défiie pour tout etier aturel par u = 3 + est-elle arithmétique? Pour tout etier aturel, o a : u +1 = ( + 1) 3( + 1) + = + + 1 3 3 + = La

Plus en détail

1S 1 : DEVOIR SURVEILLÉ N 8 (2 heures)

1S 1 : DEVOIR SURVEILLÉ N 8 (2 heures) S : DEVOIR SURVEILLÉ N 8 ( heres) Exercice ( poits) Calcler les sommes sivates : S + + 3 +... + + et S + + 3 +... + 8 +. Exercice (3 poits) La site ( ) est arithmétiqe de raiso r. O sait qe 5 46 et 86..

Plus en détail

Suites de variables aléatoires.

Suites de variables aléatoires. Uiversité Pierre et Marie Curie 200-20 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 8 Suites de variables aléatoires.. Soit Ω, F, P u espace de probabilités. Détermier pour chacue des covergeces suivates

Plus en détail

Correction du TD 3 : Séries numériques

Correction du TD 3 : Séries numériques Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques Correctio du TD : Séries umériques Exercice A chaque fois, puisqu'o demade la covergece et la valeur, o reviet à la somme partielle : esuite, soit o recoaît

Plus en détail

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN Das ce qui suit, o utilisera des argumets élémetaires et o e suppose aucue coaissace des foctios exp et l Ce qui suit sert à les défiir comme

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 mai 07 Eocés Calcul de ites Exercice [ 054 ] [Correctio] Détermier la ite, si celle-ci existe, des suites u suivates : a u = 3 3 + b u = + + + c u = + + d u =

Plus en détail

Limite d'une suite. soit n > 9

Limite d'une suite. soit n > 9 Limite d'ue suite I) Limite d'ue suite : a) ite ifiie : défiitio : Ue suite (u ) a pour ite + quad ted vers + si tout itervalle de la forme ]A; +[ (A état u réel) cotiet tous les termes u à partir d'u

Plus en détail

Partie A : z x. z =( z ) = 4 = - 4 donc z est aussi solution de (E) Partie C :

Partie A : z x. z =( z ) = 4 = - 4 donc z est aussi solution de (E) Partie C : Corrigé baccalauréat S Polyésie 200 (raiateabac.blogspot.com) EXERCICE (5 poits) Pré-requis : z a + bi et _ z a bi Partie A : a ) E posat z a + bi et z a + b i o obtiet : z x z (a + bi) ( a + b i) aa bb

Plus en détail

CORRIGÉ DE LA FEUILLE 2

CORRIGÉ DE LA FEUILLE 2 CORRIGÉ DE LA FEUILLE. Exercice Soiet u et v deux séries à termes positifs.. Si ue des séries est divergete, alors la série de terme gééral u + v est divergete C est vrai. E effet, supposos que la série

Plus en détail

SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes

SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes UE7 - MA5 : Aalyse SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes I. Gééralités Défiitio Etat doée ue suite (u ) de ombres réels ou complexes, o appelle série de terme gééral u la suite (S ) défiie par : () S

Plus en détail

Chapitre 5 : Suites classiques

Chapitre 5 : Suites classiques Chapitre 5 : Suites classiques Objectifs : Révisios sur les suites arithmétiques et géométriques. Révisio du théorème de croissace comparée. Savoir exprimer e foctio de les termes d ue suite récurrete

Plus en détail

Leçon 9 Les suites réelles

Leçon 9 Les suites réelles Leço 9 Les suites réelles C est ue leço importate qui se prologera e termiale et souvet, il y a u exercice à faire au BAC sur les suites. Il est très importat de bie compredre au début les otatios., 5,8

Plus en détail

Fonction logarithme népérien Corrigés d exercices / Version de décembre 2012

Fonction logarithme népérien Corrigés d exercices / Version de décembre 2012 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 Les eercices du livre corrigés das ce documet sot les suivats : Page 9 : N, 6 Page 9 : N Page 9 : N 7, 9 Page 98 : N 9,,, 6, 7, 9 Page 99 : N 4, 47, 49, Page

Plus en détail

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I SESSION 9 Cocours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE E3A Epreuve de Mathématiques B PSI Exercice I ) rga) 3 < 4 et doc A / GL 4 R) Par suite, est valeur propre de A ) Soit U Puisque la somme des coefficiets

Plus en détail

INF582 : Cryptologie Attaque de clés RSA par la méthode de Wiener

INF582 : Cryptologie Attaque de clés RSA par la méthode de Wiener INF58 : Cryptologie Attaque de clés RSA par la méthode de Wieer Nicolas DOUZIECH - Thomas JANNAUD - X005 9 mars 008 Table des matières Quelques rappels sur le cryptosystème RSA Pricipe de l attaque de

Plus en détail

12 Cours - Suites.nb 1/11. Suites

12 Cours - Suites.nb 1/11. Suites 12 Cours - Suites.b 1/11 Suites I) Gééralités 1) Défiitio 2) Notatio 3) Commet peut être défiie ue suite 4) Suites et ordre 5) Propriété vraie à partir d u certai rag 6) Exercice 7) Suites arithmétiques,

Plus en détail

( ) ( ) ( ) ( 4) Terminale S Exercices sur le chapitre «Suites numériques» Page 1. deux nombres réels. Initialisation Récupérer la valeur de M

( ) ( ) ( ) ( 4) Terminale S Exercices sur le chapitre «Suites numériques» Page 1. deux nombres réels. Initialisation Récupérer la valeur de M Termiale S Exercices sur le chapitre «Suites umériques» Page Exercice : O cosidère la suite ( p ) défiie sur N par ) O cosidère l algorithme suivat : Variables u etier aturel et deux ombres réels Iitialisatio

Plus en détail

Racine nième Corrigés d exercices

Racine nième Corrigés d exercices Racie ième Corrigés d eercices Page 9 : N 8, 8, 8, 86, 88, 89, 9, 9, 9, 97 Page 6 : N, Page 6 : N Page 67 : N 8 Page 6 : N N 8 page 9 6 6 6 6 6 ( ) = = = = = = = = ( ) = = = = = = ( ) 8 = 8 = = = = = =

Plus en détail

CH5 Algèbre : Suites numériques

CH5 Algèbre : Suites numériques ème Scieces CH5 Algèbre : Suites umériques Décembre 9 A LAATAOUI I Présetatio des suites umériques : Défiitio d ue suite : Ue suite (u ) est ue foctio défiie sur l'esemble N qui à tout etier aturel associe

Plus en détail

Cours I : SUITES NUMERIQUES. I Quelques rappels

Cours I : SUITES NUMERIQUES. I Quelques rappels Agrocampus Ouest ENIHP ère aée p. Cours I : SUITES NUMERIQUES / Défiitio I Quelques rappels Défiitio : Ue suite u est ue applicatio de l esemble N ou ue partie de N das R qui à chaque élémet de N associe

Plus en détail

TP - Introduction de la fonction exponentielle par la méthode d'euler -

TP - Introduction de la fonction exponentielle par la méthode d'euler - TP - Itroductio de la foctio expoetielle par la méthode d'euler - De ombreux phéomèes phsiques, biologiques, écoomiques ou autres sot modélisés par ue foctio ƒ qui est proportioelle à sa dérivée ƒ'. (Par

Plus en détail

Calculer la raison d une suite arithmétique dont la somme des trois premiers termes est 18 et e septiemme terme est 19

Calculer la raison d une suite arithmétique dont la somme des trois premiers termes est 18 et e septiemme terme est 19 Suites EXERCICE N 1 O cosidère la suite ( u ) défiie par : Pour tout etier aturel : u = 2-2 a) Calculer u 1,u 2,u 3 et u 4 b) Calculer pour tout etier aturel u +1, u +1, (u ) 2, u 2, u 2+3,u 2 +3 EXERCICE

Plus en détail

Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites

Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 43 Chapitre 4: Croissace, divergece et covergece des suites 4.1 Quelques défiitios Défiitios : Ue suite est croissate si chaque terme est supérieur ou égal à so précédet

Plus en détail

Chapitre 1. Arithmétique. Partie 5 : PGCD

Chapitre 1. Arithmétique. Partie 5 : PGCD Chapitre 1 Arithmétique Partie 5 : PGCD Propriété/Défiitio : (PGCD) O se doe deux etiers relatifs a et b o uls. L esemble des diviseurs positifs commus à a et b admet u plus grad élémet que l o PGCD a

Plus en détail

Sylvain ETIENNE 2003/2004 PLC1, groupe 1 Exposé 64

Sylvain ETIENNE 2003/2004 PLC1, groupe 1 Exposé 64 Sylvai ETIENNE 3/4 IMAGE D UN INTERVALLE PAR UNE FONCTION CONTINUE, IMAGE D UN SEGMENT. CONTINUITE DE LA FONCTION RECIPROQUE D UNE FONCTION CONTINUE STRICTEMENT MONOTONE SUR UN INTERVALLE. Niveau : Complémetaire.

Plus en détail

TS Exercices sur les limites de suites (1)

TS Exercices sur les limites de suites (1) TS Exercices sur les limites de suites () Soit u ue suite géométrique de premier terme u 0 et de raiso q. Das chacu des cas suivats, doer la limite de la suite u. ) u0 ; q ) u 0 ; q ) 0 4 ) u0 6 ; q )

Plus en détail

Exo7. Fractions rationnelles. 1 Fractions rationnelles. 2 Décompositions en éléments simples. Corrections de Léa Blanc-Centi.

Exo7. Fractions rationnelles. 1 Fractions rationnelles. 2 Décompositions en éléments simples. Corrections de Léa Blanc-Centi. Exo7 Fractios ratioelles Correctios de Léa Blac-Ceti. Fractios ratioelles Exercice Existe-t-il ue fractio ratioelle F telle que ( F() ) = ( + ) 3? Idicatio Correctio Vidéo [006964] Exercice Soit F = P

Plus en détail

Terminale S Exercices sur le chapitre 5 «Suites numériques» Page 1 sur 6

Terminale S Exercices sur le chapitre 5 «Suites numériques» Page 1 sur 6 Termiale S Exercices sur le chapitre 5 «Suites umériques» Page sur 6 Gééralités sur les suites ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Exercice

Plus en détail

1 Programme de l agrégation interne

1 Programme de l agrégation interne Séries umériques Programme de l agrégatio itere Partie 0b : Séries de ombres réels ou complexes Séries à termes positifs La série coverge si et seulemet si la suite des sommes partielles est borée Étude

Plus en détail

1 Séries numériques COURS L2, SUITES, SÉRIES, INTÉGRALES IMPROPRES =?

1 Séries numériques COURS L2, SUITES, SÉRIES, INTÉGRALES IMPROPRES =? COURS L2, 200-20. SUITES, SÉRIES, INTÉGRALES IMPROPRES Séries umériques. série géométrique et série téléscopique + 2 + 4 + 8 + 6 +? Figure. quelle est la logueur? Soit q > 0 (das l exemple ci-dessus q

Plus en détail

LEÇON N 20 : Racines n-ièmes d un nombre complexe. Interprétation géométrique. Applications.

LEÇON N 20 : Racines n-ièmes d un nombre complexe. Interprétation géométrique. Applications. LEÇON N 20 : Racies -ièmes d u ombre complexe. Iterprétatio géométrique. Applicatios. Pré-requis : Représetatio d u ombre complexe das le pla R 2 mui d u repère orthoormé direct ; Formes trigoométrique

Plus en détail

BAC BLANC DE MATHEMATIQUES EN TM1 et TM2.

BAC BLANC DE MATHEMATIQUES EN TM1 et TM2. BAC BLANC DE MATHEMATIQUES EN TM et TM2. L ordre des exercices a pas d importace. La clarté de la rédactio et des raisoemets iterviedrot pour ue part importate das l appréciatio des copies. La calculatrice

Plus en détail

Corrigé : EM Lyon 2005

Corrigé : EM Lyon 2005 Corrigé : EM Lyo 5 Optio écoomique Eercice :. Par défiitio de E, la famille (I,J,K) est ue famille géératrice de E. Cette famille est-elle libre? O cherche tous les réels a, b et c tels que : ai +bj +ck

Plus en détail

Suites numériques. Généralités. 5 novembre Introduction. Dénitions. Représentation graphique

Suites numériques. Généralités. 5 novembre Introduction. Dénitions. Représentation graphique Suites umériques 5 ovembre 009 I Gééralités Itroductio Exemple 1. [Si vous travaillez chaque mois, vous recevez u salaire : u ombre.] Juillet oût Septembre Octobre Novembre Décembre Javier Février Mars

Plus en détail

SUITES (Partie 1) Dans l'exemple, si on suppose qu'un domino (k) tombe alors le domino suivant (k+1) tombe également.

SUITES (Partie 1) Dans l'exemple, si on suppose qu'un domino (k) tombe alors le domino suivant (k+1) tombe également. SUITES (Partie ) I. Raisoemet par récurrece ) Le pricipe C'est au mathématicie italie Giuseppe Peao (858 ; 93), ci-cotre, que l'o attribue le pricipe du raisoemet par récurrece. Le om a probablemet été

Plus en détail

Feuille d exercices 5

Feuille d exercices 5 Mathématiques Physique S3, 205/206 Uiversité Blaise Pascal Feuille d exercices 5 Ex.. Tracer le graphe des foctios périodiques suivates, doer leur développemet e série de Fourier et discuter la covergece

Plus en détail

1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne.

1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne. 1 Séries umériques Das toute cette sectio, si cela est pas précisé, E désigera l espace R m, m 1, et la orme euclidiee. 1.1 Gééralités Défiitio 1.1. Soit (x ) N ue suite de E et pour chaque N, o défiit

Plus en détail

Suites numériques : définition générale.

Suites numériques : définition générale. 1 Suites arithmétiques Suites umériques : défiitio géérale.... Le pricipe de récurrece... 3 Suites arithmétiques... 4 Formule 1 des suites arithmétiques... 5 Appreos à compter... 6 Formule des suites arithmétiques...

Plus en détail

Calculs de limites, développements limités, développements asymptotiques

Calculs de limites, développements limités, développements asymptotiques Eo7 Calculs de limites, développemets limités, développemets asymptotiques Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee ****

Plus en détail

Chapitre Rappels sur les suites

Chapitre Rappels sur les suites Chapitre Séries umériques. Rappels sur les suites Défiitio.. (i) Ue suite (a ) N de réels (ou de complexes) est covergete vers ue limite a si pour tout ε > 0, il existe 0 N tel que pour tout 0, o a a a

Plus en détail

Terminale S Exercices sur le chapitre 5 «Suites numériques» Page 1 sur 5

Terminale S Exercices sur le chapitre 5 «Suites numériques» Page 1 sur 5 Termiale S Exercices sur le chapitre 5 «Suites umériques» Page sur 5 Gééralités sur les suites ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Exercice

Plus en détail

TS 2 QUADRATURE DE LA PARABOLE DM 1

TS 2 QUADRATURE DE LA PARABOLE DM 1 TS QUADRATURE DE LA PARABOLE DM Le pla P est mui d'u repère orthogoal (O, i, j ). O cosidère la foctio ƒ, défiie, sur, par : ƒ(x) = x Le but du problème est de calculer l'aire A du domaie D suivat : D

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

Exercices. Limites de suites. Limite d une suite Dans les exercices suivants, déterminer la limite de la suite (u n ) en précisant le théorème

Exercices. Limites de suites. Limite d une suite Dans les exercices suivants, déterminer la limite de la suite (u n ) en précisant le théorème Exercices Limites de suites Exercice Limite d ue suite Das les exercices suivats, détermier la limite de la suite (u ) e précisat le théorème utilisé. ) u = + + + + ) u = cos(), N 3) u = + cos 4 3 4) u

Plus en détail

Corrigé du problème: autour de la fonction zeta alternée de Riemann

Corrigé du problème: autour de la fonction zeta alternée de Riemann Corrigé du problème: autour de la foctio zeta alterée de Riema I Gééralités Pour x >, la suite décroît vers, doc la série coverge par le critère spécial des séries alterées Pour x, e ted pas vers, ce qui

Plus en détail

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse Séquece Les suites umériques Sommaire Pré-requis Le raisoemet par récurrece 3 Notios de limites 4 Sythèse Das cette séquece, il s agit d ue part d approfodir la otio de suites umériques permettat la modélisatio

Plus en détail

Convergence et limite de suites numériques

Convergence et limite de suites numériques Covergece et limite de sites mériqes 1. Covergece d e site 1.1. Défiitio Ue site de ombres réels est covergete et admet comme limite ombre réel l si, qelqe soit le ombre ε > 0 assi petit soit-il, il existe

Plus en détail

Les calculatrices sont autorisées. **** **** Le sujet comporte 6 pages. 1 n. (resp. f x ln 1 e ) la somme de cette série.

Les calculatrices sont autorisées. **** **** Le sujet comporte 6 pages. 1 n. (resp. f x ln 1 e ) la somme de cette série. Les calculatrices sot autorisées **** NB : Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio de la rédactio Si u cadidat est ameé à repérer ce qui peut lui sembler

Plus en détail

Université Denis Diderot (Paris VII) MP 3. Quelques exercices corrigés Suites et séries numériques

Université Denis Diderot (Paris VII) MP 3. Quelques exercices corrigés Suites et séries numériques Uiversité Deis Diderot (Paris VII) 006-007 MP 3 Quelques exercices corrigés Suites et séries umériques Das les pages qui suivet ous proposos la correctios de quelques exercices de la feuille sur les suites

Plus en détail

Lycée secondaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math. ; 9) U n = 2! ! U n.

Lycée secondaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math. ; 9) U n = 2! ! U n. Lycée secodaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math Exercice Das chacu des cas suivats, calculer la limite de la suite ( U ) lorsque + ) U = 3 + ; ) U = si π =

Plus en détail

Questions de cours. tend vers 0, alors que la série harmonique 1. v n = ln n La série u n est convergente, et la série [ ( )]

Questions de cours. tend vers 0, alors que la série harmonique 1. v n = ln n La série u n est convergente, et la série [ ( )] PC - DS N 6 - U corrigé Questios de cours QC..a L assertio a. est fausse. Par exemple, la suite + ted vers 0, alors que la série harmoique + est divergete. QC..b L assertio b. est vraie. Supposos que la

Plus en détail

Analyse mathématique II

Analyse mathématique II UNIVERSITÉ IBN ZOHR Faculté des Scieces Juridiques Écoomiques et Sociales Corrigés des QCM Aalyse mathématique II FILIÈRE SCIENCES ÉCONOMIQUES ET GESTION PREMIERE ANNÉE Sessio ormale 03/04 40 questios

Plus en détail

Quelques inégalités classiques

Quelques inégalités classiques Quelques iégalités classiques O se propose de motrer, sous forme d exercices, quelques iégalités classiques. Les preuves de ces iégalités e écessitet que quelques coaissaces élémetaires.. Exercices classiques

Plus en détail

Corrigé du DS n 1. Exercice 1 (6 points)

Corrigé du DS n 1. Exercice 1 (6 points) Exercice 1 (6 poits) Corrigé du DS 1 Das cet exercice, les probabilités demadées serot doées sous forme décimale, évetuellemet arrodies à 10 - près. Lors d ue equête réalisée par l ifirmière auprès d élèves

Plus en détail

b) Par définition, ln 1 est le nombre dont l'exponentielle est 1. Or e = 1. Donc ln 1 = 0 2) Traduction de la définition.

b) Par définition, ln 1 est le nombre dont l'exponentielle est 1. Or e = 1. Donc ln 1 = 0 2) Traduction de la définition. Termiale S Chapitre 7 «Foctios logarithmes» Page sur 2 I) Défiitio et propriétés algébriques : ) La foctio : Défiitio : La foctio logarithme épérie, otée, est la foctio défiie sur ;+ qui, à tout réel >

Plus en détail

Corrigé de l'épreuve de maths 2 - e3a - MP

Corrigé de l'épreuve de maths 2 - e3a - MP Corrigé de l'épreuve de maths 2 - e3a - MP - 207 Partie I L'applicatio ϕ est liéaire et P R [X], ϕ(p R [X] doc ϕ iduit sur R [X] u edomorphisme 2 ϕ( = et i, ϕ(x i = X i ix i O e déduit la matrice de ϕ

Plus en détail

Exercice 2 (Séries de fonctions - 7 points)

Exercice 2 (Séries de fonctions - 7 points) INSA Toulouse, STPI, IMACS 2 mercredi 18 décembre 212 Correctio exame d'aalyse I (coquilles probables) Exercice 1 (Séries etières - 5 poits) Calculer le rayo de covergece et le domaie de covergece simple

Plus en détail

Synthèse de cours PanaMaths (TS) Suites numériques

Synthèse de cours PanaMaths (TS) Suites numériques Sythèse de cours PaaMaths (TS) Suites umériques Das ce chapitre, le terme «suite» désige ue suite umérique (c'est-à-dire, das le cadre du programme de Termiale S, ue suite de réels). Ue telle suite sera

Plus en détail

Corrigé. D08M On dénit la suite de polynômes (T n) n N de R[X] par : BCPST2 16/12/2014 T 2 = 2XT 1 T 0 = 2X 2 1 T 3 = 2XT 2 T 1 = 4X 3 3X

Corrigé. D08M On dénit la suite de polynômes (T n) n N de R[X] par : BCPST2 16/12/2014 T 2 = 2XT 1 T 0 = 2X 2 1 T 3 = 2XT 2 T 1 = 4X 3 3X Corrigé BCPST 6//4 D8M O déit la suite de polyômes T N de RX] par : T, T X et N, T + XT + T Pour tout de N, T s'appelle le -ième polyôme de Tchebychev. Calculer les polyômes T et T 3. T XT T X T 3 XT T

Plus en détail

SESSION DE 2004 CA/PLP

SESSION DE 2004 CA/PLP SESSION DE 4 CA/PLP CONCOURS EXTERNE Sectio : MATHÉMATIQUES SCIENCES PHYSIQUES COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L usage des calculatrices de poche est autorisø (coformømet au directives de

Plus en détail

c. Démontrer par récurrence la conjecture du a)...

c. Démontrer par récurrence la conjecture du a)... Eercice O cosidère l algorithme suivat : Etrée : u etier aturel. Iitialisatio : Doer à u la valeur iitiale. Traitemet : Tat que u > 0 Affecter à u la valeur u 0. Sortie : Afficher u. Quelle est la valeur

Plus en détail

Suite des polynômes de Tchebychev. (Exercice N 127 page 87) Corrigé

Suite des polynômes de Tchebychev. (Exercice N 127 page 87) Corrigé Suite des polyômes de Tchebychev (Exercice 7 page 87) a E utilisat la relatio de récurrece avec =, o obtiet : Puis, pour = : Efi, pour = 4 : O a bie : f x x f x f x x x x = = = f x = x f x f x = x x x=

Plus en détail

Séries à termes positifs

Séries à termes positifs Séries à termes positifs Das toute la suite N désigera les etiers aturels positifs 0,,,..., Z tous les etiers aturels...,,, 0,,, 3,... et Q les ombres ratioels. Efi R désigera les réels, et C les complexes.

Plus en détail

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013 Master Métiers de l Eseigemet, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 202/203 ANALYSE 2 Fiche de Mathématiques 4 - Séries umériques Soit E u espace vectoriel sur le corps K = R ou C Pour toute famille fiie

Plus en détail